Expresii cu rădăcini cum se rezolvă. Rădăcină pătrată. Teorie detaliată cu exemple. Rădăcina algebrică: pentru cei care vor să afle mai multe

Este timpul să dezasamblați metode de extragere a rădăcinilor. Ele se bazează pe proprietățile rădăcinilor, în special pe egalitate, ceea ce este valabil pentru orice număr nenegativ b.

Mai jos vom analiza pe rând principalele metode de extragere a rădăcinilor.

Să începem cu cel mai simplu caz - extragerea rădăcinilor din numere naturale folosind un tabel de pătrate, un tabel de cuburi etc.

Dacă tabelele de pătrate, cuburi etc. nu este la îndemână, atunci este logic să folosiți metoda de extragere a rădăcinii, care implică descompunerea numărului rădăcinii în factori primi.

Separat, merită să insistăm asupra, ceea ce este posibil pentru rădăcini cu exponenți ciudați.

În cele din urmă, luați în considerare o metodă care vă permite să găsiți secvențial cifrele valorii rădăcinii.

Să începem.

Folosind un tabel de pătrate, un tabel de cuburi etc.

În cele mai simple cazuri, tabele de pătrate, cuburi etc permit extragerea rădăcinilor. Ce sunt aceste tabele?

Tabelul de pătrate de numere întregi de la 0 la 99 inclusiv (prezentat mai jos) este format din două zone. Prima zonă a tabelului este situată pe un fundal gri; selectând un anumit rând și o anumită coloană, vă permite să creați un număr de la 0 la 99. De exemplu, să selectăm un rând de 8 zeci și o coloană de 3 unități, cu aceasta am fixat numărul 83. A doua zonă ocupă restul tabelului. Fiecare dintre celulele sale este situată la intersecția unui anumit rând și a unei anumite coloane și conține pătratul numărului corespunzător de la 0 la 99. La intersecția rândului nostru de 8 zeci și coloana 3 a unu, există o celulă cu numărul 6889, care este pătratul numărului 83.

Tabelele de cuburi, tabelele de puteri a patra ale numerelor de la 0 la 99 și așa mai departe sunt similare cu tabelul de pătrate, doar că conțin cuburi, puteri a patra etc. în zona a doua. numerele corespunzătoare.

Tabele de pătrate, cuburi, puteri a patra etc. vă permit să extrageți rădăcini pătrate, rădăcini cubice, rădăcini a patra etc. respectiv din numerele din aceste tabele. Să explicăm principiul aplicării lor în extragerea rădăcinilor.

Să presupunem că trebuie să extragem rădăcina a n-a a numărului a, în timp ce numărul a este conținut în tabelul de n-lea grade. Conform acestui tabel, găsim numărul b astfel încât a=b n . Apoi , prin urmare, numărul b va fi rădăcina dorită a gradului al n-lea.

Ca exemplu, să arătăm cum este extrasă rădăcina cubă a lui 19683 folosind tabelul cub. Găsim numărul 19 683 în tabelul cuburilor, din acesta aflăm că acest număr este un cub al numărului 27, prin urmare, .

Este clar că tabelele de grade n sunt foarte convenabile la extragerea rădăcinilor. Cu toate acestea, adesea nu sunt la îndemână, iar compilarea lor necesită o anumită perioadă de timp. Mai mult decât atât, este adesea necesar să se extragă rădăcini din numere care nu sunt conținute în tabelele corespunzătoare. În aceste cazuri, trebuie să recurgem la alte metode de extragere a rădăcinilor.

Descompunerea numărului rădăcină în factori primi

O modalitate destul de convenabilă de a extrage rădăcina dintr-un număr natural (dacă, desigur, rădăcina este extrasă) este de a descompune numărul rădăcinii în factori primi. A lui esența este următoarea: după ce este destul de ușor să-l reprezinte ca un grad cu indicatorul dorit, ceea ce vă permite să obțineți valoarea rădăcinii. Să explicăm acest punct.

Să se extragă rădăcina gradului al n-lea dintr-un număr natural a, iar valoarea lui este egală cu b. În acest caz, egalitatea a=b n este adevărată. Numărul b ca orice număr natural poate fi reprezentat ca un produs al tuturor factorilor săi primi p 1 , p 2 , …, p m sub forma p 1 p 2 p m , iar numărul rădăcină a în acest caz este reprezentat ca (p 1 p 2 ... p m) n . Deoarece descompunerea numărului în factori primi este unică, descompunerea rădăcinii a în factori primi va arăta ca (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , ceea ce face posibilă calcularea valorii rădăcinii ca .

Rețineți că dacă factorizarea numărului rădăcină a nu poate fi reprezentată sub forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , atunci rădăcina gradului al n-lea dintr-un astfel de număr a nu este complet extrasă.

Să ne ocupăm de asta atunci când rezolvăm exemple.

Exemplu.

Luați rădăcina pătrată a lui 144 .

Decizie.

Dacă ne întoarcem la tabelul de pătrate dat în paragraful precedent, se vede clar că 144=12 2 , din care rezultă clar că rădăcina pătrată a lui 144 este 12 .

Dar în lumina acestui punct, ne interesează modul în care este extrasă rădăcina prin descompunerea numărului rădăcinii 144 în factori primi. Să aruncăm o privire la această soluție.

Să ne descompunem 144 la factori primi:

Adică 144=2 2 2 2 3 3 . Pe baza descompunerii rezultate, pot fi efectuate următoarele transformări: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Prin urmare, .

Folosind proprietățile gradului și proprietățile rădăcinilor, soluția ar putea fi formulată puțin diferit: .

Răspuns:

Pentru a consolida materialul, luați în considerare soluțiile din încă două exemple.

Exemplu.

Calculați valoarea rădăcinii.

Decizie.

Descompunerea în factori primi a rădăcinii numărului 243 este 243=3 5 . Prin urmare, .

Răspuns:

Exemplu.

Este valoarea rădăcinii un număr întreg?

Decizie.

Pentru a răspunde la această întrebare, să descompunăm numărul rădăcină în factori primi și să vedem dacă poate fi reprezentat ca un cub al unui număr întreg.

Avem 285 768=2 3 3 6 7 2 . Descompunerea rezultată nu este reprezentată ca un cub al unui număr întreg, deoarece gradul factorului prim 7 nu este un multiplu de trei. Prin urmare, rădăcina cubă a lui 285.768 nu este luată complet.

Răspuns:

Nu.

Extragerea rădăcinilor din numere fracționale

Este timpul să ne dăm seama cum este extrasă rădăcina dintr-un număr fracționar. Să se scrie numărul rădăcinii fracționare ca p/q . Conform proprietății rădăcinii coeficientului, următoarea egalitate este adevărată. Din această egalitate rezultă regula rădăcinii fracțiunii: Rădăcina unei fracții este egală cu câtul împărțirii rădăcinii numărătorului la rădăcina numitorului.

Să ne uităm la un exemplu de extragere a unei rădăcini dintr-o fracție.

Exemplu.

Care este rădăcina pătrată a fracție comună 25/169 .

Decizie.

Conform tabelului cu pătrate, aflăm că rădăcina pătrată a numărătorului fracției inițiale este 5, iar rădăcina pătrată a numitorului este 13. Apoi . Aceasta completează extragerea rădăcinii dintr-o fracție obișnuită 25/169.

Răspuns:

rădăcină de fracție zecimală sau se extrage un număr mixt după înlocuirea numerelor rădăcină cu fracții obișnuite.

Exemplu.

Luați rădăcina cubă a zecimalei 474,552.

Decizie.

Să reprezentăm zecimala inițială ca o fracție comună: 474,552=474552/1000 . Apoi . Rămâne să extragem rădăcinile cubice care se află la numărătorul și numitorul fracției rezultate. La fel de 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 și 1 000=10 3 , atunci și . Rămâne doar să finalizați calculele .

Răspuns:

.

Extragerea rădăcinii unui număr negativ

Separat, merită să ne gândim la extragerea rădăcinilor din numerele negative. Când studiem rădăcinile, am spus că atunci când exponentul rădăcinii este un număr impar, atunci sub semnul rădăcinii poate exista un număr negativ. Am dat astfel de notații următorul sens: pentru un număr negativ −a și un exponent impar al rădăcinii 2 n−1, avem . Această egalitate dă regula pentru extragerea rădăcinilor impare din numerele negative: pentru a extrage rădăcina dintr-un număr negativ, trebuie să extrageți rădăcina din numărul pozitiv opus și să puneți semnul minus în fața rezultatului.

Să luăm în considerare un exemplu de soluție.

Exemplu.

Găsiți valoarea rădăcină.

Decizie.

Să transformăm expresia originală astfel încât un număr pozitiv să apară sub semnul rădăcinii: . Acum înlocuim numărul mixt cu o fracție obișnuită: . Aplicam regula extragerii radacinii dintr-o fractiune obisnuita: . Rămâne de calculat rădăcinile în numărătorul și numitorul fracției rezultate: .

Iată un rezumat al soluției: .

Răspuns:

.

Găsirea valorii rădăcină pe biți

În cazul general, sub rădăcină există un număr care, folosind tehnicile discutate mai sus, nu poate fi reprezentat ca puterea a n-a a vreunui număr. Dar, în același timp, este nevoie să cunoaștem valoarea unei rădăcini date, cel puțin până la un anumit semn. În acest caz, pentru a extrage rădăcina, puteți utiliza un algoritm care vă permite să obțineți în mod constant un număr suficient de valori ale cifrelor numărului dorit.

Primul pas al acestui algoritm este de a afla care este bitul cel mai semnificativ al valorii rădăcină. Pentru a face acest lucru, numerele 0, 10, 100, ... sunt ridicate succesiv la puterea n până când se obține un număr care depășește numărul rădăcinii. Apoi, numărul pe care l-am ridicat la puterea lui n în pasul anterior va indica ordinea superioară corespunzătoare.

De exemplu, luați în considerare acest pas al algoritmului atunci când extrageți rădăcina pătrată a lui cinci. Luăm numerele 0, 10, 100, ... și le pătram până obținem un număr mai mare decât 5 . Avem 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5 , ceea ce înseamnă că cea mai semnificativă cifră va fi cifra unităților. Valoarea acestui bit, precum și a celor mai mici, vor fi găsite în următorii pași ai algoritmului de extracție a rădăcinii.

Toți următorii pași ai algoritmului vizează rafinarea succesivă a valorii rădăcinii datorită faptului că se găsesc valorile următoarelor cifre ale valorii dorite a rădăcinii, începând de la cea mai mare și trecând la cea mai mică. . De exemplu, valoarea rădăcinii din primul pas este 2 , în al doilea - 2,2 , în al treilea - 2,23 și așa mai departe 2,236067977 ... . Să descriem cum sunt găsite valorile biților.

Găsirea biților se realizează prin enumerarea valorilor lor posibile 0, 1, 2, ..., 9 . În acest caz, puterile a n-a ale numerelor corespunzătoare sunt calculate în paralel și sunt comparate cu numărul rădăcină. Dacă la un moment dat valoarea gradului depășește numărul radical, atunci valoarea cifrei corespunzătoare valorii anterioare este considerată găsită și se face trecerea la pasul următor al algoritmului de extracție a rădăcinii, dacă acest lucru nu se întâmplă, atunci valoarea acestei cifre este 9 .

Să explicăm toate aceste puncte folosind același exemplu de extragere a rădăcinii pătrate a lui cinci.

Mai întâi, găsiți valoarea cifrei unităților. Vom itera peste valorile 0, 1, 2, …, 9 , calculând respectiv 0 2 , 1 2 , …, 9 2 până când obținem o valoare mai mare decât radicalul 5 . Toate aceste calcule sunt prezentate convenabil sub forma unui tabel:

Deci valoarea cifrei unităților este 2 (deoarece 2 2<5 , а 2 3 >5). Să trecem la găsirea valorii locului zece. În acest caz, vom pătrat numerele 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, comparând valorile obținute cu numărul rădăcină 5:

Din 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , atunci valoarea locului al zecelea este 2 . Puteți trece la găsirea valorii locului sutimilor:

Deci următoarea valoare a rădăcinii lui cinci este găsită, este egală cu 2,23. Și astfel puteți continua să găsiți valori în continuare: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Pentru a consolida materialul, vom analiza extragerea rădăcinii cu o precizie de sutimi folosind algoritmul considerat.

În primul rând, definim cifra senior. Pentru a face acest lucru, cubăm numerele 0, 10, 100 etc. până când obținem un număr mai mare de 2.151,186 . Avem 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , deci cea mai semnificativă cifră este cifra zecilor.

Să-i definim valoarea.

Din 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2.151,186 , atunci valoarea cifrei zecilor este 1 . Să trecem la unități.

Astfel, valoarea locului celor este 2 . Să trecem la zece.

Deoarece chiar și 12,9 3 este mai mic decât numărul radical 2 151,186 , valoarea locului al zecelea este 9 . Rămâne de efectuat ultimul pas al algoritmului, ne va oferi valoarea rădăcinii cu precizia necesară.

În această etapă, valoarea rădăcinii este găsită până la sutimi: .

În încheierea acestui articol, aș dori să spun că există multe alte modalități de a extrage rădăcini. Dar pentru majoritatea sarcinilor, cele pe care le-am studiat mai sus sunt suficiente.

Bibliografie.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru 8 celule. institutii de invatamant.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi alţii.Algebra şi începuturile analizei: un manual pentru clasele 10-11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice).

Prezența rădăcinilor pătrate în expresie complică procesul de împărțire, dar există reguli prin care lucrul cu fracții devine mult mai ușor.

Singurul lucru de care trebuie să ții cont tot timpul- expresiile radicale sunt împărțite în expresii radicale, iar factorii în factori. În procesul de împărțire a rădăcinilor pătrate, simplificăm fracția. De asemenea, amintiți-vă că rădăcina poate fi în numitor.

Metoda 1. Împărțirea expresiilor radicale

Algoritm de acțiune:

Scrieți o fracție

Dacă expresia nu este reprezentată ca o fracție, este necesar să o scrieți astfel, deoarece este mai ușor de urmat principiul împărțirii rădăcinilor pătrate.

Exemplul 1

144 ÷ 36 , această expresie ar trebui rescrisă astfel: 144 36

Utilizați un singur semn rădăcină

Dacă atât numărătorul, cât și numitorul conțin rădăcini pătrate, este necesar să scrieți expresiile rădăcinii lor sub același semn rădăcină pentru a ușura procesul de rezolvare.

Vă reamintim că o expresie radicală (sau număr) este o expresie sub semnul rădăcinii.

Exemplul 2

144 36 . Această expresie ar trebui scrisă astfel: 144 36

Divizarea expresiilor rădăcină

Doar împărțiți o expresie la alta și scrieți rezultatul sub semnul rădăcinii.

Exemplul 3

144 36 = 4 , scriem această expresie astfel: 144 36 = 4

Simplificați expresia radicală (dacă este necesar)

Dacă expresia rădăcină sau unul dintre factori este un pătrat perfect, simplificați acea expresie.

Amintiți-vă că un pătrat perfect este un număr care este pătratul unui număr întreg.

Exemplul 4

4 este un pătrat perfect deoarece 2 × 2 = 4. Prin urmare:

4 = 2 × 2 = 2. Prin urmare 144 36 = 4 = 2 .

Metoda 2. Descompunerea expresiei radicalului în factori

Algoritm de acțiune:

Scrieți o fracție

Rescrieți expresia ca o fracție (dacă este reprezentată ca atare). Acest lucru simplifică foarte mult procesul de împărțire a expresiilor cu rădăcini pătrate, mai ales la factorizare.

Exemplul 5

8 ÷ 36 , rescrie astfel 8 36

Factorizați fiecare dintre expresiile radicale

Factorizați numărul de sub rădăcină, ca orice alt întreg, scrieți doar factorii sub semnul rădăcinii.

Exemplul 6

8 36 = 2 x 2 x 2 6 x 6

Simplificați numărătorul și numitorul unei fracții

Pentru a face acest lucru, este necesar să eliminați factorii care sunt pătrate pline de sub semnul rădăcinii. Astfel, factorul expresiei rădăcinii devine factorul înainte de semnul rădăcinii.

Exemplul 7

2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2 , din care urmează: 8 36 = 2 2 6

Raționalizați numitorul (scăpați de rădăcină)

În matematică, există reguli conform cărora lăsarea rădăcinii în numitor este semn de prost gust, adică. este interzis. Dacă există o rădăcină pătrată în numitor, atunci scăpați de ea.

Înmulțiți numărătorul și numitorul cu rădăcina pătrată de care doriți să scăpați.

Exemplul 8

În expresia 6 2 3, trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul cu 3 pentru a scăpa de el la numitor:

6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3

Simplificați expresia rezultată (dacă este necesar)

Dacă numărătorul și numitorul conțin numere care pot și ar trebui reduse. Simplificați astfel de expresii așa cum ați face orice fracție.

Exemplul 9

2 6 simplifică la 1 3 ; deci 2 2 6 se simplifică la 1 2 3 = 2 3

Metoda 3. Împărțirea rădăcinilor pătrate cu factori

Algoritm de acțiune:

Simplificați multiplicatorii

Amintiți-vă că factorii sunt numerele din fața semnului rădăcinii. Pentru a simplifica factorii, va trebui să îi împărțiți sau să îi reduceți. Nu atingeți expresiile rădăcină!

Exemplul 10

4 32 6 16 . În primul rând, reducem 4 6: împărțim la 2 atât numărătorul, cât și numitorul: 4 6 \u003d 2 3.

Simplificați rădăcinile pătrate

Dacă numărătorul este divizibil egal cu numitorul, atunci împărțiți. Dacă nu, atunci simplificați expresiile radicale ca oricare alta.

Exemplul 11

32 este divizibil egal cu 16, deci: 32 16 = 2

Înmulțiți factorii simplificați cu rădăcini simplificate

Amintiți-vă regula: nu lăsați rădăcini în numitor. Prin urmare, pur și simplu înmulțim numărătorul și numitorul cu această rădăcină.

Exemplul 12

2 3 × 2 = 2 2 3

Raționalizați numitorul (scăpați de rădăcina din numitor)

Exemplul 13

4 3 2 7 . Înmulțiți numărătorul și numitorul cu 7 pentru a scăpa de rădăcina din numitor.

4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7

Metoda 4. Împărțirea printr-un binom cu rădăcină pătrată

Algoritm de acțiune:

Determinați dacă binomul (binomul) se află la numitor

Amintiți-vă că un binom este o expresie care include 2 monomii. Această metodă are loc numai în cazurile în care numitorul este un binom cu rădăcină pătrată.

Exemplul 14

1 5 + 2 - există un binom în numitor, deoarece există două monomii.

Găsiți expresia conjugată la binom

Amintiți-vă că binomul conjugat este un binom cu aceleași monomii, dar semne opuse. Pentru a simplifica expresia și a scăpa de rădăcina din numitor, ar trebui să înmulțiți binoamele conjugate.

Exemplul 15

5 + 2 și 5 - 2 sunt binoame conjugate.

Înmulțiți numărătorul și numitorul cu binomul care este conjugat cu binomul din numitor

Această opțiune vă va ajuta să scăpați de rădăcina din numitor, deoarece produsul binomurilor conjugate este egal cu diferența pătratelor fiecărui termen binom: (a - b) (a + b) = a 2 - b 2

Exemplul 16

1 5 + 2 = 1 (5 - 2) (5 - 2) (5 + 2) = 5 - 2 (5 2 - (2) 2 = 5 - 2 25 - 2 = 5 - 2 23 .

Din aceasta rezultă: 1 5 + 2 = 5 - 2 23 .

Sfat:

1. Dacă lucrați cu rădăcinile pătrate ale numerelor mixte, convertiți-le într-o fracție necorespunzătoare.
2. Diferența dintre adunarea și scăderea din împărțire este că expresiile radicale în cazul împărțirii nu sunt recomandate a fi simplificate (din cauza pătratelor pline).
3. Nu lăsa niciodată (!) rădăcina în numitor.
4. Fără zecimale sau amestecate înainte de rădăcină - trebuie să le convertiți într-o fracție obișnuită și apoi să simplificați.
5. Numitorul este suma sau diferența a două monomii? Înmulțiți un astfel de binom cu binomul său conjugat și scăpați de rădăcina din numitor.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Acest articol este o colecție de informații detaliate care tratează subiectul proprietăților rădăcinilor. Având în vedere subiectul, vom începe cu proprietățile, vom studia toate formulările și vom da dovezi. Pentru a consolida subiectul, vom lua în considerare proprietățile gradului al n-lea.

Proprietăți rădăcină

Vom vorbi despre proprietăți.

1. Proprietate numere înmulțite Ași b, care este reprezentat ca egalitatea a · b = a · b . Poate fi reprezentat ca multiplicatori, pozitivi sau egali cu zero a 1 , a 2 , … , a k ca a 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k ;
2. din privat a: b =   a: b, a ≥ 0, b > 0, se poate scrie și sub această formă a b = a b ;
3. Proprietate din puterea unui număr A cu un exponent par a 2 m = a m pentru orice număr A, de exemplu, o proprietate din pătratul unui număr a 2 = a .

În oricare dintre ecuațiile prezentate, puteți schimba părțile înainte și după semnul liniuței, de exemplu, egalitatea a · b = a · b este transformată ca a · b = a · b . Proprietățile de egalitate sunt adesea folosite pentru a simplifica ecuații complexe.

Dovada primelor proprietăți se bazează pe definiția rădăcinii pătrate și proprietățile puterilor cu indicator natural. Pentru a fundamenta a treia proprietate, este necesar să ne referim la definiția modulului unui număr.

În primul rând, este necesar să se demonstreze proprietățile rădăcinii pătrate a · b = a · b . Conform definiției, este necesar să se considere că a b este un număr, pozitiv sau egal cu zero, care va fi egal cu a bîn timpul construcției într-un pătrat. Valoarea expresiei a · b este pozitivă sau egală cu zero ca produs al numerelor nenegative. Proprietatea gradului de înmulțire a numerelor ne permite să reprezentăm egalitatea sub forma (a · b) 2 = a 2 · b 2 . După definiția rădăcinii pătrate a 2 = a și b 2 = b, atunci a · b 2 = a 2 · b 2 = a · b.

În mod similar, se poate dovedi că din produs k multiplicatori a 1 , a 2 , … , a k va fi egal cu produsul rădăcinilor pătrate ale acestor factori. Într-adevăr, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Din această egalitate rezultă că a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Să ne uităm la câteva exemple pentru a consolida subiectul.

Exemplul 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5 , 4 , 2 13 1 2 = 4 , 2 13 1 2 și 2 , 7 4 12 17 0 , 2 (1) = 2 , 7 4 12 17 0 . 2 (1) .

Este necesar să se demonstreze proprietatea rădăcinii pătrate aritmetice a coeficientului: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Proprietatea vă permite să scrieți egalitatea a: b 2 = a 2: b 2 și a 2: b 2 = a: b , în timp ce a: b este un număr pozitiv sau egal cu zero. Această expresie va fi dovada.

De exemplu, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 și 30, 121 = 30, 121.

Luați în considerare proprietatea rădăcinii pătrate a pătratului unui număr. Se poate scrie ca o egalitate ca a 2 = a Pentru a demonstra această proprietate, este necesar să luăm în considerare în detaliu mai multe egalități pentru a ≥ 0 iar la A< 0 .

Evident, pentru a ≥ 0, egalitatea a 2 = a este adevărată. La A< 0 egalitatea a 2 = - a va fi adevărată. De fapt, în acest caz − a > 0și (− a) 2 = a 2 . Putem concluziona că a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 2

5 2 = 5 = 5 și - 0. 36 2 = - 0. 36 = 0. 36 .

Proprietatea dovedită va ajuta la justificarea a 2 m = a m , unde A- real, și m-numar natural. Într-adevăr, proprietatea de exponențiere ne permite să înlocuim gradul a 2 m expresie (sunt) 2, atunci a 2 · m = (a m) 2 = a m .

Exemplul 3

3 8 = 3 4 = 3 4 și (- 8 , 3) ​​​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​​​7 .

Proprietățile rădăcinii a n-a

Mai întâi trebuie să luați în considerare principalele proprietăți ale rădăcinilor de gradul al n-lea:

1. Proprietate din produsul numerelor Ași b, care sunt pozitive sau egale cu zero, pot fi exprimate ca egalitatea a b n = a n b n , această proprietate este valabilă pentru produs k numere a 1 , a 2 , … , a k ca a 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n ;
2. dintr-un număr fracționar are proprietatea a b n = a n b n , unde A este orice număr real care este pozitiv sau egal cu zero și b este un număr real pozitiv;
3. Pentru orice Ași numere pare n = 2 m a 2 m 2 m = a este adevărată, iar pentru impar n = 2 m − 1 egalitatea a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a este îndeplinită.
4. Proprietatea de extragere din a m n = a n m , unde A- orice număr, pozitiv sau egal cu zero, nși m – numere întregi, această proprietate poate fi reprezentată și ca. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . nk ;
5. Pentru orice a nenegativ și arbitrar nși m, care sunt naturale, se poate defini și egalitatea justă a m n · m = a n ;
6. proprietatea gradului n din puterea unui număr A, care este pozitiv sau egal cu zero, în natură m, definit prin egalitatea a m n = a n m ;
7. Proprietatea comparației care au aceiași exponenți: pentru orice numere pozitive Ași b astfel încât A< b , inegalitatea a n< b n ;
8. Proprietatea comparațiilor care au aceleași numere sub rădăcină: dacă mși n- numere naturale care m > n, apoi la 0 < a < 1 inegalitatea a m > a n este valabilă, iar pentru a > 1 a m< a n .

Ecuațiile de mai sus sunt valabile dacă părțile înainte și după semnul egal sunt inversate. Ele pot fi folosite și în această formă. Acesta este adesea folosit în timpul simplificării sau transformării expresiilor.

Dovada proprietăților de mai sus ale rădăcinii se bazează pe definiția, proprietățile gradului și definiția modulului unui număr. Aceste proprietăți trebuie dovedite. Dar totul este în ordine.

1. În primul rând, vom demonstra proprietățile rădăcinii de gradul al n-lea din produsul a · b n = a n · b n . Pentru Ași b, care sunteți pozitiv sau zero , valoarea a n · b n este de asemenea pozitivă sau egală cu zero, deoarece este o consecință a înmulțirii numerelor nenegative. Proprietatea unui produs de putere naturală ne permite să scriem egalitatea a n · b n n = a n n · b n n . Prin definiția rădăcinii n gradul a n n = a și b n n = b , prin urmare, a n · b n n = a · b . Egalitatea rezultată este exact ceea ce trebuia să fie demonstrat.

Această proprietate este dovedită în mod similar pentru produs k factori: pentru numere nenegative a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Iată exemple de utilizare a proprietății root n a-a putere din produs: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 și 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

1. Să demonstrăm proprietatea rădăcinii coeficientului a b n = a n b n . La a ≥ 0și b > 0 condiția a n b n ≥ 0 este îndeplinită, iar a n b n n = a n n b n n = a b .

Să arătăm exemple:

Exemplul 4

8 27 3 = 8 3 27 3 și 2 , 3 10: 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

1. Pentru pasul următor, este necesar să se demonstreze proprietățile gradului al n-lea de la număr la grad n. Reprezentăm aceasta ca o egalitate a 2 m 2 m = a și a 2 m - 1 2 m - 1 = a pentru orice real A si naturala m. La a ≥ 0 obținem a = a și a 2 m = a 2 m , ceea ce demonstrează egalitatea a 2 m 2 m = a , iar egalitatea a 2 m - 1 2 m - 1 = a este evidentă. La A< 0 obţinem respectiv a = - a şi a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m . Ultima transformare a numărului este valabilă în funcție de proprietatea gradului. Acesta este ceea ce demonstrează egalitatea a 2 m 2 m \u003d a, iar a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a va fi adevărată, deoarece - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m este considerată pentru un impar grad - 1 pentru orice număr c , pozitiv sau egal cu zero.

Pentru a consolida informațiile primite, luați în considerare câteva exemple de utilizare a proprietății:

Exemplul 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5 ) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 și (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

1. Să demonstrăm următoarea egalitate a m n = a n · m . Pentru a face acest lucru, trebuie să schimbați numerele dinaintea semnului egal și după acesta în locuri a n · m = a m n . Aceasta va indica intrarea corectă. Pentru A , ceea ce este pozitiv sau egal cu zero , din forma a m n este un număr pozitiv sau egal cu zero. Să ne întoarcem la proprietatea de a ridica o putere la o putere și la definiție. Cu ajutorul lor, puteți transforma egalități sub forma a m n n · m = a m n n m = a m m = a . Aceasta dovedește proprietatea considerată a unei rădăcini dintr-o rădăcină.

Alte proprietăți sunt dovedite în mod similar. Într-adevăr, . . . a n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . nk = . . . a n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . nk = . . . a nk n 4 n 3 n 3 n 4 . . . nk = . . . = a n k n k = a .

De exemplu, 7 3 5 = 7 5 3 și 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

1. Să demonstrăm următoarea proprietate a m n · m = a n . Pentru a face acest lucru, este necesar să arătăm că un n este un număr care este pozitiv sau egal cu zero. Când este ridicat la o putere n m este a m. Dacă numărul A este pozitiv sau zero, atunci n gradul dintre A este un număr pozitiv sau egal cu zero Mai mult, a n · m n = a n n m , care urma să fie demonstrat.

Pentru a consolida cunoștințele dobândite, luați în considerare câteva exemple.

1. Să demonstrăm următoarea proprietate - proprietatea rădăcinii puterii formei a m n = a n m . Este evident că la a ≥ 0 gradul a n m este un număr nenegativ. Mai mult, ea n-gradul este egal cu a m, într-adevăr, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Aceasta dovedește proprietatea considerată a gradului.

De exemplu, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

1. Trebuie să dovedim asta pentru orice numere pozitive Ași b A< b . Se consideră inegalitatea a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию A< b . Prin urmare, un n< b n при A< b .

De exemplu, dăm 12 4< 15 2 3 4 .

1. Luați în considerare proprietatea rădăcină n- gradul. În primul rând, luați în considerare prima parte a inegalității. La m > nși 0 < a < 1 adevărat a m > a n . Să presupunem că a m ≤ a n . Proprietățile vor simplifica expresia la a n m · n ≤ a m m · n . Atunci, conform proprietăților unui grad cu exponent natural, inegalitatea a n m n m n ≤ a m m n m n este satisfăcută, adică a n ≤ a m. Valoarea obtinuta la m > nși 0 < a < 1 nu se potrivește cu proprietățile de mai sus.

În același mod, se poate dovedi că m > nși a > 1 condiție a m< a n .

Pentru a remedia proprietățile de mai sus, luați în considerare câteva exemple concrete. Luați în considerare inegalitățile folosind numere specifice.

Exemplul 6

0 , 7 3 > 0 , 7 5 și 12 > 12 7 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Înainte de apariția calculatoarelor, elevii și profesorii calculau manual rădăcinile pătrate. Există mai multe moduri de a calcula manual rădăcina pătrată a unui număr. Unele dintre ele oferă doar o soluție aproximativă, altele oferă un răspuns exact.

Pași

factorizare primara

Factorizați numărul rădăcinii în factori care sunt numere pătrate.În funcție de numărul rădăcinii, veți obține un răspuns aproximativ sau exact. Numerele pătrate sunt numere din care poate fi luată întreaga rădăcină pătrată. Factorii sunt numere care, atunci când sunt înmulțite, dau numărul inițial. De exemplu, factorii numărului 8 sunt 2 și 4, deoarece 2 x 4 = 8, numerele 25, 36, 49 sunt numere pătrate, deoarece √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Factori pătrați sunt factori, care sunt numere pătrate. Mai întâi, încercați să factorizați numărul rădăcinii în factori pătrați.

• De exemplu, calculați rădăcina pătrată a lui 400 (manual). Mai întâi încercați să factorizați 400 în factori pătrați. 400 este un multiplu al lui 100, adică divizibil cu 25 - acesta este un număr pătrat. Împărțirea a 400 la 25 dă 16. Numărul 16 este, de asemenea, un număr pătrat. Astfel, 400 poate fi factorizat în factori pătrați de 25 și 16, adică 25 x 16 = 400.
• Aceasta poate fi scrisă după cum urmează: √400 = √(25 x 16).

1. Rădăcina pătrată a produsului unor termeni este egală cu produsul rădăcinilor pătrate ale fiecărui termen, adică √(a x b) = √a x √b. Utilizați această regulă și luați rădăcina pătrată a fiecărui factor pătrat și înmulțiți rezultatele pentru a găsi răspunsul.

   • În exemplul nostru, luați rădăcina pătrată a lui 25 și 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Dacă numărul rădăcinii nu se împarte în doi factori pătrați (și o face în majoritatea cazurilor), nu veți putea găsi răspunsul exact sub forma unui număr întreg. Dar puteți simplifica problema prin descompunerea numărului rădăcinii într-un factor pătrat și un factor obișnuit (un număr din care nu poate fi luată întreaga rădăcină pătrată). Apoi veți lua rădăcina pătrată a factorului pătrat și veți lua rădăcina factorului obișnuit.

   • De exemplu, calculați rădăcina pătrată a numărului 147. Numărul 147 nu poate fi factorizat în doi factori pătrați, dar poate fi factorizat în următorii factori: 49 și 3. Rezolvați problema după cum urmează:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Dacă este necesar, evaluați valoarea rădăcinii. Acum puteți evalua valoarea rădăcinii (găsiți o valoare aproximativă) comparând-o cu valorile rădăcinilor numerelor pătrate care sunt cel mai apropiate (pe ambele părți ale dreptei numerice) de numărul rădăcinii. Veți obține valoarea rădăcinii ca o fracție zecimală, care trebuie înmulțită cu numărul din spatele semnului rădăcinii.

   • Să revenim la exemplul nostru. Numărul rădăcină este 3. Cele mai apropiate numere pătrate de acesta sunt numerele 1 (√1 = 1) și 4 (√4 = 2). Astfel, valoarea lui √3 se află între 1 și 2. Deoarece valoarea lui √3 este probabil mai aproape de 2 decât de 1, estimarea noastră este: √3 = 1,7. Înmulțim această valoare cu numărul de la semnul rădăcinii: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Dacă faceți calculele pe un calculator, obțineți 12,13, care este destul de aproape de răspunsul nostru.
     • Această metodă funcționează și cu numere mari. De exemplu, luați în considerare √35. Numărul rădăcină este 35. Cele mai apropiate numere pătrate de acesta sunt numerele 25 (√25 = 5) și 36 (√36 = 6). Astfel, valoarea lui √35 se află între 5 și 6. Deoarece valoarea lui √35 este mult mai aproape de 6 decât de 5 (deoarece 35 este doar cu 1 mai mic decât 36), putem afirma că √35 este puțin mai mic decât 6. Verificarea cu un calculator ne dă răspunsul 5.92 - am avut dreptate.

4. Altă cale - factorizează numărul rădăcină în factori primi . Factorii primi sunt numere care sunt divizibile doar cu 1 și cu ele însele. Scrieți factorii primi într-un rând și găsiți perechi de factori identici. Astfel de factori pot fi scoși din semnul rădăcinii.

   • De exemplu, calculați rădăcina pătrată a lui 45. Descompunem numărul rădăcinii în factori primi: 45 \u003d 9 x 5 și 9 \u003d 3 x 3. Astfel, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 poate fi scos din semnul rădăcinii: √45 = 3√5. Acum putem estima √5.
   • Luați în considerare un alt exemplu: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Ai trei multiplicatori 2; ia câteva dintre ele și scoate-le din semnul rădăcinii.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Acum putem evalua √2 și √11 și găsim un răspuns aproximativ.

   Calcularea manuală a rădăcinii pătrate

   Folosind împărțirea coloanelor

   1. Această metodă implică un proces similar cu diviziunea lungă și oferă un răspuns precis. Mai întâi, trageți o linie verticală care împarte foaia în două jumătăți, apoi trageți o linie orizontală la dreapta și puțin sub marginea superioară a foii până la linia verticală. Acum împărțiți numărul rădăcină în perechi de numere, începând cu partea fracțională după virgulă zecimală. Deci, numărul 79520789182.47897 este scris „7 95 20 78 91 82, 47 89 70”.

      • De exemplu, să calculăm rădăcina pătrată a numărului 780,14. Desenați două linii (cum se arată în imagine) și scrieți numărul din stânga sus ca „7 80, 14”. Este normal ca prima cifră din stânga să fie o cifră nepereche. Răspunsul (rădăcina numărului dat) va fi scris în dreapta sus.

   2. Având în vedere prima pereche de numere (sau un număr) din stânga, găsiți cel mai mare număr întreg n al cărui pătrat este mai mic sau egal cu perechea de numere (sau un număr) în cauză. Cu alte cuvinte, găsiți numărul pătrat care este cel mai aproape de, dar mai mic decât, prima pereche de numere (sau un singur număr) din stânga și luați rădăcina pătrată a acelui număr pătrat; veți obține numărul n. Scrieți n găsit în dreapta sus și notează pătratul n în dreapta jos.

      • În cazul nostru, primul număr din stânga va fi numărul 7. În continuare, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Scădeți pătratul numărului n pe care tocmai l-ați găsit din prima pereche de numere (sau un număr) din stânga. Scrieți rezultatul calculului sub subtraendă (pătratul numărului n).

      • În exemplul nostru, scădeți 4 din 7 pentru a obține 3.

   4. Luați a doua pereche de numere și scrieți-o lângă valoarea obținută la pasul anterior. Apoi dublați numărul din dreapta sus și scrieți rezultatul în dreapta jos cu „_×_=" atașat.

      • În exemplul nostru, a doua pereche de numere este „80”. Scrieți „80” după 3. Apoi, dublarea numărului din dreapta sus dă 4. Scrieți „4_×_=" din dreapta jos.

   5. Completați spațiile libere din dreapta.

      • În cazul nostru, dacă în loc de liniuțe punem numărul 8, atunci 48 x 8 \u003d 384, care este mai mult de 380. Prin urmare, 8 este un număr prea mare, dar 7 este bine. Scrieți 7 în loc de liniuțe și obțineți: 47 x 7 \u003d 329. Scrieți 7 din dreapta sus - aceasta este a doua cifră din rădăcina pătrată dorită a numărului 780,14.

   6. Scădeți numărul rezultat din numărul curent din stânga. Scrieți rezultatul de la pasul anterior sub numărul curent din stânga, găsiți diferența și scrieți-o sub cel scăzut.

      • În exemplul nostru, scădeți 329 din 380, care este egal cu 51.

   7. Repetați pasul 4. Dacă perechea de numere demolată este partea fracțională a numărului inițial, atunci puneți separatorul (virgulă) dintre părțile întregi și fracționale în rădăcina pătrată dorită din dreapta sus. În stânga, duceți în jos următoarea pereche de numere. Dublați numărul din dreapta sus și scrieți rezultatul în dreapta jos cu „_×_=" atașat.

      • În exemplul nostru, următoarea pereche de numere care va fi demolată va fi partea fracționară a numărului 780,14, așa că puneți separatorul întregului și al părților fracționale în rădăcina pătrată necesară din dreapta sus. Demolați 14 și scrieți în stânga jos. Dublul din dreapta sus (27) este 54, așa că scrieți „54_×_=" în dreapta jos.

   8. Repetați pașii 5 și 6. Găsiți cel mai mare număr în locul liniuțelor din dreapta (în loc de liniuțe trebuie să înlocuiți același număr), astfel încât rezultatul înmulțirii să fie mai mic sau egal cu numărul curent din stânga.

      • În exemplul nostru, 549 x 9 = 4941, care este mai mic decât numărul curent din stânga (5114). Scrieți 9 în dreapta sus și scădeți rezultatul înmulțirii din numărul curent din stânga: 5114 - 4941 = 173.

   9. Dacă trebuie să găsiți mai multe zecimale pentru rădăcina pătrată, scrieți o pereche de zerouri lângă numărul curent din stânga și repetați pașii 4, 5 și 6. Repetați pașii până când obțineți exactitatea răspunsului de care aveți nevoie (număr de zecimale).

   Înțelegerea procesului

   Pentru a stăpâni această metodă, imaginați-vă numărul a cărui rădăcină pătrată trebuie să o găsiți ca aria pătratului S. În acest caz, veți căuta lungimea laturii L a unui astfel de pătrat. Calculați valoarea lui L pentru care L² = S.

   Introduceți o literă pentru fiecare cifră din răspunsul dvs. Notați cu A prima cifră din valoarea lui L (rădăcina pătrată dorită). B va fi a doua cifră, C a treia și așa mai departe.

   Specificați o literă pentru fiecare pereche de cifre de început. Notăm cu S a prima pereche de cifre din valoarea S, cu S b a doua pereche de cifre și așa mai departe.

   Explicați legătura acestei metode cu diviziunea lungă. Ca și în operația de împărțire, unde de fiecare dată ne interesează doar o cifră următoare a numărului divizibil, atunci când calculăm rădăcina pătrată, lucrăm cu o pereche de cifre în succesiune (pentru a obține următoarea cifră din valoarea rădăcinii pătrate) .

   1. Luați în considerare prima pereche de cifre Sa a numărului S (Sa = 7 în exemplul nostru) și găsiți rădăcina pătrată a acestuia.În acest caz, prima cifră A a valorii căutate a rădăcinii pătrate va fi o astfel de cifră, al cărei pătrat este mai mic sau egal cu S a (adică căutăm un astfel de A care să satisfacă inegalitatea A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Să presupunem că trebuie să împărțim 88962 la 7; aici primul pas va fi similar: luăm în considerare prima cifră a numărului divizibil 88962 (8) și selectăm cel mai mare număr care, înmulțit cu 7, dă o valoare mai mică sau egală cu 8. Adică căutăm un număr d pentru care inegalitatea este adevărată: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

Felicitări: astăzi vom analiza rădăcinile - unul dintre cele mai uluitoare subiecte ale clasei a VIII-a. :)

Mulți oameni se încurcă în legătură cu rădăcinile, nu pentru că sunt complexe (ceea ce este complicat - câteva definiții și încă câteva proprietăți), ci pentru că în majoritatea manualelor școlare rădăcinile sunt definite prin astfel de sălbăticii încât doar autorii manualelor înșiși poate înțelege această mâzgălire. Și chiar și atunci doar cu o sticlă de whisky bun. :)

Prin urmare, acum voi da cea mai corectă și mai competentă definiție a rădăcinii - singura pe care trebuie să o amintiți cu adevărat. Și numai atunci voi explica: de ce toate acestea sunt necesare și cum să le aplici în practică.

Dar mai întâi amintește-ți una punct important, despre care mulți compilatori de manuale din anumite motive „uită”:

Rădăcinile pot fi de grad par (preferatul nostru $\sqrt(a)$, precum și orice $\sqrt(a)$ și $\sqrt(a)$) și grad impar (orice $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ etc.). Și definiția rădăcinii unui grad impar este oarecum diferită de cea pară.

Aici, în acest nenorocit de „oarecum diferit” este ascuns, probabil, 95% din toate erorile și neînțelegerile asociate cu rădăcinile. Deci, să clarificăm terminologia odată pentru totdeauna:

Definiție. Chiar și rădăcină n din numărul $a$ este oricare nenegativ un număr $b$ astfel încât $((b)^(n))=a$. Și rădăcina unui grad impar din același număr $a$ este în general orice număr $b$ pentru care aceeași egalitate este valabilă: $((b)^(n))=a$.

În orice caz, rădăcina se notează astfel:

\(A)\]

Numărul $n$ într-o astfel de notație se numește exponent rădăcină, iar numărul $a$ se numește expresie radicală. În special, pentru $n=2$ obținem rădăcina noastră pătrată „favorită” (apropo, aceasta este o rădăcină de grad par), iar pentru $n=3$ obținem o rădăcină cubică (un grad impar), care se găsește adesea și în probleme și ecuații.

Exemple. Exemple clasice de rădăcini pătrate:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]

Apropo, $\sqrt(0)=0$ și $\sqrt(1)=1$. Acest lucru este destul de logic deoarece $((0)^(2))=0$ și $((1)^(2))=1$.

Rădăcinile cubice sunt, de asemenea, comune - nu vă fie frică de ele:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]

Ei bine, câteva „exemple exotice”:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]

Dacă nu înțelegeți care este diferența dintre un grad par și unul impar, recitiți din nou definiția. Este foarte important!

Între timp, vom lua în considerare o caracteristică neplăcută a rădăcinilor, din cauza căreia a trebuit să introducem o definiție separată pentru exponenții pari și impari.

De ce avem nevoie de rădăcini?

După ce au citit definiția, mulți studenți vor întreba: „Ce au fumat matematicienii când au venit cu asta?” Și într-adevăr: de ce avem nevoie de toate aceste rădăcini?

Pentru a răspunde la această întrebare, să ne întoarcem pentru un moment la școala elementară. Amintiți-vă: în acelea vremuri îndepărtate când copacii erau mai verzi și găluștele mai gustoase, principala noastră preocupare era să înmulțim corect cifrele. Ei bine, ceva în spiritul „cinci pe cinci – douăzeci și cinci”, asta-i tot. Dar, la urma urmei, puteți înmulți numerele nu în perechi, ci în tripleți, patru și, în general, seturi întregi:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Cu toate acestea, nu acesta este ideea. Trucul este diferit: matematicienii sunt leneși, așa că au fost nevoiți să noteze înmulțirea a zece cinci astfel:

Așa că au venit cu diplome. De ce să nu scrieți numărul de factori ca un superscript în loc de un șir lung? Ca acesta:

Este foarte convenabil! Toate calculele sunt reduse de câteva ori și nu puteți cheltui o grămadă de foi de pergament de caiete pentru a nota niște 5 183 . O astfel de intrare a fost numită gradul unui număr, s-au găsit o grămadă de proprietăți în ea, dar fericirea s-a dovedit a fi de scurtă durată.

După o băutură grandioasă, care a fost organizată doar despre „descoperirea” gradelor, un matematician special împodobit a întrebat brusc: „Dacă știm gradul unui număr, dar nu știm numărul în sine?” Într-adevăr, dacă știm că un anumit număr $b$, de exemplu, dă 243 puterii a 5-a, atunci cum putem ghici cu ce este egal însuși numărul $b$?

Această problemă s-a dovedit a fi mult mai globală decât ar părea la prima vedere. Pentru că s-a dovedit că pentru majoritatea diplomelor „gata făcute” nu există astfel de numere „inițiale”. Judecă singur:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(align)\]

Ce se întâmplă dacă $((b)^(3))=50$? Se pare că trebuie să găsiți un anumit număr, care, atunci când este înmulțit cu el însuși de trei ori, ne va da 50. Dar care este acest număr? Este clar mai mare decât 3 deoarece 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. adică acest număr se află undeva între trei și patru, dar cu ce este egal - FIG veți înțelege.

Acesta este motivul pentru care matematicienii au venit cu $n$-a rădăcini. De aceea a fost introdusă pictograma radical $\sqrt(*)$. Pentru a desemna același număr $b$, care, la puterea specificată, ne va da o valoare cunoscută anterior

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

Nu argumentez: adesea aceste rădăcini sunt ușor de luat în considerare - am văzut mai sus mai multe astfel de exemple. Dar totuși, în cele mai multe cazuri, dacă te gândești la un număr arbitrar și apoi încerci să extragi rădăcina unui grad arbitrar din acesta, te afli într-o dezamăgire crudă.

Ce este acolo! Chiar și cel mai simplu și mai familiar $\sqrt(2)$ nu poate fi reprezentat în forma noastră obișnuită - ca un întreg sau o fracție. Și dacă introduceți acest număr într-un calculator, veți vedea asta:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

După cum puteți vedea, după virgulă zecimală există o succesiune nesfârșită de numere care nu respectă nicio logică. Puteți, desigur, să rotunjiți acest număr pentru a compara rapid cu alte numere. De exemplu:

\[\sqrt(2)=1,4142...\aproximativ 1,4 \lt 1,5\]

Sau iată un alt exemplu:

\[\sqrt(3)=1,73205...\aproximativ 1,7 \gt 1,5\]

Dar toate aceste rotunjiri sunt, în primul rând, destul de aspre; și în al doilea rând, lucrează cu valori aproximative trebuie și să poți, altfel poți prinde o grămadă de greșeli neevidente (apropo, priceperea de comparare și rotunjire este neapărat verificată la examenul de profil).

Prin urmare, în matematica serioasă, nu se poate face fără rădăcini - sunt aceiași reprezentanți egali ai mulțimii tuturor numerelor reale $\mathbb(R)$, precum fracțiile și numerele întregi pe care le cunoaștem de mult.

Imposibilitatea reprezentării rădăcinii ca o fracție de forma $\frac(p)(q)$ înseamnă că această rădăcină nu este un număr rațional. Astfel de numere se numesc iraționale și nu pot fi reprezentate cu acuratețe decât cu ajutorul unui radical, sau a altor construcții special concepute pentru aceasta (logaritmi, grade, limite etc.). Dar mai multe despre asta altă dată.

Luați în considerare câteva exemple în care, după toate calculele, numerele iraționale vor rămâne în continuare în răspuns.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\aproximativ 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\aprox -1,2599... \\ \end(align)\]

Desigur, de către aspect rădăcina este aproape imposibil de ghicit ce numere vor veni după virgulă. Cu toate acestea, este posibil să se calculeze pe un calculator, dar chiar și cel mai avansat calculator de dată ne oferă doar primele câteva cifre ale unui număr irațional. Prin urmare, este mult mai corect să scrieți răspunsurile ca $\sqrt(5)$ și $\sqrt(-2)$.

Pentru asta au fost inventate. Pentru a fi ușor de scris răspunsurile.

De ce sunt necesare două definiții?

Cititorul atent a observat probabil deja că toate rădăcinile pătrate date în exemple sunt luate din numere pozitive. Ei bine, cel puțin de la zero. Dar rădăcinile cubice sunt extrase cu calm din absolut orice număr - chiar pozitiv, chiar negativ.

De ce se întâmplă asta? Aruncă o privire la graficul funcției $y=((x)^(2))$:

Programa funcţie pătratică dă două rădăcini: pozitivă și negativă

Să încercăm să calculăm $\sqrt(4)$ folosind acest grafic. Pentru a face acest lucru, pe grafic este trasată o linie orizontală $y=4$ (marcată cu roșu), care intersectează parabola în două puncte: $((x)_(1))=2$ și $((x) _(2)) =-2$. Acest lucru este destul de logic, deoarece

Totul este clar cu primul număr - este pozitiv, prin urmare este rădăcina:

Dar atunci ce să faci cu al doilea punct? Cele 4 au două rădăcini deodată? La urma urmei, dacă pătratăm numărul −2, obținem și 4. De ce să nu scriem $\sqrt(4)=-2$ atunci? Și de ce se uită profesorii la astfel de înregistrări de parcă ar vrea să te mănânce? :)

Problema este că, dacă nu sunt impuse condiții suplimentare, atunci cei patru vor avea două rădăcini pătrate - pozitive și negative. Și orice număr pozitiv va avea și două dintre ele. Dar numerele negative nu vor avea deloc rădăcini - acest lucru poate fi văzut din același grafic, deoarece parabola nu cade niciodată sub axă y, adică nu ia valori negative.

O problemă similară apare pentru toate rădăcinile cu exponent par:

1. Strict vorbind, fiecare număr pozitiv va avea două rădăcini cu exponent par $n$;
2. Din numere negative, rădăcina cu $n$ chiar nu este extrasă deloc.

De aceea, definiția unei rădăcini pare $n$ prevede în mod specific că răspunsul trebuie să fie un număr nenegativ. Așa scăpăm de ambiguitate.

Dar pentru $n$ impar nu există o astfel de problemă. Pentru a vedea asta, să aruncăm o privire la graficul funcției $y=((x)^(3))$:

Parabola cubică ia orice valoare, astfel încât rădăcina cubică poate fi luată din orice număr

Din acest grafic se pot trage două concluzii:

1. Ramurile unei parabole cubice, spre deosebire de cea obișnuită, merg la infinit în ambele direcții - atât în ​​sus, cât și în jos. Prin urmare, la orice înălțime tragem o linie orizontală, această linie se va intersecta cu siguranță cu graficul nostru. Prin urmare, rădăcina cubă poate fi luată întotdeauna, absolut din orice număr;
2. În plus, o astfel de intersecție va fi întotdeauna unică, așa că nu trebuie să vă gândiți ce număr să luați în considerare rădăcina „corectă” și care să punctați. De aceea, definirea rădăcinilor pentru un grad impar este mai simplă decât pentru unul par (nu există o cerință de non-negativitate).

Păcat că aceste lucruri simple nu sunt explicate în majoritatea manualelor. În schimb, creierul nostru începe să se înalțe cu tot felul de rădăcini aritmetice și proprietățile lor.

Da, nu argumentez: ce este o rădăcină aritmetică - trebuie să știi și tu. Și voi vorbi despre asta în detaliu într-o lecție separată. Astăzi vom vorbi și despre asta, pentru că fără ea, toate reflecțiile asupra rădăcinilor multiplicității $n$-a ar fi incomplete.

Dar mai întâi trebuie să înțelegeți clar definiția pe care am dat-o mai sus. În caz contrar, din cauza abundenței de termeni, în capul tău va începe o astfel de mizerie încât până la urmă nu vei înțelege absolut nimic.

Și tot ce trebuie să înțelegeți este diferența dintre numerele pare și impare. Prin urmare, vom colecta încă o dată tot ce trebuie să știți despre rădăcini:

1. O rădăcină pară există numai dintr-un număr nenegativ și este ea însăși întotdeauna un număr nenegativ. Pentru numerele negative, o astfel de rădăcină este nedefinită.
2. Dar rădăcina unui grad impar există din orice număr și poate fi ea însăși orice număr: pentru numerele pozitive este pozitivă, iar pentru numerele negative, după cum indică capacul, este negativă.

Este dificil? Nu, nu este greu. Lesne de înțeles? Da, este evident! Prin urmare, acum vom exersa puțin cu calculele.

Proprietăți de bază și limitări

Rădăcinile au o mulțime de proprietăți și restricții ciudate - aceasta va fi o lecție separată. Prin urmare, acum vom lua în considerare doar cel mai important „cip”, care se aplică numai rădăcinilor cu un exponent uniform. Scriem această proprietate sub forma unei formule:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\dreapta|\]

Cu alte cuvinte, dacă ridicăm un număr la o putere pară și apoi extragem rădăcina de același grad din aceasta, vom obține nu numărul original, ci modulul său. Aceasta este o teoremă simplă care este ușor de demonstrat (este suficient să luăm în considerare separat $x$ nenegativi și apoi să le luăm separat pe cele negative). Profesorii vorbesc constant despre asta, o dau în fiecare manual scolar. Dar de îndată ce vine vorba de rezolvarea ecuațiilor iraționale (adică ecuații care conțin semnul radicalului), studenții uită împreună această formulă.

Pentru a înțelege problema în detaliu, să uităm toate formulele pentru un minut și să încercăm să numărăm două numere înainte:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Aceasta este foarte exemple simple. Primul exemplu va fi rezolvat de majoritatea oamenilor, dar pe al doilea, mulți se lipesc. Pentru a rezolva orice astfel de prostie fără probleme, luați în considerare întotdeauna procedura:

1. În primul rând, numărul este ridicat la a patra putere. Ei bine, e cam ușor. Se va obține un nou număr, care poate fi găsit chiar și în tabelul înmulțirii;
2. Și acum din acest număr nou este necesar să extragem rădăcina gradului al patrulea. Acestea. nu există o „reducere” a rădăcinilor și gradelor - acestea sunt acțiuni secvențiale.

Să ne ocupăm de prima expresie: $\sqrt(((3)^(4)))$. Evident, mai întâi trebuie să calculați expresia sub rădăcină:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Apoi extragem a patra rădăcină a numărului 81:

Acum să facem același lucru cu a doua expresie. În primul rând, ridicăm numărul -3 la a patra putere, pentru care trebuie să-l înmulțim cu el însuși de 4 ori:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ stânga(-3 \dreapta)=81\]

Am primit un număr pozitiv, deoarece numărul total de minusuri din produs este de 4 bucăți și toate se vor anula reciproc (la urma urmei, un minus cu un minus dă un plus). Apoi, extrageți din nou rădăcina:

În principiu, această linie nu a putut fi scrisă, deoarece este o idee deloc că răspunsul va fi același. Acestea. o rădăcină uniformă a aceleiași puteri uniforme „arde” minusurile și, în acest sens, rezultatul nu se poate distinge de modulul obișnuit:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(align)\]

Aceste calcule sunt în acord cu definiția rădăcinii unui grad par: rezultatul este întotdeauna nenegativ, iar semnul radical este întotdeauna un număr nenegativ. În caz contrar, rădăcina nu este definită.

Notă privind ordinea operațiunilor

1. Notația $\sqrt(((a)^(2)))$ înseamnă că mai întâi pătratăm numărul $a$ și apoi luăm rădăcina pătrată a valorii rezultate. Prin urmare, putem fi siguri că un număr nenegativ se află întotdeauna sub semnul rădăcinii, deoarece $((a)^(2))\ge 0$ oricum;
2. Dar notația $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, dimpotrivă, înseamnă că mai întâi extragem rădăcina dintr-un anumit număr $a$ și abia apoi pătratăm rezultatul. Prin urmare, numărul $a$ în ​​niciun caz nu poate fi negativ - aceasta este o cerință obligatorie încorporată în definiție.

Astfel, în niciun caz nu ar trebui să reducă neatenționat rădăcinile și gradele, presupunând astfel „simplificând” expresia originală. Pentru că dacă există un număr negativ sub rădăcină, iar exponentul său este par, vom avea o mulțime de probleme.

Cu toate acestea, toate aceste probleme sunt relevante doar pentru indicatori egali.

Eliminarea semnului minus de sub semnul rădăcină

Desigur, rădăcinile cu exponenți impari au și propria lor trăsătură, care, în principiu, nu există pentru cei pare. Și anume:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Pe scurt, puteți scoate un minus de sub semnul rădăcinilor unui grad impar. Aceasta este o proprietate foarte utilă care vă permite să „aruncați” toate minusurile:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]

Această proprietate simplă simplifică foarte mult multe calcule. Acum nu trebuie să vă faceți griji: ce se întâmplă dacă o expresie negativă a intrat sub rădăcină și gradul de la rădăcină s-a dovedit a fi egal? Este suficient doar să „aruncăm” toate minusurile din afara rădăcinilor, după care pot fi înmulțite între ele, împărțite și, în general, facem multe lucruri suspecte, care în cazul rădăcinilor „clasice” sunt garantate să ne conducă la un eroare.

Și aici intră în scenă o altă definiție - tocmai cea cu care majoritatea școlilor încep studiul expresiilor iraționale. Și fără de care raționamentul nostru ar fi incomplet. Întâlni!

rădăcină aritmetică

Să presupunem pentru o clipă că numai numerele pozitive sau, în cazuri extreme, zero pot fi sub semnul rădăcinii. Să punctăm pe indicatorii par / impar, să punctăm pe toate definițiile date mai sus - vom lucra numai cu numere nenegative. Ce atunci?

Și apoi obținem rădăcina aritmetică - se intersectează parțial cu definițiile noastre „standard”, dar tot diferă de ele.

Definiție. O rădăcină aritmetică a gradului $n$ al unui număr nenegativ $a$ este un număr nenegativ $b$ astfel încât $((b)^(n))=a$.

După cum puteți vedea, nu ne mai interesează paritatea. În schimb, a apărut o nouă restricție: expresia radicală este acum întotdeauna nenegativă, iar rădăcina însăși este, de asemenea, nenegativă.

Pentru a înțelege mai bine cum diferă rădăcina aritmetică de cea obișnuită, aruncați o privire la graficele parabolei pătrate și cubice deja familiare nouă:

Zona de căutare rădăcină - numere nenegative

După cum puteți vedea, de acum înainte, ne interesează doar acele bucăți de grafice care sunt situate în primul trimestru de coordonate - unde coordonatele $x$ și $y$ sunt pozitive (sau cel puțin zero). Nu mai trebuie să te uiți la indicator pentru a înțelege dacă avem dreptul de a înrădăcina un număr negativ sau nu. Pentru că numerele negative nu mai sunt luate în considerare în principiu.

Puteți întreba: „Ei bine, de ce avem nevoie de o definiție atât de castrată?” Sau: „De ce nu ne putem descurca cu definiția standard dată mai sus?”

Ei bine, voi da o singură proprietate, din cauza căreia noua definiție devine adecvată. De exemplu, regula exponentiatiei:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Vă rugăm să rețineți: putem ridica expresia rădăcinii la orice putere și, în același timp, înmulțim exponentul rădăcinii cu aceeași putere - și rezultatul va fi același număr! Aici sunt cateva exemple:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

Ei bine, ce e în neregulă cu asta? De ce nu am putut să o facem înainte? Iata de ce. Luați în considerare o expresie simplă: $\sqrt(-2)$ este un număr destul de normal în sensul nostru clasic, dar absolut inacceptabil din punctul de vedere al rădăcinii aritmetice. Să încercăm să-l convertim:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

După cum puteți vedea, în primul caz, am scos minusul de sub radical (avem tot dreptul, deoarece indicatorul este impar), iar în al doilea, am folosit formula de mai sus. Acestea. din punct de vedere al matematicii totul se face dupa reguli.

WTF?! Cum poate același număr să fie atât pozitiv, cât și negativ? În nici un caz. Doar că formula de exponențiere, care funcționează excelent pentru numere pozitive și zero, începe să dea o erezie completă în cazul numerelor negative.

Aici, pentru a scăpa de o asemenea ambiguitate, au venit cu rădăcini aritmetice. Le este dedicată o lecție mare separată, unde luăm în considerare în detaliu toate proprietățile lor. Așa că acum nu ne vom opri asupra lor - oricum lecția s-a dovedit a fi prea lungă.

Rădăcina algebrică: pentru cei care vor să afle mai multe

M-am gândit multă vreme: să fac acest subiect într-un paragraf separat sau nu. Până la urmă, am decis să plec de aici. Acest material este destinat celor care doresc să înțeleagă și mai bine rădăcinile - nu la nivelul mediu „școlar”, ci la nivelul apropiat de Olimpiada.

Deci: pe lângă definiția „clasică” a rădăcinii gradului $n$-lea dintr-un număr și împărțirea asociată în indicatori pari și impari, există o definiție mai „adultă”, care nu depinde de paritate și alte subtilități. Aceasta se numește rădăcină algebrică.

Definiție. O rădăcină $n$-a algebrică a oricărui $a$ este mulțimea tuturor numerelor $b$ astfel încât $((b)^(n))=a$. Nu există o denumire bine stabilită pentru astfel de rădăcini, așa că puneți o liniuță deasupra:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Diferența fundamentală față de definiția standard dată la începutul lecției este că rădăcina algebrică nu este un număr specific, ci o mulțime. Și deoarece lucrăm cu numere reale, acest set este de doar trei tipuri:

1. Set gol. Apare atunci când este necesară găsirea unei rădăcini algebrice de grad par dintr-un număr negativ;
2. Un set format dintr-un singur element. Toate rădăcinile puterilor impare, precum și rădăcinile puterilor pare de la zero, se încadrează în această categorie;
3. În cele din urmă, mulțimea poate include două numere - aceleași $((x)_(1))$ și $((x)_(2))=-((x)_(1))$ pe care le-am văzut pe funcția pătratică grafică. În consecință, o astfel de aliniere este posibilă numai atunci când se extrage rădăcina unui grad par dintr-un număr pozitiv.

Ultimul caz merită o analiză mai detaliată. Să numărăm câteva exemple pentru a înțelege diferența.

Exemplu. Calculați expresii:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Decizie. Prima expresie este simplă:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Sunt două numere care fac parte din set. Pentru că fiecare dintre ele la pătrat dă un patru.

\[\overline(\sqrt(-27))=\stanga\( -3 \dreapta\)\]

Aici vedem un set format dintr-un singur număr. Acest lucru este destul de logic, deoarece exponentul rădăcinii este impar.

În sfârșit, ultima expresie:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing\]

Avem un set gol. Pentru că nu există un singur număr real care, atunci când este ridicat la a patra (adică, chiar!) Putere, să ne dea un număr negativ -16.

Notă finală. Vă rugăm să rețineți: nu întâmplător am observat peste tot că lucrăm cu numere reale. Pentru că există și numere complexe - este foarte posibil să calculezi $\sqrt(-16)$ și multe alte lucruri ciudate acolo.

Cu toate acestea, în programa școlară modernă de matematică, numerele complexe nu se găsesc aproape niciodată. Acestea au fost omise din majoritatea manualelor, deoarece oficialii noștri consideră subiectul „prea greu de înțeles”.

Asta e tot. În lecția următoare, vom analiza toate proprietățile cheie ale rădăcinilor și, în sfârșit, vom învăța cum să simplificăm expresiile iraționale. :)