Proiecția orizontală a punctelor a și b. Un scurt curs de geometrie descriptivă. Metoda de rotație în jurul unei axe perpendiculare pe planul de proiecție

PROIECȚII PUNCTE.

SISTEM ORTOGONAL DIN DOUĂ PLANURI DE PROIECȚII.

Esența metodei proiecției ortogonale constă în faptul că obiectul este proiectat pe două plane reciproc perpendiculare prin raze ortogonale (perpendiculare) pe aceste planuri.

Unul dintre planurile de proiecție H este plasat orizontal, iar celălalt V este plasat vertical. Planul H se numește planul orizontal al proiecțiilor, V - frontal. Planurile H și V sunt infinite și opace. Linia de intersecție a planurilor de proiecție se numește axa de coordonate și se notează BOU. Planurile de proiecție împart spațiul în patru unghiuri diedrice - sferturi.

Luand in considerare proiecții ortogonale, presupunem că observatorul se află în primul cadran la o distanță infinită de planurile de proiecție. Deoarece aceste planuri sunt opace, doar acele puncte, linii și figuri care sunt situate în același prim sfert vor fi vizibile pentru observator.

Când construiți proiecții, este necesar să rețineți că proiecție ortogonală punctualăpe un plan se numește baza perpendicularei căzute dintr-un punct datla acest avion.

Figura arată punctul DARși proiecțiile sale ortogonale a 1și a 2 .

punct a 1 numit vedere în plan puncte DAR, punct a 2- a ei proiecție frontală. Fiecare dintre ele este baza perpendicularei coborâte din punct DAR respectiv în avion Hși V.

Se poate dovedi că proiecția punctuluimereu situate pe linii drepte, perpendiculareaxa cularăOH și traversând această axăin acelasi punct.Într-adevăr, proiectând raze DARa 1și DARa 2 definiți un plan perpendicular pe planurile proiecțiilor și pe liniile de intersecție a acestora - axele OH. Acest plan se intersectează Hși Vîn linii drepte a 1 aXși a 1 aX, care se formează cu axa BOU iar unul cu celălalt unghiuri drepte cu vârf într-un punct AX.

Este adevărat și contrariul, adică. dacă sunt date puncte pe planurile de proiecţieA 1 și A 2 , situate pe linii drepte care se intersectează axă BOUîn acest punct într-un unghi drept,atunci sunt proiecții ale unorapunctele A. Acest punct este determinat de intersecția perpendicularelor construite din puncte A 1 și A 2 la avioane Hși V.

Rețineți că poziția planurilor de proiecție în spațiu poate fi diferită. De exemplu, ambele planuri, fiind reciproc perpendiculare, pot fi verticale.Dar în acest caz, ipoteza de mai sus despre orientarea proiecțiilor opuse ale punctelor față de axă rămâne valabilă.

Pentru a obține un desen plat format din proiecțiile de mai sus, planul H aliniat prin rotație în jurul unei axe BOU cu avionul V după cum arată săgețile din figură. Ca rezultat, semiplanul din față H va fi aliniat cu semiplanul inferior V, și semiplanul din spate H- cu semiplan superior V.

Un desen de proiecție, în care planurile de proiecție cu tot ceea ce este reprezentat pe ele, sunt combinate într-un anumit fel unele cu altele, se numește diagramă(din franceză epure - desen). Figura prezintă o diagramă a unui punct DAR.

Cu această metodă de combinare a avioanelor Hși V proiecții A 1 și A 2 vor fi situate pe aceeași perpendiculară pe axă BOU. În același timp, distanța A 1 un x — de la proiecția orizontală a punctului spre axă BOU DAR până la avion V, și distanța A 2 un x — de la proiecția frontală a punctului spre axă BOU egală cu distanța de la punct DAR până la avion H.

Linii drepte care conectează proiecțiile opuse ale unui punct de pe diagramă, suntem de acord să apelăm linii de comunicare de proiecție.

Poziția proiecțiilor punctelor pe diagramă depinde de trimestrul în care se află punctul dat. Deci, dacă ideea LA este situat în al doilea trimestru, apoi după alinierea planurilor, ambele proiecții se vor afla deasupra axei BOU.

Dacă punct Cu este în al treilea trimestru, apoi proiecția sa orizontală, după combinarea planurilor, va fi deasupra axei, iar proiecția frontală va fi sub axa BOU. În cele din urmă, dacă punctul D situat în al patrulea trimestru, atunci ambele proiecții ale acesteia vor fi sub axă BOU. Figura arată punctele Mși N culcat pe planurile de proiecție. În această poziție, punctul coincide cu una dintre proiecțiile sale, în timp ce cealaltă proiecție se dovedește a fi situată pe axă. BOU. Această caracteristică se reflectă și în denumire: lângă proiecția cu care punctul însuși coincide, este scrisă o literă majusculă fără index.

De asemenea, trebuie remarcat faptul că cazul în care ambele proiecții ale punctului coincid. Acest lucru se va întâmpla dacă punctul se află în al doilea sau al patrulea trimestru la aceeași distanță de planurile de proiecție. Ambele proiecții sunt combinate cu punctul însuși, dacă acesta din urmă este situat pe axă BOU.

SISTEM ORTOGONAL DIN TREI PLANURI DE PROIECȚII.

S-a arătat mai sus că două proiecții ale unui punct determină poziția acestuia în spațiu. Deoarece fiecare figură sau corp este o colecție de puncte, se poate argumenta că două proiecții ortogonale ale unui obiect (în prezența desemnărilor de litere) determină complet forma acestuia.

Cu toate acestea, în practica descrierii structurilor de clădiri, mașinilor și diferitelor structuri de inginerie, devine necesar să se creeze proiecții suplimentare. Ei fac acest lucru doar cu scopul de a face desenul de proiecție mai clar, mai lizibil.

Modelul a trei planuri de proiecție este prezentat în figură. Al treilea plan, perpendicular și Hși V, notat cu litera Wși a sunat profil.

Proiecțiile punctelor din acest plan vor fi numite și profil și sunt notate cu majuscule sau cifre cu indicele 3 (Ah,bh,ch,...1h, 2h, 3 3 ...).

Planurile de proiecție, care se intersectează în perechi, definesc trei axe: OX, OYși OZ, care poate fi considerat ca un sistem de dreptunghiulare coordonate cartezieneîn spaţiu cu originea în punctul O. Sistemul de semne prezentat în figură corespunde „sistemului drept” de coordonate.

Trei planuri de proiecție împart spațiul în opt unghiuri triedrice - acestea sunt așa-numitele octanți. Numerotarea octanților este dată în figură.

Pentru a obține o parcelă a unui avion Hși W rotiți așa cum se arată în figură până când este aliniat cu planul V. Ca rezultat al rotației, semiplanul frontal H se dovedește a fi aliniat cu semiplanul inferior V, și semiplanul din spate H- cu semiplan superior V. Când este rotit cu 90° în jurul axei OZ semiplan frontal W coincide cu semiplanul drept V, și semiplanul din spate W- cu semiplanul stâng V.

Vederea finală a tuturor planurilor de proiecție combinate este dată în figură. În acest desen, axele OXși OZ, culcat într-un plan fix V, sunt afișate o singură dată, iar axa OY arătat de două ori. Acest lucru se explică prin faptul că, rotindu-se cu avionul H, axa OY pe diagramă este aliniată cu axa OZ, în timp ce se rotește cu avionul W, aceeași axă este aliniată cu axa OX.

În viitor, la desemnarea axelor pe diagramă, semiaxele negative (- OX, — OY, — OZ) nu va fi indicat.

TREI COORDONATE ȘI TREI PROIECȚII ALE UNUI PUNCT ȘI RAZUL-VECTOR AL SĂU.

Coordonatele sunt numere carepus în corespondență cu un punct de determinatniya poziției sale în spațiu sau pesuprafete.

În spațiul tridimensional, poziția unui punct este stabilită folosind coordonate carteziene dreptunghiulare X yși z.

Coordona X numit abscisă, la— ordonatăși z — aplicatie. Abscisă X definește distanța de la un punct dat la un plan W, ordonata y - până la avion Vși aplicație z - până la avion H. După ce am adoptat sistemul prezentat în figură pentru numărarea coordonatelor unui punct, vom alcătui un tabel cu semne de coordonate în toți cei opt octanți. Orice punct din spațiu DAR, dat prin coordonate, se va nota astfel: A(X y,z).

Dacă x = 5, y = 4 și z = 6, atunci intrarea va lua următoarea formă DAR(5, 4, 6). Acest punct DAR, ale căror coordonate sunt pozitive, este în primul octant

Coordonatele punctului DAR sunt, în același timp, coordonatele raze-vectorului său

OA cu privire la originea coordonatelor. În cazul în care un i, j, k sunt vectori unitari dirijati respectiv de-a lungul axelor de coordonate X y,z(poza), atunci

OA =OA x i+OAyj + OAzk , Unde OA X, OA U, OA g - coordonate vectoriale OA

Se recomandă construirea unei imagini a punctului în sine și a proiecțiilor acestuia pe un model spațial (figură) folosind un paralelipiped dreptunghiular de coordonate. În primul rând, pe axele de coordonate din punct O segmente amânate, respectiv egale 5, 4 și 6 unități de lungime. Pe aceste segmente (Oun x , OAy , Oa z ), ca pe margini, construiți un paralelipiped dreptunghiular. Vârful acestuia, opus originii, va determina punctul dat DAR. Este ușor de văzut asta pentru a determina punctul DAR este suficient să construiești doar trei margini ale paralelipipedului, de exemplu Oun x , a x a 1 și A 1 DAR sau OAy , a y a 1 și A 1 Ași așa mai departe Aceste muchii formează o polilinie de coordonate, a cărei lungime a fiecărei legături este determinată de coordonata corespunzătoare a punctului.

Cu toate acestea, construcția unui paralelipiped ne permite să determinăm nu numai punctul DAR, dar și toate cele trei proiecții ortogonale ale sale.

Raze care proiectează un punct pe un plan H, V, W sunt cele trei margini ale paralelipipedului care se intersectează în punct DAR.

Fiecare dintre proiecțiile ortogonale ale punctului DAR, fiind situat pe un plan, este determinat doar de două coordonate.

Da, proiecția orizontală A 1 determinate de coordonate Xși y, proiecție frontală A 2 - coordonatele x șiz, proiecția profilului A 3 — coordonate lași z. Dar oricare două proiecții sunt determinate de trei coordonate. De aceea, specificarea unui punct cu două proiecții este echivalentă cu specificarea unui punct cu trei coordonate.

Pe diagramă (figura), unde sunt combinate toate planurile de proiecție, proiecțiile A 1 și A 2 va fi pe aceeași perpendiculară pe axă OX, și proiecții A 2 și A 3 — unul perpendicular pe ax oz.

Cât despre proiecții A 1 și A 3 , apoi sunt conectate prin linii drepte A 1 Ayși A 3 Ay , perpendicular pe ax OY. Dar din moment ce această axă ocupă două poziții pe diagramă, segmentul A 1 Ay nu poate fi o continuare a unui segment A 3 Ay .

Construcția proiecțiilor punctuale A (5, 4, 6) pe diagramă la coordonatele date, acestea se execută în următoarea succesiune: în primul rând, pe axa absciselor de la origine, se așează un segment Oun x = x(în cazul nostru x =5), apoi prin punct un x trageți perpendicular pe axă OX, pe care, ținând cont de semne, amânăm segmentele a x a 1 = y(primim A 1 ) și a x a 2 = z(primim A 2 ). Rămâne să construim proiecția de profil a punctului A 3 . Deoarece profilul și proiecțiile frontale ale punctului trebuie să fie situate pe aceeași perpendiculară pe axă oz , apoi prin A 3 direct A 2 a z ^ oz.

În cele din urmă, apare ultima întrebare: la ce distanță de axă OZ ar trebui sa fie un 3?

Luând în considerare caseta de coordonate (vezi figura), ale cărei margini a z a 3 = O Ay = a x a 1 = y concluzionăm că distanţa dorită a z a 3 egală y. Segment de linie a z a 3 puneți deoparte la dreapta axei OZ dacă y>0 și la stânga dacă y

Să vedem ce schimbări vor avea loc pe diagramă atunci când punctul începe să-și schimbe poziția în spațiu.

Să fie, de exemplu, un punct A (5, 4, 6) se va deplasa în linie dreaptă perpendicular pe plan V. Cu o astfel de mișcare, doar o coordonată se va schimba y, arătând distanța de la un punct la un plan V. Coordonatele vor rămâne constante. x șiz , și proiecția punctului definit de aceste coordonate, i.e. A 2 nu își va schimba poziția.

Cât despre proiecții A 1 și A 3 , atunci primul va începe să se apropie de axă OX, al doilea - la axă OZ. În figuri, noua poziție a punctului corespunde denumirilor A 1 (A 1 1 A 2 1 A 3 1 ). Când punctul este în avion V(y = 0), două dintre cele trei proiecții ( A 1 2 și A 3 2 ) se va întinde pe topoare.

Fiind mutat din eu octant în II, punctul va începe să se îndepărteze de avion V, coordonate la devine negativă, valoarea sa absolută va crește. Proiecția orizontală a acestui punct, fiind situată pe semiplanul posterior H, pe parcela va fi deasupra axei OX, iar proiecția profilului, fiind pe semiplanul din spate W, pe diagramă va fi în stânga axei OZ. Ca întotdeauna, tăiați a zA 3 3 = y.

În diagramele ulterioare, nu vom desemna cu litere punctele de intersecție a axelor de coordonate cu liniile conexiunii de proiecție. Acest lucru va simplifica într-o oarecare măsură desenul.

În viitor, vor exista diagrame fără axe de coordonate. Acest lucru se face în practică atunci când înfățișați obiecte, când doar imaginea în sine este esențialăobiect, nu poziția sa relativ laplanuri de proiectie.

Planurile de proiecție în acest caz sunt determinate cu o precizie doar până la translația paralelă (figura). Ele sunt de obicei mutate paralel cu ei înșiși, astfel încât toate punctele obiectului să fie deasupra planului. H iar în fața avionului V. Deoarece poziția axei X 12 se dovedește a fi nedefinită, formarea unei diagrame în acest caz nu trebuie să fie asociată cu rotația planurilor în jurul axei de coordonate. Când treceți la o diagramă plană Hși V sunt combinate astfel încât proiecțiile opuse ale punctelor să fie situate pe linii verticale.

Graficul fără axe a punctelor A și B(imagine) nudetermină poziția lor în spațiu,dar ne permite să judecăm orientarea lor relativă. Deci, segmentul △x caracterizează deplasarea punctului DARîn raport cu punctul LA in directia, paralel cu planele H și V. Cu alte cuvinte, △x indică cât de mult este punctul DAR situat în stânga punctului LA. Decalajul relativ al punctului pe direcția perpendiculară pe planul V este determinat de segmentul △y, adică punctul Si inîn exemplul nostru, mai aproape de observator decât de punct LA, o distanță egală cu △y.

În cele din urmă, segmentul △z arată excesul punctului DAR peste punct LA.

Susținătorii studiului fără axe ale cursului geometrie descriptivă subliniază pe bună dreptate că în rezolvarea multor probleme se poate face fără axe de coordonate. Cu toate acestea, o respingere completă a acestora nu poate fi considerată oportună. Geometria descriptivă este concepută pentru a pregăti viitorul inginer nu numai pentru execuția competentă a desenelor, ci și pentru rezolvarea diferitelor probleme tehnice, printre care problemele de statică și mecanică spațială ocupă nu ultimul loc. Și pentru aceasta este necesar să se cultive capacitatea de a orienta cutare sau acel obiect în raport cu axele de coordonate carteziene. Aceste abilități vor fi, de asemenea, necesare atunci când se studiază astfel de secțiuni ale geometriei descriptive precum perspectiva și axonometria. Prin urmare, pe o serie de diagrame din această carte, salvăm imagini ale axelor de coordonate. Astfel de desene determină nu numai forma obiectului, ci și locația acestuia în raport cu planurile de proiecție.

Un punct, ca concept matematic, nu are dimensiuni. Evident, dacă obiectul proiecției este un obiect cu dimensiuni zero, atunci este lipsit de sens să vorbim despre proiecția lui.

Fig.9 Fig.10

În geometrie sub un punct, este recomandabil să luați un obiect fizic care are dimensiuni liniare. În mod convențional, o minge cu o rază infinit de mică poate fi luată ca punct. Cu această interpretare a conceptului de punct, putem vorbi despre proiecțiile acestuia.

Când construim proiecții ortogonale ale unui punct, ar trebui să ne ghidăm după prima proprietate invariantă a proiecției ortogonale: proiecția ortogonală a unui punct este un punct.

Poziția unui punct în spațiu este determinată de trei coordonate: X, Y, Z, arătând distanţele la care punctul este îndepărtat din planurile de proiecţie. Pentru a determina aceste distanțe, este suficient să determinați punctele de întâlnire ale acestor linii cu planurile de proiecție și să măsurați valorile corespunzătoare, care vor indica, respectiv, valorile abscisei. X, ordonate Yși aplicații Z puncte (Fig. 10).

Proiecția unui punct este baza perpendicularei căzute de la punct la planul de proiecție corespunzător. Proiecție orizontală puncte A numiți proiecția dreptunghiulară a unui punct pe planul orizontal al proiecțiilor, proiecție frontală a /- respectiv pe planul frontal al proiecţiilor şi profil a // – pe planul de proiecție a profilului.

Direct Aaaa /și Aa // se numesc linii proiectante. În același timp, direct Ah, punct de proiectare DAR pe planul orizontal al proiecțiilor, numit linie proiectată orizontal, Аa /și Aa //- respectiv: frontalși linii drepte care proiectează profil.

Două linii proeminente care trec printr-un punct DAR definiți planul, care se numește proiectand.

La conversia aspectului spațial, proiecția frontală a punctului A - a / rămâne pe loc ca aparținând unui plan care nu își schimbă poziția sub transformarea considerată. proiecție orizontală - Aîmpreună cu planul orizontal de proiecție se vor întoarce în sensul deplasării în sensul acelor de ceasornic și vor fi situate pe una perpendiculară pe axa X cu proiecție frontală. proiecție profil - A // se va roti împreună cu planul profilului și până la sfârșitul transformării va lua poziția indicată în Figura 10. În același timp - A // va fi perpendicular pe ax Z trase din punct A /și va fi îndepărtat de pe axă Z aceeași distanță ca și proiecția orizontală A departe de axă X. Prin urmare, legătura dintre proiecțiile orizontale și de profil ale unui punct poate fi stabilită folosind două segmente ortogonale aa yși a da //și un arc de conjugare de cerc centrat în punctul de intersecție al axelor ( O- origine). Conexiunea marcată este folosită pentru a găsi proiecția lipsă (pentru două date date). Poziția proiecției profilului (orizontală) conform proiecțiilor orizontale (profilului) și frontală date poate fi găsită folosind o linie dreaptă trasată la un unghi de 45 0 de la origine la axă. Y(această bisectoare se numește linie dreaptă) k este constanta Monge). Prima dintre aceste metode este de preferat, deoarece este mai precisă.

Prin urmare:

1. Punct din spațiu eliminat:

din planul orizontal H Z,

din planul frontal V prin valoarea coordonatei date Y,

din planul profilului W prin valoarea coordonatei. X.

2. Două proiecții ale oricărui punct aparțin aceleiași perpendiculare (o linie de legătură):

orizontală și frontală - perpendiculară pe axă X,

orizontală și profil - perpendicular pe axa Y,

frontală și de profil - perpendicular pe axa Z.

3. Poziția unui punct în spațiu este complet determinată de poziția celor două proiecții ortogonale ale sale. Prin urmare - din oricare două proiecții ortogonale date ale unui punct, este întotdeauna posibil să se construiască a treia proiecție lipsă.

Dacă un punct are trei coordonate definite, atunci se numește un astfel de punct punct în poziție generală. Dacă un punct are una sau două coordonate egale cu zero, atunci se numește un astfel de punct punct de poziție privată.

Orez. 11 Fig. 12

Figura 11 prezintă un desen spațial al punctelor cu o anumită poziție, Figura 12 prezintă un desen complex (diagrame) a acestor puncte. Punct DAR aparține planului de proiecție frontală, punctul LA– plan orizontal al proiecțiilor, punct Cu– planul de profil al proiecțiilor și punctului D– axa absciselor ( X).

proiecție(lat. Projicio - arunc înainte) - procesul de obținere a unei imagini a unui obiect (obiect spațial) pe orice suprafață folosind raze luminoase sau vizuale (raze care leagă condiționat ochiul observatorului cu orice punct al unui obiect spațial), care sunt numită proiectare.

Există două metode de proiecție: centralși paralel .

Centralproiecție este să treci prin fiecare punct ( A, B, C,…) a obiectului reprezentat și într-un anumit fel selectat centru de proiecție (S) linie dreapta ( SA, SB, >… — fascicul proiectant).

Figura 1.1 - Proiecție centrală

Să introducem următoarea notație (Figura 1.1):

S– centrul de proiecție (ochiul observatorului);

π 1 - plan de proiecție;

A, B, C

SA, SB- proiectarea liniilor drepte (proiectarea razelor).

Notă: butonul stâng al mouse-ului poate muta punctul în plan orizontal, când dați clic pe punctul cu butonul stâng al mouse-ului, direcția de mișcare se va schimba și îl puteți muta pe verticală.

Punct central de proiecție se numește punctul de intersecție a dreptei de proiectare care trece prin centrul de proiecție și obiectul (punctul) de proiecție cu planul de proiecție.

Proprietatea 1 . Fiecare punct din spațiu corespunde unei singure proiecții, dar fiecărui punct din planul de proiecție îi corespunde un set de puncte din spațiu care se află pe linia de proiecție.

Să demonstrăm această afirmație.

Figura 1.1: punct DAR 1 este proiecția centrală a punctului A pe planul proiecțiilor π 1 . Dar toate punctele situate pe linia de proiectare pot avea aceeași proiecție. Preluați linia de proiectare SA punct Cu. Punct central de proiecție Cu(Cu 1) pe planul proiecțiilor π 1 coincide cu proiecția punctului DAR(DAR 1):

1. Cu∈ SA;
2. SC∩ π 1 = C 1 →C 1 ≡ A 1 .

Concluzia rezultă că prin proiecția unui punct este imposibil să se judece fără ambiguitate poziția acestuia în spațiu.

Pentru a elimina această incertitudine, de ex. face un desen reversibil, introducem încă un plan de proiecție (π 2) și încă un centru de proiecție ( S 2) (Figura 1.2).

Figura 1.2 - Ilustrarea primei și a doua proprietăți

Să construim proiecții ale unui punct DAR pe planul proiecţiilor π 2 . Din toate punctele din spațiu, doar un punct DAR are proiecțiile sale DAR 1 la planul π 1 și DAR 2 la π 2 în același timp. Toate celelalte puncte situate pe razele proiectante vor avea cel puțin o proiecție diferită de proiecțiile punctului DAR(de exemplu, punct LA).

Proprietatea 2 . Proiecția unei linii drepte este o linie dreaptă.

Să demonstrăm această proprietate.

Uneste punctele DARși LAîntre ele (Figura 1.2). Primim un segment AB definirea unei linii drepte. triunghi SAB definește un plan, notat cu σ. Se știe că două plane se intersectează în linie dreaptă: σ∩π 1 = DAR 1 LA 1, unde DAR 1 LA 1 - proiecția centrală a unei drepte dată de un segment AB.

Metoda de proiecție centrală este un model de percepție a imaginii de către ochi, este utilizată în principal atunci când se realizează imagini în perspectivă ale obiectelor clădirii, interioarelor, precum și în tehnologia filmului și optică. Metoda proiecției centrale nu rezolvă sarcina principală cu care se confruntă inginerul - să reflecte cu exactitate forma, dimensiunile obiectului, raportul dintre dimensiunile diferitelor elemente.

1.2. Proiecție paralelă

Luați în considerare metoda proiecției paralele. Vom impune trei restricții care ne vor permite, deși în detrimentul vizibilității imaginii, să obținem un desen mai convenabil pentru utilizarea în practică:

1. Să ștergem ambele centre de proiecție la infinit. Astfel, ne vom asigura că razele proeminente din fiecare centru devin paralele și, prin urmare, raportul dintre lungimea adevărată a oricărui segment de linie și lungimea proiecției acestuia va depinde doar de unghiul de înclinare al acestui segment față de planurile de proiecție. și nu depind de poziția centrului de proiecție;
2. Să fixăm direcția de proiecție în raport cu planurile de proiecție;
3. Să plasăm planurile de proiecție perpendiculare între ele, ceea ce va face mai ușoară trecerea de la imaginea de pe planurile de proiecție la obiectul real din spațiu.

Astfel, după ce am impus aceste restricții asupra metodei de proiecție centrală, am ajuns la cazul ei special - metoda proiecției paralele(Figura 1.3) Proiecție în care razele de proiectare care trec prin fiecare punct al obiectului sunt paralele cu direcția de proiecție selectată P, se numește paralel .

Figura 1.3 - Metoda proiecției paralele

Să introducem notația:

R– direcția de proiecție;

π 1 - plan orizontal al proiecțiilor;

A,B– obiecte de proiecție – puncte;

DAR 1 și LA 1 - proiecții de puncte DARși LA pe planul de proiecție π 1 .

Proiecția punctului paralel este punctul de intersecție al dreptei de proiectare paralel cu direcția dată de proiecție R, cu planul de proiecție π 1 .

Treceți prin puncte DARși LA proiectarea grinzilor paralele cu o direcție dată de proiecție R. Raza proiectanta care trece printr-un punct DAR intersectează planul de proiecție π 1 în punctul DAR unu . În mod similar, o rază proiectată printr-un punct LA intersectează planul de proiecție într-un punct LA unu . Prin conectarea punctelor DAR 1 și LA 1 , obținem un segment DAR 1 LA 1 este proiecția segmentului AB pe planul π 1 .

1.3. Proiecție ortografică. Metoda Monge

Dacă direcţia de proiecţie R perpendicular pe planul proiecțiilor p 1 , atunci proiecția se numește dreptunghiular (Figura 1.4) sau ortogonală (gr. orthos- Drept, gonia- unghi) dacă R nu perpendicular pe π 1, atunci proiecția se numește oblic .

patrulater AA 1 LA 1 LA definește planul γ, care se numește plan proiectant, deoarece este perpendicular pe planul π 1 (γ⊥π 1). În cele ce urmează, vom folosi doar proiecția dreptunghiulară.

Figura 1.4 - Proiecție ortografică Figura 1.5 - Monge, Gaspard (1746-1818)

Omul de știință francez Gaspard Monge este considerat fondatorul proiecției ortogonale (Figura 1.5).

Înainte de Monge, constructorii, artiștii și oamenii de știință dețineau informații destul de semnificative despre metodele de proiecție și totuși doar Gaspard Monge este creatorul geometriei descriptive ca știință.

Gaspard Monge s-a născut la 9 mai 1746 în orășelul Beaune (Burgundia) din estul Franței, în familia unui negustor local. A fost cel mai mare dintre cinci copii, pentru care tatăl său, în ciuda originii scăzute și a sărăciei relative a familiei, a încercat să ofere cel mai mult educație mai bună de disponibil la acel moment pentru oamenii din clasa umilă. Al doilea fiu al său, Louis, a devenit profesor de matematică și astronomie, cel mai mic, Jean, tot profesor de matematică, hidrografie și navigație. Gaspard Monge și-a făcut studiile inițiale la școala orășenească a ordinului Oratorie. După ce a absolvit în 1762 ca cel mai bun student, a intrat la colegiul din Lyon, deținut tot de oratorieni. Curând, lui Gaspard i s-a încredințat predarea fizicii acolo. În vara anului 1764, Monge a întocmit un plan al orașului său natal Beaune, remarcabil de exact. Metodele și instrumentele necesare pentru măsurarea unghiurilor și trasarea liniilor au fost inventate chiar de compilator.

În timp ce studia la Lyon, a primit o ofertă de a se alătura ordinului și de a rămâne profesor de facultate, însă, în schimb, după ce a dat dovadă de mari abilități în matematică, desen și desen, a reușit să intre la Școala de Ingineri Militari Mézieres, dar (din cauza originii). ) numai ca subofițer auxiliar subofițer departament și fără salariu. Cu toate acestea, succesul în științele exacte și o soluție originală la una dintre problemele importante ale fortificației (așezarea fortificațiilor în funcție de locația artileriei inamice) i-au permis în 1769 să devină asistent (asistent didactic) la matematică, iar apoi în fizică și deja cu un salariu decent de 1800 de livre pe an.

În 1770, la vârsta de 24 de ani, Monge a deținut funcția de profesor în același timp în două catedre - matematică și fizică și, în plus, conduce cursuri de tăiere a pietrelor. Începând cu sarcina de a tăia cu precizie pietrele după schițe date în legătură cu arhitectura și fortificația, Monge a ajuns la crearea unor metode pe care le-a generalizat ulterior în noua stiinta- geometria descriptivă, al cărei creator este considerat pe drept. Având în vedere posibilitatea utilizării metodelor geometriei descriptive în scopuri militare în construcția de fortificații, conducerea școlii Mézières nu a permis publicarea deschisă până în 1799, cartea a fost publicată sub titlul geometrie descriptivă (Geometrie descriptivă) (o consemnare textuală a acestor prelegeri a fost făcută în 1795). Abordarea de a preda cursuri despre această știință și de a efectua exercițiile descrise în ea a supraviețuit până în zilele noastre. O altă lucrare semnificativă a lui Monge - Aplicarea analizei la geometrie (L'application de l'analyse à la geometrie, 1795) - este un manual de geometrie analitică, în care se pune un accent deosebit pe relațiile diferențiale.

În 1780 a fost ales membru al Academiei de Științe din Paris, în 1794 a devenit director al Școlii Politehnice. Timp de opt luni a servit ca ministru al mării în guvernul lui Napoleon, a fost responsabil cu fabricile de praf de pușcă și tunuri ale republicii și l-a însoțit pe Napoleon în expediția sa în Egipt (1798–1801). Napoleon i-a acordat titlul de conte, l-a onorat cu multe alte distincții.

Metoda de reprezentare a obiectelor conform lui Monge constă din două puncte principale:

1. Poziția unui obiect geometric în spațiu, în acest exemplu un punct DAR, este considerat relativ la două plane reciproc perpendiculare π 1 și π 2(Figura 1.6).

Ele împart în mod condiționat spațiul în patru cadrane. Punct DAR situat în primul cadran. Sistemul de coordonate carteziene a servit drept bază pentru proiecțiile Monge. Monge a înlocuit conceptul de axe de proiecție cu linia de intersecție a planurilor de proiecție (axe de coordonate) și a propus să combine planurile de coordonate într-unul singur prin rotirea lor în jurul axelor de coordonate.

Figura 1.6 - Model pentru construirea proiecțiilor punctuale

π 1 - plan de proiecție orizontal (primul).

π 2 - planul de proiecție frontal (al doilea).

π 1 ∩ π 2 este axa proiecțiilor (notăm π 2 / π 1)

Luați în considerare un exemplu de proiectare a unui punct DAR pe două plane de proiecție reciproc perpendiculare π 1 și π 2 .

Aruncă din punct DAR perpendiculare (razele proiectante) pe planele π 1 si π 2 si marcheaza bazele acestora, adica punctele de intersectie a acestor perpendiculare (razele proiectante) cu planurile de proiectie. DAR 1 - proiecția orizontală (prima) a punctului DAR;DAR 2 - proiecția frontală (a doua) a punctului DAR;AA 1 și AA 2 - linii proeminente. Săgețile arată direcția de proiecție pe planul proiecțiilor π 1 și π 2 . Un astfel de sistem vă permite să determinați în mod unic poziția unui punct în raport cu planurile de proiecție π 1 și π 2:

AA 1 ⊥π 1

DAR 2 DAR 0 ⊥π 2 /π 1 AA 1 = DAR 2 DAR 0 - distanța de la punctul A la planul π 1

AA 2 ⊥π 2

DAR 1 DAR 0 ⊥π 2 /π 1 AA 2 \u003d A 1 A 0 - distanța de la punctul A la planul π 2

2. Să combinăm rotația în jurul axei proiecțiilor π 2 / π 1 a planului de proiecție într-un singur plan(π 1 cu π 2), dar pentru ca imaginile să nu se suprapună, (în direcția α, Figura 1.6), obținem o imagine numită desen dreptunghiular (Figura 1.7):

Figura 1.7 - Desen ortogonal

Se numește dreptunghiular sau ortogonal Diagrama Monge .

Drept DAR 2 DAR am sunat link de proiecție , care conectează proiecțiile opuse ale punctului ( DAR 2 - frontală și DAR 1 - orizontal) este întotdeauna perpendicular pe axa de proiecție (axa de coordonate) DAR 2 DAR 1 ⊥π 2 /π 1 . Pe diagramă, segmentele indicate prin paranteze sunt:

• DAR 0 DAR 1 - distanta fata de punct DAR la planul π 2 corespunzător coordonatei y A;
• DAR 0 DAR 2 - distanta fata de punct DAR la planul π 1 corespunzător coordonatei z A.

1.4. Proiecții punctuale dreptunghiulare. Proprietățile desenului ortografic

1. Două proiecții dreptunghiulare ale unui punct se află pe aceeași linie de conexiune de proiecție perpendiculară pe axa de proiecție.

2. Două proiecții dreptunghiulare ale unui punct determină în mod unic poziția acestuia în spațiu față de planurile de proiecție.

Să verificăm validitatea ultimei afirmații, pentru care întoarcem planul π 1 în poziția inițială (când π 1 ⊥ π 2). Pentru a construi un punct DAR necesare din puncte DAR 1 și DAR 2 pentru a restabili razele proeminente, și de fapt - perpendicularele pe planele π 1 și, respectiv, π 2 . Punctul de intersecție al acestor perpendiculare fixează punctul dorit în spațiu DAR. Luați în considerare un desen ortogonal al unui punct DAR(Figura 1.8).

Figura 1.8 - Trasarea unui punct

Să introducem al treilea plan (de profil) al proiecțiilor π 3 perpendicular pe π 1 și π 2 (dată de axa proiecțiilor π 2 /π 3).

Distanta de la proiecția profilului indică către axa verticală de proiecție DAR‘ 0 A 3 vă permite să determinați distanța de la punct DAR la planul de proiecţie frontală π 2 . Se știe că poziția unui punct în spațiu poate fi fixată în raport cu sistemul de coordonate carteziene folosind trei numere (coordonate) A(X A ; Y A ; Z A) sau relativ la planurile de proiecție folosind cele două proiecții ortogonale ale sale ( A 1 =(X A ; Y A); A 2 =(X A ; Z A)). Pe un desen ortogonal, folosind două proiecții ale unui punct, puteți determina cele trei coordonate ale acestuia și, invers, folosind trei coordonate ale unui punct, puteți construi proiecțiile acestuia (Figura 1.9, a și b).

Figura 1.9 - Trasarea unui punct în funcție de coordonatele acestuia

După locația pe diagrama de proiecție a unui punct, se poate aprecia locația acestuia în spațiu:

• DAR — DAR 1 se află sub axa de coordonate X, și partea din față DAR 2 - deasupra axei X, atunci putem spune că ideea DAR aparține cadranului 1;
• dacă pe parcelă proiecția orizontală a punctului DAR — DAR 1 se află deasupra axei de coordonate X, și partea din față DAR 2 - sub ax X, apoi punctul DAR aparține cadranului 3;
• DAR — DAR 1 și DAR 2 se află deasupra axei X, apoi punctul DAR aparține cadranului 2;
• dacă pe diagramă există proiecţii orizontale şi frontale ale punctului DAR — DAR 1 și DAR 2 se află sub ax X, apoi punctul DAR aparține cadranului 4;
• dacă pe diagramă proiecția unui punct coincide cu punctul însuși, atunci înseamnă că punctul aparține planului proiecțiilor;
• se numeşte un punct aparţinând planului de proiecţie sau axei de proiecţie (axe de coordonate). punct privat.

Pentru a determina în ce cadran de spațiu se află un punct, este suficient să determinați semnul coordonatelor punctului.

Dependențe ale cadranului de poziție a punctului și semnele coordonatelor

	X	Y	Z
eu	+	+	+
II	+	—	+
III	+	—	—
IV	+	+	—

Un exercitiu

Construiți proiecții ortogonale ale unui punct cu coordonate DAR(60, 20, 40) și determinați în ce cadran se află punctul.

Soluția problemei: de-a lungul axei BOU pune deoparte valoarea coordonatei XA=60, apoi prin acest punct de pe axă BOU restabiliți linia de conectare de proiecție perpendiculară pe BOU, de-a lungul căruia să lași deoparte valoarea coordonatei ZA=40, și în jos - valoarea coordonatei YA=20(Figura 1.10). Toate coordonatele sunt pozitive, ceea ce înseamnă că punctul este situat în cadranul I.

Figura 1.10 - Rezolvarea problemei

1.5. Sarcini pentru soluție independentă

1. Pe baza diagramei, determinați poziția punctului față de planurile de proiecție (Figura 1.11).

Figura 1.11

2. Completați proiecțiile ortogonale lipsă ale punctelor DAR, LA, Cu pe planul de proiecție π 1 , π 2 , π 3 (Figura 1.12).

Figura 1.12

3. Construiți proiecții punctuale:

• E, punct simetric DAR relativ la planul de proiecţie π 1 ;
• F, punct simetric LA relativ la planul proiecţiilor π 2 ;
• G, punct simetric Cu relativ la axa de proiecţie π 2 /π 1 ;
• H, punct simetric D raportat la planul bisectorial al celui de-al doilea și al patrulea cadran.

4. Construiți proiecții ortogonale ale punctului La, situat în al doilea cadran și îndepărtat de planurile de proiecție π 1 cu 40 mm, de la π 2 - cu 15 mm.

Proiecția unui punct pe trei planuri de proiecție ale unghiului de coordonate începe cu obținerea imaginii acestuia pe planul H - planul orizontal al proiecțiilor. Pentru a face acest lucru, prin punctul A (Fig. 4.12, a) se trasează o grindă proeminentă perpendicular pe planul H.

În figură, perpendiculara pe planul H este paralelă cu axa Oz. Punctul de intersecție al grinzii cu planul H (punctul a) se alege în mod arbitrar. Segmentul Aa determină cât de departe este punctul A de planul H, indicând astfel fără ambiguitate poziția punctului A în figură față de planurile de proiecție. Punctul a este o proiecție dreptunghiulară a punctului A pe planul H și se numește proiecția orizontală a punctului A (Fig. 4.12, a).

Pentru a obține o imagine a punctului A pe planul V (Fig. 4.12, b), se trasează un fascicul proiectat prin punctul A perpendicular pe planul de proiecție frontală V. În figură, perpendiculara pe planul V este paralelă cu Oy axă. Pe planul H, distanța de la punctul A la planul V va fi reprezentată printr-un segment aa x, paralel cu axa Oy și perpendicular pe axa Ox. Dacă ne imaginăm că fasciculul proiectat și imaginea sa sunt efectuate simultan în direcția planului V, atunci când imaginea fasciculului intersectează axa Ox în punctul a x, fasciculul intersectează planul V în punctul a. Desen din punctul a x din planul V perpendicular pe axa Ox , care este imaginea fasciculului proiectat Aa pe planul V, punctul a se obține la intersecția cu fasciculul proeminent. Punctul a „este proiecția frontală a punctului A, adică imaginea acestuia pe planul V.

Imaginea punctului A pe planul de profil al proiecțiilor (Fig. 4.12, c) este construită folosind un fascicul proeminent perpendicular pe planul W. În figură, perpendiculara pe planul W este paralelă cu axa Ox. Grinda proeminentă din punctul A în planul W pe planul H va fi reprezentată printr-un segment aa y, paralel cu axa Ox și perpendicular pe axa Oy. Din punctul Oy paralel cu axa Oz și perpendicular pe axa Oy se construiește o imagine a fasciculului proiectant aA și, la intersecția cu fasciculul proiectant, se obține punctul a. Punctul a este proiecția de profil a punctului. A, adică imaginea punctului A pe planul W.

Punctul a „poate fi construit desenând din punctul a” segmentul a „a z (imaginea fasciculului proiectat Aa” pe planul V) paralel cu axa Ox, iar din punctul a z - segmentul a „a z paralel cu axa Oy până se intersectează cu fasciculul proeminent.

După ce au primit trei proiecții ale punctului A pe planurile de proiecție, unghiul de coordonate este desfășurat într-un singur plan, așa cum se arată în Fig. 4.11, b, împreună cu proiecțiile punctului A și razele proeminente, și punctul A și razele proeminente Aa, Aa „și Aa” sunt îndepărtate. Marginile planurilor de proiecție combinate nu sunt realizate, ci se realizează doar axele de proiecție Oz, Oy și Ox, Oy 1 (Fig. 4.13).

O analiză a desenului ortogonal al unui punct arată că trei distanțe - Aa", Aa și Aa" (Fig. 4.12, c), care caracterizează poziția punctului A în spațiu, pot fi determinate prin aruncarea obiectului de proiecție însuși - punctul A , pe un unghi de coordonate desfășurat într-un plan (Fig. 4.13). Segmentele a „a z, aa y și Oa x sunt egale cu Aa” ca laturi opuse ale dreptunghiurilor corespunzătoare (Fig. 4.12, c și 4.13). Ele determină distanța la care punctul A este situat față de planul de profil al proiecțiilor. Segmentele a „a x, a” a y1 și Oa y sunt egale cu segmentul Aa, determină distanța de la punctul A la planul orizontal de proiecție, segmentele aa x, a „a z și Oa y 1 sunt egale cu segmentul Aa”, ceea ce determină distanța de la punctul A la planul de proiecție frontală.

Segmentele Oa x, Oa y și Oa z situate pe axele de proiecție sunt o expresie grafică a dimensiunilor coordonatelor X, Y și Z ale punctului A. Coordonatele punctului sunt notate cu indicele literei corespunzătoare. Măsurând dimensiunea acestor segmente, puteți determina poziția punctului în spațiu, adică setați coordonatele punctului.

Pe diagramă, segmentele a "a x și aa x sunt aranjate ca o singură dreaptă perpendiculară pe axa Ox, iar segmentele a" a z și a "a z - pe axa Oz. Aceste linii se numesc linii de legătură de proiecție. Ele intersectează axele de proiecție în punctele a x și respectiv z. Linia conexiunii de proiecție care leagă proiecția orizontală a punctului A cu cea de profil s-a dovedit a fi „tăiată” în punctul a y.

Două proiecții ale aceluiași punct sunt întotdeauna situate pe aceeași linie de conexiune de proiecție perpendiculară pe axa de proiecție.

Pentru a reprezenta poziția unui punct în spațiu, sunt suficiente două dintre proiecțiile sale și o origine dată (punctul O). 4.14, b, două proiecții ale unui punct determină complet poziția sa în spațiu Folosind aceste două proiecții, puteți construi o proiecție de profil a punctului A. Prin urmare, în viitor, dacă nu este nevoie de o proiecție de profil, diagramele vor fi construit pe două planuri de proiecție: V și H.

Orez. 4.14. Orez. 4.15.

Să luăm în considerare câteva exemple de construire și citire a unui desen al unui punct.

Exemplul 1 Determinarea coordonatelor punctului J date pe diagramă prin două proiecții (Fig. 4.14). Se măsoară trei segmente: segmentul Ov X (coordonată X), segmentul b X b (coordonată Y) și segmentul b X b "(coordonată Z). Coordonatele se scriu în următoarea ordine: X, Y și Z, după desemnarea literei al punctului, de exemplu, B20; 30; 15.

Exemplul 2. Construirea unui punct după coordonatele date. Punctul C este dat de coordonatele C30; zece; 40. Pe axa Ox (Fig. 4.15) găsiți un punct cu x, în care linia conexiunii de proiecție intersectează axa de proiecție. Pentru a face acest lucru, coordonata X (dimensiunea 30) este trasată de-a lungul axei Ox de la origine (punctul O) și se obține un punct cu x. Prin acest punct, perpendicular pe axa Ox, se trasează o linie de conexiune de proiecție și se așează coordonata Y din punct (dimensiunea 10), se obține punctul c - proiecția orizontală a punctului C. Coordonata Z (dimensiunea 10). 40) este trasat în sus de la punctul c x de-a lungul liniei de conectare a proiecției (dimensiunea 40), punctul se obține c" - proiecția frontală a punctului C.

Exemplul 3. Construirea unei proiecții de profil a unui punct în funcție de proiecțiile date. Sunt stabilite proiecțiile punctului D - d și d. Prin punctul O se desenează axele de proiecție Oz, Oy și Oy 1 (Fig. 4.16, a), acesta în dreapta în spatele axei Oz. Pe această linie va fi amplasată proiecția de profil a punctului D. Va fi situată la o asemenea distanță de axa Oz, la care se află proiecția orizontală a punctului d: de axa Ox, adică la o distanță. dd x. Segmentele d z d "și dd x sunt aceleași, deoarece determină aceeași distanță - distanța de la punctul D la planul de proiecție frontală. Această distanță este coordonata Y a punctului D.

Grafic, segmentul d z d " se construiește prin transferul segmentului dd x din planul orizontal al proiecțiilor pe cel de profil. Pentru a face acest lucru, trageți o linie de conexiune de proiecție paralelă cu axa Ox, obțineți un punct d y pe axa Oy ( Fig. 4.16, b).Se transferă apoi dimensiunea segmentului Od y pe axa Oy 1 , desenând din punctul O un arc cu raza egală cu segmentul Od y, până când se intersectează cu axa Oy 1 (Fig. 4.16). , b), obțineți punctul dy 1. Acest punct poate fi construit și, după cum se arată în Fig. 4.16, c, trasând o dreaptă la un unghi de 45 ° față de axa Oy din punctul d y. Din punctul d y1 trageți o linie de conexiune de proiecție paralelă cu axa Oz și așezați pe ea un segment egal cu segmentul d "d x, obțineți punctul d".

Transferarea valorii segmentului d x d în planul de profil al proiecțiilor se poate face folosind un desen în linie dreaptă constantă (Fig. 4.16, d). În acest caz, linia de conectare a proiecției dd y este trasată prin proiecția orizontală a punctului paralel cu axa Oy 1 până când se intersectează cu o dreaptă constantă și apoi paralelă cu axa Oy până se intersectează cu continuarea proiecției. linia de legătură d "d z.

Cazuri particulare de localizare a punctelor în raport cu planurile de proiecție

Poziția punctului față de planul de proiecție este determinată de coordonatele corespunzătoare, adică valoarea segmentului liniei de conectare a proiecției de la axa Ox la proiecția corespunzătoare. Pe fig. 4.17 coordonata Y a punctului A este determinată de segmentul aa x - distanța de la punctul A la planul V. Coordonata Z a punctului A este determinată de segmentul a "a x - distanța de la punctul A la planul H. Dacă unul a coordonatelor este zero, atunci punctul este situat pe planul de proiecție. Fig. 4.17 prezintă exemple de locații diferite ale punctelor în raport cu planurile de proiecție. Coordonata Z a punctului B este zero, punctul se află în planul H. Proiecția sa frontală este pe axa Ox și coincide cu punctul b x. Coordonata Y a punctului C este zero, punctul este situat pe planul V, proiecția sa orizontală c este pe axa x și coincide cu punctul c x.

Prin urmare, dacă un punct se află pe planul de proiecție, atunci una dintre proiecțiile acestui punct se află pe axa de proiecție.

Pe fig. 4.17, coordonatele Z și Y ale punctului D sunt zero, prin urmare, punctul D se află pe axa de proiecție Ox și cele două proiecții ale sale coincid.

În acest articol, vom găsi răspunsuri la întrebări despre cum să creați o proiecție a unui punct pe un plan și cum să determinați coordonatele acestei proiecții. În partea teoretică ne vom baza pe conceptul de proiecție. Vom da definiții termenilor, vom însoți informațiile cu ilustrații. Să consolidăm cunoștințele dobândite prin rezolvarea de exemple.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Proiecție, tipuri de proiecție

Pentru comoditatea luării în considerare a figurilor spațiale, sunt utilizate desene care ilustrează aceste figuri.

Definiția 1

Proiectia unei figuri pe un plan- un desen al unei figuri spațiale.

Evident, există o serie de reguli folosite pentru a construi o proiecție.

Definiția 2

proiecție- procesul de construire a unui desen al unei figuri spațiale pe un plan folosind reguli de construcție.

Planul de proiecție este planul în care este construită imaginea.

Utilizarea anumitor reguli determină tipul de proiecție: central sau paralel.

Un caz special de proiecție paralelă este proiecția perpendiculară sau proiecția ortogonală: în geometrie, este utilizat în principal. Din acest motiv, adjectivul „perpendicular” în sine este adesea omis în vorbire: în geometrie ei spun pur și simplu „proiectarea unei figuri” și înseamnă prin aceasta construcția unei proiecții prin metoda proiecției perpendiculare. În cazuri speciale, desigur, se poate prevedea altfel.

Remarcăm faptul că proiecția unei figuri pe un plan este, de fapt, proiecția tuturor punctelor acestei figuri. Prin urmare, pentru a putea studia o figură spațială într-un desen, este necesar să dobândești abilitățile de bază de a proiecta un punct pe un plan. Despre ce vom vorbi mai jos.

Amintiți-vă că cel mai adesea în geometrie, vorbind despre proiecția pe un plan, înseamnă utilizarea proiecției perpendiculare.

Vom realiza construcții care ne vor permite să obținem definiția proiecției unui punct pe un plan.

Să presupunem că este dat un spațiu tridimensional, iar în el - un plan α și un punct M 1 care nu aparține planului α. Desenați o dreaptă printr-un punct dat M 1 A perpendicular pe planul dat α. Punctul de intersecție al dreptei a și planul α va fi notat cu H 1 , prin construcție va servi drept bază a perpendicularei coborâte din punctul M 1 în planul α .

Dacă este dat un punct M2, aparținând unui plan dat α, atunci M2 va servi ca proiecție a lui însuși pe planul α.

Definiția 3

este fie punctul însuși (dacă aparține unui plan dat), fie baza perpendicularei coborâtă dintr-un punct dat într-un plan dat.

Găsirea coordonatelor proiecției unui punct pe un plan, exemple

Fie în spațiu tridimensional dat: sistemul de coordonate dreptunghiular O x y z, planul α, punctul M 1 (x 1, y 1, z 1) . Este necesar să se găsească coordonatele proiecției punctului M 1 pe un plan dat.

Soluția rezultă în mod evident din definiția de mai sus a proiecției unui punct pe un plan.

Notăm proiecția punctului M 1 pe planul α ca H 1 . Conform definiţiei, H 1 este punctul de intersecţie al planului dat α şi a dreptei a prin punctul M 1 (perpendicular pe plan). Acestea. coordonatele proiecției punctului M 1 de care avem nevoie sunt coordonatele punctului de intersecție al dreptei a și planului α.

Astfel, pentru a găsi coordonatele proiecției unui punct pe un plan, este necesar:

Obțineți ecuația planului α (în cazul în care nu este setat). Un articol despre tipurile de ecuații plane vă va ajuta aici;

Determinați ecuația unei drepte care trece prin punctul M 1 și perpendiculară pe planul α (studiați subiectul ecuației unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un plan dat);

Aflați coordonatele punctului de intersecție al dreptei a și ale planului α (articol - aflarea coordonatelor punctului de intersecție al planului și al dreptei). Datele obținute vor fi coordonatele proiecției punctului M 1 pe planul α de care avem nevoie.

Să luăm în considerare teoria exemplelor practice.

Exemplul 1

Determinați coordonatele proiecției punctului M 1 (- 2, 4, 4) pe planul 2 x - 3 y + z - 2 \u003d 0.

Decizie

După cum putem vedea, ne este dată ecuația planului, i.e. nu este nevoie să-l compune.

Sa scriem ecuatiile canonice ale dreptei a care trece prin punctul M 1 si perpendiculara pe planul dat. În aceste scopuri, determinăm coordonatele vectorului de direcție al dreptei a. Deoarece linia a este perpendiculară pe planul dat, atunci vectorul de direcție al dreptei a este vectorul normal al planului 2 x - 3 y + z - 2 = 0. Prin urmare, a → = (2 , - 3 , 1) – vector de direcție al dreptei a .

Acum compunem ecuațiile canonice ale unei drepte în spațiu care trece prin punctul M 1 (- 2, 4, 4) și având un vector de direcție a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Pentru a găsi coordonatele dorite, următorul pas este să determinați coordonatele punctului de intersecție al dreptei x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 și ale planului 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . În acest scop, trecem de la ecuațiile canonice la ecuațiile a două plane care se intersectează:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 (x + 2) = 2 (y - 4) 1 (x + 2) = 2 (z - 4) 1 ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Să facem un sistem de ecuații:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

Și rezolvați-l folosind metoda lui Cramer:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ = - z 140 - 28 = 5

Astfel, coordonatele dorite ale unui punct dat M 1 pe un plan dat α vor fi: (0, 1, 5) .

Răspuns: (0 , 1 , 5) .

Exemplul 2

Punctele А (0 , 0 , 2) sunt date într-un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z al spațiului tridimensional; În (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) şi M1 (-1, -2, 5). Este necesar să se găsească coordonatele proiecției M 1 pe planul A B C

Decizie

În primul rând, scriem ecuația unui plan care trece prin trei puncte date:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6y + 6z - 12 = 0 ⇔ x - 2y + 2z - 4 = 0

Să scriem ecuații parametrice dreaptă a, care va trece prin punctul M 1 perpendicular pe planul A B C. Planul x - 2 y + 2 z - 4 \u003d 0 are un vector normal cu coordonatele (1, - 2, 2), adică. vector a → = (1 , - 2 , 2) – vectorul de direcție al dreptei a .

Acum, având coordonatele punctului dreptei M 1 și coordonatele vectorului de direcție al acestei drepte, scriem ecuațiile parametrice ale dreptei în spațiu:

Apoi determinăm coordonatele punctului de intersecție al planului x - 2 y + 2 z - 4 = 0 și dreapta

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

Pentru a face acest lucru, înlocuim în ecuația planului:

x = - 1 + λ , y = - 2 - 2 λ , z = 5 + 2 λ

Acum, folosind ecuațiile parametrice x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ, găsim valorile variabilelor x, y și z la λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 (- 1) z = 5 + 2 (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Astfel, proiecția punctului M 1 pe planul A B C va avea coordonatele (- 2, 0, 3) .

Răspuns: (- 2 , 0 , 3) .

Să ne oprim separat la problema găsirii coordonatelor proiecției unui punct pe planurile de coordonate și planurile care sunt paralele cu planurile de coordonate.

Să fie date punctele M 1 (x 1, y 1, z 1) și planele de coordonate O x y , O x z și O y z. Coordonatele de proiecție ale acestui punct pe aceste plane vor fi respectiv: (x 1 , y 1 , 0) , (x 1 , 0 , z 1) și (0 , y 1 , z 1) . Luați în considerare și planurile paralele cu planurile de coordonate date:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

Iar proiecțiile punctului dat M 1 pe aceste plane vor fi puncte cu coordonatele x 1 , y 1 , - D C , x 1 , - D B , z 1 și - D A , y 1 , z 1 .

Să demonstrăm cum a fost obținut acest rezultat.

Ca exemplu, să definim proiecția punctului M 1 (x 1, y 1, z 1) pe planul A x + D = 0. Restul cazurilor sunt similare.

Planul dat este paralel cu planul de coordonate O y z și i → = (1 , 0 , 0) este vectorul său normal. Același vector servește ca vector de direcție al dreptei perpendiculare pe planul O y z . Atunci ecuațiile parametrice ale unei drepte trasate prin punctul M 1 și perpendiculare pe un plan dat vor arăta astfel:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Aflați coordonatele punctului de intersecție a acestei drepte și a planului dat. Mai întâi înlocuim în ecuație A x + D = 0 egalități: x = x 1 + λ, y = y 1, z = z 1 și obținem: A (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x unul

Apoi calculăm coordonatele dorite folosind ecuațiile parametrice ale dreptei pentru λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Adică, proiecția punctului M 1 (x 1, y 1, z 1) pe plan va fi un punct cu coordonatele - D A , y 1 , z 1 .

Exemplul 2

Este necesar să se determine coordonatele proiecției punctului M 1 (- 6 , 0 , 1 2) pe planul de coordonate O x y și pe planul 2 y - 3 = 0 .

Decizie

Planului de coordonate O x y va corespunde unui incomplet ecuație generală planul z = 0 . Proiecția punctului M 1 pe planul z \u003d 0 va avea coordonate (- 6, 0, 0) .

Ecuația plană 2 y - 3 = 0 poate fi scrisă ca y = 3 2 2 . Acum doar scrieți coordonatele proiecției punctului M 1 (- 6 , 0 , 1 2) pe planul y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Răspuns:(- 6 , 0 , 0) și - 6 , 3 2 2 , 1 2

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter