Y tgx solutie. Ecuații trigonometrice - formule, soluții, exemple. Introducerea unui unghi auxiliar

Anterior, conform programului, elevii și-au făcut o idee despre rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, s-au familiarizat cu conceptele de arc cosinus și arc sinus, exemple de soluții ale ecuațiilor cos t = a și sin t = a. În acest tutorial video, vom lua în considerare soluția ecuațiilor tg x = a și ctg x = a.

La începutul studiului acestei teme se consideră ecuațiile tg x = 3 și tg x = - 3. Dacă rezolvăm ecuația tg x = 3 folosind un grafic, vom vedea că intersecția graficelor funcțiilor y = tg x și y = 3 are un număr infinit de soluții, unde x = x 1 + πk. Valoarea x 1 este coordonata x a punctului de intersecție a graficelor funcțiilor y = tg x și y = 3. Autorul introduce conceptul de arctangent: arctg 3 este un număr al cărui tg este 3, iar acest număr aparține lui intervalul de la -π/2 la π/2. Folosind conceptul de arctangent, soluția ecuației tan x = 3 poate fi scrisă ca x = arctan 3 + πk.

Prin analogie, se rezolvă ecuația tg x \u003d - 3. Conform graficelor construite ale funcțiilor y \u003d tg x și y \u003d - 3, se poate observa că punctele de intersecție ale graficelor și, prin urmare, soluțiile dintre ecuații, va fi x \u003d x 2 + πk. Folosind arc-tangente, soluția poate fi scrisă ca x = arctan (- 3) + πk. În figura următoare, vom vedea că arctg (- 3) = - arctg 3.

Definiția generală a arc-tangentei este următoarea: arc-tangente a lui a este un astfel de număr din intervalul de la -π / 2 la π / 2, a cărui tangentă este a. Atunci soluția ecuației tg x = a este x = arctg a + πk.

Autorul dă un exemplu 1. Găsiți o soluție la expresia arctg Să introducem notația: arc-tangente a numărului este x, atunci tg x va fi egală cu numărul dat, unde x aparține segmentului din -π/ 2 până la π/2. Ca și în exemplele din subiectele anterioare, vom folosi un tabel de valori. Conform acestui tabel, tangentei acestui număr corespunde valorii x = π/3. Scriem soluția ecuației arc-tangente a unui număr dat egal cu π / 3, π / 3 aparține și intervalului de la -π / 2 la π / 2.

Exemplul 2 - Calculați arc tangente număr negativ. Folosind egalitatea arctg (- a) = - arctg a, introduceți valoarea x. Similar exemplului 2, scriem valoarea lui x, care aparține intervalului de la -π/2 la π/2. Conform tabelului de valori, constatăm că x = π/3, prin urmare, -- tg x = - π/3. Răspunsul la ecuație este - π/3.

Luați în considerare Exemplul 3. Să rezolvăm ecuația tan x = 1. Să scriem că x = arctan 1 + πk. În tabel, valoarea tg 1 corespunde valorii x \u003d π / 4, prin urmare, arctg 1 \u003d π / 4. Înlocuiți această valoare în formula originală x și scrieți răspunsul x = π/4 + πk.

Exemplul 4: calculați tg x = - 4.1. În acest caz, x = arctg (- 4,1) + πk. pentru că nu este posibil să găsim valoarea arctg în acest caz, răspunsul va arăta ca x = arctg (- 4.1) + πk.

Exemplul 5 consideră soluția inegalității tg x > 1. Pentru a o rezolva, reprezentăm graficele funcțiilor y = tg x și y = 1. După cum se poate observa în figură, aceste grafice se intersectează în punctele x = π /4 + πk. pentru că în acest caz, tg x > 1, pe grafic selectăm aria tangentoidului, care se află deasupra graficului y = 1, unde x aparține intervalului de la π/4 la π/2. Scriem răspunsul ca π/4 + πk< x < π/2 + πk.

În continuare, luăm în considerare ecuația ctg x = a. Figura prezintă graficele funcțiilor y \u003d ctg x, y \u003d a, y \u003d - a, care au multe puncte de intersecție. Soluțiile pot fi scrise ca x = x 1 + πk, unde x 1 = arcctg a și x = x 2 + πk, unde x 2 = arcctg (- a). Se observă că x 2 \u003d π - x 1. Aceasta implică egalitatea arcctg (- a) = π - arcctg a. În plus, este dată definiția cotangentei arcului: cotangentei arcului a este un astfel de număr din intervalul de la 0 la π, a cărui cotangentă este egală cu a. Rezolvarea ecuației сtg x = a se scrie astfel: x = arcctg a + πk.

La sfârșitul lecției video, se face o altă concluzie importantă - expresia ctg x = a poate fi scrisă ca tg x = 1/a, cu condiția ca a să nu fie egal cu zero.

INTERPRETAREA TEXTULUI:

Luați în considerare soluția ecuațiilor tg x \u003d 3 și tg x \u003d - 3. Rezolvând prima ecuație grafic, vedem că graficele funcțiilor y \u003d tg x și y \u003d 3 au infinit de puncte de intersecție, abscise din care scriem sub forma

x \u003d x 1 + πk, unde x 1 este abscisa punctului de intersecție a dreptei y \u003d 3 cu ramura principală a tangentoidului (Fig. 1), pentru care a fost inventată denumirea

arctan 3 (arc tangentă de trei).

Cum să înțelegem arctg 3?

Acesta este un număr a cărui tangentă este 3 și acest număr aparține intervalului (-;). Apoi, toate rădăcinile ecuației tg x \u003d 3 pot fi scrise cu formula x \u003d arctan 3 + πk.

În mod similar, soluția ecuației tg x \u003d - 3 poate fi scrisă ca x \u003d x 2 + πk, unde x 2 este abscisa punctului de intersecție al dreptei y \u003d - 3 cu ramura principală a tangentoid (Fig. 1), pentru care denumirea arctg (- 3) (arct tangentă minus trei). Apoi, toate rădăcinile ecuației pot fi scrise cu formula: x \u003d arctg (-3) + πk. Figura arată că arctg(- 3)= - arctg 3.

Să formulăm definiția arc-tangentei. Arc-tangente a lui a este un astfel de număr din intervalul (-;), a cărui tangentă este egală cu a.

Egalitatea este adesea folosită: arctg(-a) = -arctg a, care este valabilă pentru orice a.

Cunoscând definiția arc-tangentei, vom face concluzie generală despre rezolvarea ecuației

tg x \u003d a: ecuația tg x \u003d a are o soluție x \u003d arctg a + πk.

Luați în considerare exemple.

EXEMPLU 1. Calculați arctg.

Soluţie. Fie arctg = x, apoi tgx = și xϵ (-;). Afișați tabelul de valori Prin urmare, x =, deoarece tg = și ϵ (- ;).

Deci arctg =.

EXEMPLUL 2 Calculați arctanul (-).

Soluţie. Folosind egalitatea arctg (- a) \u003d - arctg a, scriem:

arctg(-) = - arctg . Fie - arctg = x, apoi - tgx = și xϵ (-;). Prin urmare, x =, deoarece tg = și ϵ (- ;). Afișează tabelul de valori

Deci - arctg=- tgх= - .

EXEMPLU 3. Rezolvați ecuația tgх = 1.

1. Să notăm formula soluției: x = arctg 1 + πk.

2. Aflați valoarea arc-tangentei

întrucât tg = . Afișează tabelul de valori

Deci arctg1= .

3. Puneți valoarea găsită în formula soluției:

EXEMPLU 4. Rezolvați ecuația tgx \u003d - 4,1 (tangenta x este egală cu minus patru virgulă o zecime).

Soluţie. Să scriem formula soluției: x \u003d arctg (- 4,1) + πk.

Nu putem calcula valoarea arc-tangentei, așa că vom lăsa soluția ecuației așa cum este.

EXEMPLU 5. Rezolvați inegalitatea tgх 1.

Soluţie. Să o facem grafic.

1. Să construim un tangentoid

y \u003d tgx și o linie dreaptă y \u003d 1 (Fig. 2). Ele se intersectează în puncte de forma x = + πk.

2. Selectați intervalul axei x, pe care ramura principală a tangentoidului este situată deasupra liniei drepte y \u003d 1, deoarece în conformitate cu condiția tgх 1. Acesta este intervalul (;).

3. Folosim periodicitatea functiei.

Proprietatea 2. y \u003d tg x - functie periodica cu perioada principală π.

Luând în considerare periodicitatea funcției y \u003d tgx, scriem răspunsul:

(;). Răspunsul poate fi scris ca o dublă inegalitate:

Să trecem la ecuația ctg x \u003d a. Să prezentăm o ilustrare grafică a soluției ecuației pentru a pozitiv și negativ (Fig. 3).

Grafice ale funcțiilor y \u003d ctg x și y \u003d a și

y=ctg x și y=-a

au infinit de multe puncte comune, ale căror abscise au forma:

x \u003d x 1 +, unde x 1 este abscisa punctului de intersecție a dreptei y \u003d a cu ramura principală a tangentoidului și

x 1 = arcctg a;

x \u003d x 2 +, unde x 2 este abscisa punctului de intersecție al dreptei

y \u003d - dar cu ramura principală a tangentoidului și x 2 \u003d arcсtg (- a).

Rețineți că x 2 \u003d π - x 1. Deci notăm ecuația importantă:

arcctg (-a) = π - arcctg a.

Să formulăm definiția: arcul cotangent al lui a este un astfel de număr din intervalul (0; π) a cărui cotangentă este egală cu a.

Soluția ecuației ctg x \u003d a se scrie ca: x \u003d arcсtg a +.

Rețineți că ecuația ctg x = a poate fi convertită în forma

tg x = , cu excepția cazului în care a = 0.

Ecuație de undă, ecuație diferențială parțială care descrie procesul de propagare a perturbațiilor într-un anumit mediu. 155....

Clasificări hiperbolice ecuatii diferentialeîn derivate parţiale

Ecuația căldurii este o ecuație diferențială parțială parabolică care descrie procesul de propagare a căldurii într-un mediu continuu (gaz...

Metode matematice utilizate în teoria sistemelor de aşteptare

Probabilitățile stărilor sistemului pot fi găsite din sistemul de ecuații diferențiale Kolmogorov, care sunt compilate conform următoarei reguli: Pe partea stângă a fiecăreia dintre ele se află derivata probabilității stării i-a...

Ecuația Riccati non-staționară

1. Ecuația generală Riccati are forma: , (1.1) unde P, Q, R sunt funcții continue ale lui x pe măsură ce x se modifică în interval ecuație liniară, când ecuația lui -Bernoulli...

Bazele cercetare științificăși planificarea experimentelor de transport

Obținem dependența funcțională Y = f(X) (ecuația de regresie) folosind metoda celor mai mici pătrate (LSM). Utilizați dependențe liniare (Y = a0 + a1X) și pătratice (Y = a0 + a1X + a2X2) ca funcții de aproximare. Folosind cele mai mici pătrate ale valorii a0...

Să plasăm polul sistemului de coordonate polare la începutul sistemului de coordonate dreptunghiular, axa polară este compatibilă cu semiaxa pozitivă a abscisei (Fig. 3). Orez. 3 Să luăm ecuația unei drepte în formă normală: (3.1) - lungimea perpendicularei ...

Sistemul de coordonate polare din avion

Să compunem o ecuație în coordonate polare a unui cerc care trece prin pol, centrat pe axa polară și cu raza R. Din triunghiul dreptunghic OAA obținem OA= OA (Fig. 4)...

Concepte ale teoriei eșantionării. Rangurile de distribuție. Analiza corelației și regresiei

Pentru a studia: a) conceptul de regresie liniară pereche; b) alcătuirea unui sistem de ecuaţii normale; c) proprietăţi ale estimărilor prin metoda celor mai mici pătrate; d) o tehnică pentru găsirea unei ecuații de regresie liniară. Presupune...

Construirea soluțiilor ecuațiilor diferențiale sub formă de serii de puteri

Ca exemplu de aplicare a teoriei construite, luăm în considerare ecuația Bessel: (6.1) Unde. Punctul singular z =0 este regulat. Nu există alte singularități în partea finită a planului. Prin urmare, în ecuația (6.1), ecuația definitorie are forma, adică ...

Soluţie ecuații matriceale

Ecuația matriceală ХА=В poate fi rezolvată și în două moduri: 1. Matricea inversă se calculează prin oricare dintre metodele cunoscute. Apoi soluția ecuației matriceale va arăta astfel: 2...

Rezolvarea ecuațiilor matriceale

Metodele descrise mai sus nu sunt potrivite pentru rezolvarea ecuațiilor de forma AX=XB, AX+XB=C. De asemenea, nu sunt potrivite pentru rezolvarea ecuațiilor în care cel puțin unul dintre factorii din matricea necunoscută X este o matrice degenerată...

Rezolvarea ecuațiilor matriceale

Ecuațiile de forma AX = XA se rezolvă în același mod ca în cazul precedent, adică element cu element. Soluția aici se rezumă la găsirea matricei de permutare. Să aruncăm o privire mai atentă la un exemplu. Exemplu. Găsiți toate matricele...

Funcționarea staționară a unei rețele de așteptare în formă de diamant

Din stare se poate trece în una din următoarele stări: - datorită sosirii aplicației în coada primului nod cu intensitate; - datorita primirii cererii procesate in aceasta de la primul nod la coada celui de-al treilea nod cu intensitate la...

Funcții trigonometrice

Arc-tangente a unui număr este un număr al cărui sinus este a: dacă și. Toate rădăcinile ecuației pot fi găsite prin formula: ...

Metode numerice de rezolvare a problemelor matematice

>> Arc tangentă și arc tangentă. Rezolvarea ecuațiilor tgx = a, ctgx = a

§ 19. Arc tangentă și arc tangentă. Rezolvarea ecuațiilor tgx = a, ctgx = a

În exemplul 2 din §16, nu am putut rezolva trei ecuații:

Am rezolvat deja două dintre ele - primul în § 17 și al doilea în § 18, pentru aceasta a trebuit să introducem conceptele arc cosinusși arcsinus. Luați în considerare a treia ecuație x = 2.
Graficele funcțiilor y \u003d tg x și y \u003d 2 au infinit de puncte comune, abscisele tuturor acestor puncte arată ca abscisa punctului de intersecție al dreptei y \u003d 2 cu ramura principală a tangentoidului (Fig. 90). Pentru numărul x1, matematicienii au venit cu denumirea arstg 2 (se citește „arct tangentă de doi”). Atunci toate rădăcinile ecuației x=2 pot fi descrise prin formula x=arstg 2 + pc.
Ce este arstg 2? Acesta este numărul tangentă care este egal cu 2 si care apartine intervalului
Considerăm acum ecuația tg x = -2.
Grafice de funcții au infinit de puncte în comun, abscisele tuturor acestor puncte au forma abscisa punctului de intersecție a dreptei y \u003d -2 cu ramura principală a tangentoidului. Pentru numărul x 2, matematicienii au venit cu notația arstg (-2). Atunci toate rădăcinile ecuației x = -2 pot fi descrise prin formula

Ce este arstg(-2)? Acesta este un număr a cărui tangentă este -2 și care aparține intervalului. Acordați atenție (vezi Fig. 90): x 2 \u003d -x 2. Aceasta înseamnă că arctg(-2) = - arctg 2.
Să formulăm definiția arc-tangentei într-o formă generală.

Definiția 1. arstg a (arc tangentă a) este un număr din intervalul a cărui tangentă este a. Asa de,

Acum suntem în măsură să tragem o concluzie generală despre soluție ecuații x=a: ecuația x=a are soluții

Am observat mai sus că arctg (-2) = -arctg 2. În general, pentru orice valoare a lui a, formula

Exemplul 1 Calculati:

Exemplul 2 Rezolvarea ecuațiilor:

A) Să facem o formulă de soluție:

În acest caz, nu putem calcula valoarea arc-tangentei, așa că vom lăsa înregistrarea soluțiilor ecuației în forma obținută.
Răspuns:
Exemplul 3 Rezolvarea inegalităților:
Inegalitatea formei poate fi rezolvată grafic, aderând la următoarele planuri
1) construiți un tangentoid y \u003d tg x și o linie dreaptă y \u003d a;
2) selectați pentru ramura principală a tanheizoidului un interval al axei x pe care este satisfăcută inegalitatea dată;
3) ținând cont de periodicitatea funcției y \u003d tg x, notați răspunsul în formă generală.
Să aplicăm acest plan la soluția inegalităților date.

: a) Construim grafice ale funcțiilor y \u003d tgx și y \u003d 1. Pe ramura principală a tangentoidului, se intersectează în punctul

Selectăm intervalul axei x, pe care ramura principală a tangentoidului este situată sub linia dreaptă y \u003d 1, acesta este intervalul
Luând în considerare periodicitatea funcției y \u003d tgx, concluzionăm că inegalitatea dată este satisfăcută pe orice interval de forma:

Unirea tuturor acestor intervale este decizie comună dată fiind inegalitatea.
Răspunsul poate fi scris și în alt mod:

b) Construim grafice ale funcțiilor y \u003d tg x și y \u003d -2. Pe ramura principală a tangentoidului (Fig. 92), acestea se intersectează în punctul x = arctg (-2).

Selectăm intervalul axei x, pe care ramura principală a tangentoidului

Se consideră o ecuație cu tg x=a, unde a>0. Graficele funcțiilor y \u003d ctg x și y \u003d a au infinit de puncte comune, abscisele tuturor acestor puncte arată astfel: x \u003d x 1 + pc, unde x 1 \u003d arcctg a - abscisa punctul de intersecție al dreptei y \u003d a cu ramura principală a tangentoidului (Fig. .93). Prin urmare, arcctg a este un număr a cărui cotangentă este egală cu a și care aparține intervalului (0, n); pe acest interval se construiește ramura principală a graficului funcției y \u003d сtg x.

Pe fig. 93 prezintă şi o ilustrare grafică a soluţiei ecuaţiei c1tg = -a. Graficele funcțiilor y \u003d сtg x și y \u003d -a au infinit de puncte comune, abscisele tuturor acestor puncte au forma x \u003d x 2 + pc, unde x 2 \u003d arcctg (-a) este abscisa punctului de intersecție a dreptei y \u003d -a cu ramura principală a tangentoidului. Prin urmare, arcctg(-a) este un număr a cărui cotangentă este -a și care aparține intervalului (0, n); pe acest interval se construiește ramura principală a graficului funcției Y \u003d сtg x.

Definiția 2. arcctg a (arc cotangent a) este un număr din intervalul (0, n) a cărui cotangentă este a.
Asa de,

Acum suntem în situația de a trage o concluzie generală despre soluția ecuației ctg x=a: ecuația ctg x = a are soluții:

Acordați atenție (vezi Fig. 93): x 2 \u003d n-x 1. Înseamnă că

Exemplul 4 Calculati:

A) Să punem

Ecuația сtg x=a poate fi aproape întotdeauna convertită în forma Excepție este ecuația сtg x=0. Dar în acest caz, folosind faptul că puteți merge la
ecuația cos x=0. Astfel, o ecuație de forma x=a nu are interes independent.

A.G. Algebră Mordkovich, clasa a 10-a

Calendar-planificare tematică în matematică, videoîn matematică online, descărcare Matematică la școală

Conținutul lecției rezumatul lecției suport cadru prezentarea lecției metode accelerative tehnologii interactive Practică sarcini și exerciții ateliere de autoexaminare, instruiri, cazuri, quest-uri teme pentru acasă întrebări discuții întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, imagini grafice, tabele, scheme umor, anecdote, glume, benzi desenate, pilde, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole jetoane pentru curioase cheat sheets manuale de bază și glosar suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment în manual elemente de inovare în lecție înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte planul calendaristic pentru anul instrucțiuni programe de discuții Lecții integrate

Puteți comanda o soluție detaliată la problema dvs.!!!

O egalitate care conține o necunoscută sub semnul unei funcții trigonometrice (`sin x, cos x, tg x` sau `ctg x`) se numește ecuație trigonometrică și vom lua în considerare formulele lor în continuare.

Cele mai simple ecuații sunt `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, unde `x` este unghiul care trebuie găsit, `a` este orice număr. Să scriem formulele rădăcină pentru fiecare dintre ele.

1. Ecuația `sin x=a`.

Pentru `|a|>1` nu are soluții.

Cu `|a| \leq 1` are un număr infinit de soluții.

Formula rădăcină: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Ecuația `cos x=a`

Pentru `|a|>1` - ca si in cazul sinusului, nu exista solutii intre numerele reale.

Cu `|a| \leq 1` are un număr infinit de soluții.

Formula rădăcină: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Cazuri speciale pentru sinus și cosinus în grafice.

3. Ecuația `tg x=a`

Are un număr infinit de soluții pentru orice valoare a lui `a`.

Formula rădăcină: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Ecuația `ctg x=a`

De asemenea, are un număr infinit de soluții pentru orice valoare a lui `a`.

Formula rădăcină: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule pentru rădăcinile ecuațiilor trigonometrice din tabel

Pentru sinusuri:
Pentru cosinus:
Pentru tangentă și cotangentă:
Formule pentru rezolvarea ecuațiilor care conțin funcții trigonometrice inverse:

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice

Rezolvarea oricărei ecuații trigonometrice constă în două etape:

• folosind pentru a-l converti în cel mai simplu;
• rezolvați ecuația simplă rezultată folosind formulele de mai sus pentru rădăcini și tabele.

Să luăm în considerare principalele metode de soluție folosind exemple.

metoda algebrică.

În această metodă, se face înlocuirea unei variabile și înlocuirea acesteia în egalitate.

Exemplu. Rezolvați ecuația: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

faceți o înlocuire: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, apoi `2y^2-3y+1=0`,

găsim rădăcinile: `y_1=1, y_2=1/2`, din care urmează două cazuri:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Răspuns: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorizarea.

Exemplu. Rezolvați ecuația: `sin x+cos x=1`.

Soluţie. Mutați la stânga toți termenii de egalitate: `sin x+cos x-1=0`. Folosind , transformăm și factorizăm partea stângă:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Răspuns: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reducerea la o ecuație omogenă

Mai întâi, trebuie să aduceți această ecuație trigonometrică într-una dintre cele două forme:

`a sin x+b cos x=0` (ecuația omogenă de gradul I) sau `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ecuația omogenă de gradul II).

Apoi împărțiți ambele părți prin `cos x \ne 0` pentru primul caz și cu `cos^2 x \ne 0` pentru al doilea. Obținem ecuații pentru `tg x`: `a tg x+b=0` și `a tg^2 x + b tg x +c =0`, care trebuie rezolvate folosind metode cunoscute.

Exemplu. Rezolvați ecuația: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Soluţie. Să scriem partea dreaptă ca `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Aceasta este o ecuație trigonometrică omogenă de gradul doi, împărțind laturile sale stânga și dreapta la `cos^2 x \ne 0`, obținem:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Să introducem înlocuirea `tg x=t`, ca rezultat `t^2 + t - 2=0`. Rădăcinile acestei ecuații sunt `t_1=-2` și `t_2=1`. Apoi:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Răspuns. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Du-te la Half Corner

Exemplu. Rezolvați ecuația: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Soluţie. Aplicând formulele unghiului dublu, rezultatul este: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Aplicând metoda algebrică descrisă mai sus, obținem:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Răspuns. `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Introducerea unui unghi auxiliar

În ecuația trigonometrică `a sin x + b cos x =c`, unde a,b,c sunt coeficienți și x este o variabilă, împărțim ambele părți la `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

Coeficienții din stânga au proprietățile sinusului și cosinusului, și anume, suma pătratelor lor este 1 și modulul lor este cel mult 1. Să-i notăm astfel: `\frac a(sqrt (a^2+b^ 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , apoi:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Să aruncăm o privire mai atentă la următorul exemplu:

Exemplu. Rezolvați ecuația: `3 sin x+4 cos x=2`.

Soluţie. Împărțind ambele părți ale ecuației la `sqrt (3^2+4^2)`, obținem:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Se notează `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Deoarece `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, luăm `\varphi=arcsin 4/5` ca unghi auxiliar. Apoi scriem egalitatea noastră sub forma:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Aplicând formula pentru suma unghiurilor pentru sinus, scriem egalitatea noastră în următoarea formă:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Răspuns. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ecuații trigonometrice fracționale-raționale

Acestea sunt egalități cu fracții, în numărătorii și numitorii cărora există funcții trigonometrice.

Exemplu. Rezolvați ecuația. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Soluţie. Înmulțiți și împărțiți partea dreaptă a ecuației cu `(1+cos x)`. Ca rezultat, obținem:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Având în vedere că numitorul nu poate fi zero, obținem `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Echivalează numărătorul fracției cu zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Apoi `sin x=0` sau `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Având în vedere că ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, soluțiile sunt `x=2\pi n, n \in Z` și `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Răspuns. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometria, și în special ecuațiile trigonometrice, sunt utilizate în aproape toate domeniile geometriei, fizicii și ingineriei. Studiul începe în clasa a X-a, există întotdeauna sarcini pentru examen, așa că încercați să vă amintiți toate formulele ecuațiilor trigonometrice - vă vor fi cu siguranță la îndemână!

Cu toate acestea, nici nu trebuie să le memorați, principalul lucru este să înțelegeți esența și să puteți deduce. Nu este atât de dificil pe cât pare. Vedeți singuri vizionand videoclipul.

Pentru a rezolva cu succes ecuații trigonometrice convenabil de utilizat metoda de reducere la probleme rezolvate anterior. Să vedem care este esența acestei metode?

În orice problemă propusă, trebuie să vedeți problema rezolvată anterior și apoi, folosind transformări echivalente succesive, să încercați să reduceți problema care ți-a fost dată la una mai simplă.

Deci, atunci când rezolvă ecuațiile trigonometrice, ele formează de obicei o secvență finită de ecuații echivalente, a căror ultimă legătură este o ecuație cu o soluție evidentă. Este important doar să ne amintim că, dacă nu se formează abilitățile de rezolvare a celor mai simple ecuații trigonometrice, atunci soluția este mai mult ecuații complexe ar fi dificil și ineficient.

În plus, atunci când rezolvați ecuații trigonometrice, nu trebuie să uitați niciodată de posibilitatea existenței mai multor soluții.

Exemplul 1. Aflați numărul de rădăcini ale ecuației cos x = -1/2 pe interval.

Soluţie:

eu drumul. Să trasăm graficele funcțiilor y = cos x și y = -1/2 și să găsim numărul punctelor lor comune pe interval (Fig. 1).

Deoarece graficele funcțiilor au două puncte comune pe interval, ecuația conține două rădăcini pe acest interval.

calea II. Folosind cercul trigonometric (Fig. 2), aflăm numărul de puncte aparținând intervalului în care cos x = -1/2. Figura arată că ecuația are două rădăcini.

calea III. Folosind formula rădăcinilor ecuației trigonometrice, rezolvăm ecuația cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k este un număr întreg (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k este un număr întreg (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k este un număr întreg (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k este un număr întreg (k € Z).

Rădăcinile 2π/3 și -2π/3 + 2π aparțin intervalului, k este un număr întreg. Astfel, ecuația are două rădăcini într-un interval dat.

Raspuns: 2.

În viitor, ecuațiile trigonometrice vor fi rezolvate prin una dintre metodele propuse, ceea ce în multe cazuri nu exclude utilizarea altor metode.

Exemplul 2. Aflați numărul de soluții ale ecuației tg (x + π/4) = 1 pe intervalul [-2π; 2π].

Soluţie:

Folosind formula rădăcinilor ecuației trigonometrice, obținem:

x + π/4 = arctan 1 + πk, k este un număr întreg (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k este un număr întreg (k € Z);

x = πk, k este un număr întreg (k € Z);

Intervalul [-2π; 2π] aparțin numerelor -2π; -π; 0; π; 2π. Deci, ecuația are cinci rădăcini într-un interval dat.

Raspuns: 5.

Exemplul 3. Aflați numărul de rădăcini ale ecuației cos 2 x + sin x cos x = 1 pe intervalul [-π; π].

Soluţie:

Deoarece 1 = sin 2 x + cos 2 x (identitatea trigonometrică de bază), ecuația inițială devine:

cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x - sin x cos x \u003d 0;

sin x(sin x - cos x) = 0. Produsul este egal cu zero, ceea ce înseamnă că cel puțin unul dintre factori trebuie să fie egal cu zero, prin urmare:

sin x \u003d 0 sau sin x - cos x \u003d 0.

Deoarece valoarea variabilei, la care cos x = 0, nu sunt rădăcinile celei de-a doua ecuații (sinusul și cosinusul aceluiași număr nu pot fi egale cu zero în același timp), atunci împărțim ambele părți ale celei de-a doua. ecuația prin cos x:

sin x = 0 sau sin x / cos x - 1 = 0.

În a doua ecuație, folosim faptul că tg x = sin x / cos x, atunci:

sin x = 0 sau tg x = 1. Folosind formule, avem:

x = πk sau x = π/4 + πk, k este un număr întreg (k € Z).

De la prima serie de rădăcini până la intervalul [-π; π] aparțin numerelor -π; 0; π. Din a doua serie: (π/4 – π) și π/4.

Astfel, cele cinci rădăcini ale ecuației inițiale aparțin intervalului [-π; π].

Raspuns: 5.

Exemplul 4. Aflați suma rădăcinilor ecuației tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 pe intervalul [-π; 1,1π].

Soluţie:

Să rescriem ecuația în următoarea formă:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 și faceți o schimbare.

Fie tg x + сtgx = a. Să pătram ambele părți ale ecuației:

(tg x + сtg x) 2 = a 2 . Să extindem parantezele:

tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2 .

Deoarece tg x сtgx \u003d 1, atunci tg 2 x + 2 + сtg 2 x \u003d a 2, ceea ce înseamnă

tg 2 x + сtg 2 x \u003d a 2 - 2.

Acum ecuația inițială arată astfel:

a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Folosind teorema lui Vieta, obținem că a = -1 sau a = -2.

Făcând substituția inversă, avem:

tg x + сtgx = -1 sau tg x + сtgx = -2. Să rezolvăm ecuațiile obținute.

tgx + 1/tgx = -1 sau tgx + 1/tgx = -2.

Prin proprietatea a două numere reciproc reciproce, determinăm că prima ecuație nu are rădăcini, iar din a doua ecuație avem:

tg x = -1, adică. x = -π/4 + πk, k este un număr întreg (k ∈ Z).

Intervalul [-π; 1,1π] rădăcinile aparțin: -π/4; -π/4 + π. Suma lor:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Răspuns: π/2.

Exemplul 5. Aflați media aritmetică a rădăcinilor ecuației sin 3x + sin x = sin 2x pe intervalul [-π; 0,5π].

Soluţie:

Folosim formula sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α - β)/2), atunci

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x și ecuația devine

2sin 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x cos x - sin 2x \u003d 0. Scoatem din paranteze factorul comun sin 2x

sin 2x(2cos x - 1) = 0. Să rezolvăm ecuația rezultată:

sin 2x \u003d 0 sau 2cos x - 1 \u003d 0;

sin 2x = 0 sau cos x = 1/2;

2x = πk sau x = ±π/3 + 2πk, k este un număr întreg (k € Z).

Astfel avem rădăcini

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k este un număr întreg (k € Z).

Intervalul [-π; 0,5π] aparțin rădăcinilor -π; -π/2; 0; π/2 (din prima serie de rădăcini); π/3 (din a doua serie); -π/3 (din a treia serie). Media lor aritmetică este:

(-π - π/2 + 0 + π/2 + π/3 - π/3)/6 = -π/6.

Răspuns: -π/6.

Exemplul 6. Aflați numărul de rădăcini ale ecuației sin x + cos x = 0 pe intervalul [-1,25π; 2π].

Soluţie:

Această ecuație este o ecuație omogenă de gradul I. Să împărțim ambele părți la cosx (valoarea variabilei, la care cos x = 0, nu sunt rădăcinile acestei ecuații, deoarece sinusul și cosinusul aceluiași număr nu pot fi egale cu zero în același timp). Ecuația inițială arată astfel:

x = -π/4 + πk, k este un număr întreg (k ∈ Z).

Gap [-1,25π; 2π] au rădăcini -π/4; (-π/4 + π); și (-π/4 + 2π).

Astfel, trei rădăcini ale ecuației aparțin intervalului dat.

Raspuns: 3.

Învață să faci cel mai important lucru - să prezinți clar un plan pentru rezolvarea problemei, iar apoi orice ecuație trigonometrică va fi pe umărul tău.

Aveti vreo intrebare? Nu știi cum să rezolvi ecuații trigonometrice?
Pentru a obține ajutorul unui tutore - înregistrați-vă.

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.