Formule pentru diferențierea funcțiilor logaritmice și exponențiale. Derivată logaritmică. Diferențierea funcției exponențiale. Cazul valorilor negative y

Tema lecției: „Diferențierea funcțiilor exponențiale și logaritmice. antiderivat functie exponentiala» în sarcinile UNT

Ţintă : să dezvolte abilităţile elevilor în aplicarea cunoştinţelor teoretice pe tema „Diferenţierea funcţiilor exponenţiale şi logaritmice. O antiderivată a unei funcții exponențiale” pentru rezolvarea problemelor UNT.

Sarcini

Educational: să sistematizeze cunoștințele teoretice ale studenților, să consolideze abilitățile de rezolvare a problemelor pe această temă.

În curs de dezvoltare: dezvoltarea memoriei, a observației, gandire logica, discursul matematic al elevilor, atenția, stima de sine și abilitățile de autocontrol.

Educational: promova:

formarea atitudinii responsabile a elevilor față de învățare;

dezvoltarea unui interes durabil pentru matematică;

crearea unei motivații intrinseci pozitive pentru studiul matematicii.

Metode de predare: verbal, vizual, practic.

Forme de lucru: individual, frontal, în perechi.

În timpul orelor

Epigraf: „Mintea constă nu numai în cunoaștere, ci și în capacitatea de a aplica cunoștințele în practică” Aristotel (diapozitivul 2)

eu. Organizarea timpului.

II. Rezolvarea cuvintelor încrucișate. (diapozitivul 3-21)

Matematicianul francez din secolul al XVII-lea Pierre Fermat a definit această linie drept „linia dreaptă cea mai apropiată de curbă într-o mică vecinătate a unui punct”.

Tangentă

Funcția care este dată de formula y = log A X.

logaritmică

Funcția care este dată de formula y = A X.

Demonstrație

În matematică, acest concept este folosit pentru a găsi viteza de mișcare punct materialși panta tangentei la graficul funcției într-un punct dat.

Derivat

Care este numele funcției F (x) pentru funcția f (x), dacă condiția F "(x) \u003d f (x) este îndeplinită pentru orice punct din intervalul I.

antiderivat

Cum se numește relația dintre X și Y, în care fiecare element al lui X este asociat cu un singur element al lui Y.

Derivată a deplasării

Viteză

O funcție care este dată de formula y \u003d e x.

Expozant

Dacă funcția f(x) poate fi reprezentată ca f(x)=g(t(x)), atunci această funcție se numește...

III. Dictare matematică (diapozitivul 22)

1. Notați formula derivatei funcției exponențiale. ( A x)" = A x ln A

2. Notați formula derivatei exponentului. (e x)" = e x

3. Scrieți formula pentru derivata logaritmului natural. (lnx)"=

4. Notați formula derivatei funcției logaritmice. (Buturuga A x)"=

5. Notați forma generală a antiderivatelor pentru funcția f(x) = A X. F(x)=

6. Notați forma generală a antiderivatelor pentru funcția f(x) =, x≠0. F(x)=ln|x|+C

Verificați lucrarea (răspunsurile pe diapozitivul 23).

IV. Rezolvarea problemelor UNT (simulator)

A) Nr. 1,2,3,6,10,36 pe tablă și în caiet (diapozitivul 24)

B) Lucrați în perechi nr. 19.28 (simulator) (diapozitivul 25-26)

V. 1. Găsiți erori: (diapozitivul 27)

1) f (x) \u003d 5 e - 3x, f "(x) \u003d - 3 e - 3x

2) f (x) \u003d 17 2x, f "(x) \u003d 17 2x ln17

3) f(x)= log 5 (7x+1),f "(x)=

4) f (x) \u003d ln (9 - 4x), f "(x) \u003d
.

VI. Prezentarea elevilor.

Epigraf: „Cunoașterea este un lucru atât de prețios încât nu este rușinos să o obții din orice sursă” Toma d’Aquino (diapozitivul 28)

VII. Tema Nr. 19,20 p.116

VIII. Test (sarcină de rezervă) (diapozitivul 29-32)

IX. Rezumatul lecției.

„Dacă vrei să participi la marea viață, umple-ți capul cu matematică cât poți. Ea vă va oferi apoi un mare ajutor pe tot parcursul vieții” M. Kalinin (diapozitivul 33)

Lasa
(1)
este o funcție diferențiabilă a lui x . În primul rând, îl vom considera pe mulțimea de valori x pentru care y ia valori pozitive: . În cele ce urmează, vom arăta că toate rezultatele obținute sunt aplicabile și pentru valorile negative ale .

În unele cazuri, pentru a găsi derivata funcției (1), este convenabil să luăm preliminar logaritmul
,
și apoi calculați derivata. Apoi, conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe,
.
De aici
(2) .

Derivata logaritmului unei functii se numeste derivata logaritmica:
.

Derivata logaritmica a functiei y = f(x) este derivata logaritmului natural al acestei funcții: (log f(x))′.

Cazul valorilor negative y

Acum luați în considerare cazul în care variabila poate lua atât valori pozitive, cât și negative. În acest caz, luați logaritmul modulului și găsiți derivata acestuia:
.
De aici
(3) .
Adică, în cazul general, trebuie să găsiți derivata logaritmului modulului funcției.

Comparând (2) și (3) avem:
.
Adică, rezultatul formal al calculării derivatei logaritmice nu depinde dacă am luat modulo sau nu. Prin urmare, atunci când calculăm derivata logaritmică, nu trebuie să ne îngrijorăm cu privire la semnul funcției.

Această situație poate fi clarificată cu ajutorul numerelor complexe. Fie, pentru unele valori ale lui x, negative: . Dacă luăm în considerare numai numerele reale, atunci funcția nu este definită. Totuși, dacă introducem numere complexe în considerare, obținem următoarele:
.
Adică, funcțiile și diferă printr-o constantă complexă:
.
Deoarece derivata unei constante este zero, atunci
.

Proprietatea derivatei logaritmice

Dintr-o asemenea consideraţie rezultă că derivata logaritmică nu se modifică dacă funcția este înmulțită cu o constantă arbitrară :
.
Intr-adevar, aplicand proprietățile logaritmului, formule sumă derivatăși derivată a unei constante, noi avem:

.

Aplicarea derivatei logaritmice

Este convenabil să folosiți derivata logaritmică în cazurile în care funcția originală constă dintr-un produs de putere sau funcții exponențiale. În acest caz, operația cu logaritm transformă produsul funcțiilor în suma lor. Acest lucru simplifică calculul derivatei.

Exemplul 1

Aflați derivata unei funcții:
.

Decizie

Luăm logaritmul funcției originale:
.

Diferențierea față de x .
În tabelul derivatelor găsim:
.
Aplicam regula de diferentiere a unei functii complexe.
;
;
;
;
(P1.1) .
Să înmulțim cu:

.

Deci, am găsit derivata logaritmică:
.
De aici găsim derivata funcției originale:
.

Notă

Dacă vrem să folosim numai numere reale, atunci ar trebui să luăm logaritmul modulului funcției originale:
.
Apoi
;
.
Și am obținut formula (A1.1). Prin urmare, rezultatul nu s-a schimbat.

Răspuns

Exemplul 2

Folosind derivata logaritmică, găsiți derivata unei funcții
.

Decizie

Logaritm:
(P2.1) .
Diferențierea față de x:
;
;

;
;
;
.

Să înmulțim cu:
.
De aici obținem derivata logaritmică:
.

Derivată a funcției originale:
.

Notă

Aici funcția originală este nenegativă: . Este definit la . Dacă nu presupunem că logaritmul poate fi determinat pentru valori negative ale argumentului, atunci formula (A2.1) ar trebui scrisă după cum urmează:
.
În măsura în care

și
,
nu va afecta rezultatul final.

Răspuns

Exemplul 3

Găsiți derivata
.

Decizie

Diferențierea se realizează folosind derivata logaritmică. Logaritm, dat fiind că:
(P3.1) .

Prin diferențiere, obținem derivata logaritmică.
;
;
;
(P3.2) .

Pentru că atunci

.

Notă

Să facem calculele fără a presupune că logaritmul poate fi definit pentru valorile negative ale argumentului. Pentru a face acest lucru, luați logaritmul modulului funcției originale:
.
Atunci în loc de (A3.1) avem:
;

.
Comparând cu (A3.2) vedem că rezultatul nu s-a schimbat.

La diferențiere, este orientativ functie de putere sau voluminoase expresii fracționale Este convenabil să folosiți derivata logaritmică. În acest articol, vom analiza exemple de aplicare a acestuia cu soluții detaliate.

Prezentarea ulterioară implică capacitatea de a utiliza tabelul de derivate, regulile de diferențiere și cunoașterea formulei pentru derivata unei funcții complexe.

Derivarea formulei pentru derivata logaritmică.

Mai întâi, luăm logaritmul la baza e, simplificăm forma funcției folosind proprietățile logaritmului și apoi găsim derivata funcției date implicit:

De exemplu, să găsim derivata funcției de putere exponențială x la puterea lui x.

Logaritmul dă . După proprietățile logaritmului. Diferențierea ambelor părți ale egalității conduce la rezultatul:

Răspuns: .

Același exemplu poate fi rezolvat fără a utiliza derivata logaritmică. Puteți face unele transformări și puteți trece de la diferențierea unei funcții de putere exponențială la găsirea derivatei unei funcții complexe:

Exemplu.

Aflați derivata unei funcții .

Decizie.

În acest exemplu, funcția este o fracție și derivata ei poate fi găsită folosind regulile de diferențiere. Dar din cauza expresiei greoaie, acest lucru va necesita multe transformări. În astfel de cazuri, este mai rezonabil să folosiți formula pentru derivata logaritmică . De ce? Vei intelege acum.

Să-l găsim mai întâi. În transformări, vom folosi proprietățile logaritmului (logaritmul fracției este egală cu diferența logaritmi, iar logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor, iar gradul expresiei sub semnul logaritmului poate fi, de asemenea, scos ca coeficient în fața logaritmului):

Aceste transformări ne-au condus la o expresie destul de simplă, a cărei derivată este ușor de găsit:

Înlocuim rezultatul obținut în formula derivatei logaritmice și obținem răspunsul:

Pentru a consolida materialul, mai dăm câteva exemple fără explicații detaliate.

Exemplu.

Aflați derivata unei funcții de putere exponențială

Algebra și începutul analizei matematice

Diferențierea funcției exponențiale și logaritmice

Compilat de:

profesor de matematică MOU liceu №203 CHETs

Orașul Novosibirsk

Vidutova T.V.

Număr e. Funcţie y=e X, proprietățile sale, graficul, diferențierea

1. Să construim grafice pentru diverse baze a: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (Opțiunea 2) (Opțiunea 1) "width="640"

Luați în considerare funcția exponențială y = a X, unde un 1.

Să construim pentru diferite baze A diagrame:

1. y=2 X

3. y=10 X

2. y=3 X

(Opțiunea 2)

(1 opțiune)

1) Toate graficele trec prin punctul (0; 1);

2) Toate diagramele au asimptotă orizontală y = 0

la X  ∞;

3) Toate sunt întoarse cu o umflătură în jos;

4) Toate au tangente în toate punctele lor.

Desenați o tangentă la graficul funcției y=2 X la punct X= 0 si se masoara unghiul format de tangenta la axa X

Cu ajutorul construcțiilor exacte ale tangentelor la grafice, se poate observa că dacă baza A functie exponentiala y = a X baza crește treptat de la 2 la 10, apoi unghiul dintre tangenta la graficul funcției în punctul X= 0 și axa x crește treptat de la 35’ la 66,5’.

Prin urmare, există o bază A, pentru care unghiul corespunzător este de 45'. Și acest sens Aîncheiat între 2 şi 3, deoarece la A= 2 unghiul este de 35’, cu A= 3 este egal cu 48'.

În cursul analizei matematice, se dovedește că această bază există, este de obicei notat cu litera e.

Hotărât că e - un număr irațional, adică este o fracție zecimală neperiodică infinită:

e = 2,7182818284590... ;

În practică, de obicei se presupune că e ≈ 2,7.

Proprietăți grafice și funcții y = e X :

1) D(f) = (- ∞; + ∞);

3) crește;

4) nelimitat de sus, limitat de jos

5) nu are nici cel mai mare, nici cel mai mic

valori;

6) continuu;

7) E(f) = (0; + ∞);

8) convex în jos;

9) este diferențiabilă.

Funcţie y = e X numit expozant .

În cursul analizei matematice, s-a dovedit că funcția y = e X are o derivată în orice punct X :

(e X ) = e X

(e 5x )" = 5e 5x

(e x-3 )" = e x-3

(e -4x+1 )" = -4e -4x-1

Exemplul 1 . Desenați o tangentă la graficul funcției în punctul x=1.

2) f()=f(1)=e

4) y=e+e(x-1); y = ex

Răspuns:

Exemplul 2 .

X = 3.

Exemplul 3 .

Investigați o funcție pentru un extremum

x=0 și x=-2

X= -2 - punct maxim

X= 0 – punct minim

Dacă baza logaritmului este numărul e, atunci ei spun că dat logaritmul natural . Pentru logaritmii naturali, a fost introdusă o notație specială ln (l - logaritm, n - natural).

Graficul și proprietățile funcției y = ln x

Proprietățile funcției y = lnx:

1) D(f) = (0; + ∞);

2) nu este nici par, nici impar;

3) crește cu (0; + ∞);

4) nelimitat;

5) nu are nici cele mai mari, nici cele mai mici valori;

6) continuu;

7) E (f) = (- ∞; + ∞);

8) vârf convex;

9) este diferențiabilă.

0 formula de diferențiere „width="640" este valabilă

În cursul analizei matematice, s-a dovedit că pentru orice valoare x0 formula de diferentiere este valabila

Exemplul 4:

Calculați valoarea derivatei unei funcții într-un punct X = -1.

De exemplu:

Resurse de internet:

• http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
• http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://900igr.net/prezentatsii
• http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

Diferențierea funcțiilor exponențiale și logaritmice

1. Numărul e. Funcția y \u003d e x, proprietățile sale, graficul, diferențierea

Luați în considerare un exponențial funcţie y \u003d a x, unde a\u003e 1. Pentru diferite baze a obținem diferite grafice (Fig. 232-234), dar puteți vedea că toate trec prin punctul (0; 1), toate au o asimptotă orizontală y \u003d 0 la , toate sunt convexe în jos și, în cele din urmă, toate au tangente în toate punctele lor. De exemplu, să desenăm o tangentă la grafică funcțiile y \u003d 2x în punctul x \u003d 0 (Fig. 232). Dacă faceți construcții și măsurători precise, atunci vă puteți asigura că această tangentă formează un unghi de 35 ° cu axa x (aproximativ).

Acum să desenăm o tangentă la graficul funcției y \u003d 3 x, tot în punctul x \u003d 0 (Fig. 233). Aici unghiul dintre tangentă și axa x va fi mai mare - 48°. Și pentru funcția exponențială y \u003d 10 x într-un mod similar
situație, obținem un unghi de 66,5 ° (Fig. 234).

Deci, dacă baza a funcției exponențiale y \u003d ax crește treptat de la 2 la 10, atunci unghiul dintre tangenta la graficul funcției în punctul x \u003d 0 și axa x crește treptat de la 35 ° până la 66,5 °. Este logic să presupunem că există o bază a pentru care unghiul corespunzător este de 45°. Această bază trebuie să fie cuprinsă între numerele 2 și 3, deoarece pentru funcția y-2x unghiul care ne interesează este de 35 °, care este mai mic de 45 °, iar pentru funcția y \u003d 3 x este egal cu 48 °, care este deja puțin mai mult de 45 °. Baza care ne interesează este de obicei notă cu litera e. Se stabilește că numărul e este irațional, adică. este o zecimală infinită neperiodică fracțiune:

e = 2,7182818284590...;

în practică se presupune de obicei că e=2,7.

cometariu(nu foarte grav). Este clar că L.N. Tolstoi nu are nimic de-a face cu numărul e, cu toate acestea, în scris numărul e, vă rugăm să rețineți că numărul 1828 se repetă de două ori la rând - anul nașterii lui L.N. Tolstoi.

Graficul funcției y \u003d e x este prezentat în Fig. 235. Acesta este un exponent care diferă de alți exponenți (grafice ale funcțiilor exponențiale cu alte baze) prin aceea că unghiul dintre tangenta la grafic la x=0 și axa x este de 45°.

Proprietățile funcției y \u003d e x:

1)
2) nu este nici par, nici impar;
3) crește;
4) nelimitat de sus, limitat de jos;
5) nu are nici cele mai mari, nici cele mai mici valori;
6) continuu;
7)
8) convex în jos;
9) este diferențiabilă.

Reveniți la § 45, aruncați o privire la lista de proprietăți ale funcției exponențiale y \u003d a x pentru a > 1. Veți găsi aceleași proprietăți 1-8 (care este destul de naturală) și a noua proprietate asociată cu
diferențiabilitatea funcției, nu am menționat atunci. Să discutăm acum.

Să derivăm o formulă pentru găsirea derivatei y-ex. În acest sens, nu vom folosi algoritmul obișnuit, care a fost dezvoltat în § 32 și care a fost aplicat cu succes de mai multe ori. În acest algoritm, în etapa finală, este necesar să se calculeze limita, iar cunoștințele noastre despre teoria limitelor sunt încă foarte, foarte limitate. Prin urmare, ne vom baza pe premise geometrice, luând în considerare, în special, însuși faptul existenței unei tangente la graficul funcției exponențiale fără îndoială (de aceea am notat cu atâta încredere a noua proprietate în lista de proprietăți de mai sus). - diferențiabilitatea funcției y \u003d e x).

1. Rețineți că pentru funcția y = f(x), unde f(x) = ex, știm deja valoarea derivatei în punctul x = 0: f / = tg45°=1.

2. Să introducem funcția y=g(x), unde g(x) -f(x-a), adică. g(x)-ex "a. Fig. 236 prezintă graficul funcției y \u003d g (x): se obține din graficul funcției y - fx) prin deplasarea de-a lungul axei x cu scara |a| unități.Tangenta la graficul funcției y \u003d g (x) în punctul x-a este paralelă cu tangenta la graficul funcției y \u003d f (x) în punctul x -0 (vezi Fig. 236), ceea ce înseamnă că formează un unghi de 45 ° cu axa x. Folosind sensul geometric al derivatei, putem scrie că g(а) =tg45°;=1.

3. Să revenim la funcția y = f(x). Noi avem:

4. Am stabilit că pentru orice valoare a lui a, relația este adevărată. În locul literei a, se poate folosi, desigur, litera x; atunci primim

Din această formulă se obține formula de integrare corespunzătoare:

A.G. Algebră Mordkovich, clasa a 10-a

Calendar-planificare tematică în matematică, videoîn matematică online, descărcare Matematică la școală

Conținutul lecției rezumatul lecției suport cadru prezentarea lecției metode accelerative tehnologii interactive Practică sarcini și exerciții ateliere de autoexaminare, instruiri, cazuri, quest-uri teme pentru acasă întrebări discuții întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, imagini grafice, tabele, scheme umor, anecdote, glume, benzi desenate, pilde, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole jetoane pentru curioase cheat sheets manuale de bază și glosar suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment în manual elemente de inovare în lecție înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte planul calendaristic pentru anul instrucțiuni programe de discuții Lecții integrate