Triple pitagorice ale numerelor naturale. Tehnologii moderne intensive în știință. Vezi ce sunt „numerele pitagorice” în alte dicționare

Un exemplu important de ecuație diofantină este dat de teorema lui Pitagora, care leagă lungimile x și y ale catetelor unui triunghi dreptunghic de lungimea z a ipotenuzei sale:

Desigur, ați dat peste una dintre minunatele soluții ale acestei ecuații în numere naturale și anume triplul pitagoreic al numerelor x=3, y=4, z=5. Există și alți tripleți?

Se dovedește că există infinit de multe triple pitagorice și toate au fost găsite cu mult timp în urmă. Ele pot fi obținute prin formule binecunoscute, despre care veți afla din acest paragraf.

Dacă ecuațiile Diofantine de gradul I și II au fost deja rezolvate, atunci problema rezolvării ecuațiilor este mai mult grade înalte rămâne încă deschis, în ciuda eforturilor celor mai mari matematicieni. În prezent, de exemplu, faimoasa presupunere a lui Fermat că pentru orice valoare întreagă n2 ecuația

nu are soluții în numere întregi.

Pentru rezolvarea anumitor tipuri de ecuații diofantine, așa-numitele numere complexe. Ce este? Fie ca litera i să desemneze un obiect care îndeplinește condiția i 2 \u003d -1(este clar că niciun număr real nu satisface această condiție). Luați în considerare expresiile formei α+iβ, unde α și β sunt numere reale. Astfel de expresii se vor numi numere complexe, având definite operațiile de adunare și înmulțire asupra lor, precum și asupra binoamelor, dar cu singura diferență că expresia eu 2 peste tot vom înlocui numărul -1:

7.1. Mulți dintre cei trei

Demonstrează că dacă x0, y0, z0- Triple pitagoreice, apoi triple y 0 , x 0 , z 0și x 0 k, y 0 k, z 0 k pentru orice valoare a parametrului natural k sunt și pitagoreici.

7.2. Formule private

Verificați asta pentru orice valoare naturală m>n trinitate a formei

este pitagoreică. Este vreun triplu pitagoreic? x, y, z poate fi reprezentat în această formă, dacă permiteți rearanjarea numerelor x și y în triplu?

7.3. Tripleți ireductibili

Un triplu pitagoreic de numere care nu au un divizor comun mai mare decat 1 va fi numit ireductibil. Demonstrați că un triplu pitagoreic este ireductibil numai dacă oricare dintre numerele din triplu sunt coprime.

7.4. Proprietatea triplelor ireductibile

Demonstrați că în orice triplu pitagoreic ireductibil x, y, z numărul z și exact unul dintre numerele x sau y sunt impare.

7.5. Toate triple ireductibile

Demonstrați că un triplu de numere x, y, z este un triplu pitagoreic ireductibil dacă și numai dacă coincide cu triplul până la ordinea primelor două numere 2mn, m 2 - n 2, m 2 + n 2, Unde m>n- numere naturale coprime de paritate diferită.

7.6. Formule generale

Demonstrați că toate soluțiile ecuației

în numere naturale sunt date până la ordinea necunoscutelor x și y prin formule

unde m>n și k sunt parametri naturali (pentru a evita duplicarea oricăror triple, este suficient să alegeți numere de tip coprim și, în plus, de paritate diferită).

7.7. Primii 10 tripleți

Găsiți toate triplele pitagoreice x, y, z satisfacerea conditiei X

7.8. Proprietățile tripleților pitagoreici

Demonstrați asta pentru orice triplă pitagoreică x, y, z afirmatiile sunt adevarate:

a) cel puțin unul dintre numerele x sau y este multiplu de 3;

b) cel puțin unul dintre numerele x sau y este multiplu de 4;

c) cel puțin unul dintre numerele x, y sau z este multiplu de 5.

7.9. Aplicarea numerelor complexe

Modulul unui număr complex α + iβ numit numar nenegativ

Verificați asta pentru orice numere complexe α + iβși γ + iδ proprietatea este executată

Folosind proprietățile numerelor complexe și modulele lor, demonstrați că oricare două numere întregi m și n satisfac egalitatea

adică dau o soluție ecuației

numere întregi (comparați cu problema 7.5).

7.10. Triple non-pitagorice

Folosind proprietățile numerelor complexe și modulele acestora (a se vedea problema 7.9), găsiți formule pentru orice soluții întregi ale ecuației:

a) x 2 + y 2 \u003d z 3; b) x 2 + y 2 \u003d z 4.

Soluții

7.1. În cazul în care un x 0 2 + y 0 2 = z 0 2 , apoi y 0 2 + x 0 2 = z 0 2 , iar pentru orice valoare naturală a lui k avem

Q.E.D.

7.2. Din egalităţi

concluzionăm că triplul indicat în problemă satisface ecuația x 2 + y 2 = z 2în numere naturale. Cu toate acestea, nu orice triplă pitagoreică x, y, z poate fi reprezentat în această formă; de exemplu, triplul 9, 12, 15 este pitagoreic, dar numărul 15 nu poate fi reprezentat ca suma pătratelor oricăror două numere naturale m și n.

7.3. Dacă oricare două numere din triplul pitagoreic x, y, z au un divizor comun d, atunci va fi și un divizor al celui de-al treilea număr (deci, în cazul x = x 1 d, y = y 1 d noi avem z 2 \u003d x 2 + y 2 \u003d (x 1 2 + y 1 2) d 2, unde z 2 este divizibil cu d 2 şi z este divizibil cu d). Prin urmare, pentru ca un triplu pitagoreic să fie ireductibil, este necesar ca oricare dintre numerele din triplu să fie coprime,

7.4. Rețineți că unul dintre numerele x sau y, să zicem x, al unui triplu pitagoreic ireductibil x, y, z este impar deoarece altfel numerele x și y nu ar fi coprime (vezi problema 7.3). Dacă și celălalt număr y este impar, atunci ambele numere

dați un rest de 1 când este împărțit la 4 și numărul z 2 \u003d x 2 + y 2 dă un rest de 2 când este împărțit la 4, adică este divizibil cu 2, dar nu este divizibil cu 4, ceea ce nu poate fi. Astfel, numărul y trebuie să fie par și, prin urmare, numărul z trebuie să fie impar.

7.5. Lasă-l pe pitagora să se tripleze x, y, z este ireductibil și, pentru certitudine, numărul x este par, în timp ce numerele y, z sunt impare (vezi problema 7.4). Apoi

unde sunt numerele sunt întregi. Să demonstrăm că numerele a și b sunt între prime. Într-adevăr, dacă ar avea un divizor comun mai mare decât 1, atunci numerele ar avea același divizor z = a + b, y = a - b, adică triplul nu ar fi ireductibil (vezi problema 7.3). Acum, extinderea numerelor a și b în produse factori primi, observăm că orice factor prim trebuie inclus în produs 4ab = x2 numai într-un grad par, iar dacă este inclus în extinderea numărului a, atunci nu este inclus în extinderea numărului b și invers. Prin urmare, orice factor prim este inclus în extinderea numărului a sau b separat doar într-un grad par, ceea ce înseamnă că aceste numere în sine sunt pătrate de numere întregi. Sa punem atunci obținem egalitățile

mai mult, parametrii naturali m>n sunt coprimi (datorita coprimelor numerelor a si b) si au paritate diferita (datorita numarului impar z \u003d m 2 + n 2).

Să fie acum numerele naturale m>n de paritate diferită. Apoi troica x \u003d 2mn, y \u003d m 2 - n 2, z \u003d m 2 + n 2, conform Problemei 7.2, este pitagoreică. Să demonstrăm că este ireductibil. Pentru a face acest lucru, este suficient să verificați dacă numerele y și z nu au divizori comuni (vezi problema 7.3). De fapt, ambele numere sunt impare, deoarece numerele de tip au parități diferite. Dacă numerele y și z au un divizor comun simplu (atunci trebuie să fie impar), atunci fiecare dintre numerele și și cu ele și fiecare dintre numerele m și n au același divizor, ceea ce contrazice simplitatea lor reciprocă.

7.6. În virtutea aserțiunilor formulate în Problemele 7.1 și 7.2, aceste formule definesc doar triple pitagoreene. Pe de altă parte, orice triplă pitagoreică x, y, z după reducerea sa cu cel mai mare divizor comun k, perechea de numere x și y devine ireductibilă (vezi problema 7.3) și, prin urmare, poate fi reprezentată până la ordinea numerelor x și y în forma descrisă în problema 7.5. Prin urmare, orice triplă pitagoreică este dată de formulele indicate pentru unele valori ale parametrilor.

7.7. Din inegalitate z și formulele problemei 7.6, obținem estimarea m 2 adică m≤5. Presupunând m = 2, n = 1și k = 1, 2, 3, 4, 5, primim tripleți 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. Presupunând m=3, n=2și k = 1, 2, primim tripleți 5, 12, 13; 10, 24, 26. Presupunând m = 4, n = 1, 3și k = 1, primim tripleți 8, 15, 17; 7, 24, 25. În fine, presupunând m=5, n=2și k = 1, primim trei 20, 21, 29.

O metodă convenabilă și foarte precisă folosită de geodezi pentru a trasa linii perpendiculare pe sol este următoarea. Să fie necesară trasarea unei perpendiculare pe dreapta MN prin punctul A (Fig. 13). Plecați de la A în direcția AM de trei ori la o anumită distanță a. Apoi se leagă trei noduri pe șnur, distanțele dintre care sunt 4a și 5a. Atașând nodurile extreme la punctele A și B, trageți cordonul peste nodul din mijloc. Snurul va fi situat într-un triunghi, în care unghiul A este drept.

Această metodă străveche, folosită aparent cu mii de ani în urmă de constructorii piramidelor egiptene, se bazează pe faptul că fiecare triunghi, ale cărui laturi sunt legate ca 3:4:5, conform binecunoscutei teoreme lui Pitagora, este în unghi drept, din moment ce

3 2 + 4 2 = 5 2 .

Pe lângă numerele 3, 4, 5, există, după cum se știe, o mulțime nenumărabilă de numere întregi pozitive a, b, c, care satisfac relația

A 2 + b 2 \u003d c 2.

Se numesc numere pitagorice. Conform teoremei lui Pitagora, astfel de numere pot servi drept lungimi ale laturilor unui triunghi dreptunghic; prin urmare, a și b se numesc „picioare”, iar c se numește „ipotenuză”.

Este clar că dacă a, b, c este un triplu al numerelor pitagorice, atunci pa, pb, pc, unde p este un factor întreg, sunt numere pitagorice. În schimb, dacă numerele pitagorice au un factor comun, atunci prin acest factor comun le puteți reduce pe toate și, din nou, obțineți un triplu de numere pitagoreene. Prin urmare, vom studia mai întâi doar triplele numerelor pitagorice coprime (restul se obțin din ele prin înmulțirea cu un factor întreg p).

Să arătăm că în fiecare dintre astfel de tripleți a, b, c unul dintre „picioare” trebuie să fie par și celălalt impar. Să argumentăm „dimpotrivă”. Dacă ambele „catepe” a și b sunt pare, atunci numărul a 2 + b 2 va fi par și, prin urmare, „hipotenuza”. Acest lucru, însă, contrazice faptul că numerele a, b, c nu au factori comuni, deoarece trei numere pare au un factor comun de 2. Astfel, cel puțin unul dintre „picioarele” a, b este impar.

Mai rămâne o posibilitate: ambele „picioare” sunt impare, iar „hipotenuza” este pară. Este ușor de demonstrat că acest lucru nu poate fi. Într-adevăr, dacă „picioarele” au forma

2x + 1 și 2y + 1,

atunci suma pătratelor lor este

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 \u003d 4 (x 2 + x + y 2 + y) + 2,

adică este un număr care, atunci când este împărțit la 4, dă un rest de 2. Între timp, pătratul oricărui număr par trebuie să fie divizibil cu 4 fără rest. Deci suma pătratelor a două numere impare nu poate fi pătratul unui număr par; cu alte cuvinte, cele trei numere ale noastre nu sunt pitagoreice.

Deci, din „picioarele” a, b, unul este par și celălalt este impar. Prin urmare, numărul a 2 + b 2 este impar, ceea ce înseamnă că „hipotenuza” c este și ea impară.

Să presupunem, pentru certitudine, că impar este „piciorul” a și par b. Din egalitate

a 2 + b 2 = c 2

obținem ușor:

A 2 \u003d c 2 - b 2 \u003d (c + b) (c - b).

Factorii c + b și c - b din partea dreaptă sunt coprimi. Într-adevăr, dacă aceste numere ar avea un factor prim comun, altul decât unul, atunci și suma ar fi divizibilă cu acest factor.

(c + b) + (c - b) = 2c,

si diferenta

(c + b) - (c - b) = 2b,

si munca

(c + b) (c - b) \u003d a 2,

adică numerele 2c, 2b și a ar avea un factor comun. Deoarece a este impar, acest factor este diferit de doi și, prin urmare, numerele a, b, c au același factor comun, care, totuși, nu poate fi. Contradicția rezultată arată că numerele c + b și c - b sunt între prime.

Dar dacă produsul numerelor coprime este un pătrat exact, atunci fiecare dintre ele este un pătrat, adică.

Rezolvând acest sistem, găsim:

C \u003d (m 2 + n 2) / 2, b \u003d (m 2 - n 2) / 2 și 2 \u003d (c + b) (c - b) \u003d m 2 n 2, a \u003d mn.

Deci, numerele pitagorice considerate au forma

A \u003d mn, b \u003d (m 2 - n 2) / 2, c \u003d (m 2 + n 2) / 2.

unde m și n sunt numere impare coprime. Cititorul poate verifica cu ușurință contrariul: pentru orice tip impar, formulele scrise dau trei numere pitagorice a, b, c.

Iată câteva triplete de numere pitagorice obținute cu diferite tipuri:

Pentru m = 3, n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2 pentru m = 5, n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2 pentru m = 7, n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 pentru m = 9, n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2 la m = 11, n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2 la m = 13, n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 la m = 5 , n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2 pentru m = 7, n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2 pentru m = 11, n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2 pentru m = 13, n = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 la m = 7, n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 la m = 9, n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2 la m = 11, n = 5 55 2 + 48 2 = 73 2 la m = 13, n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2 la m = 9, n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2 la m = 11, n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2

(Toate celelalte triple ale numerelor pitagorice fie au factori comuni, fie conțin numere mai mari de o sută.)

educational: pentru a studia un număr de triple pitagoreice, a dezvolta un algoritm pentru aplicarea lor în diverse situații, a întocmi un memoriu privind utilizarea lor.

Educational: formarea unei atitudini conștiente față de învățare, dezvoltarea activității cognitive, cultura muncii educaționale.

Educational: dezvoltarea intuiţiei geometrice, algebrice şi numerice, a ingeniozităţii, a observaţiei, a memoriei.

În timpul orelor

I. Moment organizatoric

II. Explicația noului material

Profesor: Misterul puterii atractive a triplelor pitagoreice a îngrijorat omenirea de mult timp. Proprietățile unice ale triplelor pitagoreice explică rolul lor special în natură, muzică și matematică. Vraja lui Pitagora, teorema lui Pitagora, rămâne în creierul a milioane, dacă nu miliarde, de oameni. Aceasta este o teoremă fundamentală, pe care fiecare școlar este obligat să o memoreze. Deși teorema lui Pitagora poate fi înțeleasă de copiii de zece ani, este începutul inspirator al problemei care a eșuat cele mai mari minți din istoria matematicii, teorema lui Fermat. Pitagora din insula Samos (cf. Anexa 1 , slide 4) a fost una dintre cele mai influente și totuși enigmatice figuri din matematică. Deoarece nu există înregistrări sigure ale vieții și operei sale, viața sa a fost învăluită în mituri și legende, iar istoricilor le este greu să separe realitatea de ficțiune. Nu există, însă, nicio îndoială că Pitagora a dezvoltat ideea logicii numerelor și că lui îi datorăm prima epocă de aur a matematicii. Datorită geniului său, numerele nu mai erau folosite doar pentru numărare și calcule și au fost mai întâi apreciate. Pitagora a studiat proprietățile anumitor clase de numere, relațiile dintre ele și figurile care formează numerele. Pitagora și-a dat seama că numerele există independent de lumea materială și, prin urmare, inexactitatea simțurilor noastre nu afectează studiul numerelor. Acest lucru a însemnat că Pitagora a câștigat capacitatea de a descoperi adevăruri independent de părerea sau prejudecățile cuiva. Adevărurile sunt mai absolute decât orice cunoaștere anterioară. Pe baza literaturii studiate referitoare la triplele pitagoreene, ne vom interesa de posibilitatea utilizării triplelor pitagorice în rezolvarea problemelor de trigonometrie. Prin urmare, ne vom stabili obiectivul: să studiem un număr de triple pitagoreice, să dezvoltăm un algoritm pentru aplicarea lor, să alcătuim un memoriu despre utilizarea lor și să efectuăm un studiu asupra aplicării lor în diferite situații.

triunghi ( diapozitivul 14), ale căror laturi sunt egale cu numerele pitagorice, este dreptunghiulară. Mai mult, orice astfel de triunghi este heronian, adică. unul în care toate laturile și aria sunt numere întregi. Cel mai simplu dintre ele este triunghiul egiptean cu laturi (3, 4, 5).

Să facem o serie de triple pitagorice înmulțind numerele (3, 4, 5) cu 2, cu 3, cu 4. Vom obține o serie de triple pitagorice, le sortăm în ordinea crescătoare a numărului maxim, le selectăm pe cele primitive.

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).

III. În timpul orelor

1. Să ne întoarcem în jurul sarcinilor:

1) Folosind relațiile dintre funcțiile trigonometrice ale aceluiași argument, aflați dacă

se știe că .

2) Aflați valoarea funcțiilor trigonometrice ale unghiului?, dacă se știe că:

3) Sistemul sarcinilor de instruire pe tema „Formule de adunare”

știind că sin = 8/17, cos = 4/5 și sunt unghiurile primului sfert, găsiți valoarea expresiei:

știind că și sunt unghiurile celui de-al doilea sfert, sin = 4/5, cos = - 15/17, găsiți:.

4) Sistemul de sarcini de antrenament pe tema „Formule cu unghi dublu”

a) Fie sin = 5/13, unghiul celui de-al doilea sfert. Aflați sin2, cos2, tg2, ctg2.

b) Se ştie că tg? \u003d 3/4, - unghiul celui de-al treilea sfert. Aflați sin2, cos2, tg2, ctg2.

c) Se știe că , 0< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

d) Se ştie că , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

e) Aflați tg( + ) dacă se știe că cos = 3/5, cos = 7/25, unde și sunt unghiurile primului sfert.

f) Găsiți , este unghiul celui de-al treilea sfert.

Rezolvăm problema în mod tradițional folosind identități trigonometrice de bază, iar apoi rezolvăm aceleași probleme într-un mod mai rațional. Pentru a face acest lucru, folosim un algoritm pentru rezolvarea problemelor folosind triple pitagoreene. Compunem un memoriu pentru rezolvarea problemelor folosind triplele pitagoreice. Pentru a face acest lucru, amintim definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, unghiul ascuțit al unui triunghi dreptunghic, descrieți-l, în funcție de condițiile problemei de pe laturile triunghiului dreptunghic, aranjam corect triplele pitagoreice ( orez. unu). Notăm raportul și aranjam semnele. Algoritmul a fost dezvoltat.

Poza 1

Algoritm de rezolvare a problemelor

Repetați (studiați) materialul teoretic.

Cunoașteți pe de rost triplele pitagoreice primitive și, dacă este necesar, puteți construi altele noi.

Aplicați teorema lui Pitagora pentru puncte cu coordonate raționale.

Cunoașteți definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic, să fiți capabil să desenați un triunghi dreptunghic și, în funcție de starea problemei, să aranjați corect triplele pitagorice pe laturile triunghiului.

Cunoașteți semnele sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei în funcție de locația lor în planul de coordonate.

Cerințe necesare:

1. cunoașteți ce semne sinus, cosinus, tangentă, cotangentă au în fiecare din sferturile planului de coordonate;
2. cunoașteți definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic;
3. să cunoască și să fie capabil să aplice teorema lui Pitagora;
4. cunoașteți identitățile trigonometrice de bază, formulele de adunare, formulele cu unghi dublu, formulele pe jumătate de argument;
5. cunoașteți formulele de conversie.

Având în vedere cele de mai sus, completăm tabelul ( tabelul 1). Acesta trebuie completat urmând definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei sau folosind teorema lui Pitagora pentru puncte cu coordonate raționale. În acest caz, este necesar să ne amintim constant semnele sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, în funcție de locația lor în planul de coordonate.

tabelul 1

		Triplete de numere		păcat	cos	tg	ctg
		(3, 4, 5)	eu ora
		(6, 8, 10)	ora II			-	-
		(5, 12, 13)	a 3-a ora	-	-
		(8, 15, 17)	ora IV	-		-	-
		(9, 40, 41)	eu ora

Pentru o muncă de succes, puteți folosi nota de utilizare a triplelor pitagoreice.

masa 2

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

2. Ne hotărâm împreună.

1) Sarcină: găsiți cos, tg și ctg, dacă sin = 5/13, dacă - unghiul celui de-al doilea sfert.

Studiul proprietăților numerelor naturale i-a condus pe pitagoreici la o altă problemă „eternă” de aritmetică teoretică (teoria numerelor) - o problemă ai cărei germeni și-au făcut drum cu mult înaintea lui Pitagora în Egiptul anticși Babilonul antic și o soluție comună nu a fost găsită până în ziua de azi. Să începem cu problema, care în termeni moderni poate fi formulată astfel: rezolvarea ecuației nedefinite în numere naturale

Astăzi această sarcină se numește problema lui Pitagora, iar soluțiile sale - triple ale numerelor naturale care satisfac ecuația (1.2.1) - se numesc tripleți pitagoreici. Datorită legăturii evidente a teoremei lui Pitagora cu problema lui Pitagora, acesteia din urmă i se poate da o formulare geometrică: găsiți toate triunghiurile dreptunghiulare cu catete întregi. X, yși ipotenuză întreagă z.

Soluții particulare ale problemei lui Pitagora erau cunoscute în antichitate. Într-un papirus de pe vremea faraonului Amenemhet I (aproximativ 2000 î.Hr.), păstrat în Muzeul Egiptean din Berlin, găsim un triunghi dreptunghic cu un raport de aspect (). Potrivit celui mai mare istoric german matematicienii M. Kantor (1829 - 1920), în Egiptul antic exista o profesie specială harpedonaptilor- „întinzători de frânghie”, care, în timpul ceremoniei solemne de așezare a templelor și piramidelor, marcau unghiuri drepte cu o frânghie având 12 (= 3 + 4 + 5) noduri egal distanțate. Metoda de construire a unui unghi drept cu harpedonapt este evidentă din figura 36.

Trebuie spus că un alt cunoscător al matematicii antice, van der Waerden, nu este de acord categoric cu Cantor, deși înseși proporțiile arhitecturii egiptene antice mărturisesc în favoarea lui Cantor. Oricum ar fi, astăzi se numește un triunghi dreptunghic cu un raport de aspect egiptean.

După cum s-a menționat la p. 76, a fost păstrată o tăbliță de lut datând din epoca antică babiloniană și care conține 15 linii de tripleți pitagoreici. Pe lângă banala triplă obținută de la egipteanul (3, 4, 5) prin înmulțirea cu 15 (45, 60, 75), există și triple pitagorice foarte complexe, precum (3367, 3456, 4825) și chiar (12709). , 13500, 18541)! Nu există nicio îndoială că aceste numere au fost găsite nu prin simpla enumerare, ci după niște reguli uniforme.

Și totuși întrebarea de decizie comună ecuația (1.2.1) în numere naturale a fost pusă și rezolvată numai de pitagoreici. Formularea generală a oricărei probleme matematice era străină atât vechilor egipteni, cât și vechilor babilonieni. Numai cu Pitagora începe formarea matematicii ca știință deductivă, iar unul dintre primii pași pe această cale a fost soluționarea problemei triplelor pitagoreene. Tradiția antică asociază primele soluții ale ecuației (1.2.1) cu numele lui Pitagora și Platon. Să încercăm să reconstruim aceste soluții.

Este clar că Pitagora a gândit ecuația (1.2.1) nu într-o formă analitică, ci sub forma unui număr pătrat , în interiorul căruia a fost necesar să se găsească numerele pătrate și . Era firesc să reprezinte numărul sub forma unui pătrat cu o latură y o parte mai putin z pătratul original, adică . Apoi, așa cum este ușor de observat din Figura 37 (doar vezi!), pentru numărul pătrat rămas, egalitatea trebuie îndeplinită. Astfel ajungem la sistem ecuatii lineare

Adunând și scăzând aceste ecuații, găsim soluția ecuației (1.2.1):

Este ușor de observat că soluția rezultată dă numere naturale numai pentru impar. Astfel, în sfârșit avem

Și așa mai departe.Tradiția leagă această decizie cu numele lui Pitagora.

Rețineți că sistemul (1.2.2) poate fi obținut și formal din ecuația (1.2.1). Într-adevăr,

de unde, presupunând , ajungem la (1.2.2).

Este clar că soluția pitagoreică a fost găsită sub o constrângere destul de rigidă () și conține departe de toate triplele pitagoreice. Următorul pas este să puneți , atunci , deoarece numai în acest caz va fi un număr pătrat. Deci, sistemul apare va fi, de asemenea, un triplu pitagoreic. Acum principalul

Teorema.În cazul în care un pși q numere coprime de paritate diferită, apoi toate triplele pitagoreice primitive sunt găsite prin formule

Belotelov V.A. Triplele pitagorice și numărul lor // Enciclopedia Nesterovilor

Acest articol este un răspuns pentru un profesor - un ciupitor. Uite, domnule profesor, cum procedează în satul nostru.

Regiunea Nijni Novgorod, Zavolzhye.

Este necesară cunoașterea algoritmului de rezolvare a ecuațiilor diofante (ADDE) și cunoașterea progresiilor polinomiale.

DACA este un numar prim.

MF este un număr compus.

Să fie un număr impar N. Pentru orice număr impar, altul decât unul, puteți scrie o ecuație.

p 2 + N \u003d q 2,

unde р + q = N, q – р = 1.

De exemplu, pentru numerele 21 și 23, ecuațiile ar fi, -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Dacă N este prim, această ecuație este unică. Dacă numărul N este compus, atunci este posibil să se compună ecuații similare pentru numărul de perechi de factori care reprezintă acest număr, inclusiv 1 x N.

Să luăm numărul N = 45, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

Am visat, dar este posibil, agățandu-mă de această diferență dintre IF și MF, să găsesc o metodă de identificare a acestora.

Să introducem notația;

Să schimbăm ecuația inferioară, -

N \u003d în 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a).

Să grupăm valorile lui N conform criteriului în - a, adică. hai sa facem o masa.

Numerele N au fost rezumate într-o matrice, -

Pentru această sarcină a trebuit să mă ocup de progresiile polinoamelor și matricele lor. Totul s-a dovedit a fi în zadar - apărarea PCh este ținută puternic. Să introducem o coloană în tabelul 1, unde în - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).

Din nou. Tabelul 2 a fost obținut ca urmare a încercării de a rezolva problema identificării FI și MF. Din tabel rezultă că, pentru orice număr N, există tot atâtea ecuații de forma a 2 + N \u003d în 2, în câte perechi de factori poate fi împărțit numărul N, inclusiv factorul 1 x N. În plus la numerele N \u003d ℓ 2, unde

ℓ - FC. Pentru N = ℓ 2 , unde ℓ este DACA, există o ecuație unică p 2 + N = q 2 . Despre ce dovadă suplimentară putem vorbi dacă în tabel sunt enumerate factori mai mici din perechile de factori care formează N, de la unu la ∞. Vom așeza Tabelul 2 într-un cufăr și îl vom ascunde într-un dulap.

Să revenim la subiectul menționat în titlul articolului.

Acest articol este un răspuns pentru un profesor - un ciupitor.

Am cerut ajutor - aveam nevoie de o serie de numere pe care nu le puteam găsi pe internet. M-am lovit de întrebări de genul: „Pentru ce?”, „Dar arată-mi metoda”. În special, s-a pus întrebarea dacă seria triplelor pitagoreice este infinită, „cum se dovedește?”. Nu m-a ajutat. Uite, domnule profesor, cum procedează în satul nostru.

Să luăm formula triplelor pitagoreice, -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (unu)

Să trecem prin ARDU.

Sunt posibile trei situații:

I. x - numar impar,

y este un număr par

z este un număr par.

Și există o condiție x > y > z.

II. x este un număr impar

y este un număr par

z este un număr impar.

x > z > y.

III.x - un număr par,

y este un număr impar

z este un număr impar.

x > y > z.

Să începem cu I.

Să introducem noi variabile

Înlocuiți în ecuația (1).

Să anulăm cu variabila mai mică 2γ.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

Să reducem variabila 2β – 2γ cu una mai mică cu introducerea simultană a unui nou parametru ƒ, -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

Apoi, 2α - 2β = x - y - 1.

Ecuația (2) va lua forma –

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

Să-l pătram -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU dă prin parametri relația dintre termenii seniori ai ecuației, așa că am obținut ecuația (3).

Nu este solid să te ocupi de selecția soluțiilor. Dar, în primul rând, nu există unde să mergem și, în al doilea rând, avem nevoie de mai multe dintre aceste soluții și putem restabili un număr infinit de soluții.

Pentru ƒ = 1, k = 1, avem x – y = 1.

Cu ƒ = 12, k = 16, avem x - y = 9.

Cu ƒ = 4, k = 32, avem x - y = 25.

Îl poți ridica mult timp, dar în cele din urmă seria va lua forma -

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

Luați în considerare opțiunea II.

Să introducem noi variabile în ecuația (1)

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

Reducem cu o variabilă mai mică 2 β, -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2 .

Să reducem cu variabila mai mică 2α – 2β, –

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (4)

2α - 2γ = x - z și înlocuiți în ecuația (4).

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

Cu ƒ = 3, k = 4, avem x - z = 2.

Cu ƒ = 8, k = 14, avem x - z = 8.

Cu ƒ = 3, k = 24, avem x - z = 18.

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

Să desenăm un trapez -

Să scriem o formulă.

unde n=1, 2,...∞.

Cazul III nu va fi descris - nu există soluții acolo.

Pentru condiția II, setul de triple va fi după cum urmează:

Ecuația (1) este prezentată ca x 2 = z 2 + y 2 pentru claritate.

Pentru condiția I, setul de triple va fi după cum urmează:

În total, sunt pictate 9 coloane de triple, câte cinci triple fiecare. Și fiecare dintre coloanele prezentate poate fi scrisă până la ∞.

Ca exemplu, luați în considerare triplele ultimei coloane, unde x - y \u003d 81.

Pentru valorile lui x, scriem un trapez, -

Să scriem formula

Pentru valorile scriem un trapez, -

Să scriem formula

Pentru valorile lui z, scriem un trapez, -

Să scriem formula

Unde n = 1 ÷ ∞.

După cum am promis, o serie de tripleți cu x - y = 81 zboară către ∞.

A existat o încercare pentru cazurile I și II de a construi matrici pentru x, y, z.

Scrieți ultimele cinci coloane de x din rândurile de sus și construiți un trapez.

Nu a funcționat, iar modelul ar trebui să fie pătratic. Pentru a face totul în ajurat, s-a dovedit că a fost necesar să se combine coloanele I și II.

În cazul II, mărimile y, z sunt din nou schimbate.

Am reușit să unim dintr-un singur motiv - cărțile se potrivesc bine în această sarcină - am avut noroc.

Acum puteți scrie matrici pentru x, y, z.

Să luăm din ultimele cinci coloane ale valorii x din rândurile de sus și să construim un trapez.

Totul este în regulă, puteți construi matrice și să începem cu o matrice pentru z.

Fug la dulap după un cufăr.

Total: În plus față de unul, fiecare număr impar al axei numerice participă la formarea tripleților pitagoreici printr-un număr egal de perechi de factori care formează acest număr N, inclusiv factorul 1 x N.

Numărul N \u003d ℓ 2, unde ℓ - IF, formează un triplu pitagoreic, dacă ℓ este MF, atunci nu există triplu pentru factorii ℓхℓ.

Să construim matrici pentru x, y.

Să începem cu matricea pentru x. Pentru a face acest lucru, vom trage pe el grila de coordonate din problema identificării IF și MF.

Numerotarea rândurilor verticale este normalizată prin expresie

Să eliminăm prima coloană, pentru că

Matricea va lua forma -

Să descriem rândurile verticale, -

Să descriem coeficienții la „a”, -

Să descriem membrii liberi, -

Să compunem formula generala pentru "x", -

Dacă facem o treabă similară pentru „y”, obținem -

Puteți aborda acest rezultat din cealaltă parte.

Să luăm ecuația,

și 2 + N = în 2 .

Hai sa o schimbam putin -

N \u003d în 2 - a 2.

Să-l pătram -

N 2 \u003d în 4 - 2v 2 a 2 + a 4.

În partea stângă și dreaptă a ecuației, adăugați în magnitudine 4v 2 a 2, -

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d în 4 + 2v 2 a 2 + a 4.

Și, în sfârșit -

(în 2 + a 2) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

Triplele pitagoreice sunt compuse după cum urmează:

Luați în considerare un exemplu cu numărul N = 117.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

Coloanele verticale din Tabelul 2 sunt numerotate cu valori în - a, în timp ce coloanele verticale din Tabelul 3 sunt numerotate cu valori x - y.

x - y \u003d (c - a) 2,

x \u003d y + (c - a) 2.

Să facem trei ecuații.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

Factorii 3 și 39 nu sunt numere prime relativ, așa că o triplă a rezultat cu un factor de 9.

Să descriem cele de mai sus scrise în simboluri generale, -

În această lucrare, totul, inclusiv un exemplu pentru calcularea triplelor pitagoreice cu numărul

N = 117, legat de factorul mai mic din - a. Discriminarea explicită în raport cu factorul în + a. Să corectăm această nedreptate - vom compune trei ecuații cu un factor în + a.

Să revenim la problema identificării IF și MF.

S-au făcut multe lucruri în această direcție, iar astăzi următorul gând a venit prin mâini - nu există ecuație de identificare și nu există așa ceva care să determine factorii.

Să presupunem că am găsit relația F = a, b (N).

Există o formulă

Puteți scăpa de în formula F din în și obțineți o ecuație omogenă de gradul al n-lea față de a, adică. F = a(N).

Pentru orice grad n al acestei ecuații, există un număr N cu m perechi de factori, pentru m > n.

Și, în consecință, o ecuație omogenă de grad n trebuie să aibă m rădăcini.

Da, asta nu poate fi.

În această lucrare, numerele N au fost luate în considerare pentru ecuația x 2 = y 2 + z 2 atunci când sunt în ecuație la locul z. Când N este în locul lui x, aceasta este o altă sarcină.

Cu stimă, Belotelov V.A.