Algoritmul de soluție slough gaussian c. Metoda Gauss pentru rezolvarea unui sistem de ecuații liniare. Un sistem cu multe soluții posibile

Dat un sistem liniar ecuații algebrice(SLAU) cu necunoscute. Este necesar să se rezolve acest sistem: să se determine câte soluții are (niciuna, una sau infinit de multe), iar dacă are cel puțin o soluție, atunci găsiți oricare dintre ele.

Oficial Problema se pune astfel: rezolvarea sistemului:

unde coeficienţi şi cunoscute și variabilele sunt necunoscutele dorite.

O reprezentare matriceală convenabilă a acestei probleme este:

unde este o matrice compusă din coeficienți și sunt vectori coloană de înălțime .

Este de remarcat faptul că SLAE nu poate fi peste câmpul numerelor reale, ci peste câmp modulo orice număr, adică:

- algoritmul gaussian funcționează și pentru astfel de sisteme (dar acest caz va fi analizat mai jos într-o secțiune separată).

Algoritmul Gauss

Strict vorbind, metoda descrisă mai jos este denumită în mod corespunzător metoda de eliminare Gauss-Iordan, deoarece este o variație a metodei Gauss descrisă de inspectorul Wilhelm Jordan în 1887 (este demn de remarcat că Wilhelm Jordan nu este autorul nici al Iordanului). teorema curbelor, nici algebra iordaniană - toți cei trei oameni de știință omonim diferiți; în plus, transcripția „Iordania” pare să fie mai corectă, dar ortografia „Iordan” a fost deja fixată în literatura rusă). De asemenea, este interesant de observat că, în același timp cu Jordan (și conform unor surse, chiar înaintea lui), acest algoritm a fost inventat de Clasen (B.-I. Clasen).

Schema de baza

Pe scurt, algoritmul este excluderea secvenţială variabile din fiecare ecuație până când rămâne o singură variabilă în fiecare ecuație. Dacă , atunci putem spune că algoritmul Gauss-Jordan urmărește să reducă matricea sistemului la matricea de identitate - la urma urmei, după ce matricea a devenit identitate, soluția sistemului este evidentă - soluția este unică și este dată prin coeficienţii rezultaţi .

În acest caz, algoritmul se bazează pe două transformări simple echivalente ale sistemului: în primul rând, două ecuații pot fi schimbate, iar în al doilea rând, orice ecuație poate fi înlocuită cu o combinație liniară a acestui rând (cu un coeficient diferit de zero) și alte rânduri (cu coeficienți arbitrari).

Pe primul pas algoritmul Gauss-Jordan împarte primul rând cu un factor . Apoi algoritmul adaugă primul rând la restul rândurilor cu astfel de coeficienți încât coeficienții lor din prima coloană se transformă la zero - pentru aceasta, evident, la adăugarea primului rând la --lea, este necesar să-l înmulțiți cu . Pentru fiecare operație cu o matrice (împărțire cu un număr, adăugare la un rând cu altul), se efectuează cu vectorul operațiile corespunzătoare; într-un sens, se comportă ca și cum ar fi coloana i-a a matricei.

Ca rezultat, la sfârșitul primului pas, prima coloană a matricei va deveni unică (adică va conține o unitate în primul rând și zerouri în rest).

Al doilea pas al algoritmului este efectuat în mod similar, doar că acum se iau în considerare a doua coloană și al doilea rând: mai întâi, al doilea rând este împărțit la și apoi scade din toate celelalte rânduri cu astfel de coeficienți pentru a seta a doua coloană a matricei la zero. .

Găsirea unui element de referință (pivotant)

Desigur, schema descrisă mai sus este incompletă. Funcționează numai dacă la fiecare pas i-lea elementul este diferit de zero - altfel pur și simplu nu putem realiza zero coeficienții rămași în coloana curentă adăugând rândul i la ei.

Pentru ca algoritmul să funcționeze în astfel de cazuri, există doar un proces selectarea datelor(pe Limba engleză aceasta se numește într-un singur cuvânt „pivotant”). Constă în faptul că rândurile și/sau coloanele matricei sunt permutate astfel încât în elementul dorit să apară un număr diferit de zero.

Rețineți că permutarea rândurilor este mult mai ușor de implementat pe un computer decât permutarea coloanelor: la urma urmei, atunci când schimbați două coloane, trebuie să vă amintiți că aceste două variabile au schimbat locurile, astfel încât mai târziu, la restaurarea răspunsului, este corect să restaurați care răspuns îi aparține cărei variabile . Când rearanjați șirurile, nu sunt necesare astfel de acțiuni suplimentare.

Din fericire, pentru corectitudinea metodei, doar schimburile de rânduri sunt suficiente (așa-numita „pivotare parțială”, spre deosebire de „pivotarea completă”, când sunt schimbate atât rândurile, cât și coloanele). Dar ce linie ar trebui aleasă pentru schimb? Și este adevărat că căutarea elementului de referință ar trebui făcută numai atunci când elementul curent este nul?

Nu există un răspuns general la această întrebare. Există diverse euristici, dar cea mai eficientă dintre ele (din punct de vedere al simplității și al randamentului) este aceasta euristic: ca element de referință, ar trebui să se ia elementul cu cel mai mare modul și este necesar să se caute elementul de referință și să se schimbe cu acesta mereu, și nu numai când este necesar (adică nu numai când ).

Cu alte cuvinte, înainte de a executa faza i-a a algoritmului Gauss-Jordan cu euristica de pivotare parțială, este necesar să se găsească în coloana i-a dintre elementele cu indici de la modulo maxim și să se schimbe rândul cu acest element cu al-lea rând.

În primul rând, această euristică va permite rezolvarea SLAE, chiar dacă se întâmplă ca elementul . În al doilea rând, și nu în ultimul rând, această euristică se îmbunătățește stabilitate numerică Algoritmul Gauss-Iordan.

Fără această euristică, chiar dacă sistemul este de așa natură încât la fiecare a treia fază algoritmul Gauss-Jordan va funcționa, dar în final eroarea acumulată poate fi atât de mare încât chiar și pentru matrice de dimensiunea erorii va depăși răspunsul în sine.

Cazuri degenerate

Deci, dacă ne oprim pe algoritmul Gauss-Jordan cu pivotare parțială, atunci, se argumentează, dacă sistemul este nedegenerat (adică are un determinant diferit de zero, ceea ce înseamnă că are o soluție unică), atunci algoritmul descris mai sus va funcționa complet și va ajunge la matricea unității (dovada acestui lucru, adică că va exista întotdeauna un element pivot diferit de zero, nu este dată aici).

Luați în considerare acum caz general când și nu sunt neapărat egale. Să presupunem că elementul de referință la pasul i nu a fost găsit. Aceasta înseamnă că în coloana --a, toate rândurile, începând cu cel curent, conțin zerouri. Se afirmă că în acest caz această --a variabilă nu poate fi definită și este variabila independenta(poate lua orice valoare). Pentru ca algoritmul Gauss-Jordan să-și continue lucrul pentru toate variabilele ulterioare, într-o astfel de situație, trebuie doar să săriți peste coloana i-a curentă fără a crește numărul de rând curent (putem spune că ștergem practic i -a coloană a matricei).

Deci, unele variabile din cursul algoritmului se pot dovedi a fi independente. Este clar că atunci când numărul de variabile este mai mare decât numărul de ecuații, atunci cel puțin variabilele vor fi găsite a fi independente.

În general, dacă se găsește cel puțin o variabilă independentă, atunci aceasta poate lua o valoare arbitrară, în timp ce variabilele rămase (dependente) vor fi exprimate prin intermediul acesteia. Aceasta înseamnă că atunci când lucrăm în domeniul numerelor reale, sistemul poate avea infinit de solutii(dacă luăm în considerare SLAE modulo, atunci numărul de soluții va fi egal cu acest modulo cu puterea numărului de variabile independente). Cu toate acestea, trebuie să fim atenți: trebuie să ne amintim că, chiar dacă s-au găsit variabile independente, totuși, SLAE poate sa nu aiba deloc solutii. Acest lucru se întâmplă atunci când ecuațiile rămase neprocesate (cele la care algoritmul Gauss-Jordan nu a ajuns, adică sunt ecuații în care rămân doar variabile independente) au cel puțin un termen liber diferit de zero.

Cu toate acestea, este mai ușor să verificați acest lucru prin înlocuirea explicită a soluției găsite: atribuiți valori zero tuturor variabilelor independente, atribuiți valorile găsite variabilelor dependente și înlocuiți această soluție în SLAE curent.

Implementarea

Prezentăm aici implementarea algoritmului Gauss-Jordan cu euristica de pivotare parțială (selectarea elementului de referință ca maxim în coloană).

Matricea sistemului în sine este transmisă la intrarea funcției. Ultima coloană a matricei este, în vechea noastră notație, coloana de coeficienți liberi (acest lucru se face pentru comoditatea programării - deoarece în algoritmul însuși, toate operațiile cu coeficienți liberi repetă operațiile cu matricea).

Funcția returnează numărul de soluții ale sistemului (, sau ) (infinitul este notat în cod printr-o constantă specială, care poate fi setată la orice mare importanță). Dacă există cel puțin o soluție, atunci aceasta este returnată într-un vector.

int gauss (vector< vector< double >> a, vector< double >& ans) ( int n = (int ) a.size () ; int m = (int ) a[ 0 ] .size () - 1 ; vector< int >< m && row< n; ++ col) { int sel = row; for (int i= row; i< n; ++ i) if (abs (a[ i] [ col] ) >abs (a[ sel] [ col] ) ) sel = i; dacă (abs (a[ sel] [ col] )< EPS) continue ; for (int i= col; i<= m; ++ i) swap (a[ sel] [ i] , a[ row] [ i] ) ; where[ col] = row; for (int i= 0 ; i< n; ++ i) if (i ! = row) { double c = a[ i] [ col] / a[ row] [ col] ; for (int j= col; j<= m; ++ j) a[ i] [ j] - = a[ row] [ j] * c; } ++ row; } ans.assign (m, 0 ) ; for (int i= 0 ; i< m; ++ i) if (where[ i] ! = - 1 ) ans[ i] = a[ where[ i] ] [ m] / a[ where[ i] ] [ i] ; for (int i= 0 ; i< n; ++ i) { double sum = 0 ; for (int j= 0 ; j< m; ++ j) sum + = ans[ j] * a[ i] [ j] ; if (abs (sum - a[ i] [ m] ) >EPS) returnează 0; ) pentru (int i= 0 ; i< m; ++ i) if (where[ i] == - 1 ) return INF; return 1 ; }

Funcția acceptă două pointeri - către coloana curentă și rândul curent.

Se începe și un vector, în care pentru fiecare variabilă se scrie în ce rând ar trebui să apară (cu alte cuvinte, pentru fiecare coloană se înregistrează numărul rândului în care această coloană este diferită de zero). Acest vector este necesar deoarece unele variabile ar putea să nu fie „decise” în timpul soluției (adică sunt variabile independente cărora li se poate atribui o valoare arbitrară - de exemplu, în implementarea dată, acestea sunt zerouri).

Implementarea folosește tehnica de pivotare parțială, căutând rândul cu elementul modulo maxim și apoi rearanjarea acestui rând în poziție (deși o permutare explicită a rândului poate fi înlocuită prin schimbul a doi indici într-o matrice, în practică acest lucru nu va da un real câștig, deoarece schimburile irosesc operațiuni).

În implementare, de dragul simplității, rândul curent nu este împărțit de elementul pivot, astfel încât, ca urmare, la sfârșitul algoritmului, matricea devine nu unitară, ci diagonală (totuși, aparent, împărțind rând de elementul conducător ne permite să reducem oarecum erorile rezultate).

După găsirea unei soluții, aceasta este înlocuită înapoi în matrice pentru a verifica dacă sistemul are cel puțin o soluție sau nu. Dacă verificarea soluției găsite a avut succes, atunci funcția revine sau - în funcție de dacă există sau nu cel puțin o variabilă independentă.

Asimptotice

Să estimăm comportamentul asimptotic al algoritmului obţinut. Algoritmul constă din faze, fiecare dintre acestea având loc:

Evident, primul punct are un asimptotic mai mic decât al doilea. Rețineți, de asemenea, că al doilea pas este executat nu mai mult de o dată - atâtea câte variabile dependente pot fi în SLAE.

În acest fel, asimptotice finale algoritmul ia forma .

Când această estimare se transformă în .

Rețineți că atunci când SLAE este considerat nu în câmpul numerelor reale, ci în câmpul modulo doi, atunci sistemul poate fi rezolvat mult mai rapid - vezi mai jos în secțiunea „Soluția SLAE modulo”.

Estimare mai precisă a numărului de acțiuni

După cum știm deja, timpul de rulare al întregului algoritm este de fapt determinat de timpul petrecut pentru excluderea ecuației curente din restul.

Acest lucru se poate întâmpla la fiecare dintre pași, ecuația curentă fiind adăugată tuturor celorlalți. La adăugare, se lucrează numai cu coloane, începând cu cea curentă. Astfel, în sumă rezultă operațiuni.

Suplimente

Accelerarea algoritmului: împărțirea lui în înainte și înapoi

O accelerare dublă a algoritmului poate fi realizată luând în considerare o altă versiune a acestuia, mai clasică, când algoritmul este împărțit în faze directe și faze inverse.

În general, spre deosebire de algoritmul descris mai sus, este posibil să se reducă matricea nu la o formă diagonală, ci la triunghiular- când toate elementele strict sub diagonala principală sunt egale cu zero.

Un sistem cu o matrice triunghiulară este rezolvat trivial - mai întâi, valoarea ultimei variabile este găsită imediat din ultima ecuație, apoi valoarea găsită este înlocuită în penultima ecuație și este găsită valoarea penultimei variabile și astfel pe. Acest proces se numește înapoi Algoritmul Gauss.

lovitură înainte Algoritmul Gauss este un algoritm similar cu algoritmul Gauss-Jordan descris mai sus, cu o singură excepție: variabila curentă nu este exclusă din toate ecuațiile, ci doar din ecuațiile de după cea curentă. Ca rezultat, într-adevăr, nu se obține o diagonală, ci o matrice triunghiulară.

Diferența este că cursa înainte funcționează Mai repede Algoritmul Gauss-Jordan - pentru că, în medie, face jumătate din câte adunări ale unei ecuații la alta. Mișcarea inversă rulează în , ceea ce este în orice caz asimptotic mai rapid decât mișcarea înainte.

Astfel, dacă , atunci acest algoritm va efectua deja operații - care este de două ori mai puțin decât algoritmul Gauss-Jordan.

Rezolvarea SLAE modulo

Pentru a rezolva modulo SLAE, se poate folosi algoritmul descris mai sus, își păstrează corectitudinea.

Desigur, acum devine inutil să folosiți niște tehnici de selecție pivotante complicate - doar găsiți orice element diferit de zero în coloana curentă.

Dacă modulul este simplu, atunci nu apar deloc dificultăți - diviziunile care apar în cursul algoritmului gaussian nu creează probleme speciale.

Mai ales minunat modul egal cu doi: pentru el, toate operatiile cu matricea pot fi efectuate foarte eficient. De exemplu, scăderea unui șir dintr-un alt modulo doi este de fapt diferența lor simetrică ("xor"). Astfel, întregul algoritm poate fi accelerat semnificativ prin comprimarea întregii matrice în măști de biți și operarea numai pe acestea. Iată o nouă implementare a părții principale a algoritmului Gauss-Jordan, folosind containerul standard C++ „bitset”:

int gauss (vector< bitset< N>> a, int n, int m, set de biți< N>& ans) ( vector< int >unde (m, - 1); pentru (int col= 0, rând= 0; col< m && row< n; ++ col) { for (int i= row; i< n; ++ i) if (a[ i] [ col] ) { swap (a[ i] , a[ row] ) ; break ; } if (! a[ row] [ col] ) continue ; where[ col] = row; for (int i= 0 ; i< n; ++ i) if (i ! = row && a[ i] [ col] ) a[ i] ^ = a[ row] ; ++ row; }

După cum puteți vedea, implementarea a devenit și puțin mai scurtă, în ciuda faptului că este mult mai rapidă decât vechea implementare - și anume, este de câteva ori mai rapidă datorită compresiei biților. De asemenea, trebuie remarcat faptul că soluția sistemelor modulo doi în practică funcționează foarte repede, deoarece cazurile în care este necesară scăderea altuia dintr-un rând apar destul de rar (pe matrici rare, acest algoritm poate funcționa în timpul ordinului pătratul mărimii mai degrabă decât cubul).

Dacă modulul arbitrar(nu neapărat simplu), atunci lucrurile se complică puțin. Este clar că folosind teorema chineză a restului, reducem problema unui modul arbitrar doar la module de forma „putere primă”. [ textul suplimentar a fost ascuns deoarece aceasta este o informație neverificată - poate o modalitate greșită de a o rezolva]

În cele din urmă, luați în considerare întrebarea numărul de soluții SLAE modulo. Răspunsul la acesta este destul de simplu: numărul de soluții este , unde este modulul și este numărul de variabile independente.

Câteva despre diferitele moduri de a selecta un element de referință

După cum am menționat mai sus, nu există un răspuns clar la această întrebare.

Euristica „pivotare parțială”, care urma să găsească elementul maxim în coloana curentă, funcționează destul de bine în practică. De asemenea, se dovedește că dă aproape același rezultat ca „pivotarea completă” - când elementul pivot este căutat printre elementele întregii submatrice - începând de la rândul curent și de la coloana curentă.

Dar este interesant de observat că ambele euristice ale elementelor maxime sunt, de fapt, foarte dependente de cât de mult au fost scalate ecuațiile originale. De exemplu, dacă una dintre ecuațiile sistemului este înmulțită cu un milion, atunci această ecuație va fi aproape sigur aleasă ca principală la primul pas. Acest lucru pare destul de ciudat, așa că este logic să trecem la o euristică puțin mai complexă - așa-numita „pivotare implicită”.

Euristica pivotării implicite este că elementele diferitelor rânduri sunt comparate ca și cum ambele rânduri ar fi normalizate astfel încât elementul maxim din valoarea lor absolută să fie egal cu unul. Pentru a implementa această tehnică, trebuie doar să mențineți maximul curent în fiecare rând (sau să mențineți fiecare rând astfel încât maximul din acesta să fie egal cu un modulo, dar acest lucru poate duce la o creștere a erorii acumulate).

Îmbunătățirea răspunsului găsit

Deoarece, în ciuda diferitelor euristici, algoritmul Gauss-Jordan poate duce în continuare la erori mari pe matrice speciale, chiar și de dimensiuni de ordinul - .

În acest sens, răspunsul obținut de algoritmul Gauss-Jordan poate fi îmbunătățit prin aplicarea unei metode numerice simple - de exemplu, metoda iterației simple.

Astfel, soluția se transformă într-o soluție în doi pași: mai întâi se execută algoritmul Gauss-Jordan, apoi o metodă numerică care ia ca date inițiale soluția obținută la primul pas.

Această tehnică ne permite să extindem oarecum setul de probleme rezolvate de algoritmul Gauss-Jordan cu o eroare acceptabilă.

Literatură

William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery. Rețete numerice: Arta calculului științific
Anthony Ralston, Philip Rabinowitz. Un prim curs de analiză numerică

Fie dat sistemul, ∆≠0. (unu)
metoda Gauss este o metodă de eliminare succesivă a necunoscutelor.

Esența metodei Gauss este de a transforma (1) într-un sistem cu o matrice triunghiulară, din care valorile tuturor necunoscutelor sunt apoi obținute succesiv (invers). Să luăm în considerare una dintre schemele de calcul. Acest circuit se numește circuit cu o singură diviziune. Deci, să aruncăm o privire la această diagramă. Fie un 11 ≠0 (element conducător) să împartă la 11 prima ecuație. obține
x 1 +a (1) 12 x 2 +...+a (1) 1n x n =b (1) 1 (2)
Folosind ecuația (2), este ușor să excludem necunoscutele x 1 din ecuațiile rămase ale sistemului (pentru aceasta, este suficient să scădem ecuația (2) din fiecare ecuație înmulțită preliminar cu coeficientul corespunzător la x 1), că este, la primul pas obținem
.
Cu alte cuvinte, la pasul 1, fiecare element al liniilor ulterioare, începând cu al doilea, este egală cu diferențaîntre elementul original și produsul „proiecției” acestuia pe prima coloană și primul rând (transformat).
După aceea, lăsând în pace prima ecuație, peste restul ecuațiilor sistemului obținut la primul pas, vom efectua o transformare similară: alegem dintre ele o ecuație cu un element conducător și o folosim pentru a exclude x 2 din ecuațiile rămase (pasul 2).
După n pași, în loc de (1) obținem un sistem echivalent
(3)
Astfel, în prima etapă, vom obține un sistem triunghiular (3). Acest pas se numește înainte.
La a doua etapă (deplasare inversă) găsim secvenţial din (3) valorile x n , x n -1 , …, x 1 .
Să notăm soluția obținută ca x 0 . Atunci diferența ε=b-A x 0 se numeste rezidual.
Dacă ε=0, atunci soluția găsită x 0 este corectă.

Calculele prin metoda Gauss sunt efectuate în două etape:

Prima etapă se numește cursul direct al metodei. În prima etapă, sistemul original este convertit într-o formă triunghiulară.
A doua etapă se numește inversă. La a doua etapă se rezolvă un sistem triunghiular echivalent cu cel inițial.

Coeficienții a 11 , a 22 , ... se numesc elemente conducătoare.
La fiecare pas, sa presupus că elementul conducător este diferit de zero. Dacă nu este cazul, atunci orice alt element poate fi folosit ca lider, ca și cum ar rearanja ecuațiile sistemului.

Scopul metodei Gauss

Metoda Gauss este concepută pentru a rezolva sisteme ecuatii lineare. Se referă la metode directe de soluție.

Tipuri de metoda Gauss

Metoda Gauss clasică;
Modificări ale metodei Gauss. Una dintre modificările metodei gaussiene este circuitul cu alegerea elementului principal. O caracteristică a metodei Gauss cu alegerea elementului principal este o astfel de permutare a ecuațiilor, astfel încât la pasul k-lea elementul principal este cel mai mare element din k-a coloană.
metoda Jordan-Gauss;

Diferența dintre metoda Jordan-Gauss și cea clasică metoda Gauss constă în aplicarea regulii dreptunghiului atunci când direcția căutării unei soluții este de-a lungul diagonalei principale (transformare în matricea identității). În metoda Gauss, direcția căutării unei soluții are loc de-a lungul coloanelor (transformare într-un sistem cu matrice triunghiulară).
Ilustrați diferența metoda Jordan-Gauss din metoda Gauss pe exemple.

Exemplu de soluție Gauss
Să rezolvăm sistemul:

Înmulțiți al 2-lea rând cu (2). Adăugați a treia linie la a doua

Din prima linie exprimăm x 3:
Din a doua linie exprimăm x 2:
Din a treia linie exprimăm x 1:

Un exemplu de soluție prin metoda Jordan-Gauss
Vom rezolva același SLAE folosind metoda Jordano-Gauss.

Vom alege secvenţial elementul de rezoluţie al RE, care se află pe diagonala principală a matricei.
Elementul de activare este egal cu (1).

NE \u003d SE - (A * B) / RE
RE - element de activare (1), A și B - elemente de matrice care formează un dreptunghi cu elemente de STE și RE.
Să prezentăm calculul fiecărui element sub forma unui tabel:

x 1	x2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Elementul de activare este egal cu (3).
În locul elementului de rezolvare, obținem 1, iar în coloana însăși scriem zerouri.
Toate celelalte elemente ale matricei, inclusiv elementele coloanei B, sunt determinate de regula dreptunghiului.
Pentru a face acest lucru, selectați patru numere care sunt situate la vârfurile dreptunghiului și includ întotdeauna elementul de activare al RE.

x 1	x2	x 3	B

0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Elementul de activare este (-4).
În locul elementului de rezolvare, obținem 1, iar în coloana însăși scriem zerouri.
Toate celelalte elemente ale matricei, inclusiv elementele coloanei B, sunt determinate de regula dreptunghiului.
Pentru a face acest lucru, selectați patru numere care sunt situate la vârfurile dreptunghiului și includ întotdeauna elementul de activare al RE.
Să prezentăm calculul fiecărui element sub forma unui tabel:

x 1	x2	x 3	B


0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Răspuns: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Implementarea metodei Gauss

Metoda Gauss este implementată în multe limbaje de programare, în special: Pascal, C++, php, Delphi și există și o implementare online a metodei Gauss.

Folosind metoda Gauss

Aplicarea metodei Gauss în teoria jocurilor

În teoria jocurilor, la găsirea strategiei maxime optime a unui jucător, se alcătuiește un sistem de ecuații, care se rezolvă prin metoda Gauss.

Aplicarea metodei Gauss in rezolvarea ecuatiilor diferentiale

Pentru a căuta o anumită soluție a unei ecuații diferențiale, găsiți mai întâi derivatele gradului corespunzător pentru soluția particulară scrisă (y=f(A,B,C,D)), care sunt substituite în ecuația originală. Următorul de găsit variabilele A,B,C,D se alcătuiește un sistem de ecuații, care se rezolvă prin metoda Gauss.

Aplicarea metodei Jordan-Gauss în programarea liniară

În programarea liniară, în special, în metoda simplex, pentru a transforma un tabel simplex la fiecare iterație, se folosește regula dreptunghiului, care folosește metoda Jordan-Gauss.

Exemple

Exemplul #1. Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss:
x 1 + 2x 2 - 3x 3 + x 4 = -2
x 1 + 2x 2 - x 3 + 2x 4 = 1
3x1 -x2 + 2x3 + x4 = 3
3x1 +x2 +x3 + 3x4 = 2

Pentru confortul calculelor, schimbăm liniile:

Înmulțiți al 2-lea rând cu (-1). Adăugați al 2-lea rând la primul

Pentru confortul calculelor, schimbăm liniile:

Din prima linie exprimăm x 4

Din a doua linie exprimăm x 3

Din a treia linie exprimăm x 2

Din a 4-a linie exprimăm x 1

Exemplul #3.

Rezolvați SLAE folosind metoda Jordan-Gauss. Scriem sistemul sub forma: Elementul de rezolvare este egal cu (2.2). În locul elementului de rezolvare, obținem 1, iar în coloana însăși scriem zerouri. Toate celelalte elemente ale matricei, inclusiv elementele coloanei B, sunt determinate de regula dreptunghiului. x 1 = 1,00, x 2 = 1,00, x 3 = 1,00
Rezolvați sistemul de ecuații liniare prin metoda Gauss
Exemplu
Vedeți cât de repede puteți determina dacă un sistem este colaborativ
Instrucțiuni video
Folosind metoda Gauss de eliminare a necunoscutelor, rezolvați sistemul de ecuații liniare. Verificați soluția găsită: Soluție
Rezolvați sistemul de ecuații folosind metoda Gauss. Se recomandă aplicarea transformărilor legate de excluderea succesivă a necunoscutelor la matricea extinsă a acestui sistem. Verificați soluția obținută.
Soluție: xls
Rezolvați un sistem de ecuații liniare în trei moduri: a) prin metoda Gauss a eliminărilor succesive de necunoscute; b) după formula x = A -1 b cu calculul matricei inverse A -1 ; c) după formulele lui Cramer.
Soluție: xls
Rezolvați următorul sistem de ecuații degenerat folosind metoda Gauss.
Descărcați soluția doc
Rezolvați prin metoda gaussiană sistemul de ecuații liniare scris sub formă de matrice:
7 8 -3 x 92
2 2 2 y = 30
-9 -10 5z -114

Rezolvarea unui sistem de ecuații prin metoda adunării

Rezolvați sistemul de ecuații 6x+5y=3, 3x+3y=4 folosind metoda adunării.
Soluţie.
6x+5y=3
3x+3y=4
Înmulțiți a doua ecuație cu (-2).
6x+5y=3
-6x-6y=-8
============ (adăugați)
-y=-5
De unde y = 5
Găsiți x:
6x+5*5=3 sau 6x=-22
Unde x = -22/6 = -11/3

Exemplul #2. Soluția SLAE sub formă de matrice înseamnă că înregistrarea originală a sistemului trebuie redusă la una matriceală (așa-numita matrice augmentată). Să arătăm asta cu un exemplu.
Scriem sistemul sub forma unei matrice extinse:

2	4	3
-2	5	4
3	0	1

Să adăugăm a doua linie la prima:

0	9	7
-2	5	4
3	0	1

Înmulțiți al 2-lea rând cu (3). Înmulțiți al treilea rând cu (2). Să adăugăm a treia linie la a doua:

0	9	7
0	15	14
3	0	1

Înmulțiți primul rând cu (15). Înmulțiți al 2-lea rând cu (-9). Să adăugăm a doua linie la prima:

0	0	-21
0	15	14
3	0	1

-21

Acum sistemul original poate fi scris ca:
x 3 = -21/(-21) = 1
x2 = /15
x 1 = /3
Din a doua linie exprimăm x 2:

Din a treia linie exprimăm x 1:

Exemplul #3. Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss: x 1 +2x 2 - 3x 3 + x 4 = -2
x 1 + 2x 2 - x 3 + 2x 4 = 1
3x1 -x2 + 2x3 + x4 = 3
3x1 +x2 +x3 + 3x4 = 2

Soluţie:
Scriem sistemul sub forma:
Pentru confortul calculelor, schimbăm liniile:

Înmulțiți al 2-lea rând cu (-1). Adăugați al 2-lea rând la primul

Înmulțiți al 2-lea rând cu (3). Înmulțiți al treilea rând cu (-1). Adăugați a treia linie la a doua

Înmulțiți al 4-lea rând cu (-1). Adăugați a 4-a linie la a 3-a

Pentru confortul calculelor, schimbăm liniile:

Înmulțiți primul rând cu (0). Adăugați al 2-lea rând la primul

Înmulțiți al 2-lea rând cu (7). Înmulțiți al treilea rând cu (2). Adăugați a treia linie la a doua

Înmulțiți primul rând cu (15). Înmulțiți al 2-lea rând cu (2). Adăugați al 2-lea rând la primul

Din prima linie exprimăm x 4

Din a doua linie exprimăm x 3

Din a treia linie exprimăm x 2

Din a 4-a linie exprimăm x 1

Încă de la începutul secolelor XVI-XVIII, matematicienii au început să studieze intens funcțiile, datorită cărora s-au schimbat atât de multe în viața noastră. Tehnologia informatică fără aceste cunoștințe pur și simplu nu ar exista. Pentru a rezolva probleme complexe, ecuații și funcții liniare, au fost create diverse concepte, teoreme și tehnici de rezolvare. Una dintre astfel de metode și tehnici universale și raționale de rezolvare a ecuațiilor liniare și a sistemelor lor a fost metoda Gauss. Matrici, rangul lor, determinant - totul poate fi calculat fără a utiliza operații complexe.

Ce este SLAU

În matematică, există conceptul de SLAE - un sistem de ecuații algebrice liniare. Ce reprezintă ea? Acesta este un set de m ecuații cu n necunoscute necesare, de obicei notate ca x, y, z sau x 1 , x 2 ... x n sau alte simboluri. A rezolva acest sistem prin metoda Gauss înseamnă a găsi toate necunoscutele necunoscute. Dacă un sistem are același număr de necunoscute și ecuații, atunci se numește sistem de ordin al n-lea.

Cele mai populare metode de rezolvare a SLAE

LA institutii de invatamantînvăţământul secundar studiază diverse tehnici de rezolvare a unor astfel de sisteme. Cel mai adesea acestea sunt ecuații simple formate din două necunoscute, deci oricare metoda existenta nu va dura mult pentru a găsi răspunsuri la ele. Poate fi ca o metodă de substituție, când o altă ecuație este derivată dintr-o ecuație și substituită în cea originală. Sau termen cu termen scădere și adunare. Dar metoda Gauss este considerată cea mai ușoară și universală. Face posibilă rezolvarea ecuațiilor cu orice număr de necunoscute. De ce această tehnică este considerată rațională? Totul este simplu. Metoda matricei este bună pentru că nu necesită de mai multe ori să rescrieți caractere inutile sub formă de necunoscute, este suficient să faceți operații aritmetice pe coeficienți - și veți obține un rezultat fiabil.

Unde sunt utilizate SLAE-urile în practică?

Soluția SLAE sunt punctele de intersecție a dreptelor de pe graficele funcțiilor. În era noastră de computere de înaltă tehnologie, oamenii care sunt implicați îndeaproape în dezvoltarea de jocuri și alte programe trebuie să știe cum să rezolve astfel de sisteme, ce reprezintă acestea și cum să verifice corectitudinea rezultatului rezultat. Cel mai adesea, programatorii dezvoltă calculatoare speciale de algebră liniară, care include un sistem de ecuații liniare. Metoda Gauss vă permite să calculați toate soluțiile existente. Sunt utilizate și alte formule și tehnici simplificate.

Criteriul de compatibilitate SLAE

Un astfel de sistem poate fi rezolvat doar dacă este compatibil. Pentru claritate, prezentăm SLAE sub forma Ax=b. Are o soluție dacă rang(A) este egal cu rang(A,b). În acest caz, (A,b) este o matrice de formă extinsă care poate fi obținută din matricea A prin rescrierea ei cu termeni liberi. Se pare că rezolvarea ecuațiilor liniare folosind metoda Gauss este destul de ușoară.

Poate că o notație nu este complet clară, așa că este necesar să luăm în considerare totul cu un exemplu. Să presupunem că există un sistem: x+y=1; 2x-3y=6. Este format din doar două ecuații în care există 2 necunoscute. Sistemul va avea o soluție numai dacă rangul matricei sale este egal cu rangul matricei augmentate. Ce este un rang? Acesta este numărul de linii independente ale sistemului. În cazul nostru, rangul matricei este 2. Matricea A va consta din coeficienții aflați în apropierea necunoscutelor, iar coeficienții din spatele semnului „=” se vor potrivi, de asemenea, în matricea extinsă.

De ce SLAE poate fi reprezentat sub formă de matrice

Pe baza criteriului de compatibilitate conform teoremei dovedite Kronecker-Capelli, sistemul de ecuații algebrice liniare poate fi reprezentat sub formă de matrice. Folosind metoda cascadei gaussiene, puteți rezolva matricea și puteți obține singurul răspuns de încredere pentru întregul sistem. Dacă rangul unei matrice obișnuite este egal cu rangul matricei sale extinse, dar mai mic decât numărul de necunoscute, atunci sistemul are un număr infinit de răspunsuri.

Transformări de matrice

Înainte de a trece la rezolvarea matricelor, este necesar să știm ce acțiuni pot fi efectuate asupra elementelor acestora. Există mai multe transformări elementare:

Prin rescrierea sistemului într-o formă de matrice și efectuând soluția acestuia, este posibil să se înmulțească toate elementele seriei cu același coeficient.
Pentru a converti o matrice în formă canonică, două rânduri paralele pot fi schimbate. Forma canonică implică faptul că toate elementele matricei care sunt situate de-a lungul diagonalei principale devin una, iar cele rămase devin zerouri.
Elementele corespunzătoare ale rândurilor paralele ale matricei pot fi adăugate una la alta.

metoda Jordan-Gauss

Esența rezolvării sistemelor de liniare omogene și ecuații neomogene Metoda gaussiană este eliminarea treptat a necunoscutelor. Să presupunem că avem un sistem de două ecuații în care există două necunoscute. Pentru a le găsi, trebuie să verificați compatibilitatea sistemului. Ecuația lui Gauss este rezolvată foarte simplu. Este necesar să scrieți coeficienții aflați lângă fiecare necunoscută într-o formă de matrice. Pentru a rezolva sistemul, trebuie să scrieți matricea augmentată. Dacă una dintre ecuații conține un număr mai mic de necunoscute, atunci trebuie pus „0” în locul elementului lipsă. Toate metodele de transformare cunoscute sunt aplicate matricei: înmulțirea, împărțirea cu un număr, adăugarea elementelor corespunzătoare ale rândurilor între ele și altele. Se pare că în fiecare rând este necesar să lăsați o variabilă cu valoarea „1”, restul ar trebui redus la zero. Pentru o înțelegere mai precisă, este necesar să luăm în considerare metoda Gauss cu exemple.

Un exemplu simplu de rezolvare a unui sistem 2x2

Pentru început, să luăm un sistem simplu de ecuații algebrice, în care vor exista 2 necunoscute.

Să-l rescriem într-o matrice augmentată.

Pentru a rezolva acest sistem de ecuații liniare sunt necesare doar două operații. Trebuie să aducem matricea la forma canonică, astfel încât să existe unități de-a lungul diagonalei principale. Deci, transpunând din forma matricei înapoi în sistem, obținem ecuațiile: 1x+0y=b1 și 0x+1y=b2, unde b1 și b2 sunt răspunsurile obținute în procesul de rezolvare.

Primul pas în rezolvarea matricei augmentate va fi următorul: primul rând trebuie înmulțit cu -7 și, respectiv, elementele corespunzătoare adăugate celui de-al doilea rând, pentru a scăpa de o necunoscută din a doua ecuație.
Deoarece rezolvarea ecuațiilor prin metoda Gauss presupune aducerea matricei la forma canonică, atunci este necesar să se facă aceleași operații cu prima ecuație și să se elimine a doua variabilă. Pentru a face acest lucru, scădem a doua linie din prima și obținem răspunsul necesar - soluția SLAE. Sau, așa cum se arată în figură, înmulțim al doilea rând cu un factor de -1 și adăugăm elementele celui de-al doilea rând la primul rând. Asta e lafel.

După cum puteți vedea, sistemul nostru este rezolvat prin metoda Jordan-Gauss. O rescriem în forma cerută: x=-5, y=7.

Un exemplu de rezolvare a SLAE 3x3

Să presupunem că avem un sistem mai complex de ecuații liniare. Metoda Gauss face posibilă calcularea răspunsului chiar și pentru sistemul cel mai aparent confuz. Prin urmare, pentru a aprofunda metodologia de calcul, puteți trece la mai multe exemplu complex cu trei necunoscute.

Ca și în exemplul anterior, rescriem sistemul sub forma unei matrice extinse și începem să-l aducem la forma canonică.

Pentru a rezolva acest sistem, va trebui să efectuați mult mai multe acțiuni decât în exemplul anterior.

Mai întâi trebuie să faceți în prima coloană un singur element și restul zerouri. Pentru a face acest lucru, înmulțiți prima ecuație cu -1 și adăugați a doua ecuație la ea. Este important să ne amintim că rescriem prima linie în forma sa originală, iar a doua - deja într-o formă modificată.
În continuare, eliminăm aceeași primă necunoscută din a treia ecuație. Pentru a face acest lucru, înmulțim elementele primului rând cu -2 și le adăugăm la al treilea rând. Acum, prima și a doua linie sunt rescrise în forma lor originală, iar a treia - deja cu modificări. După cum puteți vedea din rezultat, am primit primul la începutul diagonalei principale a matricei, iar restul sunt zerouri. Încă câteva acțiuni și sistemul de ecuații prin metoda Gauss va fi rezolvat în mod fiabil.
Acum trebuie să efectuați operații pe alte elemente ale rândurilor. Al treilea și al patrulea pas pot fi combinați într-unul singur. Trebuie să împărțim a doua și a treia linie la -1 pentru a scăpa de cele negative de pe diagonală. Am adus deja a treia linie la forma necesară.
În continuare, canonizăm a doua linie. Pentru a face acest lucru, înmulțim elementele celui de-al treilea rând cu -3 și le adăugăm la a doua linie a matricei. Din rezultat se vede că a doua linie se reduce și la forma de care avem nevoie. Rămâne să mai faci câteva operații și să scoți coeficienții necunoscutelor din primul rând.
Pentru a face 0 din al doilea element al rândului, trebuie să înmulțiți al treilea rând cu -3 și să îl adăugați la primul rând.
Următorul pas decisiv este adăugarea elementelor necesare din al doilea rând la primul rând. Deci obținem forma canonică a matricei și, în consecință, răspunsul.

După cum puteți vedea, soluția ecuațiilor prin metoda Gauss este destul de simplă.

Un exemplu de rezolvare a unui sistem de ecuații 4x4

Mai mult sisteme complexe ecuațiile pot fi rezolvate prin metoda Gauss folosind programe de calculator. Este necesar să introduceți coeficienți pentru necunoscute în celulele goale existente, iar programul va calcula rezultatul necesar pas cu pas, descriind fiecare acțiune în detaliu.

Descris mai jos instrucțiuni pas cu pas soluții la acest exemplu.

În primul pas, coeficienții liberi și numerele pentru necunoscute sunt introduse în celulele goale. Astfel, obținem aceeași matrice augmentată pe care o scriem manual.

Și toate operațiile aritmetice necesare sunt efectuate pentru a aduce matricea extinsă la forma canonică. Trebuie înțeles că răspunsul la un sistem de ecuații nu este întotdeauna numere întregi. Uneori, soluția poate fi din numere fracționale.

Verificarea corectitudinii solutiei

Metoda Jordan-Gauss prevede verificarea corectitudinii rezultatului. Pentru a afla dacă coeficienții sunt calculați corect, trebuie doar să înlocuiți rezultatul în sistemul original de ecuații. Partea stângă a ecuației trebuie să se potrivească cu partea dreaptă, care se află în spatele semnului egal. Dacă răspunsurile nu se potrivesc, atunci trebuie să recalculați sistemul sau să încercați să aplicați o altă metodă de rezolvare a SLAE cunoscută de dvs., cum ar fi înlocuirea sau scăderea și adunarea termen cu termen. La urma urmei, matematica este o știință care are un număr mare de metode diferite de rezolvare. Dar rețineți: rezultatul ar trebui să fie întotdeauna același, indiferent de metoda de soluție pe care ați folosit-o.

Metoda Gauss: cele mai frecvente erori în rezolvarea SLAE

În timpul rezolvării sistemelor liniare de ecuații, apar cel mai adesea erori, cum ar fi transferul incorect al coeficienților într-o formă de matrice. Există sisteme în care unele necunoscute lipsesc într-una dintre ecuații, apoi, transferând datele în matricea extinsă, acestea se pot pierde. Ca urmare, la rezolvarea acestui sistem, rezultatul poate să nu corespundă cu cel real.

O altă greșeală principală poate fi scrierea incorectă a rezultatului final. Trebuie să se înțeleagă clar că primul coeficient va corespunde primei necunoscute din sistem, al doilea - celui de-al doilea și așa mai departe.

Metoda Gauss descrie în detaliu soluția ecuațiilor liniare. Datorită lui, este ușor să efectuați operațiunile necesare și să găsiți rezultatul potrivit. În plus, acesta este un instrument universal pentru a găsi un răspuns de încredere la ecuații de orice complexitate. Poate de aceea este atât de des folosit în rezolvarea SLAE.

Una dintre cele mai simple moduri de a rezolva un sistem de ecuații liniare este o metodă bazată pe calcularea determinanților ( regula lui Cramer). Avantajul său este că vă permite să înregistrați imediat soluția, este mai ales convenabil în cazurile în care coeficienții sistemului nu sunt numere, ci niște parametri. Dezavantajul său este greoaiele calculelor în cazul unui număr mare de ecuații, în plus, regula lui Cramer nu este direct aplicabilă sistemelor în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de necunoscute. În astfel de cazuri, este de obicei folosit metoda Gauss.

Se numesc sisteme de ecuații liniare care au același set de soluții echivalent. În mod evident, setul de soluții ale unui sistem liniar nu se va schimba dacă vreo ecuație este schimbată sau dacă una dintre ecuații este înmulțită cu un număr diferit de zero, sau dacă o ecuație este adăugată la alta.

metoda Gauss (metoda de eliminare succesiva a necunoscutelor) constă în faptul că, cu ajutorul transformărilor elementare, sistemul se reduce la un sistem treptat echivalent. În primul rând, cu ajutorul primei ecuații, X 1 din toate ecuațiile ulterioare ale sistemului. Apoi, folosind a 2-a ecuație, eliminăm X 2 din a 3-a și toate ecuațiile ulterioare. Acest proces, numit metoda Gauss directă, continuă până când rămâne doar o necunoscută în partea stângă a ultimei ecuații x n. După aceea, se face Revers gaussian– rezolvând ultima ecuație, găsim x n; după aceea, folosind această valoare, din penultima ecuație pe care o calculăm x n-1 etc. Ultimul găsim X 1 din prima ecuație.

Este convenabil să se efectueze transformări gaussiene realizând transformări nu cu ecuațiile în sine, ci cu matricele coeficienților lor. Luați în considerare matricea:

numit sistem de matrice extinsă, deoarece pe lângă matricea principală a sistemului, include o coloană de membri liberi. Metoda Gaussiană se bazează pe aducerea matricei principale a sistemului într-o formă triunghiulară (sau formă trapezoidală în cazul sistemelor nepătrate) folosind transformări elementare de rând (!) ale matricei extinse a sistemului.

Exemplul 5.1. Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss:

Soluţie. Să scriem matricea augmentată a sistemului și, folosind primul rând, după aceea vom seta restul elementelor la zero:

primim zerouri în rândurile 2, 3 și 4 ale primei coloane:

Acum avem nevoie ca toate elementele din a doua coloană de sub al doilea rând să fie egale cu zero. Pentru a face acest lucru, puteți înmulți a doua linie cu -4/7 și adăugați la a treia linie. Totuși, pentru a nu ne ocupa de fracții, vom crea o unitate în al 2-lea rând al celei de-a doua coloane și numai

Acum, pentru a obține o matrice triunghiulară, trebuie să eliminați elementul din al patrulea rând al coloanei a treia, pentru aceasta puteți înmulți al treilea rând cu 8/54 și îl puteți adăuga la al patrulea. Totuși, pentru a nu avea de-a face cu fracțiile, vom schimba rândurile al 3-lea și al 4-lea și al 3-a și al 4-lea coloane și numai după aceea vom reseta elementul specificat. Rețineți că atunci când coloanele sunt rearanjate, variabilele corespunzătoare sunt schimbate și acest lucru trebuie reținut; alte transformări elementare cu coloane (adunare și înmulțire cu un număr) nu pot fi efectuate!

Ultima matrice simplificată corespunde unui sistem de ecuații echivalent cu cel inițial:

De aici, folosind cursul invers al metodei Gauss, găsim din a patra ecuație X 3 = -1; din a treia X 4 = -2, din a doua X 2 = 2 și din prima ecuație X 1 = 1. În formă de matrice, răspunsul se scrie ca

Am luat în considerare cazul când sistemul este definit, adică. când există o singură soluție. Să vedem ce se întâmplă dacă sistemul este inconsecvent sau nedeterminat.

Exemplul 5.2. Explorați sistemul folosind metoda Gaussiană:

Soluţie. Scriem și transformăm matricea augmentată a sistemului

Scriem un sistem simplificat de ecuații:

Aici, în ultima ecuație, s-a dovedit că 0=4, adică. contradicţie. Prin urmare, sistemul nu are soluție, adică. ea este incompatibil. à

Exemplul 5.3. Explorați și rezolvați sistemul folosind metoda Gaussiană:

Soluţie. Scriem și transformăm matricea extinsă a sistemului:

Ca urmare a transformărilor s-au obținut doar zerouri în ultima linie. Aceasta înseamnă că numărul de ecuații a scăzut cu una:

Astfel, după simplificări, rămân două ecuații, și patru necunoscute, adică. două „în plus” necunoscute. Lasă „de prisos”, sau, după cum se spune, variabile libere, voi X 3 și X patru . Apoi

Presupunând X 3 = 2Ași X 4 = b, primim X 2 = 1–Ași X 1 = 2b–A; sau sub formă de matrice

O soluție scrisă în acest fel se numește general, din moment ce, prin darea parametrilor Ași b valori diferite, este posibil să descriem toate soluțiile posibile ale sistemului. A

În calculatorul nostru veți găsi gratuit rezolvarea unui sistem de ecuații liniare prin metoda Gauss online cu o soluție detaliată și chiar cu numere complexe. La noi puteți rezolva atât sistemul de ecuații definit obișnuit, cât și cel nedefinit, care are un număr infinit de soluții. In acest caz, in raspuns vei primi dependenta unor variabile prin altele - libere. De asemenea, puteți verifica compatibilitatea sistemului folosind aceeași metodă Gaussiană.

Aflați mai multe despre cum să utilizați calculator online, puteți citi în instrucțiuni.

Despre metoda

La rezolvarea unui sistem de ecuații liniare prin metoda Gauss se parcurg următorii pași.

Scriem matricea augmentată.
De fapt, algoritmul este împărțit în înainte și înapoi. O mișcare înainte este o reducere a unei matrice la o formă în trepte. Mișcarea inversă se numește reducerea matricei la o formă specială în trepte. Dar, în practică, este mai convenabil să anulați imediat ceea ce este atât deasupra cât și dedesubtul elementului în cauză. Calculatorul nostru folosește exact această abordare.
Este important de menționat că la rezolvarea prin metoda Gauss, prezența în matrice a cel puțin unui rând zero cu o latură dreaptă diferită de zero (coloana de membri liberi) indică inconsecvența sistemului. Nu există soluție în acest caz.

Pentru a înțelege cel mai bine cum funcționează algoritmul, introduceți orice exemplu, selectați „soluție foarte detaliată” și studiați răspunsul.