Lungimea dată a tijei este egală cu. Biblioteca electronica stiintifica. Formula lui Euler pentru o lansetă cu capete ciupit și libere

Îndoire longitudinală

La calcularea puterii, s-a presupus, ce echilibru structural Sub influenta forțe externe este sustenabil. Cu toate acestea, eșecul structurii poate apărea din cauza faptului că echilibru structuri dintr-un motiv sau altul. se dovedesc a fi nesustenabile. În multe cazuri, pe lângă testarea rezistenței, este și necesar verificarea stabilității elemente structurale.

Se ia în considerare starea de echilibru durabil, dacă pentru orice posibilă abatere a sistemului de la poziţia de echilibru apar forțe care se străduiesc să-l readucă în poziția inițială.

Luați în considerare tipurile cunoscute de echilibru.

instabil echilibru condiție va fi în cazul în care, cel puțin una dintre posibilele abateri ale sistemului de la poziția de echilibru, apar forțe, căutând să-l scoată din poziția inițială.

Starea de echilibru va indiferent, dacă la diferite abateri ale sistemului de la poziția de echilibru apar forțe care tind să-l readucă în poziția inițială, dar cel puțin pentru una dintre posibilele abateri, sistemul continuă să rămână în echilibru în absența forțelor care caută pentru a-l readuce în poziția inițială sau a-l scoate din această poziție.

La pierderea stabilității, natura lucrării structurii se modifică,întrucât acest tip de deformare trece în alta, mai periculoasă, capabilă să o conducă la distrugere sub o sarcină mult mai mică decât cea care rezultă din calculul rezistenței. Este foarte semnificativ faptul că pierderea stabilității este însoțită de creșterea deformațiilor mari, deci acest fenomen este de natură catastrofală.

În trecerea de la o stare de echilibru stabil la una instabilă, structura trece printr-o stare de echilibru indiferent. Dacă o structură în această stare este informată cu privire la o oarecare abatere de la poziția inițială, atunci la încetarea cauzei care a cauzat această abatere, structura nu va mai reveni la poziția inițială, dar va putea menține noua poziție dată lui. aceasta din cauza abaterii.

Starea de echilibru indiferent, reprezentând, parcă, granița dintre două stări de bază - stabilă și instabilă, se numește condiție critică. Se numește sarcina la care structura menține o stare de echilibru indiferent sarcina critica.

Experimentele arată că de obicei este suficient să crești ușor sarcina față de valoarea sa critică pentru ca structura să își piardă capacitatea portantă din cauza deformațiilor mari și să cedeze. În echipamentele de construcții, pierderea stabilității chiar și a unui singur element structural determină o redistribuire a forțelor în întreaga structură și adesea duce la un accident.

Îndoirea tijei asociată cu pierderea stabilității se numește flambaj.

Puterea critică. Stresul critic

Cea mai mică valoare a forței de compresiune, la care forma inițială a echilibrului tijei - rectilinie devine instabilă - curbată, se numește critică.

În studiul stabilității formelor de echilibru ale sistemelor elastice au fost făcuți primii pași Euler.

ÎN stadiu elastic deformarea tijei sub stres, nedepăşind limita de proporţionalitate, forța critică se calculează din Formula lui Euler:

Unde Sunt în – momentul minim de inerție al secțiunii barei(datorită faptului că îndoirea tijei are loc în planul cu cea mai mică rigiditate), totuși, excepțiile pot fi numai în cazurile în care condițiile de fixare a capetelor tijei sunt diferite în planuri diferite, ℓ - geometric lungime tijă, μ - sau (în funcție de metodele de fixare a capetelor tijei), Valori μ prezentate sub schema de fixare a tijei respective

Stresul critic se calculează după cum urmează

, Unde flexibilitate tijă,

dar raza de inerție a secțiunii.

Introducem conceptul flexibilitate supremă.

Valoare λ inainte de depinde doar de tipul de material:

Dacă oțel 3 E\u003d 2 10 11 Pa și σ pc \u003d 200 MPa, apoi flexibilitate supremă

Pentru lemn (pin, molid) flexibilitate supremăλ prev=70, pentru fontă λ prev=80

Astfel, pentru lansete de mare flexibilitate λ≥λ inainte de forța critică este determinată de formula lui Euler.

În stadiul elastic-plastic al deformării tijei, când valoarea flexibilității este în interval λ 0 ≤λ≤λ pr,(tije de flexibilitate medie) calculul se efectueaza conform formule empirice, de exemplu, puteți folosi formula lui Yasinsky F.S. Valorile parametrilor introduși în acesta sunt determinate empiric pentru fiecare material.

σ la \u003d a-bλ, sau F cr= A(A— bλ)

Unde AȘi b- constante determinate experimental ().Deci, pentru otel3 dar=310MPa, b\u003d 1,14 MPa.

Cu valori de flexibilitate a tijei 0≤λ≤λ0(tije cu flexibilitate redusă) nu se observă pierderi de stabilitate.

Astfel, limitele de aplicabilitate Formule Euler — aplicat numai în zona deformaţiilor elastice.

Stare de stabilitate. Tipuri de probleme în calculul stabilității.

Stare de stabilitate tija comprimată este inegalitatea:

Aici efort de stabilitate admisibil [σ gură] nu este o constantă, așa cum a fost în condiții de rezistență și în funcție de următoarele factori:

1) pe lungimea tijei, pe dimensiuni și chiar pe forma secțiunilor transversale,

2) despre metoda de fixare a capetelor tijei,

3) din materialul tijei.

Ca orice valoare permisă, [σ gură] este determinată de raportul dintre tensiunea periculoasă pentru tija comprimată și factorul de siguranță. Pentru o tijă comprimată, așa-numita stres critic σ kr, la care tija pierde stabilitatea formei originale de echilibru.

De aceea

Valoarea factorului de siguranță în problemele de stabilitate este considerată puțin mai mare decât valoarea , adică dacă k=1÷2, atunci kgură=2÷5.

Tensiunea de stabilitate admisibilă poate fi legată de efortul de rezistență admisibil:

În acest caz ,

Unde σt- o solicitare periculoasa din punct de vedere al rezistentei (pentru materialele ductile aceasta este limita de curgere, iar pentru materialele casante este rezistenta la compresiune σ soare ).

Coeficient φ<1 si de aceea se numeste factor de reducere a tensiunii principale admisibile, adică [σ] putere, sau altfel

Cu acestea spuse condiție de stabilitate pentru o tijă comprimată ia forma:

Se aleg valorile numerice ale coeficientului φ din tabele in functie de material si grad de flexibilitate tija, unde:

μ – factor de lungime redus(în funcție de modul în care sunt fixate capetele tijei), ℓ - geometric lungime tijă,

i – rază de girație secțiune transversală față de cea a axelor centrale principale ale secțiunii, în jurul căreia se va produce rotația secțiunilor transversale după ce sarcina atinge o valoare critică.

Coeficient φ modificări ale intervalului 0≤φ≤1, depinde, după cum sa menționat deja, atât de proprietățile fizice și mecanice ale materialului, cât și de flexibilitatea λ. Dependențe între φ și λ pentru diverse materiale sunt de obicei prezentate sub formă tabelară cu un pas ∆λ=10.

Când se calculează valorile φ pentru bare cu valori de zveltețe care nu sunt multipli de 10, regula de interpolare liniară.

Valorile coeficientului φ depind de flexibilitatea λ pentru materiale

Pe baza condiției de stabilitate, rezolvăm trei tipuri de sarcini:

1. Verificarea stabilității.
2. Selectarea secțiunii.
3. Determinarea capacității de încărcare(sau sarcină sigură sau capacitatea de încărcare a tijei: [F]=φ[σ] DAR .

Cea mai dificilă este rezolvarea problemei de selecție a secțiunii, deoarece valoarea necesară a ariei secțiunii transversale este inclusă în ambele părți din stânga și din dreapta ale stării de stabilitate:

Numai în partea dreaptă a acestei inegalități, aria secțiunii transversale este într-o formă implicită: este inclusă în formula pentru raza de rotație, care la rândul său este inclusă în formula de flexibilitate, pe care valoarea coeficientului de flambaj depinde φ . Prin urmare, aici trebuie să folosim metoda de încercare și eroare, îmbrăcați în formă metoda aproximărilor succesive:

1 încercare: cere φ1 din zona de mijloc a mesei, găsiți, stabiliți dimensiunile secțiunii, calculați, apoi flexibilitatea, conform tabelului determinăm și comparăm cu valoarea φ1. Daca atunci.

Cursul 7

STABILITATEA TIJELOR COMPprimate

Conceptul de stabilitate a unei tije comprimate. Formula lui Euler. Dependenta forță critică din metoda de fixare a tijei. Limitele de aplicabilitate ale formulei Euler. Formula Yasinsky. Calculul durabilității.

Conceptul de stabilitate a unei tije comprimate

Să considerăm o tijă cu axă dreaptă încărcată cu o forță de compresiune longitudinală F. În funcție de mărimea forței și de parametrii tijei (material, lungime, forma și dimensiunile secțiunii transversale), forma sa de echilibru rectilinie poate fi stabil sau instabil.

Pentru a determina tipul de echilibru al tijei, să acționăm asupra acesteia cu o sarcină transversală mică Q. Ca urmare, tija se va deplasa într-o nouă poziție de echilibru cu o axă curbă. Dacă, după terminarea sarcinii transversale, tija revine în poziția inițială (rectilie), atunci forma rectilinie a echilibrului este stabilă (Fig. 7.1a). În cazul în care, după încetarea acțiunii forței transversale Q, tija nu revine în poziția inițială, forma rectilinie a echilibrului este instabilă (Fig. 7.1b).

Astfel, stabilitatea este capacitatea tijei, după o anumită abatere de la poziția inițială ca urmare a acțiunii unei sarcini perturbatoare, de a reveni spontan la poziția inițială atunci când această sarcină este terminată. Cea mai mică forță de compresiune longitudinală la care forma de echilibru rectilinie a tijei devine instabilă se numește forță critică.

Schema de funcționare considerată a tijei centrale comprimate este teoretică. În practică, forța de compresiune poate acționa cu o oarecare excentricitate, iar tija poate avea o oarecare curbură inițială (deși mică). Prin urmare, încă de la începutul încărcării longitudinale a tijei, se observă îndoirea acesteia. Cercetările arată că atâta timp cât forța de compresiune este mai mică decât forța critică, deviațiile barei vor fi mici. Când forța se apropie de valoarea critică, deviațiile încep să crească la nesfârșit. Acest criteriu (o creștere nelimitată a deformațiilor cu o creștere limitată a forței de compresiune) este luat drept criteriu de flambaj.

Pierderea stabilității echilibrului elastic are loc nu numai în timpul comprimării tijei, ci și în timpul torsiunii, îndoirii și a unor tipuri mai complexe de deformare.

Formula lui Euler

Se consideră o tijă cu axă dreaptă, fixată prin intermediul a două suporturi articulate (Fig. 7.2). Să presupunem că forța de compresiune longitudinală care acționează asupra tijei a atins o valoare critică, iar tija este îndoită în planul de rigiditate minimă. Planul de rigiditate minimă este situat perpendicular pe axa centrală principală a secțiunii, față de care momentul axial de inerție al secțiunii are o valoare minimă.

(7.1)

unde M este momentul încovoietor; I min este momentul minim de inerție al secțiunii.

Din fig. 7.2 găsiți momentul încovoietor

(7.2)

Pe fig. 7.2 momentul încovoietor datorat acțiunii forței critice este pozitiv, iar deformarea este negativă. Pentru a se pune de acord asupra semnelor acceptate, se pune în dependență un semn minus (7.2).

Înlocuind (7.2) în (7.1), pentru a determina funcția de deviere, obținem ecuația diferențială

(7.3)

(7.4)

Din cursul de matematică superioară se știe că soluția ecuației (7.3) are forma

unde A, B sunt constante de integrare.

Pentru a determina constantele de integrare din (7.5), folosim condițiile la limită

Pentru o tijă îndoită, coeficienții A și B nu pot fi egali cu zero în același timp (altfel tija nu va fi îndoită). De aceea

Echivalând (7.6) și (7.4), găsim

(7.7)

De importanță practică este cea mai mică valoare diferită de zero a forței critice. Prin urmare, înlocuind n=1 în (7.7), avem în sfârșit

(7.8)

Dependența (7.8) se numește formula lui Euler.

Dependența de forță critică

din metoda de fixare a tijei

Formula (7.8) a fost obținută pentru cazul fixării unei tije prin intermediul a două suporturi articulate amplasate la marginile acesteia. Pentru alte metode de fixare a tijei, se folosește formula generalizată Euler pentru a determina forța critică

(7.9)

unde μ este factorul de reducere a lungimii, ținând cont de metoda de fixare a tijei.

În fig. 7.3.

Limitele de aplicabilitate ale formulei Euler. formula lui Yasinsky

P La derivarea formulei Euler s-a folosit condiția ca legea lui Hooke să fie îndeplinită în momentul pierderii stabilității. Tensiunea din tijă în momentul flambajului este egală cu

Unde
- flexibilitatea tijei; A este aria secțiunii transversale a tijei.

În momentul pierderii stabilității, legea lui Hooke va fi îndeplinită sub condiție

unde σpc este limita de proporționalitate a materialului tijei;
- prima flexibilitate finală a lansetei. Pentru oțel St3 λ pr1 = 100.

Astfel, formula lui Euler este valabilă atunci când condiția (7.10) este îndeplinită.

Dacă flexibilitatea tijei este în interval
atunci tija își va pierde stabilitatea în zona deformațiilor elastic-plastice și formula Euler nu poate fi utilizată. În acest caz, forța critică este determinată de formula experimentală a lui Yasinsky

unde a, b sunt coeficienți experimentali. Pentru oțel St3 a = 310 MPa, b = 1,14 MPa.

A doua flexibilitate finală a tijei este determinată de formulă

unde σ t este limita de curgere a materialului tijei. Pentru oțel St3 λ pr2 = 60.

Când condiția λ ≤ λ pr2 este îndeplinită, efortul critic (conform lui Yasinsky) va depăși limita de curgere a materialului tijei. Prin urmare, în acest caz, pentru a determina forța critică, se utilizează relația

(7.12)

ÎN ca exemplu în fig. 7.4 arată dependența solicitării critice de flexibilitatea tijei pentru oțelul St3.

Calculul durabilității

Analiza de stabilitate se realizează folosind condiția de stabilitate

(7.13)

Stresul admisibil la calcularea stabilității;

- factor de stabilitate.

Tensiunea admisibilă în calculul stabilității se bazează pe efortul admisibil în calculul compresiunii

(7.14)

unde φ este coeficientul de flambaj (sau reducerea tensiunii principale admisibile). Acest coeficient variază în intervalul 0 ≤ φ ≤ 1.

Având în vedere că pentru materialele plastice

formulele (7.13) și (7.14) implică

(7.15)

Valorile coeficientului de flambaj în funcție de materialul și flexibilitatea tijei sunt date în literatura de referință.

Cel mai interesant este calculul de proiectare din condiția de stabilitate. Cu acest tip de calcul se cunosc: schema de calcul (coeficientul μ), forța exterioară de compresiune F, materialul (efortul admisibil [σ]) și lungimea l a tijei, forma secțiunii transversale a acesteia. Este necesar să se determine dimensiunile secțiunii transversale.

Dificultatea constă în faptul că nu se știe prin ce formulă să se determine stresul critic, deoarece fără dimensiunile secțiunii transversale, este imposibil să se determine flexibilitatea barei. Prin urmare, calculul se realizează prin metoda aproximărilor succesive:

1) Acceptăm valoarea inițială = 0,5. Determinați aria secțiunii transversale

2) După suprafață găsim dimensiunile secțiunii transversale.

3) Folosind dimensiunile secțiunii transversale obținute, calculăm flexibilitatea tijei, iar prin flexibilitate - valoarea finală a coeficientului de flambaj .

4) Dacă valorile nu se potrivesc Și efectuați a doua aproximare. Valoarea inițială a lui φ în a doua aproximare este luată egală cu
. etc.

Repetăm ​​calculele până când valorile inițiale și finale ale coeficientului φ diferă cu cel mult 5%. Ca răspuns, acceptăm valorile dimensiunilor obținute în ultima aproximare.

Conceptul de stabilitate și putere critică. Calcule de proiectare si verificare.

În structuri și structuri, piesele care sunt tije relativ lungi și subțiri, în care una sau două dimensiuni ale secțiunii transversale sunt mici în comparație cu lungimea tijei, sunt de mare folos. Comportarea unor astfel de tije sub acțiunea unei sarcini de compresiune axială se dovedește a fi fundamental diferită de cea atunci când tijele scurte sunt comprimate: când forța de compresiune F atinge o anumită valoare critică egală cu Fcr, forma rectilinie a echilibrului unei tije lungi se dovedește a fi instabilă, iar când Fcr este depășit, tija începe să se îndoaie intens (se umfle). În acest caz, o nouă stare de echilibru (momentară) a elasticului lung devine o nouă formă deja curbilinie. Acest fenomen se numește pierdere de stabilitate.

Orez. 37. Pierderea stabilității

Stabilitate - capacitatea unui corp de a menține o poziție sau o formă de echilibru sub influențe externe.

Forța critică (Fcr) - sarcină, al cărei exces determină pierderea stabilității formei (poziției) originale a corpului. Stare de stabilitate:

Fmax ≤ Fcr, (25)

Stabilitatea unei tije comprimate. problema lui Euler.

La determinarea forței critice care provoacă flambajul unei tije comprimate, se presupune că tija este perfect dreaptă, iar forța F este aplicată strict central. Problema sarcinii critice a unei tije comprimate, ținând cont de posibilitatea existenței a două forme de echilibru la aceeași valoare a forței, a fost rezolvată de L. Euler în 1744.

Orez. 38. Tijă comprimată

Luați în considerare o tijă susținută pivotant la capete, comprimată de o forță longitudinală F. Să presupunem că, dintr-un motiv oarecare, tija a primit o curbură mică a axei, în urma căreia a apărut un moment de încovoiere M în ea:

unde y este deformarea tijei într-o secțiune arbitrară cu coordonata x.

Pentru a determina forța critică, puteți utiliza valoarea aproximativă ecuație diferențială linie elastica:

(26)

După efectuarea transformărilor, se poate observa că forța critică va lua o valoare minimă la n = 1 (o jumătate de undă a sinusoidei se potrivește pe lungimea tijei) și J = Jmin (tija este îndoită). axa cu cel mai mic moment de inerție)

(27)

Această expresie este formula lui Euler.

Dependența forței critice de condițiile de fixare a tijei.

Formula lui Euler a fost obținută pentru așa-numitul caz de bază - presupunând suportul articulat al tijei la capete. În practică, există și alte cazuri de fixare a tijei. În acest caz, se poate obține o formulă de determinare a forței critice pentru fiecare dintre aceste cazuri prin rezolvarea, ca în paragraful precedent, a ecuației diferențiale a axei îndoite a grinzii cu condițiile la limită corespunzătoare. Dar puteți folosi o tehnică mai simplă, dacă vă amintiți că, în cazul pierderii stabilității, o jumătate de undă a unei sinusoide ar trebui să se potrivească pe lungimea tijei.

Să luăm în considerare câteva cazuri caracteristice de fixare a tijei la capete și să obținem o formulă generală pentru diferite tipuri de prindere.

Orez. 39. Diverse cazuri de fixare a tijei

Formula generală a lui Euler:

(28)

unde μ·l = l pr - lungimea redusă a tijei; l este lungimea reală a tijei; μ este coeficientul lungimii reduse, arătând de câte ori este necesară modificarea lungimii tijei astfel încât forța critică pentru această tijă să devină egală cu forța critică pentru grinda articulată. (O altă interpretare a coeficientului de lungime redusă: μ arată pe ce parte a lungimii tijei pentru un anumit tip de fixare se potrivește o jumătate de undă a sinusoidului în caz de flambaj.)

Astfel, condiția finală de stabilitate ia forma

(29)

Să luăm în considerare două tipuri de calcul pentru stabilitatea tijelor comprimate - verificarea și proiectarea.

Verificați calculul

Procedura de verificare a stabilității arată astfel:

Pe baza dimensiunilor cunoscute și a formei secțiunii transversale și a condițiilor de fixare a tijei, calculăm flexibilitatea;

Conform tabelului de referință, găsim factorul de reducere pentru solicitarea admisibilă, apoi determinăm efortul admisibil pentru stabilitate;

Comparați stresul maxim cu stresul de stabilitate admisibil.

Calcul de proiectare

În calculul de proiectare (pentru a selecta o secțiune pentru o sarcină dată), există două cantități necunoscute în formula de calcul - aria secțiunii transversale dorite A și coeficientul necunoscut φ (deoarece φ depinde de flexibilitatea tijei și, prin urmare, pe zona necunoscută A). Prin urmare, atunci când selectați o secțiune, este de obicei necesar să folosiți metoda aproximărilor succesive:

De obicei, în prima încercare, se ia φ 1 \u003d 0,5 ... 0,6 și aria secțiunii transversale este determinată în prima aproximare

Conform zonei găsite A1, se selectează secțiunea și se calculează flexibilitatea tijei în prima aproximare λ1. Cunoscând λ, găsiți o nouă valoare φ′1;

Alegerea materialului și forma rațională a secțiunii.

Alegerea materialului. Deoarece numai modulul lui Young este inclus în formula Euler pentru toate caracteristicile mecanice, nu este recomandabil să se utilizeze materiale de înaltă rezistență pentru a crește stabilitatea tijelor foarte flexibile, deoarece modulul lui Young este aproximativ același pentru toate tipurile de oțel.

Pentru tijele cu flexibilitate redusă, utilizarea oțelurilor de calitate superioară este justificată, deoarece odată cu creșterea limitei de curgere a unor astfel de oțeluri, tensiunile critice cresc și, prin urmare, marja de stabilitate.

Lungimea tijei Lungimea condiționată REDUCĂ a unei tije comprimate cu condiții date de fixare a capetelor sale, a cărei lungime, prin valoarea forței critice, este echivalentă cu lungimea unei tije cu capete articulate

(bulgară; bulgară) - lungime data pe prt

(cehă; Čeština) - vzpěrná delka prutu

(limba germană; germană) - reduzierte Stablänge; ideelle Stablange

(maghiară; maghiară) - rud kihajlas! hosza

(Mongol) - tuyvangiin khorvuulsen urt

(limba poloneză; Polska) - długość sprowadzona pręta

(Română; Român) - lungime convențională a barei

(Sârbo-croată; Srpski jezik; Hrvatski jezik) - redukovana dužina stapa

(Spaniolă; Español) - luz efectiva de una barra

(limba engleză; engleză) - lungime redusă a barei

(limba franceză; franceză) - longueur reduite d "une barre

Dicționar de construcții.

Vedeți ce înseamnă „LUNGIME TIJEI REDUSĂ” în alte dicționare:

lungimea tijei redusă- Lungimea condiționată a unei tije comprimate cu condiții date pentru fixarea capetelor sale, a cărei lungime, prin valoarea forței critice, este echivalentă cu lungimea unei tije cu capete articulate [Dicționar terminologic pentru construcție în 12 limbi (VNIIIS ......

lungimea barei reduse- Lungimea nominală a unei tije cu o singură travă, a cărei forță critică, atunci când capetele sale sunt articulate, este aceeași ca pentru o tijă dată. [Culegere de termeni recomandați. Problema 82. Mecanica structurale. Academia de Științe a URSS. Comitetul stiintific ...... Manualul Traducătorului Tehnic

Scheme și coeficienți de deformare pentru diferite condiții de fixare și metoda de aplicare a sarcinii Raportul de flexibilitate a tijei al lungimii efective a tijei ... Wikipedia

- (silomer). Acest nume se numește cântare cu arc în cursurile de fizică și în instrumentele de mecanică pentru măsurarea lucrului mecanic (cm). Cea mai veche imagine a unei balanțe cu arc, după Karsten, a fost tipărită în 1726, fără descriere, în cartea: Leupold, ... ... Dicţionar enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron

MĂSURI- MĂSURI definite de fizic. cantități față de care se compară alte cantități pentru a le măsura. Principalele măsuri ale celui mai comun sistem metric: lungimea metrului la 0 ° a unei tije de platină stocată în Biroul Internațional de Măsuri și ... ... Marea Enciclopedie Medicală

Să determinăm forța critică pentru o tijă comprimată central articulată la capete (Fig. 13.4). Pentru forțe mici R axul tijei rămâne drept şi în secţiunile sale apar tensiuni centrale de compresiune o = P/F. La valoarea critică a forţei P = P, o formă curbată de echilibru a tijei devine posibilă.

Există o îndoire longitudinală. Momentul încovoietor într-o secțiune arbitrară x a tijei este egal cu

Este important de reținut că momentul încovoietor este determinat pentru starea deformată a barei.

Dacă presupunem că tensiunile de încovoiere care apar în secțiunile transversale ale tijei din acțiunea forței critice nu depășesc limita de proporționalitate a materialului o pc și deviațiile tijei sunt mici, atunci putem folosi ecuația diferențială aproximativă. pentru axa îndoită a tijei (vezi § 9.2)

Prin introducerea notaţiei

în loc de (13.2) obținem următoarea ecuație:

Soluția generală a acestei ecuații are forma

Această soluție conține trei necunoscute: constantele de integrare Cj, С2 și parametrul la,întrucât amploarea forţei critice este de asemenea necunoscută. Pentru a determina aceste trei mărimi, există doar două condiții la limită: u(0) = 0, v(l) = 0. Din prima condiție la limită rezultă că C 2 = 0, iar din a doua se obține

Din această egalitate rezultă că fie C (= 0 sau păcat kl = 0. În cazul C, = 0, deviațiile în toate secțiunile tijei sunt egale cu zero, ceea ce contrazice ipoteza inițială a problemei. În al doilea caz kl = pc, Unde P -întreg arbitrar. Având în vedere acest lucru, prin formulele (13.3) și (13.5) obținem

Problema luată în considerare este o problemă de valori proprii. Numerele găsite la = pc/1 numit propriile numere, iar funcţiile lor corespunzătoare sunt funcții proprii.

După cum se vede din (13.7), în funcție de număr P forța de compresiune P (i), la care tija este în stare îndoită, poate lua teoretic un număr de valori. În acest caz, conform (13.8), tija este îndoită P semiunde ale unei sinusoide (Fig. 13.5).

Cea mai mică valoare a forței va fi la P = 1:

Această forță se numește prima forță critică.în care kl = to iar axa curbată a tijei este o jumătate de undă a unei sinusoide (Fig. 13.5, dar):

Unde C(1)=/ - deformare la mijlocul lungimii tijei, care rezultă din (13.8) când P= 1 dintre ele = 1/2.

Formula (13.9) a fost obținută de Leonhard Euler și se numește formula lui Euler pentru forța critică.

Toate formele de echilibru (Fig. 13.5), cu excepția primei (P= 1), sunt instabile și, prin urmare, nu prezintă interes practic. Forme de echilibru corespunzătoare P - 2, 3, ..., vor fi stabile dacă la punctele de inflexiune ale dreptei elastice (punctele C și C „în Fig. 13.5, b, c) introduceți suporturi suplimentare cu balamale.

Soluția rezultată are două caracteristici. În primul rând, soluția (13.10) nu este unică, deoarece constanta arbitrară Cj (1) =/ rămâne nedefinită în ciuda utilizării tuturor condițiilor la limită. Ca urmare, deviațiile au fost determinate într-un factor constant. În al doilea rând, această soluție nu face posibilă descrierea stării tijei la P > P cr. Din (13.6) rezultă că pentru P = P cr tija poate avea o formă curbată de echilibru cu condiţia ca kl = k. Dacă R > R cr, apoi kl F p,și atunci ar trebui să fie Cj (1) = 0. Aceasta înseamnă că v= 0, adică bara după îndoire la P = P cr revine la o linie dreaptă R > R. Este evident că acest lucru contrazice conceptele fizice de îndoire a tijei.

Aceste caracteristici se datorează faptului că expresia (13.1) pentru momentul încovoietor și ecuația diferențială (13.2) au fost obținute pentru starea deformată a tijei, în timp ce la stabilirea condiției la limită la capăt X= / mișcare axială si in acest capăt (Fig. 13.6) datorat îndoirii nu a fost luat în considerare. Într-adevăr, dacă neglijăm scurtarea tijei din cauza compresiei centrale, atunci este ușor să ne imaginăm că deviațiile tijei vor avea valori destul de precise dacă setăm valoarea si in.

Din acest raționament, devine evident că pentru a determina dependența deformațiilor de mărimea forței de compresiune R necesar în locul condiției la limită v(l)= 0 folosește condiția de limită rafinată v(l - și v) = 0. S-a constatat că dacă forța depășește valoarea critică cu doar 1 + 2%, deviațiile devin suficient de mari și este necesar să se folosească ecuația de flambaj diferențială neliniară exactă

Această ecuație diferă de ecuația aproximativă (13.4) prin primul termen, care este o expresie exactă pentru curbura axei îndoite a tijei (vezi § 9.2).

Soluția ecuației (13.11) este destul de complicată și se exprimă în termeni de integrală eliptică completă de primul fel.