Rezolvați ecuații care pot fi rezolvate prin scădere. Rezolvarea sistemului de ecuații prin metoda adunării. Rezolvarea sistemelor complexe de ecuații

În acest videoclip, vom arunca o privire asupra întregului set. ecuatii lineare, care sunt rezolvate prin același algoritm - de aceea sunt numite cele mai simple.

Pentru început, să definim: ce este o ecuație liniară și care dintre ele ar trebui numită cea mai simplă?

O ecuație liniară este una în care există o singură variabilă și numai de gradul întâi.

Cea mai simplă ecuație înseamnă construcția:

Toate celelalte ecuații liniare sunt reduse la cele mai simple folosind algoritmul:

1. Deschideți paranteze, dacă există;
2. Mutați termenii care conțin o variabilă într-o parte a semnului egal și termenii fără variabilă în cealaltă;
3. Aduceți termeni similari la stânga și la dreapta semnului egal;
4. Împărțiți ecuația rezultată la coeficientul variabilei $x$ .

Desigur, acest algoritm nu ajută întotdeauna. Cert este că uneori, după toate aceste mașinațiuni, coeficientul variabilei $x$ se dovedește a fi egal cu zero. În acest caz, sunt posibile două opțiuni:

1. Ecuația nu are deloc soluții. De exemplu, când obțineți ceva de genul $0\cdot x=8$, de exemplu. în stânga este zero, iar în dreapta este un număr diferit de zero. În videoclipul de mai jos, vom analiza mai multe motive pentru care această situație este posibilă.
2. Soluția sunt toate numerele. Singurul caz în care acest lucru este posibil este atunci când ecuația a fost redusă la construcția $0\cdot x=0$. Este destul de logic că, indiferent de ce $x$ înlocuim, se va dovedi totuși „zero este egal cu zero”, adică. egalitate numerică corectă.

Și acum să vedem cum funcționează totul pe exemplul problemelor reale.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor

Astăzi ne ocupăm de ecuații liniare și doar de cele mai simple. În general, o ecuație liniară înseamnă orice egalitate care conține exact o variabilă și merge doar la primul grad.

Astfel de construcții sunt rezolvate aproximativ în același mod:

1. În primul rând, trebuie să deschideți parantezele, dacă există (ca în ultimul nostru exemplu);
2. Apoi aduceți similare
3. În cele din urmă, izolați variabila, adică tot ceea ce este legat de variabilă - termenii în care este conținut - este transferat într-o parte, iar tot ceea ce rămâne fără ea este transferat pe cealaltă parte.

Apoi, de regulă, trebuie să aduceți similar de fiecare parte a egalității rezultate, iar după aceea rămâne doar să împărțiți cu coeficientul de la "x", și vom obține răspunsul final.

În teorie, acest lucru pare frumos și simplu, dar în practică, chiar și elevii de liceu cu experiență pot face greșeli jignitoare în ecuații liniare destul de simple. De obicei, greșelile sunt făcute fie la deschiderea parantezelor, fie la numărarea „plusurilor” și „minusurilor”.

În plus, se întâmplă ca o ecuație liniară să nu aibă deloc soluții, sau astfel încât soluția să fie întreaga dreaptă numerică, adică. orice număr. Vom analiza aceste subtilități în lecția de astăzi. Dar vom începe, așa cum ați înțeles deja, cu cele mai simple sarcini.

Schema de rezolvare a ecuatiilor liniare simple

Pentru început, permiteți-mi să scriu încă o dată întreaga schemă pentru rezolvarea celor mai simple ecuații liniare:

1. Extindeți parantezele, dacă există.
2. Seclude variabile, de ex. tot ceea ce conține „x” este transferat pe o parte, iar fără „x” - pe cealaltă.
3. Prezentăm termeni similari.
4. Împărțim totul cu coeficientul de la „x”.

Desigur, această schemă nu funcționează întotdeauna, are anumite subtilități și trucuri, iar acum le vom cunoaște.

Rezolvarea exemplelor reale de ecuații liniare simple

Sarcina 1

În primul pas, ni se cere să deschidem parantezele. Dar nu sunt în acest exemplu, așa că sărim peste acest pas. În a doua etapă, trebuie să izolăm variabilele. Notă: vorbim numai despre termeni individuali. Hai să scriem:

Dăm termeni similari în stânga și în dreapta, dar acest lucru s-a făcut deja aici. Prin urmare, trecem la al patrulea pas: împărțim la un factor:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Aici avem răspunsul.

Sarcina #2

În această sarcină, putem observa parantezele, așa că haideți să le extindem:

Atat in stanga cat si in dreapta vedem aproximativ aceeasi constructie, dar sa actionam conform algoritmului, i.e. variabile sechester:

Iată câteva de genul:

La ce rădăcini funcționează asta? Răspuns: pentru orice. Prin urmare, putem scrie că $x$ este orice număr.

Sarcina #3

A treia ecuație liniară este deja mai interesantă:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Sunt mai multe paranteze aici, dar nu sunt înmulțite cu nimic, doar au semne diferite în fața lor. Să le defalcăm:

Facem al doilea pas deja cunoscut de noi:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Să calculăm:

Efectuăm ultimul pas - împărțim totul cu coeficientul de la "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Lucruri de reținut atunci când rezolvați ecuații liniare

Dacă ignorăm sarcini prea simple, atunci aș dori să spun următoarele:

• După cum am spus mai sus, nu orice ecuație liniară are o soluție - uneori pur și simplu nu există rădăcini;
• Chiar dacă există rădăcini, zero poate intra printre ele - nu este nimic rău în asta.

Zero este același număr cu restul, nu ar trebui să-l discriminezi cumva sau să presupui că dacă obții zero, atunci ai greșit ceva.

O altă caracteristică este legată de extinderea parantezelor. Vă rugăm să rețineți: când există un „minus” în fața lor, îl eliminăm, dar între paranteze schimbăm semnele în opus. Și apoi îl putem deschide conform algoritmilor standard: vom obține ceea ce am văzut în calculele de mai sus.

Înțelegerea acestui fapt simplu te va ajuta să eviți să faci greșeli stupide și rănitoare în liceu, când a face astfel de acțiuni este considerat de la sine înțeles.

Rezolvarea ecuațiilor liniare complexe

Să trecem la ecuații mai complexe. Acum construcțiile vor deveni mai complicate și o funcție pătratică va apărea la efectuarea diferitelor transformări. Cu toate acestea, nu trebuie să vă fie teamă de acest lucru, deoarece dacă, conform intenției autorului, rezolvăm o ecuație liniară, atunci în procesul de transformare toate monomiile care conțin o funcție pătratică vor fi în mod necesar reduse.

Exemplul #1

Evident, primul pas este deschiderea parantezelor. Să facem asta cu mare atenție:

Acum să luăm confidențialitatea:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Iată câteva de genul:

Evident, această ecuație nu are soluții, așa că în răspuns scriem după cum urmează:

\[\varietate \]

sau fără rădăcini.

Exemplul #2

Facem aceiași pași. Primul pas:

Să mutăm totul cu o variabilă la stânga și fără ea - la dreapta:

Iată câteva de genul:

Evident, această ecuație liniară nu are soluție, așa că o scriem astfel:

\[\varnothing\],

sau fără rădăcini.

Nuanțe ale soluției

Ambele ecuații sunt complet rezolvate. Pe exemplul acestor două expresii, ne-am asigurat încă o dată că, chiar și în cele mai simple ecuații liniare, totul poate să nu fie atât de simplu: poate fi fie unul, fie niciunul, fie infinit. În cazul nostru, am luat în considerare două ecuații, în ambele pur și simplu nu există rădăcini.

Dar aș dori să vă atrag atenția asupra unui alt fapt: cum să lucrați cu paranteze și cum să le extindeți dacă există un semn minus în fața lor. Luați în considerare această expresie:

Înainte de deschidere, trebuie să înmulțiți totul cu „x”. Vă rugăm să rețineți: înmulțiți fiecare termen individual. În interior sunt doi termeni - respectiv, doi termeni și se înmulțește.

Și abia după ce aceste transformări aparent elementare, dar foarte importante și periculoase au fost finalizate, paranteza poate fi deschisă din punctul de vedere că există un semn minus după el. Da, da: abia acum, când transformările sunt făcute, ne amintim că în fața parantezelor este un semn minus, ceea ce înseamnă că totul în jos doar schimbă semne. În același timp, parantezele în sine dispar și, cel mai important, dispare și „minus” din față.

Facem același lucru cu a doua ecuație:

Nu întâmplător sunt atent la aceste fapte mărunte, aparent nesemnificative. Pentru că rezolvarea ecuațiilor este întotdeauna o succesiune de transformări elementare, unde incapacitatea de a efectua clar și competent acțiuni simple duce la faptul că elevii de liceu vin la mine și învață din nou să rezolve astfel de ecuații simple.

Bineînțeles, va veni și ziua în care vei perfecționa aceste abilități la automatism. Nu mai trebuie să faci atâtea transformări de fiecare dată, vei scrie totul într-un singur rând. Dar în timp ce doar înveți, trebuie să scrii fiecare acțiune separat.

Rezolvarea unor ecuații liniare și mai complexe

Ceea ce vom rezolva acum cu greu poate fi numit cea mai simplă sarcină, dar sensul rămâne același.

Sarcina 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Să înmulțim toate elementele din prima parte:

Să facem o retragere:

Iată câteva de genul:

Să facem ultimul pas:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Iată răspunsul nostru final. Și, în ciuda faptului că în procesul de rezolvare am avut coeficienți cu funcție pătratică, totuși, s-au anihilat reciproc, ceea ce face ca ecuația să fie exact liniară, nu pătrată.

Sarcina #2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Să facem primul pas cu atenție: înmulțiți fiecare element din prima paranteză cu fiecare element din al doilea. În total, după transformări ar trebui obținute patru termeni noi:

Și acum efectuați cu atenție înmulțirea în fiecare termen:

Să mutăm termenii cu „x” la stânga și fără - la dreapta:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Iată termeni similari:

Am primit un răspuns definitiv.

Nuanțe ale soluției

Cea mai importantă remarcă despre aceste două ecuații este aceasta: de îndată ce începem să înmulțim paranteze în care există mai mult de un termen, atunci aceasta se face după următoarea regulă: luăm primul termen din primul și înmulțim cu fiecare element. din a doua; apoi luăm al doilea element din primul și în mod similar ne înmulțim cu fiecare element din al doilea. Ca rezultat, obținem patru termeni.

Pe suma algebrică

Cu ultimul exemplu, aș dori să le reamintesc elevilor ce este o sumă algebrică. În matematica clasică, prin $1-7$ înțelegem o construcție simplă: scădem șapte din unu. În algebră, înțelegem prin aceasta următoarele: la numărul „unu” adăugăm un alt număr, și anume „minus șapte”. Această sumă algebrică diferă de suma aritmetică obișnuită.

De îndată ce efectuați toate transformările, fiecare adunare și înmulțire, începeți să vedeți construcții similare celor descrise mai sus, pur și simplu nu veți avea probleme în algebră când lucrați cu polinoame și ecuații.

În concluzie, să ne uităm la câteva exemple care vor fi chiar mai complexe decât cele la care tocmai ne-am uitat și, pentru a le rezolva, va trebui să extindem ușor algoritmul nostru standard.

Rezolvarea ecuațiilor cu o fracție

Pentru a rezolva astfel de sarcini, va mai trebui adăugat un pas la algoritmul nostru. Dar mai întâi, voi aminti algoritmul nostru:

1. Deschideți paranteze.
2. Variabile separate.
3. Aduceți similare.
4. Împărțiți cu un factor.

Din păcate, acest algoritm minunat, cu toată eficiența lui, nu este pe deplin potrivit atunci când avem fracții în fața noastră. Și în ceea ce vom vedea mai jos, avem o fracție în stânga și în dreapta în ambele ecuații.

Cum se lucrează în acest caz? Da, este foarte simplu! Pentru a face acest lucru, trebuie să adăugați încă un pas la algoritm, care poate fi efectuat atât înaintea primei acțiuni, cât și după aceasta, și anume, pentru a scăpa de fracții. Astfel, algoritmul va fi după cum urmează:

1. Scapă de fracții.
2. Deschideți paranteze.
3. Variabile separate.
4. Aduceți similare.
5. Împărțiți cu un factor.

Ce înseamnă „să scapi de fracții”? Și de ce este posibil să faceți acest lucru atât după, cât și înainte de primul pas standard? De fapt, în cazul nostru, toate fracțiile sunt numerice în ceea ce privește numitorul, adică. peste tot numitorul este doar un număr. Prin urmare, dacă înmulțim ambele părți ale ecuației cu acest număr, atunci vom scăpa de fracții.

Exemplul #1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Să scăpăm de fracțiile din această ecuație:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left((((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Vă rugăm să rețineți: totul este înmulțit cu „patru” o dată, adică. doar pentru că ai două paranteze nu înseamnă că trebuie să le înmulți pe fiecare cu „patru”. Hai să scriem:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Acum să-l deschidem:

Efectuăm izolarea unei variabile:

Efectuăm reducerea termenilor similari:

\[-4x=-1\left| :\stânga(-4 \dreapta) \dreapta.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Am primit soluția finală, trecem la a doua ecuație.

Exemplul #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Aici efectuăm toate aceleași acțiuni:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problema rezolvata.

Asta, de fapt, este tot ce am vrut să spun astăzi.

Puncte cheie

Principalele constatări sunt următoarele:

• Cunoașteți algoritmul de rezolvare a ecuațiilor liniare.
• Abilitatea de a deschide paranteze.
• Nu vă faceți griji dacă aveți undeva funcții pătratice, cel mai probabil, în procesul de transformări ulterioare, acestea vor fi reduse.
• Rădăcinile din ecuațiile liniare, chiar și cele mai simple, sunt de trei tipuri: o singură rădăcină, întreaga linie numerică este o rădăcină, nu există rădăcini deloc.

Sper că această lecție vă va ajuta să stăpâniți un subiect simplu, dar foarte important pentru înțelegerea ulterioară a tuturor matematicii. Dacă ceva nu este clar, intră pe site, rezolvă exemplele prezentate acolo. Rămâneți pe fază, sunt multe alte lucruri interesante care vă așteaptă!

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau în alte scopuri de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Cu acest videoclip, încep o serie de lecții despre sistemele de ecuații. Astăzi vom vorbi despre rezolvarea sistemelor de ecuații liniare metoda de adăugare Aceasta este una dintre cele mai simple metode, dar în același timp una dintre cele mai eficiente.

Metoda de adăugare constă din trei pași simpli:

1. Priviți sistemul și alegeți o variabilă care are aceiași (sau opuși) coeficienți în fiecare ecuație;
2. Efectuați scăderea algebrică (pentru numere opuse- adunarea) de ecuații unele de altele, după care aduc termeni asemănători;
3. Rezolvați noua ecuație obținută după pasul al doilea.

Dacă totul este făcut corect, atunci la ieșire vom obține o singură ecuație cu o variabilă- Nu va fi greu de rezolvat. Apoi, rămâne doar să înlocuiți rădăcina găsită în sistemul original și să obțineți răspunsul final.

Cu toate acestea, în practică, nu este atât de simplu. Există mai multe motive pentru aceasta:

• Rezolvarea ecuațiilor prin adunare implică faptul că toate rândurile trebuie să conțină variabile cu aceiași/opuși coeficienți. Ce se întâmplă dacă această cerință nu este îndeplinită?
• Nu întotdeauna, după adunarea/scăderea ecuațiilor în acest fel, vom obține o construcție frumoasă, care se rezolvă ușor. Este posibil să simplificați cumva calculele și să grăbiți calculele?

Pentru a obține un răspuns la aceste întrebări și, în același timp, pentru a face față unor subtilități suplimentare pe care mulți studenți „căd”, urmăriți tutorialul meu video:

Cu această lecție, începem o serie de prelegeri despre sistemele de ecuații. Și vom începe cu cele mai simple dintre ele, și anume cele care conțin două ecuații și două variabile. Fiecare dintre ele va fi liniară.

Sistemele este un material de clasa a VII-a, dar această lecție va fi utilă și pentru elevii de liceu care doresc să-și perfecționeze cunoștințele pe această temă.

În general, există două metode de rezolvare a unor astfel de sisteme:

1. Metoda de adunare;
2. O metodă de exprimare a unei variabile în termenii alteia.

Astăzi ne vom ocupa de prima metodă - vom folosi metoda scăderii și adunării. Dar pentru aceasta trebuie să înțelegeți următorul fapt: odată ce aveți două sau mai multe ecuații, puteți lua oricare dintre ele și le puteți adăuga împreună. Se adaugă termen cu termen, adică. „X” se adaugă la „X” și se dau altele similare, „jocuri” la „jocuri” - se dau din nou altele similare, iar ceea ce este în dreapta semnului egal se adaugă unul altuia, iar altele similare sunt dat tot acolo.

Rezultatele unor astfel de mașinațiuni vor fi o nouă ecuație, care, dacă are rădăcini, ele vor fi cu siguranță printre rădăcinile ecuației originale. Deci sarcina noastră este să facem scăderea sau adunarea în așa fel încât fie $x$, fie $y$ să dispară.

Cum să realizați acest lucru și ce instrument să folosiți pentru aceasta - vom vorbi despre asta acum.

Rezolvarea problemelor ușoare folosind metoda adunării

Deci, învățăm să aplicăm metoda adunării folosind exemplul a două expresii simple.

Sarcina 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Rețineți că $y$ are un coeficient de $-4$ în prima ecuație și $+4$ în a doua. Ele sunt reciproc opuse, așa că este logic să presupunem că, dacă le adunăm, atunci, în cantitatea rezultată, „jocurile” se vor anihila reciproc. Adăugăm și obținem:

Rezolvăm cea mai simplă construcție:

Grozav, am găsit X-ul. Ce să faci cu el acum? Îl putem înlocui în oricare dintre ecuații. Să o punem în prima:

\[-4y=12\left| :\stânga(-4 \dreapta) \dreapta.\]

Răspuns: $\left(2;-3\right)$.

Sarcina #2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Aici, situația este complet asemănătoare, doar cu X-urile. Să le punem împreună:

Avem cea mai simplă ecuație liniară, să o rezolvăm:

Acum să găsim $x$:

Răspuns: $\left(-3;3\right)$.

Puncte importante

Deci, tocmai am rezolvat două sisteme simple de ecuații liniare folosind metoda adunării. Încă o dată punctele cheie:

1. Dacă există coeficienți opuși pentru una dintre variabile, atunci este necesar să adăugați toate variabilele din ecuație. În acest caz, unul dintre ele va fi distrus.
2. Substituim variabila găsită în oricare dintre ecuațiile sistemului pentru a găsi a doua.
3. Înregistrarea finală a răspunsului poate fi prezentată în diferite moduri. De exemplu, așa - $x=...,y=...$, sau sub formă de coordonate ale punctelor - $\left(...;... \right)$. A doua varianta este de preferat. Principalul lucru de reținut este că prima coordonată este $x$, iar a doua este $y$.
4. Regula de a scrie răspunsul sub formă de coordonate punct nu este întotdeauna aplicabilă. De exemplu, nu poate fi folosit când rolul variabilelor nu este $x$ și $y$, ci, de exemplu, $a$ și $b$.

În următoarele probleme, vom lua în considerare tehnica scăderii atunci când coeficienții nu sunt opuși.

Rezolvarea problemelor ușoare folosind metoda scăderii

Sarcina 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Rețineți că nu există coeficienți opuși aici, dar există coeficienți identici. Prin urmare, scădem a doua ecuație din prima ecuație:

Acum înlocuim valoarea lui $x$ în oricare dintre ecuațiile sistemului. Să mergem mai întâi:

Răspuns: $\left(2;5\right)$.

Sarcina #2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Vedem din nou același coeficient $5$ pentru $x$ în prima și a doua ecuație. Prin urmare, este logic să presupunem că trebuie să scădeți a doua din prima ecuație:

Am calculat o variabilă. Acum să-l găsim pe al doilea, de exemplu, înlocuind valoarea lui $y$ în al doilea construct:

Răspuns: $\left(-3;-2 \right)$.

Nuanțe ale soluției

Deci ce vedem? În esență, schema nu este diferită de soluția sistemelor anterioare. Singura diferență este că nu adunăm ecuații, ci le scădem. Facem scăderi algebrice.

Cu alte cuvinte, de îndată ce vezi un sistem format din două ecuații cu două necunoscute, primul lucru la care trebuie să te uiți sunt coeficienții. Dacă oriunde sunt aceleași, ecuațiile se scad, iar dacă sunt opuse, se aplică metoda adunării. Acest lucru se face întotdeauna astfel încât unul dintre ele să dispară, iar în ecuația finală care rămâne după scădere ar rămâne o singură variabilă.

Desigur, asta nu este tot. Acum vom lua în considerare sistemele în care ecuațiile sunt în general inconsecvente. Acestea. nu există astfel de variabile în ele care ar fi fie aceleași, fie opuse. În acest caz, pentru rezolvarea unor astfel de sisteme, se folosește o tehnică suplimentară și anume înmulțirea fiecărei ecuații cu un coeficient special. Cum să-l găsești și cum să rezolvi astfel de sisteme în general, acum vom vorbi despre asta.

Rezolvarea problemelor prin înmulțirea cu un coeficient

Exemplul #1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Vedem că nici pentru $x$ și nici pentru $y$ coeficienții nu sunt doar reciproc opuși, dar în general nu se corelează în niciun fel cu o altă ecuație. Acești coeficienți nu vor dispărea în niciun fel, chiar dacă adunăm sau scădem ecuațiile unul de la celălalt. Prin urmare, este necesar să se aplice înmulțirea. Să încercăm să scăpăm de variabila $y$. Pentru a face acest lucru, înmulțim prima ecuație cu coeficientul $y$ din a doua ecuație, iar a doua ecuație cu coeficientul $y$ din prima ecuație, fără a schimba semnul. Înmulțim și obținem un nou sistem:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Să ne uităm la asta: pentru $y$, coeficienți opuși. Într-o astfel de situație, este necesar să se aplice metoda de adăugare. Să adăugăm:

Acum trebuie să găsim $y$. Pentru a face acest lucru, înlocuiți $x$ în prima expresie:

\[-9y=18\left| :\stânga(-9 \dreapta) \dreapta.\]

Răspuns: $\left(4;-2\right)$.

Exemplul #2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Din nou, coeficienții pentru niciuna dintre variabile nu sunt consecvenți. Să înmulțim cu coeficienții la $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Al nostru sistem nou este echivalent cu cel precedent, dar coeficienții la $y$ sunt reciproc opuși și, prin urmare, este ușor să aplicați metoda de adunare aici:

Acum găsiți $y$ înlocuind $x$ în prima ecuație:

Răspuns: $\left(-2;1\right)$.

Nuanțe ale soluției

Regula cheie aici este următoarea: înmulțiți întotdeauna numai cu numere pozitive - acest lucru vă va scuti de greșelile stupide și ofensive asociate cu schimbarea semnelor. În general, schema de soluții este destul de simplă:

1. Ne uităm la sistem și analizăm fiecare ecuație.
2. Dacă vedem că nici pentru $y$ și nici pentru $x$ coeficienții sunt consecvenți, adică. ele nu sunt nici egale, nici opuse, atunci facem următoarele: selectați variabila de care scăpați, apoi priviți coeficienții din aceste ecuații. Dacă înmulțim prima ecuație cu coeficientul din a doua, iar pe a doua, corespunzător, cu coeficientul din prima, atunci în final vom obține un sistem complet echivalent cu cel precedent, iar coeficienții la $ y$ va fi consistent. Toate acțiunile sau transformările noastre au drept scop doar obținerea unei variabile într-o ecuație.
3. Găsim o variabilă.
4. Inlocuim variabila gasita intr-una din cele doua ecuatii ale sistemului si o gasim pe a doua.
5. Scriem răspunsul sub formă de coordonate de puncte, dacă avem variabile $x$ și $y$.

Dar chiar și un astfel de algoritm simplu are propriile sale subtilități, de exemplu, coeficienții lui $x$ sau $y$ pot fi fracții și alte numere „urâte”. Vom analiza acum aceste cazuri separat, deoarece în ele puteți acționa într-un mod ușor diferit decât conform algoritmului standard.

Rezolvarea problemelor cu numere fracționale

Exemplul #1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(align) \right.\]

În primul rând, rețineți că a doua ecuație conține fracții. Dar rețineți că puteți împărți 4$ la 0,8$. Primim 5$. Să înmulțim a doua ecuație cu $5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Scădem ecuațiile una de la alta:

$n$ am găsit, acum calculăm $m$:

Răspuns: $n=-4;m=5$

Exemplul #2

\[\left\( \begin(align)& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ dreapta.\]

Aici, ca și în sistemul anterior, există coeficienți fracționali, totuși, pentru niciuna dintre variabile, coeficienții nu se potrivesc unul cu celălalt de un număr întreg de ori. Prin urmare, folosim algoritmul standard. Scapa de $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(align) \right.\]

Să folosim metoda de scădere:

Să găsim $p$ substituind $k$ în al doilea construct:

Răspuns: $p=-4;k=-2$.

Nuanțe ale soluției

Asta e tot optimizare. În prima ecuație, nu am înmulțit cu nimic, iar a doua ecuație a fost înmulțită cu $5$. Ca rezultat, am obținut o ecuație consistentă și chiar aceeași pentru prima variabilă. În cel de-al doilea sistem, am acționat conform algoritmului standard.

Dar cum să găsiți numerele cu care trebuie să înmulțiți ecuațiile? La urma urmei, dacă înmulțiți cu numere fracționare, obținem noi fracții. Prin urmare, fracțiile trebuie înmulțite cu un număr care ar da un nou întreg, iar după aceea, variabilele trebuie înmulțite cu coeficienți, urmând algoritmul standard.

În concluzie, aș dori să vă atrag atenția asupra formatului înregistrării răspunsului. După cum am spus deja, deoarece aici nu avem $x$ și $y$ aici, ci alte valori, folosim o notație non-standard de forma:

Rezolvarea sistemelor complexe de ecuații

Ca o atingere finală a tutorialului video de astăzi, să ne uităm la câteva sisteme cu adevărat complexe. Complexitatea lor va consta in faptul ca vor contine variabile atat in stanga cat si in dreapta. Prin urmare, pentru a le rezolva, va trebui să aplicăm preprocesare.

Sistemul #1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Fiecare ecuație are o anumită complexitate. Prin urmare, cu fiecare expresie, să facem ca la o construcție liniară normală.

În total, obținem sistemul final, care este echivalent cu cel inițial:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Să ne uităm la coeficienții lui $y$: $3$ se încadrează în $6$ de două ori, așa că înmulțim prima ecuație cu $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Coeficienții lui $y$ sunt acum egali, așa că îi scadem pe al doilea din prima ecuație: $$

Acum să găsim $y$:

Răspuns: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Sistemul #2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

Să transformăm prima expresie:

Să ne ocupăm de al doilea:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

În total, sistemul nostru inițial va lua următoarea formă:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Privind coeficienții lui $a$, vedem că prima ecuație trebuie înmulțită cu $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Scădem pe a doua din prima construcție:

Acum găsiți $a$:

Răspuns: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Asta e tot. Sper că acest tutorial video vă va ajuta să înțelegeți acest subiect dificil, și anume, rezolvarea sistemelor de ecuații liniare simple. Vor fi mult mai multe lecții pe această temă în continuare: vom analiza exemple mai complexe, unde vor fi mai multe variabile, iar ecuațiile în sine vor fi deja neliniare. Ne vedem în curând!

Vom analiza două tipuri de sisteme de rezolvare de ecuații:

1. Rezolvarea sistemului prin metoda substituției.
2. Rezolvarea sistemului prin adunarea (scăderea) termen cu termen a ecuațiilor sistemului.

Pentru a rezolva sistemul de ecuaţii metoda de substitutie trebuie să urmați un algoritm simplu:
1. Ne exprimăm. Din orice ecuație, exprimăm o variabilă.
2. Înlocuitor. Inlocuim intr-o alta ecuatie in locul variabilei exprimate, valoarea rezultata.
3. Rezolvăm ecuația rezultată cu o variabilă. Găsim o soluție la sistem.

A rezolva sistem prin adunare (scădere) termen cu termen nevoie:
1. Selectați o variabilă pentru care vom face aceiași coeficienți.
2. Adunăm sau scădem ecuațiile, ca rezultat obținem o ecuație cu o variabilă.
3. Rezolvăm ecuația liniară rezultată. Găsim o soluție la sistem.

Soluția sistemului este punctele de intersecție ale graficelor funcției.

Să luăm în considerare în detaliu soluția sistemelor folosind exemple.

Exemplul #1:

Să rezolvăm prin metoda substituției

Rezolvarea sistemului de ecuații prin metoda substituției

2x+5y=1 (1 ecuație)
x-10y=3 (a doua ecuație)

1. Express
Se poate observa că în cea de-a doua ecuație există o variabilă x cu coeficientul 1, deci rezultă că este mai ușor să exprimați variabila x din a doua ecuație.
x=3+10y

2. După exprimare, înlocuim 3 + 10y în prima ecuație în locul variabilei x.
2(3+10y)+5y=1

3. Rezolvăm ecuația rezultată cu o variabilă.
2(3+10y)+5y=1 (paranteze deschise)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Soluția sistemului de ecuații este punctele de intersecție ale graficelor, de aceea trebuie să găsim x și y, deoarece punctul de intersecție este format din x și y. Să găsim x, în primul paragraf unde am exprimat înlocuim y acolo.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Se obișnuiește să scriem puncte în primul rând, scriem variabila x, iar în al doilea rând variabila y.
Răspuns: (1; -0,2)

Exemplul #2:

Să rezolvăm prin adunare (scădere) termen cu termen.

Rezolvarea unui sistem de ecuații prin metoda adunării

3x-2y=1 (1 ecuație)
2x-3y=-10 (a doua ecuație)

1. Selectați o variabilă, să presupunem că selectăm x. În prima ecuație, variabila x are un coeficient de 3, în a doua - 2. Trebuie să facem coeficienții la fel, pentru aceasta avem dreptul să înmulțim ecuațiile sau să împărțim cu orice număr. Înmulțim prima ecuație cu 2, iar a doua cu 3 și obținem un coeficient total de 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Din prima ecuație, scădeți a doua pentru a scăpa de variabila x. Rezolvați ecuația liniară.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Găsiți x. Înlocuim y găsit în oricare dintre ecuații, să spunem în prima ecuație.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Punctul de intersecție va fi x=4,6; y=6,4
Răspuns: (4,6; 6,4)

Vrei să te pregătești pentru examene gratuit? Tutor online gratuit. Fara gluma.

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale. Exemple.

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Ce ecuație exponențială? Aceasta este o ecuație în care se află necunoscutele (x) și expresiile cu acestea indicatori unele grade. Și numai acolo! Este important.

Iată-te exemple de ecuații exponențiale:

3 x 2 x = 8 x + 3

Notă! În bazele de grade (mai jos) - numai numere. LA indicatori grade (mai sus) - o mare varietate de expresii cu x. Dacă, brusc, un x apare în ecuație în altă parte decât indicator, de exemplu:

aceasta va fi o ecuație de tip mixt. Astfel de ecuații nu au reguli clare de rezolvare. Nu le vom lua în considerare deocamdată. Aici ne vom ocupa rezolvarea ecuațiilor exponențialeîn forma sa cea mai pură.

De fapt, chiar și ecuațiile exponențiale pure nu sunt întotdeauna rezolvate clar. Dar există anumite tipuri de ecuații exponențiale care pot și ar trebui rezolvate. Acestea sunt tipurile pe care le vom analiza.

Rezolvarea celor mai simple ecuații exponențiale.

Să începem cu ceva foarte elementar. De exemplu:

Chiar și fără nicio teorie, prin simpla selecție este clar că x = 2. Nimic mai mult, nu!? Nu există alte role de valoare x. Și acum să ne uităm la soluția acestei ecuații exponențiale complicate:

Ce am făcut? De fapt, tocmai am aruncat aceleași temeiuri(triple). Complet aruncat afară. Și, ceea ce îți place, lovește-te!

Într-adevăr, dacă în ecuația exponențială din stânga și din dreapta sunt aceeași numere în orice grad, aceste numere pot fi eliminate și pot fi egale cu exponenți. Matematica permite. Rămâne de rezolvat o ecuație mult mai simplă. E bine, nu?)

Cu toate acestea, să ne amintim în mod ironic: poti scoate bazele doar atunci cand numerele de baza din stanga si dreapta sunt in splendida izolare! Fără vecini și coeficienți. Să spunem în ecuații:

2 x +2 x + 1 = 2 3 sau

Nu poți elimina dublurile!

Ei bine, am stăpânit cel mai important lucru. Cum să treceți de la expresii exponențiale malefice la ecuații mai simple.

„Iată acele vremuri!” - tu spui. "Cine va da un asemenea primitiv la control si examene!?"

Forțat să fie de acord. Nimeni nu o va face. Dar acum știi unde să mergi când rezolvi exemple confuze. Este necesar să-l aduceți în minte, când același număr de bază este în stânga - în dreapta. Atunci totul va fi mai ușor. De fapt, acesta este clasicul matematicii. Luăm exemplul original și îl transformăm în cel dorit ne minte. După regulile matematicii, desigur.

Luați în considerare exemple care necesită un efort suplimentar pentru a le aduce la cel mai simplu. Să-i numim ecuații exponențiale simple.

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale simple. Exemple.

La rezolvarea ecuațiilor exponențiale, regulile principale sunt actiuni cu puteri. Fără cunoașterea acestor acțiuni, nimic nu va funcționa.

La acțiunile cu grade, trebuie adăugate observație și ingeniozitate personală. Avem nevoie de aceleași numere de bază? Deci, le căutăm în exemplu într-o formă explicită sau criptată.

Să vedem cum se face acest lucru în practică?

Să ne dăm un exemplu:

2 2x - 8 x+1 = 0

Prima privire la temeiuri. Ei... Sunt diferiți! Doi și opt. Dar este prea devreme pentru a fi descurajat. Este timpul să ne amintim asta

Doi și opt sunt rude în grad.) Este foarte posibil să scrieți:

8 x+1 = (2 3) x+1

Dacă ne amintim formula din acțiuni cu puteri:

(a n) m = a nm ,

in general functioneaza excelent:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Exemplul original arată astfel:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Noi transferam 2 3 (x+1) la dreapta (nimeni nu a anulat acțiunile elementare ale matematicii!), obținem:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Asta e practic tot. Scoaterea bazelor:

Rezolvăm acest monstru și obținem

Acesta este răspunsul corect.

În acest exemplu, cunoașterea puterilor a doi ne-a ajutat. Noi identificatîn opt, deuce criptat. Această tehnică (codificarea bazelor comune sub numere diferite) este un truc foarte popular în ecuațiile exponențiale! Da, chiar și în logaritmi. Trebuie să fii capabil să recunoști puterile altor numere în numere. Acest lucru este extrem de important pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale.

Faptul este că ridicarea oricărui număr la orice putere nu este o problemă. Înmulțiți, chiar și pe o bucată de hârtie, și atât. De exemplu, toată lumea poate ridica 3 la puterea a cincea. 243 se va dovedi dacă cunoașteți tabla înmulțirii.) Dar în ecuațiile exponențiale, mult mai des este necesar să nu ridicați la o putere, ci invers ... ce număr în ce măsură se ascunde în spatele numărului 243 sau, să zicem, 343... Nici un calculator nu te va ajuta aici.

Trebuie să cunoști puterile unor numere din vedere, da... Să exersăm?

Stabiliți ce puteri și ce numere sunt numere:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Răspunsuri (în mizerie, desigur!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Dacă te uiți cu atenție, poți vedea un fapt ciudat. Există mai multe răspunsuri decât întrebări! Ei bine, se întâmplă... De exemplu, 2 6 , 4 3 , 8 2 sunt toate 64.

Să presupunem că ați luat notă de informațiile despre cunoașterea numerelor.) Permiteți-mi să vă reamintesc că pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale, aplicăm întregul stoc de cunoștințe matematice. Inclusiv din clasele mijlocii inferioare. Nu ai mers direct la liceu, nu?

De exemplu, atunci când rezolvați ecuații exponențiale, scoaterea factorului comun dintre paranteze foarte des ajută (bună ziua a 7-a!). Să vedem un exemplu:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Și din nou, prima privire - pe teren! Bazele gradelor sunt diferite... Trei și nouă. Și vrem să fie la fel. Ei bine, în acest caz, dorința este destul de fezabilă!) Pentru că:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Conform acelorași reguli pentru acțiunile cu grade:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

E grozav, poți scrie:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Am dat un exemplu din aceleași motive. Deci, ce urmează!? Trei nu pot fi aruncați afară... O fundătură?

Deloc. Amintirea celei mai universale și puternice reguli de decizie toate sarcini de matematica:

Dacă nu știi ce să faci, fă ce poți!

Uite, totul este format).

Ce este în această ecuație exponențială poate sa do? Da, partea stângă cere direct paranteze! Factorul comun de 3 2x sugerează clar acest lucru. Să încercăm și apoi vom vedea:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Exemplul este din ce în ce mai bun!

Reamintim că pentru a elimina bazele avem nevoie de un grad pur, fără coeficienți. Ne deranjează numărul 70. Deci împărțim ambele părți ale ecuației la 70, obținem:

Op-pa! Totul a fost bine!

Acesta este răspunsul final.

Se întâmplă, totuși, să se obțină taxiul pe aceleași motive, dar lichidarea lor nu. Acest lucru se întâmplă în ecuații exponențiale de alt tip. Să luăm acest tip.

Modificarea variabilei în rezolvarea ecuațiilor exponențiale. Exemple.

Să rezolvăm ecuația:

4 x - 3 2 x +2 = 0

În primul rând - ca de obicei. Să trecem la bază. Către zece.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Obtinem ecuatia:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Și aici vom spânzura. Trucurile anterioare nu vor funcționa, indiferent cum le-ați întoarce. Va trebui să luăm din arsenalul unui alt mod puternic și versatil. Se numeste substituție variabilă.

Esența metodei este surprinzător de simplă. În loc de o pictogramă complexă (în cazul nostru, 2 x), scriem alta, mai simplă (de exemplu, t). O astfel de înlocuire aparent lipsită de sens duce la rezultate uimitoare!) Totul devine pur și simplu clar și de înțeles!

Asa ca lasa

Apoi 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Inlocuim in ecuatia noastra toate puterile cu x cu t:

Ei bine, răsare?) Ecuații cuadratice nu ai uitat inca? Rezolvăm prin discriminant, obținem:

Aici, principalul lucru este să nu ne oprim, așa cum se întâmplă ... Acesta nu este încă răspunsul, avem nevoie de x, nu de t. Ne întoarcem la X, adică. făcând un înlocuitor. Mai întâi pentru t 1:

Acesta este,

S-a găsit o rădăcină. Îl căutăm pe al doilea, din t 2:

Hm... Stânga 2 x, Dreapta 1... Un cârlig? Da, deloc! Este suficient să ne amintim (din acțiuni cu grade, da...) că o unitate este orice număr la zero. Orice. Orice ai nevoie, îl vom pune. Avem nevoie de doi. Mijloace:

Acum asta-i tot. Am 2 rădăcini:

Acesta este răspunsul.

La rezolvarea ecuațiilor exponențiale la sfârșit, se obține uneori o expresie incomodă. Tip:

De la șapte, un deuce printr-un grad simplu nu funcționează. Nu sunt rude... Cum pot fi aici? Cineva poate fi confuz... Dar persoana care a citit pe acest site subiectul „Ce este un logaritm?” , doar zâmbește ușor și notează cu o mână fermă răspunsul absolut corect:

Nu poate exista un astfel de răspuns în sarcinile „B” de la examen. Este necesar un număr specific. Dar în sarcinile „C” - ușor.

Această lecție oferă exemple de rezolvare a celor mai comune ecuații exponențiale. Să-l evidențiem pe cel principal.

Sfaturi practice:

1. În primul rând, ne uităm la temeiuri grade. Să vedem dacă nu se pot face aceeași. Să încercăm să facem acest lucru utilizând activ actiuni cu puteri. Nu uitați că și numerele fără x pot fi transformate în grade!

2. Încercăm să aducem ecuația exponențială la forma când sunt stânga și dreapta aceeași numere în orice grad. Folosim actiuni cu puteriși factorizarea. Ceea ce poate fi numărat în numere - numărăm.

3. Dacă al doilea sfat nu a funcționat, încercăm să aplicăm substituția variabilă. Rezultatul poate fi o ecuație care este ușor de rezolvat. Cel mai adesea - pătrat. Sau fracțional, care se reduce și la un pătrat.

4. Pentru a rezolva cu succes ecuații exponențiale, trebuie să cunoști gradele unor numere „din vedere”.

Ca de obicei, la sfârșitul lecției ești invitat să rezolvi puțin.) Pe cont propriu. De la simplu la complex.

Rezolvați ecuații exponențiale:

Mai dificil:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Găsiți produsul rădăcinilor:

2 3-x + 2 x = 9

S-a întâmplat?

In regula, atunci cel mai greu exemplu(hotărât, totuși, în minte...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Ce este mai interesant? Atunci iată un exemplu rău pentru tine. Destul de trage de dificultate crescută. Voi sugera că în acest exemplu, ingeniozitatea și cea mai universală regulă pentru rezolvarea tuturor sarcinilor matematice salvează.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Un exemplu este mai simplu, pentru relaxare):

9 2 x - 4 3 x = 0

Si pentru desert. Aflați suma rădăcinilor ecuației:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Da Da! Aceasta este o ecuație de tip mixt! Pe care nu le-am luat în considerare în această lecție. Și ce să le considerăm, trebuie rezolvate!) Această lecție este suficientă pentru a rezolva ecuația. Ei bine, este nevoie de ingeniozitate... Și da, clasa a șaptea te va ajuta (acesta este un indiciu!).

Răspunsuri (în dezordine, separate prin punct și virgulă):

unu; 2; 3; 4; nu există soluții; 2; -2; -5; 4; 0.

Este totul reușit? Amenda.

Există o problemă? Nici o problema! În Secțiunea Specială 555, toate aceste ecuații exponențiale sunt rezolvate cu explicații detaliate. Ce, de ce și de ce. Și, desigur, există informații suplimentare valoroase despre lucrul cu tot felul de ecuații exponențiale. Nu numai cu acestea.)

O ultimă întrebare amuzantă de luat în considerare. În această lecție, am lucrat cu ecuații exponențiale. De ce nu am spus un cuvânt despre ODZ aici?În ecuații, acesta este un lucru foarte important, apropo...

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.