Formula pentru masa a ceea ce este suma maselor punctelor materiale. Determinarea centrului de masă. Formule care definesc centrele de greutate ale unui corp și ale unui sistem de particule discrete

Mișcarea sistemului, pe lângă forțele care acționează, depinde și de masa totală și de distribuția maselor. Greutatea sistemului este egală cu suma aritmetică a maselor tuturor punctelor sau corpurilor care formează sistemul

Într-un câmp gravitațional uniform, pentru care , greutatea oricărei particule a corpului va fi proporțională cu masa acesteia. Prin urmare, distribuția maselor în corp poate fi judecată după poziția centrului său de greutate. Să transformăm formulele care determină coordonatele centrului de greutate:

, , . (1)

Egalitățile rezultate includ doar masele de puncte materiale (particule) care formează corpul și coordonatele acestor puncte. Prin urmare, poziția punctului C(x C , y C , z C) caracterizează cu adevărat distribuția maselor într-un corp sau în orice sistem mecanic, dacă sub , înțelegem, respectiv, masele și coordonatele punctelor acestui sistem.

punct geometric DIN, ale căror coordonate sunt determinate de formulele indicate, numit centru de masă sau centrul de inerție al sistemului.

Poziția centrului de masă este determinată de vectorul său rază

Unde - vectori rază ai punctelor care formează sistemul.

Deși poziția centrului de masă coincide cu poziția centrului de greutate al unui corp într-un câmp uniform de greutate, aceste concepte nu sunt identice. Conceptul de centru de greutate, ca punct prin care trece linia de acțiune a forțelor rezultante ale gravitației, are sens în esență doar pentru un corp rigid într-un câmp uniform de greutate. Conceptul de centru de masă, ca o caracteristică a distribuției maselor într-un sistem, are sens pentru orice sistem de puncte sau corpuri materiale, iar acest concept își păstrează sensul indiferent dacă sistemul dat este sub influența oricăror forțe. sau nu.

Momentul de inerție al corpului față de axă. Raza de inerție.

Poziția centrului de masă caracterizează incomplet distribuția de masă a sistemului. De exemplu (fig.32 ), dacă distanțe hîn afara axei Oz fiecare din aceleași bile DARȘi ÎN crește cu aceeași cantitate, atunci poziția centrului de masă al sistemului nu se va schimba, iar distribuția maselor va deveni diferită, iar acest lucru va afecta mișcarea sistemului (rotația în jurul axei Oz ceteris paribus va fi mai lent).

Fig.32

Prin urmare, în mecanică, se introduce încă o caracteristică a distribuției maselor - momentul de inerție. Momentul de inerție al unui corp (sistem) în jurul unei axe date Oz (sau momentul axial de inerție) este o valoare scalară egală cu suma produselor maselor tuturor punctelor corpului (sistemului) cu pătratele lui distantele lor fata de aceasta axa

Din definiție rezultă că momentul de inerție al unui corp (sau al unui sistem) în jurul oricărei axe este o mărime pozitivă și nu este egală cu zero.

De asemenea, rețineți că momentul de inerție al unui corp este o caracteristică geometrică a corpului, independent de mișcarea acestuia.

Momentul axial de inerție joacă același rol în mișcarea de rotație a corpului ca și masa în translație, adică. ce Momentul de inerție axial este o măsură a inerției unui corp în timpul mișcării de rotație.

Conform formulei, momentul de inerție al unui corp este egal cu suma momentelor de inerție ale tuturor părților sale în jurul aceleiași axe. Pentru un punct material situat la distanță h din axa, .

Adesea, în cursul calculelor, este utilizat conceptul de rază de rotație. Raza de inerție corpuri în jurul axei Oz se numește mărime liniară definită de egalitate

Unde M- masa corpului. Din definiție rezultă că raza de rotație este geometric egală cu distanța de la axă Oz punctul în care este necesară concentrarea masei întregului corp astfel încât momentul de inerție al acestui punct să fie egal cu momentul de inerție al întregului corp.

În cazul unui corp solid, împărțindu-l în părți elementare, constatăm că în limită suma în egalitate , se transformă într-o integrală. Ca rezultat, având în vedere că , unde este densitatea și V- volum, obținem

Integrala aici se extinde la întregul volum V corpuri, ci densitatea și distanța h depind de coordonatele punctelor corpului.

Momentele de inerție ale unor corpuri omogene:

1.Tijă subțire de lungime uniformă l si masele M. Calculați momentul său de inerție față de axă Az, perpendicular pe tija si trecand prin capatul acesteia DAR(Fig. 33).

Fig.33

Să ne îndreptăm AB axa de coordonate Oh. Apoi pentru orice segment elementar de lungime dx magnitudinea h=x, si masa , Unde - masa pe unitatea de lungime a tijei. Ca rezultat

Înlocuindu-și valoarea aici, găsim în sfârșit:

2. Inel rotund subțire cu rază uniformă R si masele M. Găsiți momentul său de inerție față de axă cz, perpendicular pe planul inelului și trecând prin centrul acestuia (Fig. 34, dar). Deoarece toate punctele inelului sunt din axă cz pe distanta hk =R, apoi

Prin urmare, pentru inel

Evident, același rezultat se va obține pentru momentul de inerție al unei învelișuri cilindrice subțiri de masă M si raza R despre axa sa.

3. Placă rotundă uniformă sau cilindru de rază R si masele M. Calculați momentul de inerție al unei plăci circulare în jurul axei Сz, perpendicular pe placă și trecând prin centrul acesteia (vezi Fig. 34, dar). Pentru a face acest lucru, selectăm un inel elementar de rază rși lățimea dr(fig.34, b).

cu mase `m_1`, `m_2`, `m_3`, `…`. Fiecare dintre aceste părți poate fi considerată ca un punct material. Poziția în spațiu a `i`-lea punct material cu masa `m_i` este determinată de raza - vectorul `vecr_i` (Fig. 11). Masa unui corp este suma maselor părților sale individuale: `m=sum_im_i`. Prin definiție, centrul de masă al unui corp (sistem de corpuri) este un astfel de punct `C`, al cărui vector rază `vecr_c` este determinat de formula `vecr_c=1/m sum_im_ivecr_i`.

Se poate demonstra că poziția centrului de masă față de corp nu depinde de alegerea originii „O”, adică definiția centrului de masă dată mai sus este clară și corectă.

Fără a intra în metodele de găsire a centrului de masă, să spunem că centrul de masă al corpurilor simetrice omogene este situat în centrul lor geometric sau pe axa de simetrie, centrul de masă al unui corp plat sub forma unui arbitrar. triunghiul este situat la intersecția medianelor sale.

Se pare că centrul de masă al unui corp (sau al unui sistem de corpuri) are o serie de proprietăți remarcabile. În dinamică, se arată că impulsul unui corp care se mișcă arbitrar este egal cu produsul dintre masa corpului și viteza centrului său de masă și că centrul de masă se mișcă ca și cum toate forțele externe care acționează asupra corpului ar fi aplicat la centrul de masă, iar masa întregului corp a fost concentrată în el.

centrul de greutate un corp situat în câmpul gravitațional al Pământului se numește punctul de aplicare al rezultantei tuturor forțelor gravitaționale care acționează asupra tuturor părților corpului. Această rezultantă se numește forța gravitațională care acționează asupra corpului. Forța de greutate aplicată în centrul de greutate al corpului are același efect asupra corpului ca toate forțele de greutate care acționează asupra părților individuale ale corpului.

Un caz interesant este atunci când dimensiunea corpului este mult mai mică decât dimensiunea Pământului. Apoi putem presupune că forțele gravitaționale paralele acționează asupra tuturor părților corpului, adică corpul se află într-un câmp gravitațional uniform. Forțele paralele și egal direcționate au întotdeauna o rezultantă, care poate fi dovedită. Dar la o anumită poziție a corpului în spațiu, se poate indica doar linia de acțiune a rezultantei tuturor forțelor gravitaționale paralele, punctul de aplicare a acestuia va rămâne deocamdată nedefinit, deoarece pentru un corp rigid orice forță poate fi transferat pe linia acţiunii sale. Dar punctul de aplicare?

Se poate demonstra că pentru orice poziție a corpului într-un câmp gravitațional uniform, linia de acțiune a rezultantei tuturor forțelor gravitaționale care acționează asupra părților individuale ale corpului trece prin același punct, care este staționar față de corp. În acest moment, rezultanta este aplicată, iar punctul în sine va fi centrul de greutate al corpului.

Poziția centrului de greutate față de corp depinde doar de forma corpului și de distribuția masei în corp și nu depinde de poziția corpului într-un câmp uniform de greutate. Centrul de greutate nu se află neapărat în corpul însuși. De exemplu, pentru un cerc într-un câmp uniform de greutate, centrul de greutate se află în centrul său geometric.

Să afirmăm fără dovezi un fapt extrem de curios și important. Se dovedește, într-un câmp uniform de greutate, centrul de greutate al unui corp coincide cu centrul său de masă. Amintiți-vă că centrul de masă al unui corp există indiferent de prezența unui câmp gravitațional, iar despre centrul de greutate se poate vorbi doar în prezența gravitației.

Locația centrului de greutate al corpului și, prin urmare, a centrului de masă, este convenabilă de găsit, ținând cont de simetria corpului și folosind conceptul de moment al forței.

Pe o tijă ușoară (fig. 12) masa de bile fixemi `m_1=3` kg, `m_2=2` kg, `m_3=6` kg, `m_4=3` kg.Distanța dintre centrele oricărei bile cele mai apropiate este `a=10` cm. Aflați poziția centrului de greutate și centrul de masă al structurii.

Poziția față de bilele centrului de greutate al structurii nu depinde de orientarea tijei în spațiu. Pentru a rezolva problema, este convenabil să plasați tija pe orizontală, așa cum se arată în Figura 12. Lăsați centrul de greutate să fie la o distanță `L` din centrul mingii stângi, adică din punctul „A”. Rezultanta tuturor forțelor gravitaționale este aplicată în centrul de greutate, iar momentul său relativ la axa „A” este egal cu suma momentelor forțelor gravitaționale ale bilelor.

Avem: `R=(m_1+m_2+m_3+m_4)g`, `RL=m_2ga+m_3g2a+m_4g3a`.

Prin urmare, `L=(m_2+2m_3+3m_4)/(m_1+m_2+m_3+m_4) a~~16.4` vezi

Centrul de greutate coincide cu centrul de masă și este situat în punctul `C` la o distanță de `L~~16,4` cm de centrul mingii stângi.

Orice corp poate fi considerat ca un set de puncte materiale, care, de exemplu, pot fi luate ca molecule. Fie corpul format din n puncte materiale cu mase m1, m2, ...mn.

centrul de masă al corpului, constând din n puncte materiale, se numește punct (în sens geometric), al cărui vector rază este determinat de formula:

Aici R1 este vectorul rază al punctului cu numărul i (i = 1, 2, ... n).

Această definiție pare neobișnuită, dar de fapt dă poziția chiar a centrului de masă, despre care avem o idee intuitivă. De exemplu, centrul de masă al tijei va fi în mijlocul acesteia. Suma maselor tuturor punctelor incluse în numitorul formulei de mai sus se numește masa corpului. greutate corporala numit suma maselor tuturor punctelor sale: m = m1 + m2 + ... + mn .

În corpurile omogene simetrice, CM este întotdeauna situat în centrul de simetrie sau se află pe axa de simetrie dacă figura nu are un centru de simetrie. Centrul de masă poate fi situat atât în ​​interiorul corpului (disc, pătrat, triunghi), cât și în exteriorul acestuia (inel, cadru, pătrat).

Pentru o persoană, poziția CM depinde de postura adoptată. În multe sporturi, o componentă importantă a succesului este capacitatea de a menține echilibrul. Deci, la gimnastică, acrobație

un număr mare de elemente vor include diferite tipuri de echilibru. Capacitatea de a menține echilibrul este importantă în patinaj artistic, în patinaj, unde suportul are o suprafață foarte mică.

Condițiile de echilibru pentru un corp în repaus sunt egalitatea simultană cu zero a sumei forțelor și suma momentelor forțelor care acționează asupra corpului.

Să aflăm ce poziţie trebuie să ocupe axa de rotaţie pentru ca corpul fixat pe ea să rămână în echilibru sub acţiunea gravitaţiei. Pentru a face acest lucru, vom sparge corpul în multe bucăți mici și vom trage forțele gravitaționale care acționează asupra lor.

În conformitate cu regula momentelor, pentru echilibru este necesar ca suma momentelor tuturor acestor forțe în jurul axei să fie egală cu zero.

Se poate arăta că pentru fiecare corp există un punct unic în care suma momentelor de greutate în jurul oricărei axe care trece prin acest punct este egală cu zero. Acest punct se numește centru de greutate (de obicei coincide cu centrul de masă).

Centrul de greutate al corpului (CG) numit punctul în jurul căruia suma momentelor gravitaționale care acționează asupra tuturor particulelor corpului este egală cu zero.

Astfel, forțele de greutate nu fac corpul să se rotească în jurul centrului de greutate. Prin urmare, toate forțele gravitației ar putea fi înlocuite cu o singură forță care este aplicată în acest punct și este egală cu forța gravitației.

Pentru a studia mișcările corpului unui atlet, este adesea introdus termenul de centru de greutate comun (CGG). Principalele proprietăți ale centrului de greutate:

Dacă corpul este fixat pe o axă care trece prin centrul de greutate, atunci gravitația nu îl va determina să se rotească;

Centrul de greutate este punctul de aplicare al gravitației;

Într-un câmp uniform, centrul de greutate coincide cu centrul de masă.

Echilibrul este poziția corpului în care acesta poate rămâne în repaus pentru un timp arbitrar lung. Când corpul se abate de la poziția de echilibru, forțele care acționează asupra lui se schimbă, iar echilibrul forțelor este perturbat.

Există diferite tipuri de echilibru (Fig. 9). Se obișnuiește să se distingă trei tipuri de echilibru: stabil, instabil și indiferent.

Echilibrul stabil (Fig. 9, a) se caracterizează prin faptul că corpul revine la poziția inițială atunci când este deviat. În acest caz, apar forțe, sau momente de forțe, care tind să readucă corpul în poziția inițială. Un exemplu este poziția corpului cu un suport superior (de exemplu, atârnat pe bara transversală), când, cu orice abateri, corpul tinde să revină la poziția inițială.

Echilibrul indiferent (Fig. 9, b) se caracterizează prin faptul că atunci când poziția corpului se schimbă, nu există forțe sau momente de forțe care tind să readucă corpul în poziția inițială sau să îndepărteze în continuare corpul din acesta. Aceasta este o întâmplare rară la om. Un exemplu este starea de imponderabilitate pe o navă spațială.

Echilibrul instabil (Fig. 9, c) se observă atunci când, cu mici abateri ale corpului, apar forţe sau momente de forţe care tind să devieze şi mai mult corpul de la poziţia sa iniţială. Un astfel de caz poate fi observat atunci când o persoană, stând pe un suport de o zonă foarte mică (mult mai mică decât aria celor două picioare sau chiar a unui picior), deviază în lateral.

Figura 9 Echilibrul corpului: stabil (a), indiferent (b), instabil (c)

Alături de tipurile de echilibru ale corpurilor enumerate în biomecanică, este considerat încă un tip de echilibru - limitat-stabil. Acest tip de echilibru se distinge prin faptul că corpul poate reveni la poziția inițială dacă se abate de la acesta până la o anumită limită, de exemplu, determinată de limita zonei de sprijin. Dacă abaterea depășește această limită, echilibrul devine instabil.

Sarcina principală în asigurarea echilibrului corpului uman este să se asigure că proiecția GCM a corpului se află în zona de sprijin. În funcție de tipul de activitate (menținerea unei poziții statice, mers, alergare etc.) și cerințele de stabilitate, se modifică frecvența și viteza acțiunilor corective, dar procesele de menținere a echilibrului sunt aceleași.

Distribuția masei în corpul uman

Masa corpului și masele segmentelor individuale sunt foarte importante pentru diverse aspecte ale biomecanicii. În multe sporturi, este necesar să se cunoască distribuția masei pentru a se dezvolta tehnica corecta efectuarea de exerciții. Pentru a analiza mișcările corpului uman se folosește metoda segmentării: este împărțită în mod convențional în anumite segmente. Pentru fiecare segment se determină masa acestuia și poziția centrului de masă. În tabel. 1 definește masele părților corpului în unități relative.

Tabelul 1. Masele părților corpului în unități relative

Adesea, în locul conceptului de centru de masă, este folosit un alt concept - centrul de greutate. Într-un câmp uniform de greutate, centrul de greutate coincide întotdeauna cu centrul de masă. Poziția centrului de greutate al legăturii este indicată ca distanța sa față de axa articulației proximale și este exprimată în raport cu lungimea legăturii luată ca unitate.

În tabel. 2 prezintă poziția anatomică a centrelor de greutate ale diferitelor părți ale corpului.

Masa 2. Centrele de greutate ale părților corpului

Parte a corpului	Poziția centrului de greutate
Şold	0,44 lungime link
Fluierul piciorului	0,42 lungime link
Umăr	0,47 lungime link
Antebraț	0,42 lungime link
trunchiul
Cap
Perie
Picior
Umăr	0,47 lungime link
Antebraț	0,42 lungime link
trunchiul	0,44 distanță de la axa transversală a articulațiilor umărului până la axa șoldului
Cap	Situat în regiunea șeii turcești a osului sfenoid (proiecție din față între sprâncene, din lateral - 3,0 - 3,5 deasupra canalului auditiv extern)
Perie	În regiunea capului celui de-al treilea os metacarpian
Picior	Pe o linie dreaptă care leagă tuberculul calcanean al calcaneului cu capătul celui de-al doilea deget la o distanță de 0,44 de primul punct
Centrul general de greutate în poziția verticală a corpului	Situat in pozitia principala in zona pelviana, in fata sacrului

Centrul de masă

centru de inerție, un punct geometric, a cărui poziție caracterizează distribuția maselor într-un corp sau sistem mecanic. Coordonatele C. m. sunt determinate de formule

,

Unde m la - masele punctelor materiale care formează sistemul, x k , y k , z k - coordonatele acestor puncte, M= Σ m la - masa sistemului, ρ - densitatea, V- volum. Conceptul de centru de masă diferă de conceptul de centru de greutate prin aceea că acesta din urmă are sens numai pentru un corp rigid într-un câmp uniform de greutate; conceptul de masă centrală nu este asociat cu niciun câmp de forță și are sens pentru orice sistem mecanic. Pentru un corp rigid, pozițiile centrului de masă și ale centrului de greutate coincid.

Când un sistem mecanic se mișcă, masa lui centrală se mișcă în același mod în care s-ar mișca un punct material, având o masă egală cu masa sistemului și fiind sub acțiunea tuturor. forțe externe atașat la sistem. În plus, unele ecuații de mișcare ale unui sistem mecanic (corp) în raport cu axele care își au originea în C.M. și se mișcă translațional împreună cu C.M. păstrează aceeași formă ca și pentru mișcarea față de un cadru de referință inerțial (vezi . Cadrul de referință inerțial). Având în vedere aceste proprietăți, conceptul de masă centrală joacă un rol important în dinamica unui sistem și a unui corp rigid.

S. M. Targ.

Marea Enciclopedie Sovietică. - M.: Enciclopedia Sovietică. 1969-1978 .

Vedeți ce este „Centrul de Liturghie” în alte dicționare:

- (centrul de inerție) al unui corp (sistem de puncte materiale), punct a cărui poziție caracterizează distribuția maselor într-un corp sau într-un sistem mecanic. Când un corp se mișcă, centrul său de masă se mișcă ca punct material cu o masă egală cu masa întregului corp, spre ... ... Dicţionar enciclopedic

- (centrul de inerție) al unui corp (sistem de puncte materiale) punct care caracterizează distribuția maselor într-un corp sau într-un sistem mecanic. Când un corp se mișcă, centrul său de masă se mișcă ca punct material cu o masă egală cu masa întregului corp, căruia i se aplică ... ... Dicţionar enciclopedic mare

centrul de greutate- sistem mecanic; centru de masă; industrie centru de inerție Un punct geometric pentru care suma produselor maselor tuturor punctelor materiale care formează un sistem mecanic și a vectorilor lor razele trase din acest punct este egală cu zero... Dicționar terminologic explicativ politehnic

La fel ca centrul de inerție. Dicţionar enciclopedic fizic. Moscova: Enciclopedia Sovietică. Redactor-șef A. M. Prokhorov. 1983. CENTRU DE MASĂ ... Enciclopedia fizică

Acest termen are alte semnificații, vezi Centrul de greutate (sensuri). Centru de masă, centru de inerție, baricentru (din greacă βαρύς grea + κέντρον centru) (în mecanică) un punct geometric care caracterizează mișcarea unui corp sau a unui sistem de particule ca ... ... Wikipedia

centrul de greutate- 3.1 centru de masă: Un punct asociat unui corp fizic și având o astfel de proprietate încât un obiect punctual imaginar cu o masă egală cu masa acestui corp fizic, fiind plasat în acest punct, ar avea același moment de inerție față de un arbitrar ...... Dicționar-carte de referință de termeni ai documentației normative și tehnice

Centru de inerție și, punctul C, care caracterizează distribuția maselor în mecanic. sistem. Vectorul rază al C. m. al unui sistem format din puncte materiale, unde mi și ri sunt masele și vectorul rază al punctului i, iar M este masa întregului sistem. Când sistemul se mișcă, C. m. se mișcă... Marele dicționar politehnic enciclopedic

- (centrul de inerție) al corpului (sistemul de puncte materiale), punct, poziție față de roi caracterizează distribuția maselor în corp sau mecanic. sistem. Când corpul se mișcă, C. m. lui se mișcă ca un punct material cu o masă egală cu masa întregului corp, la un roi ... ... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

Centrul de masă- (centrul de inerție) punct geometric, a cărui poziție caracterizează distribuția maselor într-un corp sau sistem mecanic ... Antropologie fizică. Dicționar explicativ ilustrat.

Un punct care caracterizează distribuția maselor într-un corp sau sistem mecanic. Când un corp (sistem) se mișcă, masa sa centrală se mișcă ca un punct material cu o masă egală cu masa întregului corp, căruia i se aplică toate forțele care acționează asupra acestui corp... Dicţionar astronomic

Cărți

• Weber Alfred. Alfred Weber este un sociolog, culturolog, istoric german, foarte conștient de natura și direcția istoriei sociale și a tendințelor politice. Un martor șocat la două catastrofe europene...
• Favorite. Criza culturii europene, A. Weber.Alfred Weber (1868-1958) - sociolog, culturolog, istoric german, foarte conștient de natura și direcția istoriei sociale și a tendințelor politice. Un martor șocat la două catastrofe...

Dacă nu am scădea, ci am fi adăugat ecuațiile (6.1), am fi obținut pur și simplu legea conservării impulsului

Poate fi rescris pur formal ca legea constanței în timp a unei anumite viteze Vc:

Să trecem la cadrul de referință care se mișcă cu viteza (6.4). Vitezele particulelor 1 și 2 sunt apoi transformate după cum urmează:

adică, în noul cadru de referință, acestea sunt exprimate în termeni de viteză a mișcării relative. Asociați viteza Vc cu vectorul rază a unui punct r din:

Rețineți că definiția (6.6) coincide cu conceptul de centru de greutate cunoscut de la cursul școlar de fizică. Pentru demonstrație, mutăm originea coordonatelor în punct r din. Apoi, exact în același mod ca (6.5), obținem

În acest fel,

(centrul de greutate este determinat de egalitatea produselor masei și „umărului”). Dar definițiile (6.4) și (6.6) sunt mai corecte și mai universale, deoarece pot fi generalizate fără probleme la orice număr de puncte materiale și, în consecință, la corpuri macroscopice. Punctul C în mecanică - și în general în fizică - este de obicei numit centru de masă sau centru de inerție al unui sistem de puncte materiale.

Fie într-un sistem de coordonate inerțial pozițiile punctelor materiale care interacționează cu mase m 1 , m 2 , m N să fie date la fiecare moment t prin intermediul vectorilor cu rază r 1(t), r 2(t), r N(t)

(vezi Fig. 6.3 a). Atunci centrul de masă al sistemului considerat de puncte materiale este un astfel de punct, al cărui vector rază R r 1(t), r 2(t), r N (t) puncte materiale prin

Subliniem că în cazul general poziția centrului de masă nu coincide cu poziția niciunuia dintre punctele materiale ale sistemului (vezi Fig. 6.3 b), deși uneori acest lucru se poate întâmpla.

Orez. 6.3 centrul de masă al unui sistem de puncte materiale este un astfel de punct al cărui vector rază R c(t) se exprimă în termeni de vectori cu rază r 1(t), r 2(t), r N(t) puncte materiale

Să diferențiem în funcție de timp părțile stânga și dreaptă ale egalității (6.7).

Derivata vectorului rază în raport cu timpul este, prin definiție, viteza, deci rezultatul este

unde Vc este viteza centrului de masă, v 1 , v 2 , v N sunt vitezele punctelor materiale. Valoarea m 1 v 1 din (6.8) este impulsul primului punct material, m 2 V 2 este impulsul celui de-al doilea punct și așa mai departe. Astfel, în parantezele expresiei (6.8) se află suma impulsurilor sistemului de puncte materiale considerat, adică impulsul P al întregului sistem.

Prin urmare, egalitatea (6.8) poate fi rescrisă ca Р = (m 1 + m 2 + m N )V c . (6,9)

Într-un cadru de referință în care centrul de masă este în repaus,

Dacă nu suntem interesați de mișcarea relativă a punctelor materiale, dar suntem interesați de mișcarea sistemului în ansamblu, atunci întregul sistem poate fi considerat ca un punct material care se mișcă cu o viteză Vc și având impuls P. Reamintim că: masa unui punct material este, prin definiție, un coeficient de proporționalitate între impuls și viteză. Prin urmare, factorul de proporționalitate în egalitate (6.9), inclus între paranteze, este masa M a sistemului luat în considerare:

M \u003d m 1 + m 2 + m N, (6,10)

adică masa sistemului de puncte materiale este egală cu suma maselor acestor puncte. Relația (6.10), conform căreia masa unui corp complex este egală cu suma maselor părților sale, ni se pare familiară și evidentă. Totuși, așa cum vom vedea mai târziu, în mecanica relativistă (adică, într-un caz mai general) situația va fi complet diferită. În cazul limitativ al mecanicii newtoniene, egalitatea (6.10) este un caz particular al unei anumite legi fizice – legea conservării masei.

În absența forțelor externe, adică pentru un sistem închis, suma impulsurilor tuturor corpurilor sistemului nu depinde de timp; apoi din (6.9) urmează o proprietate importantă a mișcării centrului de masă al unui sistem închis de puncte materiale:

adică centrul de masă al unui sistem închis de puncte materiale este fix sau se deplasează uniform și în linie dreaptă, deși fiecare dintre punctele materiale poate efectua o mișcare complexă. Afirmația de mai sus este uneori numită teorema asupra mișcării centrului de masă.

Vom demonstra acum următoarea proprietate importantă a energiei cinetice:

energia cinetică T a unui sistem de puncte materiale este egală cu suma energiei cinetice a întregii mase a sistemului, concentrată mental în centrul său de masă și care se mișcă odată cu acesta, și energia cinetică T" a aceluiași sistem în mișcarea sa relativă față de cadrul de referință deplasându-se împreună cu centrul de masă :

unde M \u003d m 1 + m 2 + m N. Vc este viteza centrului de masă în cadrul inițial de referință, vi este viteza celui de-al i-lea punct material în raport cu cadrul de referință care se mișcă împreună cu punctul C. Un astfel de sistem este de obicei numit „centrul de masă”. sistem”, „sistem centru de inerție” sau pur și simplu „sistem c” . (Cadru de referință în care se pune problema, dacă acest cadru nu coincide cu sistemul u, se numește de obicei cadru de referință de laborator sau sistemul l).

Pentru a demonstra acest lucru, obținem mai întâi o relație mai generală relaționând energie kineticăîn două sisteme de referinţă (vezi Fig. 6.4). Pentru coordonatele și vitezele punctelor din vechiul sistem R i , V i și din noul sistem r i , v i scriem transformările Galileo:

unde R este vectorul rază al trecerii de la sistemul vechi la cel nou, iar V este, respectiv, viteza noului sistem relativ la cel vechi.

Orez. 6.4 relația de coordonate în două cadre de referință

Atunci energia cinetică din vechiul cadru de referință poate fi reprezentată ca

(6.12)

Partea dreaptă a lui (6.12) poate fi reprezentată ca trei sume:

unde P este impulsul total al sistemului de puncte materiale din noul cadru de referință. Relația (6.13) se numește de obicei teorema lui Koenig. Dacă sistem nou coincide cu sistemul u, atunci impulsul total din acesta este egal cu zero, V = Vc și, prin urmare, relația (6.11) este valabilă.

Pentru a încheia această secțiune, notăm două proprietăți importante care decurg din definiția centrului de masă. În primul rând, particulele din (6.7) pot fi combinate în orice grup, de exemplu:

De aici, așa cum este ușor de înțeles, rezultă că centrul de masă al oricărui sistem de corpuri macroscopice poate fi găsit ca centru de masă al unui sistem de puncte materiale, presupunând că masa fiecărui corp este concentrată în sine. centru de masă.

Și în al doilea rând, nu este greu să trecem de la însumarea din (6.7) la integrare dacă calculăm poziția centrului de masă al unui corp cu o distribuție continuă a densității materiei ρ(m):