Proiecția punctului. Proiectii ale unui punct pe trei planuri de proiectie Construirea unei imagini a unui punct pe un plan se numeste proiectie
Pentru a construi imagini cu un număr de detalii, este necesar să puteți găsi proiecțiile punctelor individuale. De exemplu, este dificil să se deseneze o vedere de sus a piesei prezentate în Fig. 139 fără a construi proiecții orizontale ale punctelor A, B, C, D, E, F etc.
Problema găsirii proiecțiilor punctelor de către unul dat pe suprafața obiectului se rezolvă astfel. În primul rând, se găsesc proiecțiile suprafeței pe care se află punctul. Apoi, trasând o linie de legătură la proiecție, unde suprafața este reprezentată printr-o linie, se găsește a doua proiecție a punctului. A treia proiecție se află la intersecția liniilor de comunicație.
Luați în considerare un exemplu.
Sunt date trei proiecții ale piesei (Fig. 140, a). Este dată proiecția orizontală a a punctului A aflat pe suprafața vizibilă. Trebuie să găsim celelalte proiecții ale acestui punct.
În primul rând, trebuie să desenați o linie auxiliară. Dacă sunt date două vederi, atunci locul liniei auxiliare în desen este ales în mod arbitrar, în dreapta vederii de sus, astfel încât vederea din stânga să fie la distanța necesară față de vederea principală (Fig. 141).
Dacă au fost deja construite trei vederi (Fig. 142, a), atunci locul liniei auxiliare nu poate fi ales în mod arbitrar; trebuie să găsiți punctul prin care va trece. Pentru a face acest lucru, este suficient să continuați până la intersecția reciprocă a proiecțiilor orizontale și de profil ale axei de simetrie și prin punctul rezultat k (Fig. 142, b) trageți un segment de linie dreaptă la un unghi de 45 °, care va fi o linie dreaptă auxiliară.
Dacă nu există axe de simetrie, se continuă până la intersecția în punctul k 1 orizontal și proiecțiile de profil ale oricărei fețe proiectate sub formă de segmente de linie dreaptă (Fig. 142, b).
După ce au tras o linie dreaptă auxiliară, încep să construiască proiecțiile punctului (vezi Fig. 140, b).
Proiecțiile frontale a" și de profil a" ale punctului A trebuie să fie situate pe proiecțiile corespunzătoare ale suprafeței căreia îi aparține punctul A. Aceste proiecții se găsesc. Pe fig. 140, b sunt evidențiate color. Desenați linii de comunicare așa cum este indicat de săgeți. La intersecțiile liniilor de comunicație cu proiecțiile suprafeței se găsesc proiecțiile dorite a" și a".
Construcția proiecțiilor punctelor B, C, D este prezentată în fig. 140, în linii de comunicație cu săgeți. Proiectiile date ale punctelor sunt colorate. Liniile de comunicare sunt trasate la proiecția pe care suprafața este reprezentată ca o linie, și nu ca o figură. Prin urmare, se găsește mai întâi proiecția frontală din punctul C. Proiecția profilului din punctul C este determinată de intersecția liniilor de comunicație.
Dacă suprafața nu este reprezentată de o linie pe nicio proiecție, atunci trebuie utilizat un plan auxiliar pentru a construi proiecțiile punctelor. De exemplu, este dată o proiecție frontală d a punctului A, situată pe suprafața unui con (Fig. 143, a). Se trasează un plan auxiliar printr-un punct paralel cu baza, care va intersecta conul într-un cerc; proiecția sa frontală este un segment de linie dreaptă, iar proiecția sa orizontală este un cerc cu un diametru, egal cu lungimea acest segment (Fig. 143, b). Prin trasarea unei linii de comunicație către acest cerc din punctul a, se obține o proiecție orizontală a punctului A.
Proiecția de profil a" a punctului A se găsește în mod obișnuit la intersecția liniilor de comunicație.
În același mod, se pot găsi proiecțiile unui punct situat, de exemplu, pe suprafața unei piramide sau a unei bile. Când traversezi piramida cu un avion, paralel cu baza iar trecând printr-un punct dat, se formează o figură asemănătoare bazei. Pe proiecțiile acestei figuri se află proiecțiile punct dat.
Răspunde la întrebările
1. În ce unghi este trasată linia auxiliară?
2. Unde este trasată linia auxiliară dacă se oferă vederi frontale și de sus, dar trebuie să construiți o vedere din stânga?
3. Cum se determină locul liniei auxiliare în prezența a trei tipuri?
4. Care este metoda de construire a proiecțiilor unui punct după unul dat, dacă una dintre suprafețele obiectului este reprezentată printr-o dreaptă?
5. Pentru ce corpuri geometrice și în ce cazuri se găsesc proiecțiile unui punct date pe suprafața lor folosind un plan auxiliar?
Atribuții la § 20
Exercițiul 68
Scrie la registrul de lucru, care proiecții ale punctelor indicate prin cifre în vederi corespund punctelor indicate cu litere în imaginea vizuală din exemplul indicat ție de profesor (Fig. 144, a-d).
Exercițiul 69
Pe fig. 145, literele a-b indicat printr-o singură proiecție a unora dintre vârfuri. Găsiți în exemplul dat de profesor, proiecțiile rămase ale acestor vârfuri și desemnați-le cu litere. Construiți într-unul dintre exemple proiecțiile lipsă ale punctelor date pe marginile obiectului (Fig. 145, d și e). Evidențiați cu culoare proiecțiile marginilor pe care sunt situate punctele Finalizați sarcina pe hârtie transparentă, suprapunând-o pe pagina manualului.Nu este nevoie să redesenați Fig. 145.
Exercițiul 70
Găsiți proiecțiile lipsă ale punctelor date de o proiecție pe suprafețele vizibile ale obiectului (Fig. 146). Etichetați-le cu litere. Evidențiați proiecțiile date ale punctelor cu culoare. O imagine vizuală vă va ajuta să rezolvați problema. Sarcina poate fi finalizată atât într-un caiet de lucru, cât și pe hârtie transparentă, suprapunând-o pe pagina manualului. În acest din urmă caz, redesenați Fig. 146 nu este necesar.
Exercițiul 71
În exemplul dat de profesor, desenați trei tipuri (Fig. 147). Construiți proiecțiile lipsă ale punctelor date pe suprafețele vizibile ale obiectului. Evidențiați proiecțiile date ale punctelor cu culoare. Etichetați toate proiecțiile punctuale. Pentru a construi proiecții de puncte, utilizați o linie dreaptă auxiliară. Faceți un desen tehnic și marcați pe el punctele date.
Studiul proprietăților figurilor în spațiu și pe un plan este imposibil fără a cunoaște distanțele dintre un punct și obiecte geometrice precum o linie dreaptă și un plan. În acest articol, vom arăta cum să găsim aceste distanțe luând în considerare proiecția unui punct pe un plan și pe o dreaptă.
Ecuația unei drepte pentru spații bidimensionale și tridimensionale
Calculul distanțelor dintre un punct și o linie dreaptă și un plan se realizează folosind proiecția acestuia pe aceste obiecte. Pentru a putea găsi aceste proiecții, ar trebui să știți sub ce formă sunt date ecuațiile pentru drepte și plane. Să începem cu primul.
O linie dreaptă este o colecție de puncte, fiecare dintre acestea putând fi obținute de la precedentul prin transferarea la vectori paraleli între ei. De exemplu, există un punct M și N. Vectorul MN¯ care le conectează duce M la N. Există și un al treilea punct P. Dacă vectorul MP¯ sau NP¯ este paralel cu MN¯, atunci toate cele trei puncte se află pe aceeași linie și formați-o.
În funcție de dimensiunea spațiului, ecuația care definește linia dreaptă își poate schimba forma. Deci, binecunoscuta dependență liniară a coordonatei y de x în spațiu descrie un plan care este paralel cu a treia axă z. În acest sens, în acest articol vom lua în considerare doar ecuația vectorială pentru o linie dreaptă. Are aceeași formă pentru spațiul plan și tridimensional.
În spațiu, o linie dreaptă poate fi dată prin următoarea expresie:
(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(a; b; c)
Aici, valorile coordonatelor cu indici zero corespund unui punct aparținând dreptei, u¯(a; b; c) sunt coordonatele vectorului de direcție care se află pe linia dată, α este un număr real arbitrar, schimbând care puteți obține toate punctele liniei. Această ecuație se numește vector.
Adesea, ecuația de mai sus este scrisă în formă extinsă:
În mod similar, puteți scrie o ecuație pentru o dreaptă care se află într-un plan, adică în spațiu bidimensional:
(x; y) = (x 0 ; y 0) + a*(a; b);
Ecuația plană
Pentru a putea găsi distanța de la un punct la planurile de proiecție, trebuie să știți cum este specificat un plan. La fel ca o linie dreaptă, poate fi reprezentată în mai multe moduri. Aici luăm în considerare doar una: ecuația generală.
Să presupunem că punctul M(x 0 ; y 0 ; z 0) aparține planului, iar vectorul n¯(A; B; C) este perpendicular pe acesta, atunci pentru toate punctele (x; y; z) ale plan egalitatea va fi valabilă:
A*x + B*y + C*z + D = 0 unde D = -1*(A*x 0 + B*y 0 + C*z 0)
Trebuie amintit că în această ecuație generală a planului, coeficienții A, B și C sunt coordonatele vectorului normal la plan.
Calculul distanțelor după coordonate
Înainte de a trece la considerarea proiecțiilor pe planul unui punct și pe o linie dreaptă, trebuie amintit cum trebuie calculată distanța dintre două puncte cunoscute.
Să fie două puncte spațiale:
A 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) și A 2 (x 2 ; y 2 ; z 2)
Apoi, distanța dintre ele se calculează cu formula:
A 1 A 2 \u003d √ ((x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2 + (z 2 -z 1) 2)
Folosind această expresie se determină și lungimea vectorului A 1 A 2 ¯.
Pentru cazul în plan, când două puncte sunt date doar de o pereche de coordonate, putem scrie o egalitate similară fără prezența unui termen cu z în el:
A 1 A 2 \u003d √ ((x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2)
Acum luăm în considerare diverse cazuri de proiecție pe un plan a unui punct pe o dreaptă și pe un plan în spațiu.
Punctul, linia și distanța dintre ele
Să presupunem că există un punct și o linie:
P2 (x1; y1);
(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b)
Distanța dintre aceste obiecte geometrice va corespunde lungimii vectorului, începutul căruia se află în punctul P 2 , iar sfârșitul este situat într-un punct P pe linia specificată, pentru care vectorul P 2 P ¯ este perpendicular. la această linie. Punctul P se numește proiecția punctului P 2 pe dreapta luată în considerare.
Figura de mai jos prezintă punctul P 2 , distanța sa d față de linia dreaptă, precum și vectorul de ghidare v 1 ¯. De asemenea, un punct arbitrar P 1 este ales pe linie și un vector este trasat de la acesta la P 2. Punctul P coincide aici cu locul în care perpendiculara intersectează dreapta.
Se poate observa că săgețile portocalii și roșii formează un paralelogram, ale cărui laturi sunt vectorii P 1 P 2 ¯ și v 1 ¯, iar înălțimea este d. Din geometrie se știe că pentru a găsi înălțimea unui paralelogram, aria acestuia trebuie împărțită la lungimea bazei, pe care este coborâtă perpendiculara. Deoarece aria unui paralelogram este calculată ca produs vectorial al laturilor sale, obținem formula pentru calcularea d:
d = ||/|v 1 ¯|
Toți vectorii și coordonatele punctului din această expresie sunt cunoscuți, așa că o puteți utiliza fără a efectua transformări.
Această problemă ar fi putut fi rezolvată altfel. Pentru aceasta, trebuie scrise două ecuații:
- produsul scalar al lui P 2 P ¯ și v 1 ¯ trebuie să fie egal cu zero, deoarece acești vectori sunt reciproc perpendiculari;
- coordonatele punctului P trebuie să satisfacă ecuația unei drepte.
Aceste ecuații sunt suficiente pentru a găsi coordonatele P și apoi lungimea d folosind formula dată în paragraful anterior.
Aflarea distanței dintre o linie și un punct
Să vă arătăm cum să utilizați datele informatii teoretice pentru a rezolva o anumită problemă. Să presupunem că sunt cunoscute următoarele puncte și drepte:
(x; y) = (3; 1) - α*(0; 2)
Este necesar să găsiți punctele de proiecție pe linia din plan, precum și distanța de la M la linie.
Notați proiecția care trebuie găsită prin punctul M 1 (x 1 ; y 1). Rezolvăm această problemă în două moduri, descrise în paragraful anterior.
Metoda 1. Coordonatele vectorului de direcție v 1 ¯ are (0; 2). Pentru a construi un paralelogram, selectăm un punct aparținând dreptei. De exemplu, un punct cu coordonate (3; 1). Atunci vectorul celei de-a doua laturi a paralelogramului va avea coordonatele:
(5; -3) - (3; 1) = (2; -4)
Acum ar trebui să calculați produsul vectorilor care definesc laturile paralelogramului:
Inlocuim aceasta valoare in formula, obtinem distanta d de la M la dreapta:
Metoda 2. Acum să găsim în alt mod nu numai distanța, ci și coordonatele proiecției lui M pe linie dreaptă, așa cum este cerut de condiția problemei. După cum am menționat mai sus, pentru a rezolva problema, este necesar să se compună un sistem de ecuații. Acesta va lua forma:
(x1-5)*0+(y1 +3)*2 = 0;
(x 1 ; y 1) = (3; 1)-α*(0; 2)
Să rezolvăm acest sistem:
Proiecția punctului inițial al coordonatei are M 1 (3; -3). Atunci distanța dorită este:
d = |MM 1 ¯| = √(4+0) = 2
După cum puteți vedea, ambele metode de rezolvare au dat același rezultat, ceea ce indică corectitudinea operațiilor matematice efectuate.
Proiectia unui punct pe un plan
Acum luați în considerare care este proiecția unui punct dat în spațiu pe un anumit plan. Este ușor de ghicit că această proiecție este și un punct, care, împreună cu cel original, formează un vector perpendicular pe plan.
Să presupunem că proiecția pe planul punctului M are următoarele coordonate:
Planul în sine este descris de ecuația:
A*x + B*y + C*z + D = 0
Pe baza acestor date, putem formula ecuația unei drepte care intersectează planul în unghi drept și care trece prin M și M 1:
(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(A; B; C)
Aici, variabilele cu indici zero sunt coordonatele punctului M. Poziția pe planul punctului M 1 poate fi calculată pe baza faptului că coordonatele acestuia trebuie să satisfacă ambele ecuații scrise. Dacă aceste ecuații nu sunt suficiente la rezolvarea problemei, atunci se poate folosi condiția de paralelism a lui MM 1 ¯ și vectorul de ghidare pentru un plan dat.
Evident, proiecția unui punct aparținând planului coincide cu ea însăși, iar distanța corespunzătoare este zero.
Problemă cu punctul și planul
Să fie dat un punct M(1; -1; 3) și un plan, care este descris prin următoarele ecuație generală:
Ar trebui să calculați coordonatele proiecției pe planul punctului și să calculați distanța dintre aceste obiecte geometrice.
Pentru început, construim ecuația unei drepte care trece prin M și perpendiculară pe planul specificat. Arată ca:
(x; y; z) = (1; -1; 3) + α*(-1; 3; -2)
Să notăm punctul în care această dreaptă intersectează planul, M 1 . Egalitățile pentru un plan și o dreaptă trebuie să fie îndeplinite dacă coordonatele M 1 sunt substituite în ele. Scriind explicit ecuația unei linii drepte, obținem următoarele patru egalități:
X1 + 3*y1-2*z1 + 4 = 0;
y 1 \u003d -1 + 3 * α;
Din ultima egalitate obținem parametrul α, apoi îl substituim în penultima și în a doua expresie, obținem:
y 1 \u003d -1 + 3 * (3-z 1) / 2 \u003d -3 / 2 * z 1 + 3,5;
x 1 \u003d 1 - (3-z 1) / 2 \u003d 1/2 * z 1 - 1/2
Inlocuim expresia pentru y 1 si x 1 in ecuatia pentru plan, avem:
1*(1/2*z 1 - 1/2) + 3*(-3/2*z 1 + 3,5) -2*z 1 + 4 = 0
De unde obținem:
y 1 \u003d -3 / 2 * 15/7 + 3,5 \u003d 2/7;
x 1 = 1/2*15/7 - 1/2 = 4/7
Am stabilit că proiecția punctului M pe avion dat corespunde coordonatelor (4/7; 2/7; 15/7).
Acum să calculăm distanța |MM 1 ¯|. Coordonatele vectorului corespunzător sunt:
MM 1 ¯(-3/7; 9/7; -6/7)
Distanța necesară este:
d = |MM 1 ¯| = √126/7 ≈ 1,6
Trei puncte de proiecție
În timpul pregătirii desenelor, este adesea necesar să se obțină proiecții ale secțiunilor pe trei planuri reciproc perpendiculare. Prin urmare, este util să luăm în considerare care sunt proiecțiile unui punct M cu coordonate (x 0 ; y 0 ; z 0) pe trei planuri de coordonate.
Nu este greu de demonstrat că planul xy este descris de ecuația z = 0, planul xz corespunde expresiei y = 0, iar planul yz rămas este notat cu x = 0. Este ușor de ghicit că proiecțiile a unui punct de pe 3 planuri va fi egală:
pentru x = 0: (0; y 0; z 0);
pentru y = 0: (x 0 ; 0 ; z 0);
pentru z = 0: (x 0 ; y 0 ; 0)
Unde este important să cunoaștem proiecțiile unui punct și distanțele acestuia față de avioane?
Determinarea poziției proiecției punctelor pe un plan dat este importantă atunci când se găsesc cantități precum aria suprafeței și volumul pentru prisme și piramide înclinate. De exemplu, distanța de la vârful piramidei până la planul bazei este înălțimea. Acesta din urmă este inclus în formula pentru volumul acestei cifre.
Formulele și metodele luate în considerare pentru determinarea proiecțiilor și distanțelor de la un punct la o dreaptă și un plan sunt destul de simple. Este important doar să memorați formele corespunzătoare ale ecuațiilor planului și dreptei și, de asemenea, să aveți o bună imaginație spațială pentru a le aplica cu succes.
În cazul proiecției dreptunghiulare, sistemul de planuri de proiecție este format din două planuri de proiecție reciproc perpendiculare (Fig. 2.1). Unul a fost de acord să fie amplasat orizontal, iar celălalt vertical.
Planul proiecțiilor, situat orizontal, se numește plan orizontal de proiecție si denota sch, iar planul perpendicular pe acesta planul de proiecție frontalăl 2 . Sistemul de planuri de proiecție în sine este notat p/p 2. Utilizați de obicei expresii prescurtate: avion L[, avion n 2 . Linia de intersecție a planurilor schși la 2 numit axa de proiecțieOH.Împarte fiecare plan de proiecție în două părți - etaje. Planul orizontal al proiecțiilor are un etaj anterior și posterior, în timp ce planul frontal are un etaj superior și inferior.
avioane schși p 2împărțiți spațiul în patru părți numite sferturiși notat cu cifre romane I, II, III și IV (vezi Fig. 2.1). Primul sfert se numește partea de spațiu delimitată de planurile de proiecție orizontale goale frontale superioare și frontale goale. Pentru sferturile rămase din spațiu, definițiile sunt similare cu cea anterioară.
Toate desenele de inginerie sunt imagini construite pe același plan. Pe fig. 2.1 sistemul de planuri de proiecție este spațial. Pentru a trece la imagini din același plan, am convenit să combinăm planurile de proiecție. De obicei avion p 2 rămas nemişcat, iar avionul P rotiți în direcția indicată de săgeți (vezi Fig. 2.1), în jurul axei OH la un unghi de 90 ° până când este aliniat cu planul n 2 . Cu o astfel de întoarcere, podeaua din față a planului orizontal coboară, iar cea din spate se ridică. După aliniere, planurile au forma descrisă
femela din fig. 2.2. Se crede că planurile de proiecție sunt opace și observatorul este întotdeauna în primul trimestru. Pe fig. 2.2, desemnarea planurilor invizibile după aliniere este luată între paranteze, așa cum este obișnuit pentru evidențierea figurilor invizibile în desene.
Punctul proiectat poate fi în orice sfert de spațiu sau pe orice plan de proiecție. În toate cazurile, pentru a construi proiecții, prin ea se trasează linii de proiectare și punctele lor de întâlnire se găsesc cu planurile 711 și 712, care sunt proiecții.
Luați în considerare proiecția unui punct situat în primul trimestru. Sistemul de planuri de proiecție 711/712 și punctul DAR(Fig. 2.3). Prin ea sunt trasate două LINII drepte, perpendiculare pe PLANURI 71) ȘI 71 2. Unul dintre ei va intersecta planul 711 la punctul respectiv DAR ", numit proiecția orizontală a punctului A, iar celălalt este planul 71 2 la punct DAR ", numit proiecția frontală a punctului A.
Linii de proiectare AA"și AA" determinați planul de proiecție a. Este perpendicular pe planuri Kip 2, deoarece trece prin perpendiculare pe ele și intersectează planurile de proiecție de-a lungul unor drepte A „Ah și A” A x. Axa de proiecție OH perpendicular pe planul oc, ca linie de intersecție a două plane 71| și 71 2 perpendicular pe al treilea plan (a) și, prin urmare, pe orice linie aflată în el. În special, 0X1A "A xși 0X1A "A x.
La combinarea avioanelor, segmentul A „Ah, apartament la 2, rămâne staționar, iar segmentul A „A xîmpreună cu planul 71) vor fi rotite în jurul axei OH până se aliniază cu planul 71 2 . Vedere a planurilor de proiecție combinate împreună cu proiecțiile unui punct DAR prezentată în fig. 2.4, A. După alinierea punctului A", A x și A" vor fi situate pe o linie dreaptă perpendiculară pe axă OH. Aceasta înseamnă că două proiecții ale aceluiași punct
se află pe o perpendiculară comună pe axa de proiecție. Această perpendiculară care leagă două proiecții ale aceluiași punct se numește linia de proiecție.
Desenul din fig. 2.4, A poate fi foarte simplificat. Denumirile planurilor de proiecție combinate din desene nu sunt marcate și dreptunghiurile care limitează în mod condiționat planurile de proiecție nu sunt reprezentate, deoarece planurile sunt nelimitate. Desen punct simplificat DAR(Fig. 2.4, b) numit si diagramă(Din franceza ?pure - desen).
Arată în fig. 2.3 patrulater AE4 "A X A" este un dreptunghi și laturile sale opuse sunt egale și paralele. Prin urmare, distanța de la punct DAR până la avion P, măsurată printr-un segment AA", în desen este determinat de segment Un „Ah. Segmentul A „A x = AA” vă permite să judecați distanța de la un punct DAR până la avion la 2 . Astfel, desenul unui punct oferă o imagine completă a locației acestuia în raport cu planurile de proiecție. De exemplu, conform desenului (vezi Fig. 2.4, b) se poate argumenta că ideea DAR situat în primul sfert și scos din avion p 2 la o distanţă mai mică decât de la planul ts b deoarece A „A x Un „Ah.
Să trecem la proiectarea unui punct în al doilea, al treilea și al patrulea sferturi de spațiu.
La proiectarea unui punct LA, situat în al doilea trimestru (Fig. 2.5), după combinarea planurilor, ambele proiecții ale sale vor fi deasupra axei OH.
Proiecția orizontală a punctului C, dată în al treilea sfert (Fig. 2.6), este situată deasupra axei OH, iar fata este mai jos.
Punctul D prezentat în fig. 2.7 este situat în al patrulea trimestru. După combinarea planurilor de proiecție, ambele proiecții vor fi sub axă OH.
Comparând desenele punctelor situate în diferite sferturi de spațiu (vezi Fig. 2.4-2.7), puteți observa că fiecare este caracterizat de propria sa locație a proiecțiilor în raport cu axa proiecțiilor OH.
În cazuri particulare, punctul proiectat se poate afla pe planul de proiecție. Apoi, una dintre proiecțiile sale coincide cu punctul însuși, iar cealaltă va fi situată pe axa de proiecție. De exemplu, pentru un punct E,întins într-un avion sch(Fig. 2.8), proiecția orizontală coincide cu punctul însuși, iar proiecția frontală este pe axă OH. La punctul E, situat în avion la 2(Fig. 2.9), proiecție orizontală pe axă OH, iar fața coincide cu punctul însuși.
Un punct, ca concept matematic, nu are dimensiuni. Evident, dacă obiectul proiecției este un obiect cu dimensiuni zero, atunci este lipsit de sens să vorbim despre proiecția lui.
Fig.9 Fig.10
În geometrie sub un punct, este recomandabil să luați un obiect fizic care are dimensiuni liniare. În mod convențional, o minge cu o rază infinit de mică poate fi luată ca punct. Cu această interpretare a conceptului de punct, putem vorbi despre proiecțiile acestuia.
Când construim proiecții ortogonale ale unui punct, trebuie să ne ghidăm după prima proprietate invariantă a proiecției ortogonale: proiecția ortogonală a unui punct este un punct.
Poziția unui punct în spațiu este determinată de trei coordonate: X, Y, Z, arătând distanţele la care punctul este îndepărtat din planurile de proiecţie. Pentru a determina aceste distanțe, este suficient să determinați punctele de întâlnire ale acestor linii cu planurile de proiecție și să măsurați valorile corespunzătoare, care vor indica, respectiv, valorile abscisei. X, ordonate Y si aplicatii Z puncte (Fig. 10).
Proiecția unui punct este baza perpendicularei căzute de la punct la planul de proiecție corespunzător. Proiecție orizontală puncte A numiți proiecția dreptunghiulară a unui punct pe planul orizontal al proiecțiilor, proiecție frontală a /- respectiv pe planul frontal al proiecţiilor şi profil a // – pe planul de proiecție a profilului.
Direct Aaaa /și Aa // se numesc linii proiectante. În același timp, direct Ah, punct de proiectare DAR pe planul orizontal al proiecțiilor, numit linie proiectată orizontal, Аa /și Aa //- respectiv: frontalși linii drepte care proiectează profil.
Două linii proeminente care trec printr-un punct DAR definiți planul, care se numește proiectand.
La conversia aspectului spațial, proiecția frontală a punctului A - a / rămâne pe loc ca aparținând unui plan care nu își schimbă poziția sub transformarea considerată. proiecție orizontală - Aîmpreună cu planul orizontal de proiecție se vor întoarce în sensul deplasării în sensul acelor de ceasornic și vor fi situate pe una perpendiculară pe axă X cu proiecție frontală. proiecție profil - A // se va roti împreună cu planul profilului și până la sfârșitul transformării va lua poziția indicată în Figura 10. În acest caz - A // va fi perpendicular pe ax Z trase din punct A /și va fi îndepărtat de pe axă Z aceeași distanță ca și proiecția orizontală A departe de axă X. Prin urmare, legătura dintre proiecțiile orizontale și de profil ale unui punct poate fi stabilită folosind două segmente ortogonale aa yși a da //și un arc de conjugare al unui cerc centrat în punctul de intersecție al axelor ( O- origine). Conexiunea marcată este folosită pentru a găsi proiecția lipsă (pentru două date date). Poziția proiecției profilului (orizontală) conform proiecțiilor orizontale (profilului) și frontală date poate fi găsită folosind o linie dreaptă trasată la un unghi de 45 0 de la origine la axă. Y(această bisectoare se numește linie dreaptă) k este constanta Monge). Prima dintre aceste metode este de preferat, deoarece este mai precisă.
Prin urmare:
1. Punctul din spațiu eliminat:
din planul orizontal H Z,
din planul frontal V prin valoarea coordonatei date Y,
din planul profilului W prin valoarea coordonatei. X.
2. Două proiecții ale oricărui punct aparțin aceleiași perpendiculare (o linie de legătură):
orizontală și frontală - perpendiculară pe axă X,
orizontal și profil - perpendicular pe axa Y,
frontală și de profil - perpendicular pe axa Z.
3. Poziția unui punct în spațiu este complet determinată de poziția celor două proiecții ortogonale ale sale. Prin urmare - pentru oricare două date proiecții ortogonale punct, este întotdeauna posibil să-și construiască a treia proiecție lipsă.
Dacă un punct are trei coordonate definite, atunci se numește un astfel de punct punct în poziție generală. Dacă un punct are una sau două coordonate egale cu zero, atunci se numește un astfel de punct punct de poziție privată.
Orez. 11 Fig. 12
Figura 11 prezintă un desen spațial al punctelor cu o anumită poziție, Figura 12 prezintă un desen complex (diagrame) a acestor puncte. Punct DAR aparține planului de proiecție frontală, punctul LA– plan orizontal al proiecțiilor, punct DIN– planul de profil al proiecțiilor și punctului D– axa absciselor ( X).
PROIECȚIA UNUI PUNCT PE DOUĂ PLANURI DE PROIECȚII
Formarea unui segment de linie dreaptă AA 1 poate fi reprezentată ca urmare a deplasării punctului A în orice plan H (Fig. 84, a), iar formarea unui plan poate fi reprezentată ca o deplasare a unui segment de dreaptă AB ( Fig. 84, b).
Un punct este elementul geometric principal al unei linii și al unei suprafețe, astfel încât studiul proiecției dreptunghiulare a unui obiect începe cu construirea proiecțiilor dreptunghiulare ale unui punct.
În spațiul unghiului diedric format din două plane perpendiculare - planul frontal (vertical) al proiecțiilor V și planul orizontal al proiecțiilor H, plasăm punctul A (Fig. 85, a).
Linia de intersecție a planurilor de proiecție este o linie dreaptă, care se numește axa de proiecție și se notează cu litera x.
Planul V este prezentat aici ca dreptunghi, iar planul H ca paralelogram. Partea înclinată a acestui paralelogram este de obicei desenată la un unghi de 45° față de latura sa orizontală. Lungimea laturii înclinate este considerată egală cu 0,5 din lungimea sa reală.
Din punctul A se coboară perpendiculare pe planele V și H. Punctele a „și a ale intersecției perpendicularelor cu planele de proiecție V și H sunt proiecții dreptunghiulare ale punctului A. Figura Aaa x a” din spațiu este un dreptunghi. Axa laterală a acestui dreptunghi din imaginea vizuală este redusă de 2 ori.
Să aliniem planul H cu planul V rotind V în jurul liniei de intersecție a planurilor x. Rezultatul este un desen complex al punctului A (Fig. 85, b)
Pentru a simplifica desenul complex, limitele planurilor de proiecție V și H nu sunt indicate (Fig. 85, c).
Perpendicularele trasate din punctul A pe planurile de proiecție se numesc drepte de proiectare, iar bazele acestor drepte de proiectare - punctele a și a „se numesc proiecții ale punctului A: a” este proiecția frontală a punctului A, a este proiecția orizontală a punctul A.
Linia a „a se numește linia verticală a conexiunii de proiecție.
Locația proiecției unui punct pe un desen complex depinde de poziția acestui punct în spațiu.
Dacă punctul A se află pe planul de proiecție orizontal H (Fig. 86, a), atunci proiecția sa orizontală a coincide cu punctul dat, iar proiecția frontală a " este situată pe axă. Când punctul B este situat pe proiecția frontală planul V, proiecția sa frontală coincide cu acest punct, iar proiecția orizontală se află pe axa X. Proiecțiile orizontale și frontale ale unui punct dat C, situat pe axa x, coincid cu acest punct. Un desen complex de puncte A, B și C sunt prezentate în Fig. 86, b.
PROIECȚIA UNUI PUNCT PE TREI PLANURI DE PROIECȚII
În cazurile în care este imposibil să ne imaginăm forma unui obiect din două proiecții, acesta este proiectat pe trei planuri de proiecție. În acest caz, se introduce planul de profil al proiecțiilor W, care este perpendicular pe planurile V și H. O reprezentare vizuală a sistemului de trei plane de proiecție este dată în fig. 87 a.
Muchiile unui unghi triedric (intersecția planurilor de proiecție) se numesc axe de proiecție și sunt notate cu x, y și z. Intersecția axelor de proiecție se numește începutul axelor de proiecție și se notează cu litera O. Să scăpăm perpendiculara de la punctul A la planul de proiecție W și, marcând baza perpendicularei cu litera a, avem obține proiecția profilului punctele A.
Pentru a obține un desen complex, punctele A ale planurilor H și W sunt aliniate cu planul V, rotindu-le în jurul axelor Ox și Oz. Un desen complex al punctului A este prezentat în fig. 87b și c.
Segmentele dreptelor de proiectare de la punctul A la planurile de proiecție se numesc coordonatele punctului A și se notează: x A, y A și z A.
De exemplu, coordonata z A a punctului A, egală cu segmentul a "a x (Fig. 88, a și b), este distanța de la punctul A la planul orizontal de proiecție H. Coordonata din punctul A, egală cu segmentul aa x, este distanța de la punctul A la planul frontal al proiecțiilor V. Coordonata x A egală cu segmentul aa y este distanța de la punctul A la planul de profil al proiecțiilor W.
Astfel, distanța dintre proiecția unui punct și axa de proiecție determină coordonatele punctului și este cheia citirii desenului său complex. Prin două proiecții ale unui punct, toate cele trei coordonate ale unui punct pot fi determinate.
Dacă sunt date coordonatele punctului A (de exemplu, x A \u003d 20 mm, y A \u003d 22 mm și z A \u003d 25 mm), atunci pot fi construite trei proiecții ale acestui punct.
Pentru a face acest lucru, de la originea coordonatelor O în direcția axei Oz, se așează coordonata z A și se așează coordonata y A. segmente egale cu coordonata x A. Punctele rezultate a "și a - frontală şi proiecție orizontală punctele A.
În conformitate cu două proiecții a „și un punct A, proiecția sa de profil poate fi construită în trei moduri:
1) de la originea O se trasează un arc auxiliar cu raza Oa y egală cu coordonatele (Fig. 87, b și c), din punctul obținut a y1 se trasează o dreaptă paralelă cu axa Oz și se așează a segment egal cu z A;
2) din punctul a y se trasează o dreaptă auxiliară la un unghi de 45 ° față de axa Oy (Fig. 88, a), se obține un punct a y1 etc.;
3) de la originea O, trageți o dreaptă auxiliară la un unghi de 45 ° față de axa Oy (Fig. 88, b), obțineți un punct a y1 etc.
