Ecuația generală și normală a planului. Ecuația generală a unui plan în spațiu. Inegalități liniare în spațiu

Pentru a obține ecuația generală a planului, analizăm planul care trece printr-un punct dat.

Să existe trei axe de coordonate deja cunoscute de noi în spațiu - Bou, Oiși Oz. Țineți foaia de hârtie astfel încât să rămână plată. Avionul va fi foaia în sine și continuarea ei în toate direcțiile.

Lasa P plan arbitrar în spațiu. Orice vector perpendicular pe acesta se numește vector normal la acest avion. Desigur, vorbim despre un vector diferit de zero.

Dacă se cunoaşte vreun punct al planului Pși un vector al normalului acestuia, atunci prin aceste două condiții planul în spațiu este complet determinat(prin un punct dat, există un singur plan perpendicular pe un vector dat). Ecuația generală a planului va arăta astfel:

Deci, există condiții care stabilesc ecuația planului. Pentru a se obține singur ecuația plană, care are forma de mai sus, luăm în avion P arbitrar punct M cu coordonate variabile X, y, z. Acest punct aparține planului numai dacă vector perpendicular pe vector(Fig. 1). Pentru aceasta, conform condiției de perpendicularitate a vectorilor, este necesar și suficient ca produsul scalar al acestor vectori să fie egal cu zero, adică

Vectorul este dat de condiție. Găsim coordonatele vectorului prin formula :

.

Acum, folosind formula produsului punctual a vectorilor , exprimăm produsul scalar sub formă de coordonate:

De la punctul M(x; y; z) este aleasă în mod arbitrar pe plan, apoi ultima ecuație este satisfăcută de coordonatele oricărui punct situat pe plan P. Pentru punct N, neîntins într-un anumit plan, , i.e. egalitatea (1) este încălcată.

Exemplul 1 Scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct și perpendicular pe un vector.

Decizie. Folosim formula (1), privim din nou:

În această formulă, numerele A , Bși C coordonate vectoriale și numere X0 , y0 și z0 - coordonatele punctului.

Calculele sunt foarte simple: înlocuim aceste numere în formulă și obținem

Înmulțim tot ce trebuie înmulțit și adunăm doar numere (care sunt fără litere). Rezultat:

.

Ecuația necesară a planului din acest exemplu s-a dovedit a fi exprimată prin ecuația generală de gradul întâi în raport cu coordonatele variabile x, y, z punct arbitrar al planului.

Deci, o ecuație a formei

numit ecuația generală a planului .

Exemplul 2 Construiți într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiular planul dat de ecuație .

Decizie. Pentru a construi un plan, este necesar și suficient să cunoașteți oricare trei dintre punctele sale care nu se află pe o singură dreaptă, de exemplu, punctele de intersecție ale planului cu axele de coordonate.

Cum să găsești aceste puncte? Pentru a găsi punctul de intersecție cu axa Oz, trebuie să înlocuiți zerouri în loc de x și y în ecuația dată în formularea problemei: X = y= 0 . Prin urmare, primim z= 6 . Prin urmare, avion dat traversează axa Oz la punct A(0; 0; 6) .

În același mod, găsim punctul de intersecție al planului cu axa Oi. La X = z= 0 obținem y= −3 , adică un punct B(0; −3; 0) .

Și, în sfârșit, găsim punctul de intersecție al planului nostru cu axa Bou. La y = z= 0 obținem X= 2 , adică un punct C(2; 0; 0). Conform celor trei puncte obținute în soluția noastră A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) și C(2; 0; 0) construim planul dat.

Luați în considerare acum cazuri speciale ale ecuaţiei generale a planului. Acestea sunt cazurile în care anumiți coeficienți ai ecuației (2) dispar.

1. Când D= 0 ecuație definește un plan care trece prin origine, deoarece coordonatele unui punct 0 (0; 0; 0) satisface această ecuație.

2. Când A= 0 ecuație definește un plan paralel cu axa Bou, deoarece vectorul normal al acestui plan este perpendicular pe axa Bou(proiecția sa pe axă Bou este egal cu zero). La fel, când B= 0 avion axă paralelă Oi, și atunci când C= 0 avion paralel cu axa Oz.

3. Când A=D= Ecuația 0 definește un plan care trece prin axă Bou deoarece este paralel cu axa Bou (A=D= 0). În mod similar, planul trece prin axă Oi, iar planul prin axă Oz.

4. Când A=B= Ecuația 0 definește un plan paralel cu planul de coordonate xOy deoarece este paralelă cu axele Bou (A= 0) și Oi (B= 0). La fel, planul este paralel cu planul yOz, iar avionul - avionul xOz.

5. Când A=B=D= 0 ecuație (sau z= 0) definește planul de coordonate xOy, deoarece este paralel cu planul xOy (A=B= 0) și trece prin origine ( D= 0). În mod similar, ecuația y= 0 în spațiu definește planul de coordonate xOz, și ecuația x= 0 - plan de coordonate yOz.

Exemplul 3 Compuneți ecuația planului P trecând prin axă Oiși punctul .

Decizie. Deci avionul trece prin axă Oi. Deci în ecuația ei y= 0 și această ecuație are forma . Pentru a determina coeficienții Ași C folosim faptul că punctul aparține planului P .

Prin urmare, printre coordonatele sale se numără cele care pot fi substituite în ecuația planului, pe care le-am derivat deja (). Să ne uităm din nou la coordonatele punctului:

M0 (2; −4; 3) .

Printre ei X = 2 , z= 3 . Le substituim în ecuația generală și obținem ecuația pentru cazul nostru particular:

2A + 3C = 0 .

Lăsăm 2 Aîn partea stângă a ecuației, transferăm 3 C spre partea dreaptă și ajunge

A = −1,5C .

Înlocuirea valorii găsite Aîn ecuație, obținem

sau .

Aceasta este ecuația necesară în condiția exemplu.

Rezolvați singur problema din ecuațiile planului și apoi priviți soluția

Exemplul 4 Definiți un plan (sau planuri dacă sunt mai multe) în raport cu axele de coordonate sau planuri de coordonate, dacă planul (planele) este dat de ecuația .

Soluții la probleme tipice care sunt munca de control- în manualul „Sarcini pe un plan: paralelism, perpendicularitate, intersecția a trei plane într-un punct” .

Ecuația unui plan care trece prin trei puncte

După cum sa menționat deja, o condiție necesară și suficientă pentru construirea unui plan, pe lângă un punct și un vector normal, sunt și trei puncte care nu se află pe o singură dreaptă.

Să fie date trei puncte diferite , și , care nu se află pe aceeași linie dreaptă. Deoarece aceste trei puncte nu se află pe o singură dreaptă, vectorii și nu sunt coliniari și, prin urmare, orice punct al planului se află în același plan cu punctele și dacă și numai dacă vectorii și coplanare, adică dacă și numai dacă produsul mixt al acestor vectori este egal cu zero.

Folosind expresia produsului mixt în coordonate, obținem ecuația plană

(3)

După extinderea determinantului, această ecuație devine o ecuație de forma (2), adică. ecuația generală a planului.

Exemplul 5 Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin trei puncte date care nu se află pe o dreaptă:

și pentru a determina un caz particular al ecuației generale a dreptei, dacă există.

Decizie. Conform formulei (3) avem:

Ecuația normală a planului. Distanța de la punct la plan

Ecuația normală a unui plan este ecuația acestuia, scrisă sub forma

1. Ecuația generală a planului

Definiție. Un plan este o suprafață, ale cărei toate punctele satisfac ecuația generală: Ax + By + Cz + D \u003d 0, unde A, B, C sunt coordonatele vectorului

N = Ai + Bj + Ck este vectorul normalei la plan. Sunt posibile următoarele cazuri speciale:

A \u003d 0 - planul este paralel cu axa Ox

B = 0 - planul este paralel cu axa Oy C = 0 - planul este paralel cu axa Oz

D = 0 - planul trece prin origine

A = B = 0 - planul este paralel cu planul xOy A = C = 0 - planul este paralel cu planul xOz B = C = 0 - planul este paralel cu planul yOz A = D = 0 - planul trece prin axa Ox

B = D = 0 - planul trece prin axa Oy C = D = 0 - planul trece prin axa Oz

A = B = D = 0 - planul coincide cu planul xOy A = C = D = 0 - planul coincide cu planul xOz B = C = D = 0 - planul coincide cu planul yOz

2. Ecuația suprafeței în spațiu

Definiție. Orice ecuație care raportează coordonatele x, y, z ale oricărui punct de pe o suprafață este o ecuație a acelei suprafețe.

3. Ecuația unui plan care trece prin trei puncte

Pentru ca un singur plan să fie trasat prin oricare trei puncte din spațiu, este necesar ca aceste puncte să nu se afle pe o singură dreaptă.

Se consideră punctele М1 (x1 , y1 , z1 ), M2 (x2 , y2 , z2 ), M3 (x3 , y3 , z3 ) din sistemul cartezian general

coordonate.
Pentru ca un punct arbitrar M (x , y , z )	aşezaţi în acelaşi plan cu punctele
Vectorii M1, M2, M3 M1M2, M1M3, M1M trebuie să fie coplanari, adică.
M1 M = ( x − x1 ; y − y1 ; z − z1 )
(M 1 M 2 , M 1 M 3 , M 1 M ) = 0. Astfel, M 1 M 2	= ( x 2 − x 1 ; y 2		− y 1 ; z2 − z1)
M1 M3	= ( x 3 - x 1 ; y 3 - y 1 ; z 3 - z 1)
		x − x1	y − y1	z−z1
Ecuația unui plan care trece prin trei puncte:		x2 − x1	y2 − y1	z2 − z1
		x 3 − x 1	y 3 − y 1	z 3 - z 1

4. Ecuația unui plan în raport cu două puncte și a unui vector coliniar cu planul

Să fie date punctele М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) și vectorul a = (a 1 , a 2 , a 3 ).

Să compunem ecuația planului care trece prin punctele date M1 și M2 și un arbitrar

punctul M(x, y, z) paralel cu vectorul a .
Vectori M1 M = ( x − x1 ; y − y1 ; z − z1 )	și vectorul a = (a, a					trebuie sa fie
M 1M 2 = ( x 2 − x 1 ; y 2 ​​​​− y 1 ; z 2 − z 1)
			x − x1				y − y1	z−z1
coplanare, adică (M 1 M , M 1 M 2 , a ) = 0. Ecuație plană:		x2 − x1					y2 − y1	z2 − z1

5. Ecuația unui plan în raport cu un punct și doi vectori coliniari cu planul

Fie dați doi vectori a = (a 1 , a 2 , a 3 ) și b = (b 1 ,b 2 ,b 3 ), plane coliniare. Atunci pentru un punct arbitrar M(x, y, z) aparținând planului, vectorii a, b, MM 1 trebuie să fie coplanari.

6. Ecuația unui plan față de un punct și un vector normal

Teorema. Dacă un punct M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) este dat în spațiu, atunci ecuația planului care trece prin punctul M 0 perpendicular pe vectorul normal N (A , B ,C ) are forma: A (x − x 0 ) + B (y − y 0 ) + C (z − z 0 ) = 0 .

7. Ecuația unui plan în segmente

Dacă în ecuația generală Ax + By + Cz + D = 0 împărțiți ambele părți la (-D)

X -

y-

z − 1 = 0 , înlocuind −

C, obținem ecuația plană

pe segmente:

unu . Numerele a, b, c sunt punctele de intersecție ale planului

cu axele x, y, z.

8. Ecuația planului în formă vectorială

r n = p , unde r = xi + yj + zk este vectorul rază a punctului curent M (x , y , z ) ,

n = i cosα + j cos β + k cosγ - vector unitar având direcția, perpendiculară,

a căzut în avion de la origine. α , β și γ sunt unghiurile formate de acest vector cu axele x, y, z. p este lungimea acestei perpendiculare. În coordonate, această ecuație are forma:

x cosα + y cos β + z cosγ − p = 0

9. Distanța de la punct la plan

Distanța de la un punct arbitrar M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) la planul Ax + By + Cz + D = 0 este:

d = Ax0 + By0 + Cz0 + D

A2+B2+C2

Exemplu. Aflați ecuația planului care trece prin punctele A(2,-1,4) și B(3,2,-1) perpendiculare pe planul x + y + 2z − 3 = 0 .

Ecuația dorită a planului are forma: Ax + By + Cz + D = 0 , vectorul normalei la acest plan n 1 (A,B,C). Vectorul AB (1,3,-5) aparține planului. Avionul dat nouă,

perpendicular pe cel dorit are un vector normal n 2 (1,1,2). pentru că punctele A și B aparțin ambelor plane, iar planurile sunt reciproc perpendiculare, atunci

n = AB × n

− 5

− j

− 5

11 i − 7 j − 2 k .

− 5

Deci vectorul normal este n 1 (11,-7,-2). pentru că punctul A apartine planului dorit, atunci coordonatele lui trebuie sa satisfaca ecuatia acestui plan, i.e.

11,2 + 7,1− 2,4 + D = 0; D = − 21. În total, obținem ecuația planului: 11x − 7 y − 2z − 21 = 0

10. Ecuația dreaptă în spațiu

Atât în ​​plan, cât și în spațiu, orice linie poate fi definită ca un set de puncte ale căror coordonate într-un sistem de coordonate ales în spațiu satisfac ecuația:

F (x , y , z ) = 0 . Această ecuație se numește ecuația unei drepte în spațiu.

În plus, o linie în spațiu poate fi definită în alt mod. Poate fi considerată ca o linie de intersecție a două suprafețe, fiecare dintre acestea fiind dată de o ecuație.

Fie F (x, y, z) \u003d 0 și Ф (x, y, z) \u003d 0 sunt ecuațiile suprafețelor care se intersectează de-a lungul liniei L.

F(x, y, z) = 0

Atunci o pereche de ecuații Ф (x, y, z) = 0 se va numi ecuația unei drepte în spațiu.

11. Ecuația unei drepte în spațiu față de un punct și un vector de direcție r 0 = M 0 M .

pentru că vectorii M 0 M și S sunt coliniari, atunci relația M 0 M = St este adevărată, unde t este un parametru. În total, putem scrie: r = r 0 + St .

pentru că această ecuație este satisfăcută de coordonatele oricărui punct de pe linie, atunci ecuația rezultată este o ecuație parametrică a dreptei.

x = x0 + mt

Această ecuație vectorială poate fi reprezentată sub formă de coordonate: y = y 0 + nt

z = z0 + pt

Transformând acest sistem și echivalând valorile parametrului t, obținem canonicul

ecuațiile unei linii drepte în spațiu:	x − x0		y − y0		z − z0

Definiție. Cosinusurile de direcție ale dreptei sunt cosinusurile de direcție ale vectorului S, care pot fi calculate prin formulele:

	cosα =			; cos β =		; cosγ =
					N2 + p2		m 2 + n 2 + p 2

De aici obținem: m : n : p = cosα : cos β : cosγ .

Numerele m, n, p se numesc panta dreptei. pentru că S este un vector diferit de zero, atunci m, n și p nu pot fi zero în același timp, dar unul sau două dintre aceste numere pot fi zero. În acest caz, în ecuația unei linii drepte, numărătorii corespunzători ar trebui să fie egalați cu zero.

12. Ecuația unei drepte în spațiu care trece prin două puncte

Dacă pe o dreaptă din spațiu notăm două puncte arbitrare M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) și

M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) , atunci coordonatele acestor puncte trebuie să satisfacă ecuația dreaptă obținută mai sus:

x2 − x1		y2 − y1		z2 − z1

În acest articol, vom lua în considerare ecuația normală a planului. Să dăm exemple de construcție a ecuației normale a planului în funcție de unghiul de înclinare a vectorului normal al planului din axe Ox, Oy, Oz si prin distanta r de la origine la plan. Să prezentăm o metodă de reducere a ecuației generale a unei linii drepte la forma normală. Luați în considerare exemple numerice.

Fie dat un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene în spațiu. Apoi ecuația normală a planului Ω reprezentată prin următoarea formulă:

xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0,

(1)

Unde r− distanta de la origine la plan Ω , A α,β,γ sunt unghiurile dintre vectorul unitar n, plan ortogonal Ω și axele de coordonate Ox, Oy, Oz, respectiv (Fig.1). (În cazul în care un r>0, apoi vectorul nîndreptată spre avion Ω , dacă planul trece prin origine, atunci direcția vectorului n alese în mod arbitrar).

Obținem formula (1). Să fie date în spațiu un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene și un plan Ω (Fig.1). Desenați o linie prin origine Q, perpendicular pe plan Ω , iar punctul de intersecție va fi notat cu R. Pe această linie, selectăm vectorul unitar n, cu direcția care coincide cu vectorul . (Dacă punctele Oși R potrivirea, apoi direcția n poate fi luată în mod arbitrar).

Exprimăm ecuația planului Ω prin următorii parametri: lungimea segmentului şi unghiurile de înclinare α, β, γ între vector nși topoare Ox, Oy, Oz, respectiv.

Din moment ce vectorul n este un vector unitar, apoi proiecțiile sale pe Ox, Oy, Oz va avea urmatoarele coordonate:

Produsul punctual al vectorilor n si are urmatoarea forma:

Dat fiind n={cosα, cosβ, cosγ}, , vom lua:

xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0.

(7)

Am obținut ecuația normală a planului Ω . Ecuația (7) (sau (1)) se mai numește ecuație plană normalizată. Vector n numit vector normal plan.

După cum sa menționat mai sus, numărul rîn ecuația (1) arată distanța planului de la origine. Prin urmare, având ecuația normală a planului, este ușor de determinat distanța planului de la origine. Pentru a verifica dacă o anumită ecuație a unui plan este o ecuație în formă normală, trebuie să verificați lungimea vectorului normal al acestui plan și semnul numărului r, adică dacă | n|=1 și r>0, atunci această ecuație este o ecuație normală (normalizată) a planului.

Exemplul 1. Având în vedere următoarea ecuație plană:

Să determinăm lungimea vectorului n:

Deoarece ecuațiile (1) și (8) trebuie să determine aceeași linie dreaptă (Propunerea 2 din articolul „Ecuația generală a planului”), atunci există un astfel de număr t, ce

Simplificați expresia și găsiți t:

t 2 A 2 +t 2 B 2 +t 2 C 2 =t 2 (A 2 +B 2 +C 2)=1,

.

(11)

Numitorul din (11) este diferit de zero, deoarece cel puțin unul dintre coeficienți A, B, C nu este egal cu zero (altfel (8) nu ar reprezenta ecuația unei linii drepte).

Află ce semn t. Să fim atenți la a patra egalitate din (9). La fel de r este distanța de la origine la plan, atunci r≥0. Apoi produsul tD trebuie avut semn negativ. Acestea. semn tîn (11) trebuie să fie opus semnului D.

Înlocuind în (1) în loc de cosα, cosβ, cosγ și −r valorile de la (9), obținem tax+tBy+tCz+tD=0. Acestea. pentru a aduce ecuația generală a planului la forma normală, trebuie să înmulțiți ecuația dată cu factorul (11). Se numește factorul (11). factor de normalizare.

Exemplul 2. Este dată ecuația generală a planului

La fel de D>0, apoi semnează t negativ:

Rețineți că numărul este distanța de la origine la linia dreaptă (12).

este ecuația generală a unui plan în spațiu

Vector plan normal

Un vector normal al unui plan este un vector diferit de zero ortogonal cu fiecare vector aflat în plan.

Ecuația unui plan care trece printr-un punct cu un vector normal dat

este ecuația planului care trece prin punctul M0 cu un vector normal dat

Vectorii de direcție plană

Doi vectori necoliniari paraleli cu planul se numesc vectori de direcție ai planului

Ecuații plane parametrice

– ecuația parametrică a planului în formă vectorială

este ecuația parametrică a planului în coordonate

Ecuația unui plan printr-un punct dat și doi vectori de direcție

-punct fix

doar un punct lol

sunt coplanare, deci produsul lor mixt este 0.

Ecuația unui plan care trece prin trei puncte date

– ecuație plană prin trei puncte

Ecuația unui plan în segmente

- ecuaţie plană în segmente

Dovada

Pentru a demonstra acest lucru, folosim faptul că planul nostru trece prin A, B, C și vectorul normal

Să substituim coordonatele punctului și ale vectorului n în ecuația planului cu vectorul normal

Împărțiți totul și obțineți

Așa merge.

Ecuație plană normală

este unghiul dintre ox și vectorul normal față de plan, care iese din O.

este unghiul dintre oy și vectorul normal față de plan, care iese din O.

este unghiul dintre oz și vectorul normal față de plan, care iese din O.

este distanța de la originea coordonatelor la plan.

Dovezi sau asemenea prostii

Semnul este opus lui D.

La fel și pentru alte cosinusuri. Sfârşit.

Distanța de la punct la plan

Punctul S, plan

este distanța orientată de la punctul S la plan

Dacă , atunci S și O se află pe părți opuse ale planului

Dacă , atunci S și O se află pe aceeași parte

Înmulțiți cu n

Dispunerea reciprocă a două linii în spațiu

Unghiul dintre planuri

La intersecție se formează două perechi de unghiuri diedrice verticale, cea mai mică se numește unghiul dintre plane

Linie dreaptă în spațiu

O linie în spațiu poate fi dată ca

Intersecția a două planuri:

Ecuații parametrice ale unei linii drepte

- ecuația parametrică a unei drepte în formă vectorială

este ecuația parametrică a unei drepte în coordonate

Ecuația canonică

este ecuația canonică a unei drepte.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date

– ecuația canonică a unei drepte în formă vectorială;

Dispunerea reciprocă a două linii în spațiu

Dispunerea reciprocă a unei linii drepte și a unui plan în spațiu

Unghiul dintre linie și plan

Distanța de la un punct la o dreaptă din spațiu

a este vectorul de direcție al dreptei noastre.

este un punct arbitrar aparținând unei linii date

- punctul până la care căutăm distanța.

Distanța dintre două linii care se intersectează

Distanța dintre două linii paralele

M1 - punct aparținând primei linii

M2 este un punct aparținând celei de-a doua linii

Curbe și suprafețe de ordinul doi

O elipsă este un set de puncte dintr-un plan, suma distanțelor de la care la doi puncte date(focurile) este o valoare constantă.

Ecuația canonică a unei elipse

Să-l înlocuim cu

Împarte la

Proprietăți elipse

Intersecția cu axele de coordonate

Simetrie despre

1. Originile

O elipsă este o curbă situată într-o parte limitată a unui plan

O elipsă poate fi obținută dintr-un cerc prin întinderea sau strângerea acestuia

Ecuația parametrică a unei elipse:

- directori

Hiperbolă

O hiperbolă este o mulțime de puncte dintr-un plan pentru care modulul diferenței de distanțe până la 2 puncte date (focale) este o valoare constantă (2a)

Facem totul la fel ca și cu elipsa, obținem

Înlocui cu

Împarte la

Proprietățile unei hiperbole

;

- directori

Asimptotă

O asimptotă este o linie dreaptă de care curba se apropie la infinit, retrăgându-se la infinit.

Parabolă

proprietăți parabot

Relația dintre elipsă, hiperbolă și parabolă.

Relația dintre aceste curbe are o explicație algebrică: toate sunt date de ecuații de gradul doi. În orice sistem de coordonate, ecuațiile acestor curbe au forma: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, unde a, b, c, d, e, f sunt numere

Transformarea sistemelor de coordonate carteziene dreptunghiulare

Translația paralelă a sistemului de coordonate

–O’ în vechiul sistem de coordonate

– coordonatele punctului din vechiul sistem de coordonate

-coordonatele punctului în sistem nou coordonatele

Coordonatele punctului în noul sistem de coordonate.

Rotiți într-un sistem de coordonate carteziene

– nou sistem de coordonate

Matrice de tranziție de la vechea bază la cea nouă

- (sub prima coloană eu’ , sub al doilea j’ ) matricea de tranziție de la bază eu,j la baza eu’ ,j’

Caz general

1 opțiune

1. Rotația sistemului de coordonate

Opțiunea 2

1. Rotația sistemului de coordonate

   Traducerea paralelă a originii

Ecuația generală a liniilor de ordinul doi și reducerea acesteia la formă canonică

este forma generală a ecuațiilor curbei de ordinul doi

Clasificarea curbelor de ordinul doi

Elipsoid

Secțiuni transversale ale unui elipsoid

- elipsa

- elipsa

Elipsoidele revoluției

Elipsoidele revoluției sunt fie sferoide aplatizate, fie prolate, în funcție de ceea ce ne rotim.

Hiperboloid cu o bandă

Secțiuni ale unui hiperboloid cu o singură bandă

– hiperbola cu axa reală oy

este o hiperbolă cu axa x reală

Se dovedește o elipsă pentru orice h. Așa merge.

Hiperboloizi cu o singură bandă ai revoluției

Un hiperboloid de revoluție cu o singură foaie poate fi obținut prin rotirea unei hiperbole în jurul axei sale imaginare.

Hiperboloid cu două foi

Secțiuni ale unui hiperboloid cu două foi

- hiperbolă cu acţiune. axisoz

este o hiperbolă cu axa reală oz

Con

- o pereche de linii care se intersectează

- o pereche de linii care se intersectează

Paraboloid eliptic

- parabola

- parabola

Rotații

Dacă , atunci paraboloidul eliptic este o suprafață de revoluție formată prin rotația parabolei în jurul axei sale de simetrie.

Paraboloid hiperbolic

Parabolă

- parabola

h>0 hiperbola cu axa reală paralelă cu x

h<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

Sub cilindru ne referim la suprafata care se va obtine atunci cand o dreapta se misca in spatiu, care nu isi schimba directia, daca linia dreapta se misca fata de oz, atunci ecuatia cilindrului este ecuatia unei sectiuni dupa plan. xoy.

Cilindru eliptic

cilindru hiperbolic

cilindru parabolic

Generatoare rectilinii de suprafețe de ordinul doi

Liniile care se află complet pe suprafață sunt numite generatoare rectilinii ale suprafeței.

Suprafețe de revoluție

La naiba lol

Afişa

prin afișare Să numim regula conform căreia fiecare element al mulțimii A este asociat cu unul sau mai multe elemente ale mulțimii B. Dacă fiecăruia i se atribuie un singur element al mulțimii B, atunci maparea este numită lipsit de ambiguitate, in caz contrar ambiguu.

Transformare multimea se numeste mapare unu-la-unu a unei multimi pe sine

Injecţie

Injectarea sau maparea unu-la-unu a setului A la setul B

(diferitele elemente ale lui a corespund diferitelor elemente ale lui B) de exemplu y=x^2

surjecție

Supraiecția sau maparea unei mulțimi A pe o mulțime B

Pentru fiecare B, există cel puțin un A (de exemplu, un sinus)

Fiecare element al mulțimii B corespunde unui singur element al mulțimii A. (de exemplu, y=x)

Considerăm un plan Q în spațiu. Poziția sa este complet determinată prin specificarea unui vector N perpendicular pe acest plan și a unui punct fix situat în planul Q. Vectorul N perpendicular pe planul Q se numește vector normal al acestui plan. Dacă notăm cu A, B și C proiecțiile vectorului normal N, atunci

Să derivăm ecuația planului Q care trece prin punctul dat și având vectorul normal dat. Pentru a face acest lucru, luați în considerare un vector care conectează un punct cu un punct arbitrar al planului Q (Fig. 81).

Pentru orice poziție a punctului M pe planul Q, vectorul MXM este perpendicular pe vectorul normal N al planului Q. Prin urmare, produsul scalar Să scriem produsul scalar în termeni de proiecții. Din moment ce , și vector , atunci

și, prin urmare

Am arătat că coordonatele oricărui punct al planului Q satisfac ecuația (4). Este ușor de observat că coordonatele punctelor care nu se află pe planul Q nu satisfac această ecuație (în acest din urmă caz, ). Prin urmare, am obținut ecuația dorită a planului Q. Ecuația (4) se numește ecuația planului care trece prin punctul dat. Este de gradul I relativ la coordonatele curente

Deci, am arătat că orice plan corespunde unei ecuații de gradul I în raport cu coordonatele curente.

Exemplul 1. Scrieți ecuația unui plan care trece printr-un punct perpendicular pe vector.

Decizie. Aici . Pe baza formulei (4), obținem

sau, după simplificare,

Dând coeficienților A, B și C ai ecuației (4) valori diferite, putem obține ecuația oricărui plan care trece prin punctul . Mulțimea de planuri care trec printr-un punct dat se numește o grămadă de planuri. Ecuația (4), în care coeficienții A, B și C pot lua orice valoare, se numește ecuația unui grup de plane.

Exemplul 2. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin trei puncte, (Fig. 82).

Decizie. Să scriem ecuația pentru o grămadă de plane care trec printr-un punct