Calcul diferenţial al unei funcţii a mai multor variabile. Calcul diferenţial al funcţiilor uneia şi mai multor variabile Elemente de calcul diferenţial al funcţiilor mai multor variabile

Întrebări pentru examenul de matematică. Semestrul II.

Când răspundeți la o întrebare, este necesar să definiți toți termenii folosiți.

Algebră.

1. Grupuri, inele, câmpuri. Izomorfism de grup.

2. Definirea unui spațiu liniar. Teoremă asupra sistemelor de vectori liniar dependente și independente.

3. Teorema privind dependența liniară a unui sistem de k vectori, fiecare dintre care este o combinație liniară a unui sistem de m vectori (k>m).

4. Baza unui spațiu liniar. Teorema privind invarianța numărului de elemente ale bazei. Teorema privind numărul de elemente ale unui sistem liniar independent (T. 1.3, T.1.4).

5. Coordonatele vectoriale. Teoreme asupra coordonatelor vectoriale (T.1.5 și T.1.7).

6. Definiția și proprietățile produsului scalar. Unghiul dintre vectori.

7. Spații și .

8. Subspațiu al unui spațiu liniar. Intervalul liniar al unui sistem de vectori.

9. Matrice: definiție; adunare si inmultire. Dimensiunea și baza spațiului matricelor de aceeași dimensiune.

10. Înmulțirea matricei. Proprietăți.

11. Matrici inverse și transpuse.

12. Înmulțirea matricelor împărțite în blocuri.

13. Matrici ortogonale.

14. Determinant al unei matrice: definiție, extindere în prima coloană. Determinant al matricelor triunghiulare superioare și inferioare. Relația determinanților și .

15. Permutări.

16. Teorema privind exprimarea determinantului în termeni de sumă de termeni, fiecare dintre ele conţinând produsul elementelor matriceale (câte unul din fiecare rând şi fiecare coloană), echipat cu un semn după o anumită regulă.

17. Proprietăți ale determinanților: permutarea rândurilor (coloanelor), expansiunea într-o coloană (rând) arbitrară, suma produselor elementelor din rândul i prin complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale rândului j.

18. Liniaritatea determinantului asupra elementelor unui rând sau coloană. Determinant al unei matrice ale cărei rânduri (coloane) sunt dependente liniar. Determinantul unei matrice, la un rând din care se adaugă un altul, înmulțit cu un număr.

19. Determinantul matricei bloc. Determinant al produsului matricelor.

20. Matrice inversă. Corolare pe matrici triunghiulare.

21. Matrici de transformări elementare.

22. Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor ecuatii lineare atunci când sistemele sunt inconsecvente sau au o soluție unică.

23. Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare în cazul în care sistemele au infinit de soluții. Structura soluției generale a sistemelor.

24. Sisteme omogene de ecuații liniare.

25. Teorema lui Cramer.

26. Rândurile orizontale și verticale ale matricei. Rang minor. Coincidența lor pentru o matrice trapezoidală.

27. Invarianța rangului unei matrice atunci când aceasta este înmulțită cu una nedegenerată. Teorema privind egalitatea rangurilor pentru o matrice arbitrară.

28. Teorema Kronecker-Capelli.

29. Valori proprii și vectori matrice. Coincidența polinoamelor caracteristice pentru matrici similare. Independența liniară a vectorilor proprii corespunzători diferitelor valori proprii.

30. Relația dintre dependența liniară a unui sistem de vectori și sistemul corespunzător de coloane de coordonate. Comunicarea coloanelor de coordonate ale unui vector în baze diferite.

31. Afișare linie spații liniare. Matrice de afișare în unele baze. Utilizarea sa pentru a calcula imaginea unui vector. Relația matricelor de cartografiere în diferite baze.

32. Kernel și afișare imagine. Rangul de afișare, relația acestuia cu rangul matricei de afișare.

33. Valori proprii și vectori proprii ai operatorului. Matrice operatoră pe baza vectorilor proprii.

34. Independența liniară a vectorilor proprii corespunzătoare diferitelor valori proprii ale unui operator. Subspații proprii, dimensiunea lor. Consecințe.

35. Spații euclidiene și unitare. Procesul de ortogonalizare Gram-Schmidt.

36. Teoremă privind valorile proprii și vectorii proprii ai unei matrice simetrice reale.

37. Teorema de similaritate ortogonală pentru o matrice simetrică reală cu o matrice diagonală. Consecințe.

38. Definirea formelor biliniare și pătratice. O matrice a unei forme biliniare într-o anumită bază, utilizarea sa pentru a calcula o formă biliniară. Conectarea matricelor de aceeași formă biliniară în baze diferite.

39. Teorema privind existența unei transformări ortogonale a unei baze care reduce o formă pătratică la o formă canonică. O metodă practică pentru reducerea unei forme pătratice la o formă canonică folosind o transformare ortogonală a bazei (metoda vectorilor proprii). Construcție curbă

40. O teoremă privind o condiție necesară și suficientă pentru definiția pozitivă (negativă) a unei forme pătratice.

41. Teorema privind existența unei transformări triunghiulare a unei baze care reduce o formă pătratică la o formă canonică. criteriul lui Sylvester.

Analiza matematică.

Calcul diferenţial al funcţiilor mai multor variabile.

42. Succesiunea punctelor din .Teorema privind convergența în coordonate.

43. Limita functiei R variabile. Continuitatea funcției R variabile. Teorema Weierstrass.

44. Diferențiabilitatea unei funcții R variabile. Diferențiabilitatea sumei și a produsului funcțiilor diferențiabile.

45. Derivate parțiale ale funcțiilor R variabile. Relația dintre diferențiabilitatea unei funcții și existența derivatelor parțiale. Un exemplu de funcție care are derivate parțiale în punctul A, dar nu este diferențiabilă în acel punct.

46. ​​Diferențiabilitatea unei funcții în cazul existenței și continuității derivatelor parțiale.

47. Derivata unei functii complexe. Derivate parțiale ale unei funcții complexe. Invarianța formei primului diferențial.

48. Derivate parțiale de ordin superior. Teorema privind egalitatea derivatelor mixte.

49. Diferențiale de ordine superioare. Absența invarianței formei pentru diferențiale de ordin mai mari decât prima.

50. Formula lui Taylor pentru funcțiile p variabilelor.

51. O teoremă privind existența și diferențiabilitatea unei funcții date implicit a unei variabile. Calculul primei și a doua derivate ale unei funcții y(x), dat implicit de ecuație

52. O teoremă privind existența și diferențiabilitatea funcțiilor implicite ale p variabilelor date de un sistem de ecuații funcționale. Tehnici de calcul a derivatelor. Calculul primei și a doua derivate ale unei funcții z(x,y), dat implicit de ecuație

.

Calculul primelor derivate ale funcțiilor y(x), z(x), u(x), implicit stabilite de sistem

.

53. Determinarea punctelor extreme ale unei funcţii a mai multor variabile. Condiții necesare și suficiente pentru existența punctelor extremum.

54. Determinarea punctelor extreme condiționale ale unei funcții a mai multor variabile. Condiții necesare și suficiente pentru existența punctelor extremum condiționate. Exemplu: găsiți puncte extreme condiționale ale unei funcții cu condiția .

Când răspundeți pentru clasa 3, trebuie să cunoașteți toate definițiile și formulările de la întrebările 1 - 54, precum și dovezile teoremelor de la întrebările 25, 29, 33, 40, 46, 49. Notele (și cheat sheets) nu pot fi folosit.

Introducere în calcul

1. Seturi, moduri de a le defini. Cuantificatori. Operații pe mulțimi (unire, intersecție, diferență), proprietățile acestora. Modulul numărului, proprietățile sale. Produsul cartezian al multimilor. Stabiliți limite. Seturi numărabile și nenumărate.

2 .. Funcții, modalități de setare, clasificare.

3. Vecinătatea unui punct. Limită de secvență. Teoremele Bolzano-Cauchy și Weierstrass (fără dovezi). Determinarea limitei unei funcții după Heine.

4. Limite unilaterale. Condiții necesare și suficiente pentru existența unei limite. Sensul geometric al limitei.

5. Determinarea limitei Cauchy a unei funcții de argument continuu pentru și .

6. Funcții infinit de mici și infinit de mari, relația dintre ele. Proprietăți ale funcțiilor infinitezimale.

7. Teoreme privind reprezentarea unei funcții ca sumă a unei limite și a unei funcții infinitezimale.

Teoreme despre limite (proprietăți ale limitelor).

8. Teorema unei functii intermediare. Prima limită minunată.

9. A doua limită remarcabilă, justificarea ei, aplicarea în calculele financiare.

10. Comparația funcțiilor infinitezimale.

11. Continuitatea unei funcții într-un punct și pe un segment. Acțiuni asupra funcțiilor continue. Continuitatea funcțiilor elementare de bază.

12. Proprietăţile funcţiilor continue.

13. Punctele de întrerupere ale funcțiilor.

Calcul diferenţial al funcţiilor unei variabile

14. Derivată a unei funcții, sensul ei geometric și mecanic.

15. Relația dintre continuitatea și diferențiabilitatea unei funcții. Determinarea directă a derivatei.

16. Reguli de diferențiere a funcțiilor.

17. Derivarea formulelor de diferențiere a funcțiilor trigonometrice și trigonometrice inverse.

18. Derivarea formulelor de diferențiere a funcțiilor logaritmice și exponențiale.

19. Derivarea formulelor de diferențiere a funcțiilor de putere și exponențial-putere. Tabel de derivate. Derivate de ordin superior.

20. Elasticitatea unei funcții, sensul ei geometric și economic, proprietăți. Exemple.

21. Diferenţialul unei funcţii a unei variabile. Definiție, condiții de existență, semnificație geometrică, proprietăți.

22. Aplicarea funcției diferențiale a unei variabile pentru calcule aproximative. Diferențiale de ordin superior.

23. Teorema lui Rolle, sensul ei geometric, exemple de utilizare.

24. Teorema lui Lagrange asupra incrementului finit al unei funcții, sensul ei geometric.

25. Teorema lui Cauchy asupra funcţiilor diferenţiabile.

26. Regula lui L'Hopital, utilizarea acesteia pentru dezvăluirea incertitudinilor în găsirea limitelor.

27. Formula lui Taylor. Termen rezidual sub formă de Lagrange și Peano.

28. Formula Maclaurin, termenul rămas. Descompunerea funcţiilor elementare.

29. Formula lui Maclaurin, aplicarea acesteia pentru găsirea limitelor și calcularea valorilor funcțiilor.

30. Funcții monotone. Criterii necesare și suficiente pentru monotonitatea unei funcții.

31. Extremul local al unei funcții. Criteriu necesar pentru extremul funcției.

32. Primul și al doilea criteriu suficient pentru extremul unei funcții.

33. Un semn suficient de convexitate, concavitate a graficului funcției.

34. Criterii necesare și suficiente pentru existența unui punct de inflexiune.

35. Asimptotele graficului unei funcții. Schema generală de studiere a funcției și reprezentare.

Calcul diferenţial al funcţiilor mai multor variabile

36. Funcția mai multor variabile, definiția acesteia, linii de nivel și suprafețe de nivel.

37. Determinarea limitei unei funcţii a mai multor variabile după Cauchy. Proprietăți limitate.

38. Funcții infinit de mici. Definiţii ale continuităţii unei funcţii a mai multor variabile. Puncte de rupere și linii. Proprietățile funcțiilor continue.

39. Creșteri parțiale și derivate parțiale ale funcțiilor mai multor variabile. Regula pentru găsirea derivatelor parțiale. Sensul geometric al derivatelor parțiale.

40. Conditiile necesare diferențiabilitatea unei funcții a mai multor variabile. Exemple de relație dintre funcțiile diferențiabile și continue.

41. Condiții suficiente pentru diferențiabilitatea unei funcții a mai multor variabile.

42. Diferenţial total al unei funcţii de mai multe variabile, definiţia ei.

43. Aplicarea diferenţialului total de funcţii a mai multor variabile pentru calcule aproximative.

44. Derivate parțiale și diferențiale de ordin superior.

45. Derivate parțiale ale unei funcții complexe a mai multor variabile.

46. ​​Derivate parțiale ale unei funcții a mai multor variabile, date implicit.

47. Derivată direcțională a unei funcții a mai multor variabile.

48. Funcția de gradient a mai multor variabile, proprietățile acesteia.

49. Formula lui Taylor pentru o funcție a mai multor variabile.

50. Criterii necesare și suficiente pentru un extremum local al unei funcții a două variabile.

51. Extremum condiționat al unei funcții a mai multor variabile. Metoda multiplicatorilor Lagrange.

52. Un semn suficient al unui extremum condiționat. Extremul absolut al unei funcții a mai multor variabile.

53. Metoda celor mai mici pătrate.

O extensie a calculului funcțiilor unei variabile este analiza multivariată, când calculul diferenţial al funcţiilor mai multor variabile- funcțiile care sunt integrate și diferențiate afectează nu una, ci mai multe variabile.

Calculul diferenţial al funcţiilor mai multor variabile implică următoarele operaţii tipice:

1. Continuitate și limite.

Multe rezultate patologice și ilogice care nu sunt caracteristice unei funcții a unei variabile rezultă din studiul continuității și limitelor în spații multidimensionale. De exemplu, există două funcții scalare variabile care au puncte în domeniul definiției, care dau o limită specifică atunci când sunt abordate de-a lungul unei linii drepte, iar când sunt abordate de-a lungul unei parabole dau o limită complet diferită. La zero, funcția tinde spre zero atunci când trece de-a lungul oricărei linii drepte care trece prin origine. Datorită faptului că limitele nu coincid de-a lungul diferitelor traiectorii, nu există o singură limită.

Când variabilele x tind, funcția limită are un anumit număr. Dacă valoarea limită a unei funcții la un anumit punct există și este egală cu valoarea particulară a funcției, atunci o astfel de funcție se numește continuă într-un punct dat. Dacă o funcție este continuă pe mulțimea de puncte, atunci se numește continuă pe mulțimea de puncte.

2. Aflarea derivatei parțiale.

Derivata parțială a mai multor variabile înseamnă derivata unei variabile, iar toate celelalte variabile sunt considerate constante.

3. Integrare multiplă.

Integrala multiplă extinde noțiunea de integrală la funcțiile mai multor variabile. Pentru a calcula volumele și ariile regiunilor din spațiu și plan, se folosesc integrale duble și triple. Conform teoremei Tonelli-Fubini, integrala multiplă poate fi calculată și ca o integrală iterată.

Toate acestea fac posibilă efectuarea calculului diferențial al funcțiilor mai multor variabile.

Plan tangent la suprafața z = f(x, y) Z - z = p(X - x) + q(Y - y), unde X, Y, Z - coordonatele curente; x, y, z - coordonatele punctului de atingere;
Normala suprafeței F(x, y, z) = 0 în punctul M(x, y, z)

X-x F " X

Calculul este o ramură a calculului care studiază derivatele, diferențialele și utilizarea lor în studiul unei funcții.

Istoria apariției

Calculul diferențial a apărut ca disciplină independentă în a doua jumătate a secolului al XVII-lea, datorită lucrărilor lui Newton și Leibniz, care au formulat prevederile de bază în calculul diferențialelor și au observat legătura dintre integrare și diferențiere. Din acel moment disciplina s-a dezvoltat odată cu calculul integralelor, formând astfel baza analizei matematice. Apariția acestor calcule a deschis o nouă perioadă modernă în lumea matematică și a provocat apariția unor noi discipline în știință. De asemenea, a extins posibilitatea aplicării științei matematice în știința și tehnologia naturii.

Noțiuni de bază

Calculul diferenţial se bazează pe conceptele fundamentale ale matematicii. Acestea sunt: ​​continuitatea, funcția și limita. După un timp au luat aspect modern, datorită calculului integral și diferențial.

Procesul de creație

Formarea calculului diferențial sub forma unei metode aplicate și apoi științifice a avut loc înainte de apariția unei teorii filozofice, care a fost creată de Nicolae din Cusa. Lucrările lui sunt luate în considerare dezvoltare evolutivă din judecăţile ştiinţei antice. În ciuda faptului că însuși filozoful nu a fost matematician, contribuția sa la dezvoltarea științei matematice este de netăgăduit. Kuzansky a fost unul dintre primii care au părăsit considerarea aritmeticii drept cel mai precis domeniu al științei, punând la îndoială matematica din acea vreme.

Pentru matematicienii antici, unitatea era un criteriu universal, în timp ce filozoful propunea infinitul ca o nouă măsură în locul numărului exact. În acest sens, reprezentarea preciziei în știința matematică este inversată. Cunoașterea științifică, potrivit lui, este împărțită în raționale și intelectuale. Al doilea este mai precis, potrivit omului de știință, deoarece primul oferă doar un rezultat aproximativ.

Idee

Ideea și conceptul principal în calculul diferențial este legat de o funcție în vecinătăți mici ale anumitor puncte. Pentru a face acest lucru, este necesar să se creeze un aparat matematic pentru studiul unei funcții al cărei comportament într-o mică vecinătate a punctelor stabilite este apropiat de comportamentul unui polinom sau funcție liniară. Aceasta se bazează pe definiția derivată și diferenţială.

Apariția a fost cauzată număr mare probleme din științele naturii și matematică, care au condus la găsirea valorilor limitelor de același tip.

Una dintre sarcinile principale care sunt date ca exemplu, începând de la liceu, este de a determina viteza unui punct care se deplasează de-a lungul unei drepte și de a construi o linie tangentă la această curbă. Diferența este legată de aceasta, deoarece este posibil să se aproximeze funcția într-o mică vecinătate a punctului considerat al funcției liniare.

Față de conceptul de derivată a unei funcții a unei variabile reale, definiția diferențialelor trece pur și simplu la o funcție de natură generală, în special la reprezentarea unui spațiu euclidian pe altul.

Derivat

Lăsați punctul să se miște în direcția axei Oy, pentru timpul pe care îl luăm x, care se numără de la un anumit început al momentului. O astfel de mișcare poate fi descrisă de funcția y=f(x), care este atribuită fiecărui moment de timp x al coordonatei punctului deplasat. În mecanică, această funcție se numește legea mișcării. Principala caracteristică a mișcării, mai ales neuniformă, este Când un punct se mișcă de-a lungul axei Oy conform legii mecanicii, atunci la un moment de timp aleator x dobândește coordonata f (x). În momentul de timp x + Δx, unde Δx denotă incrementul de timp, coordonatele sale va fi f(x + Δx). Așa se formează formula Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), care se numește increment al funcției. Reprezintă calea parcursă de punctul în timp de la x la x + Δx.

În legătură cu apariția acestei viteze în momentul de timp, se introduce o derivată. Într-o funcție arbitrară, derivata la un punct fix se numește limită (cu condiția ca aceasta să existe). Poate fi desemnat prin anumite simboluri:

f'(x), y', ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Procesul de calcul al derivatei se numește diferențiere.

Calcul diferenţial al unei funcţii a mai multor variabile

Această metodă de calcul este utilizată în studiul unei funcții cu mai multe variabile. În prezența a două variabile x și y, derivata parțială față de x în punctul A se numește derivată a acestei funcții față de x cu y fix.

Poate fi reprezentat prin următoarele simboluri:

f'(x)(x,y), u'(x), ∂u/∂x sau ∂f(x,y)'/∂x.

Aptitudini necesare

Pentru a studia cu succes și a putea rezolva difuze sunt necesare abilități de integrare și diferențiere. Pentru a facilita înțelegerea ecuațiilor diferențiale, ar trebui să aveți o bună înțelegere a subiectului derivatei și, de asemenea, nu strica să învățați cum să căutați derivata unei funcții date implicit. Acest lucru se datorează faptului că în procesul de studiu va fi adesea necesară utilizarea integralelor și diferențierii.

Tipuri de ecuații diferențiale

Practic în toate munca de control, asociate cu există 3 tipuri de ecuații: omogene, cu variabile separabile, liniare neomogene.

Există, de asemenea, varietăți mai rare de ecuații: cu diferențe totale, ecuații lui Bernoulli și altele.

Bazele soluției

Mai întâi trebuie să vă amintiți ecuațiile algebrice de la cursul școlii. Acestea conțin variabile și numere. Pentru a rezolva o ecuație obișnuită, trebuie să găsiți un set de numere care îndeplinesc o anumită condiție. De regulă, astfel de ecuații aveau o singură rădăcină și, pentru a verifica corectitudinea, nu trebuia decât să înlocuiți această valoare cu necunoscutul.

Ecuația diferențială este similară cu aceasta. În general, o astfel de ecuație de ordinul întâi include:

• variabila independenta.
• Derivata primei functii.
• funcţie sau variabilă dependentă.

În unele cazuri, una dintre necunoscute, x sau y, poate lipsi, dar acest lucru nu este atât de important, deoarece prezența primei derivate, fără derivate de ordin superior, este necesară pentru ca soluția și calculul diferențial să fie corecte.

A rezolva o ecuație diferențială înseamnă a găsi mulțimea tuturor funcțiilor care se potrivesc unei expresii date. Un set similar de funcții este adesea numit solutie comuna DU.

Calcul integral

Calculul integral este una dintre ramurile analizei matematice care studiază conceptul de integrală, proprietățile acesteia și metodele de calcul al acesteia.

Adesea, calculul integralei are loc la calcularea ariei unei figuri curbilinii. Această zonă înseamnă limita la care tinde aria unui poligon înscris într-o figură dată cu o creștere treptată a laturii sale, în timp ce aceste laturi pot fi mai mici decât orice valoare mică arbitrară specificată anterior.

Ideea principală în calcularea ariei unui arbitrar figură geometrică constă în calcularea ariei unui dreptunghi, adică a demonstra că aria lui este egală cu produsul dintre lungime și lățime. Când vorbim despre geometrie, atunci toate construcțiile sunt realizate folosind o riglă și o busolă, iar apoi raportul dintre lungime și lățime este o valoare rațională. Când calculați aria unui triunghi dreptunghic, puteți determina că dacă puneți același triunghi lângă el, atunci se formează un dreptunghi. Într-un paralelogram, aria se calculează printr-o metodă similară, dar puțin mai complicată, printr-un dreptunghi și un triunghi. În poligoane, aria se calculează prin triunghiurile incluse în ea.

Când se determină mila unei curbe arbitrare, această metodă nu va funcționa. Dacă îl despărțiți în pătrate individuale, atunci vor fi locuri neocupate. În acest caz, se încearcă utilizarea a două coperți, cu dreptunghiuri în sus și în jos, ca urmare, acestea includ graficul funcției și nu. Metoda de împărțire în aceste dreptunghiuri rămâne importantă aici. De asemenea, dacă luăm diviziuni care sunt din ce în ce mai descrescătoare, atunci zona de deasupra și dedesubt trebuie să convergă la o anumită valoare.

Ar trebui să reveniți la metoda de împărțire în dreptunghiuri. Există două metode populare.

Riemann a formalizat definiția integralei, creată de Leibniz și Newton, ca aria unui subgraf. În acest caz, au fost luate în considerare cifre, constând dintr-un anumit număr de dreptunghiuri verticale și obținute prin împărțirea segmentului. Când, pe măsură ce partiția scade, există o limită la care se reduce aria unei figuri similare, această limită se numește integrala Riemann a unei funcții pe un interval dat.

A doua metodă este construcția integralei Lebesgue, care constă în faptul că pentru locul împărțirii zonei definite în părți ale integrandului și apoi compilarea sumei integrale din valorile obținute în aceste părți, intervalul de valori al acesteia ​​este împărțit în intervale și apoi însumat cu măsurile corespunzătoare ale imaginilor inverse ale acestor integrale.

Beneficii moderne

Unul dintre principalele manuale pentru studiul calculului diferențial și integral a fost scris de Fikhtengolts - „Curs de calcul diferențial și integral”. Manualul său este un ghid fundamental pentru studiul analizei matematice, care a trecut prin multe ediții și traduceri în alte limbi. Creat pentru studenți și a fost folosit în multe aplicații de mult timp institutii de invatamant ca unul dintre principalele mijloace didactice. Oferă date teoretice și abilități practice. Prima dată publicată în 1948.

Algoritm de cercetare a funcției

Pentru a investiga o funcție prin metode de calcul diferențial, este necesar să urmați algoritmul deja dat:

1. Găsiți domeniul de aplicare al funcției.
2. Găsiți rădăcinile ecuației date.
3. Calculați extremele. Pentru a face acest lucru, calculați derivata și punctele în care este egală cu zero.
4. Înlocuiți valoarea rezultată în ecuație.

Varietăți de ecuații diferențiale

DE de ordinul întâi (în caz contrar, calcul diferențial al unei variabile) și tipurile acestora:

• Ecuație variabilă separată: f(y)dy=g(x)dx.
• Cele mai simple ecuații, sau calcul diferențial al unei funcții a unei variabile, având formula: y"=f(x).
• DE neomogen liniar de ordinul întâi: y"+P(x)y=Q(x).
• Ecuația diferențială a lui Bernoulli: y"+P(x)y=Q(x)y a .
• Ecuație cu diferențe totale: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

Ecuații diferențiale de ordinul doi și tipurile lor:

• Ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi cu valori constante ale coeficientului: y n +py"+qy=0 p, q aparține lui R.
• Ecuație diferențială liniară neomogenă de ordinul doi cu o valoare constantă a coeficienților: y n +py"+qy=f(x).
• Ecuație diferențială liniară omogenă: y n +p(x)y"+q(x)y=0 și ecuație neomogenă de ordinul doi: y n +p(x)y"+q(x)y=f(x).

Ecuații diferențiale de ordin superior și tipurile lor:

• Ecuație diferențială care permite ordinul inferior: F(x,y (k) ,y (k+1) ,...,y (n) =0.
• Ecuația liniară de ordin superior este omogenă: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=0, și neomogen: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=f(x).

Etapele rezolvării unei probleme cu o ecuație diferențială

Cu ajutorul telecomenzii se rezolvă nu numai întrebări matematice sau fizice, ci și diverse probleme din biologie, economie, sociologie și altele. În ciuda varietății mari de subiecte, ar trebui să adere la o singură secvență logică atunci când rezolvați astfel de probleme:

1. Compilarea DU. Unul dintre cei mai dificili pași care necesită precizie maximă, deoarece orice greșeală va duce la rezultate complet greșite. Trebuie luați în considerare toți factorii care influențează procesul și trebuie determinate condițiile inițiale. De asemenea, ar trebui să se bazeze pe fapte și concluzii logice.
2. Rezolvarea ecuației formulate. Acest proces este mai simplu decât primul punct, deoarece necesită doar calcule matematice stricte.
3. Analiza si evaluarea rezultatelor obtinute. Soluția derivată trebuie evaluată pentru a stabili valoarea practică și teoretică a rezultatului.

Un exemplu de utilizare a ecuațiilor diferențiale în medicină

Utilizarea telecomenzii în domeniul medicinei este întâlnită în construirea unui epidemiologic model matematic. În același timp, nu trebuie uitat că aceste ecuații se găsesc și în biologie și chimie, care sunt apropiate de medicină, deoarece studiul diferitelor populații biologice joacă un rol important în aceasta. procese chimiceîn corpul uman.

În exemplul de mai sus al unei epidemii, se poate lua în considerare răspândirea unei infecții într-o societate izolată. Locuitorii sunt împărțiți în trei tipuri:

• Infectat, numărul x(t), format din indivizi, purtători ai infecției, fiecare fiind contagios (perioada de incubație este scurtă).
• A doua specie include indivizi susceptibili y(t) care se pot infecta prin contactul cu indivizi infectați.
• A treia specie include indivizi imuni z(t), care sunt imuni sau au murit din cauza bolii.

Numărul de indivizi este constant, nu se ține cont de nașteri, decese naturale și migrație. Se va baza pe două ipoteze.

Procentul de incidență la un anumit punct de timp este x(t)y(t) (pe baza ipotezei că numărul de cazuri este proporțional cu numărul de intersecții dintre reprezentanții bolnavi și cei susceptibili, care în prima aproximare va fi proporțional cu x(t)y(t)), în Prin urmare, numărul persoanelor bolnave crește, iar numărul persoanelor susceptibile scade cu o rată calculată prin formula ax(t)y(t) (a > 0).

Numărul de indivizi imuni care au dobândit imunitate sau au murit crește într-o rată proporțională cu numărul de cazuri, bx(t) (b > 0).

Ca urmare, este posibil să se întocmească un sistem de ecuații ținând cont de toți cei trei indicatori și să se tragă concluzii pe baza acestuia.

Exemplu de utilizare în economie

Calculul diferenţial este adesea folosit în analiza economică. Sarcina principală în analiza economică este studiul cantităților din economie, care sunt scrise sub forma unei funcții. Acesta este utilizat atunci când se rezolvă probleme precum modificări ale veniturilor imediat după o creștere a impozitelor, introducerea de taxe, modificări ale veniturilor companiei atunci când se modifică costul de producție, în ce proporție pot fi înlocuiți lucrătorii pensionari cu echipamente noi. Pentru a rezolva astfel de întrebări, este necesară construirea unei funcții de conexiune din variabilele de intrare, care sunt apoi studiate folosind calculul diferențial.

LA sfera economică este adesea necesar să se găsească cei mai optimi indicatori: productivitatea maximă a muncii, cel mai mare venit, cele mai mici costuri etc. Fiecare astfel de indicator este o funcție a unuia sau mai multor argumente. De exemplu, producția poate fi privită ca o funcție a forței de muncă și a inputurilor de capital. În acest sens, găsirea unei valori adecvate poate fi redusă la găsirea maximului sau minimului unei funcții din una sau mai multe variabile.

Probleme de acest fel creează o clasă de probleme extreme în domeniul economic, a căror rezolvare necesită calcul diferenţial. Când un indicator economic trebuie să fie minimizat sau maximizat în funcție de un alt indicator, atunci la punctul maxim, raportul dintre creșterea funcției și argumente va tinde spre zero dacă creșterea argumentului tinde spre zero. Altfel, când o astfel de atitudine tinde spre unele pozitive sau valoare negativă, punctul specificat nu este potrivit, deoarece prin creșterea sau micșorarea argumentului, puteți modifica valoarea dependentă în direcția dorită. În terminologia calculului diferențial, aceasta va însemna că condiția necesară pentru maximul unei funcții este valoarea zero a derivatei sale.

În economie, există adesea sarcini pentru a găsi extremul unei funcții cu mai multe variabile, deoarece indicatorii economici sunt formați din mulți factori. Astfel de întrebări sunt bine studiate în teoria funcțiilor mai multor variabile, aplicând metodele de calcul diferențial. Astfel de probleme includ nu numai funcții maximizate și minimizate, ci și constrângeri. Întrebări similare se aplică la programare matematică, și se rezolvă cu ajutorul unor metode special dezvoltate, tot bazate pe această ramură a științei.

Printre metodele de calcul diferenţial utilizate în economie, o secţiune importantă este analiza marginală. În sfera economică, acest termen se referă la un set de metode de studiere a indicatorilor variabili și a rezultatelor la modificarea volumului de creație, consum, pe baza analizei indicatorilor lor marginali. Indicatorul limitativ este derivata sau derivatele parțiale cu mai multe variabile.

Calculul diferenţial al mai multor variabile este un subiect important în domeniul analizei matematice. Pentru un studiu detaliat, puteți folosi diverse ghiduri de studiu pentru instituţiile de învăţământ superior. Unul dintre cele mai faimoase a fost creat de Fikhtengolts - „Curs de calcul diferențial și integral”. După cum sugerează și numele, de rezolvat ecuatii diferentiale abilitățile în lucrul cu integrale sunt de o importanță nu mică. Când are loc calculul diferențial al unei funcții a unei variabile, soluția devine mai simplă. Deși, trebuie menționat, respectă aceleași reguli de bază. Pentru a studia o funcție în practică prin calcul diferențial, este suficient să urmați algoritmul deja existent, care este dat în liceu și doar ușor complicat atunci când sunt introduse variabile noi.

Luhov Yu.P. Rezumat al prelegerilor de matematică superioară. 6

Cursul 22

TEMA: Calcul diferenţial al unei funcţii a mai multor variabile s x

Plan.

1. Diferențierea funcțiilor complexe. Invarianța formei diferențiale.
2. Funcții implicite, condiții pentru existența lor. Diferențierea funcțiilor implicite.
3. Derivate parțiale și diferențiale de ordin superior, proprietățile lor.*
4. Plan tangent și normal de suprafață. Sensul geometric al diferenţialului. Formula lui Taylor pentru o funcție a mai multor variabile.*
5. Derivată a unei funcții în raport cu direcția. Gradient și proprietățile sale.

Diferențierea funcțiilor complexe

Lasă argumentele funcției z \u003d f (x, y) u și v: x \u003d x (u, v), y \u003d y (u, v). Apoi funcția f exista si o functie u și v. Aflați cum să găsiți derivatele sale parțiale în raport cu argumentele u și v fără a face o înlocuire directă z = f(x(u, v), y(u, v)). În acest caz, vom presupune că toate funcțiile considerate au derivate parțiale în raport cu toate argumentele lor.

Stabiliți argumentul u increment Δ u , fără a schimba argumentul v. Apoi

. (16. 1 )

Dacă setați incrementul numai pentru argument v, obținem:

. (16. 2 )

Împărțim ambele părți ale egalității (16. 1 ) pe Δ u , iar egalitățile (16. 2 ) pe Δ v și trece la limită, respectiv, pentru Δ u → 0 și Δv → 0. În acest caz, avem în vedere că, datorită continuității funcțiilor x și y. Prin urmare,

(16. 3 )

Să luăm în considerare câteva cazuri speciale.

Fie x = x(t), y = y(t). Atunci funcția f(x, y) este de fapt o funcție a unei variabile t , și este posibil, folosind formulele ( 43 ) și înlocuirea derivatelor parțiale din acestea x și y prin u și v la derivatele uzuale cu privire la t (desigur, sub condiția diferențierii funcțiilor x(t) și y(t) ) , obțineți o expresie pentru:

(16. 4 )

Să presupunem acum că ca t variabila favorizata x, adică x și y legate de raport y = y(x). În acest caz, ca și în cazul precedent, funcția f x. Folosind formula (16.4) pentru t=x și ținând cont de asta, obținem asta

. (16. 5 )

Rețineți că această formulă conține două derivate ale funcției f prin argumentul x : în stânga este așa-numitulderivat total, spre deosebire de cel privat din dreapta.

Exemple.

1. Fie z = xy , unde x = u ² + v , y = uv ². Să găsim și Pentru a face acest lucru, mai întâi calculăm derivatele parțiale a trei funcții date în raport cu fiecare dintre argumentele lor:

Apoi din formula (16.3) obținem:

(În rezultatul final înlocuim expresiile pentru x și y ca funcții ale lui u și v).

1. Să găsim derivata totală a funcției z = sin (x + y ²), unde y = cos x .

Invarianța formei diferențiale

Folosind formulele (15.8) și (16. 3 ), exprimăm diferența totală a funcției

z = f (x, y) , unde x = x (u, v), y = y (u, v), prin diferenţiale de variabile u si v:

(16. 6 )

Prin urmare, forma diferenţialului este păstrată pentru argumente u și v la fel ca şi pentru funcţiile acestor argumente x și y , adică este invariant (neschimbător).

Funcții implicite, condiții pentru existența lor

Definiție. Funcția y din x , definit de ecuație

F (x , y ) = 0 , (16,7 )

numit funcţie implicită.

Desigur, nu toate ecuațiile de forma ( 16.7) determină y ca o funcție univalorică (și, în plus, continuă) a X . De exemplu, ecuația elipsei

întreabă y ca o funcţie cu două valori a X : pentru

Condițiile de existență a unei funcții implicite univalorice și continue sunt determinate de următoarea teoremă:

Teorema 1 (Nicio dovadă). Lăsa:

1. funcția F(x, y) este definită și continuă într-un dreptunghi centrat în punctul ( x 0, y 0);
2. F (x 0 , y 0 ) = 0 ;
3. la constanta x F (x, y) monoton crește (sau scade) odată cu creșterea la .

Apoi

a) într-o vecinătate a punctului ( x 0, y 0 ) ecuația (16.7) determină y ca o funcţie cu valoare unică a x: y \u003d f (x);

b) la x \u003d x 0 această funcție ia valoarea y 0 : f (x 0 ) = y 0 ;

c) funcţia f(x) este continuă.

Să găsim, în condițiile specificate, derivata funcției y = f(x) peste x.

Teorema 2. Fie funcția y a lui x este dat implicit de ecuația ( 16.7 ), unde funcția F (x , y ) îndeplinește condițiile teoremei 1. Fie, în plus,- funcții continue în anumite domenii D punct care contine(X y), ale căror coordonate satisfac ecuația ( 16.7 ), iar în acest moment
. Atunci funcția y a lui x are un derivat

(16.8 )

Dovada.

Să alegem o valoare X și valoarea ei corespunzătoare la . Să setăm incrementul x Δ x, apoi funcția y \u003d f (x) va primi un increment Δ la . În același timp F (x, y) = 0, F (x + Δ x, y + Δ y) = 0, deci F (x + Δ x, y + Δ y) - F (x, y) = 0. În stânga în această egalitate este incrementul complet al funcției F(x, y), care poate fi reprezentat ca ( 15.5 ):

Împărțind ambele părți ale egalității rezultate la Δ X , exprimăm din ea: .

În limita la
, dat fiind și
, primim: . Teorema a fost demonstrată.

Exemplu. Găsiți dacă. Sa gasim .

Apoi din formula ( 16.8 ) obținem: .

Derivate și diferențiale de ordin superior

Funcții derivate parțiale z = f(x, y) sunt, la rândul lor, funcţii ale variabilelor x și y . Prin urmare, se pot găsi derivatele lor parțiale în raport cu aceste variabile. Să le desemnăm astfel:

Astfel, se obțin patru derivate parțiale de ordinul 2. Fiecare dintre ele poate fi diferențiat din nou în funcție de x și y și obțineți opt derivate parțiale de ordinul al 3-lea etc. Definim derivatele de ordin superior după cum urmează:

Definiție . derivat privat ordinea a n-a funcțiile mai multor variabile se numește prima derivată a derivatei ( n – 1) ordinul.

Derivatele parțiale au o proprietate importantă: rezultatul diferențierii nu depinde de ordinea diferențierii (de exemplu,).

Să demonstrăm această afirmație.

Teorema 3. Dacă funcția z = f (x, y) și derivatele sale parțiale
definită şi continuă într-un punct M (x, y) și în unele din cartierul său, apoi în acest moment

(16.9 )

Dovada.

Luați în considerare expresia și introduceți o funcție auxiliară. Apoi

Rezultă din condițiile teoremei care este diferențiabilă pe segmentul [ x , x + ∆x ], deci i se poate aplica teorema Lagrange: unde

[x, x + ∆x ]. Dar din moment ce în vecinătatea punctului M este definit, diferentiabil pe segmentul [ y , y + ∆y ], prin urmare, putem aplica din nou teorema Lagrange la diferența obținută: , unde Atunci

Să schimbăm ordinea termenilor din expresia for DAR :

Și introducem o altă funcție auxiliară, apoi După ce am efectuat aceleași transformări ca și pentru, obținem ce unde. Prin urmare,

Datorită continuităţii şi Așadar, trecând la limita la obținem aceea, ceea ce se cerea a fi demonstrat.

Consecinţă. Această proprietate este valabilă pentru derivate de orice ordin și pentru funcții ale oricărui număr de variabile.

Diferențiale de ordin superior

Definiție . diferenţial de ordinul doi se numește funcția u = f(x, y, z).

În mod similar, putem defini diferențiale de ordinul 3 și superior:

Definiție . diferenţial de ordine k se numește diferenţial total al diferenţialului de ordin ( k - 1): d k u \u003d d (d k - 1 u).

Proprietățile diferențialelor de ordin superior

1. k -a diferenţială este un polinom întreg omogen de grad k în raport cu diferenţialele variabilelor independente ai căror coeficienţi sunt derivate parţiale k de ordinul al-lea, înmulțit cu constante întregi (la fel ca pentru exponentiația normală):

1. Diferențiale de ordin mai mari decât prima nu sunt invariante la alegerea variabilelor.

Plan tangent și normal de suprafață. Sensul geometric al diferenţialului

Fie funcția z = f(x, y) este diferențiabilă într-o vecinătate a punctului M (x 0, y 0) . Atunci derivatele sale parțiale sunt pantele tangentelor la liniile de intersecție ale suprafeței z \u003d f (x, y) cu plane y \u003d y 0 și x \u003d x 0 , care va fi tangentă la suprafața însăși z = f(x, y). Să scriem o ecuație pentru planul care trece prin aceste drepte. Vectorii de direcție ai tangentelor au forma (1; 0; ) și (0; 1; ), deci normala la plan poate fi reprezentată ca produsul lor vectorial: n = (-,-, 1). Prin urmare, ecuația planului poate fi scrisă astfel:

, (16.10 )

unde z 0 = .

Definiție. Planul definit de ecuația ( 16.10 ), se numește plan tangent la graficul funcției z = f(x, y) în punctul cu coordonate(x 0 , y 0 , z 0 ) .

Din formula (15.6 ) pentru cazul a două variabile rezultă că incrementul funcţiei f în vecinătatea punctului M poate fi reprezentat ca:

Sau

(16.11 )

Prin urmare, diferența dintre aplicațiile graficului funcției și planul tangent este de ordin infinitezimal mai mare decâtρ, ca ρ→ 0.

În acest caz, diferenţialul funcţiei f arata ca:

care corespunde cu incrementul aplicatului planului tangent la graficul functiei. Acesta este sensul geometric al diferenţialului.

Definiție. Vector diferit de zero perpendicular pe planul tangent într-un punct M (x 0, y 0) suprafețe z \u003d f (x, y) , se numește normală la suprafață în acel punct.

Ca o normală a suprafeței luate în considerare, este convenabil să luăm vectorul - n = (,-1).

z = f(x,y)

M 0 (x 0 , y 0 , z 0 )

M (x 0 , y 0 )

Exemplu.

Compuneți ecuația planului tangent la suprafață z = xy în punctul M (1; 1). Când x 0 \u003d y 0 \u003d 1 z 0 \u003d unu; . Prin urmare, planul tangent este dat de ecuația: z = 1 + (x - 1) + (y - 1), sau x + y - z - 1 = 0. În acest caz, vectorul normal într-un punct dat al suprafeței are forma: n = (1; 1; -1).

Aflați incrementul aplicației graficului funcției și a planului tangent la trecerea din punct M până la punctul N (1,01; 1,01).

Δz \u003d 1,01² - 1 \u003d 0,0201; Δ z cas = (1,01 + 1,01 - 1) - (1 + 1 - 1) = 0,02. Prin urmare,

dz \u003d Δ z cas \u003d 0,02. În acest caz, Δz – dz = 0,0001.

Formula lui Taylor pentru o funcție a mai multor variabile

După cum se știe, funcția F(t) sub rezerva existenţei derivatelor sale de ordin n +1 poate fi extins prin formula Taylor cu un termen de rest în forma Lagrange (vezi formulele (21), (2 5 )). Scriem această formulă sub formă diferențială:

(16.1 2 )

Unde

În această formă, formula lui Taylor poate fi extinsă la cazul unei funcții de mai multe variabile.

Luați în considerare o funcție a două variabile f(x, y) , care are un punct ( x 0, y 0 ) derivate continue cu privire la ( n + 1) ordinul inclusiv. Să stabilim argumentele x și y unele incremente Δ x și Δy și luați în considerare o nouă variabilă independentă t :

(0 ≤ t ≤ unu). Aceste formule definesc un segment de linie dreaptă care leagă punctele ( x 0, y 0) și (x 0 + Δ x, y 0 + Δ y ). Apoi, în loc de increment Δ f (x 0 , y 0 ) putem considera creşterea funcţiei auxiliare

F(t) = f (x 0 + t Δ x, y 0 + t Δ y) , (16.1 3 )

egal cu Δ F (0) = F (1) - F (0). Dar F(t) este o funcție a unei variabile t , prin urmare, formula (16.1 2). Primim:

Rețineți că pentru un liniar schimbarea variabilelor, diferențialele de ordine superioară au proprietatea invarianței, adică

Înlocuirea acestor expresii în (16.1 2), obținem Formula lui Taylor pentru o funcție a două variabile:

, (16.1 4 )

unde 0< θ <1.

Cometariu.În formă diferențială, formula lui Taylor pentru cazul mai multor variabile pare destul de simplă, dar în formă extinsă este foarte greoaie. De exemplu, chiar și pentru o funcție a două variabile, primii săi membri arată astfel:

Derivată direcțională. Gradient

Lasă funcțiau = f (X, y, z) continuă într-o anumită zonăDși are derivate parțiale continue în această regiune. Să alegem un punct din zona consideratăM(X, y, z) și trageți un vector din elS, a cărui direcţie cosinuscosα, cosβ, cosγ. Pe vectorSla o distanta Δsde la început găsim un punctM1 (x+Δ x, y+Δ y,z+ Δ z), Unde

Să reprezentăm incrementul complet al funcțieifla fel de:

Unde

După împărțirea cu Δsprimim:

.

Deoarece egalitatea anterioară poate fi rescrisă ca:

(16.15 )

Definiție.Limita relației la se numeștederivată de funcțieu = f (X, y, z) în direcția vectoruluiSsi este marcat.

Cu toate acestea, de la (16.1 5 ) primim:

(16.1 6 )

Observație 1. Derivatele parțiale sunt un caz special al derivatei direcționale. De exemplu, când obținem:

.

Observația 2.Mai sus, semnificația geometrică a derivatelor parțiale ale unei funcții a două variabile a fost definită ca coeficienții de pantă ai tangentelor la liniile de intersecție ale suprafeței, care este graficul funcției, cu planele.x = x0 șiy = y0 . Într-un mod similar, putem considera derivata acestei funcții în raport cu direcțialla punctM(x0 , y0 ) ca panta dreptei de intersecție a suprafeței date și a planului care trece prin punctulMparalel cu axaOzsi directl.

Definiție. Un vector ale cărui coordonate în fiecare punct al unei regiuni sunt derivate parțiale ale funcțieiu = f (X, y, z) în acest moment se numeștegradientfuncțiiu = f (X, y, z).

Desemnare:gradu = .

proprietăți de gradient

1. Derivată în direcția unui vectorSeste egală cu proiecția vectoruluigradupe vectorS.

Dovada. Vector direcție unitarăSare formaeS ={ cosα, cosβ, cosγ), deci partea dreaptă a formulei (16.16 ) este produsul scalar al vectorilorgradușies, adică proiecția specificată.

1. Derivată într-un punct dat în direcția vectoruluiSare cea mai mare valoare egală cu |gradu| dacă această direcție este aceeași cu direcția gradientului. Dovada. Indicați unghiul dintre vectoriSșigraduprin φ. Apoi din proprietatea 1 rezultă că

| gradu|∙ cosφ, (16.1 7 )

prin urmare, valoarea sa cea mai mare este atinsă la φ=0 și este egală cu |gradu|.

1. Derivată față de direcția unui vector perpendicular pe vectorgradu, este egal cu zero.

Dovada.În acest caz, în formula (16.17)

1. În cazul în care unz = f (X, y) este o funcție a două variabile, atuncigradf= îndreptat perpendicular pe linia de nivelf (X, y) = c, trecând prin acest punct.

Departamentul de Informatică și Matematică Superioară, KSPU