Numerele zecimale sunt înmulțite. Înmulțirea fracțiilor zecimale: reguli, exemple, soluții. Înmulțirea unei zecimale cu o fracție comună sau un număr mixt

Înmulțirea zecimală are loc în trei etape.

Decimalele sunt scrise într-o coloană și înmulțite ca numere obișnuite.

Numărăm numărul de zecimale din prima fracție zecimală iar al doilea. Adăugăm numărul lor.

În rezultatul obținut, numărăm de la dreapta la stânga câte cifre au rezultat în paragraful de mai sus și punem virgulă.

Cum să înmulțim zecimale

Scriem fracții zecimale într-o coloană și le înmulțim ca numere naturale, ignorând virgulele. Adică, considerăm 3,11 ca 311 și 0,01 ca 1.

Primit 311 . Acum numărăm numărul de semne (cifre) după virgulă zecimală pentru ambele fracții. Prima zecimală are două cifre, iar a doua are două. Numărul total de cifre după virgule:

Numărăm de la dreapta la stânga 4 caractere (numere) din numărul rezultat. Există mai puține cifre în rezultat decât trebuie să le separați prin virgulă. În acest caz, ai nevoie stânga atribuiți numărul de zerouri lipsă.

Ne lipsește o cifră, așa că atribuim un zero la stânga.

Când înmulțiți orice fracție zecimală pe 10; o sută; 1000 etc. virgula zecimală se deplasează spre dreapta atâtea cifre câte zerouri sunt după unu.

70,1 10 = 701

0,023 100 = 2,3

5,6 1000 = 5600

Pentru a înmulți o zecimală cu 0,1; 0,01; 0,001 etc., este necesar să mutați virgula la stânga în această fracție cu atâtea cifre câte zerouri sunt în fața unității.

Numărăm zero numere întregi!

• 12 0,1 = 1,2
• 0,05 0,1 = 0,005
• 1,256 0,01 = 0,012 56

Pentru a înțelege cum să înmulțim zecimale, să ne uităm la exemple specifice.

Regula înmulțirii zecimale

1) Înmulțim, ignorând virgula.

2) Ca urmare, separăm atâtea cifre după virgulă câte sunt după virgule în ambii factori împreună.

Aflați produsul zecimalelor:

Pentru a înmulți zecimale, înmulțim fără să fim atenți la virgule. Adică nu înmulțim 6,8 și 3,4, ci 68 și 34. Drept urmare, separăm atâtea cifre după virgulă câte sunt după virgule în ambii factori împreună. În primul multiplicator există o cifră după virgulă, în al doilea există și una. În total, separăm două cifre după virgulă, astfel am obținut răspunsul final: 6,8∙3,4=23,12.

Înmulțirea zecimalelor fără a ține cont de virgula. Adică, de fapt, în loc să înmulțim 36,85 cu 1,14, înmulțim 3685 cu 14. Obținem 51590. Acum, în acest rezultat, trebuie să separăm câte cifre cu virgulă există în ambii factori împreună. Primul număr are două cifre după virgulă, al doilea are una. În total, separăm trei cifre cu o virgulă. Deoarece există un zero la sfârșitul intrării după virgulă, nu îl scriem ca răspuns: 36,85∙1,4=51,59.

Pentru a înmulți aceste zecimale, înmulțim numerele fără să fim atenți la virgule. Adică înmulțim numerele naturale 2315 și 7. Obținem 16205. În acest număr, patru cifre trebuie separate după virgulă - atâtea câte sunt în ambii factori împreună (două în fiecare). Răspuns final: 23,15∙0,07=1,6205.

Înmulțirea unei fracții zecimale cu un număr natural se face în același mod. Înmulțim numerele fără să fim atenți la virgulă, adică înmulțim 75 cu 16. În rezultatul obținut, după virgulă să fie atâtea semne câte semne sunt în ambii factori împreună - unul. Astfel, 75∙1,6=120,0=120.

Începem înmulțirea fracțiilor zecimale prin înmulțirea numerelor naturale, deoarece nu acordăm atenție virgulelor. După aceea, separăm atâtea cifre după virgulă câte sunt în ambii factori împreună. Primul număr are două zecimale, iar al doilea are două zecimale. În total, ca rezultat, ar trebui să existe patru cifre după virgulă: 4,72∙5,04=23,7888.

Și încă câteva exemple pentru înmulțirea fracțiilor zecimale:

www.for6cl.uznateshe.ru

Înmulțirea fracțiilor zecimale, reguli, exemple, soluții.

Ne întoarcem la studiul următoarei acțiuni cu fracții zecimale, acum vom lua în considerare în mod cuprinzător înmulțirea zecimalelor. Mai întâi, să discutăm despre principiile generale ale înmulțirii fracțiilor zecimale. După aceea, să trecem la înmulțirea unei fracții zecimale cu o fracție zecimală, arătați cum se realizează înmulțirea fracțiilor zecimale cu o coloană, luați în considerare soluțiile exemplelor. În continuare, vom analiza înmulțirea fracțiilor zecimale cu numere naturale, în special cu 10, 100 etc. În concluzie, să vorbim despre înmulțirea fracțiilor zecimale cu fracții obișnuite și numere mixte.

Să spunem imediat că în acest articol vom vorbi doar despre înmulțirea fracțiilor zecimale pozitive (vezi pozitiv și numere negative). Cazurile rămase sunt analizate în articolele înmulțirea numerelor raționale și înmulțirea numerelor reale.

Navigare în pagină.

Principii generale pentru înmulțirea zecimalelor

Să discutăm despre principiile generale care trebuie urmate atunci când se efectuează înmulțirea cu fracții zecimale.

Deoarece zecimalele finale și fracțiile periodice infinite sunt forma zecimală a fracțiilor comune, înmulțirea acestor zecimale înseamnă în esență înmulțirea fracțiilor comune. Cu alte cuvinte, înmulțirea zecimalelor finale, înmulțirea fracțiilor zecimale finale și periodice, precum și înmulțirea zecimalelor periodice se rezumă la înmulțirea fracțiilor obișnuite după conversia fracțiilor zecimale în fracții obișnuite.

Luați în considerare exemple de aplicare a principiului vocal al înmulțirii fracțiilor zecimale.

Efectuați înmulțirea zecimalelor 1,5 și 0,75.

Să înlocuim fracțiile zecimale înmulțite cu fracțiile ordinare corespunzătoare. Deoarece 1,5=15/10 și 0,75=75/100, atunci. Puteți reduce fracția și apoi selectați întreaga parte din fracția necorespunzătoare, dar mai convenabil rezultatul fracție comună 1 125/1 000 scrie ca fracție zecimală 1,125.

Trebuie menționat că este convenabil să înmulțiți fracțiile zecimale finale într-o coloană, despre această metodă de înmulțire a fracțiilor zecimale vom vorbi în paragraful următor.

Luați în considerare un exemplu de înmulțire a fracțiilor zecimale periodice.

Calculați produsul zecimalelor periodice 0,(3) și 2,(36) .

Să convertim fracțiile zecimale periodice în fracții obișnuite:

Apoi. Puteți converti fracția obișnuită rezultată într-o fracție zecimală:


Dacă există infinite fracții neperiodice printre fracțiile zecimale înmulțite, atunci toate fracțiile înmulțite, inclusiv cele finite și periodice, ar trebui rotunjite la o anumită cifră (vezi rotunjirea numerelor), iar apoi se efectuează înmulțirea fracțiilor zecimale finale obținute după rotunjire.

Înmulțiți zecimale 5,382... și 0,2.

În primul rând, rotunjim o fracție zecimală neperiodică infinită, rotunjirea se poate face la sutimi, avem 5,382 ... ≈5,38. Fracția zecimală finală 0,2 nu trebuie să fie rotunjită la sutimi. Astfel, 5,382… 0,2≈5,38 0,2. Rămâne de calculat produsul fracțiilor zecimale finale: 5,38 0,2 \u003d 538 / 100 2 / 10 \u003d 1.076/1.000 \u003d 1.076.

Înmulțirea fracțiilor zecimale cu o coloană

Înmulțirea fracțiilor zecimale finite poate fi efectuată printr-o coloană, similar înmulțirii cu o coloană de numere naturale.

Să formulăm regula înmulțirii pentru fracțiile zecimale. Pentru a înmulți fracțiile zecimale cu o coloană, aveți nevoie de:

• ignorând virgulele, efectuați înmulțirea după toate regulile de înmulțire cu o coloană de numere naturale;
• în numărul rezultat, separați în dreapta cu un punct zecimal câte zecimale există în ambii factori împreună, iar dacă nu sunt suficiente cifre în produs, atunci numărul necesar de zerouri trebuie adăugat în stânga.

Luați în considerare exemple de înmulțire a fracțiilor zecimale cu o coloană.

Înmulțiți zecimale 63,37 și 0,12.

Să efectuăm înmulțirea fracțiilor zecimale cu o coloană. În primul rând, înmulțim numerele, ignorând virgulele:


Rămâne să puneți o virgulă în produsul rezultat. Ea trebuie să separe 4 cifre în dreapta, deoarece există patru zecimale în factori (două în fracția 3,37 și două în fracția 0,12). Există suficiente numere acolo, așa că nu trebuie să adăugați zerouri în stânga. Să terminăm recordul:


Ca rezultat, avem 3,37 0,12 = 7,6044.

Calculați produsul zecimalelor 3,2601 și 0,0254 .

După ce am efectuat înmulțirea cu o coloană fără a ține cont de virgule, obținem următoarea imagine:


Acum, în produs, trebuie să separați 8 cifre din dreapta cu o virgulă, deoarece numărul total de zecimale ale fracțiilor înmulțite este de opt. Dar există doar 7 cifre în produs, prin urmare, trebuie să atribuiți cât mai multe zerouri în stânga, astfel încât 8 cifre să poată fi separate prin virgulă. În cazul nostru, trebuie să atribuim două zerouri:


Aceasta completează înmulțirea fracțiilor zecimale cu o coloană.

Înmulțirea zecimalelor cu 0,1, 0,01 etc.

Destul de des trebuie să înmulțiți zecimale cu 0,1, 0,01 și așa mai departe. Prin urmare, este recomandabil să se formuleze o regulă de înmulțire a unei fracții zecimale cu aceste numere, care decurge din principiile înmulțirii fracțiilor zecimale discutate mai sus.

Asa de, înmulțirea unei zecimale date cu 0,1, 0,01, 0,001 și așa mai departe dă o fracție care se obține din cea originală, dacă în introducerea sa virgula este mutată la stânga cu 1, 2, 3 și, respectiv, cifre și așa mai departe, iar dacă nu sunt suficiente cifre pentru a muta virgula, atunci trebuie pentru a adăuga numărul necesar de zerouri din stânga.

De exemplu, pentru a înmulți fracția zecimală 54,34 cu 0,1, trebuie să mutați punctul zecimal la stânga cu 1 cifră în fracția 54,34 și obțineți fracția 5,434, adică 54,34 0,1 \u003d 5,434. Să luăm un alt exemplu. Înmulțiți fracția zecimală 9,3 cu 0,0001. Pentru a face acest lucru, trebuie să mutăm virgula 4 cifre la stânga în fracția zecimală înmulțită 9,3, dar înregistrarea fracției 9,3 nu conține un astfel de număr de caractere. Prin urmare, trebuie să atribuim cât mai multe zerouri în înregistrarea fracției 9,3 din stânga, astfel încât să putem transfera cu ușurință virgula la 4 cifre, avem 9,3 0,0001 \u003d 0,00093.

Rețineți că regula anunțată pentru înmulțirea unei fracții zecimale cu 0,1, 0,01, ... este valabilă și pentru fracțiile zecimale infinite. De exemplu, 0,(18) 0,01=0,00(18) sau 93,938... 0,1=9,3938... .

Înmulțirea unei zecimale cu un număr natural

În miezul ei înmulțirea zecimalelor cu numere naturale nu diferă de înmulțirea unei zecimale cu o zecimală.

Cel mai convenabil este să înmulțiți o fracție zecimală finită cu un număr natural cu o coloană, în timp ce ar trebui să urmați regulile de înmulțire cu o coloană de fracții zecimale discutate în unul dintre paragrafele anterioare.

Calculați produsul 15 2.27 .

Să efectuăm înmulțirea unui număr natural cu o fracție zecimală într-o coloană:


Când înmulțiți o fracție zecimală periodică cu un număr natural, fracția periodică trebuie înlocuită cu o fracție obișnuită.

Înmulțiți fracția zecimală 0,(42) cu numărul natural 22.

Mai întâi, să convertim zecimala periodică într-o fracție comună:

Acum să facem înmulțirea: . Acest rezultat zecimal este 9,(3) .

Și atunci când înmulțiți o fracție zecimală neperiodică infinită cu un număr natural, trebuie mai întâi să rotunjiți.

Faceți înmulțirea 4 2.145….

Rotunjind la sutimi fracția zecimală infinită originală, vom ajunge la înmulțirea unui număr natural și a unei fracții zecimale finale. Avem 4 2.145…≈4 2.15=8.60.

Înmulțirea unei zecimale cu 10, 100,...

Destul de des trebuie să înmulțiți fracțiile zecimale cu 10, 100, ... Prin urmare, este recomandabil să ne oprim asupra acestor cazuri în detaliu.

Hai să ne dăm voce regula pentru înmulțirea unei zecimale cu 10, 100, 1.000 etc. Când înmulțiți o fracție zecimală cu 10, 100, ... în introducerea acesteia, trebuie să mutați virgula la dreapta cu 1, 2, 3, ... cifre, respectiv, și să eliminați zerourile suplimentare din stânga; dacă nu există suficiente cifre în înregistrarea fracției înmulțite pentru a transfera virgula, atunci trebuie să adăugați numărul necesar de zerouri la dreapta.

Înmulțiți zecimala 0,0783 cu 100.

Să transferăm fracția 0,0783 două cifre la dreapta în înregistrare și obținem 007,83. Lăsând două zerouri în stânga, obținem fracția zecimală 7,38. Astfel, 0,0783 100=7,83.

Înmulțiți fracția zecimală 0,02 cu 10.000.

Pentru a înmulți 0,02 cu 10.000, trebuie să mutăm virgula cu 4 cifre la dreapta. Evident, în înregistrarea fracției 0,02 nu sunt suficiente cifre pentru a transfera virgula la 4 cifre, așa că vom adăuga câteva zerouri la dreapta pentru ca virgula să poată fi transferată. În exemplul nostru, este suficient să adăugați trei zerouri, avem 0,02000. După mutarea virgulei, obținem intrarea 00200.0 . Lăsând zerourile din stânga, avem numărul 200,0, care este egal cu numărul natural 200, este rezultatul înmulțirii fracției zecimale 0,02 cu 10.000.

Regula enunțată este valabilă și pentru înmulțirea fracțiilor zecimale infinite cu 10, 100, ... Când înmulțiți fracții zecimale periodice, trebuie să aveți grijă la perioada fracției care este rezultatul înmulțirii.

Înmulțiți zecimala periodică 5,32(672) cu 1000 .

Înainte de înmulțire, scriem fracția zecimală periodică ca 5,32672672672 ..., acest lucru ne va permite să evităm greșelile. Acum să mutăm virgula la dreapta cu 3 cifre, avem 5 326,726726 ... . Astfel, după înmulțire, se obține o fracție zecimală periodică 5 326, (726) .

5,32(672) 1000=5326,(726).

Când înmulțiți fracții neperiodice infinite cu 10, 100, ..., trebuie mai întâi să rotunjiți fracția infinită la o anumită cifră și apoi să efectuați înmulțirea.

Înmulțirea unei zecimale cu o fracție comună sau un număr mixt

Pentru a înmulți o fracție zecimală finită sau o fracție zecimală periodică infinită cu o fracție obișnuită sau un număr mixt, trebuie să reprezentați fracția zecimală ca o fracție obișnuită și apoi să efectuați înmulțirea.

Înmulțiți fracția zecimală 0,4 cu numărul mixt.

Deoarece 0,4=4/10=2/5 și apoi. Numărul rezultat poate fi scris ca o fracție zecimală periodică 1.5(3) .

Când înmulțiți o fracție zecimală neperiodică infinită cu o fracție comună sau un număr mixt, fracția comună sau numărul mixt trebuie înlocuit cu o fracție zecimală, apoi rotunjiți fracțiile înmulțite și finalizați calculul.

Din moment ce 2/3 \u003d 0,6666 ..., atunci. După rotunjirea fracțiilor înmulțite la miimi, ajungem la produsul a două fracții zecimale finale 3,568 și 0,667. Să facem înmulțirea într-o coloană:


Rezultatul obținut ar trebui rotunjit la miimi, deoarece fracțiile înmulțite au fost luate cu o precizie de miimi, avem 2,379856≈2,380.

www.cleverstudents.ru

29. Înmulțirea fracțiilor zecimale. reguli




Găsiți aria unui dreptunghi cu laturile egale
1,4 dm și 0,3 dm. Convertiți decimetri în centimetri:

1,4 dm = 14 cm; 0,3 dm = 3 cm.

Acum să calculăm aria în centimetri.

S \u003d 14 3 \u003d 42 cm 2.

Convertiți centimetri pătrați în pătrați
decimetri:

d m 2 \u003d 0,42 d m 2.

Prin urmare, S \u003d 1,4 dm 0,3 dm \u003d 0,42 dm 2.

Înmulțirea a două zecimale se face astfel:
1) numerele se înmulțesc fără a lua în considerare virgulele.
2) virgula din produs este plasată astfel încât să se separe în dreapta
atâtea semne câte sunt separate în ambii factori
luat impreuna. De exemplu:

1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .

Exemple de înmulțire a fracțiilor zecimale într-o coloană:



În loc să înmulțiți orice număr cu 0,1; 0,01; 0,001
puteți împărți acest număr la 10; o sută ; sau respectiv 1000.
De exemplu:

22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .

Când înmulțim o fracție zecimală cu un număr natural, trebuie:

1) înmulțiți numerele, ignorând virgula;

2) în produsul rezultat, puneți o virgulă astfel încât în ​​dreapta
din ea erau tot atâtea cifre cât într-o fracție zecimală.

Să găsim produsul 3.12 10 . Conform regulii de mai sus
mai întâi înmulțiți 312 cu 10 . Obținem: 312 10 \u003d 3120.
Și acum separăm cele două cifre din dreapta cu o virgulă și obținem:

3,12 10 = 31,20 = 31,2 .

Deci, atunci când înmulțim 3,12 cu 10, am mutat virgula cu una
număr la dreapta. Dacă înmulțim 3,12 cu 100, obținem 312, adică
virgula a fost mutată cu două cifre la dreapta.

3,12 100 = 312,00 = 312 .

Când înmulțiți o fracție zecimală cu 10, 100, 1000 etc., trebuie să
în această fracție, mutați virgula la dreapta atâtea caractere câte zerouri sunt
este în multiplicator. De exemplu:

0,065 1000 = 0065, = 65 ;

2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .

Sarcini pe tema „Înmulțirea fracțiilor zecimale”

school-assistant.ru

Adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea zecimalelor

Adunarea și scăderea zecimalelor este similară cu adunarea și scăderea numerelor naturale, dar cu anumite condiții.

Regulă. este format din cifrele părților întregi și fracționale ca numere naturale.

Când este scris adunarea și scăderea zecimalelor virgula care separă partea întreagă de partea fracțională trebuie să fie în termeni și suma sau minuend, subtrahend și diferența într-o coloană (o virgulă sub virgulă de la condiție până la sfârșitul calculului).

Adunarea și scăderea zecimalelor la linia:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 - 700,628 = (800 - 700) + 40 + 3 + (0,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

Adunarea și scăderea zecimalelorîntr-o coloană:

Adăugarea fracțiilor zecimale necesită o linie suplimentară superioară pentru a scrie numere atunci când suma cifrelor trece prin zece. Scăderea zecimalelor necesită linia suplimentară de sus pentru a marca cifra în care este împrumutat 1.

Dacă nu există suficiente cifre ale părții fracționale la dreapta termenului sau reduse, atunci se pot adăuga la dreapta în partea fracționară tot atâtea zerouri (mărește adâncimea de biți a părții fracționale) cu cât există cifre într-un alt termen sau redus.

Înmulțirea zecimală se efectuează la fel ca înmulțirea numerelor naturale, după aceleași reguli, dar în produs se pune o virgulă în funcție de suma cifrelor factorilor din partea fracționară, numărând de la dreapta la stânga (suma a cifrelor factorilor este numărul de cifre după virgulă zecimală pentru factorii luați împreună).

La înmulțirea zecimalelorîntr-o coloană, prima cifră semnificativă din dreapta este semnată sub prima cifră semnificativă din dreapta, ca în numerele naturale:

Înregistrare înmulțirea zecimalelorîntr-o coloană:

Înregistrare împărțire zecimalăîntr-o coloană:

Caracterele subliniate sunt caractere care includ virgulă, deoarece divizorul trebuie să fie un număr întreg.

Regulă. La împărțirea fracțiilor divizorul unei fracții zecimale crește cu atâtea cifre câte cifre sunt în partea ei fracțională. Pentru ca fracția să nu se modifice, dividendul crește cu același număr de cifre (în dividend și divizor, virgula este transferată la același număr de caractere). O virgulă este plasată în coeficient în stadiul de împărțire când întreaga parte a fracției este împărțită.

Pentru fracțiile zecimale, precum și pentru numerele naturale, se păstrează regula: Nu poți împărți o zecimală la zero!

Știți deja că un * 10 = a + a + a + a + a + a + a + a + a + a. De exemplu, 0,2 * 10 = 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2. Este ușor de ghicit că această sumă este egală cu 2, adică. 0,2 * 10 = 2.

În mod similar, se poate verifica că:

5,2 * 10 = 52 ;

0,27 * 10 = 2,7 ;

1,253 * 10 = 12,53 ;

64,95 * 10 = 649,5 .

Probabil ați ghicit că atunci când înmulțiți o fracție zecimală cu 10, trebuie să mutați punctul zecimal la dreapta cu o cifră în această fracție.

Cum se înmulțește o zecimală cu 100?

Avem: a * 100 = a * 10 * 10 . Apoi:

2,375 * 100 = 2,375 * 10 * 10 = 23,75 * 10 = 237,5 .

Argumentând în mod similar, obținem că:

3,2 * 100 = 320 ;

28,431 * 100 = 2843,1 ;

0,57964 * 100 = 57,964 .

Înmulțiți fracția 7,1212 cu numărul 1000.

Avem: 7,1212 * 1000 = 7,1212 * 100 * 10 = 712,12 * 10 = 7121,2.

Aceste exemple ilustrează următoarea regulă.

Pentru a înmulți o fracție zecimală cu 10, 100, 1.000 etc., trebuie să mutați punctul zecimal la dreapta în această fracție, respectiv, cu 1, 2, 3 etc. numerele.

Deci, dacă mutați virgula la dreapta cu 1, 2, 3 etc. numere, atunci fracția va crește cu 10, 100, 1.000 etc., respectiv. o singura data.

Prin urmare, dacă mutați virgula la stânga cu 1, 2, 3 etc. numere, atunci fracția va scădea cu 10, 100, 1.000 etc., respectiv. o singura data .

Să arătăm că forma zecimală de notare a fracțiilor face posibilă înmulțirea lor, ghidată de regula înmulțirii numerelor naturale.

Să găsim, de exemplu, produsul 3,4 * 1,23. Să creștem primul multiplicator de 10 ori, iar al doilea de 100 de ori. Aceasta înseamnă că am mărit produsul de 1.000 de ori.

Prin urmare, produsul numerelor naturale 34 și 123 este de 1.000 de ori mai mare decât produsul dorit.

Avem: 34 * 123 = 4182. Apoi, pentru a obține un răspuns, numărul 4.182 trebuie redus de 1.000 de ori. Să scriem: 4 182 \u003d 4 182.0. Mutând virgula în 4182.0 cu trei cifre la stânga, obținem numărul 4.182, care este de 1000 de ori mai mic decât numărul 4182. Deci 3,4 * 1,23 = 4,182 .

Același rezultat poate fi obținut folosind următoarea regulă.

Pentru a înmulți două zecimale:

1) înmulțiți-le ca numere naturale, ignorând virgulele;

2) în produsul rezultat, separați cu o virgulă în dreapta atâtea cifre câte sunt după virgule în ambii factori împreună.

În cazurile în care produsul conține mai puține cifre decât este necesar pentru a fi separate prin virgulă, numărul necesar de zerouri este adăugat la stânga înaintea acestui produs, iar apoi virgula este mutată la stânga cu numărul necesar de cifre.

De exemplu, 2 * 3 = 6, apoi 0,2 * 3 = 0,006; 25 * 33 = 825, apoi 0,025 * 0,33 = 0,00825.

În cazurile în care unul dintre factori este egal cu 0,1; 0,01; 0,001 etc., este convenabil să folosiți următoarea regulă.

Pentru a înmulți o zecimală cu 0,1; 0,01; 0,001 etc., este necesar să mutați virgula la stânga în această fracție, respectiv, cu 1, 2, 3 etc. numerele.

De exemplu, 1,58 * 0,1 = 0,158; 324,7 * 0,01 = 3,247.

Proprietățile de înmulțire ale numerelor naturale sunt valabile pentru numere fracționale:

ab = ba − proprietatea comutativă a înmulțirii,

(ab) c = a(b c) − proprietatea asociativă a înmulțirii,

a(b + c) = ab + ac este proprietatea distributivă a înmulțirii față de adunare.

Ca numerele obișnuite.

2. Numărăm numărul de zecimale pentru prima fracție zecimală și pentru a 2-a. Adunăm numărul lor.

3. În rezultatul final, numărăm de la dreapta la stânga un astfel de număr de cifre așa cum s-a dovedit în paragraful de mai sus și punem o virgulă.

Reguli pentru înmulțirea zecimalelor.

1. Înmulțiți fără să acordați atenție virgulei.

2. În produs, separăm atâtea cifre după virgulă câte sunt după virgule în ambii factori împreună.

Înmulțind o fracție zecimală cu un număr natural, trebuie să:

1. Înmulțiți numerele, ignorând virgula;

2. Ca rezultat, punem o virgulă astfel încât să fie tot atâtea cifre în dreapta ei cât într-o fracție zecimală.

Înmulțirea fracțiilor zecimale cu o coloană.

Să ne uităm la un exemplu:

Scriem fracții zecimale într-o coloană și le înmulțim ca numere naturale, ignorând virgulele. Acestea. Considerăm 3,11 ca 311 și 0,01 ca 1.

Rezultatul este 311. În continuare, numărăm numărul de zecimale (cifre) pentru ambele fracții. Există 2 cifre în prima zecimală și 2 în a 2-a. Numărul total de cifre după zecimale:

2 + 2 = 4

Numărăm de la dreapta la stânga patru caractere ale rezultatului. În rezultatul final, există mai puține cifre decât trebuie să le separați prin virgulă. În acest caz, este necesar să adăugați numărul de zerouri lipsă din stânga.

În cazul nostru, prima cifră lipsește, așa că adăugăm 1 zero în stânga.

Notă:

Înmulțind orice fracție zecimală cu 10, 100, 1000 și așa mai departe, virgula din fracția zecimală este mutată la dreapta cu atâtea locuri câte zerouri sunt după unu.

De exemplu:

70,1 . 10 = 701

0,023 . 100 = 2,3

5,6 . 1 000 = 5 600

Notă:

Pentru a înmulți o zecimală cu 0,1; 0,01; 0,001; și așa mai departe, trebuie să mutați virgula la stânga în această fracție cu atâtea caractere câte zerouri sunt în fața unității.

Numărăm zero numere întregi!

De exemplu:

12 . 0,1 = 1,2

0,05 . 0,1 = 0,005

1,256 . 0,01 = 0,012 56

Pentru a înțelege cum să înmulțim zecimale, să ne uităm la exemple specifice.

Regula înmulțirii zecimale

1) Înmulțim, ignorând virgula.

2) Ca urmare, separăm atâtea cifre după virgulă câte sunt după virgule în ambii factori împreună.

Exemple.

Aflați produsul zecimalelor:

Pentru a înmulți zecimale, înmulțim fără să fim atenți la virgule. Adică nu înmulțim 6,8 și 3,4, ci 68 și 34. Drept urmare, separăm atâtea cifre după virgulă câte sunt după virgule în ambii factori împreună. În primul factor după virgulă există o cifră, în al doilea există și una. În total, separăm două cifre după virgulă, astfel am obținut răspunsul final: 6,8∙3,4=23,12.

Înmulțirea zecimalelor fără a ține cont de virgula. Adică, de fapt, în loc să înmulțim 36,85 cu 1,14, înmulțim 3685 cu 14. Obținem 51590. Acum, în acest rezultat, trebuie să separăm câte cifre cu virgulă există în ambii factori împreună. Primul număr are două cifre după virgulă, al doilea are una. În total, separăm trei cifre cu o virgulă. Deoarece există un zero la sfârșitul intrării după virgulă, nu îl scriem ca răspuns: 36,85∙1,4=51,59.

Pentru a înmulți aceste zecimale, înmulțim numerele fără să fim atenți la virgule. Adică înmulțim numerele naturale 2315 și 7. Obținem 16205. În acest număr, patru cifre trebuie separate după virgulă - atâtea câte sunt în ambii factori împreună (două în fiecare). Răspuns final: 23,15∙0,07=1,6205.

Înmulțirea unei fracții zecimale cu un număr natural se face în același mod. Înmulțim numerele fără să fim atenți la virgulă, adică înmulțim 75 cu 16. În rezultatul obținut, după virgulă să fie atâtea semne câte semne sunt în ambii factori împreună - unul. Astfel, 75∙1,6=120,0=120.

Începem înmulțirea fracțiilor zecimale prin înmulțirea numerelor naturale, deoarece nu acordăm atenție virgulelor. După aceea, separăm atâtea cifre după virgulă câte sunt în ambii factori împreună. Primul număr are două zecimale, iar al doilea are două zecimale. În total, ca rezultat, ar trebui să existe patru cifre după virgulă: 4,72∙5,04=23,7888.

În cursul mediei şi liceu Elevii au parcurs tema „Fracțiuni”. Cu toate acestea, acest concept este mult mai larg decât este dat în procesul de învățare. Astăzi, conceptul de fracție este întâlnit destul de des și nu toată lumea poate calcula orice expresie, de exemplu, înmulțirea fracțiilor.

Ce este o fracție?

S-a întâmplat din punct de vedere istoric să apară numerele fracționale din cauza necesității de a măsura. După cum arată practica, există adesea exemple pentru a determina lungimea unui segment, volumul unui dreptunghi dreptunghiular.

Inițial, studenților li se prezintă un astfel de concept, ca atare. De exemplu, dacă împărțiți un pepene verde în 8 părți, fiecare va primi o opteme dintr-un pepene verde. Această parte din opt se numește cotă.

O acțiune egală cu ½ din orice valoare se numește jumătate; ⅓ - a treia; ¼ - un sfert. Intrările precum 5/8, 4/5, 2/4 se numesc fracții comune. O fracție obișnuită este împărțită în numărător și numitor. Între ele este o linie fracțională sau linie fracțională. O bară fracțională poate fi desenată fie ca o linie orizontală, fie ca o linie înclinată. În acest caz, reprezintă semnul diviziunii.

Numitorul reprezintă câte părți egale este împărțită valoarea obiectului; iar numărătorul este câte părți egale sunt luate. Numătorul este scris deasupra barei fracționale, numitorul sub ea.

Cel mai convenabil este să afișați fracțiile obișnuite pe o rază de coordonate. Dacă un singur segment este împărțit în 4 părți egale, fiecare parte este desemnată cu o literă latină, atunci, ca rezultat, puteți obține un ajutor vizual excelent. Deci, punctul A arată o cotă egală cu 1/4 din întregul segment de unitate, iar punctul B marchează 2/8 din acest segment.

Varietăți de fracții

Fracțiile sunt numere comune, zecimale și mixte. În plus, fracțiile pot fi împărțite în proprii și improprii. Această clasificare este mai potrivită pentru fracțiile obișnuite.

O fracție proprie este un număr al cărui numărător este mai mic decât numitorul. În consecință, o fracție improprie este un număr al cărui numărător este mai mare decât numitorul. Al doilea fel este de obicei scris ca un număr mixt. O astfel de expresie constă dintr-o parte întreagă și o parte fracțională. De exemplu, 1½. 1 - parte întreagă, ½ - fracțional. Cu toate acestea, dacă trebuie să efectuați unele manipulări cu expresia (împărțirea sau înmulțirea fracțiilor, reducerea sau conversia acestora), numărul mixt este convertit într-o fracție improprie.

Corect expresie fracționată este întotdeauna mai mic decât unu și greșit este întotdeauna mai mare sau egal cu 1.

În ceea ce privește această expresie, ei înțeleg o înregistrare în care este reprezentat orice număr, al cărui numitor al expresiei fracționale poate fi exprimat printr-unul cu mai multe zerouri. Dacă fracția este corectă, atunci partea întreagă din notația zecimală va fi zero.

Pentru a scrie o zecimală, trebuie mai întâi să scrieți partea întreagă, să o separați de fracționar cu o virgulă și apoi să scrieți expresia fracțională. Trebuie reținut că după virgulă numărătorul trebuie să conțină atâtea caractere numerice câte zerouri sunt în numitor.

Exemplu. Reprezentați fracția 7 21 / 1000 în notație zecimală.

Algoritm pentru conversia unei fracții improprie într-un număr mixt și invers

Este incorect să scrieți o fracție improprie în răspunsul la problemă, așa că trebuie convertită într-un număr mixt:

• împărțiți numărătorul la numitorul existent;
• în exemplu concret coeficient incomplet - întreg;
• iar restul este numărătorul părții fracționale, numitorul rămânând neschimbat.

Exemplu. Transformă fracția improprie în număr mixt: 47 / 5 .

Soluţie. 47: 5. Coeficientul incomplet este 9, restul = 2. Prin urmare, 47 / 5 = 9 2 / 5.

Uneori trebuie să reprezentați un număr mixt ca o fracție improprie. Apoi, trebuie să utilizați următorul algoritm:

• partea întreagă se înmulțește cu numitorul expresiei fracționale;
• produsul rezultat se adaugă la numărător;
• rezultatul se scrie la numărător, numitorul rămâne neschimbat.

Exemplu. Exprimă numărul în formă mixtă ca fracție improprie: 9 8 / 10 .

Soluţie. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 este numărătorul.

Răspuns: 98 / 10.

Înmulțirea fracțiilor ordinare

Puteți efectua diverse operații algebrice pe fracții obișnuite. Pentru a înmulți două numere, trebuie să înmulțiți numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul. Mai mult, înmulțirea fracțiilor cu numitori diferiți nu diferă de produsul numerelor fracționale cu aceiași numitori.

Se întâmplă că, după găsirea rezultatului, trebuie să reduceți fracția. Este imperativ să simplificați cât mai mult posibil expresia rezultată. Desigur, nu se poate spune că o fracție improprie din răspuns este o greșeală, dar este și dificil să o numim răspunsul corect.

Exemplu. Aflați produsul a două fracții ordinare: ½ și 20/18.

După cum se poate observa din exemplu, după găsirea produsului, se obține o notație fracțională reductibilă. Atât numărătorul, cât și numitorul în acest caz sunt divizibili cu 4, iar rezultatul este răspunsul 5 / 9.

Înmulțirea fracțiilor zecimale

Produsul fracțiilor zecimale este destul de diferit de produsul fracțiilor obișnuite în principiu. Deci, înmulțirea fracțiilor este după cum urmează:

• două fracții zecimale trebuie să fie scrise una sub alta, astfel încât cifrele din dreapta să fie una sub cealaltă;
• trebuie să înmulțiți numerele scrise, în ciuda virgulelor, adică ca numere naturale;
• numărați numărul de cifre după virgulă în fiecare dintre numere;
• în rezultatul obținut după înmulțire, trebuie să numărați în dreapta câte caractere digitale sunt conținute în suma în ambii factori după virgulă zecimală și să puneți un semn de separare;
• dacă există mai puține cifre în produs, atunci trebuie să fie scrise atât de multe zerouri în fața lor pentru a acoperi acest număr, puneți o virgulă și atribuiți o parte întreagă egală cu zero.

Exemplu. Calculați produsul a două zecimale: 2,25 și 3,6.

Soluţie.

Înmulțirea fracțiilor mixte

Pentru a calcula produsul a doi fractii mixte, trebuie să utilizați regula pentru înmulțirea fracțiilor:

• converti numere mixte în fracții improprii;
• găsiți produsul numărătorilor;
• găsiți produsul numitorilor;
• notează rezultatul;
• simplifica pe cât posibil expresia.

Exemplu. Aflați produsul dintre 4½ și 6 2 / 5.

Înmulțirea unui număr cu o fracție (fracții cu un număr)

Pe lângă găsirea produsului a două fracții, numere mixte, există sarcini în care trebuie să înmulțiți cu o fracție.

Deci, pentru a găsi produsul dintre o fracție zecimală și un număr natural, aveți nevoie de:

• scrieți numărul sub fracție, astfel încât cifrele din dreapta să fie una deasupra celeilalte;
• găsiți lucrarea, în ciuda virgulei;
• în rezultatul obținut, separă partea întreagă de partea fracțională folosind o virgulă, numărând la dreapta numărul de caractere care se află după punctul zecimal din fracție.

Pentru a înmulți o fracție obișnuită cu un număr, ar trebui să găsiți produsul dintre numărător și factorul natural. Dacă răspunsul este o fracție reductibilă, ar trebui convertit.

Exemplu. Calculați produsul dintre 5 / 8 și 12.

Soluţie. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Răspuns: 7 1 / 2.

După cum puteți vedea din exemplul anterior, a fost necesar să reduceți rezultatul rezultat și să convertiți expresia fracțională incorectă într-un număr mixt.

De asemenea, înmulțirea fracțiilor se aplică și pentru găsirea produsului dintre un număr în formă mixtă și un factor natural. Pentru a înmulți aceste două numere, ar trebui să înmulțiți partea întreagă a factorului mixt cu numărul, să înmulțiți numărătorul cu aceeași valoare și să lăsați numitorul neschimbat. Dacă este necesar, trebuie să simplificați rezultatul cât mai mult posibil.

Exemplu. Aflați produsul lui 9 5 / 6 și 9.

Soluţie. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Răspuns: 88 1 / 2.

Înmulțirea cu factori 10, 100, 1000 sau 0,1; 0,01; 0,001

Din paragraful precedent rezultă următoarea regulă. Pentru a înmulți o fracție zecimală cu 10, 100, 1000, 10000 etc., trebuie să mutați virgula la dreapta cu atâtea caractere cifre câte zerouri sunt în multiplicatorul după unu.

Exemplul 1. Aflați produsul dintre 0,065 și 1000.

Soluţie. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Răspuns: 65.

Exemplul 2. Aflați produsul dintre 3,9 și 1000.

Soluţie. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Răspuns: 3900.

Dacă trebuie să înmulțiți un număr natural și 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 etc., ar trebui să mutați virgula la stânga în produsul rezultat cu atâtea caractere cifre câte zerouri sunt înaintea unu. Dacă este necesar, înainte numar natural zerourile sunt scrise în cantitate suficientă.

Exemplul 1. Aflați produsul dintre 56 și 0,01.

Soluţie. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Răspuns: 0,56.

Exemplul 2. Aflați produsul dintre 4 și 0,001.

Soluţie. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Răspuns: 0,004.

Deci, găsirea produsului diferitelor fracții nu ar trebui să provoace dificultăți, cu excepția, poate, la calculul rezultatului; În acest caz, pur și simplu nu puteți face fără un calculator.