Ce coordonate determină proiecția de profil a unui punct. Eu pun în scenă. motivația pentru activitățile de învățare. Principalele tipuri de documente ale sistemului grafic al busolei

Forma cuvantului	Forma grafică
1. Lăsați deoparte pe axele X, Y, Ζ coordonatele corespunzătoare ale punctului A. Obținem punctele A x , A y , A z
2. Proiecția orizontală A 1 este situată la intersecția liniilor de comunicație din punctele A x și A y trasate paralel cu axele X și Y
3. Proiecția frontală A 2 este situată la intersecția liniilor de comunicație din punctele A x și A z, trasate paralel cu axele X și z
4. Proiecția profilului A 3 este situată la intersecția liniilor de comunicație din punctele A z și A y trasate paralel cu axele Ζ și Y

3.2. Poziția punctului în raport cu planurile de proiecție

Poziția unui punct în spațiu față de planurile de proiecție este determinată de coordonatele sale. Coordonata X determină distanța punctului față de planul P 3 (proiecție la P 2 sau P 1), coordonata Y - distanța de la planul P 2 (proiecție la P 3 sau P 1), coordonata Z - distanta fata de planul P 1 (proiectie la P 3 sau P 2). În funcție de valoarea acestor coordonate, un punct poate ocupa atât o poziție generală, cât și una particulară în spațiu față de planurile de proiecție (Fig. 3.1).

Orez. 3.1. Clasificarea punctelor

Tpunctegeneralprevederi. Coordonatele punctului pozitia generala nu este egal cu zero ( X≠0, y≠0, z≠0 ), iar în funcție de semnul coordonatei, punctul poate fi situat într-unul dintre cei opt octanți (Tabelul 2.1).

Pe fig. 3.2 sunt date desene ale punctelor în poziție generală. O analiză a imaginilor lor ne permite să concluzionăm că ele sunt localizate în următorii octanți ai spațiului: A(+X;+Y; +Z(  Ioctant;B(+X;+Y;-Z(  IVoctant;C(-X;+Y; +Z(  Voctant;D(+X;+Y; +Z(  IIoctant.

Puncte de poziție privată. Una dintre coordonatele unui anumit punct de poziție este egală cu zero, deci proiecția punctului se află pe câmpul de proiecție corespunzător, celelalte două se află pe axele de proiecție. Pe fig. 3.3 astfel de puncte sunt punctele A, B, C, D, G.A  P 3, apoi punctul X A \u003d 0; LA  P 3, apoi punctul X B \u003d 0; Cu  P 2, apoi punctul Y C \u003d 0; D  P 1, apoi punctul Z D \u003d 0.

Un punct poate aparține la două plane de proiecție simultan, dacă se află pe linia de intersecție a acestor plane - axa de proiecție. Pentru astfel de puncte, numai coordonatele acestei axe nu sunt egale cu zero. Pe fig. 3.3, un astfel de punct este punctul G(G  OZ, apoi punctul X G =0, Y G =0).

3.3. Poziția reciprocă a punctelor în spațiu

Luați în considerare trei opțiuni poziție relativă puncte în funcție de raportul coordonatelor care determină poziția lor în spațiu.

Pe fig. 3,4 punctele A și B au coordonate diferite.

Poziția lor relativă poate fi estimată prin distanța față de planurile de proiecție: Y A >Y B, atunci punctul A este situat mai departe de planul P 2 și mai aproape de observator decât punctul B; Z A >Z B, atunci punctul A este situat mai departe de planul P 1 și mai aproape de observator decât punctul B; X A

Pe fig. 3.5 arată punctele A, B, C, D, în care una dintre coordonate este aceeași, iar celelalte două sunt diferite.

Poziția lor relativă poate fi estimată prin distanța lor față de planurile de proiecție, după cum urmează:

Y A \u003d Y B \u003d Y D, atunci punctele A, B și D sunt echidistante de planul P 2, iar proiecțiile lor orizontale și de profil sunt situate, respectiv, pe liniile [A 1 B 1 ]llOX și [A 3 B 3 ]llOZ . Locul acestor puncte este un plan paralel cu П 2 ;

Z A \u003d Z B \u003d Z C, atunci punctele A, B și C sunt echidistante de planul P 1, iar proiecțiile lor frontale și de profil sunt situate, respectiv, pe liniile [A 2 B 2 ]llOX și [A 3 C 3 ]llOY . Locul acestor puncte este un plan paralel cu П 1 ;

X A \u003d X C \u003d X D, atunci punctele A, C și D sunt echidistante de planul P 3 și proiecțiile lor orizontale și frontale sunt situate, respectiv, pe liniile [A 1 C 1 ]llOY și [A 2 D 2 ]llOZ . Locul acestor puncte este un plan paralel cu П 3 .

3. Dacă punctele au două coordonate cu același nume, atunci ele sunt numite concurând. Punctele concurente sunt situate pe aceeași linie de proiectare. Pe fig. 3.3 sunt date trei perechi de astfel de puncte, în care: X A \u003d X D; Y A = Y D; Z D > Z A; X A = X C ; Z A = Z C ; Y C > Y A ; Y A = Y B ; Z A = Z B ; X B > X A .

Există puncte concurente pe orizontală A și D situate pe linia proeminentă orizontală AD, punctele concurente frontal A și C situate pe linia proeminentă frontală AC, punctele concurente de profil A și B situate pe linia proeminentă a profilului AB.

Concluzii asupra subiectului

1. Un punct este o imagine geometrică liniară, unul dintre conceptele de bază ale geometriei descriptive. Poziția unui punct în spațiu poate fi determinată de coordonatele sale. Fiecare dintre trei proiecții punctele sunt caracterizate prin două coordonate, numele lor corespunde denumirilor axelor care formează planul de proiecție corespunzător: orizontală - A 1 (XA; YA); frontală - A 2 (XA; ZA); profil - A 3 (YA; ZA). Translația coordonatelor între proiecții se realizează folosind linii de comunicare. Din două proiecții, puteți construi proiecții ale unui punct fie folosind coordonatele, fie grafic.

3. Un punct în raport cu planurile de proiecție poate ocupa atât o poziție generală, cât și una particulară în spațiu.

4. Un punct în poziție generală este un punct care nu aparține niciunui plan de proiecție, adică se află în spațiul dintre planurile de proiecție. Coordonatele unui punct în poziție generală nu sunt egale cu zero (x≠0,y≠0,z≠0).

5. Un punct de poziție privată este un punct aparținând unuia sau două planuri de proiecție. Una dintre coordonatele unui punct de o anumită poziție este egală cu zero, astfel încât proiecția punctului se află pe câmpul corespunzător al planului de proiecție, celelalte două - pe axele proiecțiilor.

6. Punctele concurente sunt puncte ale căror coordonate cu același nume sunt aceleași. Există puncte care concurează orizontal, puncte concurente frontal și puncte concurente de profil.

Cuvinte cheie

Coordonatele punctului

Punct general

Punct de poziție privat

Puncte concurente

Metode de activitate necesare pentru rezolvarea problemelor

– construirea unui punct după coordonatele date în sistemul de trei planuri de proiecție în spațiu;

– construirea unui punct după coordonatele date în sistemul de trei planuri de proiecţie pe desenul complex.

Întrebări pentru autoexaminare

1. Cum se stabilește legătura locației coordonatelor pe desenul complex în sistemul de trei planuri de proiecție P 1 P 2 P 3 cu coordonatele proiecțiilor punctelor?

2. Ce coordonate determină distanța punctelor față de planurile orizontale, frontale, de proiecție de profil?

3. Ce coordonate și proiecții ale punctului se vor schimba dacă punctul se mișcă în direcția perpendiculară pe planul de profil al proiecțiilor П 3 ?

4. Ce coordonate și proiecții ale unui punct se vor schimba dacă punctul se mișcă într-o direcție paralelă cu axa OZ?

5. Ce coordonate determină proiecția orizontală (frontală, de profil) a unui punct?

7. În ce caz proiecția unui punct coincide cu punctul însuși din spațiu și unde sunt situate celelalte două proiecții ale acestui punct?

8. Poate un punct să aparțină a trei planuri de proiecție în același timp și în ce caz?

9. Care sunt denumirile punctelor ale căror proiecții cu același nume coincid?

10. Cum puteți determina care dintre cele două puncte este mai aproape de observator dacă proiecțiile lor frontale coincid?

Sarcini pentru soluție independentă

1. Oferiți o imagine vizuală a punctelor A, B, C, D în raport cu planurile de proiecție P 1, P 2. Punctele sunt date de proiecțiile lor (Fig. 3.6).

2. Construiți proiecțiile punctelor A și B după coordonatele lor pe o imagine vizuală și un desen complex: A (13,5; 20), B (6,5; -20). Construiți o proiecție a punctului C, situată simetric față de punctul A față de planul frontal al proiecțiilor П 2 .

3. Construiți proiecțiile punctelor A, B, C după coordonatele lor pe o imagine vizuală și un desen complex: A (-20; 0; 0), B (-30; -20; 10), C (-10, -15, 0). Construiți punctul D, situat simetric față de punctul C față de axa OX.

Un exemplu de rezolvare a unei probleme tipice

Sarcina 1. Având în vedere coordonatele X, Y, Z ale punctelor A, B, C, D, E, F (Tabelul 3.3)

PROIECȚIA UNUI PUNCT PE DOUĂ PLANURI DE PROIECȚII

Formarea unui segment de dreaptă AA 1 poate fi reprezentată ca urmare a deplasării punctului A în orice plan H (Fig. 84, a), iar formarea unui plan poate fi reprezentată ca o deplasare a unui segment de dreaptă AB ( Fig. 84, b).

Un punct este elementul geometric principal al unei linii și al unei suprafețe, deci studiul proiecției dreptunghiulare a unui obiect începe cu construirea proiecțiilor dreptunghiulare ale unui punct.

În spațiul unghiului diedric format din două plane perpendiculare - planul frontal (vertical) al proiecțiilor V și planul orizontal al proiecțiilor H, plasăm punctul A (Fig. 85, a).

Linia de intersecție a planurilor de proiecție este o linie dreaptă, care se numește axa de proiecție și se notează cu litera x.

Planul V este prezentat aici ca dreptunghi, iar planul H ca paralelogram. Partea înclinată a acestui paralelogram este de obicei desenată la un unghi de 45° față de latura sa orizontală. Lungimea laturii înclinate este considerată egală cu 0,5 din lungimea sa reală.

Din punctul A se coboară perpendiculare pe planele V și H. Punctele a „și a ale intersecției perpendicularelor cu planele de proiecție V și H sunt proiecții dreptunghiulare ale punctului A. Figura Aaa x a” din spațiu este un dreptunghi. Axa laterală a acestui dreptunghi din imaginea vizuală este redusă de 2 ori.

Să aliniem planul H cu planul V rotind V în jurul liniei de intersecție a planurilor x. Rezultatul este un desen complex al punctului A (Fig. 85, b)

Pentru a simplifica desenul complex, limitele planurilor de proiecție V și H nu sunt indicate (Fig. 85, c).

Perpendicularele desenate din punctul A pe planurile de proiecție se numesc drepte de proiectare, iar bazele acestor drepte de proiectare - punctele a și a „se numesc proiecții ale punctului A: a” este proiecția frontală a punctului A, a este proiecția orizontală a punctul A.

Linia a „a se numește linia verticală a conexiunii de proiecție.

Locația proiecției unui punct pe un desen complex depinde de poziția acestui punct în spațiu.

Dacă punctul A se află pe planul de proiecție orizontal H (Fig. 86, a), atunci proiecția sa orizontală a coincide cu punctul dat, iar proiecția frontală a " este situată pe axă. Când punctul B este situat pe proiecția frontală planul V, proiecția sa frontală coincide cu acest punct, iar proiecția orizontală se află pe axa X. Proiecțiile orizontale și frontale punct dat C situat pe axa x coincide cu acest punct. Un desen complex al punctelor A, B și C este prezentat în fig. 86b.

PROIECȚIA UNUI PUNCT PE TREI PLANURI DE PROIECȚII

În cazurile în care este imposibil să ne imaginăm forma unui obiect din două proiecții, acesta este proiectat pe trei planuri de proiecție. În acest caz, se introduce planul de profil al proiecțiilor W, care este perpendicular pe planurile V și H. O reprezentare vizuală a sistemului de trei plane de proiecție este dată în fig. 87 a.

Muchiile unui unghi triedric (intersecția planurilor de proiecție) se numesc axe de proiecție și sunt notate cu x, y și z. Intersecția axelor de proiecție se numește începutul axelor de proiecție și se notează cu litera O. Să coborâm perpendiculara din punctul A la planul de proiecție W și, marcând baza perpendicularei cu litera a, vom obțineți proiecția de profil a punctului A.

Pentru a obține un desen complex, punctele A ale planurilor H și W sunt aliniate cu planul V, rotindu-le în jurul axelor Ox și Oz. Un desen complex al punctului A este prezentat în fig. 87b și c.

Segmentele dreptelor de proiectare de la punctul A la planurile de proiecție se numesc coordonatele punctului A și se notează: x A, y A și z A.

De exemplu, coordonata z A a punctului A, egală cu segmentul a "a x (Fig. 88, a și b), este distanța de la punctul A la planul orizontal de proiecție H. Coordonata din punctul A, egală cu segmentul aa x, este distanța de la punctul A la planul frontal al proiecțiilor V. Coordonata x A egală cu segmentul aa y este distanța de la punctul A la planul de profil al proiecțiilor W.

Astfel, distanța dintre proiecția unui punct și axa de proiecție determină coordonatele punctului și este cheia citirii desenului său complex. Prin două proiecții ale unui punct, toate cele trei coordonate ale unui punct pot fi determinate.

Dacă sunt date coordonatele punctului A (de exemplu, x A \u003d 20 mm, y A \u003d 22 mm și z A \u003d 25 mm), atunci pot fi construite trei proiecții ale acestui punct.

Pentru a face acest lucru, de la originea coordonatelor O în direcția axei Oz, se așează coordonata z A și se așează coordonata y A. segmente egale cu coordonata x A. Punctele rezultate a „și a sunt proiecțiile frontale și orizontale ale punctului A.

Conform a două proiecții a „și a unui punct A, proiecția sa de profil poate fi construită în trei moduri:

1) de la originea O se trasează un arc auxiliar cu raza Oa y egală cu coordonatele (Fig. 87, b și c), din punctul obținut a y1 se trasează o dreaptă paralelă cu axa Oz și se așează a segment egal cu z A;

2) din punctul a y se trasează o dreaptă auxiliară la un unghi de 45 ° față de axa Oy (Fig. 88, a), se obține un punct a y1 etc.;

3) de la originea O, trageți o dreaptă auxiliară la un unghi de 45 ° față de axa Oy (Fig. 88, b), obțineți un punct a y1 etc.

Aparat de proiectie

Aparatul de proiecție (Fig. 1) include trei planuri de proiecție:

π 1 - plan orizontal de proiecție;

π 2 - plan de proiecție frontală;

π 3– planul de profil al proiecțiilor .

Planurile de proiecție sunt reciproc perpendiculare ( π 1^ π 2^ π 3), iar liniile lor de intersecție formează axe:

Intersecția planului π 1și π 2 formează o axă 0X (π 1∩ π 2 = 0X);

Intersecția planului π 1și π 3 formează o axă 0Y (π 1∩ π 3 = 0Y);

Intersecția planului π 2și π 3 formează o axă 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).

Punctul de intersecție al axelor (ОХ∩OY∩OZ=0) este considerat a fi punctul de referință (punctul 0).

Deoarece planele și axele sunt reciproc perpendiculare, un astfel de aparat este similar cu sistemul de coordonate carteziene.

Planurile de proiecție împart întreg spațiul în opt octanți (în Fig. 1 sunt indicați cu cifre romane). Planurile de proiecție sunt considerate opace, iar privitorul este mereu în interior eu octanul.

Proiecție ortogonală cu centre de proiecție S1, S2și S3 respectiv pentru planurile de proiecție orizontală, frontală și de profil.

DAR.

De la centrele de proiecție S1, S2și S3 ies grinzi proeminente l 1, l 2și l 3 DAR

- A 1 DAR;

- A 2– proiecția frontală a punctului DAR;

- A 3– proiecția de profil a unui punct DAR.

Un punct din spațiu este caracterizat de coordonatele sale A(x,y,z). puncte A x, Ayși Az respectiv pe axe 0X, 0Yși 0Z arata coordonatele X yși z puncte DAR. Pe fig. 1 oferă toate denumirile necesare și arată relația dintre punct DAR spațiul, proiecțiile și coordonatele sale.

diagrama punctelor

Pentru a trasa un punct DAR(Fig. 2), în aparatul de proiecție (Fig. 1) planul π 1 A 1 0X π 2. Apoi avionul π 3 cu proiecție punctuală A 3, rotiți în sens invers acelor de ceasornic în jurul axei 0Z, până când coincide cu avionul π 2. Direcția de rotație a planurilor π 2și π 3 prezentată în fig. 1 săgeți. În același timp, direct A 1 A xși A 2 A x 0X perpendicular A 1 A 2, și linii drepte A 2 A xși A 3 A x vor fi situate în comun cu axa 0Z perpendicular A 2 A 3. Aceste linii vor fi denumite ca vertical și orizontală linii de conectare.

Trebuie remarcat faptul că în timpul trecerii de la aparatul de proiecție la diagramă, obiectul proiectat dispare, dar toate informațiile despre forma sa, dimensiunile geometrice și poziția sa în spațiu sunt păstrate.

DAR(x A , y A , z Ax A, y Ași zAîn următoarea secvență (Fig. 2). Această secvență se numește tehnica de reprezentare a punctelor.

1. Axele sunt desenate ortogonal BOU, OYși oz.

2. Pe axă BOU x A puncte DARși obțineți poziția punctului A x.

3. Prin punct A x perpendicular pe ax BOU

A xîn direcția axei OY valoarea numerică a coordonatei este amânată y A puncte DAR A 1 pe complot.

A xîn direcția axei oz valoarea numerică a coordonatei este amânată zA puncte DAR A 2 pe complot.

6. Prin punct A 2 paralel cu axa BOU se trasează o linie orizontală. Intersecția acestei linii și axa oz va da poziția punctului A z.

7. Pe o linie orizontală din punct A zîn direcția axei OY valoarea numerică a coordonatei este amânată y A puncte DAR iar poziţia proiecţiei de profil a punctului este determinată A 3 pe complot.

Caracteristica punctului

Toate punctele spațiului sunt subdivizate în puncte de poziții private și generale.

Puncte de poziție private. Punctele aparținând aparatului de proiecție sunt numite puncte de poziție particulară. Acestea includ punctele aparținând planurilor de proiecție, axelor, originii și centrelor de proiecție. Trăsăturile caracteristice ale punctelor de poziție privată sunt:

Metamatematice - una, două sau toate valorile numerice ale coordonatelor sunt egale cu zero și (sau) infinit;

Pe diagramă - două sau toate proiecțiile unui punct sunt situate pe axe și (sau) sunt situate la infinit.

Puncte în poziție generală. Punctele în poziție generală includ puncte care nu aparțin aparatului de proiecție. De exemplu, punct DARîn fig. 1 și 2.

În cazul general, valorile numerice ale coordonatelor unui punct caracterizează distanța acestuia față de planul de proiecție: coordonata X din avion π 3; coordona y din avion π 2; coordona z din avion π 1. Trebuie remarcat faptul că semnele de la valorile numerice ale coordonatelor indică direcția de îndepărtare a punctului din planurile de proiecție. În funcție de combinația de semne pentru valorile numerice ale coordonatelor punctului, depinde în ce octan se află.

Metoda cu două imagini

În practică, pe lângă metoda de proiecție completă, se folosește metoda cu două imagini. Diferă prin faptul că a treia proiecție a obiectului este exclusă în această metodă. Pentru a obține un aparat de proiecție pentru metoda cu două imagini, planul de proiecție a profilului cu centrul său de proiecție este exclus din aparatul de proiecție complet (Fig. 3). În plus, pe axă 0X originea este atribuită (punctul 0 ) și de la acesta perpendicular pe ax 0Xîn planuri de proiecţie π 1și π 2 cheltuiește axa 0Yși 0Z respectiv.

În acest aparat, întregul spațiu este împărțit în patru cadrane. Pe fig. 3 sunt marcate cu cifre romane.

Planurile de proiecție sunt considerate opace, iar privitorul este mereu în interior eu cadranul.

Luați în considerare funcționarea dispozitivului folosind exemplul proiectării unui punct DAR.

De la centrele de proiecție S1și S2 ies grinzi proeminente l 1și l 2. Aceste raze trec prin punct DARși care se intersectează cu planurile de proiecție formează proiecțiile sale:

- A 1- proiecția orizontală a unui punct DAR;

- A 2– proiecția frontală a punctului DAR.

Pentru a trasa un punct DAR(Fig. 4), în aparatul de proiecție (Fig. 3) planul π 1 cu proiecția punctului rezultat A 1 rotiți în sensul acelor de ceasornic în jurul unei axe 0X, până când coincide cu avionul π 2. Direcția de rotație a planului π 1 prezentată în fig. 3 săgeți. Totodata, pe diagrama punctului obtinut prin metoda doua imagini ramane un singur punct. vertical linie de comunicare A 1 A 2.

În practică, trasarea unui punct DAR(x A , y A , z A) se efectuează în funcție de valorile numerice ale coordonatelor sale x A, y Ași zAîn următoarea secvență (Fig. 4).

1. Se trasează o axă BOUși originea este atribuită (punctul 0 ).

2. Pe axă BOU valoarea numerică a coordonatei este amânată x A puncte DARși obțineți poziția punctului A x.

3. Prin punct A x perpendicular pe ax BOU se trasează o linie verticală.

4. Pe linia verticală din punct A xîn direcția axei OY valoarea numerică a coordonatei este amânată y A puncte DAR iar poziţia proiecţiei orizontale a punctului este determinată A 1 OY nu este reprezentat grafic, dar se presupune că valorile sale pozitive sunt sub axă BOU, în timp ce cele negative sunt mai mari.

5. Pe linia verticală din punct A xîn direcția axei oz valoarea numerică a coordonatei este amânată zA puncte DAR iar poziţia proiecţiei frontale a punctului este determinată A 2 pe complot. Trebuie remarcat faptul că pe diagramă axa oz nu este desenat, dar se presupune că valorile sale pozitive sunt situate deasupra axei BOU, în timp ce cele negative sunt mai mici.

Puncte concurente

Punctele de pe aceeași rază proiectantă se numesc puncte concurente. Au o proiecție comună în direcția fasciculului proeminent, adică. proiecțiile lor coincid identic. trăsătură caracteristică punctele concurente de pe diagramă este coincidența identică a proiecțiilor lor cu același nume. Competiția constă în vizibilitatea acestor proiecții în raport cu observatorul. Cu alte cuvinte, în spațiu pentru observator, unul dintre puncte este vizibil, celălalt nu. Și, în consecință, în desen: una dintre proiecțiile punctelor concurente este vizibilă, iar proiecția celuilalt punct este invizibilă.

Pe un model de proiecție spațială (Fig. 5) din două puncte concurente DARși LA punct vizibil DAR pe două temeiuri complementare reciproc. Conform lanțului S 1 → A → B punct DAR mai aproape de observator decât de un punct LA. Și, în consecință, mai departe de planul de proiecție π 1(acestea. zA > zA).

Orez. 5 Fig.6

Dacă punctul în sine este vizibil A, atunci proiecția sa este și ea vizibilă A 1. În raport cu proiecţia care coincide cu aceasta B1. Pentru claritate și, dacă este necesar, pe diagramă, proiecțiile invizibile ale punctelor sunt de obicei incluse între paranteze.

Eliminați punctele de pe model DARși LA. Proiecțiile lor coincidente pe avion vor rămâne π 1și proiecții separate - pe π 2. Lăsăm condiționat proiecția frontală a observatorului (⇩), situată în centrul proiecției S1. Apoi de-a lungul lanțului de imagini ⇩ → A2 → B2 se va putea judeca asta zA > z Bși că punctul în sine este vizibil DARși proiecția acesteia A 1.

În mod similar, luați în considerare punctele concurente Cuși D aparent relativ la planul π 2 . Deoarece fasciculul proeminent comun al acestor puncte l 2 paralel cu axa 0Y, apoi semnul vizibilității punctelor concurente Cuși D este determinată de inegalitate yC > yD. Prin urmare, punctul Dînchis cu un punct Cuși, în consecință, proiecția punctului D2 va fi acoperit de proiecția punctului De la 2 la suprafata π 2.

Să luăm în considerare modul în care vizibilitatea punctelor concurente este determinată într-un desen complex (Fig. 6).

Conform proiecțiilor de potrivire A 1≡ÎN 1 punctele în sine DARși LA sunt pe același fascicul proeminent paralel cu axa 0Z. Deci coordonatele trebuie comparate zAși z B aceste puncte. Pentru a face acest lucru, folosim planul de proiecție frontală cu imagini punctuale separate. În acest caz zA > z B. De aici rezultă că proiecția este vizibilă A 1.

puncte Cși Dîn desenul complex luat în considerare (Fig. 6) sunt de asemenea pe același fascicul proeminent, dar numai paralel cu axa 0Y. Prin urmare, dintr-o comparație yC > yD concluzionăm că proiecţia C 2 este vizibilă.

Regula generala . Vizibilitatea pentru proiecțiile coincidente ale punctelor concurente este determinată prin compararea coordonatelor acestor puncte în direcția unui fascicul proiectat comun. Vizibilă este proiecția punctului pentru care această coordonată este mai mare. În acest caz, compararea coordonatelor se realizează pe planul proiecțiilor cu imagini separate ale punctelor.

proiecție(lat. Projicio - arunc înainte) - procesul de obținere a unei imagini a unui obiect (obiect spațial) pe orice suprafață folosind raze luminoase sau vizuale (raze care leagă condiționat ochiul observatorului cu orice punct al unui obiect spațial), care sunt numită proiectare.

Există două metode de proiecție: centralși paralel .

Centralproiecție este să treci prin fiecare punct ( A, B, C,…) a obiectului reprezentat și într-un anumit fel selectat centru de proiecție (S) linie dreapta ( SA, SB, >… — fascicul proiectant).

Figura 1.1 - Proiecție centrală

Să introducem următoarea notație (Figura 1.1):

S– centrul de proiecție (ochiul observatorului);

π 1 - plan de proiecție;

A, B, C

SA, SB- proiectarea liniilor drepte (proiectarea razelor).

Notă: butonul stâng al mouse-ului poate muta punctul în plan orizontal, când dați clic pe punctul cu butonul stâng al mouse-ului, direcția de mișcare se va schimba și îl puteți muta pe verticală.

Punct central de proiecție se numește punctul de intersecție a dreptei de proiectare care trece prin centrul de proiecție și obiectul (punctul) de proiecție cu planul de proiecție.

Proprietatea 1 . Fiecare punct din spațiu corespunde unei singure proiecții, dar fiecărui punct din planul de proiecție îi corespunde un set de puncte din spațiu care se află pe linia de proiecție.

Să demonstrăm această afirmație.

Figura 1.1: punct DAR 1 este proiecția centrală a punctului A pe planul proiecțiilor π 1 . Dar toate punctele situate pe linia de proiectare pot avea aceeași proiecție. Preluați linia de proiectare SA punct Cu. Punct central de proiecție Cu(Cu 1) pe planul proiecțiilor π 1 coincide cu proiecția punctului DAR(DAR 1):

1. Cu∈ SA;
2. SC∩ π 1 = C 1 →C 1 ≡ A 1 .

Concluzia rezultă că prin proiecția unui punct este imposibil să se judece fără ambiguitate poziția acestuia în spațiu.

Pentru a elimina această incertitudine, de ex. face un desen reversibil, introducem încă un plan de proiecție (π 2) și încă un centru de proiecție ( S 2) (Figura 1.2).

Figura 1.2 - Ilustrarea primei și a doua proprietăți

Să construim proiecții ale unui punct DAR pe planul proiecţiilor π 2 . Din toate punctele din spațiu, doar un punct DAR are proiecțiile sale DAR 1 la planul π 1 și DAR 2 la π 2 în același timp. Toate celelalte puncte situate pe razele proiectante vor avea cel puțin o proiecție diferită de proiecțiile punctului DAR(de exemplu, punct LA).

Proprietatea 2 . Proiecția unei linii drepte este o linie dreaptă.

Să demonstrăm această proprietate.

Uneste punctele DARși LAîntre ele (Figura 1.2). Primim un segment AB definirea unei linii drepte. triunghi SAB definește un plan, notat cu σ. Se știe că două plane se intersectează în linie dreaptă: σ∩π 1 = DAR 1 LA 1, unde DAR 1 LA 1 - proiecția centrală a unei drepte dată de un segment AB.

Metoda de proiecție centrală este un model de percepție a imaginii de către ochi, este utilizată în principal atunci când se realizează imagini în perspectivă ale obiectelor clădirii, interioarelor, precum și în tehnologia filmului și optică. Metoda proiecției centrale nu rezolvă sarcina principală cu care se confruntă inginerul - să reflecte cu exactitate forma, dimensiunile obiectului, raportul dintre dimensiunile diferitelor elemente.

1.2. Proiecție paralelă

Luați în considerare metoda proiecției paralele. Vom impune trei restricții care ne vor permite, deși în detrimentul vizibilității imaginii, să obținem un desen mai convenabil pentru utilizarea în practică:

1. Să ștergem ambele centre de proiecție la infinit. Astfel, ne vom asigura că razele proeminente din fiecare centru devin paralele și, prin urmare, raportul dintre lungimea adevărată a oricărui segment de linie și lungimea proiecției acestuia va depinde doar de unghiul de înclinare al acestui segment față de planurile de proiecție. și nu depind de poziția centrului de proiecție;
2. Să fixăm direcția de proiecție în raport cu planurile de proiecție;
3. Să aranjam planurile de proiecție perpendicular unul pe celălalt, ceea ce va face ușoară trecerea de la imaginea de pe planurile de proiecție la obiectul real din spațiu.

Astfel, după ce am impus aceste restricții asupra metodei de proiecție centrală, am ajuns la cazul ei special - metoda proiecției paralele(Figura 1.3) Proiecție, în care razele proiectante care trec prin fiecare punct al obiectului sunt paralele cu direcția de proiecție selectată P, se numește paralel .

Figura 1.3 - Metoda proiecției paralele

Să introducem notația:

R– direcția de proiecție;

π 1 - plan orizontal al proiecțiilor;

A,B– obiecte de proiecție – puncte;

DAR 1 și LA 1 - proiecții de puncte DARși LA pe planul de proiecție π 1 .

Proiecția punctului paralel este punctul de intersecție al dreptei de proiectare paralel cu direcția dată de proiecție R, cu planul de proiecție π 1 .

Treceți prin puncte DARși LA proiectarea grinzilor paralele cu o direcție dată de proiecție R. Raza proiectantă care trece printr-un punct DAR intersectează planul de proiecție π 1 în punctul DAR unu . În mod similar, o rază proiectată printr-un punct LA intersectează planul de proiecție într-un punct LA unu . Prin conectarea punctelor DAR 1 și LA 1 , obținem un segment DAR 1 LA 1 este proiecția segmentului AB pe planul π 1 .

1.3. Proiecție ortografică. Metoda Monge

Dacă direcţia de proiecţie R perpendicular pe planul proiecțiilor p 1 , atunci proiecția se numește dreptunghiular (Figura 1.4) sau ortogonală (gr. orthos- Drept, gonia- unghi) dacă R nu perpendicular pe π 1, atunci proiecția se numește oblic .

patrulater AA 1 LA 1 LA definește planul γ, care se numește plan proiectant, deoarece este perpendicular pe planul π 1 (γ⊥π 1). În cele ce urmează, vom folosi doar proiecția dreptunghiulară.

Figura 1.4 - Proiecție ortografică Figura 1.5 - Monge, Gaspard (1746-1818)

Omul de știință francez Gaspard Monge este considerat fondatorul proiecției ortogonale (Figura 1.5).

Înainte de Monge, constructorii, artiștii și oamenii de știință dețineau informații destul de semnificative despre metodele de proiecție, și totuși doar Gaspard Monge este creatorul geometriei descriptive ca știință.

Gaspard Monge s-a născut la 9 mai 1746 în orășelul Beaune (Burgundia) din estul Franței, în familia unui negustor local. A fost cel mai mare dintre cinci copii, pentru care tatăl său, în ciuda originii scăzute și a sărăciei relative a familiei, a încercat să ofere cel mai mult educație mai bună de disponibil la acel moment pentru oamenii din clasa umilă. Al doilea fiu al său, Louis, a devenit profesor de matematică și astronomie, cel mai mic, Jean, tot profesor de matematică, hidrografie și navigație. Gaspard Monge și-a făcut studiile inițiale la școala orășenească a ordinului Oratorie. După ce a absolvit în 1762 ca cel mai bun student, a intrat în colegiul din Lyon, deținut tot de oratorieni. Curând, lui Gaspard i s-a încredințat predarea fizicii acolo. În vara anului 1764, Monge a întocmit un plan al orașului său natal Beaune, remarcabil de exact. Metodele și instrumentele necesare pentru măsurarea unghiurilor și trasarea liniilor au fost inventate chiar de compilator.

În timp ce studia la Lyon, a primit o ofertă de a se alătura ordinului și de a rămâne profesor de facultate, însă, în schimb, după ce a dat dovadă de mari abilități în matematică, desen și desen, a reușit să intre la Școala de Ingineri Militari Mézieres, dar (din cauza originii). ) numai ca subofițer auxiliar subofițer departament și fără salariu. Cu toate acestea, succesul în științele exacte și o soluție originală la una dintre problemele importante ale fortificației (așezarea fortificațiilor în funcție de locația artileriei inamice) i-au permis în 1769 să devină asistent (asistent didactic) la matematică, iar apoi în fizică și deja cu un salariu decent de 1800 de livre pe an.

În 1770, la vârsta de 24 de ani, Monge a deținut funcția de profesor în același timp în două catedre - matematică și fizică și, în plus, conduce cursuri de tăiere a pietrelor. Începând cu sarcina de a tăia cu precizie pietrele după schițe date în legătură cu arhitectura și fortificația, Monge a ajuns la crearea unor metode pe care le-a generalizat ulterior în noua stiinta- geometria descriptivă, al cărei creator este considerat pe drept. Având în vedere posibilitatea utilizării metodelor geometriei descriptive în scopuri militare în construcția de fortificații, conducerea școlii Mézières nu a permis publicarea deschisă până în 1799, cartea a fost publicată sub titlul geometrie descriptivă (Geometrie descriptivă) (o consemnare textuală a acestor prelegeri a fost făcută în 1795). Abordarea de a preda cursuri despre această știință și de a efectua exercițiile descrise în ea a supraviețuit până în zilele noastre. O altă lucrare semnificativă a lui Monge - Aplicarea analizei la geometrie (L'application de l'analyse à la geometrie, 1795) - este un manual de geometrie analitică, în care se pune un accent deosebit pe relațiile diferențiale.

În 1780 a fost ales membru al Academiei de Științe din Paris, în 1794 a devenit director al Școlii Politehnice. Timp de opt luni a servit ca ministru al mării în guvernul lui Napoleon, a fost responsabil cu fabricile de praf de pușcă și tunuri ale republicii și l-a însoțit pe Napoleon în expediția sa în Egipt (1798–1801). Napoleon i-a acordat titlul de conte, l-a onorat cu multe alte distincții.

Metoda de reprezentare a obiectelor conform lui Monge constă din două puncte principale:

1. Poziția unui obiect geometric în spațiu, în acest exemplu un punct DAR, este considerat relativ la două plane reciproc perpendiculare π 1 și π 2(Figura 1.6).

Ele împart în mod condiționat spațiul în patru cadrane. Punct DAR situat în primul cadran. Sistemul de coordonate carteziene a servit drept bază pentru proiecțiile Monge. Monge a înlocuit conceptul de axe de proiecție cu linia de intersecție a planurilor de proiecție (axe de coordonate) și a propus să combine planurile de coordonate într-unul singur prin rotirea lor în jurul axelor de coordonate.

Figura 1.6 - Model pentru construirea proiecțiilor punctuale

π 1 - plan de proiecție orizontal (primul).

π 2 - planul de proiecție frontal (al doilea).

π 1 ∩ π 2 este axa proiecțiilor (notăm π 2 / π 1)

Luați în considerare un exemplu de proiectare a unui punct DAR pe două plane de proiecție reciproc perpendiculare π 1 și π 2 .

Aruncă din punct DAR perpendiculare (razele proiectante) pe planele π 1 si π 2 si marcheaza bazele acestora, adica punctele de intersectie a acestor perpendiculare (razele proiectante) cu planurile de proiectie. DAR 1 - proiecția orizontală (prima) a punctului DAR;DAR 2 - proiecția frontală (a doua) a punctului DAR;AA 1 și AA 2 - linii proeminente. Săgețile arată direcția de proiecție pe planul proiecțiilor π 1 și π 2 . Un astfel de sistem vă permite să determinați în mod unic poziția unui punct în raport cu planurile de proiecție π 1 și π 2:

AA 1 ⊥π 1

DAR 2 DAR 0 ⊥π 2 /π 1 AA 1 = DAR 2 DAR 0 - distanța de la punctul A la planul π 1

AA 2 ⊥π 2

DAR 1 DAR 0 ⊥π 2 /π 1 AA 2 \u003d A 1 A 0 - distanța de la punctul A la planul π 2

2. Să combinăm rotația în jurul axei proiecțiilor π 2 / π 1 a planului de proiecție într-un singur plan(π 1 cu π 2), dar pentru ca imaginile să nu se suprapună, (în direcția α, Figura 1.6), obținem o imagine numită desen dreptunghiular (Figura 1.7):

Figura 1.7 - Desen ortogonal

Se numește dreptunghiular sau ortogonal Diagrama Monge .

Drept DAR 2 DAR am sunat link de proiecție , care conectează proiecțiile opuse ale punctului ( DAR 2 - frontală și DAR 1 - orizontal) este întotdeauna perpendicular pe axa de proiecție (axa de coordonate) DAR 2 DAR 1 ⊥π 2 /π 1 . Pe diagramă, segmentele indicate prin paranteze sunt:

• DAR 0 DAR 1 - distanta fata de punct DAR la planul π 2 corespunzător coordonatei y A;
• DAR 0 DAR 2 - distanta fata de punct DAR la planul π 1 corespunzător coordonatei z A.

1.4. Proiecții punctuale dreptunghiulare. Proprietățile desenului ortografic

1. Două proiecții dreptunghiulare ale unui punct se află pe aceeași linie de conexiune de proiecție perpendiculară pe axa de proiecție.

2. Două proiecții dreptunghiulare ale unui punct determină în mod unic poziția acestuia în spațiu față de planurile de proiecție.

Să verificăm validitatea ultimei afirmații, pentru care întoarcem planul π 1 în poziția inițială (când π 1 ⊥ π 2). Pentru a construi un punct DAR necesare din puncte DAR 1 și DAR 2 pentru a restabili razele proeminente, și de fapt - perpendicularele pe planele π 1 și, respectiv, π 2 . Punctul de intersecție al acestor perpendiculare fixează punctul dorit în spațiu DAR. Luați în considerare un desen ortogonal al unui punct DAR(Figura 1.8).

Figura 1.8 - Trasarea unui punct

Să introducem al treilea plan (de profil) al proiecțiilor π 3 perpendicular pe π 1 și π 2 (dată de axa proiecțiilor π 2 /π 3).

Distanța de la proiecția de profil a unui punct la axa verticală a proiecțiilor DAR‘ 0 A 3 vă permite să determinați distanța de la punct DAR la planul de proiecţie frontală π 2 . Se știe că poziția unui punct în spațiu poate fi fixată în raport cu sistemul de coordonate carteziene folosind trei numere (coordonate) A(X A ; Y A ; Z A) sau relativ la planurile de proiecție folosind cele două proiecții ortogonale ale sale ( A 1 =(X A ; Y A); A 2 =(X A ; Z A)). Pe un desen ortogonal, folosind două proiecții ale unui punct, puteți determina cele trei coordonate ale acestuia și, invers, folosind trei coordonate ale unui punct, puteți construi proiecțiile acestuia (Figura 1.9, a și b).

Figura 1.9 - Trasarea unui punct în funcție de coordonatele acestuia

După locația pe diagrama de proiecție a unui punct, se poate aprecia locația acestuia în spațiu:

• DAR — DAR 1 se află sub axa de coordonate X, și față DAR 2 - deasupra axei X, atunci putem spune că ideea DAR aparține cadranului 1;
• dacă pe parcelă proiecția orizontală a punctului DAR — DAR 1 se află deasupra axei de coordonate X, și partea din față DAR 2 - sub ax X, apoi punctul DAR aparține cadranului 3;
• DAR — DAR 1 și DAR 2 se află deasupra axei X, apoi punctul DAR aparține cadranului 2;
• dacă pe diagramă există proiecţii orizontale şi frontale ale punctului DAR — DAR 1 și DAR 2 se află sub ax X, apoi punctul DAR aparține cadranului 4;
• dacă pe diagramă proiecția unui punct coincide cu punctul însuși, atunci înseamnă că punctul aparține planului proiecțiilor;
• se numeşte un punct aparţinând planului de proiecţie sau axei de proiecţie (axe de coordonate). punct privat.

Pentru a determina în ce cadran de spațiu se află un punct, este suficient să determinați semnul coordonatelor punctului.

Dependențe ale cadranului de poziție a punctului și semnele coordonatelor

	X	Y	Z
eu	+	+	+
II	+	—	+
III	+	—	—
IV	+	+	—

Un exercitiu

Construi proiecții ortogonale puncte cu coordonate DAR(60, 20, 40) și determinați în ce cadran se află punctul.

Soluția problemei: de-a lungul axei BOU pune deoparte valoarea coordonatei XA=60, apoi prin acest punct de pe axă BOU restabiliți linia de conectare de proiecție perpendiculară pe BOU, de-a lungul căruia să lași deoparte valoarea coordonatei ZA=40, și în jos - valoarea coordonatei YA=20(Figura 1.10). Toate coordonatele sunt pozitive, ceea ce înseamnă că punctul este situat în cadranul I.

Figura 1.10 - Rezolvarea problemei

1.5. Sarcini pentru soluție independentă

1. Pe baza diagramei, determinați poziția punctului față de planurile de proiecție (Figura 1.11).

Figura 1.11

2. Completați proiecțiile ortogonale lipsă ale punctelor DAR, LA, Cu pe planul de proiecție π 1 , π 2 , π 3 (Figura 1.12).

Figura 1.12

3. Construiți proiecții punctuale:

• E, punct simetric DAR relativ la planul de proiecţie π 1 ;
• F, punct simetric LA relativ la planul proiecţiilor π 2 ;
• G, punct simetric Cu relativ la axa de proiecţie π 2 /π 1 ;
• H, punct simetric D raportat la planul bisectorial al celui de-al doilea și al patrulea cadran.

4. Construiți proiecții ortogonale ale punctului La, situat în al doilea cadran și îndepărtat de planurile de proiecție π 1 cu 40 mm, de la π 2 - cu 15 mm.

În acest articol, vom găsi răspunsuri la întrebări despre cum să creați o proiecție a unui punct pe un plan și cum să determinați coordonatele acestei proiecții. În partea teoretică ne vom baza pe conceptul de proiecție. Vom da definiții termenilor, vom însoți informațiile cu ilustrații. Să consolidăm cunoștințele dobândite prin rezolvarea de exemple.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Proiecție, tipuri de proiecție

Pentru comoditatea luării în considerare a figurilor spațiale, sunt utilizate desene care ilustrează aceste figuri.

Definiția 1

Proiectia unei figuri pe un plan- un desen al unei figuri spațiale.

Evident, există o serie de reguli folosite pentru a construi o proiecție.

Definiția 2

proiecție- procesul de construire a unui desen al unei figuri spațiale pe un plan folosind reguli de construcție.

Planul de proiecție este planul în care este construită imaginea.

Utilizarea anumitor reguli determină tipul de proiecție: central sau paralel.

Un caz special de proiecție paralelă este proiecția perpendiculară sau proiecția ortogonală: în geometrie, este utilizat în principal. Din acest motiv, adjectivul „perpendicular” în sine este adesea omis în vorbire: în geometrie ei spun pur și simplu „proiectarea unei figuri” și înseamnă prin aceasta construcția unei proiecții prin metoda proiecției perpendiculare. În cazuri speciale, desigur, se poate prevedea altfel.

Remarcăm faptul că proiecția unei figuri pe un plan este, de fapt, proiecția tuturor punctelor acestei figuri. Prin urmare, pentru a putea studia o figură spațială într-un desen, este necesar să dobândești abilitățile de bază de a proiecta un punct pe un plan. Despre ce vom vorbi mai jos.

Amintiți-vă că cel mai adesea în geometrie, vorbind despre proiecția pe un plan, înseamnă utilizarea proiecției perpendiculare.

Vom realiza construcții care ne vor permite să obținem definiția proiecției unui punct pe un plan.

Să presupunem că este dat un spațiu tridimensional, iar în el - un plan α și un punct M 1 care nu aparține planului α. Desenați o dreaptă printr-un punct dat M 1 A perpendicular avion datα . Punctul de intersecție al dreptei a și planul α va fi notat cu H 1 , prin construcție va servi drept bază a perpendicularei coborâte din punctul M 1 în planul α .

Dacă este dat un punct M2, aparținând unui plan dat α, atunci M2 va servi ca proiecție a lui însuși pe planul α.

Definiția 3

este fie punctul însuși (dacă aparține unui plan dat), fie baza perpendicularei coborâtă dintr-un punct dat într-un plan dat.

Găsirea coordonatelor proiecției unui punct pe un plan, exemple

Fie în spațiu tridimensional dat: sistemul de coordonate dreptunghiular O x y z, planul α, punctul M 1 (x 1, y 1, z 1) . Este necesar să se găsească coordonatele proiecției punctului M 1 pe un plan dat.

Soluția rezultă în mod evident din definiția de mai sus a proiecției unui punct pe un plan.

Notăm proiecția punctului M 1 pe planul α ca H 1 . Conform definiției, H 1 este punctul de intersecție al planului dat α și dreapta a prin punctul M 1 ( perpendicular pe plan). Acestea. coordonatele proiecției punctului M 1 de care avem nevoie sunt coordonatele punctului de intersecție al dreptei a și planului α.

Astfel, pentru a găsi coordonatele proiecției unui punct pe un plan, este necesar:

Obțineți ecuația planului α (în cazul în care nu este setat). Un articol despre tipurile de ecuații plane vă va ajuta aici;

Determinați ecuația unei drepte care trece prin punctul M 1 și perpendiculară pe planul α (studiați subiectul ecuației unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un plan dat);

Aflați coordonatele punctului de intersecție al dreptei a și ale planului α (articol - aflarea coordonatelor punctului de intersecție al planului și al dreptei). Datele obținute vor fi coordonatele proiecției punctului M 1 pe planul α de care avem nevoie.

Să luăm în considerare teoria exemplelor practice.

Exemplul 1

Determinați coordonatele proiecției punctului M 1 (- 2, 4, 4) pe planul 2 x - 3 y + z - 2 \u003d 0.

Decizie

După cum putem vedea, ne este dată ecuația planului, i.e. nu este nevoie să-l compune.

Sa scriem ecuatiile canonice ale dreptei a care trece prin punctul M 1 si perpendiculara pe planul dat. În aceste scopuri, determinăm coordonatele vectorului de direcție al dreptei a. Deoarece linia a este perpendiculară pe planul dat, atunci vectorul de direcție al dreptei a este vectorul normal al planului 2 x - 3 y + z - 2 = 0. Prin urmare, a → = (2 , - 3 , 1) – vector de direcție al dreptei a .

Acum compunem ecuațiile canonice ale unei drepte în spațiu care trece prin punctul M 1 (- 2, 4, 4) și având un vector de direcție a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Pentru a găsi coordonatele dorite, următorul pas este să determinați coordonatele punctului de intersecție al dreptei x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 și ale planului 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . În acest scop, trecem de la ecuațiile canonice la ecuațiile a două plane care se intersectează:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 (x + 2) = 2 (y - 4) 1 (x + 2) = 2 (z - 4) 1 ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Să facem un sistem de ecuații:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

Și rezolvați-l folosind metoda lui Cramer:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ = - z 140 - 28 = 5

Astfel, coordonatele dorite ale unui punct dat M 1 pe un plan dat α vor fi: (0, 1, 5) .

Răspuns: (0 , 1 , 5) .

Exemplul 2

Punctele А (0 , 0 , 2) sunt date într-un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z al spațiului tridimensional; În (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) şi M1 (-1, -2, 5). Este necesar să se găsească coordonatele proiecției M 1 pe planul A B C

Decizie

În primul rând, scriem ecuația unui plan care trece prin trei puncte date:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6y + 6z - 12 = 0 ⇔ x - 2y + 2z - 4 = 0

Să scriem ecuațiile parametrice ale dreptei a, care va trece prin punctul M 1 perpendicular pe planul A B C. Planul x - 2 y + 2 z - 4 \u003d 0 are un vector normal cu coordonatele (1, - 2, 2), adică vector a → = (1 , - 2 , 2) – vectorul de direcție al dreptei a .

Acum, având coordonatele punctului dreptei M 1 și coordonatele vectorului de direcție al acestei drepte, scriem ecuațiile parametrice ale dreptei în spațiu:

Apoi determinăm coordonatele punctului de intersecție al planului x - 2 y + 2 z - 4 = 0 și dreapta

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

Pentru a face acest lucru, înlocuim în ecuația planului:

x = - 1 + λ , y = - 2 - 2 λ , z = 5 + 2 λ

Acum, folosind ecuațiile parametrice x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ, găsim valorile variabilelor x, y și z la λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 (- 1) z = 5 + 2 (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Astfel, proiecția punctului M 1 pe planul A B C va avea coordonatele (- 2, 0, 3) .

Răspuns: (- 2 , 0 , 3) .

Să ne oprim separat la problema găsirii coordonatelor proiecției unui punct pe planurile de coordonate și planurile care sunt paralele cu planurile de coordonate.

Să fie date punctele M 1 (x 1, y 1, z 1) și planele de coordonate O x y , O x z și O y z. Coordonatele de proiecție ale acestui punct pe aceste plane vor fi respectiv: (x 1 , y 1 , 0) , (x 1 , 0 , z 1) și (0 , y 1 , z 1) . Luați în considerare și planurile paralele cu planurile de coordonate date:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

Iar proiecțiile punctului dat M 1 pe aceste plane vor fi puncte cu coordonatele x 1 , y 1 , - D C , x 1 , - D B , z 1 și - D A , y 1 , z 1 .

Să demonstrăm cum a fost obținut acest rezultat.

Ca exemplu, să definim proiecția punctului M 1 (x 1, y 1, z 1) pe planul A x + D = 0. Restul cazurilor sunt similare.

Planul dat este paralel cu planul de coordonate O y z și i → = (1 , 0 , 0) este vectorul său normal. Același vector servește ca vector de direcție al dreptei perpendiculare pe planul O y z . Atunci ecuațiile parametrice ale unei drepte trasate prin punctul M 1 și perpendiculare pe un plan dat vor arăta astfel:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Aflați coordonatele punctului de intersecție a acestei drepte și a planului dat. Mai întâi înlocuim în ecuație A x + D = 0 egalități: x = x 1 + λ, y = y 1, z = z 1 și obținem: A (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x unul

Apoi calculăm coordonatele dorite folosind ecuațiile parametrice ale dreptei pentru λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Adică, proiecția punctului M 1 (x 1, y 1, z 1) pe plan va fi un punct cu coordonatele - D A , y 1 , z 1 .

Exemplul 2

Este necesar să se determine coordonatele proiecției punctului M 1 (- 6 , 0 , 1 2) pe plan de coordonate O x y și pe planul 2 y - 3 = 0 .

Decizie

Planului de coordonate O x y va corespunde unui incomplet ecuație generală planul z = 0 . Proiecția punctului M 1 pe planul z \u003d 0 va avea coordonate (- 6, 0, 0) .

Ecuația plană 2 y - 3 = 0 poate fi scrisă ca y = 3 2 2 . Acum doar scrieți coordonatele proiecției punctului M 1 (- 6 , 0 , 1 2) pe planul y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Răspuns:(- 6 , 0 , 0) și - 6 , 3 2 2 , 1 2

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter