Calculați suprafețele folosind. Calculul ariilor figurilor plane folosind o integrală definită. IV. Explicația noului material

Ne întoarcem acum la considerarea aplicațiilor calculului integral. În această lecție, vom analiza o sarcină tipică și cea mai comună. calcularea ariei unei figuri plate folosind o integrală definită. În cele din urmă, toți cei care caută sens în matematica superioară - să-l găsească. Nu stii niciodata. În viața reală, va trebui să aproximați o cabană de vară cu funcții elementare și să-i găsiți zona folosind o anumită integrală.

Pentru a stăpâni cu succes materialul, trebuie să:

1) Înțelegeți integrala nedefinită cel puțin la un nivel intermediar. Astfel, manechinii ar trebui să citească mai întâi lecția Nu.

2) Să fie capabil să aplice formula Newton-Leibniz și să calculeze integrala definită. Puteți stabili relații prietenoase calde cu anumite integrale de pe pagină Integrala definita. Exemple de soluții. Sarcina „calculați aria folosind o integrală definită” implică întotdeauna construirea unui desen, de aceea problemă de actualitate vor fi, de asemenea, cunoștințele și abilitățile tale de desen. Cel puțin, trebuie să fii capabil să construiești o linie dreaptă, o parabolă și o hiperbolă.

Să începem cu un trapez curbiliniu. Un trapez curbiliniu este o figură plată delimitată de graficul unei funcții y = f(X), axa BOUși linii X = A; X = b.

Aria unui trapez curbiliniu este numeric egală cu o anumită integrală

Orice integrală definită (care există) are o semnificație geometrică foarte bună. La lecție Integrala definita. Exemple de soluții am spus că o integrală definită este un număr. Și acum este timpul să precizăm un alt fapt util. Din punct de vedere al geometriei, integrala definită este AREA. adica integrala definită (dacă există) corespunde geometric cu aria unei figuri. Luați în considerare integrala definită

Integrand

definește o curbă pe plan (poate fi desenată dacă se dorește), iar integrala definită în sine este egală numeric cu aria trapezului curbiliniu corespunzător.

Exemplul 1

, , , .

Aceasta este o declarație tipică de sarcină. Cel mai important punct al deciziei este construirea unui desen. Mai mult, desenul trebuie construit DREAPTA.

Când construiești un plan, recomand următoarea ordine: la început este mai bine să construiți toate liniile (dacă există) și numai Apoi- parabole, hiperbole, grafice ale altor funcții. Tehnica construcției punctuale poate fi găsită în material de referinta Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. Acolo puteți găsi și material care este foarte util în legătură cu lecția noastră - cum să construiți rapid o parabolă.

În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.

Să facem un desen (rețineți că ecuația y= 0 specifică axa BOU):

Nu vom ecloza trapezul curbiliniu, aici este evident ce zonă în cauză. Solutia continua asa:

Pe intervalul [-2; 1] graficul funcției y = X 2 + 2 localizate peste axăBOU, de aceea:

Răspuns: .

Care are dificultăți în calcularea integralei definite și aplicarea formulei Newton-Leibniz

consultați prelegerea Integrala definita. Exemple de soluții. După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, „cu ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, aproximativ 9 vor fi tastate, se pare că este adevărat. Este destul de clar că dacă am avea, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci, evident, s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.

Exemplul 2

Calculați aria unei figuri delimitate de linii X y = 4, X = 2, X= 4 și axa BOU.

Acesta este un exemplu pentru solutie independenta. Soluție completăși răspunsul la sfârșitul lecției.

Ce trebuie făcut dacă este localizat trapezul curbiliniu sub axăBOU?

Exemplul 3

Calculați aria unei figuri delimitate de linii y = e-x, X= 1 și axele de coordonate.

Soluție: Să facem un desen:

Dacă un trapez curbiliniu complet sub ax BOU , atunci aria sa poate fi găsită prin formula:

În acest caz:

Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:

1) Dacă vi se cere să rezolvați doar o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.

2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea, în formula luată în considerare apare minusul.

În practică, cel mai adesea figura este situată atât în semiplanul superior, cât și în cel inferior și, prin urmare, de la cele mai simple probleme școlare, trecem la exemple mai semnificative.

Exemplul 4

Găsiți aria unei figuri plane delimitată de drepte y = 2X – X 2 , y = -X.

Soluție: Mai întâi trebuie să faci un desen. Când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție ale liniilor. Aflați punctele de intersecție ale parabolei y = 2X – X 2 și drept y = -X. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima modalitate este analitică. Rezolvam ecuatia:

Deci limita inferioară a integrării A= 0, limita superioară a integrării b= 3. Este adesea mai profitabil și mai rapid să construiești linii punct cu punct, în timp ce limitele integrării sunt descoperite ca „de la sine”. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția filetată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale). Ne întoarcem la sarcina noastră: este mai rațional să construim mai întâi o linie dreaptă și abia apoi o parabolă. Hai sa facem un desen:

Repetăm că în construcția punctuală, limitele integrării sunt cel mai adesea descoperite „automat”.

Și acum formula de lucru:

Dacă în intervalul [ A; b] oarecare funcție continuă f(X) mai mare sau egal vreo funcție continuă g(X), atunci aria figurii corespunzătoare poate fi găsită prin formula:

Aici nu mai este necesar să ne gândim unde se află figura - deasupra axei sau sub axa, dar contează ce diagramă este SUS(față de alt grafic), și care este JOS.

În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, de la 2 X – X 2 trebuie scazut - X.

Finalizarea soluției ar putea arăta astfel:

Cifra dorită este limitată de o parabolă y = 2X – X 2 de sus și drepte y = -X de desubt.

Pe segmentul 2 X – X 2 ≥ -X. Conform formulei corespunzătoare:

Răspuns: .

De fapt, formula școlară pentru aria unui trapez curbiliniu în semiplanul inferior (a se vedea exemplul nr. 3) este un caz special al formulei

Din moment ce axa BOU este dat de ecuație y= 0 și graficul funcției g(X) este situat sub axă BOU, apoi

Și acum câteva exemple pentru o decizie independentă

Exemplul 5

Exemplul 6

Găsiți aria unei figuri delimitate de linii

În cursul rezolvării problemelor pentru calcularea ariei folosind o anumită integrală, se întâmplă uneori un incident amuzant. Desenul a fost făcut corect, calculele au fost corecte, dar, din cauza neatenției, ... a găsit zona figurii greșite.

Exemplul 7

Să desenăm mai întâi:

Figura a cărei zonă trebuie să o găsim este umbrită în albastru.(uitați-vă cu atenție la starea - cum este limitată cifra!). Dar, în practică, din cauza neatenției, ei decid adesea că trebuie să găsească zona figurii care este umbrită în verde!

Acest exemplu este, de asemenea, util prin faptul că în el aria figurii este calculată folosind două integrale definite. Într-adevăr:

1) Pe segmentul [-1; 1] deasupra osiei BOU graficul este drept y = X+1;

2) Pe segmentul de deasupra axei BOU este situat graficul hiperbolei y = (2/X).

Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare:

Răspuns:

Exemplul 8

Calculați aria unei figuri delimitate de linii

Să prezentăm ecuațiile sub forma „școală”.

și faceți desenul:

Din desen se poate observa că limita noastră superioară este „bună”: b = 1.

Dar care este limita inferioară? Este clar că acesta nu este un număr întreg, dar ce?

Pot fi, A=(-1/3)? Dar unde este garanția că desenul este realizat cu acuratețe perfectă, se poate dovedi că A=(-1/4). Dacă nu am înțeles deloc graficul corect?

În astfel de cazuri, trebuie să petrecem timp suplimentar și să rafinați limitele integrării analitic.

Găsiți punctele de intersecție ale graficelor

Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația:

Prin urmare, A=(-1/3).

Soluția ulterioară este banală. Principalul lucru este să nu vă confundați în înlocuiri și semne. Calculele de aici nu sunt cele mai simple. Pe segment

, ,

după formula corespunzătoare:

Răspuns:

În încheierea lecției, vom considera două sarcini mai dificile.

Exemplul 9

Calculați aria unei figuri delimitate de linii

Soluție: Desenați această figură în desen.

Pentru a desena un desen punct cu punct, trebuie să cunoașteți aspectul sinusoidei. În general, este util să cunoașteți graficele tuturor funcțiilor elementare, precum și unele valori ale sinusului. Ele pot fi găsite în tabelul de valori funcții trigonometrice. În unele cazuri (de exemplu, în acest caz), este permisă construirea unui desen schematic, pe care graficele și limitele de integrare trebuie să fie afișate în principiu corect.

Nu există probleme cu limitele de integrare aici, acestea decurg direct din condiția:

- „x” se schimbă de la zero la „pi”. Luăm o altă decizie:

Pe segment, graficul funcției y= păcatul 3 X situat deasupra axei BOU, de aceea:

(1) Puteți vedea cum sinusurile și cosinusurile sunt integrate în puteri impare în lecție Integrale ale funcțiilor trigonometrice. Ciupim un sinus.

(2) Folosim identitatea trigonometrică de bază în formă

(3) Să schimbăm variabila t= cos X, atunci: situat deasupra axei , deci:

Notă: rețineți cum este luată integrala tangentei în cub, aici se folosește consecința identității trigonometrice de bază

Calcularea ariei unei figuri Aceasta este poate una dintre cele mai dificile probleme din teoria zonei. În geometria școlii, ei sunt învățați să găsească zonele principale forme geometrice cum ar fi, de exemplu, un triunghi, un romb, un dreptunghi, un trapez, un cerc etc. Cu toate acestea, de multe ori trebuie să se ocupe de calcularea zonelor unor cifre mai complexe. În rezolvarea unor astfel de probleme este foarte convenabil să folosiți calculul integral.

Definiție.

Trapez curbiliniu se numește o figură G, mărginită de dreptele y = f(x), y = 0, x = a și x = b, iar funcția f(x) este continuă pe segmentul [a; b] și nu își schimbă semnul de pe el (Fig. 1). Aria unui trapez curbiliniu poate fi notat cu S(G).

Integrala definită ʃ a b f(x)dx pentru funcția f(x), care este continuă și nenegativă pe segmentul [a; b] și este aria trapezului curbiliniu corespunzător.

Adică, pentru a găsi aria figurii G, delimitată de liniile y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a și x \u003d b, este necesar să se calculeze integrală definită ʃ abf (x) dx.

În acest fel, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Dacă funcția y = f(x) nu este pozitivă pe [a; b], atunci aria trapezului curbiliniu poate fi găsită prin formula S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Exemplul 1

Calculați aria figurii delimitată de liniile y \u003d x 3; y = 1; x = 2.

Soluţie.

Liniile date formează figura ABC, care este arătată prin hașurare orez. 2.

Aria dorită este egală cu diferența dintre ariile trapezului curbiliniu DACE și pătratul DABE.

Folosind formula S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), găsim limitele integrării. Pentru a face acest lucru, rezolvăm un sistem de două ecuații:

(y \u003d x 3,
(y = 1.

Astfel, avem x 1 \u003d 1 - limita inferioară și x \u003d 2 - limita superioară.

Deci, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (unități pătrate).

Raspuns: 11/4 mp. unitati

Exemplul 2

Calculați aria figurii mărginite de linii y \u003d √x; y = 2; x = 9.

Soluţie.

Liniile date formează figura ABC, care este mărginită de sus de graficul funcției

y \u003d √x, iar de dedesubt graficul funcției y \u003d 2. Figura rezultată este afișată prin hașurare pe orez. 3.

Aria dorită este egală cu S = ʃ a b (√x - 2). Să aflăm limitele integrării: b = 9, pentru a găsi a, rezolvăm sistemul a două ecuații:

(y = √x,
(y = 2.

Astfel, avem că x = 4 = a este limita inferioară.

Deci, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (unități pătrate).

Răspuns: S = 2 2/3 mp. unitati

Exemplul 3

Calculați aria figurii delimitată de liniile y \u003d x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0.

Soluţie.

Să diagramăm funcția y \u003d x 3 - 4x pentru x ≥ 0. Pentru a face acest lucru, găsim derivata y ':

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 la х = ±2/√3 ≈ 1,1 sunt puncte critice.

Dacă trasăm punctele critice pe axa reală și plasăm semnele derivatei, obținem că funcția scade de la zero la 2/√3 și crește de la 2/√3 la plus infinit. Atunci x = 2/√3 este punctul minim, valoarea minimă a funcției y este min = -16/(3√3) ≈ -3.

Să determinăm punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate:

dacă x \u003d 0, atunci y \u003d 0, ceea ce înseamnă că A (0; 0) este punctul de intersecție cu axa Oy;

dacă y \u003d 0, atunci x 3 - 4x \u003d 0 sau x (x 2 - 4) \u003d 0 sau x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, de unde x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (nu este potrivit, deoarece x ≥ 0).

Punctele A(0; 0) și B(2; 0) sunt punctele de intersecție ale graficului cu axa Ox.

Liniile date formează figura OAB, care este afișată prin hașurare orez. 4.

Deoarece funcția y \u003d x 3 - 4x ia (0; 2) sens negativ, apoi

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Avem: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4, de unde S \u003d 4 metri pătrați. unitati

Răspuns: S = 4 mp. unitati

Exemplul 4

Găsiți aria figurii delimitată de parabola y \u003d 2x 2 - 2x + 1, liniile drepte x \u003d 0, y \u003d 0 și tangenta la această parabolă în punctul cu abscisa x 0 \u003d 2.

Soluţie.

În primul rând, compunem ecuația tangentei la parabola y \u003d 2x 2 - 2x + 1 în punctul cu abscisa x₀ \u003d 2.

Deoarece derivata y' = 4x - 2, atunci pentru x 0 = 2 obținem k = y'(2) = 6.

Aflați ordonata punctului de atingere: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Prin urmare, ecuația tangentei are forma: y - 5 \u003d 6 (x - 2) sau y \u003d 6x - 7.

Să construim o figură delimitată de linii:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.

Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parabolă. Puncte de intersecție cu axele de coordonate: A(0; 1) - cu axa Oy; cu axa Ox - nu există puncte de intersecție, deoarece ecuația 2x 2 - 2x + 1 = 0 nu are soluții (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, adică vârful punctului parabolă B are coordonatele B (1/2; 1/2).

Deci, figura a cărei zonă urmează să fie determinată este afișată prin hașurare orez. cinci.

Avem: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.

Aflați coordonatele punctului D din condiția:

6x - 7 = 0, adică x \u003d 7/6, apoi DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.

Găsim aria triunghiului DBC folosind formula S ADBC = 1/2 · DC · BC. În acest fel,

S ADBC = 1/2 5/6 5 = 25/12 mp. unitati

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (unități pătrate).

În cele din urmă, obținem: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC \u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (unități pătrate).

Răspuns: S = 1 1/4 mp. unitati

Am analizat exemple găsirea ariilor figurilor mărginite de linii date. Pentru a rezolva cu succes astfel de probleme, trebuie să fiți capabil să construiți linii și grafice ale funcțiilor pe un plan, să găsiți punctele de intersecție ale liniilor, să aplicați formula pentru găsirea ariei, ceea ce implică capacitatea și abilitățile de a calcula anumite integrale.

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Definiție. Diferența F (b) - F (a) se numește integrală a funcției f (x) pe segmentul [ a ; b ] şi se notează astfel: = F (b) - F (a) - formula Newton-Leibniz.

Sensul geometric al integralei.

Aria unui trapez curbiliniu delimitată de un grafic pozitiv continuu pe intervalul [ a ; b ] a funcției f (x), axa Ox și liniile drepte x=a și x=b:

Calcularea suprafețelor folosind integrala.

1. Aria figurii mărginită de un grafic de negativ continuu pe intervalul [ a ; b ] a funcției f (x), axa Ox și liniile drepte x=a și x=b:

2. Aria unei figuri delimitate de grafice ale funcțiilor continue f (x) și linii drepte x \u003d a, x \u003d b:

3. Aria unei figuri mărginite de grafice ale funcțiilor continue f (x) și:

4. Aria unei figuri delimitate de grafice ale funcțiilor continue f (x) și axa Ox:

Sarcini și teste pe tema "Integral. Calcularea suprafețelor folosind integrala"

Integral
Lecții: 4 Teme: 13 Teste: 1
Calcularea suprafețelor folosind integrale - Antiderivată și integrală gradul 11
Lecții: 1 Teme: 10 Chestionare: 1
antiderivat - Antiderivată și integrală gradul 11
Lecții: 1 Teme: 11 Teste: 1
Planimetrie: calculul lungimilor și ariilor
Sarcini: 7
Calcule și transformări - Pregătirea pentru examen în Examenul de stat unificat de matematică matematică
Sarcini: 10

Înainte de a începe să calculați aria unei figuri delimitate de linii date, încercați să desenați această figură într-un sistem de coordonate. Acest lucru va facilita foarte mult rezolvarea problemei.

Studiul materialelor teoretice pe această temă îți oferă posibilitatea de a stăpâni conceptele de antiderivat și integral, de a învăța legătura dintre ele, de a stăpâni cea mai simplă tehnică calcul integral, învață să aplici integrala la calculul ariilor figurilor limitate de grafice de funcții.

Exemple.

1. Calculați integrala

Soluţie:

Răspuns: 0.

2. Găsiți aria unei figuri delimitate de linii

A) f(X) = 2 X – X 2 și axa x

Soluţie: Graficul funcției f (x) \u003d 2x - x 2 parabolă. Vârf: (1; 1).

Răspuns:(unități pătrate).

De fapt, pentru a găsi aria unei figuri, nu aveți nevoie de atât de multe cunoștințe despre integrala nedefinită și definită. Sarcina „calculați aria folosind o integrală definită” implică întotdeauna construirea unui desen, așa că cunoștințele și abilitățile tale de desen vor fi o problemă mult mai relevantă. În acest sens, este util să reîmprospătați memoria graficelor principalelor funcții elementare și, cel puțin, să puteți construi o linie dreaptă și o hiperbolă.

Un trapez curbiliniu este o figură plată delimitată de o axă, linii drepte și un grafic al unei funcții continue pe un segment care nu își schimbă semnul în acest interval. Să fie localizată această cifră nu mai puțin abscisă:

Apoi aria unui trapez curbiliniu este numeric egală cu o anumită integrală. Orice integrală definită (care există) are o semnificație geometrică foarte bună.

În ceea ce privește geometria, integrala definită este AREA.

adica integrala definită (dacă există) corespunde geometric aria unei figuri. De exemplu, luați în considerare integrala definită . Integrandul definește o curbă pe planul care se află deasupra axei (cei care doresc pot finaliza desenul), iar integrala definită în sine este numeric egală cu aria trapezului curbiliniu corespunzător.

Exemplul 1

Aceasta este o declarație tipică de sarcină. În primul rând și punct crucial soluții - construirea unui desen. Mai mult, desenul trebuie construit DREAPTA.

În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.
Să facem un desen (rețineți că ecuația definește axa):

Pe segment se află graficul funcției peste axă, de aceea:

Răspuns:

După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, „cu ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, aproximativ 9 vor fi tastate, se pare că este adevărat. Este destul de clar că dacă am avea, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci, evident, s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule clar nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.

Exemplul 3

Calculați aria figurii delimitată de linii și axe de coordonate.

Soluţie: Hai să facem un desen:

Dacă se află trapezul curbiliniu sub axă(sau cel puțin nu mai sus axa dată), atunci aria sa poate fi găsită prin formula:

În acest caz:

Atenţie! Nu confunda cele două tipuri de sarcini:

1) Dacă vi se cere să rezolvați doar o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.

2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea, în formula luată în considerare apare minusul.

Exemplul 4

Găsiți aria unei figuri plate delimitate de linii , .

Soluţie: Mai întâi trebuie să finalizați desenul. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție ale liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima modalitate este analitică. Rezolvam ecuatia:

Prin urmare, limita inferioară a integrării, limita superioară a integrării.

Cel mai bine este să nu utilizați această metodă dacă este posibil..

Este mult mai profitabil și mai rapid să construiești liniile punct cu punct, în timp ce limitele integrării se află ca „de la sine”. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția filetată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale). Și vom lua în considerare și un astfel de exemplu.

Ne întoarcem la sarcina noastră: este mai rațional să construim mai întâi o linie dreaptă și abia apoi o parabolă. Hai sa facem un desen:

Și acum formula de lucru: Dacă există o funcție continuă pe interval mai mare sau egal o funcție continuă, apoi aria figurii delimitată de graficele acestor funcții și linii drepte, poate fi găsită prin formula:

Aici nu mai este necesar să ne gândim unde se află figura - deasupra axei sau sub axa și, aproximativ vorbind, contează ce diagramă este SUS(față de alt grafic), și care este JOS.

În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din

Finalizarea soluției ar putea arăta astfel:

Figura dorită este limitată de o parabolă de sus și de o linie dreaptă de jos.
Pe segmentul , conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Exemplul 4

Calculați aria figurii delimitată de liniile , , , .

Soluţie: Să facem mai întâi un desen:

Figura a cărei zonă trebuie să o găsim este umbrită în albastru.(uitați-vă cu atenție la starea - cum este limitată cifra!). Dar, în practică, din cauza neatenției, apare adesea o „glitch”, că trebuie să găsiți zona figurii care este umbrită în verde!

Acest exemplu este, de asemenea, util prin faptul că în el aria figurii este calculată folosind două integrale definite.

Într-adevăr:

1) Pe segmentul de deasupra axei există un grafic în linie dreaptă;

2) Pe segmentul de deasupra axei este un grafic de hiperbolă.

Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare:

Lecție de matematică pentru anul I de instituții secundare învăţământul profesional

Subiect: "Calculul ariilor figurilor plane folosind o integrală definită."

Profesor de matematică S.B. Baranova

Sarcini educaționale:

asigura repetarea, generalizarea si sistematizarea materialului pe aceasta tema;

creaza conditii pentru controlul (autocontrolul) cunostintelor si deprinderilor.

Sarcini de dezvoltare:

să promoveze formarea deprinderilor de aplicare a metodelor de comparație, generalizare, evidențierea principalului;

continua dezvoltarea orizonturilor matematice, a gândirii și a vorbirii, a atenției și a memoriei.

Sarcini educaționale:

să promoveze educația de interes pentru matematică;

educația activității, mobilitate, capacitatea de a comunica.

Tipul de lecție - o lecție combinată cu elemente de învățare bazată pe probleme.

Metode și tehnici de predare - munca problematică, vizuală, independentă a elevilor, autoexaminare.

Echipamente - aplicare la lecție, tabele.

Planul lecției

Organizarea timpului. Pregătirea elevilor pentru lucrul la clasă.

Pregătirea elevilor pentru munca activă (testarea abilităților de calcul și a tabelelor de integrale pe grupe).

Pregătirea pentru studiul de material nou prin repetarea și actualizarea cunoștințelor de bază.

Lucrul cu material nou.

Înțelegerea și aplicarea primară a materialului studiat, consolidarea acestuia.

Teme pentru acasă.

Aplicarea cunoștințelor.

Rezumând.

Reflecţie.

În timpul orelor

1. Moment organizatoric.

Conceptul de integrală definită este unul dintre conceptele de bază ale matematicii. Până la sfârșitul secolului al XVII-lea. Newton și Leibniz au creat aparatul de calcul diferențial și integral, care formează baza analizei matematice.

Pe lecțiile anterioare am învățat să „luăm” integrale nedefinite, să calculăm integrale definite. Dar mult mai importantă este utilizarea unei integrale definite. Știm că poate fi folosit pentru a calcula ariile trapezelor curbilinie. Astăzi vom răspunde la întrebarea: „Cum se face?”

2. Pregătirea elevilor pentru munca activă.

Dar mai întâi, trebuie să ne testăm abilitățile de calcul și cunoștințele despre tabelul integralelor. Înaintea ta este o sarcină, al cărei rezultat va fi afirmația matematicianului francez S.D. Poisson (Viața este împodobită de două lucruri: a face matematică și a o preda).

Lucrarea se face în perechi ().

3. Pregătirea pentru studiul de material nou prin repetarea și actualizarea cunoștințelor de bază.

Ne întoarcem la subiectul lecției noastre „Calculul ariilor figurilor plane folosind o integrală definită”. Pe lângă capacitatea de a calcula o integrală definită, trebuie să ne amintim proprietățile zonelor. Ce sunt ei?

Cifrele egale au suprafețe egale.

Dacă o figură este împărțită în două părți, atunci aria ei se găsește ca suma ariilor părților individuale.

De asemenea, trebuie să repetăm regula sumei integrale și formula Newton-Leibniz.

4. Lucrul cu noua integrală

1. Integrala definită este folosită pentru a calcula ariile trapezelor curbilinie. Dar, în practică, există mai des cifre care nu sunt astfel și trebuie să învățăm cum să găsim zonele exact ale acestor cifre.

Lucrați la tabelul „Cazurile de bază ale locației unei figuri plate și formulele zonei corespunzătoare” ().

2. Să ne testăm.

Lucrul cu sarcina () cu verificarea ulterioară (tabelul nr. 3).

3. Dar capacitatea de a alege formulele potrivite pentru zonă nu este suficientă. În următorul tabel () în fiecare dintre sarcini există un motiv „extern” care nu permite calcularea ariei figurii. Să le găsim.

a) nu sunt indicate formule pentru graficele funcţiilor.

b) nu există limite de integrare.

c) denumirile graficelor nu sunt indicate și nu există o singură limită.

d) nu este indicată formula unuia dintre grafice.

4. Ținând cont de munca depusă, vom formula și vom nota un algoritm de rezolvare a problemelor pe tema lecției.

Trasează aceste linii. Determinați forma pe care o căutați.

Găsiți limitele integrării.

Notați aria figurii dorite folosind o integrală definită.

Calculați integrala rezultată.

5. Înțelegerea și aplicarea primară a materialului studiat, consolidarea acestuia.

1. Ținând cont de algoritm, vom finaliza sarcina nr. 2 din ultimul tabel.

Poza 1

Soluţie:

Pentru punctul A:

– nu îndeplinește condiția sarcinii

Pentru punctul B:

– nu satisface conditia problemei.

Răspuns: (unități pătrate).

2. Dar la îndeplinirea acestei sarcini, algoritmul nu a fost aplicat pe deplin. Pentru a o rezolva, să facem următoarea sarcină

Sarcina. Găsiți aria unei figuri delimitate de linii , .

Figura 2

Soluţie:

– parabolă, vârf (m,n).

(0;2) – vârf

Să găsim limitele integrării.

Răspuns: (unități pătrate).

6. Tema pentru acasă.

Calculați aria unei figuri delimitate de linii (dezasamblați sarcina).

7. Aplicarea cunoștințelor.

Muncă independentă(Anexa nr. 5))

8. Rezumând.

a învățat să facă formule pentru găsirea ariilor figurilor plane;

găsiți limitele integrării;

calculați aria figurilor.

9. Reflecție.

Lucrările sunt distribuite elevilor. Ei trebuie să-și evalueze munca alegând unul dintre răspunsurile propuse.

Evaluați gradul de dificultate al lecției.

Ai fost in clasa:

uşor;

de obicei;

greu.

învățat complet, poate aplica;

a învățat complet, dar le este greu de aplicat;

învățat parțial;

nu am inteles.

După examinarea răspunsurilor, trageți o concluzie despre pregătirea studenților pentru lucrări practice.

Cărți folosite:

Valutse I.I., Diligulin G.D. Matematică pentru școlile tehnice.

Kramer N.Sh., Putko B.A., Trishin I.M. Matematică superioară pentru economiști.

Danko P.E., Popov A.G. Matematică superioară, partea 1.

Zvanich L.I., Ryazanovsky A.R. M., Şcoala nouă.

Ziarul „Matematică”. Editura„Primul septembrie”

Cererea nr. 1

Calculați integrale definite și veți recunoaște una dintre zicerile matematicianului francez S.D. Poisson.

O viata

Trei

Două

lucruri

Ocupaţie

Matematică

Aritmetic

predare

A ei

Decorat

Uitare

Cererea nr. 2

PRINCIPALE CAZURI DE LOCALIZARE A UNEI FIGURI PLANE ŞI FORMULA ZONEI CORESPONDENTE

______________________________________

__________________________________ ______

________________________________ ______

___________________________________

Figura este simetrică față de axa y sau de origine.

Cererea nr. 3

Folosind integrala definită, notați formulele de calcul a ariilor figurilor umbrite în figură.

_________________________________________

__________________________________________

___________________________________________

____________________________________________

Cererea nr. 4

Găsiți motivul „extern” care nu vă permite să calculați aria figurii.

Poza 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

_____________________________

Cererea nr. 5

Muncă independentă

Opțiunea 1

Scrieți folosind integralele ariei cifrelor și calculați-le

Desenați figuri, plale căror distanțe sunt egale cu următoarele integrale:

Muncă independentă

Opțiunea 2

1. Desenați figuri ale căror arii sunt egale cu următoarele integrale: