Proiecția unui punct pe trei planuri de proiecție ale unghiului de coordonate începe cu obținerea imaginii acestuia pe planul H - planul orizontal al proiecțiilor. Pentru a face acest lucru, prin punctul A (Fig. 4.12, a) se trasează o grindă proeminentă perpendicular pe planul H.

În figură, perpendiculara pe planul H este paralelă cu axa Oz. Punctul de intersecție al grinzii cu planul H (punctul a) se alege în mod arbitrar. Segmentul Aa determină cât de departe este punctul A de planul H, indicând astfel fără ambiguitate poziția punctului A în figură față de planurile de proiecție. Punctul a este o proiecție dreptunghiulară a punctului A pe planul H și se numește proiecția orizontală a punctului A (Fig. 4.12, a).

Pentru a obține o imagine a punctului A pe planul V (Fig. 4.12, b), se trasează un fascicul proiectat prin punctul A perpendicular pe planul de proiecție frontală V. În figură, perpendiculara pe planul V este paralelă cu Oy axă. Pe planul H, distanța de la punctul A la planul V va fi reprezentată printr-un segment aa x, paralel cu axa Oy și perpendicular pe axa Ox. Dacă ne imaginăm că fasciculul proiectat și imaginea sa sunt efectuate simultan în direcția planului V, atunci când imaginea fasciculului intersectează axa Ox în punctul a x, fasciculul intersectează planul V în punctul a. Desen din punctul a x din planul V perpendicular pe axa Ox , care este imaginea fasciculului proiectat Aa pe planul V, punctul a se obține la intersecția cu fasciculul proeminent. Punctul a „este proiecția frontală a punctului A, adică imaginea acestuia pe planul V.

Imaginea punctului A pe planul de profil al proiecțiilor (Fig. 4.12, c) este construită folosind un fascicul proeminent perpendicular pe planul W. În figură, perpendiculara pe planul W este paralelă cu axa Ox. Grinda proeminentă din punctul A în planul W pe planul H va fi reprezentată printr-un segment aa y, paralel cu axa Ox și perpendicular pe axa Oy. Din punctul Oy paralel cu axa Oz și perpendicular pe axa Oy se construiește o imagine a fasciculului proiectant aA și, la intersecția cu fasciculul proiectant, se obține punctul a. Punctul a este proiecția de profil a punctului. A, adică imaginea punctului A pe planul W.

Punctul a „poate fi construit desenând din punctul a” segmentul a „a z (imaginea fasciculului proiectat Aa” pe planul V) paralel cu axa Ox, iar din punctul a z - segmentul a „a z paralel cu axa Oy până se intersectează cu fasciculul proeminent.

După ce au primit trei proiecții ale punctului A pe planurile de proiecție, unghiul de coordonate este desfășurat într-un singur plan, așa cum se arată în Fig. 4.11, b, împreună cu proiecțiile punctului A și razele proeminente, și punctul A și razele proeminente Aa, Aa „și Aa” sunt îndepărtate. Marginile planurilor de proiecție combinate nu sunt realizate, ci se realizează doar axele de proiecție Oz, Oy și Ox, Oy 1 (Fig. 4.13).

O analiză a desenului ortogonal al unui punct arată că trei distanțe - Aa", Aa și Aa" (Fig. 4.12, c), care caracterizează poziția punctului A în spațiu, pot fi determinate prin aruncarea obiectului de proiecție însuși - punctul A , pe un unghi de coordonate desfășurat într-un plan (Fig. 4.13). Segmentele a „a z, aa y și Oa x sunt egale cu Aa” ca laturi opuse ale dreptunghiurilor corespunzătoare (Fig. 4.12, c și 4.13). Ele determină distanța la care punctul A este situat față de planul de profil al proiecțiilor. Segmentele a „a x, a” a y1 și Oa y sunt egale cu segmentul Aa, determină distanța de la punctul A la planul orizontal de proiecție, segmentele aa x, a „a z și Oa y 1 sunt egale cu segmentul Aa”, ceea ce determină distanța de la punctul A la planul de proiecție frontală.

Segmentele Oa x, Oa y și Oa z situate pe axele de proiecție sunt o expresie grafică a dimensiunilor coordonatelor X, Y și Z ale punctului A. Coordonatele punctului sunt notate cu indicele literei corespunzătoare. Măsurând dimensiunea acestor segmente, puteți determina poziția punctului în spațiu, adică setați coordonatele punctului.

Pe diagramă, segmentele a "a x și aa x sunt aranjate ca o singură dreaptă perpendiculară pe axa Ox, iar segmentele a" a z și a "a z - pe axa Oz. Aceste linii se numesc linii de legătură de proiecție. Ele intersectează axele de proiecție în punctele a x și respectiv z. Linia conexiunii de proiecție care leagă proiecția orizontală a punctului A cu cea de profil s-a dovedit a fi „tăiată” în punctul a y.

Două proiecții ale aceluiași punct sunt întotdeauna situate pe aceeași linie de conexiune de proiecție perpendiculară pe axa de proiecție.

Pentru a reprezenta poziția unui punct în spațiu, sunt suficiente două dintre proiecțiile sale și o origine dată (punctul O). 4.14, b, două proiecții ale unui punct determină complet poziția sa în spațiu Folosind aceste două proiecții, puteți construi o proiecție de profil a punctului A. Prin urmare, în viitor, dacă nu este nevoie de o proiecție de profil, diagramele vor fi construit pe două planuri de proiecție: V și H.

Orez. 4.14. Orez. 4.15.

Să luăm în considerare câteva exemple de construire și citire a unui desen al unui punct.

Exemplul 1 Determinarea coordonatelor punctului J date pe diagramă prin două proiecții (Fig. 4.14). Se măsoară trei segmente: segmentul Ov X (coordonată X), segmentul b X b (coordonată Y) și segmentul b X b "(coordonată Z). Coordonatele se scriu în următoarea ordine: X, Y și Z, după desemnarea literei al punctului, de exemplu, B20; 30; 15.

Exemplul 2. Construirea unui punct după coordonatele date. Punctul C este dat de coordonatele C30; zece; 40. Pe axa Ox (Fig. 4.15) găsiți un punct cu x, în care linia conexiunii de proiecție intersectează axa de proiecție. Pentru a face acest lucru, coordonata X (dimensiunea 30) este trasată de-a lungul axei Ox de la origine (punctul O) și se obține un punct cu x. Prin acest punct, perpendicular pe axa Ox, se trasează o linie de conexiune de proiecție și se așează coordonata Y din punct (dimensiunea 10), se obține punctul c - proiecția orizontală a punctului C. Coordonata Z (dimensiunea 10). 40) este trasat în sus de la punctul c x de-a lungul liniei de conectare a proiecției (dimensiunea 40), punctul se obține c" - proiecția frontală a punctului C.

Exemplul 3. Construirea unei proiecții de profil a unui punct conform proiecțiilor date. Sunt stabilite proiecțiile punctului D - d și d. Prin punctul O se desenează axele de proiecție Oz, Oy și Oy 1 (Fig. 4.16, a), acesta în dreapta în spatele axei Oz. Pe această linie va fi amplasată proiecția de profil a punctului D. Va fi situată la o asemenea distanță de axa Oz, la care se află proiecția orizontală a punctului d: de axa Ox, adică la o distanță. dd x. Segmentele d z d "și dd x sunt aceleași, deoarece determină aceeași distanță - distanța de la punctul D la planul de proiecție frontală. Această distanță este coordonata Y a punctului D.

Grafic, segmentul d z d " se construiește prin transferul segmentului dd x din planul orizontal al proiecțiilor pe cel de profil. Pentru a face acest lucru, trageți o linie de legătură de proiecție paralelă cu axa Ox, obțineți un punct d y pe axa Oy ( Fig. 4.16, b) Transferați apoi dimensiunea segmentului Od y pe axa Oy 1 , desenând din punctul O un arc cu raza egală cu segmentul Od y, până când acesta se intersectează cu axa Oy 1 (Fig. 4.16). , b), obțineți punctul dy 1. Acest punct poate fi construit și, după cum se arată în Fig. 4.16, c, trasând o dreaptă la un unghi de 45 ° față de axa Oy din punctul d y. Din punctul d y1 trageți o linie de conexiune de proiecție paralelă cu axa Oz și așezați pe ea un segment egal cu segmentul d "d x, obțineți punctul d".

Transferarea valorii segmentului d x d în planul profilului proiecțiilor se poate face folosind un desen în linie dreaptă constantă (Fig. 4.16, d). În acest caz, linia de conectare a proiecției dd y este trasată prin proiecția orizontală a punctului paralel cu axa Oy 1 până când se intersectează cu o dreaptă constantă și apoi paralelă cu axa Oy până se intersectează cu continuarea proiecției. linia de legătură d "d z.

Cazuri particulare de localizare a punctelor în raport cu planurile de proiecție

Poziția punctului față de planul de proiecție este determinată de coordonatele corespunzătoare, adică valoarea segmentului liniei de conectare a proiecției de la axa Ox la proiecția corespunzătoare. Pe fig. 4.17 coordonata Y a punctului A este determinată de segmentul aa x - distanța de la punctul A la planul V. Coordonata Z a punctului A este determinată de segmentul a "a x - distanța de la punctul A la planul H. Dacă unul a coordonatelor este zero, atunci punctul este situat pe planul de proiecție. Fig. 4.17 prezintă exemple de locații diferite ale punctelor în raport cu planurile de proiecție. Coordonata Z a punctului B este zero, punctul se află în planul H. Proiecția sa frontală este pe axa Ox și coincide cu punctul b x. Coordonata Y a punctului C este zero, punctul este situat pe planul V, proiecția sa orizontală c este pe axa x și coincide cu punctul c x.

Prin urmare, dacă un punct se află pe planul de proiecție, atunci una dintre proiecțiile acestui punct se află pe axa de proiecție.

Pe fig. 4.17, coordonatele Z și Y ale punctului D sunt zero, prin urmare, punctul D se află pe axa de proiecție Ox și cele două proiecții ale sale coincid.

În acest articol, vom găsi răspunsuri la întrebări despre cum să creați o proiecție a unui punct pe un plan și cum să determinați coordonatele acestei proiecții. În partea teoretică ne vom baza pe conceptul de proiecție. Vom da definiții termenilor, vom însoți informațiile cu ilustrații. Să consolidăm cunoștințele dobândite prin rezolvarea de exemple.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Proiecție, tipuri de proiecție

Pentru comoditatea luării în considerare a figurilor spațiale, sunt utilizate desene care ilustrează aceste figuri.

Definiția 1

Proiectia unei figuri pe un plan- un desen al unei figuri spațiale.

Evident, există o serie de reguli folosite pentru a construi o proiecție.

Definiția 2

proiecție- procesul de construire a unui desen al unei figuri spațiale pe un plan folosind reguli de construcție.

Planul de proiecție este planul în care este construită imaginea.

Utilizarea anumitor reguli determină tipul de proiecție: central sau paralel.

Un caz special de proiecție paralelă este proiecția perpendiculară sau proiecția ortogonală: în geometrie, este utilizat în principal. Din acest motiv, adjectivul „perpendicular” în sine este adesea omis în vorbire: în geometrie ei spun pur și simplu „proiectarea unei figuri” și înseamnă prin aceasta construcția unei proiecții prin metoda proiecției perpendiculare. În cazuri speciale, desigur, se poate prevedea altfel.

Remarcăm faptul că proiecția unei figuri pe un plan este, de fapt, proiecția tuturor punctelor acestei figuri. Prin urmare, pentru a putea studia o figură spațială într-un desen, este necesar să dobândești abilitățile de bază de a proiecta un punct pe un plan. Despre ce vom vorbi mai jos.

Amintiți-vă că cel mai adesea în geometrie, vorbind despre proiecția pe un plan, înseamnă utilizarea proiecției perpendiculare.

Vom realiza construcții care ne vor permite să obținem definiția proiecției unui punct pe un plan.

Să presupunem că este dat un spațiu tridimensional, iar în el - un plan α și un punct M 1 care nu aparține planului α. Desenați o dreaptă printr-un punct dat M 1 A perpendicular pe planul dat α. Punctul de intersecție al dreptei a și planul α va fi notat cu H 1 , prin construcție va servi drept bază a perpendicularei coborâte din punctul M 1 în planul α .

Dacă este dat un punct M2, aparținând unui plan dat α, atunci M2 va servi ca proiecție a lui însuși pe planul α.

Definiția 3

este fie punctul însuși (dacă aparține unui plan dat), fie baza perpendicularei căzută din punct dat la un avion dat.

Găsirea coordonatelor proiecției unui punct pe un plan, exemple

Fie în spațiu tridimensional dat: sistemul de coordonate dreptunghiular O x y z, planul α, punctul M 1 (x 1, y 1, z 1) . Este necesar să se găsească coordonatele proiecției punctului M 1 pe un plan dat.

Soluția rezultă în mod evident din definiția de mai sus a proiecției unui punct pe un plan.

Notăm proiecția punctului M 1 pe planul α ca H 1 . Conform definiţiei, H 1 este punctul de intersecţie al planului dat α şi a dreptei a prin punctul M 1 (perpendicular pe plan). Acestea. coordonatele proiecției punctului M 1 de care avem nevoie sunt coordonatele punctului de intersecție al dreptei a și planului α.

Astfel, pentru a găsi coordonatele proiecției unui punct pe un plan, este necesar:

Obțineți ecuația planului α (în cazul în care nu este setat). Un articol despre tipurile de ecuații plane vă va ajuta aici;

Determinați ecuația unei drepte care trece prin punctul M 1 și perpendiculară pe planul α (studiați subiectul ecuației unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un plan dat);

Aflați coordonatele punctului de intersecție al dreptei a și ale planului α (articol - aflarea coordonatelor punctului de intersecție al planului și al dreptei). Datele obținute vor fi coordonatele proiecției punctului M 1 pe planul α de care avem nevoie.

Să luăm în considerare teoria exemplelor practice.

Exemplul 1

Determinați coordonatele proiecției punctului M 1 (- 2, 4, 4) pe planul 2 x - 3 y + z - 2 \u003d 0.

Decizie

După cum putem vedea, ne este dată ecuația planului, i.e. nu este nevoie să-l compune.

Sa scriem ecuatiile canonice ale dreptei a care trece prin punctul M 1 si perpendiculara pe planul dat. În aceste scopuri, determinăm coordonatele vectorului de direcție al dreptei a. Deoarece linia a este perpendiculară pe planul dat, atunci vectorul de direcție al dreptei a este vectorul normal al planului 2 x - 3 y + z - 2 = 0. Prin urmare, a → = (2 , - 3 , 1) – vector de direcție al dreptei a .

Acum compunem ecuațiile canonice ale unei drepte în spațiu care trece prin punctul M 1 (- 2, 4, 4) și având un vector de direcție a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Pentru a găsi coordonatele dorite, următorul pas este să determinați coordonatele punctului de intersecție al dreptei x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 și ale planului 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . În acest scop, trecem de la ecuațiile canonice la ecuațiile a două plane care se intersectează:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 (x + 2) = 2 (y - 4) 1 (x + 2) = 2 (z - 4) 1 ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Să facem un sistem de ecuații:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

Și rezolvați-l folosind metoda lui Cramer:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ = - z 140 - 28 = 5

Astfel, coordonatele dorite ale unui punct dat M 1 pe un plan dat α vor fi: (0, 1, 5) .

Răspuns: (0 , 1 , 5) .

Exemplul 2

Punctele А (0 , 0 , 2) sunt date într-un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z al spațiului tridimensional; În (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) şi M1 (-1, -2, 5). Este necesar să se găsească coordonatele proiecției M 1 pe planul A B C

Decizie

În primul rând, scriem ecuația unui plan care trece prin trei puncte date:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6y + 6z - 12 = 0 ⇔ x - 2y + 2z - 4 = 0

Să scriem ecuații parametrice dreaptă a, care va trece prin punctul M 1 perpendicular pe planul A B C. Planul x - 2 y + 2 z - 4 \u003d 0 are un vector normal cu coordonatele (1, - 2, 2), adică. vector a → = (1 , - 2 , 2) – vectorul de direcție al dreptei a .

Acum, având coordonatele punctului dreptei M 1 și coordonatele vectorului de direcție al acestei drepte, scriem ecuațiile parametrice ale dreptei în spațiu:

Apoi determinăm coordonatele punctului de intersecție al planului x - 2 y + 2 z - 4 = 0 și dreapta

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

Pentru a face acest lucru, înlocuim în ecuația planului:

x = - 1 + λ , y = - 2 - 2 λ , z = 5 + 2 λ

Acum, folosind ecuațiile parametrice x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ, găsim valorile variabilelor x, y și z la λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 (- 1) z = 5 + 2 (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Astfel, proiecția punctului M 1 pe planul A B C va avea coordonatele (- 2, 0, 3) .

Răspuns: (- 2 , 0 , 3) .

Să ne oprim separat la problema găsirii coordonatelor proiecției unui punct pe planurile de coordonate și planurile care sunt paralele cu planurile de coordonate.

Să fie date punctele M 1 (x 1, y 1, z 1) și planele de coordonate O x y , O x z și O y z. Coordonatele de proiecție ale acestui punct pe aceste plane vor fi respectiv: (x 1 , y 1 , 0) , (x 1 , 0 , z 1) și (0 , y 1 , z 1) . Luați în considerare și planurile paralele cu planurile de coordonate date:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

Iar proiecțiile punctului dat M 1 pe aceste plane vor fi puncte cu coordonatele x 1 , y 1 , - D C , x 1 , - D B , z 1 și - D A , y 1 , z 1 .

Să demonstrăm cum a fost obținut acest rezultat.

Ca exemplu, să definim proiecția punctului M 1 (x 1, y 1, z 1) pe planul A x + D = 0. Restul cazurilor sunt similare.

Planul dat este paralel cu planul de coordonate O y z și i → = (1 , 0 , 0) este vectorul său normal. Același vector servește ca vector de direcție al dreptei perpendiculare pe planul O y z . Atunci ecuațiile parametrice ale unei drepte trasate prin punctul M 1 și perpendiculare pe un plan dat vor arăta astfel:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Aflați coordonatele punctului de intersecție a acestei drepte și a planului dat. Mai întâi înlocuim în ecuație A x + D = 0 egalități: x = x 1 + λ, y = y 1, z = z 1 și obținem: A (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x unul

Apoi calculăm coordonatele dorite folosind ecuațiile parametrice ale dreptei pentru λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Adică, proiecția punctului M 1 (x 1, y 1, z 1) pe plan va fi un punct cu coordonatele - D A , y 1 , z 1 .

Exemplul 2

Este necesar să se determine coordonatele proiecției punctului M 1 (- 6 , 0 , 1 2) pe plan de coordonate O x y și pe planul 2 y - 3 = 0 .

Decizie

Planului de coordonate O x y va corespunde unui incomplet ecuație generală planul z = 0 . Proiecția punctului M 1 pe planul z \u003d 0 va avea coordonate (- 6, 0, 0) .

Ecuația plană 2 y - 3 = 0 poate fi scrisă ca y = 3 2 2 . Acum doar scrieți coordonatele proiecției punctului M 1 (- 6 , 0 , 1 2) pe planul y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Răspuns:(- 6 , 0 , 0) și - 6 , 3 2 2 , 1 2

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Luați în considerare proiecțiile punctelor pe două plane, pentru care luăm două planuri perpendiculare(Fig. 4), pe care le vom numi frontal și plan orizontal. Linia de intersecție a acestor plane se numește axa de proiecție. Proiectăm un punct A pe planurile considerate folosind o proiecție plată. Pentru a face acest lucru, este necesar să coborâți perpendicularele Aa și A din punctul dat pe planurile considerate.

Proiecția pe un plan orizontal se numește vedere în plan puncte DAR, și proiecția A? pe plan frontal se numeste proiecție frontală.

Punctele în care trebuie proiectate geometrie descriptivă de obicei notate cu majuscule latine A, B, C. Literele mici sunt folosite pentru a desemna proiecțiile orizontale ale punctelor. a, b, c... Proiecțiile frontale sunt indicate cu litere mici, cu o contur în partea de sus a?, b?, c?…

Se folosește și desemnarea punctelor cu cifre romane I, II, ..., iar pentru proiecțiile lor - cu cifre arabe 1, 2 ... și 1?, 2?...

Când planul orizontal este rotit cu 90°, se poate obține un desen în care ambele plane sunt în același plan (Fig. 5). Această imagine se numește diagramă de puncte.

Prin linii perpendiculare Ahși Ah? desenați un avion (fig. 4). Planul rezultat este perpendicular pe planurile frontale și orizontale deoarece conține perpendiculare pe aceste planuri. Prin urmare, acest plan este perpendicular pe linia de intersecție a planurilor. Linia dreaptă rezultată intersectează planul orizontal într-o linie dreaptă aa x, iar planul frontal - în linie dreaptă huh? X. Drept aah și huh? x sunt perpendiculare pe axa de intersecție a planelor. i.e Aaah? este un dreptunghi.

La combinarea planurilor de proiecție orizontală și frontală Ași A? va fi situat pe o perpendiculară pe axa de intersecție a planurilor, deoarece atunci când planul orizontal se rotește, perpendicularitatea segmentelor aa x și huh? x nu este rupt.

Obținem asta pe diagrama de proiecție Ași A? un moment dat DAR se află întotdeauna pe aceeași perpendiculară pe axa de intersecție a planelor.

Două proiecții a și A? a unui punct A poate determina în mod unic poziția sa în spațiu (Fig. 4). Acest lucru este confirmat de faptul că la construirea unei perpendiculare din proiecția a pe planul orizontal, aceasta va trece prin punctul A. În mod similar, perpendiculara din proiecție A? spre planul frontal va trece prin punct DAR, adică punctul DAR se află pe două linii definite în același timp. Punctul A este punctul lor de intersecție, adică este definit.

Luați în considerare un dreptunghi Aaa X A?(Fig. 5), pentru care următoarele afirmații sunt adevărate:

1) Distanța punctului DAR din planul frontal este egală cu distanța proiecției sale orizontale a față de axa de intersecție a planurilor, adică.

Ah? = aa X;

2) distanta punctuala DAR din planul orizontal al proiecțiilor este egală cu distanța proiecției sale frontale A? din axa de intersectie a planelor, i.e.

Ah = huh? X.

Cu alte cuvinte, chiar și fără punctul în sine de pe diagramă, folosind doar cele două proiecții ale sale, puteți afla la ce distanță de fiecare dintre planurile de proiecție se află acest punct.

Intersecția a două planuri de proiecție împarte spațiul în patru părți, care sunt numite sferturi(Fig. 6).

Axa de intersecție a planurilor împarte planul orizontal în două sferturi - față și spate, iar planul frontal în sferturi superioare și inferioare. Partea superioară a planului frontal și partea anterioară a planului orizontal sunt considerate drept limite ale primului sfert.

La primirea diagramei, planul orizontal se rotește și coincide cu planul frontal (Fig. 7). În acest caz, partea din față a planului orizontal va coincide cu partea de jos a planului frontal, iar partea din spate a planului orizontal va coincide cu partea de sus a planului frontal.

Figurile 8-11 prezintă punctele A, B, C, D, situate în diferite sferturi de spațiu. Punctul A este în primul trimestru, punctul B este în al doilea, punctul C este în al treilea și punctul D este în al patrulea.

Când punctele sunt situate în primul sau al patrulea sferturi ale acestora proiecții orizontale situate pe partea frontală a planului orizontal, iar pe diagramă vor fi situate sub axa de intersecție a planurilor. Când un punct este situat în al doilea sau al treilea trimestru, proiecția sa orizontală se va afla pe spatele planului orizontal, iar pe diagramă se va afla deasupra axei de intersecție a planurilor.

Proiecții frontale punctele care sunt situate în primul sau al doilea sferturi vor fi situate în partea superioară a planului frontal, iar pe diagramă vor fi situate deasupra axei de intersecție a planurilor. Când un punct este situat în al treilea sau al patrulea sfert, proiecția sa frontală este sub axa de intersecție a planurilor.

Cel mai adesea, în construcțiile reale, figura este plasată în primul sfert al spațiului.

În unele cazuri particulare, punctul ( E) se poate afla pe un plan orizontal (Fig. 12). În acest caz, proiecția sa orizontală e și punctul însuși vor coincide. Proiecția frontală a unui astfel de punct va fi pe axa de intersecție a planurilor.

În cazul în care punctul La se află pe planul frontal (Fig. 13), proiecția sa orizontală k se află pe axa de intersecție a planurilor și frontală k? arată locația reală a punctului respectiv.

Pentru astfel de puncte, semnul că se află pe unul dintre planurile de proiecție este că una dintre proiecțiile sale se află pe axa de intersecție a planurilor.

Dacă un punct se află pe axa de intersecție a planurilor de proiecție, el și ambele proiecții coincid.

Când un punct nu se află pe planurile de proiecție, se numește punct pozitia generala . În cele ce urmează, dacă nu există note speciale, punctul luat în considerare este un punct în poziție generală.

2. Lipsa axei de proiecție

Pentru a explica cum se obține pe model proiecții ale unui punct pe planuri de proiecție perpendiculare (Fig. 4), este necesar să se ia o bucată de hârtie groasă sub forma unui dreptunghi alungit. Trebuie să fie îndoit între proiecții. Linia de pliere va reprezenta axa de intersecție a planurilor. Dacă după aceea bucata de hârtie îndoită este din nou îndreptată, obținem o diagramă similară cu cea prezentată în figură.

Combinând două planuri de proiecție cu planul de desen, nu puteți afișa linia de pliere, adică nu desenați axa de intersecție a planurilor pe diagramă.

Când construiți pe o diagramă, ar trebui să plasați întotdeauna proiecții Ași A? punctul A pe o linie verticală (Fig. 14), care este perpendiculară pe axa de intersecție a planelor. Prin urmare, chiar dacă poziția axei de intersecție a planurilor rămâne nedefinită, dar direcția acesteia este determinată, axa de intersecție a planurilor nu poate fi decât perpendiculară pe dreapta de pe diagramă. Ah?.

Dacă nu există o axă de proiecție pe diagrama de puncte, ca în prima figură 14 a, vă puteți imagina poziția acestui punct în spațiu. Pentru a face acest lucru, trageți în orice loc perpendicular pe linie Ah? axa de proiecție, ca în a doua figură (Fig. 14) și îndoiți desenul de-a lungul acestei axe. Dacă restabilim perpendicularele la puncte Ași A?înainte ca acestea să se intersecteze, puteți obține un punct DAR. La schimbarea poziției axei de proiecție se obțin diferite poziții ale punctului față de planurile de proiecție, dar incertitudinea în poziția axei de proiecție nu afectează aranjament reciproc mai multe puncte sau figuri din spațiu.

3. Proiecții ale unui punct pe trei planuri de proiecție

Luați în considerare planul de profil al proiecțiilor. Proiecțiile pe două planuri perpendiculare determină de obicei poziția figurii și fac posibilă aflarea dimensiunilor și formei sale reale. Dar sunt momente când două proiecții nu sunt suficiente. Apoi aplicați construcția celei de-a treia proiecții.

Al treilea plan de proiecție este realizat astfel încât să fie perpendicular pe ambele planuri de proiecție în același timp (Fig. 15). Al treilea plan se numește profil.

În astfel de construcții se numește linia comună a planurilor orizontale și frontale axă X , linia comună a planurilor orizontale și de profil - axă la , și linia dreaptă comună a planurilor frontale și de profil - axă z . Punct O, care aparține tuturor celor trei planuri, se numește punctul de origine.

Figura 15a arată punctul DARși trei dintre proiecțiile sale. Proiecție pe planul profilului ( A??) sunt numite proiecția profilului si denota A??.

Pentru a obține o diagramă a punctului A, care constă din trei proiecții a, a a, este necesar să tăiați triedrul format din toate planurile de-a lungul axei y (Fig. 15b) și să combinați toate aceste planuri cu planul proiecției frontale. Planul orizontal trebuie rotit în jurul axei X, iar planul profilului este aproape de axă zîn direcția indicată de săgeata din figura 15.

Figura 16 arată poziția proiecțiilor ah, nu?și A?? puncte DAR, obţinută ca urmare a combinării tuturor celor trei planuri cu planul de desen.

Ca rezultat al tăierii, axa y apare pe diagramă în două locuri diferite. Pe un plan orizontal (Fig. 16), acesta ia o pozitie verticala (perpendiculara pe axa X), iar pe planul profilului - orizontal (perpendicular pe axa z).

Figura 16 prezintă trei proiecții ah, nu?și A?? punctele A au o poziție strict definită pe diagramă și sunt supuse unor condiții clare:

Ași A? trebuie să fie întotdeauna situat pe o linie dreaptă verticală perpendiculară pe axă X;

A?și A?? trebuie să fie întotdeauna situat pe aceeași linie orizontală perpendiculară pe axă z;

3) când este desenat printr-o proiecție orizontală și o linie orizontală, dar printr-o proiecție de profil A??- o linie dreaptă verticală, liniile construite se vor intersecta în mod necesar pe bisectoarea unghiului dintre axele de proiecție, deoarece figura Oa la A 0 A n este un pătrat.

Când se construiesc trei proiecții ale unui punct, este necesar să se verifice îndeplinirea tuturor celor trei condiții pentru fiecare punct.

4. Coordonatele punctului

Poziția unui punct în spațiu poate fi determinată folosind trei numere numite sale coordonate. Fiecare coordonată corespunde distanței unui punct față de un plan de proiecție.

Distanța punctului DAR la planul profilului este coordonata X, în care X = huh?(Fig. 15), distanța până la planul frontal - prin coordonatele y și y = huh?, iar distanța până la planul orizontal este coordonata z, în care z = aA.

În Figura 15, punctul A ocupă lățimea cuboid, iar dimensiunile acestei casete corespund coordonatele acestui punct, adică fiecare dintre coordonate este prezentată în Figura 15 de patru ori, adică:

x \u003d a? A \u003d Oa x \u003d a y a \u003d a z a?;

y \u003d a? A \u003d Oa y \u003d a x a \u003d a z a?;

z = aA = Oa z = a x a? = a y a?.

Pe diagramă (Fig. 16), coordonatele x și z apar de trei ori:

x \u003d a z a? \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x a? = Oa z = a y a?.

Toate segmentele care corespund coordonatei X(sau z) sunt paralele între ele. Coordona la reprezentat de două ori de axa verticală:

y \u003d Oa y \u003d a x a

și de două ori - situat orizontal:

y \u003d Oa y \u003d a z a?.

Această diferență a apărut datorită faptului că axa y este prezentă pe diagramă în două poziții diferite.

Trebuie remarcat faptul că poziția fiecărei proiecții este determinată pe diagramă de doar două coordonate, și anume:

1) orizontală - coordonate Xși la,

2) frontală - coordonate Xși z,

3) profil - coordonate lași z.

Utilizarea coordonatelor X yși z, puteți construi proiecții ale unui punct pe diagramă.

Dacă punctul A este dat de coordonate, înregistrarea lor este definită după cum urmează: A ( X; y; z).

La construirea proiecţiilor punctuale DAR trebuie verificate urmatoarele conditii:

1) proiecții orizontale și frontale Ași A? X X;

2) proiecții frontale și de profil A?și A? ar trebui să fie situat pe aceeași perpendiculară pe axă z, deoarece au o coordonată comună z;

3) proiecție orizontală și, de asemenea, îndepărtată din axă X, precum proiecția profilului A departe de axă z, deoarece proiecţia ah? si nu? au o coordonată comună la.

Dacă punctul se află în oricare dintre planurile de proiecție, atunci una dintre coordonatele sale este egală cu zero.

Când un punct se află pe axa de proiecție, cele două coordonate ale sale sunt zero.

Dacă un punct se află la origine, toate cele trei coordonatele sale sunt zero.

Un punct, ca concept matematic, nu are dimensiuni. Evident, dacă obiectul proiecției este un obiect cu dimensiuni zero, atunci este lipsit de sens să vorbim despre proiecția lui.

Fig.9 Fig.10

În geometrie sub un punct, este recomandabil să luați un obiect fizic care are dimensiuni liniare. În mod convențional, o minge cu o rază infinit de mică poate fi luată ca punct. Cu această interpretare a conceptului de punct, putem vorbi despre proiecțiile acestuia.

Când construim proiecții ortogonale ale unui punct, ar trebui să ne ghidăm după prima proprietate invariantă a proiecției ortogonale: proiecția ortogonală a unui punct este un punct.

Poziția unui punct în spațiu este determinată de trei coordonate: X, Y, Z, arătând distanţele la care punctul este îndepărtat din planurile de proiecţie. Pentru a determina aceste distanțe, este suficient să determinați punctele de întâlnire ale acestor linii cu planurile de proiecție și să măsurați valorile corespunzătoare, care vor indica, respectiv, valorile abscisei. X, ordonate Yși aplicații Z puncte (Fig. 10).

Proiecția unui punct este baza perpendicularei căzute de la punct la planul de proiecție corespunzător. Proiecție orizontală puncte A numiți proiecția dreptunghiulară a unui punct pe planul orizontal al proiecțiilor, proiecție frontală a /- respectiv pe planul frontal al proiecţiilor şi profil a // – pe planul de proiecție a profilului.

Direct Aaaa /și Aa // se numesc linii proiectante. În același timp, direct Ah, punct de proiectare DAR pe planul orizontal al proiecțiilor, numit linie proiectată orizontal, Аa /și Aa //- respectiv: frontalși linii drepte care proiectează profil.

Două linii proeminente care trec printr-un punct DAR definiți planul, care se numește proiectand.

La conversia aspectului spațial, proiecția frontală a punctului A - a / rămâne pe loc ca aparținând unui plan care nu își schimbă poziția sub transformarea considerată. proiecție orizontală - Aîmpreună cu planul orizontal de proiecție se vor întoarce în sensul mișcării acelor de ceasornic și vor fi situate pe una perpendiculară pe axă X cu proiecție frontală. proiecție profil - A // se va roti împreună cu planul profilului și până la sfârșitul transformării va lua poziția indicată în Figura 10. În acest caz - A // va fi perpendicular pe ax Z trase din punct A /și va fi îndepărtat de pe axă Z aceeași distanță ca și proiecția orizontală A departe de axă X. Prin urmare, relația dintre orizontală și proiecții de profil punctele pot fi setate folosind două segmente de linie ortogonală aa yși a da //și un arc de conjugare de cerc centrat în punctul de intersecție al axelor ( O- origine). Conexiunea marcată este folosită pentru a găsi proiecția lipsă (pentru două date date). Poziția proiecției profilului (orizontală) conform proiecțiilor orizontale (profilului) și frontală date poate fi găsită folosind o linie dreaptă trasată la un unghi de 45 0 de la origine la axă. Y(această bisectoare se numește linie dreaptă) k este constanta Monge). Prima dintre aceste metode este de preferat, deoarece este mai precisă.

Prin urmare:

1. Punct din spațiu eliminat:

din planul orizontal H Z,

din planul frontal V prin valoarea coordonatei date Y,

din planul profilului W prin valoarea coordonatei. X.

2. Două proiecții ale oricărui punct aparțin aceleiași perpendiculare (o linie de legătură):

orizontală și frontală - perpendiculară pe axă X,

orizontală și profil - perpendicular pe axa Y,

frontală și de profil - perpendicular pe axa Z.

3. Poziția unui punct în spațiu este complet determinată de poziția celor două proiecții ortogonale ale sale. Prin urmare - pentru oricare două date proiecții ortogonale punct, este întotdeauna posibil să-și construiască a treia proiecție lipsă.

Dacă un punct are trei coordonate definite, atunci se numește un astfel de punct punct în poziție generală. Dacă un punct are una sau două coordonate egale cu zero, atunci se numește un astfel de punct punct de poziție privată.

Orez. 11 Fig. 12

Figura 11 prezintă un desen spațial al punctelor cu o anumită poziție, Figura 12 prezintă un desen complex (diagrame) a acestor puncte. Punct DAR aparține planului de proiecție frontală, punctul LA– plan orizontal al proiecțiilor, punct Cu– planul de profil al proiecțiilor și punctului D– axa absciselor ( X).

Un scurt curs de geometrie descriptivă

Prelegerile sunt destinate studenților specialităților de inginerie și tehnică

Metoda Monge

Dacă informațiile despre distanța unui punct față de planul de proiecție sunt date nu cu ajutorul unui semn numeric, ci cu ajutorul celei de-a doua proiecții a punctului, construită pe al doilea plan de proiecție, atunci desenul se numește două- imagine sau complex. Principiile de bază pentru construirea unor astfel de desene sunt expuse de G. Monge.
Metoda prezentată de Monge - metoda proiecției ortogonale și două proiecții sunt luate pe două planuri de proiecție reciproc perpendiculare - oferind expresivitate, acuratețe și lizibilitate imaginilor obiectelor pe un plan, a fost și rămâne principala metodă de întocmire a desenelor tehnice.

Figura 1.1 Punct în sistemul de trei planuri de proiecție

Modelul a trei planuri de proiecție este prezentat în Figura 1.1. Al treilea plan, perpendicular atât pe P1 cât și pe P2, este notat cu litera P3 și se numește planul profilului. Proiecțiile punctelor pe acest plan sunt notate cu majuscule sau cifre cu indicele 3. Planurile de proiecție, intersectându-se în perechi, definesc trei axe 0x, 0y și 0z, care pot fi considerate ca un sistem. coordonate cartezieneîn spațiu cu originea în punctul 0. Trei planuri de proiecție împart spațiul în opt unghiuri triedrice - octanți. Ca și înainte, vom presupune că privitorul care vizualizează obiectul se află în primul octant. Pentru a obține o diagramă, punctele din sistemul de trei plane de proiecție ale planurilor P1 și P3 sunt rotite până când coincid cu planul P2. La desemnarea axelor pe o diagramă, semiaxele negative nu sunt de obicei indicate. Dacă doar imaginea obiectului în sine este semnificativă și nu poziția sa față de planurile de proiecție, atunci axele de pe diagramă nu sunt afișate. Coordonatele sunt numere care corespund unui punct pentru a determina poziția acestuia în spațiu sau pe o suprafață. În spațiul tridimensional, poziția unui punct este stabilită folosind coordonatele carteziene dreptunghiulare x, y și z (abscisă, ordonată și aplicată).

Pentru a determina poziția unei drepte în spațiu, există următoarele metode: 1. Două puncte (A și B). Luați în considerare două puncte din spațiul A și B (Fig. 2.1). Prin aceste puncte putem trage o linie dreaptă, obținem un segment. Pentru a găsi proiecțiile acestui segment pe planul de proiecție, este necesar să găsiți proiecțiile punctelor A și B și să le conectați cu o dreaptă. Fiecare dintre proiecțiile segmentului de pe planul de proiecție este mai mică decât segmentul însuși:<; <; <.

Figura 2.1 Determinarea poziției unei drepte din două puncte

2. Două planuri (a; b). Această metodă de setare este determinată de faptul că două plane neparalele se intersectează în spațiu într-o linie dreaptă (această metodă este discutată în detaliu în cursul geometriei elementare).

3. Punctul și unghiurile de înclinare față de planurile de proiecție. Cunoscând coordonatele unui punct aparținând dreptei și unghiul său de înclinare față de planurile de proiecție, puteți afla poziția dreptei în spațiu.

În funcție de poziția dreptei în raport cu planurile de proiecție, aceasta poate ocupa atât poziții generale, cât și poziții particulare. 1. O linie dreaptă care nu este paralelă cu niciun plan de proiecție se numește dreptă în poziție generală (Fig. 3.1).

2. Liniile drepte paralele cu planurile de proiecție ocupă o anumită poziție în spațiu și se numesc drepte de nivel. În funcție de planul de proiecție cu care este paralelă linia dată, există:

2.1. Proiecțiile directe paralele cu planul orizontal se numesc linii orizontale sau linii de contur (fig. 3.2).

Figura 3.2 Linie dreaptă orizontală

2.2. Proiectiile directe paralele cu planul frontal se numesc frontale sau frontale (Fig. 3.3).

Figura 3.3 Dreaptă frontală

2.3. Proiecțiile directe paralele cu planul profilului se numesc proiecții de profil (Fig. 3.4).

Figura 3.4 Profil drept

3. Dreptele perpendiculare pe planurile de proiecție se numesc proiectare. O linie perpendiculară pe un plan de proiecție este paralelă cu celelalte două. În funcție de planul de proiecție pe care linia investigată este perpendiculară, există:

3.1. Linie dreaptă proiectată frontal - AB (Fig. 3.5).

Figura 3.5 Linia de proiecție frontală

3.2. Linie dreaptă proeminentă a profilului - AB (Fig. 3.6).

Figura 3.6 Linia de proiectare a profilului

3.3. Linie dreaptă proiectată orizontal - AB (Fig. 3.7).

Figura 3.7 Linie proiectată orizontal

Planul este unul dintre conceptele de bază ale geometriei. Într-o expunere sistematică a geometriei, conceptul de plan este de obicei luat ca unul dintre conceptele inițiale, care este determinat doar indirect de axiomele geometriei. Câteva proprietăți caracteristice ale unui plan: 1. Un plan este o suprafață care conține complet fiecare linie care leagă oricare dintre punctele sale; 2. Un plan este o mulțime de puncte echidistante de două puncte date.

Modalități de definire grafică a planurilor Poziția unui plan în spațiu poate fi determinată:

1. Trei puncte care nu se află pe o singură linie dreaptă (Fig. 4.1).

Figura 4.1 Plan definit de trei puncte care nu se află pe o singură dreaptă

2. O dreaptă și un punct care nu aparțin acestei drepte (Fig. 4.2).

Figura 4.2 Plan definit printr-o dreaptă și un punct care nu aparține acestei drepte

3. Două linii drepte care se intersectează (Fig. 4.3).

Figura 4.3 Plan definit de două drepte care se intersectează

4. Două linii paralele (Fig. 4.4).

Figura 4.4 Plan definit de două drepte paralele

Poziție diferită a planului față de planurile de proiecție

În funcție de poziția planului în raport cu planurile de proiecție, acesta poate ocupa atât poziții generale, cât și poziții particulare.

1. Un plan care nu este perpendicular pe niciun plan de proiecție se numește plan în poziție generală. Un astfel de plan intersectează toate planurile de proiecție (are trei urme: - orizontală S 1; - frontală S 2; - profil S 3). Urmele planului generic se intersectează în perechi pe axele la punctele ax,ay,az. Aceste puncte se numesc puncte de fugă, ele pot fi considerate ca vârfurile unghiurilor triedrice formate de planul dat cu două din cele trei plane de proiecție. Fiecare dintre urmele planului coincide cu proiecția sa cu același nume, iar celelalte două proiecții de nume opuse se află pe axe (Fig. 5.1).

2. Planuri perpendiculare pe planurile proiecțiilor - ocupă o anumită poziție în spațiu și se numesc proiectare. În funcție de planul de proiecție pe care planul dat este perpendicular, există:

2.1. Planul perpendicular pe planul de proiecție orizontal (S ^ П1) se numește plan de proiectare orizontală. Proiecția orizontală a unui astfel de plan este o linie dreaptă, care este și calea sa orizontală. Proiecțiile orizontale ale tuturor punctelor oricărei figuri din acest plan coincid cu traseul orizontal (Fig. 5.2).

Figura 5.2 Plan de proiecție orizontal

2.2. Planul perpendicular pe planul frontal al proiecțiilor (S ^ P2) este planul care se proiectează în față. Proiecția frontală a planului S este o linie dreaptă care coincide cu urma S 2 (Fig. 5.3).

Figura 5.3 Planul de proiecție frontală

2.3. Planul perpendicular pe planul profilului (S ^ П3) este planul de proiectare a profilului. Un caz special al unui astfel de plan este planul bisectoare (Fig. 5.4).

Figura 5.4 Profil-plan de proiectare

3. Planuri paralele cu planurile proiecțiilor - ocupă o anumită poziție în spațiu și se numesc planuri de nivel. În funcție de planul cu care planul studiat este paralel, există:

3.1. Plan orizontal - un plan paralel cu planul de proiecție orizontal (S //P1) - (S ^P2, S ^P3). Orice figură din acest plan este proiectată pe planul P1 fără distorsiuni, iar pe planul P2 și P3 în linii drepte - urme ale planului S 2 și S 3 (Fig. 5.5).

Figura 5.5 Plan orizontal

3.2. Plan frontal - un plan paralel cu planul de proiecție frontală (S //P2), (S ^P1, S ^P3). Orice figură din acest plan este proiectată pe planul P2 fără distorsiuni, iar pe planul P1 și P3 în linii drepte - urme ale planului S 1 și S 3 (Fig. 5.6).

Figura 5.6 Plan frontal

3.3. Plan de profil - un plan paralel cu planul de profil al proiecțiilor (S //P3), (S ^P1, S ^P2). Orice figură din acest plan este proiectată pe planul P3 fără distorsiuni, iar pe planul P1 și P2 în linii drepte - urme ale planului S 1 și S 2 (Fig. 5.7).

Figura 5.7 Planul profilului

Urme de avion

Urma planului este linia de intersecție a planului cu planurile de proiecție. În funcție de care dintre planurile de proiecție se intersectează cel dat, ele disting: urme orizontale, frontale și de profil ale planului.

Fiecare urmă a planului este o dreaptă, pentru construcția căreia este necesar să se cunoască două puncte, sau un punct și direcția dreptei (ca și la construcția oricărei drepte). Figura 5.8 arată găsirea urmelor planului S (ABC). Urma frontală a planului S 2 este construită ca o linie care leagă două puncte 12 și 22, care sunt urme frontale ale liniilor corespunzătoare aparținând planului S . Urma orizontală S 1 este o linie dreaptă care trece prin urma orizontală a dreptei AB și S x. Urma profilului S 3 - o linie dreaptă care leagă punctele (S y și S z) de intersecție a urmelor orizontale și frontale cu axele.

Figura 5.8 Construcția urmelor plane

Determinarea poziției relative a unei drepte și a unui plan este o problemă de poziție, pentru a cărei rezolvare se utilizează metoda planurilor auxiliare de tăiere. Esența metodei este următoarea: trageți un plan secant auxiliar Q prin linie și stabiliți poziția relativă a două drepte a și b, ultima dintre acestea fiind linia de intersecție a planului secant auxiliar Q și acest plan T ( Fig. 6.1).

Figura 6.1 Metoda planului de tăiere auxiliar

Fiecare dintre cele trei cazuri posibile de poziție relativă a acestor drepte corespunde unui caz similar de poziție reciprocă a dreptei și a planului. Deci, dacă ambele drepte coincid, atunci linia a se află în planul T, paralelismul dreptelor indică paralelismul dreptei și al planului și, în final, intersecția dreptelor corespunde cazului în care dreapta a se intersectează. planul T. Astfel, există trei cazuri de poziție relativă a dreptei și a planului: aparține planului; Linia este paralelă cu planul; O linie dreaptă intersectează un plan, un caz special - o dreaptă este perpendiculară pe plan. Să luăm în considerare fiecare caz.

Linie dreaptă aparținând planului

Axioma 1. O dreaptă aparține unui plan dacă două dintre punctele sale aparțin aceluiași plan (fig.6.2).

Sarcină. Având în vedere un plan (n,k) și o proiecție a dreptei m2. Este necesar să se găsească proiecțiile lipsă ale dreptei m dacă se știe că aceasta aparține planului dat de dreptele care se intersectează n și k. Proiecția dreptei m2 intersectează dreptele n și k în punctele B2 și C2, pentru a găsi proiecțiile lipsă ale dreptei, este necesar să găsim proiecțiile lipsă ale punctelor B și C ca puncte situate pe liniile n și k , respectiv. Astfel, punctele B și C aparțin planului dat de dreptele care se intersectează n și k, iar dreapta m trece prin aceste puncte, ceea ce înseamnă că, conform axiomei, dreapta aparține acestui plan.

Axioma 2. O dreaptă aparține unui plan dacă are un punct comun cu planul și este paralelă cu orice dreaptă situată în acest plan (Fig. 6.3).

Sarcină. Desenați o dreaptă m prin punctul B dacă se știe că aparține planului dat prin intersectarea dreptelor n și k. Fie B să aparțină dreptei n situată în planul dat de dreptele care se intersectează n și k. Prin proiecția B2 desenăm proiecția dreptei m2 paralelă cu dreapta k2, pentru a găsi proiecțiile lipsă ale dreptei, este necesar să construim proiecția punctului B1 ca punct situat pe proiecția dreptei n1 și trageți proiecția dreptei m1 prin ea paralelă cu proiecția k1. Astfel, punctele B aparțin planului dat de dreptele care se intersectează n și k, iar dreapta m trece prin acest punct și este paralelă cu dreapta k, ceea ce înseamnă că, conform axiomei, dreapta aparține acestui plan.

Figura 6.3 O dreaptă are un punct comun cu un plan și este paralelă cu o dreaptă situată în acest plan

Liniile principale din avion

Printre liniile drepte aparținând planului, un loc special este ocupat de liniile drepte care ocupă o anumită poziție în spațiu:

1. Orizontale h - drepte situate într-un plan dat și paralele cu planul orizontal al proiecțiilor (h / / P1) (Fig. 6.4).

Figura 6.4 Orizontală

2. Frontale f - linii drepte situate în plan și paralele cu planul frontal al proiecțiilor (f / / P2) (Fig. 6.5).

Figura 6.5 Frontal

3. Drepte de profil p - drepte care se află într-un plan dat și paralele cu planul de profil al proiecțiilor (p / / P3) (Fig. 6.6). Trebuie menționat că urmele avionului pot fi atribuite și liniilor principale. Urma orizontala este orizontala planului, frontala este fata si profilul este linia de profil a planului.

Figura 6.6 Profil drept

4. Linia celei mai mari pante și proiecția ei orizontală formează un unghi liniar j, care măsoară unghiul diedru format de acest plan și planul orizontal al proiecțiilor (Fig. 6.7). Evident, dacă o dreaptă nu are două puncte comune cu un plan, atunci ea fie este paralelă cu planul, fie îl intersectează.

Figura 6.7 Linia celei mai mari pante

Poziția reciprocă a unui punct și a unui plan

Există două opțiuni pentru aranjarea reciprocă a unui punct și a unui plan: fie punctul aparține planului, fie nu. Dacă punctul aparține planului, atunci doar una dintre cele trei proiecții care determină poziția punctului în spațiu poate fi stabilită în mod arbitrar. Să considerăm un exemplu (fig.6.8): Construcția unei proiecții a unui punct A aparținând unui plan de poziție generală dat de două drepte paralele a(a//b).

Sarcină. Date: planul T(a,b) și proiecția punctului A2. Este necesar să se construiască proiecția A1 dacă se știe că punctul A se află în planul c,a. Prin punctul A2 trasăm proiecția dreptei m2, care intersectează proiecțiile dreptelor a2 și b2 în punctele C2 și B2. După ce am construit proiecțiile punctelor C1 și B1, care determină poziția lui m1, găsim proiecția orizontală a punctului A.

Figura 6.8. Punct aparținând avionului

Două planuri din spațiu pot fi fie reciproc paralele, într-un caz particular coincid unul cu celălalt, fie se pot intersecta. Planurile reciproc perpendiculare sunt un caz special de planuri care se intersectează.

1. Planuri paralele. Planurile sunt paralele dacă două drepte care se intersectează ale unui plan sunt, respectiv, paralele cu două drepte care se intersectează ale altui plan. Această definiție este bine ilustrată de sarcina, prin punctul B, de a trasa un plan paralel cu planul dat de două drepte care se intersectează ab (Fig. 7.1). Sarcină. Dat: un plan în poziție generală dat de două drepte care se intersectează ab și punctul B. Se cere să se tragă un plan prin punctul B paralel cu planul ab și să-l definească prin două drepte care se intersectează c și d. Conform definiției, dacă două drepte care se intersectează ale unui plan sunt, respectiv, paralele cu două drepte care se intersectează ale altui plan, atunci aceste plane sunt paralele între ele. Pentru a desena linii paralele pe diagramă este necesar să folosim proprietatea proiecției paralele - proiecțiile dreptelor paralele sunt paralele între ele d||a, c||b; d1||a1,с1||b1; d2||a2 ,с2||b2; d3||a3,с3||b3.

Figura 7.1. Planuri paralele

2. Planuri care se intersectează, un caz special - planuri reciproc perpendiculare. Linia de intersecție a două plane este o dreaptă, pentru construcția căreia este suficient să se determine cele două puncte ale sale comune ambelor plane, sau un punct și direcția dreptei de intersecție a planelor. Luați în considerare construcția dreptei de intersecție a două plane, atunci când unul dintre ele este proiectat (Fig. 7.2).

Sarcină. Având în vedere: un plan în poziție generală este dat de un triunghi ABC, iar al doilea plan este un T care se proiectează orizontal. Este necesară construirea unei linii de intersecție a planurilor. Rezolvarea problemei constă în găsirea a două puncte comune acestor planuri prin care se poate trasa o dreaptă. Planul definit de triunghiul ABC poate fi reprezentat ca drepte (AB), (AC), (BC). Punctul de intersecție al dreptei (AB) cu planul T - punctul D, dreapta (AC) -F. Segmentul definește linia de intersecție a planurilor. Deoarece T este un plan care se proiectează orizontal, proiecția D1F1 coincide cu urma planului T1, deci rămâne doar să construim proiecțiile lipsă pe P2 și P3.

Figura 7.2. Intersecția unui plan generic cu un plan proiectat orizontal

Să trecem la cazul general. Să fie date două plane generice a(m,n) și b (ABC) în spațiu (Fig. 7.3).

Figura 7.3. Intersecția planelor în poziție generală

Se consideră șirul de construire a dreptei de intersecție a planelor a(m//n) și b(ABC). Prin analogie cu problema anterioară, pentru a găsi dreapta de intersecție a acestor plane, desenăm plane secante auxiliare g și d. Să găsim liniile de intersecție ale acestor planuri cu planurile luate în considerare. Planul g intersectează planul a de-a lungul unei linii drepte (12), iar planul b - de-a lungul unei linii drepte (34). Punctul K - punctul de intersecție al acestor drepte aparține simultan la trei plane a, b și g, fiind astfel un punct aparținând dreptei de intersecție a planurilor a și b. Planul d intersectează planele a și b de-a lungul liniilor (56) și respectiv (7C), punctul de intersecție a acestora M este situat simultan în cele trei plane a, b, d și aparține dreptei de intersecție a avioanele a și b. Astfel, se găsesc două puncte aparținând dreptei de intersecție a planelor a și b - o dreaptă (KM).

O oarecare simplificare în construirea liniei de intersecție a planelor poate fi realizată dacă planurile secante auxiliare sunt trasate prin liniile drepte care definesc planul.

Planuri reciproc perpendiculare. Din stereometrie se știe că două plane sunt reciproc perpendiculare dacă unul dintre ele trece printr-o perpendiculară pe celălalt. Prin punctul A, puteți desena o mulțime de plane perpendiculare pe planul dat a (f, h). Aceste plane formează un mănunchi de planuri în spațiu, a cărui axă este perpendiculara coborâtă din punctul A spre planul a. Pentru a desena un plan perpendicular pe planul dat de două drepte care se intersectează hf din punctul A, este necesar să se traseze o dreaptă n perpendiculară pe planul hf din punctul A (proiecția orizontală n este perpendiculară pe proiecția orizontală a orizontală h, proiecţia frontală n este perpendiculară pe proiecţia frontală a frontalului f). Orice plan care trece prin dreapta n va fi perpendicular pe planul hf, prin urmare, pentru a seta planul prin punctele A, trasăm o dreaptă m arbitrară. Planul dat de două drepte care se intersectează mn va fi perpendicular pe planul hf (Fig. 7.4).

Figura 7.4. Planuri reciproc perpendiculare

Metoda deplasării plan-paralel

Modificarea poziției relative a obiectului proiectat și a planurilor de proiecție prin metoda mișcării plan-paralel se realizează prin schimbarea poziției obiectului geometric astfel încât traiectoria punctelor sale să fie în planuri paralele. Planurile purtătoare ale traiectoriilor punctelor în mișcare sunt paralele cu orice plan de proiecție (Fig. 8.1). Traiectoria este o linie arbitrară. Cu un transfer paralel al unui obiect geometric în raport cu planurile de proiecție, proiecția figurii, deși își schimbă poziția, rămâne congruentă cu proiecția figurii în poziția inițială.

Figura 8.1 Determinarea mărimii naturale a segmentului prin metoda mișcării plan-paralel

Proprietățile mișcării plan-paralel:

1. Cu orice mișcare a punctelor într-un plan paralel cu planul P1, proiecția sa frontală se deplasează de-a lungul unei drepte paralele cu axa x.

2. În cazul unei mișcări arbitrare a unui punct într-un plan paralel cu P2, proiecția sa orizontală se deplasează de-a lungul unei drepte paralele cu axa x.

Metoda de rotație în jurul unei axe perpendiculare pe planul de proiecție

Planurile purtătoare ale traiectoriilor de mișcare a punctelor sunt paralele cu planul de proiecție. Traiectorie - un arc de cerc, al cărui centru este situat pe axa perpendiculară pe planul proiecțiilor. Pentru a determina dimensiunea naturală a unui segment de dreaptă în poziţia generală AB (Fig. 8.2), alegem axa de rotaţie (i) perpendiculară pe planul orizontal de proiecţie şi care trece prin B1. Să rotim segmentul astfel încât să devină paralel cu planul de proiecție frontală (proiecția orizontală a segmentului este paralelă cu axa x). În acest caz, punctul A1 se va deplasa la A "1, iar punctul B nu își va schimba poziția. Poziția punctului A" 2 se află la intersecția proiecției frontale a traiectoriei de mișcare a punctului A (o linie dreaptă paralelă la axa x) și linia de comunicație trasată din A "1. Proiecția rezultată B2 A "2 determină dimensiunea reală a segmentului însuși.

Figura 8.2 Determinarea dimensiunii naturale a unui segment prin rotirea în jurul unei axe perpendiculare pe planul orizontal al proiecțiilor

Metoda de rotație în jurul unei axe paralele cu planul de proiecție

Luați în considerare această metodă folosind exemplul de determinare a unghiului dintre liniile care se intersectează (Fig. 8.3). Se consideră două proiecții ale dreptelor care se intersectează a și în care se intersectează în punctul K. Pentru a determina valoarea naturală a unghiului dintre aceste drepte este necesară transformarea proiecțiilor ortogonale astfel încât liniile să devină paralele cu planul de proiecție. Să folosim metoda de rotație în jurul liniei de nivel - orizontală. Să desenăm o proiecție frontală arbitrară a orizontalei h2 paralelă cu axa Ox, care intersectează liniile în punctele 12 și 22. După ce am definit proiecțiile 11 și 11, construim o proiecție orizontală a orizontalei h1 . Traiectoria de mișcare a tuturor punctelor în timpul rotației în jurul orizontalei este un cerc care este proiectat pe planul P1 sub forma unei drepte perpendiculare pe proiecția orizontală a orizontalei.

Figura 8.3 Determinarea unghiului dintre liniile care se intersectează, rotație în jurul unei axe paralele cu planul orizontal de proiecție

Astfel, traiectoria punctului K1 este determinată de dreapta K1O1, punctul O este centrul cercului - traiectoriile punctului K. Pentru a afla raza acestui cerc, găsim valoarea naturală a segmentului KO. prin metoda triunghiului Punctul K „1 corespunde punctului K, când dreptele a și b se află într-un plan paralel cu P1 și trasate prin orizontală - axa de rotație. Având în vedere acest lucru, desenăm drepte prin punctul K „1 și punctele 11 și 21, care acum se află într-un plan paralel cu P1 și, prin urmare, unghiul phi este valoarea naturală a unghiului dintre liniile a și b.

Metodă de înlocuire a planurilor de proiecție

Modificarea poziţiei relative a figurii proiectate şi a planurilor de proiecţie prin schimbarea planurilor de proiecţie se realizează prin înlocuirea planurilor P1 şi P2 cu noi planuri P4 (Fig. 8.4). Planurile noi sunt selectate perpendicular pe cele vechi. Unele transformări de proiecție necesită o dublă înlocuire a planurilor de proiecție (Figura 8.5). O tranziție succesivă de la un sistem de planuri de proiecție la altul trebuie efectuată urmând următoarea regulă: distanța de la proiecția punctului nou la noua axă trebuie să fie egală cu distanța de la proiecția punctului înlocuită la axa înlocuită.

Sarcina 1: Determinați dimensiunea reală a segmentului AB al unei linii drepte în poziție generală (Fig. 8.4). Din proprietatea proiecției paralele, se știe că un segment este proiectat pe un plan la dimensiune completă dacă este paralel cu acest plan. Alegem un nou plan de proiecție P4, paralel cu segmentul AB și perpendicular pe planul P1. Prin introducerea unui nou plan se trece de la sistemul de planuri P1P2 la sistemul P1P4, iar în noul sistem de planuri proiecția segmentului A4B4 va fi valoarea naturală a segmentului AB.

Figura 8.4. Determinarea dimensiunii naturale a unui segment de dreaptă prin înlocuirea planurilor de proiecție

Sarcina 2: Determinați distanța de la punctul C la o dreaptă în poziție generală dată de segmentul AB (Fig. 8.5).

Figura 8.5. Determinarea dimensiunii naturale a unui segment de dreaptă prin înlocuirea planurilor de proiecție