Calcule de acțiuni cu puteri și rădăcini. Extragerea rădăcinii pătrate. Extragerea rădăcinilor din numere fracționale

Înainte de apariția calculatoarelor, elevii și profesorii obișnuiau să calculeze rădăcini pătrate manual. Există mai multe moduri de a calcula manual rădăcina pătrată a unui număr. Unele dintre ele oferă doar o soluție aproximativă, altele oferă un răspuns exact.

Pași

factorizare primara

Factorizați numărul rădăcinii în factori care sunt numere pătrate.În funcție de numărul rădăcinii, veți obține un răspuns aproximativ sau exact. Numerele pătrate sunt numere din care poate fi luată întreaga rădăcină pătrată. Factorii sunt numere care, atunci când sunt înmulțite, dau numărul inițial. De exemplu, factorii numărului 8 sunt 2 și 4, deoarece 2 x 4 = 8, numerele 25, 36, 49 sunt numere pătrate, deoarece √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Factori pătrați sunt factori, care sunt numere pătrate. Mai întâi, încercați să factorizați numărul rădăcinii în factori pătrați.

• De exemplu, calculați rădăcina pătrată a lui 400 (manual). Mai întâi încercați să factorizați 400 în factori pătrați. 400 este un multiplu al lui 100, adică divizibil cu 25 - acesta este un număr pătrat. Împărțirea a 400 la 25 dă 16. Numărul 16 este, de asemenea, un număr pătrat. Astfel, 400 poate fi factorizat în factori pătrați de 25 și 16, adică 25 x 16 = 400.
• Aceasta poate fi scrisă după cum urmează: √400 = √(25 x 16).

1. Rădăcina pătrată a produsului unor termeni este egală cu produsul rădăcinilor pătrate ale fiecărui termen, adică √(a x b) = √a x √b. Utilizați această regulă și luați rădăcina pătrată a fiecărui factor pătrat și înmulțiți rezultatele pentru a găsi răspunsul.

   • În exemplul nostru, luați rădăcina pătrată a lui 25 și 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Dacă numărul rădăcinii nu se împarte în doi factori pătrați (și o face în majoritatea cazurilor), nu veți putea găsi răspunsul exact sub forma unui număr întreg. Dar puteți simplifica problema prin descompunerea numărului rădăcinii într-un factor pătrat și un factor obișnuit (un număr din care nu poate fi luată întreaga rădăcină pătrată). Apoi veți lua rădăcina pătrată a factorului pătrat și veți lua rădăcina factorului obișnuit.

   • De exemplu, calculați rădăcina pătrată a numărului 147. Numărul 147 nu poate fi factorizat în doi factori pătrați, dar poate fi factorizat în următorii factori: 49 și 3. Rezolvați problema după cum urmează:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Dacă este necesar, evaluați valoarea rădăcinii. Acum puteți evalua valoarea rădăcinii (găsiți o valoare aproximativă) comparând-o cu valorile rădăcinilor numerelor pătrate care sunt cel mai apropiate (pe ambele părți ale dreptei numerice) de numărul rădăcinii. Veți obține valoarea rădăcinii ca o fracție zecimală, care trebuie înmulțită cu numărul din spatele semnului rădăcinii.

   • Să revenim la exemplul nostru. Numărul rădăcină este 3. Cele mai apropiate numere pătrate de acesta sunt numerele 1 (√1 = 1) și 4 (√4 = 2). Astfel, valoarea lui √3 se află între 1 și 2. Deoarece valoarea lui √3 este probabil mai aproape de 2 decât de 1, estimarea noastră este: √3 = 1,7. Înmulțim această valoare cu numărul de la semnul rădăcinii: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Dacă faceți calculele pe un calculator, obțineți 12,13, care este destul de aproape de răspunsul nostru.
     • Această metodă funcționează și cu numere mari. De exemplu, luați în considerare √35. Numărul rădăcină este 35. Cele mai apropiate numere pătrate de acesta sunt numerele 25 (√25 = 5) și 36 (√36 = 6). Astfel, valoarea lui √35 se află între 5 și 6. Deoarece valoarea lui √35 este mult mai aproape de 6 decât de 5 (deoarece 35 este doar cu 1 mai mic decât 36), putem afirma că √35 este puțin mai mic decât 6. Verificarea cu un calculator ne dă răspunsul 5.92 - am avut dreptate.

4. Altă cale - factorizează numărul rădăcină în factori primi . Factorii primi sunt numere care sunt divizibile doar cu 1 și cu ele însele. Scrieți factorii primi într-un rând și găsiți perechi de factori identici. Astfel de factori pot fi scoși din semnul rădăcinii.

   • De exemplu, calculați rădăcina pătrată a lui 45. Descompunem numărul rădăcinii în factori primi: 45 \u003d 9 x 5 și 9 \u003d 3 x 3. Astfel, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 poate fi scos din semnul rădăcinii: √45 = 3√5. Acum putem estima √5.
   • Luați în considerare un alt exemplu: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Ai trei multiplicatori 2; ia câteva dintre ele și scoate-le din semnul rădăcinii.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Acum putem evalua √2 și √11 și găsim un răspuns aproximativ.

   Calcularea manuală a rădăcinii pătrate

   Folosind împărțirea coloanelor

   1. Această metodă implică un proces similar cu diviziunea lungă și oferă un răspuns precis. Mai întâi, trageți o linie verticală care împarte foaia în două jumătăți, apoi trageți o linie orizontală la dreapta și puțin sub marginea superioară a foii până la linia verticală. Acum împărțiți numărul rădăcină în perechi de numere, începând cu partea fracțională după virgulă zecimală. Deci, numărul 79520789182.47897 este scris „7 95 20 78 91 82, 47 89 70”.

      • De exemplu, să calculăm rădăcina pătrată a numărului 780,14. Desenați două linii (cum se arată în imagine) și scrieți numărul din stânga sus ca „7 80, 14”. Este normal ca prima cifră din stânga să fie o cifră nepereche. Răspunsul (rădăcina numărului dat) va fi scris în dreapta sus.

   2. Având în vedere prima pereche de numere (sau un număr) din stânga, găsiți cel mai mare număr întreg n al cărui pătrat este mai mic sau egal cu perechea de numere (sau un număr) în cauză. Cu alte cuvinte, găsiți numărul pătrat care este cel mai aproape de, dar mai mic decât, prima pereche de numere (sau un singur număr) din stânga și luați rădăcina pătrată a acelui număr pătrat; veți obține numărul n. Scrieți n găsit în dreapta sus și notează pătratul n în dreapta jos.

      • În cazul nostru, primul număr din stânga va fi numărul 7. În continuare, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Scădeți pătratul numărului n pe care tocmai l-ați găsit din prima pereche de numere (sau un număr) din stânga. Scrieți rezultatul calculului sub subtraendă (pătratul numărului n).

      • În exemplul nostru, scădeți 4 din 7 pentru a obține 3.

   4. Luați a doua pereche de numere și scrieți-o lângă valoarea obținută la pasul anterior. Apoi dublați numărul din dreapta sus și scrieți rezultatul în dreapta jos cu „_×_=" atașat.

      • În exemplul nostru, a doua pereche de numere este „80”. Scrieți „80” după 3. Apoi, dublarea numărului din dreapta sus dă 4. Scrieți „4_×_=" din dreapta jos.

   5. Completați spațiile libere din dreapta.

      • În cazul nostru, dacă în loc de liniuțe punem numărul 8, atunci 48 x 8 \u003d 384, care este mai mult de 380. Prin urmare, 8 este un număr prea mare, dar 7 este bine. Scrieți 7 în loc de liniuțe și obțineți: 47 x 7 \u003d 329. Scrieți 7 din dreapta sus - aceasta este a doua cifră din rădăcina pătrată dorită a numărului 780,14.

   6. Scădeți numărul rezultat din numărul curent din stânga. Scrieți rezultatul de la pasul anterior sub numărul curent din stânga, găsiți diferența și scrieți-o sub cel scăzut.

      • În exemplul nostru, scădeți 329 din 380, care este egal cu 51.

   7. Repetați pasul 4. Dacă perechea de numere demolată este partea fracțională a numărului inițial, atunci puneți separatorul (virgulă) dintre părțile întregi și fracționale în rădăcina pătrată dorită din dreapta sus. În stânga, duceți în jos următoarea pereche de numere. Dublați numărul din dreapta sus și scrieți rezultatul în dreapta jos cu „_×_=" atașat.

      • În exemplul nostru, următoarea pereche de numere care va fi demolată va fi partea fracționară a numărului 780,14, așa că puneți separatorul întregului și al părților fracționale în rădăcina pătrată necesară din dreapta sus. Demolați 14 și scrieți în stânga jos. Dublul din dreapta sus (27) este 54, așa că scrieți „54_×_=" în dreapta jos.

   8. Repetați pașii 5 și 6. Găsiți cel mai mare număr în locul liniuțelor din dreapta (în loc de liniuțe trebuie să înlocuiți același număr), astfel încât rezultatul înmulțirii să fie mai mic sau egal cu numărul curent din stânga.

      • În exemplul nostru, 549 x 9 = 4941, care este mai mic decât numărul curent din stânga (5114). Scrieți 9 în dreapta sus și scădeți rezultatul înmulțirii din numărul curent din stânga: 5114 - 4941 = 173.

   9. Dacă trebuie să găsiți mai multe zecimale pentru rădăcina pătrată, scrieți o pereche de zerouri lângă numărul curent din stânga și repetați pașii 4, 5 și 6. Repetați pașii până când obțineți exactitatea răspunsului de care aveți nevoie (număr de zecimale).

   Înțelegerea procesului

   Pentru a stăpâni această metodă, imaginați-vă numărul a cărui rădăcină pătrată trebuie să o găsiți ca aria pătratului S. În acest caz, veți căuta lungimea laturii L a unui astfel de pătrat. Calculați valoarea lui L pentru care L² = S.

   Introduceți o literă pentru fiecare cifră din răspunsul dvs. Notați cu A prima cifră din valoarea lui L (rădăcina pătrată dorită). B va fi a doua cifră, C a treia și așa mai departe.

   Specificați o literă pentru fiecare pereche de cifre de început. Notăm cu S a prima pereche de cifre din valoarea S, cu S b a doua pereche de cifre și așa mai departe.

   Explicați legătura acestei metode cu diviziunea lungă. Ca și în operația de împărțire, unde de fiecare dată ne interesează doar o cifră următoare a numărului divizibil, atunci când calculăm rădăcina pătrată, lucrăm cu o pereche de cifre în succesiune (pentru a obține următoarea cifră din valoarea rădăcinii pătrate) .

   1. Luați în considerare prima pereche de cifre Sa a numărului S (Sa = 7 în exemplul nostru) și găsiți rădăcina pătrată a acestuia.În acest caz, prima cifră A a valorii căutate a rădăcinii pătrate va fi o astfel de cifră, al cărei pătrat este mai mic sau egal cu S a (adică căutăm un astfel de A care să satisfacă inegalitatea A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Să presupunem că trebuie să împărțim 88962 la 7; aici primul pas va fi similar: luăm în considerare prima cifră a numărului divizibil 88962 (8) și selectăm cel mai mare număr care, înmulțit cu 7, dă o valoare mai mică sau egală cu 8. Adică căutăm un număr d pentru care inegalitatea este adevărată: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

Este timpul să dezasamblați metode de extragere a rădăcinilor. Ele se bazează pe proprietățile rădăcinilor, în special, pe egalitate, care este valabilă pentru orice non număr negativ b.

Mai jos vom analiza pe rând principalele metode de extragere a rădăcinilor.

Să începem cu cel mai simplu caz - extragerea rădăcinilor din numere naturale folosind un tabel de pătrate, un tabel de cuburi etc.

Dacă tabelele de pătrate, cuburi etc. nu este la îndemână, este logic să folosiți metoda de extragere a rădăcinii, care presupune descompunerea numărului rădăcinii în factori simpli.

Separat, merită să insistăm asupra, ceea ce este posibil pentru rădăcini cu exponenți ciudați.

În cele din urmă, luați în considerare o metodă care vă permite să găsiți secvențial cifrele valorii rădăcinii.

Să începem.

Folosind un tabel de pătrate, un tabel de cuburi etc.

În cele mai simple cazuri, tabele de pătrate, cuburi etc permit extragerea rădăcinilor. Ce sunt aceste tabele?

Tabelul de pătrate de numere întregi de la 0 la 99 inclusiv (prezentat mai jos) este format din două zone. Prima zonă a tabelului este situată pe un fundal gri; selectând un anumit rând și o anumită coloană, vă permite să creați un număr de la 0 la 99. De exemplu, să selectăm un rând de 8 zeci și o coloană de 3 unități, cu aceasta am fixat numărul 83. A doua zonă ocupă restul tabelului. Fiecare dintre celulele sale este situată la intersecția unui anumit rând și a unei anumite coloane și conține pătratul numărului corespunzător de la 0 la 99. La intersecția rândului nostru de 8 zeci și coloana 3 a unu, există o celulă cu numărul 6889, care este pătratul numărului 83.

Tabelele de cuburi, tabelele de puteri a patra ale numerelor de la 0 la 99 și așa mai departe sunt similare cu tabelul de pătrate, doar că conțin cuburi, puteri a patra etc. în zona a doua. numerele corespunzătoare.

Tabele de pătrate, cuburi, puteri a patra etc. vă permit să extrageți rădăcini pătrate, rădăcini cubice, rădăcini a patra etc. respectiv din numerele din aceste tabele. Să explicăm principiul aplicării lor în extragerea rădăcinilor.

Să presupunem că trebuie să extragem rădăcina a n-a a numărului a, în timp ce numărul a este conținut în tabelul de n-lea grade. Conform acestui tabel, găsim numărul b astfel încât a=b n . Apoi , prin urmare, numărul b va fi rădăcina dorită a gradului al n-lea.

Ca exemplu, să arătăm cum este extrasă rădăcina cubă a lui 19683 folosind tabelul cub. Găsim numărul 19 683 în tabelul cuburilor, din acesta aflăm că acest număr este un cub al numărului 27, prin urmare, .

Este clar că tabelele de grade n sunt foarte convenabile la extragerea rădăcinilor. Cu toate acestea, adesea nu sunt la îndemână, iar compilarea lor necesită o anumită perioadă de timp. Mai mult decât atât, este adesea necesar să se extragă rădăcini din numere care nu sunt conținute în tabelele corespunzătoare. În aceste cazuri, trebuie să recurgem la alte metode de extragere a rădăcinilor.

Descompunerea numărului rădăcină în factori primi

O modalitate destul de convenabilă de a extrage rădăcina dintr-un număr natural (dacă, desigur, rădăcina este extrasă) este de a descompune numărul rădăcinii în factori primi. A lui esența este următoarea: după ce este destul de ușor să-l reprezinte ca un grad cu indicatorul dorit, ceea ce vă permite să obțineți valoarea rădăcinii. Să explicăm acest punct.

Să se extragă rădăcina gradului al n-lea dintr-un număr natural a, iar valoarea lui este egală cu b. În acest caz, egalitatea a=b n este adevărată. Numărul b ca orice număr natural poate fi reprezentat ca un produs al tuturor factorilor săi primi p 1 , p 2 , …, p m sub forma p 1 p 2 p m , iar numărul rădăcină a în acest caz este reprezentat ca (p 1 p 2 ... p m) n . Deoarece descompunerea numărului în factori primi este unică, descompunerea rădăcinii a în factori primi va arăta ca (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , ceea ce face posibilă calcularea valorii rădăcinii ca .

Rețineți că dacă factorizarea numărului rădăcină a nu poate fi reprezentată sub forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , atunci rădăcina gradului al n-lea dintr-un astfel de număr a nu este complet extrasă.

Să ne ocupăm de asta atunci când rezolvăm exemple.

Exemplu.

Luați rădăcina pătrată a lui 144 .

Decizie.

Dacă ne întoarcem la tabelul de pătrate dat în paragraful precedent, se vede clar că 144=12 2 , din care rezultă clar că rădăcina pătrată a lui 144 este 12 .

Dar în lumina acestui punct, ne interesează modul în care este extrasă rădăcina prin descompunerea numărului rădăcinii 144 în factori primi. Să aruncăm o privire la această soluție.

Să ne descompunem 144 la factori primi:

Adică 144=2 2 2 2 3 3 . Pe baza descompunerii rezultate, pot fi efectuate următoarele transformări: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Prin urmare, .

Folosind proprietățile gradului și proprietățile rădăcinilor, soluția ar putea fi formulată puțin diferit: .

Răspuns:

Pentru a consolida materialul, luați în considerare soluțiile din încă două exemple.

Exemplu.

Calculați valoarea rădăcinii.

Decizie.

Descompunerea în factori primi a rădăcinii numărului 243 este 243=3 5 . Prin urmare, .

Răspuns:

Exemplu.

Este valoarea rădăcinii un număr întreg?

Decizie.

Pentru a răspunde la această întrebare, să descompunăm numărul rădăcină în factori primi și să vedem dacă poate fi reprezentat ca un cub al unui număr întreg.

Avem 285 768=2 3 3 6 7 2 . Descompunerea rezultată nu este reprezentată ca un cub al unui număr întreg, deoarece gradul factor prim 7 nu este un multiplu de trei. Prin urmare, rădăcina cubă a lui 285.768 nu este luată complet.

Răspuns:

Nu.

Extragerea rădăcinilor din numere fracționale

Este timpul să ne dăm seama cum este extrasă rădăcina dintr-un număr fracționar. Să se scrie numărul rădăcinii fracționare ca p/q . Conform proprietății rădăcinii coeficientului, următoarea egalitate este adevărată. Din această egalitate rezultă regula rădăcinii fracțiunii: Rădăcina unei fracții este egală cu câtul împărțirii rădăcinii numărătorului la rădăcina numitorului.

Să ne uităm la un exemplu de extragere a unei rădăcini dintr-o fracție.

Exemplu.

Care este rădăcina pătrată a fracției comune 25/169.

Decizie.

Conform tabelului cu pătrate, aflăm că rădăcina pătrată a numărătorului fracției inițiale este 5, iar rădăcina pătrată a numitorului este 13. Apoi . Aceasta completează extragerea rădăcinii dintr-o fracție obișnuită 25/169.

Răspuns:

Rădăcina unei fracții zecimale sau a unui număr mixt este extrasă după înlocuirea numerelor rădăcinii cu fracții obișnuite.

Exemplu.

Luați rădăcina cubă a zecimalei 474,552.

Decizie.

Imaginează-ți originalul zecimal sub forma unei fracții ordinare: 474,552=474552/1000. Apoi . Rămâne să extragem rădăcinile cubice care se află la numărătorul și numitorul fracției rezultate. La fel de 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 și 1 000=10 3 , atunci și . Rămâne doar să finalizați calculele .

Răspuns:

.

Extragerea rădăcinii unui număr negativ

Separat, merită să ne gândim la extragerea rădăcinilor din numerele negative. Când studiem rădăcinile, am spus că atunci când exponentul rădăcinii este un număr impar, atunci un număr negativ poate fi sub semnul rădăcinii. Am dat astfel de notații următorul sens: pentru un număr negativ −a și un exponent impar al rădăcinii 2 n−1, avem . Această egalitate dă regula pentru extragerea rădăcinilor impare din numerele negative: pentru a extrage rădăcina dintr-un număr negativ, trebuie să extrageți rădăcina din numărul pozitiv opus și să puneți semnul minus în fața rezultatului.

Să luăm în considerare un exemplu de soluție.

Exemplu.

Găsiți valoarea rădăcină.

Decizie.

Să transformăm expresia originală astfel încât un număr pozitiv să apară sub semnul rădăcinii: . Acum număr mixtînlocuiți cu o fracție obișnuită: . Aplicam regula extragerii radacinii dintr-o fractiune obisnuita: . Rămâne de calculat rădăcinile în numărătorul și numitorul fracției rezultate: .

Iată un rezumat al soluției: .

Răspuns:

.

Găsirea valorii rădăcină pe biți

În cazul general, sub rădăcină există un număr care, folosind tehnicile discutate mai sus, nu poate fi reprezentat ca puterea a n-a a vreunui număr. Dar, în același timp, este nevoie să cunoaștem valoarea unei rădăcini date, cel puțin până la un anumit semn. În acest caz, pentru a extrage rădăcina, puteți utiliza un algoritm care vă permite să obțineți în mod constant un număr suficient de valori ale cifrelor numărului dorit.

Primul pas al acestui algoritm este de a afla care este bitul cel mai semnificativ al valorii rădăcină. Pentru a face acest lucru, numerele 0, 10, 100, ... sunt ridicate succesiv la puterea n până când se obține un număr care depășește numărul rădăcinii. Apoi, numărul pe care l-am ridicat la puterea lui n în pasul anterior va indica ordinea superioară corespunzătoare.

De exemplu, luați în considerare acest pas al algoritmului atunci când extrageți rădăcina pătrată a lui cinci. Luăm numerele 0, 10, 100, ... și le pătram până obținem un număr mai mare decât 5 . Avem 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5 , ceea ce înseamnă că cea mai semnificativă cifră va fi cifra unităților. Valoarea acestui bit, precum și a celor mai mici, vor fi găsite în următorii pași ai algoritmului de extracție a rădăcinii.

Toți următorii pași ai algoritmului vizează rafinarea succesivă a valorii rădăcinii datorită faptului că se găsesc valorile următoarelor cifre ale valorii dorite a rădăcinii, începând de la cea mai mare și trecând la cea mai mică. . De exemplu, valoarea rădăcinii din primul pas este 2 , în al doilea - 2,2 , în al treilea - 2,23 și așa mai departe 2,236067977 ... . Să descriem cum sunt găsite valorile biților.

Găsirea biților se realizează prin enumerarea valorilor lor posibile 0, 1, 2, ..., 9 . În acest caz, puterile a n-a ale numerelor corespunzătoare sunt calculate în paralel și sunt comparate cu numărul rădăcină. Dacă la un moment dat valoarea gradului depășește numărul radical, atunci valoarea cifrei corespunzătoare valorii anterioare este considerată găsită și se face trecerea la pasul următor al algoritmului de extracție a rădăcinii, dacă acest lucru nu se întâmplă, atunci valoarea acestei cifre este 9 .

Să explicăm toate aceste puncte folosind același exemplu de extragere a rădăcinii pătrate a lui cinci.

Mai întâi, găsiți valoarea cifrei unităților. Vom itera peste valorile 0, 1, 2, …, 9 , calculând respectiv 0 2 , 1 2 , …, 9 2 până când obținem o valoare mai mare decât radicalul 5 . Toate aceste calcule sunt prezentate convenabil sub forma unui tabel:

Deci valoarea cifrei unităților este 2 (deoarece 2 2<5 , а 2 3 >5). Să trecem la găsirea valorii locului zece. În acest caz, vom pătrat numerele 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, comparând valorile obținute cu numărul rădăcină 5:

Din 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , atunci valoarea locului al zecelea este 2 . Puteți trece la găsirea valorii locului sutimilor:

Deci următoarea valoare a rădăcinii lui cinci este găsită, este egală cu 2,23. Și astfel puteți continua să găsiți valori în continuare: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Pentru a consolida materialul, vom analiza extragerea rădăcinii cu o precizie de sutimi folosind algoritmul considerat.

În primul rând, definim cifra senior. Pentru a face acest lucru, cubăm numerele 0, 10, 100 etc. până când obținem un număr mai mare de 2.151,186 . Avem 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , deci cea mai semnificativă cifră este cifra zecilor.

Să-i definim valoarea.

Din 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2.151,186 , atunci valoarea cifrei zecilor este 1 . Să trecem la unități.

Astfel, valoarea locului celor este 2 . Să trecem la zece.

Deoarece chiar și 12,9 3 este mai mic decât numărul radical 2 151,186 , valoarea locului al zecelea este 9 . Rămâne de efectuat ultimul pas al algoritmului, ne va oferi valoarea rădăcinii cu precizia necesară.

În această etapă, valoarea rădăcinii este găsită până la sutimi: .

În încheierea acestui articol, aș dori să spun că există multe alte modalități de a extrage rădăcini. Dar pentru majoritatea sarcinilor, cele pe care le-am studiat mai sus sunt suficiente.

Bibliografie.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru 8 celule. institutii de invatamant.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi alţii.Algebra şi începuturile analizei: un manual pentru clasele 10-11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice).

Ce este o rădăcină pătrată?

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Acest concept este foarte simplu. Natural, aș spune. Matematicienii încearcă să găsească o reacție pentru fiecare acțiune. Există adunare și există scădere. Există înmulțire și există împărțire. Există pătrat... Așa că există și extragerea rădăcinii pătrate! Asta e tot. Această acțiune ( luând rădăcina pătrată) în matematică este notat cu această pictogramă:

Icoana în sine este numită cuvântul frumos " radical".

Cum se extrage rădăcina? Este mai bine să luați în considerare exemple.

Care este rădăcina pătrată a lui 9? Și ce număr pătrat ne va da 9? 3 pătrat ne dă 9! Acestea:

Care este rădăcina pătrată a lui zero? Nici o problema! Ce număr la pătrat oferă zero? Da, el însuși dă zero! Mijloace:

Prins ce este o rădăcină pătrată? Atunci luăm în considerare exemple:

Răspunsuri (în dezordine): 6; unu; 4; nouă; 5.

Hotărât? Într-adevăr, este mult mai ușor!

Dar... Ce face o persoană când vede o sarcină cu rădăcini?

O persoană începe să tânjească ... Nu crede în simplitatea și ușurința rădăcinilor. Deși pare să știe ce este rădăcina pătrată...

Acest lucru se datorează faptului că o persoană a ignorat mai multe puncte importante atunci când studiază rădăcinile. Apoi aceste mofturi se răzbune brutal pe teste și examene...

Punctul unu. Rădăcinile trebuie recunoscute din vedere!

Care este rădăcina pătrată a lui 49? Șapte? Dreapta! De unde ai știut că sunt șapte? A pătrat șapte și a primit 49? Corect! Vă rugăm să rețineți că extrage rădăcina din 49, a trebuit să facem operația inversă - pătratul 7! Și asigură-te că nu ratam. Sau ar putea rata...

Aici constă dificultatea extragerea rădăcinilor. Pătrare orice număr este posibil fără probleme. Înmulțiți numărul cu el însuși într-o coloană - și asta este tot. Dar pentru extragerea rădăcinilor nu există o tehnologie atât de simplă și fără probleme. cont pentru ridica răspunde și verifică dacă este lovit de pătrat.

Acest proces creativ complex - alegerea unui răspuns - este mult simplificat dacă dvs tine minte pătratele numerelor populare. Ca o masă de înmulțire. Dacă, să zicem, trebuie să înmulțiți 4 cu 6 - nu le adunați de 6 ori, nu-i așa? Răspunsul apare imediat 24. Deși, nu toată lumea îl are, da...

Pentru a lucra gratuit și de succes cu rădăcini, este suficient să cunoașteți pătratele numerelor de la 1 la 20. Mai mult, Acoloși înapoi. Acestea. ar trebui să puteți numi cu ușurință atât, de exemplu, 11 pătrat, cât și rădăcina pătrată a lui 121. Pentru a realiza această memorare, există două moduri. Primul este să înveți tabelul pătratelor. Acest lucru va ajuta foarte mult cu exemple. Al doilea este de a rezolva mai multe exemple. Este grozav să ne amintim de tabelul pătratelor.

Și fără calculatoare! Doar pentru verificare. În caz contrar, vei încetini fără milă în timpul examenului...

Asa de, ce este rădăcina pătrată Si cum extrage rădăcinile- Cred că este de înțeles. Acum haideți să aflăm DIN CE le puteți extrage.

Punctul doi. Root, nu te cunosc!

Din ce numere poți lua rădăcini pătrate? Da, aproape orice. E mai ușor de înțeles ce este interzis extrage-le.

Să încercăm să calculăm această rădăcină:

Pentru a face acest lucru, trebuie să ridicați un număr care pătratul ne va da -4. Selectam.

Ce nu este selectat? 2 2 dă +4. (-2) 2 dă din nou +4! Gata... Nu există numere care, la pătrat, să ne dea un număr negativ! Chiar dacă știu cifrele. Dar nu vă spun.) Du-te la facultate și află singur.

Aceeași poveste va fi cu orice număr negativ. De aici concluzia:

O expresie în care un număr negativ se află sub semnul rădăcinii pătrate - nu are sens! Aceasta este o operațiune interzisă. La fel de interzis ca împărțirea la zero. Tine cont de acest fapt! Sau, cu alte cuvinte:

Nu poți extrage rădăcini pătrate din numere negative!

Dar din restul - poți. De exemplu, este posibil să se calculeze

La prima vedere, acest lucru este foarte dificil. Ridică fracții, dar pătrați... Nu vă faceți griji. Când ne ocupăm de proprietățile rădăcinilor, astfel de exemple se vor reduce la același tabel de pătrate. Viața va deveni mai ușoară!

Bine fracții. Dar încă întâlnim expresii precum:

E bine. Tot la fel. Rădăcina pătrată a lui doi este numărul care, la pătrat, ne va da un deuce. Doar numărul este complet inegal... Iată-l:

Interesant este că această fracție nu se termină niciodată... Astfel de numere se numesc iraționale. În rădăcini pătrate, acesta este cel mai comun lucru. Apropo, de aceea se numesc expresiile cu rădăcini iraţional. Este clar că a scrie o astfel de fracție infinită tot timpul este incomod. Prin urmare, în loc de o fracție infinită, o lasă așa:

Dacă, atunci când rezolvați exemplul, obțineți ceva care nu poate fi extras, cum ar fi:

apoi o lasam asa. Acesta va fi răspunsul.

Trebuie să înțelegeți clar ce se află sub pictograme

Desigur, dacă se ia rădăcina numărului neted, trebuie să faci asta. Răspunsul sarcinii în formular, de exemplu

un raspuns destul de complet.

Și, desigur, trebuie să cunoașteți valorile aproximative din memorie:

Aceste cunoștințe ajută foarte mult la evaluarea situației în sarcini complexe.

Punctul trei. Cel mai viclean.

Principala confuzie în munca cu rădăcinile este adusă tocmai de acest moft. El este cel care dă îndoială de sine... Să ne descurcăm corect cu acest moft!

Pentru început, extragem din nou rădăcina pătrată a celor patru. Ce, te-am prins deja cu această rădăcină?) Nimic, acum va fi interesant!

Ce număr va da în pătratul lui 4? Ei bine, doi, doi - aud răspunsuri nemulțumite...

Dreapta. Două. Dar de asemenea minus doi va da 4 pătrat... Între timp, răspunsul

corect si raspunsul

cea mai grosolană greșeală. Ca aceasta.

Deci care e treaba?

Într-adevăr, (-2) 2 = 4. Și sub definiția rădăcinii pătrate a lui patru minus doi destul de potrivit... Aceasta este și rădăcina pătrată a lui patru.

Dar! În cursul școlar de matematică, se obișnuiește să se ia în considerare rădăcinile pătrate doar numere nenegative! Adică zero și toate pozitive. Chiar și un termen special a fost inventat: din număr A- Acest nenegativ număr al cărui pătrat este A. Rezultatele negative la extragerea rădăcinii pătrate aritmetice sunt pur și simplu aruncate. La școală, toate rădăcinile pătrate - aritmetic. Deși nu este menționat în mod specific.

Bine, e de înțeles. Este și mai bine să nu te încurci cu rezultate negative... Încă nu e confuzie.

Confuzia începe la rezolvarea ecuațiilor pătratice. De exemplu, trebuie să rezolvați următoarea ecuație.

Ecuația este simplă, scriem răspunsul (cum este predat):

Acest răspuns (destul de corect, de altfel) este doar o notație prescurtată Două raspunsuri:

Opreste opreste! Puțin mai sus am scris că rădăcina pătrată este un număr mereu nenegativ! Și iată unul dintre răspunsuri - negativ! Tulburare. Aceasta este prima (dar nu ultima) problemă care provoacă neîncredere în rădăcini... Să rezolvăm această problemă. Să notăm răspunsurile (doar pentru înțelegere!) astfel:

Parantezele nu schimbă esența răspunsului. Tocmai am separat cu paranteze semne din rădăcină. Acum se vede clar că rădăcina în sine (în paranteze) este încă un număr nenegativ! Și semnele sunt rezultatul rezolvării ecuației. La urma urmei, atunci când rezolvăm orice ecuație, trebuie să scriem toate x, care, atunci când este înlocuită în ecuația originală, va da rezultatul corect. Rădăcina lui cinci (pozitivă!) este potrivită pentru ecuația noastră atât cu plus, cât și cu minus.

Ca aceasta. daca tu luați doar rădăcina pătrată din orice tu mereu obține unul nenegativ rezultat. De exemplu:

Pentru ca - rădăcină pătrată aritmetică.

Dar dacă rezolvați o ecuație pătratică precum:

apoi mereu se dovedește Două raspuns (cu plus si minus):

Pentru că este soluția unei ecuații.

Speranţă, ce este rădăcina pătrată ai inteles corect cu punctele tale. Acum rămâne să aflăm ce se poate face cu rădăcinile, care sunt proprietățile lor. Și care sunt mofturile și cutiile subacvatice... scuzați-mă, pietre!)

Toate acestea - în lecțiile următoare.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Acest articol este o colecție de informații detaliate care tratează subiectul proprietăților rădăcinilor. Având în vedere subiectul, vom începe cu proprietățile, vom studia toate formulările și vom da dovezi. Pentru a consolida subiectul, vom lua în considerare proprietățile gradului al n-lea.

Proprietăți rădăcină

Vom vorbi despre proprietăți.

1. Proprietate numere înmulțite Ași b, care este reprezentat ca egalitatea a · b = a · b . Poate fi reprezentat ca multiplicatori, pozitivi sau egali cu zero a 1 , a 2 , … , a k ca a 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k ;
2. din privat a: b =   a: b, a ≥ 0, b > 0, se poate scrie și sub această formă a b = a b ;
3. Proprietate din puterea unui număr A cu un exponent par a 2 m = a m pentru orice număr A, de exemplu, o proprietate din pătratul unui număr a 2 = a .

În oricare dintre ecuațiile prezentate, puteți schimba părțile înainte și după semnul liniuței, de exemplu, egalitatea a · b = a · b este transformată ca a · b = a · b . Proprietățile de egalitate sunt adesea folosite pentru a simplifica ecuații complexe.

Dovada primelor proprietăți se bazează pe definiția rădăcinii pătrate și proprietățile puterilor cu indicator natural. Pentru a fundamenta a treia proprietate, este necesar să ne referim la definiția modulului unui număr.

În primul rând, este necesar să se demonstreze proprietățile rădăcinii pătrate a · b = a · b . Conform definiției, este necesar să se considere că a b este un număr, pozitiv sau egal cu zero, care va fi egal cu a bîn timpul construcției într-un pătrat. Valoarea expresiei a · b este pozitivă sau egală cu zero ca produs al numerelor nenegative. Proprietatea gradului de înmulțire a numerelor ne permite să reprezentăm egalitatea sub forma (a · b) 2 = a 2 · b 2 . După definiția rădăcinii pătrate a 2 = a și b 2 = b, atunci a · b 2 = a 2 · b 2 = a · b.

În mod similar, se poate dovedi că din produs k multiplicatori a 1 , a 2 , … , a k va fi egal cu produsul rădăcinilor pătrate ale acestor factori. Într-adevăr, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Din această egalitate rezultă că a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Să ne uităm la câteva exemple pentru a consolida subiectul.

Exemplul 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5 , 4 , 2 13 1 2 = 4 , 2 13 1 2 și 2 , 7 4 12 17 0 , 2 (1) = 2 , 7 4 12 17 0 . 2 (1) .

Este necesar să se demonstreze proprietatea rădăcinii pătrate aritmetice a coeficientului: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Proprietatea vă permite să scrieți egalitatea a: b 2 = a 2: b 2 și a 2: b 2 = a: b , în timp ce a: b este un număr pozitiv sau egal cu zero. Această expresie va fi dovada.

De exemplu, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 și 30, 121 = 30, 121.

Luați în considerare proprietatea rădăcinii pătrate a pătratului unui număr. Se poate scrie ca o egalitate ca a 2 = a Pentru a demonstra această proprietate, este necesar să luăm în considerare în detaliu mai multe egalități pentru a ≥ 0 iar la A< 0 .

Evident, pentru a ≥ 0, egalitatea a 2 = a este adevărată. La A< 0 egalitatea a 2 = - a va fi adevărată. De fapt, în acest caz − a > 0și (− a) 2 = a 2 . Putem concluziona că a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 2

5 2 = 5 = 5 și - 0. 36 2 = - 0. 36 = 0. 36 .

Proprietatea dovedită va ajuta la justificarea a 2 m = a m , unde A- real, și m-numar natural. Într-adevăr, proprietatea de exponențiere ne permite să înlocuim gradul a 2 m expresie (sunt) 2, atunci a 2 · m = (a m) 2 = a m .

Exemplul 3

3 8 = 3 4 = 3 4 și (- 8 , 3) ​​​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​​​7 .

Proprietățile rădăcinii a n-a

Mai întâi trebuie să luați în considerare principalele proprietăți ale rădăcinilor de gradul al n-lea:

1. Proprietate din produsul numerelor Ași b, care sunt pozitive sau egale cu zero, pot fi exprimate ca egalitatea a b n = a n b n , această proprietate este valabilă pentru produs k numere a 1 , a 2 , … , a k ca a 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n ;
2. dintr-un număr fracționar are proprietatea a b n = a n b n , unde A este orice număr real care este pozitiv sau egal cu zero și b este un număr real pozitiv;
3. Pentru orice Ași numere pare n = 2 m a 2 m 2 m = a este adevărată, iar pentru impar n = 2 m − 1 egalitatea a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a este îndeplinită.
4. Proprietatea de extragere din a m n = a n m , unde A- orice număr, pozitiv sau egal cu zero, nși m – numere întregi, această proprietate poate fi reprezentată și ca. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . nk ;
5. Pentru orice a nenegativ și arbitrar nși m, care sunt naturale, se poate defini și egalitatea justă a m n · m = a n ;
6. proprietatea gradului n din puterea unui număr A, care este pozitiv sau egal cu zero, în natură m, definit prin egalitatea a m n = a n m ;
7. Proprietatea comparației care au aceiași exponenți: pentru orice numere pozitive Ași b astfel încât A< b , inegalitatea a n< b n ;
8. Proprietatea comparațiilor care au aceleași numere sub rădăcină: dacă mși n- numere naturale care m > n, apoi la 0 < a < 1 inegalitatea a m > a n este valabilă, iar pentru a > 1 a m< a n .

Ecuațiile de mai sus sunt valabile dacă părțile înainte și după semnul egal sunt inversate. Ele pot fi folosite și în această formă. Acesta este adesea folosit în timpul simplificării sau transformării expresiilor.

Dovada proprietăților de mai sus ale rădăcinii se bazează pe definiția, proprietățile gradului și definiția modulului unui număr. Aceste proprietăți trebuie dovedite. Dar totul este în ordine.

1. În primul rând, vom demonstra proprietățile rădăcinii de gradul al n-lea din produsul a · b n = a n · b n . Pentru Ași b, care sunteți pozitiv sau zero , valoarea a n · b n este de asemenea pozitivă sau egală cu zero, deoarece este o consecință a înmulțirii numerelor nenegative. Proprietatea unui produs de putere naturală ne permite să scriem egalitatea a n · b n n = a n n · b n n . Prin definiția rădăcinii n gradul a n n = a și b n n = b , prin urmare, a n · b n n = a · b . Egalitatea rezultată este exact ceea ce trebuia să fie demonstrat.

Această proprietate este dovedită în mod similar pentru produs k factori: pentru numere nenegative a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Iată exemple de utilizare a proprietății root n a-a putere din produs: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 și 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

1. Să demonstrăm proprietatea rădăcinii coeficientului a b n = a n b n . La a ≥ 0și b > 0 condiția a n b n ≥ 0 este îndeplinită, iar a n b n n = a n n b n n = a b .

Să arătăm exemple:

Exemplul 4

8 27 3 = 8 3 27 3 și 2 , 3 10: 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

1. Pentru pasul următor, este necesar să se demonstreze proprietățile gradului al n-lea de la număr la grad n. Reprezentăm aceasta ca o egalitate a 2 m 2 m = a și a 2 m - 1 2 m - 1 = a pentru orice real A si naturala m. La a ≥ 0 obținem a = a și a 2 m = a 2 m , ceea ce demonstrează egalitatea a 2 m 2 m = a , iar egalitatea a 2 m - 1 2 m - 1 = a este evidentă. La A< 0 obţinem respectiv a = - a şi a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m . Ultima transformare a numărului este valabilă în funcție de proprietatea gradului. Acesta este ceea ce demonstrează egalitatea a 2 m 2 m \u003d a, iar a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a va fi adevărată, deoarece - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m este considerată pentru un impar grad - 1 pentru orice număr c , pozitiv sau egal cu zero.

Pentru a consolida informațiile primite, luați în considerare câteva exemple de utilizare a proprietății:

Exemplul 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5 ) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 și (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

1. Să demonstrăm următoarea egalitate a m n = a n · m . Pentru a face acest lucru, trebuie să schimbați numerele dinaintea semnului egal și după acesta în locuri a n · m = a m n . Aceasta va indica intrarea corectă. Pentru A , ceea ce este pozitiv sau egal cu zero , din forma a m n este un număr pozitiv sau egal cu zero. Să ne întoarcem la proprietatea de a ridica o putere la o putere și la definiție. Cu ajutorul lor, puteți transforma egalități sub forma a m n n · m = a m n n m = a m m = a . Aceasta dovedește proprietatea considerată a unei rădăcini dintr-o rădăcină.

Alte proprietăți sunt dovedite în mod similar. Într-adevăr, . . . a n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . nk = . . . a n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . nk = . . . a nk n 4 n 3 n 3 n 4 . . . nk = . . . = a n k n k = a .

De exemplu, 7 3 5 = 7 5 3 și 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

1. Să demonstrăm următoarea proprietate a m n · m = a n . Pentru a face acest lucru, este necesar să arătăm că un n este un număr care este pozitiv sau egal cu zero. Când este ridicat la o putere n m este a m. Dacă numărul A este pozitiv sau zero, atunci n gradul dintre A este un număr pozitiv sau egal cu zero Mai mult, a n · m n = a n n m , care urma să fie demonstrat.

Pentru a consolida cunoștințele dobândite, luați în considerare câteva exemple.

1. Să demonstrăm următoarea proprietate - proprietatea rădăcinii puterii formei a m n = a n m . Este evident că la a ≥ 0 gradul a n m este un număr nenegativ. Mai mult, ea n-gradul este egal cu a m, într-adevăr, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Aceasta dovedește proprietatea considerată a gradului.

De exemplu, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

1. Trebuie să dovedim asta pentru orice numere pozitive Ași b A< b . Se consideră inegalitatea a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию A< b . Prin urmare, un n< b n при A< b .

De exemplu, dăm 12 4< 15 2 3 4 .

1. Luați în considerare proprietatea rădăcină n- gradul. În primul rând, luați în considerare prima parte a inegalității. La m > nși 0 < a < 1 adevărat a m > a n . Să presupunem că a m ≤ a n . Proprietățile vor simplifica expresia la a n m · n ≤ a m m · n . Atunci, conform proprietăților unui grad cu exponent natural, inegalitatea a n m n m n ≤ a m m n m n este satisfăcută, adică a n ≤ a m. Valoarea obtinuta la m > nși 0 < a < 1 nu se potrivește cu proprietățile de mai sus.

În același mod, se poate dovedi că m > nși a > 1 condiție a m< a n .

Pentru a remedia proprietățile de mai sus, luați în considerare câteva exemple concrete. Luați în considerare inegalitățile folosind numere specifice.

Exemplul 6

0 , 7 3 > 0 , 7 5 și 12 > 12 7 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Se știe că semnul rădăcinii este rădăcina pătrată a unui număr. Cu toate acestea, semnul rădăcinii înseamnă nu numai o operație algebrică, ci este folosit și în prelucrarea lemnului - în calculul dimensiunilor relative.

Dacă vrei să înveți cum să înmulți rădăcinile „cu” sau „fără” factori, atunci acest articol este pentru tine. În ea, vom lua în considerare metode de înmulțire a rădăcinilor:

• fără multiplicatori;
• cu multiplicatori;
• cu indicatori diferiți.

Metoda de multiplicare a rădăcinilor fără multiplicatori

Algoritm de acțiune:

Asigurați-vă că rădăcina are aceleași exponenți (grade). Amintiți-vă că gradul este scris în stânga deasupra semnului rădăcinii. Dacă nu există o desemnare a gradului, aceasta înseamnă că rădăcina este pătrată, adică. cu gradul 2 și poate fi înmulțit cu alte rădăcini cu gradul 2.

Exemplu

Exemplul 1: 18 × 2 = ?

Exemplul 2: 10 × 5 = ?

Exemplu

Exemplul 1: 18 × 2 = 36

Exemplul 2: 10 × 5 = 50

Exemplul 3: 3 3 × 9 3 = 27 3

Simplificați expresiile rădăcină. Când înmulțim rădăcinile între ele, putem simplifica expresia radicală rezultată la produsul unui număr (sau expresie) cu un pătrat sau cub complet:

Exemplu

Exemplul 1: 36 = 6 . 36 este rădăcina pătrată a lui șase (6 × 6 = 36).

Exemplul 2: 50 = (25 × 2) = (5 × 5) × 2 = 5 2 . Descompunem numărul 50 în produsul lui 25 și 2. Rădăcina lui 25 este 5, așa că scoatem 5 de sub semnul rădăcinii și simplificăm expresia.

Exemplul 3: 27 3 = 3 . Rădăcina cubă a lui 27 este 3: 3 × 3 × 3 = 27.

Metoda de multiplicare a indicatorilor cu multiplicatori

Algoritm de acțiune:

Înmulțiți multiplicatorii. Multiplicatorul este numărul care vine înaintea semnului rădăcină. În absența unui multiplicator, acesta este, implicit, considerat unul. În continuare, trebuie să înmulțiți factorii:

Exemplu

Exemplul 1: 3 2 × 10 = 3 ? 3 x 1 = 3

Exemplul 2: 4 3 × 3 6 = 12 ? 4 x 3 = 12

Înmulțiți numerele de sub semnul rădăcinii. După ce ați înmulțit factorii, nu ezitați să înmulțiți numerele de sub semnul rădăcinii:

Exemplu

Exemplul 1: 3 2 × 10 = 3 (2 × 10) = 3 20

Exemplul 2: 4 3 × 3 6 = 12 (3 × 6) = 12 18

Simplificați expresia rădăcină.În continuare, ar trebui să simplificați valorile care se află sub semnul rădăcinii - trebuie să scoateți numerele corespunzătoare din semnul rădăcinii. După aceea, trebuie să înmulțiți numerele și factorii care vin înaintea semnului rădăcină:

Exemplu

Exemplul 1: 3 20 = 3 (4 × 5) = 3 (2 × 2) × 5 = (3 × 2) 5 = 6 5

Exemplul 2: 12 18 = 12 (9 × 2) = 12 (3 × 3) × 2 = (12 × 3) 2 = 36 2

Metoda înmulțirii rădăcinilor cu exponenți diferiți

Algoritm de acțiune:

Găsiți cel mai mic multiplu comun (LCM) al exponenților. Cel mai mic multiplu comun este cel mai mic număr divizibil cu ambii exponenți.

Exemplu

Este necesar să se găsească LCM al indicatorilor pentru următoarea expresie:

Exponenții sunt 3 și 2. Pentru aceste două numere, cel mai mic multiplu comun este numărul 6 (este divizibil fără rest cu 3 și 2). Pentru a înmulți rădăcinile, este nevoie de un exponent de 6.

Scrieți fiecare expresie cu un nou exponent:

Găsiți numerele cu care trebuie să înmulțiți indicatorii pentru a obține LCM.

În expresia 5 3 trebuie să înmulțiți 3 cu 2 pentru a obține 6 . Și în expresia 2 2 - dimpotrivă, este necesar să se înmulțească cu 3 pentru a obține 6.

Ridicați numărul de sub semnul rădăcinii la puterea egală cu numărul găsit în pasul anterior. Pentru prima expresie, 5 trebuie ridicat la puterea lui 2, iar a doua - 2 la puterea lui 3:

2 → 5 6 = 5 2 6 3 → 2 6 = 2 3 6

Ridicați puterea de exprimare și scrieți rezultatul sub semnul rădăcinii:

5 2 6 = (5 × 5) 6 = 25 6 2 3 6 = (2 × 2 × 2) 6 = 8 6

Înmulțiți numerele de sub rădăcină:

(8×25) 6

Scrie rezultatul:

(8 × 25) 6 = 200 6

Dacă este posibil, simplificați expresia, dar în acest caz nu este simplificată.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter