Dovada detaliată a teoremei proiecției ortogonale a poligonului

Dacă - proiecția unui apartament n -gon la un plan, atunci, unde este unghiul dintre planele poligoanelor și. Cu alte cuvinte, aria de proiecție a unui poligon plat este egală cu produsul dintre aria poligonului proiectat și cosinusul unghiului dintre planul de proiecție și planul poligonului proiectat.

Dovada. eu etapă. Să facem mai întâi demonstrația pentru triunghi. Să luăm în considerare 5 cazuri.

1 caz. se află în planul de proiecție .

Fie proiecțiile punctelor pe plan, respectiv. În cazul nostru. Să presupunem că. Fie - înălțime, apoi prin teorema a trei perpendiculare, putem concluziona că - înălțime (- proiecția înclinului, - baza lui și dreapta trece prin baza înclinului, de altfel).

Considera. Este dreptunghiular. Prin definiția cosinusului:

Pe de altă parte, întrucât și, atunci, prin definiție, este unghiul liniar al unghiului diedru format din semiplanele planurilor și cu linia de limită și, prin urmare, măsura lui este și măsura unghiului dintre planurile de proiecție ale triunghiului și triunghiul însuși, adică.

Găsiți raportul dintre suprafață și:

Rețineți că formula rămâne adevărată chiar și atunci când . În acest caz

al 2-lea caz. Se află doar în planul de proiecție și este paralel cu planul de proiecție .

Fie proiecțiile punctelor pe plan, respectiv. În cazul nostru.

Să tragem o linie dreaptă prin punct. În cazul nostru, linia dreaptă intersectează planul de proiecție, ceea ce înseamnă că, după lemă, linia dreaptă intersectează și planul de proiecție. Fie într-un punct Deoarece, atunci punctele se află în același plan și, deoarece este paralel cu planul de proiecție, rezultă din semnul de paralelism al dreptei și al planului că. Prin urmare, este un paralelogram. Luați în considerare și. Sunt egale pe trei laturi (- comune, ca laturile opuse ale unui paralelogram). Rețineți că patrulaterul este un dreptunghi și este egal (de-a lungul catetei și ipotenuzei), prin urmare, este egal pe trei laturi. De aceea.

Pentru 1 caz este aplicabil:, i.e.

al 3-lea caz. Se află doar în planul de proiecție și nu este paralel cu planul de proiecție .

Fie punctul de punctul de intersecție al dreptei cu planul de proiecție. Să remarcăm că i. Cu 1 ocazie: i. Astfel obținem asta

4 caz. Vârfurile nu se află în planul de proiecție . Luați în considerare perpendicularele. Luați cea mai mică dintre aceste perpendiculare. Lasă-l să fie perpendicular. Se poate dovedi că fie numai, fie numai. Atunci încă o luăm.

Să lăsăm deoparte un punct dintr-un punct pe un segment, astfel încât și dintr-un punct pe un segment, un punct, astfel încât. O astfel de construcție este posibilă, deoarece - cea mai mică dintre perpendiculare. Rețineți că este o proiecție și, prin construcție. Să demonstrăm că și suntem egali.

Să luăm în considerare un patrulater. Prin condiție - perpendiculare pe un plan, așadar, conform teoremei, așadar. Deoarece prin construcție, apoi pe baza unui paralelogram (pe laturi opuse paralele și egale), putem concluziona că - un paralelogram. Mijloace, . Se dovedește în mod similar că, . Prin urmare, și sunt egale pe trei părți. Asa de. Rețineți că și, ca laturi opuse ale paralelogramelor, prin urmare, pe baza paralelismului planelor, . Deoarece aceste plane sunt paralele, ele formează același unghi cu planul de proiecție.

Pentru cazurile anterioare se aplica:

5 caz. Planul de proiecție intersectează laturile . Să ne uităm la liniile drepte. Ele sunt perpendiculare pe planul de proiecție, deci după teoremă sunt paralele. Pe razele co-dirijate cu origini în puncte, lăsăm deoparte segmente egale, respectiv, astfel încât vârfurile să se afle în afara planului de proiecție. Rețineți că este o proiecție și, prin construcție. Să arătăm că este egal.

De când și, prin construcție, atunci. Prin urmare, pe baza unui paralelogram (pe două laturi egale și paralele), - un paralelogram. Se poate dovedi în mod similar că și sunt paralelograme. Dar atunci și (ca laturi opuse), prin urmare, este egal în trei laturi. Mijloace, .

În plus, și, prin urmare, pe baza paralelismului planurilor. Deoarece aceste plane sunt paralele, ele formează același unghi cu planul de proiecție.

Pentru cazul aplicabil 4:.

II etapă. Să împărțim poligonul plat în triunghiuri folosind diagonalele desenate din vârf: Apoi, conform cazurilor anterioare pentru triunghiuri: .

Q.E.D.

GEOMETRIE
Planuri de lecție pentru clasele a 10-a

Lecția 56

Subiect. Aria unei proiecții ortogonale a unui poligon

Scopul lecției: studiul teoremei pe aria proiecției ortogonale a unui poligon, formarea abilităților elevilor de a aplica teorema studiată la rezolvarea problemelor.

Echipament: set stereometric, model cub.

În timpul orelor

I. Verificarea temelor

1. Doi elevi reproduc pe tablă soluțiile problemelor nr. 42, 45.

2. Interogatoriu frontal.

1) Definiți unghiul dintre două plane care se intersectează.

2) Care este unghiul dintre:

a) plane paralele;

b) planuri perpendiculare?

3) În ce măsură se poate schimba unghiul dintre două plane?

4) Este adevărat că un plan care intersectează plane paralele le intersectează la aceleași unghiuri?

5) Este adevărat că planul care se intersectează planuri perpendiculare le intersectează în același unghi?

3. Verificarea corectitudinii soluționării problemelor nr. 42, 45, pe care elevii le-au recreat la tablă.

II. Percepția și conștientizarea noului material

Temă către studenți

1. Demonstrați că aria de proiecție a unui triunghi cu o latură în planul de proiecție este egală cu produsul ariei sale și cosinusul unghiului dintre planul poligonului și planul de proiecție.

2. Demonstrați teorema pentru cazul în care triunghiul reticulat are o latură paralelă cu planul de proiecție.

3. Demonstrați teorema pentru cazul în care triunghiul reticulat nu are niciuna dintre laturile sale paralele cu planul de proiecție.

4. Demonstrați teorema oricărui poligon.

Rezolvarea problemelor

1. Aflați aria proiecției ortogonale a unui poligon a cărui zonă este de 50 cm2 și unghiul dintre planul poligonului și proiecția acestuia este de 60°.

2. Aflați aria poligonului dacă aria proiecției ortogonale a acestui poligon este de 50 cm2, iar unghiul dintre planul poligonului și proiecția acestuia este de 45°.

3. Aria poligonului este de 64 cm2, iar aria proiecției ortogonale este de 32 cm2. Aflați unghiul dintre planele poligonului și proiecția acestuia.

4. Sau poate aria proiecției ortogonale a poligonului este egală cu aria acestui poligon?

5. Muchia cubului este a. Găsiți aria secțiunii transversale a unui cub printr-un plan care trece prin partea superioară a bazei la un unghi de 30 ° față de această bază și care intersectează toate marginile laterale. (Răspuns. )

6. Problema nr. 48 (1, 3) din manual (p. 58).

7. Problema nr. 49 (2) din manual (p. 58).

8. Laturile dreptunghiului au 20 si 25 cm.Proiecția lui pe un plan este asemănătoare cu acesta. Găsiți perimetrul de proiecție. (Răspuns. 72 cm sau 90 cm.)

III. Teme pentru acasă

§4, n. 34; întrebarea de securitate nr. 17; sarcini Nr. 48 (2), 49 (1) (p. 58).

IV. Rezumând lecția

Întrebare pentru clasă

1) Formulați o teoremă pe aria proiecției ortogonale a unui poligon.

2) Poate aria proiecției ortogonale a unui poligon să fie mai mare decât aria poligonului?

3) Un plan α este trasat prin ipotenuza AB a unui triunghi dreptunghic ABC la un unghi de 45° pe planul triunghiului și o perpendiculară CO pe planul α. AC \u003d 3 cm, BC \u003d 4 cm. Indicați care dintre următoarele afirmații sunt corecte și care sunt incorecte:

a) unghiul dintre planele ABC și α egal cu unghiul CMO, unde punctul H este baza înălțimii CM a triunghiului ABC;

b) SD = 2,4 cm;

c) triunghiul AOC este o proiecție ortogonală a triunghiului ABC pe planul α;

d) aria triunghiului AOB este de 3 cm2.

(Răspuns. a) Corect; b) greșit; c) greșit; d) corect.)

Amintiți-vă că unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintre o dreaptă dată și proiecția acesteia pe plan (Fig. 164).

Teorema. Aria proiecției ortogonale a poligonului pe plan este egală cu aria poligonului proiectat înmulțită cu cosinusul unghiului format de planul poligonului și planul de proiecție.

Fiecare poligon poate fi împărțit în triunghiuri, a căror sumă a ariilor este egală cu aria poligonului. Prin urmare, este suficient să demonstrați teorema pentru un triunghi.

Să fie proiectat \(\Delta\)ABC pe plan R. Luați în considerare două cazuri:

a) una dintre laturile \(\Delta\)ABC este paralelă cu planul R;

b) niciuna dintre laturile \(\Delta\)ABC nu este paralelă R.

Considera primul caz: lasă [AB] || R.

Desenați prin planul (AB). R 1 || Rși proiectați ortogonal \(\Delta\)ABC pe R 1 și mai departe R(Fig. 165); obținem \(\Delta\)ABC 1 și \(\Delta\)A'B'C'.

După proprietatea proiecției, avem \(\Delta\)ABC 1 \(\cong\) \(\Delta\) A'B'C' și, prin urmare

S\(\Delta\)ABC1 = S\(\Delta\)A'B'C'

Să desenăm ⊥ și segmentul D 1 C 1 . Atunci ⊥ , a \(\widehat(CD_(1)C_(1))\) = φ este unghiul dintre planul \(\Delta\) ABC și planul R unu . Asa de

S \(\Delta\) ABC1 = 1 / 2 |AB| |C 1 D 1 | = 1 / 2 |AB| | CD 1 | cos φ = S \(\Delta\)ABC cos φ

și deci S \(\Delta\)A'B'C' = S \(\Delta\)ABC cos φ.

Să trecem la considerare al doilea caz. Desenați un avion R 1 || R prin acel vârf \(\Delta\)ABC, distanța de la care până la plan R cel mai mic (fie vârful A).

Să proiectăm \(\Delta\)ABC în avion R 1 și R(Fig. 166); fie proiecțiile sale \(\Delta\)AB 1 C 1 și, respectiv, \(\Delta\)A'B'C'.

Fie (BC) \(\cap \) p 1 = D. Atunci

S \(\Delta\)A'B'C' = S \(\Delta\)AB1 C1 = S \(\Delta\)ADC1 - S \(\Delta\)ADB1 = (S \(\Delta\) ADC - S \(\Delta\)ADB) cos φ = S \(\Delta\)ABC cos φ

Sarcină. Un plan este trasat prin latura bazei unei prisme triunghiulare regulate la un unghi φ = 30° față de planul bazei sale. Găsiți aria secțiunii rezultate dacă partea bazei prismei A= 6 cm.

Să înfățișăm secțiunea acestei prisme (Fig. 167). Deoarece prisma este regulată, marginile sale laterale sunt perpendiculare pe planul bazei. Prin urmare, \(\Delta\)ABC este proiecția lui \(\Delta\)ADC, deci
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(S_(\Delta ABC))(cos\phi) = \frac(a\cdot a\sqrt3)(4cos\phi) $$
sau
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(6\cdot 6\cdot \sqrt3)(4\cdot\frac(\sqrt3)(2)) = 18 (cm^2) $$

Recent, în sarcina C2, există probleme în care este necesară construirea unei secțiuni a unui poliedru după un plan și găsirea aria acestuia. O astfel de sarcină este propusă în versiunea demo. Este adesea convenabil să găsiți zona unei secțiuni prin zona proiecției sale ortogonale. Prezentarea oferă o formulă pentru o astfel de soluție și analiză detaliată sarcină, care este însoțită de o serie de desene.

Descarca:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați un cont Google (cont) și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Pregatire pentru Examenul Unificat de Stat - 2014 la matematica. Găsirea ariei secțiunii transversale prin zona proiecției sale ortogonale. Sarcina C2 Profesor de matematică MBOU școala secundară Nr. 143 din Krasnoyarsk Knyazkina T.V.

Luați în considerare soluția unei astfel de probleme: cuboid, . Secțiunea paralelipipedului trece prin punctele B și D și formează un unghi cu planul ABC. Găsiți zona secțională. Este adesea convenabil să găsiți zona unei secțiuni prin zona proiecției sale ortogonale. Găsirea ariei unui triunghi în ceea ce privește aria proiecției sale ortogonale este ușor ilustrată de următoarea figură:

CH este înălțimea triunghiului ABC , C 'H este înălțimea triunghiului ABC " , care este o proiecție ortogonală a triunghiului ABC . Dintr-un triunghi dreptunghic CHC " : aria triunghiului ABC " este aria triunghiului ABC este Prin urmare, aria triunghiului ABC este egală cu aria triunghiului ABC „împărțită la cosinusul unghiului dintre planele triunghiului ABC și triunghiului ABC”, care este proiecția ortogonală a triunghiului ABC.

Deoarece aria oricărui poligon poate fi reprezentată ca suma ariilor triunghiurilor, aria unui poligon este egală cu aria proiecției sale ortogonale pe un plan împărțit la cosinusul unghiului dintre planurile poligonului și proiecția acestuia. Folosim acest fapt pentru a ne rezolva problema (vezi diapozitivul 2) Planul de soluție este următorul: A) Construim o secțiune. B) Aflați proiecția sa ortogonală pe planul bazei. C) Aflați aria proiecției ortogonale. D) Aflați aria secțiunii transversale.

1. Mai întâi trebuie să construim această secțiune. Este evident că segmentul BD aparține planului de secțiune și planului de bază, adică aparține liniei de intersecție a planurilor:

Unghiul dintre două plane este unghiul dintre două perpendiculare care sunt trasate pe linia de intersecție a planurilor și se află în aceste plane. Fie punctul O punctul de intersecție al diagonalelor bazei. OC - ​​​​perpendicular pe linia de intersecție a planurilor, care se află în planul bazei:

2. Determinați poziția perpendicularei, care se află în planul de secțiune. (Rețineți că dacă o dreaptă este perpendiculară pe proiecția uneia oblice, atunci este și perpendiculară pe cea mai oblică. Căutăm una oblică după proiecția ei (OC) și unghiul dintre proiecție și oblic. unu). Aflați tangenta unghiului COC ₁ dintre OC ₁ și OC

Prin urmare, unghiul dintre planul de secțiune și planul de bază este mai mare decât între OC₁ și OC. Adică secțiunea este situată cumva așa: K este punctul de intersecție al lui OP și A ₁C₁, LM||B₁D₁ .

Deci, iată secțiunea noastră: 3. Găsiți proiecția secțiunii BLMD pe planul de bază. Pentru a face acest lucru, găsim proiecțiile punctelor L și M .

Patrulaterul BL ₁M₁D este proiecția secțiunii pe planul bazei. 4. Aflați aria patrulaterului BL ₁M₁D . Pentru a face acest lucru, scădeți aria triunghiului L ₁CM₁ din aria triunghiului BCD Aflați aria triunghiului L ₁CM₁. Triunghiul L ₁CM₁ este similar cu triunghiul BCD . Să găsim coeficientul de similitudine.

Pentru a face acest lucru, luați în considerare m triunghiuri OPC și OKK₁: Prin urmare, aria triunghiului L₁CM₁ este 4/25 din aria triunghiului BCD (raportul ariilor unor figuri similare este egal cu pătratul coeficient de similitudine). Atunci aria patrulaterului BL₁M₁D este egală cu 1-4/25=21/25 din aria triunghiului BCD și este egală cu

5. Acum găsiți 6 . Și, în sfârșit, obținem: Răspuns: 112

Pe tema: dezvoltări metodologice, prezentări și note

Lucrarea de verificare la disciplina „Inginerie grafică pe computer” constă în patru sarcini de testare pentru stabilirea conformității. Veți avea la dispoziție 15-20 de minute pentru a finaliza sarcinile....

Pregătire pentru Examenul Unificat de Stat-2014 la matematică. Utilizarea derivatelor și antiderivatelor (prototipuri B8 din banca deschisă de sarcini USE)

Prezentare cu un scurt curs de teorie și soluții ale diferitelor prototipuri B8 din banca deschisa USE sarcini. Posibila aplicatie pentru tablă interactivă sau studenți PC pentru auto-studiu....

Pregătire pentru Examenul Unificat de Stat-2014 la matematică. Rezolvarea sarcinii C1.

Materialul oferă soluții la sarcina C1 (ecuația trigonometrică) și 4 moduri de a selecta rădăcinile aparținând intervalului: folosind un cerc trigonometric, folosind un grafic al funcției, enumerarea ...

Luați în considerare avionul p și linia care o intersectează . Lasa DAR este un punct arbitrar în spațiu. Desenați o linie prin acest punct , paralel cu linia . Lasa . Punct se numeste proiectie punctuala DAR spre avion pîn proiectare paralelă de-a lungul unei linii date . Avion p , pe care sunt proiectate punctele spațiului se numește plan de proiecție.

p - planul de proiecție;

- proiectare directa; ;

; ; ;

Design ortogonal este un caz special de proiectare paralelă. Proiecția ortogonală este o proiecție paralelă în care linia de proiecție este perpendiculară pe planul de proiecție. Proiecția ortogonală este utilizată pe scară largă în desenul tehnic, unde o figură este proiectată pe trei planuri - orizontal și două verticale.

Definiție: Proiecția ortografică a unui punct M spre avion p numită bază M 1 perpendicular MM 1, coborât din punct M spre avion p.

Desemnare: , , .

Definiție: Proiecția ortografică a figurii F spre avion p este mulțimea tuturor punctelor planului care sunt proiecții ortogonale ale mulțimii de puncte din figură F spre avion p.

Designul ortogonal, ca caz special de proiectare paralelă, are aceleași proprietăți:

p - planul de proiecție;

- proiectare directa; ;

1) ;

2) , .

1. Proiecțiile dreptelor paralele sunt paralele.

ZONA DE PROIECȚIE A FIGURII PLATE

Teorema: Aria proiecției unui poligon plat pe un anumit plan este egală cu aria poligonului proiectat înmulțită cu cosinusul unghiului dintre planul poligonului și planul de proiecție.

Etapa 1: Figura proiectată este un triunghi ABC, a cărui latură AC se află în planul de proiecție a (paralel cu planul de proiecție a).

Dat:

Dovedi:

Dovada:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. Conform teoremei celor trei perpendiculare;

ВD - înălțime; În 1 D - înălțime;

5. - unghiul liniar al unghiului diedru;

6. ; ; ; ;

Etapa 2: Figura proiectată este un triunghi ABC, niciuna dintre laturile căruia nu se află în planul de proiecție a și nu este paralelă cu acesta.

Dat:

Dovedi:

Dovada:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(Etapa 1);

5. ; ; ;

(Etapa 1);

Etapa: Figura proiectată este un poligon arbitrar.

Dovada:

Poligonul este împărțit prin diagonale trase dintr-un vârf într-un număr finit de triunghiuri, pentru fiecare dintre ele teorema este adevărată. Prin urmare, teorema va fi valabilă și pentru suma ariilor tuturor triunghiurilor ale căror planuri formează același unghi cu planul de proiecție.

cometariu: Teorema demonstrată este valabilă pentru orice figură plată, delimitat de o curbă închisă.

Exerciții:

1. Aflați aria unui triunghi al cărui plan este înclinat față de planul de proiecție la un unghi dacă proiecția sa este un triunghi regulat cu latura a.

2. Aflați aria unui triunghi al cărui plan este înclinat față de planul de proiecție la un unghi dacă proiecția sa este un triunghi isoscel cu latura de 10 cm și baza de 12 cm.

3. Aflați aria unui triunghi al cărui plan este înclinat față de planul de proiecție la un unghi dacă proiecția sa este un triunghi cu laturile 9, 10 și 17 cm.

4. Calculați aria trapezului, al cărui plan este înclinat față de planul de proiecție într-un unghi dacă proiecția sa este un trapez isoscel, a cărui bază mai mare este de 44 cm, latura este de 17 cm și diagonala este 39 cm.

5. Calculați aria de proiecție a unui hexagon obișnuit cu o latură de 8 cm, al cărui plan este înclinat într-un unghi față de planul de proiecție.

6. Un romb cu latura de 12 cm și un unghi ascuțit formează un unghi cu un plan dat. Calculați aria proiecției rombului pe acest plan.

7. Un romb cu latura de 20 cm și diagonala de 32 cm formează un unghi cu un plan dat. Calculați aria proiecției rombului pe acest plan.

8. Proiecția copertinei pe un plan orizontal este un dreptunghi cu laturile și . Găsiți aria copertinei dacă fețele laterale sunt dreptunghiuri egale înclinate față de planul orizontal la un unghi, iar partea din mijloc a copertinei este un pătrat paralel cu planul de proiecție.

11. Exerciții pe tema „Linii și planuri în spațiu”:

Laturile triunghiului sunt 20 cm, 65 cm, 75 cm.De la vârful unghiului mai mare al triunghiului la planul său se trasează o perpendiculară egală cu 60 cm.Aflați distanța de la capetele perpendicularei la latura mai mare. a triunghiului.

2. Dintr-un punct separat de plan la o distanță de cm se desenează două înclinate, formând unghiuri cu planul egal cu , iar între ele - un unghi drept. Aflați distanța dintre punctele de intersecție ale planului înclinat.

3. Latura unui triunghi regulat este de 12 cm.Punctul M se alege astfel încât segmentele care leagă punctul M cu toate vârfurile triunghiului să formeze unghiuri cu planul său. Aflați distanța de la punctul M la vârfurile și laturile triunghiului.

4. Un plan este trasat prin latura pătratului la un unghi față de diagonala pătratului. Aflați unghiurile la care două laturi ale pătratului sunt înclinate față de plan.

5. catetul unui triunghi dreptunghic isoscel este înclinat față de planul a care trece printr-un unghi prin ipotenuză. Demonstrați că unghiul dintre planul a și planul triunghiului este .

6. Unghiul diedric dintre planele triunghiurilor ABC și DBC este . Aflați AD dacă AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.

întrebări de testare pe tema „Linii și avioane în spațiu”

1. Enumerați conceptele de bază ale stereometriei. Formulați axiomele stereometriei.

2. Demonstrați consecințele axiomelor.

3. Ce este aranjament reciproc două linii în spațiu? Definiți linii care se intersectează, paralele și care se intersectează.

4. Demonstrați criteriul pentru intersectarea liniilor.

5. Care este poziția relativă a dreptei și a planului? Dați definiții de intersectare, drepte paralele și plane.

6. Demonstrați semnul de paralelism al unei drepte și al unui plan.

7. Care este poziția relativă a celor două plane?

8. Definiți plane paralele. Demonstrați un criteriu pentru paralelismul a două plane. Formulați teoreme despre plane paralele.

9. Definiți unghiul dintre linii.

10. Demonstrați semnul perpendicularității unei drepte și a unui plan.

11. Dați definiții ale bazei perpendicularei, ale bazei oblicului, ale proiecției oblicului pe un plan. Formulați proprietățile perpendicularului și oblicului, coborât la plan dintr-un punct.

12. Definiți unghiul dintre o dreaptă și un plan.

13. Demonstrați teorema pe trei perpendiculare.

14. Dați definiții pentru un unghi diedru, un unghi liniar al unui unghi diedru.

15. Demonstrați semnul perpendicularității a două plane.

16. Definiți distanța dintre două puncte diferite.

17. Definiți distanța de la un punct la o dreaptă.

18. Definiți distanța de la un punct la un plan.

19. Definiți distanța dintre o dreaptă și un plan paralel cu aceasta.

20. Definiți distanța dintre plane paralele.

21. Definiți distanța dintre liniile oblice.

22. Definiți proiecția ortogonală a unui punct pe un plan.

23. Definiți proiecția ortogonală a unei figuri pe un plan.

24. Formulați proprietățile proiecțiilor pe un plan.

25. Formulați și demonstrați o teoremă asupra aria de proiecție a unui poligon plat.