Proprietățile funcției de putere. Funcția de putere, proprietățile și graficul acesteia. Proprietățile unei funcții de putere cu exponent natural par
Pe domeniul funcției de putere y = x p sunt valabile următoarele formule:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Proprietățile funcțiilor de putere și graficele acestora
Funcția de putere cu exponent egal cu zero, p = 0
Dacă exponentul funcției de putere y = x p este egal cu zero, p = 0 , atunci funcția de putere este definită pentru toate x ≠ 0 și este constantă, egală cu unu:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.
Funcția de putere cu exponent natural impar, p = n = 1, 3, 5, ...
Considerăm o funcție de putere y = x p = x n cu exponent natural impar n = 1, 3, 5, ... . Un astfel de indicator poate fi scris și ca: n = 2k + 1, unde k = 0, 1, 2, 3, ... este un întreg nenegativ. Mai jos sunt proprietățile și graficele unor astfel de funcții.
Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, ... .
Domeniu: -∞ < x < ∞
valori multiple: -∞ < y < ∞
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: crește monoton
Extreme: Nu
Convex:
la -∞< x < 0
выпукла вверх
la 0< x < ∞
выпукла вниз
Puncte de întrerupere: x=0, y=0
x=0, y=0
Limite:
;
Valori private:
la x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
pentru x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = 1, funcția este inversă față de ea însăși: x = y
pentru n ≠ 1, funcția inversă este o rădăcină de grad n:
Funcția de putere cu exponent natural par, p = n = 2, 4, 6, ...
Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu exponent natural par n = 2, 4, 6, ... . Un astfel de indicator poate fi scris și ca: n = 2k, unde k = 1, 2, 3, ... este un număr natural. Proprietățile și graficele acestor funcții sunt prezentate mai jos.
Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ... .
Domeniu: -∞ < x < ∞
valori multiple: 0 ≤ y< ∞
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
pentru x ≤ 0 scade monoton
pentru x ≥ 0 crește monoton
Extreme: minim, x=0, y=0
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Limite:
;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
pentru x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = 2, Rădăcină pătrată:
pentru n ≠ 2, rădăcină de grad n:
Funcție de putere cu exponent negativ întreg, p = n = -1, -2, -3, ...
Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent întreg negativ n = -1, -2, -3, ... . Dacă punem n = -k, unde k = 1, 2, 3, ... este un număr natural, atunci acesta poate fi reprezentat ca:
Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent întreg negativ pentru diferite valori ale exponentului n = -1, -2, -3, ... .
Exponent impar, n = -1, -3, -5, ...
Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu un exponent negativ impar n = -1, -3, -5, ... .
Domeniu: x ≠ 0
valori multiple: y ≠ 0
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: scade monoton
Extreme: Nu
Convex:
la x< 0
:
выпукла вверх
pentru x > 0 : convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn:
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = -1,
pentru n< -2
,
Exponent par, n = -2, -4, -6, ...
Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu exponent negativ par n = -2, -4, -6, ... .
Domeniu: x ≠ 0
valori multiple: y > 0
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0
:
монотонно возрастает
pentru x > 0 : monoton în scădere
Extreme: Nu
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn: y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = -2,
pentru n< -2
,
Funcția de putere cu exponent rațional (fracțional).
Considerăm o funcție de putere y = x p cu un exponent rațional (fracțional), unde n este un număr întreg, m > 1 este un număr natural. Mai mult, n, m nu au divizori comuni.
Numitorul indicatorului fracționar este impar
Fie numitorul exponentului fracționar impar: m = 3, 5, 7, ... . În acest caz, funcția de putere x p este definită atât pentru valorile x pozitive, cât și negative. Luați în considerare proprietățile unor astfel de funcții de putere atunci când exponentul p este în anumite limite.
p este negativ, p< 0
Fie exponentul rațional (cu numitor impar m = 3, 5, 7, ... ) mai mic decât zero: .
Grafice ale funcțiilor exponențiale cu un exponent rațional negativ pentru diferite valori ale exponentului, unde m = 3, 5, 7, ... este impar.
Numător impar, n = -1, -3, -5, ...
Iată proprietățile unei funcții de putere y = x p cu un exponent negativ rațional , unde n = -1, -3, -5, ... este un întreg negativ impar, m = 3, 5, 7 ... este un număr natural impar.
Domeniu: x ≠ 0
valori multiple: y ≠ 0
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: scade monoton
Extreme: Nu
Convex:
la x< 0
:
выпукла вверх
pentru x > 0 : convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn:
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
Numător par, n = -2, -4, -6, ...
Proprietățile unei funcții de putere y = x p cu un exponent negativ rațional , unde n = -2, -4, -6, ... este un număr întreg negativ par, m = 3, 5, 7 ... este un număr natural impar .
Domeniu: x ≠ 0
valori multiple: y > 0
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0
:
монотонно возрастает
pentru x > 0 : monoton în scădere
Extreme: Nu
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn: y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
Valoarea p este pozitivă, mai mică de unu, 0< p < 1
Graficul unei funcții de putere cu un exponent rațional (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Numător impar, n = 1, 3, 5, ...
< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Domeniu: -∞ < x < +∞
valori multiple: -∞ < y < +∞
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: crește monoton
Extreme: Nu
Convex:
la x< 0
:
выпукла вниз
pentru x > 0 : convex în sus
Puncte de întrerupere: x=0, y=0
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Semn:
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
Limite:
;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = -1
pentru x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:
Numător par, n = 2, 4, 6, ...
Sunt prezentate proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent rațional , fiind în 0.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Domeniu: -∞ < x < +∞
valori multiple: 0 ≤ y< +∞
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0
:
монотонно убывает
pentru x > 0 : crescător monoton
Extreme: minim la x = 0, y = 0
Convex: convex în sus la x ≠ 0
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Semn: pentru x ≠ 0, y > 0
Limite:
;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = 1
pentru x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:
Exponentul p este mai mare decât unu, p > 1
Graficul unei funcții de putere cu un exponent rațional (p > 1) pentru diferite valori ale exponentului, unde m = 3, 5, 7, ... este impar.
Numător impar, n = 5, 7, 9, ...
Proprietățile unei funcții de putere y = x p cu un exponent rațional mai mare de unu: . Unde n = 5, 7, 9, ... este un număr natural impar, m = 3, 5, 7 ... este un număr natural impar.
Domeniu: -∞ < x < ∞
valori multiple: -∞ < y < ∞
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: crește monoton
Extreme: Nu
Convex:
la -∞< x < 0
выпукла вверх
la 0< x < ∞
выпукла вниз
Puncte de întrerupere: x=0, y=0
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Limite:
;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = -1
pentru x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:
Numător par, n = 4, 6, 8, ...
Proprietățile unei funcții de putere y = x p cu un exponent rațional mai mare de unu: . Unde n = 4, 6, 8, ... este un număr natural par, m = 3, 5, 7 ... este un număr natural impar.
Domeniu: -∞ < x < ∞
valori multiple: 0 ≤ y< ∞
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0
монотонно убывает
pentru x > 0 crește monoton
Extreme: minim la x = 0, y = 0
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Limite:
;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = 1
pentru x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:
Numitorul indicatorului fracționar este par
Fie numitorul exponentului fracționar par: m = 2, 4, 6, ... . În acest caz, funcția de putere x p nu este definită pentru valorile negative ale argumentului. Proprietățile sale coincid cu cele ale unei funcții de putere cu un exponent irațional (vezi secțiunea următoare).
Funcția de putere cu exponent irațional
Se consideră o funcție de putere y = x p cu un exponent irațional p . Proprietățile unor astfel de funcții diferă de cele considerate mai sus prin faptul că nu sunt definite pentru valorile negative ale argumentului x. Pentru valorile pozitive ale argumentului, proprietățile depind numai de valoarea exponentului p și nu depind de dacă p este întreg, rațional sau irațional.
y = x p pentru diferite valori ale exponentului p.
Funcția de putere cu p. negativ< 0
Domeniu: x > 0
valori multiple: y > 0
Monoton: scade monoton
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Limite: ;
valoare privată: Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1
Funcția de putere cu exponent pozitiv p > 0
Indicatorul este mai mic de unu 0< p < 1
Domeniu: x ≥ 0
valori multiple: y ≥ 0
Monoton: crește monoton
Convex: convex în sus
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Limite:
Valori private: Pentru x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1
Indicatorul este mai mare decât un p > 1
Domeniu: x ≥ 0
valori multiple: y ≥ 0
Monoton: crește monoton
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Limite:
Valori private: Pentru x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1
Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.
Clasa 10
FUNCȚIA DE PUTERE
Putere numitfuncţie dată de formulăUnde, p – un număr real.
eu . Index- chiar numar natural. Apoi funcția de putere Unden
D ( y )= (−; +).
2) Scopul funcției este un set de numere nenegative dacă:
set de numere nepozitive dacă:
3) ) . Deci funcțiaOi .
4) Dacă, atunci funcția scade pe măsură ceX (- ; 0] și crește cuX si scade laX }
