Ecuația unui plan într-un punct și perpendicular pe un vector. Ecuația unui plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată. Ecuația generală a planului

Proprietățile unei drepte în geometria euclidiană.

Există infinit de linii care pot fi trase prin orice punct.

Prin oricare două puncte care nu coincid, există o singură linie dreaptă.

Două drepte non-coincidente în plan fie se intersectează într-un singur punct, fie sunt

paralel (urmează din precedentul).

Există trei opțiuni în spațiul 3D. poziție relativă doua linii drepte:

• liniile se intersectează;

• liniile drepte sunt paralele;

• linii drepte se intersectează.

Drept linia- curba algebrică de ordinul întâi: în sistemul de coordonate carteziene, o dreaptă

este dat pe plan de o ecuație de gradul I (ecuație liniară).

Ecuația generală Drept.

Definiție. Orice dreaptă din plan poate fi dată printr-o ecuație de ordinul întâi

Ah + Wu + C = 0,

și constantă A, B nu este egal cu zero în același timp. Această ecuație de ordinul întâi se numește general

ecuație în linie dreaptă.În funcție de valorile constantelor A, Bși Cu Sunt posibile următoarele cazuri speciale:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linia trece prin origine

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Prin + C = 0)- linie dreaptă paralelă cu axa Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- linie dreaptă paralelă cu axa OU

. B = C = 0, A ≠ 0- linia coincide cu axa OU

. A = C = 0, B ≠ 0- linia coincide cu axa Oh

Ecuația unei linii drepte poate fi reprezentată în diferite formeîn funcţie de orice dat

condiții inițiale.

Ecuația unei drepte printr-un punct și un vector normal.

Definiție. Într-un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian, un vector cu componente (A, B)

perpendicular pe linie dat de ecuaţie

Ah + Wu + C = 0.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte care trece printr-un punct A(1, 2) perpendicular pe vector (3, -1).

Decizie. Să compunem la A \u003d 3 și B \u003d -1 ecuația dreptei: 3x - y + C \u003d 0. Pentru a găsi coeficientul C

substituim coordonatele punctului dat A in expresia rezultata.Se obtine: 3 - 2 + C = 0, deci

C = -1. Total: ecuația dorită: 3x - y - 1 \u003d 0.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte.

Să fie date două puncte în spațiu M 1 (x 1 , y 1 , z 1)și M2 (x 2, y 2 , z 2), apoi ecuație în linie dreaptă,

trecând prin aceste puncte:

Dacă oricare dintre numitori este egal cu zero, numărătorul corespunzător trebuie setat egal cu zero. Pe

plan, ecuația unei drepte scrisă mai sus este simplificată:

dacă x 1 ≠ x 2și x = x 1, dacă x 1 = x 2 .

Fracțiune = k numit factor de pantă Drept.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctele A(1, 2) și B(3, 4).

Decizie. Aplicând formula de mai sus, obținem:

Ecuația unei drepte după un punct și o pantă.

Dacă ecuația generală a unei drepte Ah + Wu + C = 0 aduce la forma:

și desemnează , atunci ecuația rezultată se numește

ecuația unei drepte cu panta k.

Ecuația unei drepte pe un punct și un vector de direcție.

Prin analogie cu punctul care are în vedere ecuația unei linii drepte prin vectorul normal, puteți intra în sarcină

o dreaptă printr-un punct și un vector de direcție al unei drepte.

Definiție. Fiecare vector diferit de zero (α 1 , α 2), ale căror componente satisfac condiția

Aα 1 + Bα 2 = 0 numit vector de direcție al dreptei.

Ah + Wu + C = 0.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte cu vector de direcție (1, -1) și care trece prin punctul A(1, 2).

Decizie. Vom căuta ecuația dreptei dorite sub forma: Ax + By + C = 0. Conform definiției,

coeficienții trebuie să îndeplinească condițiile:

1 * A + (-1) * B = 0, adică A = B.

Atunci ecuația unei drepte are forma: Ax + Ay + C = 0, sau x + y + C / A = 0.

la x=1, y=2 primim C/ A = -3, adică ecuația dorită:

x + y - 3 = 0

Ecuația unei drepte în segmente.

Dacă în ecuația generală a dreptei Ah + Wu + C = 0 C≠0, atunci, împărțind la -C, obținem:

sau unde

Sensul geometric al coeficienților este că coeficientul a este coordonata punctului de intersecție

drept cu ax Oh, A b- coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa OU.

Exemplu. Este dată ecuația generală a unei drepte x - y + 1 = 0. Găsiți ecuația acestei drepte în segmente.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Ecuația normală a unei linii drepte.

Dacă ambele părți ale ecuației Ah + Wu + C = 0împărțiți la număr , Care e numit

factor de normalizare, apoi primim

xcosφ + ysinφ - p = 0 -ecuația normală a unei linii drepte.

Semnul ± al factorului de normalizare trebuie ales astfel încât μ * C< 0.

R- lungimea perpendicularei coborâte de la origine la linie,

A φ - unghiul format de aceasta perpendiculara cu directia pozitiva a axei Oh.

Exemplu. Având în vedere ecuația generală a unei drepte 12x - 5y - 65 = 0. Obligatoriu pentru a scrie Tipuri variate ecuații

această linie dreaptă.

Ecuația acestei drepte în segmente:

Ecuația acestei drepte cu panta: (împarte la 5)

Ecuația unei linii drepte:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Trebuie remarcat faptul că nu orice linie dreaptă poate fi reprezentată printr-o ecuație în segmente, de exemplu, linii drepte,

paralel cu axele sau trecând prin origine.

Unghiul dintre liniile unui plan.

Definiție. Dacă sunt date două rânduri y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, apoi unghiul ascuțit dintre aceste linii

va fi definit ca

Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2. Două drepte sunt perpendiculare

dacă k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorema.

Direct Ah + Wu + C = 0și A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sunt paralele când coeficienții sunt proporționali

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Dacă de asemenea С 1 \u003d λС, apoi liniile coincid. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte

se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat este perpendiculară pe o dreaptă dată.

Definiție. Linie care trece printr-un punct M 1 (x 1, y 1)și perpendicular pe linie y = kx + b

reprezentată de ecuația:

Distanța de la un punct la o linie.

Teorema. Dacă se acordă un punct M(x 0, y 0), apoi distanța până la linie Ah + Wu + C = 0 definit ca:

Dovada. Lasă punctul M 1 (x 1, y 1)- baza perpendicularei coborâtă din punct M pentru un dat

direct. Apoi distanța dintre puncte Mși M 1:

(1)

Coordonatele x 1și 1 poate fi găsită ca soluție a sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația unei drepte care trece perpendicular printr-un punct dat M 0

linie dată. Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

apoi, rezolvand, obtinem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

Teorema a fost demonstrată.

Acest articol oferă o idee despre cum să scrieți ecuația unui plan care trece printr-un punct dat din spațiul tridimensional perpendicular pe o dreaptă dată. Să analizăm algoritmul de mai sus folosind exemplul de rezolvare a problemelor tipice.

Aflarea ecuației unui plan care trece printr-un punct dat din spațiu perpendicular pe o dreaptă dată

Să fie date în el un spațiu tridimensional și un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z. Sunt date de asemenea punctul M 1 (x 1, y 1, z 1), dreapta a și planul α care trece prin punctul M 1 perpendicular pe dreapta a. Este necesar să notăm ecuația planului α.

Înainte de a trece la rezolvarea acestei probleme, să ne amintim teorema de geometrie din programul pentru clasele 10-11, care spune:

Definiția 1

Un singur plan trece printr-un punct dat din spațiul tridimensional și este perpendicular pe o dreaptă dată.

Acum luați în considerare cum să găsiți ecuația acestui singur plan care trece prin punctul de plecare și perpendicular pe dreapta dată.

Se poate scrie ecuația generală a unui plan dacă sunt cunoscute coordonatele unui punct aparținând acestui plan, precum și coordonatele vectorului normal al planului.

Prin condiția problemei, ni se dau coordonatele x 1, y 1, z 1 ale punctului M 1 prin care trece planul α. Dacă determinăm coordonatele vectorului normal al planului α, atunci vom putea scrie ecuația dorită.

Vectorul normal al planului α, deoarece este diferit de zero și se află pe dreapta a, perpendicular pe planα , va fi orice vector de direcție al dreptei a . Deci, problema găsirii coordonatelor vectorului normal al planului α se transformă în problema determinării coordonatelor vectorului de direcție al dreptei a .

Determinarea coordonatelor vectorului de direcție al dreptei a poate fi efectuată prin diferite metode: depinde de varianta de setare a dreptei a în condițiile inițiale. De exemplu, dacă linia a din condiția problemei este dată de ecuații canonice de formă

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

sau ecuații parametrice de forma:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

atunci vectorul de direcție al dreptei va avea coordonatele a x, a y și a z. În cazul în care dreapta a este reprezentată de două puncte M 2 (x 2, y 2, z 2) și M 3 (x 3, y 3, z 3), atunci coordonatele vectorului de direcție vor fi determinate ca (x3 - x2, y3 - y2 , z3 – z2).

Definiția 2

Algoritm pentru găsirea ecuației unui plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată:

Determinați coordonatele vectorului de direcție al dreptei a: a → = (a x, a y, a z) ;

Definim coordonatele vectorului normal al planului α ca fiind coordonatele vectorului de direcție al dreptei a:

n → = (A , B , C) , unde A = a x , B = a y , C = a z;

Scriem ecuația planului care trece prin punctul M 1 (x 1, y 1, z 1) și având un vector normal n→=(A, B, C) sub forma A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Aceasta va fi ecuația necesară a unui plan care trece printr-un punct dat din spațiu și este perpendicular pe o dreaptă dată.

Ecuația generală rezultată a planului: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 face posibilă obținerea ecuației planului în segmente sau a ecuației normale a planului.

Să rezolvăm câteva exemple folosind algoritmul obținut mai sus.

Exemplul 1

Este dat un punct M 1 (3, - 4, 5), prin care trece planul, iar acest plan este perpendicular pe dreapta de coordonate O z.

Decizie

vectorul direcție al dreptei de coordonate O z va fi vectorul de coordonate k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Prin urmare, vectorul normal al planului are coordonatele (0 , 0 , 1) . Să scriem ecuația unui plan care trece printr-un punct dat M 1 (3, - 4, 5) al cărui vector normal are coordonatele (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Răspuns: z - 5 = 0 .

Luați în considerare o altă modalitate de a rezolva această problemă:

Exemplul 2

Un plan care este perpendicular pe dreapta O z va fi dat de o ecuație generală incompletă a planului de forma С z + D = 0 , C ≠ 0 . Să definim valorile lui C și D: cele pentru care planul trece printr-un punct dat. Înlocuind coordonatele acestui punct în ecuația C z + D = 0 , obținem: C · 5 + D = 0 . Acestea. numerele, C și D sunt legate prin - D C = 5 . Luând C \u003d 1, obținem D \u003d - 5.

Înlocuiți aceste valori în ecuația C z + D = 0 și obțineți ecuația necesară pentru un plan perpendicular pe dreapta O z și care trece prin punctul M 1 (3, - 4, 5) .

Va arăta astfel: z - 5 = 0.

Răspuns: z - 5 = 0 .

Exemplul 3

Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin origine și perpendicular pe dreapta x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Decizie

Pe baza condițiilor problemei, se poate argumenta că vectorul de ghidare al unei drepte date poate fi luat ca un vector normal n → al unui plan dat. Astfel: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Să scriem ecuația unui plan care trece prin punctul O (0, 0, 0) și având un vector normal n → \u003d (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Am obținut ecuația necesară pentru planul care trece prin originea perpendiculară pe dreapta dată.

Răspuns:- 3x - 7y + 2z = 0

Exemplul 4

Având în vedere un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z în spațiu tridimensional, acesta conține două puncte A (2 , - 1 , - 2) și B (3 , - 2 , 4) . Planul α trece prin punctul A perpendicular pe dreapta AB.Este necesar să se compună ecuația planului α în segmente.

Decizie

Planul α este perpendicular pe dreapta A B, atunci vectorul A B → va fi vectorul normal al planului α. Coordonatele acestui vector sunt determinate ca diferență între coordonatele corespunzătoare ale punctelor B (3, - 2, 4) și A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Ecuația generală a planului se va scrie sub următoarea formă:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Acum compunem ecuația dorită a planului în segmente:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Răspuns:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

De asemenea, trebuie menționat că există probleme a căror cerință este să scrie o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct dat și perpendicular pe două plane date. În general, soluția acestei probleme este de a scrie o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată, deoarece două plane care se intersectează definesc o dreaptă.

Exemplul 5

Este dat un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z, în el se află un punct M 1 (2, 0, - 5) . Sunt date și ecuațiile a două plane 3 x + 2 y + 1 = 0 și x + 2 z - 1 = 0, care se intersectează de-a lungul dreptei a . Este necesar să se compună o ecuație pentru un plan care trece prin punctul M 1 perpendicular pe dreapta a.

Decizie

Să determinăm coordonatele vectorului de direcție al dreptei a . Este perpendicular atât pe vectorul normal n 1 → (3 , 2 , 0) al planului n → (1 , 0 , 2), cât și pe vectorul normal 3 x + 2 y + 1 = 0 al planului x + 2 z - 1 = 0 .

Atunci vectorul de direcție α → dreapta a luăm produsul vectorial al vectorilor n 1 → și n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Astfel, vectorul n → = (4, - 6, - 2) va fi vectorul normal al planului perpendicular pe dreapta a. Scriem ecuația dorită a planului:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Răspuns: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Dacă toate numerele A, B, C și D sunt diferite de zero, atunci ecuația generală a planului se numește complet. În caz contrar, se numește ecuația generală a planului incomplet.

Să luăm în considerare toate ecuațiile generale incomplete posibile ale planului în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz în spațiul tridimensional.

Fie D = 0, atunci avem o ecuație generală incompletă a planului de forma . Acest plan din sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz trece prin origine. Într-adevăr, când înlocuim coordonatele punctului în ecuația incompletă rezultată a planului, ajungem la identitatea .

Pentru , sau , sau avem ecuații generale incomplete ale planelor , sau , sau respectiv. Aceste ecuații definesc plane care sunt paralele cu planurile de coordonate Oxy , Oxz și respectiv Oyz (vezi articolul Condiția de paralelism pentru plane) și care trec prin puncte și în mod corespunzător. La. De la punctul aparține planului prin condiție, atunci coordonatele acestui punct trebuie să satisfacă ecuația planului, adică egalitatea trebuie să fie adevărată. De aici găsim. Astfel, ecuația dorită are forma .

Vă prezentăm a doua modalitate de a rezolva această problemă.

Deoarece planul a cărui ecuație generală trebuie să compunem este paralel cu planul Oyz, atunci putem lua vectorul normal al planului Oyz ca vector normal. Vector normal plan de coordonate Oyz este vectorul de coordonate. Acum cunoaștem vectorul normal al planului și punctul planului, prin urmare, putem scrie ecuația lui generală (am rezolvat o problemă similară în paragraful anterior al acestui articol):
, atunci coordonatele sale trebuie să satisfacă ecuația planului. Prin urmare, egalitatea unde găsim. Acum putem scrie ecuația generală dorită a planului, are forma .

Răspuns:

Bibliografie.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematică superioară. Volumul unu: Elemente de algebră liniară și geometrie analitică.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometrie analitică.

Pentru ca un singur plan să fie trasat prin oricare trei puncte din spațiu, este necesar ca aceste puncte să nu se afle pe o singură dreaptă.

Se consideră punctele M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) într-un sistem de coordonate carteziene comun.

Pentru ca un punct arbitrar M(x, y, z) să se afle în același plan cu punctele M 1 , M 2 , M 3 , vectorii trebuie să fie coplanari.

(
) = 0

Prin urmare,

Ecuația unui plan care trece prin trei puncte:

Ecuația unui plan în raport cu două puncte și a unui vector coliniar cu planul.

Fie punctele M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) și vectorul
.

Să compunem ecuația planului care trece prin punctele date M 1 și M 2 și un punct arbitrar M (x, y, z) paralel cu vectorul .

Vectori
și vector
trebuie să fie coplanare, adică

(
) = 0

Ecuația plană:

Ecuația unui plan în raport cu un punct și doi vectori,

plan coliniar.

Să fie dați doi vectori
și
, planuri coliniare. Atunci pentru un punct arbitrar M(x, y, z) aparținând planului, vectorii
trebuie să fie coplanare.

Ecuația plană:

Ecuație plană după punct și vector normal .

Teorema. Dacă un punct M este dat în spațiu 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), apoi ecuația planului care trece prin punctul M 0 perpendicular pe vectorul normal (A, B, C) se pare ca:

A(X – X 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Dovada. Pentru un punct arbitrar M(x, y, z) aparținând planului, compunem un vector . pentru că vector - vectorul normal, atunci este perpendicular pe plan și, prin urmare, perpendicular pe vector
. Apoi produsul scalar

= 0

Astfel, obținem ecuația planului

Teorema a fost demonstrată.

Ecuația unui plan în segmente.

Dacă în ecuația generală Ax + Wu + Cz + D \u003d 0, împărțiți ambele părți la (-D)

,

înlocuind
, obținem ecuația planului în segmente:

Numerele a, b, c sunt punctele de intersecție ale planului, respectiv, cu axele x, y, z.

Ecuație plană în formă vectorială.

Unde

- raza-vector al punctului curent M(x, y, z),

Un vector unitar care are direcția perpendicularei coborâtă față de planul de la origine.

,  și  sunt unghiurile formate de acest vector cu axele x, y, z.

p este lungimea acestei perpendiculare.

În coordonate, această ecuație are forma:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Distanța de la un punct la un plan.

Distanța de la un punct arbitrar M 0 (x 0, y 0, z 0) la planul Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 este:

Exemplu. Aflați ecuația planului, știind că punctul P (4; -3; 12) este baza perpendicularei căzute de la origine la acest plan.

Deci A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, utilizați formula:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Exemplu. Aflați ecuația unui plan care trece prin două puncte P(2; 0; -1) și

Q(1; -1; 3) este perpendicular pe planul 3x + 2y - z + 5 = 0.

Vector normal în plan 3x + 2y - z + 5 = 0
paralel cu planul dorit.

Primim:

Exemplu. Aflați ecuația planului care trece prin punctele A(2, -1, 4) și

В(3, 2, -1) perpendicular pe plan X + la + 2z – 3 = 0.

Ecuația plană dorită are forma: A X+B y+ C z+ D = 0, vectorul normal la acest plan (A, B, C). Vector
(1, 3, -5) aparține planului. Planul dat nouă, perpendicular pe cel dorit, are un vector normal (1, 1, 2). pentru că punctele A și B aparțin ambelor plane, iar planurile sunt reciproc perpendiculare, atunci

Deci vectorul normal (11, -7, -2). pentru că punctul A apartine planului dorit, atunci coordonatele lui trebuie sa satisfaca ecuatia acestui plan, i.e. 112 + 71 - 24 + D= 0;D= -21.

În total, obținem ecuația planului: 11 X - 7y – 2z – 21 = 0.

Exemplu. Aflați ecuația planului, știind că punctul P(4, -3, 12) este baza perpendicularei căzute de la origine la acest plan.

Aflarea coordonatelor vectorului normal
= (4, -3, 12). Ecuația dorită a planului are forma: 4 X – 3y + 12z+ D = 0. Pentru a găsi coeficientul D, înlocuim coordonatele punctului Р în ecuație:

16 + 9 + 144 + D = 0

În total, obținem ecuația dorită: 4 X – 3y + 12z – 169 = 0

Exemplu. Având în vedere coordonatele vârfurilor piramidei A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Aflați lungimea muchiei A 1 A 2 .

Aflați unghiul dintre muchiile A 1 A 2 și A 1 A 4.

Aflați unghiul dintre muchia A 1 A 4 și fața A 1 A 2 A 3 .

Mai întâi, găsiți vectorul normal al feței A 1 A 2 A 3 ca produs încrucișat al vectorilor
și
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Aflați unghiul dintre vectorul normal și vector
.

-4 – 4 = -8.

Unghiul dorit  între vector și plan va fi egal cu  = 90 0 - .

Aflați aria feței A 1 A 2 A 3 .

Aflați volumul piramidei.

Aflați ecuația planului А 1 А 2 А 3 .

Folosim formula pentru ecuația unui plan care trece prin trei puncte.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

Când utilizați versiunea pentru computer a „ Curs de matematică superioară” puteți rula un program care va rezolva exemplul de mai sus pentru orice coordonate ale vârfurilor piramidei.

Faceți dublu clic pe pictogramă pentru a lansa programul:

În fereastra programului care se deschide, introduceți coordonatele vârfurilor piramidei și apăsați Enter. Astfel, toate punctele de decizie pot fi obținute unul câte unul.

Notă: Pentru a rula programul, trebuie să aveți Maple ( Waterloo Maple Inc.) instalat pe computer, orice versiune începând cu MapleV Release 4.