Graficul funcției y=sin x. Funcții y = sin x, y = cos x, y = mf(x), y = f(kx), y = tg x, y = ctg x Cum se numește graficul funcției y sinx

Tutorialul video „Funcția y = sinx, proprietățile sale și graficul” prezintă material vizual pe această temă, precum și comentarii la acesta. În timpul demonstrației, se iau în considerare tipul funcției, proprietățile acesteia, comportamentul pe diferite segmente ale planului de coordonate, caracteristicile graficului sunt descrise în detaliu, este descris un exemplu de soluție grafică ecuații trigonometrice conţinând un sinus. Cu ajutorul unei lecții video, profesorului îi este mai ușor să-și formeze conceptul elevului despre această funcție, să învețe cum să rezolve problemele grafic.

Tutorialul video folosește instrumente care facilitează memorarea și înțelegerea informații educaționale. În prezentarea graficelor și în descrierea soluționării problemelor se folosesc efecte de animație care ajută la înțelegerea comportamentului funcției, la prezentarea succesivă a progresului soluției. De asemenea, vocea materialului îl completează cu comentarii importante care înlocuiesc explicația profesorului. Astfel, acest material poate fi folosit și ca ajutor vizual. Și ca parte independentă a lecției în loc de explicația profesorului pe un subiect nou.

Demonstrația începe prin introducerea subiectului lecției. Este prezentată funcția sine, a cărei descriere este evidențiată într-o casetă de memorie - s=sint, în care argumentul t poate fi orice număr real. Descrierea proprietăților acestei funcții începe cu domeniul de aplicare. Se observă că domeniul de definire al funcției este întreaga axă numerică a numerelor reale, adică D(f)=(- ∞;+∞). A doua proprietate este ciudățenia funcției sinus. Elevilor li se reamintește că această proprietate a fost studiată în clasa a 9-a, când s-a remarcat că pentru o funcție impară este valabilă egalitatea f(-x)=-f(x). Pentru sinus, confirmarea ciudățeniei funcției este demonstrată pe un cerc unitar împărțit în sferturi. Cunoscând ce semn ia funcția în diferite sferturi ale planului de coordonate, se observă că pentru argumentele cu semne opuse, folosind exemplul punctelor L(t) și N(-t) pentru sinus, condiția impară este îndeplinită. Prin urmare s=sint este o funcție impară. Aceasta înseamnă că graficul funcției este simetric față de origine.

A treia proprietate a sinusului arată intervalele de creștere și scădere a funcției. Se notează că această funcție crește pe interval și scade pe intervalul [π/2;π]. Proprietatea este prezentată în figură, care arată un cerc unitar și la deplasarea din punctul A în sens invers acelor de ceasornic, ordonata crește, adică valoarea funcției crește la π/2. La trecerea din punctul B la C, adică atunci când unghiul se schimbă de la π / 2 la π, valoarea ordonatei scade. În al treilea sfert de cerc, la trecerea din punctul C în punctul D, ordonata scade de la 0 la -1, adică valoarea sinusului scade. În ultimul trimestru, la trecerea din punctul D în punctul A, valoarea ordonatei crește de la -1 la 0. Astfel, puteți face concluzie generală despre comportamentul funcției. Ecranul afișează ieșirea pe care sint crește pe segmentul [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk], descrescătoare pe intervalul [(π/2)+2πk; (3π/2)+2πk] pentru orice întreg k.

A patra proprietate a sinusului ia în considerare mărginirea funcției. Se observă că funcția sint este mărginită atât deasupra cât și dedesubt. Elevilor li se reamintesc informațiile din algebra de clasa a 9-a atunci când s-au familiarizat cu conceptul de mărginire a unei funcții. Ecranul afișează condiția unei funcții mărginite de sus, pentru care există un număr pentru care inegalitatea f(x)>=M este satisfăcută în orice punct al funcției. De asemenea, ne amintim de condiția unei funcții mărginite mai jos, pentru care există un număr m mai mic decât fiecare punct al funcției. Pentru sint, condiția este -1<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

A cincea proprietate ia în considerare cele mai mici și mai mari valori ale funcției. Se notează realizarea celei mai mici valori -1 în fiecare punct t=-(π/2)+2πk, iar cea mai mare - în punctele t=(π/2)+2πk.

Pe baza proprietăților considerate, graficul funcției sint este reprezentat grafic pe intervalul . Pentru a construi funcția, se folosesc valorile tabelare ale sinusului punctelor corespunzătoare. Coordonatele punctelor π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π sunt marcate pe planul de coordonate. După ce am marcat valorile tabelare ale funcției în aceste puncte și le-am conectat cu o linie netedă, construim un grafic.

Pentru a reprezenta grafic funcția sint pe segmentul [-π; π], se folosește proprietatea de simetrie a funcției față de origine. Figura arată cum linia obținută ca rezultat al construcției este transferată fără probleme simetric în raport cu originea la segmentul [-π; 0].

Folosind proprietatea funcției sint, exprimată în formula de reducere sin (x + 2π) \u003d sin x, se observă că la fiecare 2π graficul sinus se repetă. Astfel, pe intervalul [π; Graficul 3π] va fi același ca pe [-π;π]. Astfel, graficul acestei funcții este un fragment care se repetă [-π; π] pe întregul domeniu de definiție. Separat, se observă că un astfel de grafic al funcției se numește sinusoid. Este introdus și conceptul de undă sinusoidală - un fragment de grafic construit pe segmentul [-π; π] și un arc sinusoid construit pe segmentul . Aceste fragmente sunt afișate din nou pentru memorare.

Se observă că funcția sint este o funcție continuă pe întregul domeniu de definiție și, de asemenea, că domeniul funcției se află în setul de valori ale intervalului [-1;1].

La sfârșitul tutorialului video, este luată în considerare o soluție grafică a ecuației sin x \u003d x + π. În mod evident, soluția grafică a ecuației va fi intersecția graficului funcției date de expresia din stânga și funcția dată de expresia din dreapta. Pentru a rezolva problema, se construiește un plan de coordonate, pe care se conturează sinusoida corespunzătoare y \u003d sin x și se construiește o linie dreaptă corespunzătoare graficului funcției y \u003d x + π. Graficele construite se intersectează într-un singur punct В(-π;0). Prin urmare, x \u003d - π va fi soluția ecuației.

Lecția video „Funcția y = sinx, proprietățile sale și graficul” va ajuta la creșterea eficienței lecției lecției tradiționale de matematică de la școală. De asemenea, puteți utiliza material vizual atunci când efectuați învățământ la distanță. Manualul poate ajuta la stăpânirea subiectului pentru studenții care au nevoie de cursuri suplimentare pentru o înțelegere mai profundă a materialului.

INTERPRETAREA TEXTULUI:

Subiectul lecției noastre este „Funcția y \u003d sin x, proprietățile și graficul acesteia”.

Mai devreme ne-am familiarizat deja cu funcția s = sin t, unde tϵR (es este egal cu sinusul lui te, unde te aparține mulțimii numerelor reale). Să examinăm proprietățile acestei funcții:

INDIVIDUAL 1. Domeniul de definiție este mulțimea numerelor reale R (er), adică D (f) = (-; +) (de din ef reprezintă intervalul de la minus infinit la plus infinit).

PROPRIETATE 2. Functia s = sin t este impara.

În lecțiile din clasa a 9-a, am învățat că funcția y \u003d f (x), x ϵX (y este egal cu eff din x, unde x aparține mulțimii x este mare) se numește impară dacă pentru orice valoare x din multimea X egalitatea

f (- x) \u003d - f (x) (ef din minus x este egal cu minus ef din x).

Și întrucât ordonatele punctelor L și N, care sunt simetrice față de axa absciselor, sunt opuse, atunci sin (- t) = -sint.

Adică, s \u003d sin t este o funcție impară, iar graficul funcției s \u003d sin t este simetric față de originea într-un sistem de coordonate dreptunghiular tos(te o es).

Considerăm PROPRIETATEA 3. Pe intervalul [ 0; ] (de la zero la pi cu doi) funcția s = sin t crește și scade pe segmentul [; ](de la pi cu doi la pi).

Acest lucru se vede clar în figuri: atunci când un punct se mișcă de-a lungul cercului numeric de la zero la pi cu doi (de la punctul A la B), ordonata crește treptat de la 0 la 1 și când se deplasează de la pi cu doi la pi (de la punctul B la C), ordonata scade treptat de la 1 la 0.

Când punctul se deplasează de-a lungul celui de-al treilea sfert (de la punctul C la punctul D), ordonata punctului în mișcare scade de la zero la minus unu, iar când se deplasează de-a lungul celui de-al patrulea trimestru, ordonata crește de la minus unu la zero. Prin urmare, putem trage o concluzie generală: funcția s = sin t crește pe segment

(de la minus pi cu două plus două vârfuri la pi cu două plus două vârfuri), și scade pe intervalul [; (de la pi cu doi plus doi pi ka la trei pi cu doi plus doi pi ka), unde

(ka aparține mulțimii numerelor întregi).

PROPRIETATE 4. Funcția s = sin t este mărginită de sus și de jos.

De la cursul de clasa a IX-a, amintiți-vă definiția mărginirii: o funcție y \u003d f (x) se numește mărginită de jos dacă toate valorile funcției nu sunt mai mici decât un număr. m m astfel încât pentru orice valoare x din domeniul funcției, inegalitatea f (x) ≥ m(ef din x este mai mare sau egal cu em). Funcția y \u003d f (x) se numește mărginită de sus dacă toate valorile funcției nu sunt mai mari decât un anumit număr M, ceea ce înseamnă că există un număr M astfel încât pentru orice valoare x din domeniul funcției, inegalitatea f (x) ≤ M(ef din x este mai mic sau egal cu em). O funcție se numește mărginită dacă este mărginită atât de jos, cât și de sus.

Să revenim la funcția noastră: mărginirea rezultă din faptul că pentru orice te inegalitatea este adevărată - 1 ≤ sint ≤ 1. (sinusul lui te este mai mare sau egal cu minus unu, dar mai mic sau egal cu unu).

PROPRIETATE 5. Cea mai mică valoare a funcției este egală cu minus unu și funcția atinge această valoare în orice punct de forma t = (te este egală cu minus pi cu două plus două vârfuri, iar cea mai mare valoare a funcției este egală la unu și este atins de funcția în orice punct de forma t = (te este egal cu pi cu doi plus doi pi ka).

Cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției s = sin t indică s min. și s max. .

Folosind proprietățile obținute, vom reprezenta grafic funcția y \u003d sin x (y este egal cu sinus x), deoarece suntem mai familiarizați cu notația y \u003d f (x) și nu s \u003d f (t).

Pentru început, să alegem o scară: de-a lungul axei ordonatelor, luăm un singur segment, două celule și de-a lungul axei absciselor, două celule - acesta este pi cu trei (pentru că ≈ 1). Mai întâi, să construim un grafic al funcției y \u003d sin x pe segment. Avem nevoie de un tabel de valori ale funcției pe acest segment, pentru a-l construi vom folosi tabelul de valori pentru unghiurile cosinus și sinus corespunzătoare:

Astfel, pentru a construi un tabel de valori ale argumentelor și funcțiilor, este necesar să ne amintim că X(x) este numărul, respectiv egal cu unghiul pe intervalul de la zero la pi, și la(greacă) Valoarea sinusului acestui unghi.

Să marchem aceste puncte pe planul de coordonate. Conform PROPRIETATEI 3 ​​pe segment

[0; ] (de la zero la pi cu doi) funcția y \u003d sin x crește, dar scade pe segmentul [; ] (de la pi cu doi la pi) și conectând punctele obținute cu o linie netedă, obținem o parte a graficului (Fig. 1).

Folosind simetria graficului unei funcții impare în raport cu originea, obținem graficul funcției y \u003d sin x deja pe segment

[-π; π ] (de la minus pi la pi) (Fig. 2)

Amintiți-vă că sin(x + 2π)= sinx

(sinusul lui x plus doi pi este egal cu sinusul lui x). Aceasta înseamnă că în punctul x + 2π funcția y = sin x ia aceeași valoare ca și în punctul x. Și întrucât (x + 2π)ϵ [π; 3π ](x plus doi pi aparține segmentului de la pi la trei pi), dacă xϵ[-π; π ], apoi pe intervalul [π; 3π ] graficul funcției arată exact la fel ca pe intervalul [-π; π]. În mod similar, pe segmentele , , [-3π; -π] și așa mai departe, graficul funcției y \u003d sin x arată la fel ca pe segment

[-π; π]. (Fig. 3)

Linia care este graficul funcției y \u003d sin x se numește sinusoid. Partea undei sinusoidale prezentată în figura 2 se numește undă sinusoidală, iar în figura 1 se numește arcul undei sinusoidale sau jumătate de undă.

Folosind graficul construit, vom nota câteva proprietăți suplimentare ale acestei funcții.

PROPRIETATE 6. Funcția y \u003d sin x este o funcție continuă. Aceasta înseamnă că graficul funcției este continuu, adică nu are sărituri și înțepături.

PROPRIETATE 7. Domeniul funcției y \u003d sin x este segmentul [-1; 1] (din minus unu la unu) sau se poate scrie astfel: (e din eff este egal cu segmentul din minus unu la unu).

Luați în considerare un EXEMPLU. Rezolvați grafic ecuația sin x \u003d x + π (sinus x este egal cu x plus pi).

Soluţie. Să construim grafice ale funcțiilor y= păcat Xși y = x + π.

Graficul funcției y \u003d sin x este o sinusoidă.

y \u003d x + π este o funcție liniară, al cărei grafic este o linie dreaptă care trece prin puncte cu coordonatele (0; π) și (- π; 0).

Graficele construite au un punct de intersecție - punctul B (- π; 0) (fie cu coordonatele minus pi, zero). Aceasta înseamnă că această ecuație are o singură rădăcină - abscisa punctului B - -π. Răspuns: X = - π.

Lecție și prezentare pe tema: "Funcția y=sin(x). Definiții și proprietăți"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre! Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Manuale si simulatoare in magazinul online „Integral” pentru nota 10 din 1C
Rezolvăm probleme de geometrie. Sarcini de construcție interactive pentru clasele 7-10
Mediul software „1C: constructor matematic 6.1”

Ce vom studia:

• Proprietățile funcției Y=sin(X).
• Graficul funcției.
• Cum se construiește un grafic și scara acestuia.
• Exemple.

proprietăţile sinusului. Y=sin(X)

Băieți, ne-am întâlnit deja cu funcțiile trigonometrice ale unui argument numeric. Îți amintești de ei?

Să aruncăm o privire mai atentă la funcția Y=sin(X).

Să notăm câteva proprietăți ale acestei funcții:
1) Domeniul de definiție este mulțimea numerelor reale.
2) Funcția este impară. Să ne amintim definiția unei funcții impare. O funcție se numește impară dacă egalitatea este adevărată: y(-x)=-y(x). După cum ne amintim din formulele fantomă: sin(-x)=-sin(x). Definiția este satisfăcută, deci Y=sin(X) este o funcție impară.
3) Funcția Y=sin(X) crește pe interval și scade pe intervalul [π/2; π]. Când ne deplasăm de-a lungul primului sfert (în sens invers acelor de ceasornic), ordonata crește, iar când ne deplasăm de-a lungul celui de-al doilea sfert, aceasta scade.

4) Funcția Y=sin(X) este mărginită de jos și de sus. Această proprietate provine din faptul că
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Cea mai mică valoare a funcției este -1 (pentru x = - π/2+ πk). Cea mai mare valoare a funcției este 1 (pentru x = π/2+ πk).

Să folosim proprietățile 1-5 pentru a reprezenta grafic funcția Y=sin(X). Ne vom construi graficul secvenţial, aplicând proprietăţile noastre. Să începem să construim un grafic pe segment.

O atenție deosebită trebuie acordată scalei. Pe axa ordonatelor, este mai convenabil să luați un singur segment egal cu 2 celule, iar pe axa absciselor - un singur segment (două celule) să fie luat egal cu π / 3 (vezi figura).

Trasarea funcției sine x, y=sin(x)

Să calculăm valorile funcției pe segmentul nostru:

Să construim un grafic pentru punctele noastre, ținând cont de a treia proprietate.

Tabel de conversie pentru formule fantomă

Să folosim a doua proprietate, care spune că funcția noastră este impară, ceea ce înseamnă că poate fi reflectată simetric față de origine:

Știm că sin(x+ 2π) = sin(x). Aceasta înseamnă că pe segmentul [- π; Graficul π] arată la fel ca pe segmentul [π; 3π] sau sau [-3π; - pi] și așa mai departe. Ne rămâne să redesenăm cu atenție graficul din figura anterioară pe toată axa x.

Graficul funcției Y=sin(X) se numește sinusoid.

Să mai scriem câteva proprietăți conform graficului construit:
6) Funcția Y=sin(X) crește pe orice segment de forma: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k este un număr întreg și scade pe orice segment de forma: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k este un număr întreg.
7) Funcția Y=sin(X) este o funcție continuă. Să ne uităm la graficul funcției și să ne asigurăm că funcția noastră nu are întreruperi, asta înseamnă continuitate.
8) Interval de valori: segment [- 1; unu]. Acest lucru este, de asemenea, clar vizibil din graficul funcției.
9) Funcția Y=sin(X) - functie periodica. Să ne uităm din nou la grafic și să vedem că funcția ia aceleași valori la anumite intervale.

Exemple de probleme cu sine

1. Rezolvați ecuația sin(x)= x-π

Rezolvare: Să construim 2 grafice ale funcției: y=sin(x) și y=x-π (vezi figura).
Graficele noastre se intersectează într-un punct A(π; 0), acesta este răspunsul: x = π

2. Trasează funcția y=sin(π/6+x)-1

Rezolvare: Graficul dorit se obține prin mutarea graficului funcției y=sin(x) cu π/6 unități la stânga și 1 unitate în jos.

Rezolvare: Să construim un grafic al funcției și să considerăm segmentul nostru [π/2; 5π/4].
Graficul funcției arată că cele mai mari și cele mai mici valori sunt atinse la capetele segmentului, în punctele π/2 și, respectiv, 5π/4.
Răspuns: sin(π/2) = 1 este cea mai mare valoare, sin(5π/4) = cea mai mică valoare.

Probleme sinus pentru soluție independentă

• Rezolvați ecuația: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Trasează funcția y=sin(π/3+x)-2
• Trasează funcția y=sin(-2π/3+x)+1
• Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției y=sin(x) pe segment
• Aflați cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției y=sin(x) pe segmentul [- π/3; 5π/6]

Am aflat că comportamentul funcțiilor trigonometrice și funcțiile y = sin x în special, pe întreaga linie numerică (sau pentru toate valorile argumentului X) este complet determinată de comportamentul său în interval 0 < X < π / 2 .

Prin urmare, în primul rând, vom reprezenta grafic funcția y = sin x exact in acest interval.

Să facem următorul tabel de valori ale funcției noastre;

Prin marcarea punctelor corespunzătoare pe planul de coordonate și conectându-le cu o linie netedă, obținem curba prezentată în figură

Curba rezultată ar putea fi, de asemenea, construită geometric fără a compila un tabel cu valorile funcției y = sin x .

1. Primul sfert de cerc cu raza 1 este împărțit în 8 părți egale.Ordinele punctelor de împărțire ale cercului sunt sinusurile unghiurilor corespunzătoare.

2. Primul sfert de cerc corespunde unghiurilor de la 0 la π / 2 . Prin urmare, pe axă X Luați un segment și împărțiți-l în 8 părți egale.

3.Să desenăm linii drepte paralele cu axa X, iar din punctele de împărțire restabilim perpendicularele la intersecția cu liniile orizontale.

4. Conectați punctele de intersecție cu o linie netedă.

Acum să ne uităm la interval π / 2 < X < π .
Fiecare valoare de argument X din acest interval poate fi reprezentat ca

X = π / 2 + φ

Unde 0 < φ < π / 2 . Conform formulelor de reducere

păcat( π / 2 + φ ) = cos φ = păcat ( π / 2 - φ ).

Punctele axei X cu abscisă π / 2 + φ și π / 2 - φ simetrice între ele în jurul punctului axei X cu abscisă π / 2 , iar sinusurile din aceste puncte sunt aceleași. Acest lucru vă permite să obțineți un grafic al funcției y = sin x în intervalul [ π / 2 , π ] prin simpla afișare simetrică a graficului acestei funcții în intervalul relativ la linia dreaptă X = π / 2 .

Acum folosind proprietatea funcţie impară y \u003d sin x,

păcat(- X) = -sin X,

este ușor să reprezentați această funcție în intervalul [- π , 0].

Funcția y \u003d sin x este periodică cu o perioadă de 2π ;. Prin urmare, pentru a construi întregul grafic al acestei funcții, este suficient să continuați periodic curba prezentată în figură la stânga și la dreapta cu o perioadă 2π .

Curba rezultată se numește sinusoid . Este graficul funcției y = sin x.

Figura ilustrează bine toate acele proprietăți ale funcției y = sin x , care au fost anterior dovedite de noi. Amintiți-vă aceste proprietăți.

1) Funcție y = sin x definit pentru toate valorile X , astfel încât domeniul său este mulțimea tuturor numerelor reale.

2) Funcția y = sin x limitat. Toate valorile necesare sunt între -1 și 1, inclusiv acele două numere. Prin urmare, domeniul acestei funcții este determinat de inegalitatea -1 < la < 1. Când X = π / 2 + 2k π funcția ia cele mai mari valori egale cu 1, iar pentru x = - π / 2 + 2k π - cele mai mici valori egale cu - 1.

3) Funcția y = sin x este impar (sinusoida este simetrică față de origine).

4) Funcția y = sin x periodic cu perioada 2 π .

5) În intervalele 2n π < X < π + 2n π (n este orice număr întreg) este pozitiv și în intervale π + 2k π < X < 2π + 2k π (k este orice număr întreg) este negativ. Pentru x = k π funcția ajunge la zero. Prin urmare, aceste valori ale argumentului x (0; ± π ; ±2 π ; ...) se numesc zerouri ale funcției y = sin x

6) În intervale - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funcţie y = sin X creste monoton, si in intervale π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π scade monoton.

Acordați o atenție deosebită comportamentului funcției y = sin x aproape de punct X = 0 .

De exemplu, sin 0,012 ≈ 0,012; păcat (-0,05) ≈ -0,05;

sin2° = sin π 2 / 180=sin π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că pentru orice valoare a lui x

| păcat X| < | x | . (1)

Într-adevăr, să fie raza cercului prezentat în figură egală cu 1,
A / AOB = X.

Apoi păcatul X= AC. Dar AU< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Lungimea acestui arc este evident egală cu X, deoarece raza cercului este 1. Deci, pentru 0< X < π / 2

sin x< х.

Prin urmare, din cauza ciudățeniei funcției y = sin x este ușor să arăți că atunci când - π / 2 < X < 0

| păcat X| < | x | .

În cele din urmă, la X = 0

| sin x | = | x |.

Astfel, pentru | X | < π / 2 inegalitatea (1) este dovedită. De fapt, această inegalitate este valabilă și pentru | X | > π / 2 datorită faptului că | | păcat X | < 1, a π / 2 > 1

Exerciții

1.Conform programului de funcționare y = sin x determina: a) sin 2; b) sin 4; c) păcatul (-3).

2.Funcția de planificare y = sin x determinați ce număr din interval
[ - π / 2 , π / 2 ] are un sinus egal cu: a) 0,6; b) -0,8.

3. Funcție programată y = sin x determinați ce numere au un sinus,
egal cu 1/2.

4. Aflați aproximativ (fără a folosi tabele): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) sin (-0,015); d) păcatul (-2°30").

Cum se trasează funcția y=sin x? În primul rând, luați în considerare graficul sinusului pe interval.

Luăm un singur segment cu o lungime de 2 celule dintr-un caiet. Marcam unitatea pe axa Oy.

Pentru comoditate, rotunjim numărul π/2 la 1,5 (și nu la 1,6, așa cum este cerut de regulile de rotunjire). În acest caz, un segment de lungime π/2 corespunde la 3 celule.

Pe axa Ox, marchem nu segmente individuale, ci segmente de lungime π / 2 (la fiecare 3 celule). În consecință, un segment de lungime π corespunde la 6 celule, un segment de lungime π/6 corespunde unei celule.

Cu această alegere a unui singur segment, graficul prezentat pe o foaie de caiet într-o cutie corespunde pe cât posibil graficului funcției y=sin x.

Să facem un tabel cu valorile sinusului pe interval:

Punctele rezultate sunt marcate pe planul de coordonate:

Deoarece y=sin x este o funcție impară, graficul sinus este simetric față de origine - punctul O(0;0). Ținând cont de acest fapt, continuăm să trasăm graficul la stânga, apoi punctele -π:

Funcția y=sin x este periodică cu perioada T=2π. Prin urmare, graficul funcției, luat pe intervalul [-π; π], se repetă de un număr infinit de ori la dreapta și la stânga.

Funcţiey = păcatX

Graficul funcției este o sinusoidă.

Partea completă care nu se repetă a unei unde sinusoidale se numește undă sinusoidală.

O jumătate de undă a unei undă sinusoidală se numește jumătate de undă a unei undă sinusoidală (sau arc).

Proprietățile funcțieiy = păcatX:

3) Aceasta este o funcție ciudată. 4) Aceasta este o funcție continuă. - cu abscisa: (πn; 0), - cu axa y: (0; 0). 6) Pe segmentul [-π/2; π/2] funcția este crescătoare, pe segmentul [π/2; 3π/2] este în scădere. 7) Pe intervale, funcția ia valori pozitive. Pe intervale [-π + 2πn; Funcția 2πn] ia valori negative. 8) Intervalele funcției crescătoare: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn]. Intervale descrescătoare a funcției: [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn]. 9) Puncte minime ale funcției: -π/2 + 2πn. Puncte maxime ale funcției: π/2 + 2πn cea mai mare valoare este 1.

Pentru a reprezenta o funcție y= păcat X Este convenabil să utilizați următoarele scale:

Pe o foaie dintr-o celulă, luăm lungimea a două celule ca unitate de segment.

pe osie X să măsurăm lungimea π. În același timp, pentru comoditate, 3,14 va fi reprezentat ca 3 - adică fără fracție. Apoi, pe o foaie într-o celulă π vor fi 6 celule (de trei ori 2 celule). Și fiecare celulă își va primi numele natural (de la prima la a șasea): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Acestea sunt valorile X.

Pe axa y, marcați 1, care include două celule.

Să facem un tabel cu valorile funcției folosind valorile noastre X:

			√3 - 2		√3 - 2

În continuare, să facem o diagramă. Veți obține o jumătate de undă, cel mai înalt punct al căruia este (π / 2; 1). Acesta este graficul funcției y= păcat X pe segment. Să adăugăm o semiundă simetrică la graficul construit (simetric față de origine, adică pe segmentul -π). Creasta acestei semi-unde se află sub axa x cu coordonatele (-1; -1). Rezultatul este un val. Acesta este graficul funcției y= păcat X pe segmentul [-π; π].

Este posibil să se continue valul construind-o pe intervalul [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] etc. Pe toate aceste segmente, graficul funcției va arăta la fel ca pe segmentul [-π; π]. Veți obține o linie ondulată continuă cu aceleași valuri.

Funcţiey = cosX.

Graficul funcției este o undă sinusoidală (uneori numită undă cosinus).

Proprietățile funcțieiy = cosX:

1) Domeniul funcției este mulțimea numerelor reale. 2) Gama de valori ale funcției este segmentul [–1; unu] 3) Aceasta este o funcție uniformă. 4) Aceasta este o funcție continuă. 5) Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului: - cu abscisa: (π/2 + πn; 0), - cu axa y: (0;1). 6) Funcția scade pe interval, pe intervalul [π; 2π] - crește. 7) Pe intervale [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] funcția ia valori pozitive. Pe intervalele [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn] funcția ia valori negative. 8) Intervalele de creștere: [-π + 2πn; 2πn]. Intervale descrescătoare: ; 9) Puncte minime ale funcției: π + 2πn. Puncte maxime ale funcției: 2πn. 10) Funcția este limitată de sus și de jos. Cea mai mică valoare a funcției este -1, cea mai mare valoare este 1. 11) Aceasta este o funcție periodică cu o perioadă de 2π (T = 2π)

Funcţiey = mf(X).

Luați funcția anterioară y= cos X. După cum știți deja, graficul său este o undă sinusoidală. Dacă înmulțim cosinusul acestei funcții cu un anumit număr m, atunci unda se va întinde dinspre axă X(sau se micsoreaza, in functie de valoarea lui m).
Acest nou val va fi graficul funcției y = mf(x), unde m este orice număr real.

Astfel, funcția y = mf(x) este funcția uzuală y = f(x) înmulțită cu m.

În cazul în care unm< 1, то синусоида сжимается к оси X prin coeficientm. În cazul în care unm > 1, atunci sinusoida este întinsă de la axăX prin coeficientm.

Efectuând întindere sau compresie, puteți construi mai întâi doar o jumătate de undă a sinusoidei și apoi completați întregul grafic.

Funcţiey= f(kx).

Dacă funcţia y=mf(X) duce la întinderea sinusoidei din axă X sau compresie pe axă X, atunci funcția y = f(kx) duce la expansiune față de axă y sau compresie pe axă y.

Și k este orice număr real.

La 0< k< 1 синусоида растягивается от оси y prin coeficientk. În cazul în care unk > 1, atunci sinusoida este comprimată pe axăy prin coeficientk.

Când compuneți un grafic al acestei funcții, puteți mai întâi să construiți o jumătate de undă a unei sinusoide și apoi să completați întregul grafic folosindu-l.

Funcţiey = tgX.

Graficul funcției y=tg X este tangentoidul.

Este suficient să construiți o parte a graficului pe intervalul de la 0 la π/2 și apoi o puteți continua simetric pe intervalul de la 0 la 3π/2.

Proprietățile funcțieiy = tgX:

Funcţiey = ctgX

Graficul funcției y=ctg X este, de asemenea, tangentoid (uneori este numit cotangentoid).

Proprietățile funcțieiy = ctgX: