Cum să găsiți exemple de noduri de numere. Ce este un nod. Găsirea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi
Lancinova Aisa
Descarca:
Previzualizare:
Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați un cont Google (cont) și conectați-vă: https://accounts.google.com
Subtitrări slide-uri:
Sarcini pentru GCD și LCM de numere Lucrarea unui elev de clasa a VI-a a MKOU „Kamyshovskaya OOSh” Lantsinova Aisa Supervizor Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna, profesor de matematică p. Kamyshovo, 2013
Un exemplu de găsire a MCD al numerelor 50, 75 și 325. 1) Să descompunăm numerele 50, 75 și 325 în factori primi. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 împărțiți fără rest numerele a și b se numesc cel mai mare divizor comun al acestor numere.
Un exemplu de găsire a LCM a numerelor 72, 99 și 117. 1) Să factorizăm numerele 72, 99 și 117. Scrieți factorii incluși în expansiunea unuia dintre numerele 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 și adăugați la ei factorii lipsă ai numerelor rămase. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Aflați produsul factorilor rezultați. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Răspuns: LCM (72, 99 și 117) = 10296 Cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale a și b se numește cel mai mic număr natural care este multiplu al a și b.
O foaie de carton are forma unui dreptunghi, a cărui lungime este de 48 cm și lățimea de 40 cm.Această foaie trebuie tăiată fără risipă în pătrate egale. Care sunt cele mai mari pătrate care se pot obține din această foaie și câte? Rezolvare: 1) S = a ∙ b este aria dreptunghiului. S \u003d 48 ∙ 40 \u003d 1960 cm². este zona cartonului. 2) a - latura pătratului 48: a - numărul de pătrate care pot fi așezate pe lungimea cartonului. 40: a - numărul de pătrate care pot fi așezate pe lățimea cartonului. 3) GCD (40 și 48) \u003d 8 (cm) - latura pătratului. 4) S \u003d a² - aria pătratului osos. S \u003d 8² \u003d 64 (cm².) - aria pătratului osos. 5) 1960: 64 = 30 (număr de pătrate). Răspuns: 30 de pătrate cu o latură de 8 cm fiecare. Sarcini pentru GCD
Șemineul din cameră trebuie să fie amenajat cu plăci de finisare în formă de pătrat. De câte plăci vor fi necesare pentru un șemineu de 195 ͯ 156 cm și care sunt cele mai mari dimensiuni de plăci? Rezolvare: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) - S de suprafața șemineului. 2) GCD (195 și 156) = 39 (cm) - latura plăcii. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - suprafața unei plăci. 4) 30420: = 20 (bucați). Răspuns: 20 de plăci care măsoară 39 ͯ 39 (cm). Sarcini pentru GCD
Un teren de grădină care măsoară 54 ͯ 48 m în jurul perimetrului trebuie împrejmuit, pentru aceasta, stâlpi de beton trebuie plasați la intervale regulate. Câți stâlpi trebuie aduși pentru șantier și pe care distanta maxima Vor fi stâlpii depărtați unul de celălalt? Rezolvare: 1) P = 2(a + b) – perimetrul amplasamentului. P \u003d 2 (54 + 48) \u003d 204 m. 2) GCD (54 și 48) \u003d 6 (m) - distanța dintre stâlpi. 3) 204: 6 = 34 (stâlpi). Raspuns: 34 de stalpi, la o distanta de 6 m. Sarcini pentru GCD
Din 210 visiniu s-au adunat 126 trandafiri albi, 294 roșii, buchete, iar în fiecare buchet numărul de trandafiri de aceeași culoare este egal. Care este cel mai mare număr de buchete realizate din acești trandafiri și câți trandafiri de fiecare culoare sunt într-un buchet? Rezolvare: 1) GCD (210, 126 și 294) = 42 (buchete). 2) 210: 42 = 5 (trandafiri visinii). 3) 126: 42 = 3 (trandafiri albi). 4) 294: 42 = 7 (trandafiri rosii). Raspuns: 42 de buchete: 5 visiniu, 3 albi, 7 trandafiri rosii in fiecare buchet. Sarcini pentru GCD
Tanya și Masha au cumpărat același număr de cutii poștale. Tanya a plătit 90 de ruble, iar Masha a plătit 5 ruble. Mai Mult. Cât costă un set? Câte seturi a cumpărat fiecare? Soluție: 1) Masha a plătit 90 + 5 = 95 (ruble). 2) GCD (90 și 95) = 5 (ruble) - prețul unui set. 3) 980: 5 = 18 (seturi) - cumpărat de Tanya. 4) 95: 5 = 19 (seturi) - a cumpărat Masha. Răspuns: 5 ruble, 18 seturi, 19 seturi. Sarcini pentru GCD
În orașul-port încep trei excursii turistice cu barca, dintre care prima durează 15 zile, a doua - 20 și a treia - 12 zile. Întorcându-se în port, navele în aceeași zi pleacă din nou într-o călătorie. Navele cu motor au părăsit portul pe toate cele trei rute astăzi. În câte zile vor naviga împreună pentru prima dată? Câte călătorii va face fiecare navă? Rezolvare: 1) NOC (15.20 și 12) = 60 (zile) - ora întâlnirii. 2) 60: 15 = 4 (călătorii) - 1 navă. 3) 60: 20 = 3 (călătorii) - 2 nava cu motor. 4) 60: 12 = 5 (călătorii) - 3 navă cu motor. Răspuns: 60 de zile, 4 zboruri, 3 zboruri, 5 zboruri. Sarcini pentru NOC
Masha a cumpărat ouă pentru Urs din magazin. În drum spre pădure, și-a dat seama că numărul de ouă este divizibil cu 2,3,5,10 și 15. Câte ouă a cumpărat Masha? Soluție: LCM (2;3;5;10;15) = 30 (ouă) Răspuns: Masha a cumpărat 30 de ouă. Sarcini pentru NOC
Este necesar să se facă o cutie cu fundul pătrat pentru stivuirea cutiilor de 16 ͯ 20 cm. Care ar trebui să fie cea mai scurtă latură a fundului pătrat pentru a încadra cutiile strâns în cutie? Rezolvare: 1) NOC (16 și 20) = 80 (cutii). 2) S = a ∙ b este aria unei casete. S \u003d 16 ∙ 20 \u003d 320 (cm²) - aria din partea de jos a unei cutii. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm²) - zona de jos pătrată. 4) S \u003d a² \u003d a ∙ a 25600 \u003d 160 ∙ 160 - dimensiunile cutiei. Răspuns: 160 cm este latura fundului pătrat. Sarcini pentru NOC
De-a lungul drumului din punctul K sunt stalpi de curent la fiecare 45 m. S-a decis inlocuirea acestor stalpi cu altii, asezand-i la o distanta de 60 m unul de altul. Câți stâlpi au fost și câți vor sta? Rezolvare: 1) NOK (45 și 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - erau stâlpi. 3) 180: 60 = 3 - erau stâlpi. Răspuns: 4 stâlpi, 3 stâlpi. Sarcini pentru NOC
Câți soldați defilează pe terenul de paradă dacă mărșăluiesc în formație de 12 oameni pe rând și se schimbă într-o coloană de 18 persoane pe rând? Rezolvare: 1) NOC (12 și 18) = 36 (oameni) - marș. Răspuns: 36 de persoane. Sarcini pentru NOC
Cel mai mare divizor comun
Definiția 2
Dacă un număr natural a este divizibil cu un număr natural $b$, atunci $b$ se numește divizor al lui $a$, iar numărul $a$ este numit multiplu al lui $b$.
Fie $a$ și $b$ numere naturale. Numărul $c$ se numește divizor comun atât pentru $a$ cât și pentru $b$.
Mulțimea divizorilor comuni ai numerelor $a$ și $b$ este finită, deoarece niciunul dintre acești divizori nu poate fi mai mare decât $a$. Aceasta înseamnă că printre acești divizori există cel mai mare, care se numește cel mai mare divizor comun al numerelor $a$ și $b$, iar notația este folosită pentru a-l desemna:
$gcd \ (a;b) \ sau \ D \ (a;b)$
Pentru a găsi cel mai mare divizor comun al două numere:
- Găsiți produsul numerelor găsite la pasul 2. Numărul rezultat va fi cel mai mare divizor comun dorit.
Exemplul 1
Găsiți mcd-ul numerelor $121$ și $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Alegeți numerele care sunt incluse în extinderea acestor numere
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Găsiți produsul numerelor găsite la pasul 2. Numărul rezultat va fi cel mai mare divizor comun dorit.
$gcd=2\cdot 11=22$
Exemplul 2
Găsiți GCD-ul monomiilor $63$ și $81$.
Vom găsi conform algoritmului prezentat. Pentru asta:
Să descompunem numerele în factori primi
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Selectăm numerele care sunt incluse în extinderea acestor numere
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Să găsim produsul numerelor găsite la pasul 2. Numărul rezultat va fi cel mai mare divizor comun dorit.
$gcd=3\cdot 3=9$
Puteți găsi MCD a două numere într-un alt mod, folosind setul de divizori de numere.
Exemplul 3
Găsiți mcd-ul numerelor $48$ și $60$.
Soluţie:
Găsiți setul de divizori de $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Acum să găsim setul de divizori de $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Să găsim intersecția acestor mulțimi: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - această mulțime va determina mulțimea divizorilor comuni ai numerelor $48$ și $60 $. Cel mai mare element din acest set va fi numărul $12$. Deci, cel mai mare divizor comun al 48$ și 60$ este de 12$.
Definiţia NOC
Definiția 3
multiplu comun al numerelor naturale$a$ și $b$ este un număr natural care este un multiplu atât al lui $a$ cât și al $b$.
Multiplii comuni ai numerelor sunt numere care sunt divizibile cu originalul fără rest. De exemplu, pentru numerele $25$ și $50$, multiplii comuni vor fi numerele $50,100,150,200$ etc.
Cel mai mic multiplu comun va fi numit cel mai mic multiplu comun și notat cu LCM$(a;b)$ sau K$(a;b).$
Pentru a găsi LCM a două numere, aveți nevoie de:
- Descompune numerele în factori primi
- Scrieți factorii care fac parte din primul număr și adăugați la ei factorii care fac parte din al doilea și nu merg la primul
Exemplul 4
Găsiți LCM al numerelor $99$ și $77$.
Vom găsi conform algoritmului prezentat. Pentru asta
Descompune numerele în factori primi
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Notați factorii incluși în primul
adaugă la ei factori care fac parte din al doilea și nu merg la primul
Găsiți produsul numerelor găsite la pasul 2. Numărul rezultat va fi cel mai mic multiplu comun dorit
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Compilarea listelor de divizori ai numerelor necesită adesea foarte mult timp. Există o modalitate de a găsi GCD numită algoritmul lui Euclid.
Afirmații pe care se bazează algoritmul lui Euclid:
Dacă $a$ și $b$ sunt numere naturale și $a\vdots b$, atunci $D(a;b)=b$
Dacă $a$ și $b$ sunt numere naturale astfel încât $b
Folosind $D(a;b)= D(a-b;b)$, putem descrește succesiv numerele luate în considerare până ajungem la o pereche de numere astfel încât unul dintre ele să fie divizibil cu celălalt. Apoi, cel mai mic dintre aceste numere va fi cel mai mare divizor comun dorit pentru numerele $a$ și $b$.
Proprietățile GCD și LCM
- Orice multiplu comun al lui $a$ și $b$ este divizibil cu K$(a;b)$
- Dacă $a\vdots b$ , atunci K$(a;b)=a$
Dacă K$(a;b)=k$ și $m$-număr natural, atunci K$(am;bm)=km$
Dacă $d$ este un divizor comun pentru $a$ și $b$, atunci K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d); ) $
Dacă $a\vdots c$ și $b\vdots c$ , atunci $\frac(ab)(c)$ este un multiplu comun al $a$ și $b$
Pentru orice numere naturale $a$ și $b$ egalitatea
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Orice divizor comun al lui $a$ și $b$ este un divizor al lui $D(a;b)$
algoritmul lui Euclid este un algoritm pentru găsirea celui mai mare divizor comun (mcd) al unei perechi de numere întregi.
Cel mai mare divizor comun (GCD) este un număr care împarte două numere fără rest și este el însuși divizibil fără rest cu orice alt divizor al celor două numere date. Mai simplu spus, acesta este cel mai mare număr cu care cele două numere pentru care se caută mcd pot fi împărțite fără rest.
Algoritm pentru găsirea GCD prin diviziune
- Împărțiți numărul mai mare la cel mai mic.
- Dacă este împărțit fără rest, atunci numărul mai mic este GCD (ar trebui să ieși din buclă).
- Dacă există un rest, atunci Mai multînlocuit cu restul diviziei.
- Să trecem la punctul 1.
Exemplu:
Găsiți GCD pentru 30 și 18.
30 / 18 = 1 (restul 12)
18 / 12 = 1 (restul 6)
12 / 6 = 2 (restul 0)
Sfârșit: GCD este divizorul lui 6.
mcd(30, 18) = 6
a = 50 b = 130 în timp ce a != 0 și b != 0 : dacă a > b: a = a % b altfel : b = b % a print (a + b)
În buclă, restul diviziunii este scris la variabila a sau b. Bucla se termină când cel puțin una dintre variabile este zero. Aceasta înseamnă că celălalt conține GCD. Cu toate acestea, nu știm care dintre ele. Prin urmare, pentru GCD găsim suma acestor variabile. Deoarece una dintre variabile este zero, nu are niciun efect asupra rezultatului.
Algoritm pentru găsirea GCD prin scădere
- Scădeți numărul mai mic din numărul mai mare.
- Dacă se dovedește 0, înseamnă că numerele sunt egale între ele și sunt GCD (ar trebui să ieși din buclă).
- Dacă rezultatul scăderii nu este egal cu 0, atunci numărul mai mare este înlocuit cu rezultatul scăderii.
- Să trecem la punctul 1.
Exemplu:
Găsiți GCD pentru 30 și 18.
30 - 18 = 12
18 - 12 = 6
12 - 6 = 6
6 - 6 = 0
Sfârșit: GCD este minuend sau subtraend.
mcd(30, 18) = 6
a = 50 b = 130 în timp ce a != b: dacă a > b: a = a - b altfel : b = b - a print (a)
Pentru a afla cum să găsiți cel mai mare divizor comun a două sau mai multe numere, trebuie să înțelegeți ce sunt numerele naturale, prime și complexe.
Un număr natural este orice număr care este folosit pentru a număra numerele întregi.
Dacă un număr natural poate fi împărțit doar la el însuși și unul, atunci se numește prim.
Toate numerele naturale pot fi împărțite la ele însele și unul, dar singurul număr prim par este 2, toate celelalte numere prime pot fi împărțite la doi. Prin urmare, doar simplu numere impare.
Prea multe numere prime lista completa ele nu există. Pentru a găsi GCD, este convenabil să folosiți tabele speciale cu astfel de numere.
Majoritatea numerelor naturale pot fi împărțite nu numai la unul, ele însele, ci și la alte numere. Deci, de exemplu, numărul 15 poate fi împărțit la 3 și 5. Toate se numesc divizori ai numărului 15.
Astfel, divizorul oricărui A este numărul cu care poate fi împărțit fără rest. Dacă un număr are mai mult de doi divizori naturali, se numește compus.
Numărul 30 are divizori precum 1, 3, 5, 6, 15, 30.
Puteți vedea că 15 și 30 au aceiași divizori 1, 3, 5, 15. Cel mai mare divizor comun al acestor două numere este 15.
Astfel, divizorul comun al numerelor A și B este numărul cu care le puteți împărți complet. Maximul poate fi considerat numărul total maxim cu care pot fi împărțiți.
Pentru a rezolva probleme, se folosește următoarea inscripție prescurtată:
GCD (A; B).
De exemplu, GCD (15; 30) = 30.
Pentru a scrie toți divizorii numar natural, se aplică notația:
D(15) = (1, 3, 5, 15)
mcd (9; 15) = 1
În acest exemplu, numerele naturale au un singur divizor comun. Se numesc coprime, respectiv, unitatea este cel mai mare divizor comun al lor.
Cum să găsești cel mai mare divizor comun al numerelor
Pentru a găsi GCD-ul mai multor numere, aveți nevoie de:
Găsiți separat toți divizorii fiecărui număr natural, adică descompuneți-i în factori (numere prime);
Selectați toți aceiași factori pentru numere date;
Înmulțiți-le împreună.
De exemplu, pentru a calcula cel mai mare divizor comun dintre 30 și 56, ați scrie următoarele:
Pentru a nu fi confundat cu , este convenabil să scrieți multiplicatorii folosind coloane verticale. În partea stângă a liniei, trebuie să plasați dividendul, iar în dreapta - divizorul. Sub dividend, ar trebui să indicați coeficientul rezultat.
Deci, în coloana din dreapta vor fi toți factorii necesari pentru soluție.
Divizori identici (factori găsiți) pot fi subliniați pentru comoditate. Ele ar trebui rescrise și înmulțite, iar cel mai mare divizor comun trebuie notat.
GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10
Este chiar atât de simplu să găsești cel mai mare divizor comun al numerelor. Cu puțină practică, o poți face aproape automat.
Să continuăm discuția despre cel mai mic multiplu comun pe care l-am început în secțiunea LCM - Least Common Multiple, Definiție, Exemple. În acest subiect, vom lua în considerare modalități de a găsi LCM pentru trei numere sau mai multe, vom analiza întrebarea cum să găsim LCM a unui număr negativ.
Calculul cel mai mic multiplu comun (LCM) prin mcd
Am stabilit deja relația dintre cel mai mic multiplu comun și cel mai mare divizor comun. Acum să învățăm cum să definim LCM prin GCD. Mai întâi, să ne dăm seama cum să facem acest lucru pentru numerele pozitive.
Definiția 1
Puteți găsi cel mai mic multiplu comun prin cel mai mare divizor comun folosind formula LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .
Exemplul 1
Este necesar să găsiți LCM al numerelor 126 și 70.
Soluţie
Să luăm a = 126 , b = 70 . Înlocuiți valorile din formula de calcul a celui mai mic multiplu comun prin cel mai mare divizor comun LCM (a, b) = a · b: MCD (a, b) .
Găsește MCD al numerelor 70 și 126. Pentru aceasta avem nevoie de algoritmul Euclid: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , deci mcd (126 , 70) = 14 .
Să calculăm LCM: LCM (126, 70) = 126 70: MCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Răspuns: LCM (126, 70) = 630.
Exemplul 2
Aflați nok-ul numerelor 68 și 34.
Soluţie
GCD în acest caz este ușor de găsit, deoarece 68 este divizibil cu 34. Calculați cel mai mic multiplu comun folosind formula: LCM (68, 34) = 68 34: MCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Răspuns: LCM(68, 34) = 68.
În acest exemplu, am folosit regula pentru găsirea celui mai mic multiplu comun al numerelor întregi pozitive a și b: dacă primul număr este divizibil cu al doilea, atunci LCM-ul acestor numere va fi egal cu primul număr.
Găsirea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi
Acum să ne uităm la o modalitate de a găsi LCM, care se bazează pe descompunerea numerelor în factori primi.
Definiția 2
Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, trebuie să parcurgem o serie de pași simpli:
- alcătuim produsul tuturor factorilor primi ai numerelor pentru care trebuie să aflăm LCM;
- excludem toți factorii primi din produsele obținute;
- produsul obţinut în urma eliminării factorilor primi comuni va fi egal cu LCM a numerelor date.
Acest mod de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe egalitatea LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Dacă te uiți la formula, devine clar: produsul numerelor a și b este egal cu produsul tuturor factorilor care sunt implicați în expansiunea acestor două numere. În acest caz, MCD a două numere este egal cu produsul tuturor factorilor primi care sunt prezenți simultan în factorizările acestor două numere.
Exemplul 3
Avem două numere 75 și 210. Le putem factoriza astfel: 75 = 3 5 5și 210 = 2 3 5 7. Dacă faceți produsul tuturor factorilor celor două numere originale, obțineți: 2 3 3 5 5 5 7.
Dacă excludem factorii comuni ambelor numere 3 și 5, obținem un produs de următoarea formă: 2 3 5 5 7 = 1050. Acest produs va fi LCM-ul nostru pentru numerele 75 și 210.
Exemplul 4
Găsiți LCM al numerelor 441 și 700 , descompunând ambele numere în factori primi.
Soluţie
Să găsim toți factorii primi ai numerelor date în condiția:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Obținem două lanțuri de numere: 441 = 3 3 7 7 și 700 = 2 2 5 5 7 .
Produsul tuturor factorilor care au participat la extinderea acestor numere va arăta astfel: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Să găsim factorii comuni. Acest număr este 7. Îl excludem din produsul general: 2 2 3 3 5 5 7 7. Se pare că NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Răspuns: LCM (441, 700) = 44100.
Să dăm încă o formulare a metodei de găsire a LCM prin descompunerea numerelor în factori primi.
Definiția 3
Anterior, am exclus din numărul total de factori comuni ambelor numere. Acum o vom face altfel:
- Să descompunem ambele numere în factori primi:
- adăugați la produsul factorilor primi ai primului număr factorii lipsă ai celui de-al doilea număr;
- obținem produsul, care va fi LCM dorit a două numere.
Exemplul 5
Să revenim la numerele 75 și 210 , pentru care am căutat deja LCM într-unul dintre exemplele anterioare. Să le împărțim în factori simpli: 75 = 3 5 5și 210 = 2 3 5 7. La produsul factorilor 3 , 5 și 5 numărul 75 adună factorii lipsă 2 și 7 numerele 210 . Primim: 2 3 5 5 7 . Acesta este LCM al numerelor 75 și 210.
Exemplul 6
Este necesar să se calculeze LCM al numerelor 84 și 648.
Soluţie
Să descompunem numerele din condiție în factori primi: 84 = 2 2 3 7și 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Se adaugă la produsul factorilor 2 , 2 , 3 și 7
numerele 84 lipsesc factorii 2 , 3 , 3 și
3
numerele 648 . Primim produsul 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Acesta este cel mai mic multiplu comun al lui 84 și 648.
Răspuns: LCM (84, 648) = 4536.
Găsirea LCM a trei sau mai multe numere
Indiferent de câte numere avem de-a face, algoritmul acțiunilor noastre va fi întotdeauna același: vom găsi secvenţial LCM a două numere. Există o teoremă pentru acest caz.
Teorema 1
Să presupunem că avem numere întregi a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k dintre aceste numere se găsește în calculul secvenţial m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .
Acum să vedem cum poate fi aplicată teorema unor probleme specifice.
Exemplul 7
Trebuie să calculați cel mai mic multiplu comun al celor patru numere 140 , 9 , 54 și 250 .
Soluţie
Să introducem notația: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.
Să începem prin a calcula m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Să folosim algoritmul euclidian pentru a calcula GCD-ul numerelor 140 și 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Se obține: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Prin urmare, m 2 = 1 260 .
Acum să calculăm după același algoritm m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . În cursul calculelor, obținem m 3 = 3 780.
Rămâne să calculăm m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Acționăm după același algoritm. Obținem m 4 \u003d 94 500.
LCM a celor patru numere din condiția exemplu este 94500.
Răspuns: LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.
După cum puteți vedea, calculele sunt simple, dar destul de laborioase. Pentru a economisi timp, puteți merge în altă direcție.
Definiția 4
Vă oferim următorul algoritm de acțiuni:
- descompune toate numerele în factori primi;
- la produsul factorilor primului număr, se adaugă factorii lipsă din produsul celui de-al doilea număr;
- adăugați factorii lipsă ai celui de-al treilea număr la produsul obținut în etapa anterioară etc.;
- produsul rezultat va fi cel mai mic multiplu comun al tuturor numerelor din condiție.
Exemplul 8
Este necesar să găsiți LCM a cinci numere 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Soluţie
Să descompunăm toate cele cinci numere în factori primi: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . numere prime, care este numărul 7 , nu poate fi descompus în factori primi. Astfel de numere coincid cu descompunerea lor în factori primi.
Acum să luăm produsul factorilor primi 2, 2, 3 și 7 ai numărului 84 și să adăugăm la ei factorii lipsă ai celui de-al doilea număr. Am descompus numărul 6 în 2 și 3. Acești factori sunt deja în produsul primului număr. Prin urmare, le omitem.
Continuăm să adăugăm multiplicatorii lipsă. Ne întoarcem la numărul 48, din produsul factorilor primi din care luăm 2 și 2. Apoi adăugăm un factor simplu de 7 din al patrulea număr și factorii de 11 și 13 din al cincilea. Se obține: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Acesta este cel mai mic multiplu comun dintre cele cinci numere originale.
Răspuns: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.
Găsirea celui mai mic multiplu comun al numerelor negative
Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun numere negative, aceste numere trebuie mai întâi înlocuite cu numere cu semnul opus, iar apoi calculele trebuie efectuate conform algoritmilor de mai sus.
Exemplul 9
LCM(54, −34) = LCM(54, 34) și LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Astfel de acțiuni sunt permise datorită faptului că dacă se acceptă că Ași − a- numere opuse
apoi setul de multipli A coincide cu mulţimea multiplilor unui număr − a.
Exemplul 10
Este necesar să se calculeze LCM al numerelor negative − 145 și − 45 .
Soluţie
Să schimbăm numerele − 145 și − 45 la numerele lor opuse 145 și 45 . Acum, conform algoritmului, calculăm LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, după ce am determinat anterior GCD folosind algoritmul Euclid.
Obținem că LCM a numerelor − 145 și − 45 egală 1 305 .
Răspuns: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
