Notă: vezi și tabelul cu valorile funcțiilor trigonometrice ale altor unghiuri.

Sinus, cosinus, tangentă de 45 de grade (sin 45, cos 45, tg 45)

Valori tabelare ale sinusului 45, cosinus 45 și tangentei 45 de grade indicat. În continuare, în text urmează o explicație a metodei și corectitudinea calculării acestor valori pentru un triunghi dreptunghic arbitrar.

45 de grade este π/4 radiani. Formulele pentru cosinus, sinus și tangenta pi/4 radiani sunt enumerate mai jos (deși sunt identice).
Adică, de exemplu, tg π/4 = tg 45 grade

VALORI ALE FUNCȚILOR TRIGONOMETRICE LA α=45°

Cum să calculați singur valorile sin cos tg 45 de grade?

Construiți și considerați un triunghi dreptunghic ABC cu unghi ∠ B = 45°. Pe baza raportului laturilor sale, calculăm valorile funcțiilor trigonometrice dintr-un triunghi dreptunghic pentru un unghi de 45 de grade. Deoarece triunghiul este dreptunghic, valorile funcțiilor sinus, cosinus și tangentă vor fi egale cu raportul laturilor sale respective.

Deoarece valorile funcțiilor sinus, cosinus și tangentă depind numai de măsura gradului unghiului (sau valoarea exprimată în radiani), rapoartele pe care le-am găsit vor fi valorile funcției sinus 45, cosinus 45 și tangentă 45 de grade.

Conform proprietăților unui triunghi dreptunghic, unghiul C este un unghi drept și este egal cu 90 de grade. Am construit inițial unghiul B cu o măsură a gradului de 45 de grade. Aflați valoarea unghiului A. Deoarece suma unghiurilor unui triunghi este de 180 de grade, atunci

∠ A+ ∠ B + ∠ C = 180°
Unghiul C este drept și egal cu 90 de grade, inițial am definit unghiul B ca 45 de grade, astfel:
∠ A \u003d 180 ° - ∠ CU - ∠ H = 180° - 90° - 45° = 45°

Deoarece acest triunghi are două unghiuri egale, triunghiul ABC este dreptunghiulară și, în același timp, isoscel, în care ambele picioare sunt egale între ele: AC = BC.

Să presupunem că lungimea laturilor este egală cu un anumit număr AC = BC = a. Cunoscând lungimile catetelor, calculăm lungimea ipotenuzei.

Conform teoremei lui Pitagora: AB 2 \u003d AC 2 + BC 2
Înlocuim lungimile lui AC și BC cu variabila a, apoi obținem:

AB 2 \u003d a 2 + a 2 \u003d 2a 2,

atunci AB=a √ 2.

Ca urmare am exprimat lungimile tuturor laturilor un triunghi dreptunghic cu un unghi de 45 de grade prin variabila a.

După proprietăţile funcţiilor trigonometrice dintr-un triunghi dreptunghic raportul laturilor corespunzătoare ale triunghiului va fi egal cu valoarea funcțiilor corespunzătoare. Astfel, pentru un unghi α = 45 de grade:

sinα = BC / AB(conform definiției sinusului pentru un triunghi dreptunghic, acesta este raportul catetului opus față de ipotenuză, BC este catetul, AB este ipotenuza)

cosα = AC / AB(conform definiției cosinusului, acesta este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuza, AC este catetul, AB este ipotenuza)

tgα = BC / AC(în mod similar, tangenta pentru unghiul α va fi egală cu raportul catetului opus față de cel alăturat)

În locul denumirilor laturilor, înlocuim valorile lungimii lor prin variabila a.

Pe baza acestui lucru (vezi tabelul cu valori sin 45, cos 45, tg 45) primim:

Valori de tabel sin 45, cos 45, tg 45(adică valoarea sinus 45, cosinus 45 și tangentă 45 grade pot fi calculate ca raport al laturilor corespunzătoare ale acestui triunghi), înlocuim valorile lungimilor laturilor calculate mai sus în formule și obținem rezultatul în imaginea de mai jos.

Valori din tabel: sinus 45, cosinus 45 și tangentă 45 de grade

Prin urmare:

• tangenta de 45 de grade este egala cu unu
• sinusul de 45 de grade este egal cu cosinusul de 45 de grade și este egal cu rădăcina pătrată a două (la fel ca și una împărțită la rădăcina pătrată a doi)

După cum se poate vedea din calculele de mai sus, pentru a calcula valorile funcției trigonometrice corespunzătoare, nu lungimile laturilor triunghiului sunt importante, ci raportul lor, care este întotdeauna același pentru aceleași unghiuri, indiferent de dimensiunea unui anumit triunghi.

Sinus, cosinus și tangentă de π/4 radiani

În sarcinile propuse pentru rezolvare în liceu și la ZNO / USE, în locul măsurării gradului unghiului, apare adesea o indicație a valorii acestuia, măsurată în radiani. Măsura unui unghi, exprimată în radiani, se bazează pe numărul pi, care exprimă dependența circumferinței unui cerc de diametrul acestuia.

Pentru ușurință de înțelegere, vă recomand să vă amintiți cum se transformă grade în radiani. Diametrul unui cerc se întinde pe un arc de 180 de grade. Deci pi radiani este egal cu 180 de grade. De unde este ușor să convertiți orice măsură de grad a unui unghi în radiani și invers.

Luam in calcul asta Unghi de 45 de grade exprimat în radiani, este egal cu (180 / 45 = 4) π/4 (pi cu patru). Prin urmare, valorile găsite de noi sunt corecte pentru aceeași măsură de grad a unghiului, exprimată în radiani:

• tangentă π/4(pi ori patru) este egal cu unu
• sinus π/4(pi ori patru) grade este egal cu cosinus π/4 grade și egal cu rădăcina pătrată a lui doi

Injecţie: °π rad =

Convertiți în: radiani grade 0 - 360° 0 - 2π pozitiv negativ Calculați

Când liniile se intersectează, se obțin patru zone diferite în raport cu punctul de intersecție.
Aceste noi zone sunt numite colțuri.

Imaginea prezintă 4 unghiuri diferite formate prin intersecția dreptelor AB și CD

De obicei, unghiurile sunt măsurate în grade, care se notează cu °. Când un obiect face un cerc complet, adică se deplasează din punctul D prin B, C, A și apoi înapoi în D, se spune că s-a rotit la 360 de grade (360°). Deci un grad este $\frac(1)(360)$ dintr-un cerc.

Unghiuri mai mari de 360 ​​de grade

Am vorbit despre cum, atunci când un obiect face un cerc complet în jurul unui punct, atunci acesta merge la 360°, totuși, când un obiect face mai mult de un cerc, atunci face un unghi mai mare de 360 ​​de grade. Acesta este un eveniment comun în Viata de zi cu zi. Roata trece prin multe cercuri când mașina se mișcă, adică formează un unghi mai mare de 360°.

Pentru a afla numărul de cicluri (cercuri parcurse) în timpul rotației unui obiect, numărăm de câte ori 360 trebuie adăugat la sine pentru a obține un număr egal sau mai mic decât un unghi dat. În același mod, găsim un număr, pe care îl înmulțim cu 360 pentru a obține un număr mai mic, dar cel mai apropiat de unghiul dat.

Exemplul 2
1. Aflați numărul de cercuri descrise de obiectul care formează unghiul
a) 380°
b) 770°
c) 1000°
Decizie
a) 380 = (1 × 360) + 20
Obiectul a descris un cerc și 20°
Deoarece cercul $20^(\circ) = \frac(20)(360) = \frac(1)(18)$
Obiectul a descris $1\frac(1)(18)$ cercuri.

B) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
Obiectul a descris două cercuri și 50°
$50^(\circ) = \frac(50)(360) = \frac(5)(36)$ cercuri
Obiectul a descris $2\frac(5)(36)$ cercuri
c)2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
$280^(\circ) = \frac(260)(360) = \frac(7)(9)$ cercuri
Obiectul a descris $2\frac(7)(9)$ cercuri

Când un obiect se rotește în sensul acelor de ceasornic, formează un unghi negativ de rotație, iar când se rotește în sens invers acelor de ceasornic, formează un unghi pozitiv. Până în acest punct, am luat în considerare doar unghiurile pozitive.

Sub formă de diagramă, un unghi negativ poate fi desenat după cum se arată mai jos.

Figura de mai jos arată semnul unghiului, care este măsurat dintr-o linie dreaptă comună, axa 0 (abscisa - axa x)

Aceasta înseamnă că, dacă există un unghi negativ, putem obține unghiul pozitiv corespunzător.
De exemplu, partea de jos a unei linii verticale este de 270°. Când se măsoară în direcția negativă, obținem -90 °. Pur și simplu scădem 270 din 360. Având în vedere un unghi negativ, adunăm 360 pentru a obține unghiul pozitiv corespunzător.
Când unghiul este de -360°, înseamnă că obiectul a făcut mai mult de un cerc în sensul acelor de ceasornic.

Exemplul 3
1. Găsiți unghiul pozitiv corespunzător
a) -35°
b) -60°
c) -180°
d) - 670°

2. Găsiți unghiul negativ corespunzător 80°, 167°, 330° și 1300°.
Decizie
1. Pentru a găsi unghiul pozitiv corespunzător, adăugăm 360 la valoarea unghiului.
a) -35°= 360 + (-35) = 360 - 35 = 325°
b) -60°= 360 + (-60) = 360 - 60 = 300°
c) -180°= 360 + (-180) = 360 - 180 = 180°
d) -670°= 360 + (-670) = -310
Aceasta înseamnă un cerc în sensul acelor de ceasornic (360)
360 + (-310) = 50°
Unghiul este 360 ​​+ 50 = 410°

2. Pentru a obține unghiul negativ corespunzător, scădem 360 din valoarea unghiului.
80° = 80 - 360 = - 280°
167° = 167 - 360 = -193°
330° = 330 - 360 = -30°
1300° = 1300 - 360 = 940 (o tură finalizată)
940 - 360 = 580 (a doua rundă a trecut)
580 - 360 = 220 (turda a treia finalizată)
220 - 360 = -140°
Unghiul este -360 - 360 - 360 - 140 = -1220°
Deci 1300° = -1220°

Radian

Un radian este unghiul din centrul unui cerc care cuprinde un arc a cărui lungime este egală cu raza cercului dat. Aceasta este o unitate de măsură pentru o valoare unghiulară. Acest unghi este de aproximativ 57,3°.
În cele mai multe cazuri, acest lucru este denumit bucuros.
Astfel $1 rad \aprox 57,3^(\circ)$

Raza=r=OA=OB=AB
Unghiul BOA este de un radian

Deoarece circumferința este dată ca $2\pi r$, există $2\pi$ raze în cerc și, prin urmare, $2\pi$ radiani în întregul cerc.

Radianii sunt de obicei exprimați în termeni de $\pi$ pentru a evita părțile zecimale în calcule. În majoritatea cărților, acronimul bucuros (rad) nu are loc, dar cititorul ar trebui să știe că, când vorbim despre un unghi, apoi este specificat prin $\pi$, iar unitățile de măsură devin automat radiani.

$360^(\circ) = 2\pi\rad$
$180^(\circ) = \pi\rad$
$90^(\circ) = \frac(\pi)(2) rad$

$30^(\circ) = \frac(30)(180)\pi = \frac(\pi)(6) rad$

$45^(\circ) = \frac(45)(180)\pi = \frac(\pi)(4) rad$

$60^(\circ) = \frac(60)(180)\pi = \frac(\pi)(3) rad$

$270^(\circ) = \frac(270)(180)\pi = \frac(27)(18)\pi = 1\frac(1)(2)\pi\ rad$

Exemplul 4
1. Convertiți 240°, 45°, 270°, 750° și 390° în radiani prin $\pi$.
Decizie
Înmulțiți unghiurile cu $\frac(\pi)(180)$.

$240^(\circ) = 240 \times \frac(\pi)(180) = \frac(4)(3)\pi=1\frac(1)(3)\pi$

$120^(\circ) = 120 \times \frac(\pi)(180) = \frac(2\pi)(3)$

$270^(\circ) = 270 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(3)(2)\pi=1\frac(1)(2)\pi$

$750^(\circ) = 750 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(25)(6)\pi=4\frac(1)(6)\pi$

$390^(\circ) = 390 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(13)(6)\pi=2\frac(1)(6)\pi$

2. Convertiți următoarele unghiuri în grade.
a) $\frac(5)(4)\pi$
b) 3,12 $\pi$
c) 2,4 radiani
Decizie
$180^(\circ) = \pi$
a) $\frac(5)(4) \pi = \frac(5)(4) \times 180 = 225^(\circ)$
b) $3,12\pi = 3,12 \times 180 = 561,6^(\circ)$
c) 1 rad = 57,3°
2,4 $ = \frac(2,4 \times 57,3)(1) = 137,52 $

Unghiuri negative și unghiuri mai mari de $2\pi$ radiani

Pentru a converti un unghi negativ într-unul pozitiv, îl adăugăm la $2\pi$.
Pentru a converti un unghi pozitiv într-unul negativ, scădem $2\pi$ din acesta.

Exemplul 5
1. Convertiți $-\frac(3)(4)\pi$ și $-\frac(5)(7)\pi$ în unghiuri pozitive în radiani.

Decizie
Adăugați în colțul $2\pi$
$-\frac(3)(4)\pi = -\frac(3)(4)\pi + 2\pi = \frac(5)(4)\pi = 1\frac(1)(4)\ pi$

$-\frac(5)(7)\pi = -\frac(5)(7)\pi + 2\pi = \frac(9)(7)\pi = 1\frac(2)(7)\ pi$

Când un obiect se rotește printr-un unghi mai mare de $2\pi$;, acesta face mai mult de un cerc.
Pentru a determina numărul de rotații (cercuri sau cicluri) într-un astfel de unghi, găsim un astfel de număr, înmulțind cu $2\pi$, rezultatul este egal sau mai mic decât, dar cât mai aproape de numărul dat.

Exemplul 6
1. Aflați numărul de cercuri trecute de obiect la unghiuri date
a) $-10\pi$
b) $9\pi$
c) $\frac(7)(2)\pi$

Decizie
a) $-10\pi = 5(-2\pi)$;
$-2\pi$ implică un ciclu în sensul acelor de ceasornic, înseamnă că
obiectul a făcut 5 cicluri în sensul acelor de ceasornic.

b) $9\pi = 4(2\pi) + \pi$, $\pi =$ jumătate de ciclu
obiectul a făcut patru cicluri și jumătate în sens invers acelor de ceasornic

c) $\frac(7)(2)\pi=3,5\pi=2\pi+1,5\pi$, $1,5\pi$ este egal cu trei sferturi din ciclul $(\frac(1,5\pi) (2\pi)=\frac(3)(4))$
obiectul a parcurs un ciclu și trei sferturi în sens invers acelor de ceasornic

UNGHURI PE PLAN ȘI MĂSURAREA LOR. O figură pe un plan format din două raze care emană din același punct O, se numește unghi . Raze OAși OB se numesc laturile unghiului si punctul O top. Unghi cu laturile OAși OB notat cu R AOB.

Unghiurile sunt comparate, adaugate, masurate. Sunt egale dacă pot fi combinate prin deplasare. Două unghiuri se numesc adiacente (Fig. 1) dacă au un vârf comun și o latură, iar celelalte două formează o linie dreaptă. În general, unghiurile care au un vârf comun și o latură comună sunt numite adiacente (Fig. 2). Unghiurile se numesc verticale (Fig. 3) dacă laturile unuia sunt continuare dincolo de vârful laturilor celuilalt. Unghiurile verticale sunt egale între ele. Unghiul la care laturile formează o linie dreaptă se numește desfășurat (Fig. 4). Un unghi egal cu unghiul său adiacent se numește unghi drept. Un unghi mai mic decât un unghi drept este ascuțit, un unghi mai mare decât unul drept, dar mai mic decât unul desfășurat este obtuz.

La intersecția a două drepte situate în același plan, unghiurile sunt formate de a treia dreaptă (Fig. 5). 1 și 5, 2 și 6, 4 și 8, 3 și 7 se numesc corespondenți; 2 și 5, 3 și 8 - interioare unilaterale; 1 și 6, 4 și 7 - unilateral extern; 3 și 5, 2 și 8 - culcat intern transversal; 1 și 7, 4 și 6 - exterioară întinsă transversal.

Dacă fasciculul OC intră în colț AOB(Fig. 6), apoi, prin definiție, se crede că unghiul AOC, ca unghiul ŞTIULETE, mai mic decât unghiul AOBși acel unghi AOB egală cu suma unghiurilor AOCși ŞTIULETE. Luând un anumit unghi ca unitate de măsură, se determină valoarea oricărui unghi, adică afla de câte ori se încadrează în el o unitate de unghi dată. Când se măsoară un unghi, ele pornesc de la două dintre proprietățile sale, similare cu proprietățile lungimii unui segment: 1) mărimile unghiurilor egale sunt egale, 2) mărimea sumei a două unghiuri este egală cu suma lui mărimile lor.

Dacă luăm în considerare unghiurile, al căror vârf este centrul cercului, iar laturile sunt razele, atunci se poate observa că unghiurile egale decupează arce egale pe cerc, iar suma unghiurilor va corespunde cu suma arcurilor contractate de acestea. Prin urmare, mărimea unui unghi este proporțională cu lungimea arcului pe care îl taie, iar unitățile de măsură pot fi setate indicând ce parte a cercului formează arcul corespunzător.

De obicei se folosesc două sisteme pentru măsurarea unghiurilor: gradși radian.

În sistemul de grade, un arc care măsoară 1/360 dintr-un cerc este luat ca unitate de măsură (notat cu °). Gradul este împărțit în 60 de minute (notat cu "), un minut cu 60 de secunde (notat cu ""). Șase de măsurători amintesc de Babilon, dar a mai existat un grad în istorie. În timpul Revoluției Franceze (1793) în Franța, împreună cu sistemul zecimal (metric) de unghiuri de măsurare, a fost introdus de sistemul de măsuri. În acesta, un unghi drept este împărțit în 100 de grade ("grads"), un grad la 100 de minute, un minut la 100 de secunde. Acest sistem este folosit cel mai adesea în măsurători geodezice.

Matematicienii preferă să folosească o măsură în radian - unitatea de măsură este unghiul la care arcul său egal cu raza este vizibil din centrul cercului. Valoarea acestui unghi este radianul . Nu depinde de raza cercului și de poziția arcului pe cerc. pentru că semicercul este vizibil din centru la un unghi de 180°, iar lungimea lui este egală cu 241 raze, apoi radiani în 241 ori mai mic decât unghiul de 180°, adică un radian este egal cu 180° / 241 :

1 radian » 57,2958° » 57° 17"45""

În ambele sisteme cu radian și grade, unghiul este măsurat cu unitatea de unghi. Faptul că numele într-un caz (pentru grad) este aplicat, iar în celălalt (pentru radian) este subînțeles, nu joacă niciun rol.

Măsura radianilor, care este exprimată ca raportul dintre lungimea unui arc descrisă de o rază arbitrară de la centru și închisă între laturile unghiului, și raza acestui arc, nu depinde de alegerea unității de lungime. De asemenea, nu depinde măsura gradului, deoarece este și raportul dintre două lungimi, și anume lungimea arcului descris de la vârful unghiului și închis între laturile acestuia, la lungimea arcului egală cu 1/360 dintr-o porțiune de cerc de aceeași rază.

Astfel, nu există o diferență fundamentală între gradul și măsura radianilor unui unghi, cu toate acestea, introducerea unei măsuri în radian face posibilă darea multor formule într-o formă mai simplă.

Raportul dintre măsurile de grade și radiani ale celor mai comune unghiuri este prezentat în tabelul următor

Drept unghiul conține 90° sau 241 /2 radiani. Acută se află în intervalul de la 0 la 90 ° sau de la 0 la 241 /2 radian, obtuz – 90 până la 180° sau de la 241 /2 la 241 . Liniile drepte care formează un unghi drept se numesc perpendiculare una pe cealaltă.

Este adesea important să indicați în ce direcție este măsurat unghiul. Dacă este considerată o măsură a unghiului, rotația în jurul vârfului O, fascicul translator OAîn poziție OB, atunci se consideră o măsură pozitivă a unghiului dacă rotația are loc în sens invers acelor de ceasornic, în caz contrar unghiul este considerat negativ m. Astfel, unghiul poate avea ca valoare orice număr real. În trigonometrie, o astfel de luare în considerare permite studierea funcțiilor trigonometrice pentru orice valoare a argumentului.

Unghiul dintre două curbe pornind de la un punct comun, la care fiecare dintre curbe are o anumită tangentă, se înțelege ca unghiul format de aceste tangente. Conceptul de unghi este, de asemenea, generalizat la diferite obiecte din spațiu (unghiuri diedrice, solide și poliedrice.