Transformarea expresiilor fracționale raționale. Expresii complexe cu fracții. Procedură. Aducerea unei fracții la un nou numitor

La școala de tip VIII, elevii se familiarizează cu următoarele transformări ale fracțiilor: exprimarea unei fracții în fracții mai mari (clasa a VI-a), exprimarea unei fracții improprie cu un număr întreg sau mixt (clasa a VI-a), exprimarea fracțiilor în părți egale. (clasa a VII-a), exprimarea unui număr mixt ca fracție improprie (clasa a VII-a).

Exprimarea improprie a fracțiuniisau număr mixt

I Studiul acestui material ar trebui să înceapă cu sarcina: luați 2 cercuri cusute și împărțiți fiecare dintre ele în 4 părți egale, numărați numărul de a patra părți (Fig. 25). În plus, se propune să scrieți această sumă sub formă de fracție (t). Apoi se adaugă a patra părți între ele și elevii sunt convinși că s-a dovedit

primul cerc. Prin urmare, -t= unu . Se adaugă la patru sferturi - succesiv mai multe -t, iar elevii notează: t=1, -7=1 6 2 7 3 8 9

Profesorul atrage atenția elevilor asupra faptului că în toate cazurile luate în considerare au luat o fracție improprie, iar ca urmare a transformării au primit fie un număr întreg, fie un număr mixt, adică au exprimat o fracție improprie ca număr întreg. sau număr mixt. În continuare, trebuie să ne străduim să ne asigurăm că studenții determină în mod independent ce operație aritmetică poate fi efectuată această transformare.Exemple vii care conduc la răspuns

4 . 8 0 5 .1 7 .3 „ L

la întrebare sunt: ​​-2-=! și t = 2, 4" = 1t și t T " YV °D : la

Pentru a exprima o fracție improprie ca număr întreg sau număr mixt, trebuie să împărțiți numărătorul fracției la numitor, să scrieți câtul ca număr întreg, să scrieți restul în numărător și să lăsați numitorul același. Întrucât regula este greoaie, nu este deloc necesar ca elevii să o memoreze. Ei ar trebui să poată spune în mod constant despre acțiunile când efectuează această transformare.

Înainte de a introduce elevii în exprimarea unei fracții improprie printr-un număr întreg sau mixt, este indicat să repetați împreună cu ei împărțirea unui număr întreg la un număr întreg cu rest.

Consolidarea unei noi transformări pentru studenți este facilitată de rezolvarea unor probleme de natură vitală și practică, de exemplu:

„În vază sunt nouă sferturi dintr-o portocală. Skol| Portocalele întregi pot fi adăugate din aceste acțiuni? Câte sferturi vor mai rămâne?"

„Pentru fabricarea capacelor pentru cutii, fiecare coală a cardului

35 este tăiat în 16 părți egale. A primit -^. Câte goluri!

Tăiați foi de carton? Câte șaisprezemi dintr-o tăietură! din bucata urmatoare? etc.

Exprimarea numărului întreg și a numărului mixtfracție improprie

Introducerea studenților în această nouă transformare ar trebui să fie precedată de rezolvarea problemelor, de exemplu:

„2 bucăți de țesătură, de lungime egală, având forma unui pătrat. > se taie in 4 parti egale. Din fiecare astfel de părți a fost cusută câte o batistă. Câte batiste ai luat? Înregistrez: 2= - 1 4^-, 2= -% ]

ai luat vin? Scrieți: au fost 1 * cercuri, a devenit * cercuri, ceea ce înseamnă

Astfel, pe o bază vizuală și practică, luăm în considerare o serie de exemple. În exemplele luate în considerare, elevii sunt rugați să compare numărul inițial (mixt sau întreg) și numărul care a rezultat după conversie (fracție improprie).

Pentru a familiariza elevii cu regula exprimării unui întreg și a unui număr mixt ca fracție improprie, este necesar să le atragă atenția asupra comparației numitorilor unui număr mixt și a unei fracții improprie, precum și asupra modului în care se obține numărătorul, pt. exemplu:

1 2"=?, 1 = 2", plus ^, total ^ 3 ^=?, 3=-^-, plus ^, total

va fi -^-. Ca urmare, se formulează regula: astfel încât un număr mixt

exprimat ca o fracție improprie, trebuie să înmulțiți numitorul cu un număr întreg, să adăugați numărătorul la produs și să scrieți suma ca numărător și să lăsați numitorul neschimbat.

În primul rând, trebuie să-i exersați pe elevi în exprimarea unei unități ca o fracție improprie, apoi a oricărui alt număr întreg cu un numitor și abia apoi un număr mixt:

Proprietatea de bază a fracției 1

[conceptul de imuabilitate a unei fracții în creștere

1 scădere a membrilor săi, adică numărătorul și numitorul, se învață cu mare dificultate de elevii școlii de tip VIII. Acest concept trebuie introdus pe materialul vizual și didactic,

De ce este important ca elevii să nu observe doar activitățile profesorului, ci să lucreze activ cu material didactic și, pe baza observațiilor și activităților practice, să ajungă la anumite concluzii, generalizări.

De exemplu, profesorul ia un nap întreg, îl împarte în 2 răzbunări egale și întreabă: „Ce ai obținut la împărțirea întregului nap.

în jumătate? (2 jumătăți.) Arată * napi. Să tăiem (separam)

jumătate de nap în încă 2 părți egale. Ce vom primi? -y. Hai să scriem:

tt \u003d - m - Să comparăm numărătorii și numitorii acestor fracții. La ce oră

ori a crescut numărătorul? De câte ori a crescut numitorul? De câte ori au crescut atât numărătorul, cât și numitorul? S-a schimbat fracția? De ce nu s-a schimbat? Care au fost acțiunile: mai mari sau mai mici? Numărul a crescut sau a scăzut

Apoi toți elevii împart cercul în 2 părți egale, fiecare jumătate este împărțită în încă 2 părți egale, fiecare sfert este împărțit în continuare în

2 părți egale etc., și notează: „o ^ A ^ tg ^ tgg și t - L- Apoi stabilesc de câte ori au crescut numărătorul și numitorul fracției, dacă fracția s-a schimbat. Apoi trag o segmentați și împărțiți-l succesiv la 3, 6, 12 părți egale și notați:

1 21 4 La compararea fracțiilor -^ și -^, -^ și -^, se constată că

numărătorul și numitorul fracției r crește de același număr de ori, fracția nu se modifică din aceasta.

După ce au luat în considerare o serie de exemple, elevii ar trebui să fie rugați să răspundă la întrebarea: „Se va schimba fracția dacă numărătorul Unele cunoștințe pe tema „Fracțiuni obișnuite” sunt excluse din programa de matematică din școlile corecționale de tip VIII, dar acestea sunt comunicate elevilor din școlile pentru copii cu retard mintal, din orele de nivelare pentru copiii cu dificultăți de învățare la matematică. În acest manual, paragrafele care oferă o metodologie pentru studierea acestui material,

marcate cu un asterisc (*).

și înmulțiți numitorul fracției cu același număr (va crește - de același număr de ori)? În plus, elevii ar trebui să fie rugați să ofere ei înșiși exemple.

Exemple similare sunt date atunci când se consideră reducerea numărătorului și numitorului cu același număr de ori (număratorii și numitorul sunt împărțite la același număr). De exemplu, cr>"

( 4 \ împărțit în 8 părți egale, luați 4 optimi de cerc I -o-]

după ce au mărit acțiunile, iau a patra, vor fi 2. După ce au mărit acțiunile

4 2 1 ia a doua. Va fi 1 : ~ al-lea = -d--%- Compară follower!I

numărătorii și numitorii acestor fracții, răspunzând la întrebările: „În<>de câte ori scade numărătorul și numitorul? Se va schimba fracția?

Un bun beneficiu îl reprezintă dungile, împărțite în 12, 6, 3 părți egale (Fig. 26).

H

12 6 3 Fig. 26

Pe baza exemplelor luate în considerare, elevii pot concluziona că fracția nu se va modifica dacă numărătorul și numitorul fracției sunt împărțite la același număr (redus de același număr de ori). Apoi se dă o concluzie generalizată - proprietatea principală a unei fracții: fracția nu se va schimba dacă numărătorul și numitorul fracției sunt mărite sau micșorate de același număr de ori.

numere zecimale, cum ar fi 0,2; 1,05; 3.017 etc. precum sunt auzite, așa sunt scrise. Punctul zero doi, obținem o fracție. O întreagă cinci sutimi, obținem o fracțiune. Trei șaptesprezece miimi întregi, obținem o fracțiune. Cifrele dinaintea punctului zecimal într-un număr zecimal sunt partea întreagă a fracției. Numărul de după virgulă este numărătorul fracției viitoare. Dacă există un număr cu o cifră după virgulă, numitorul va fi 10, dacă este format din două cifre - 100, trei cifre - 1000 etc. Unele dintre fracțiile rezultate pot fi reduse. În exemplele noastre

Transformarea unei fracții într-un număr zecimal

Acesta este inversul transformării anterioare. Zecimal ce este caracteristic? Numitorul ei este întotdeauna 10, sau 100, sau 1000, sau 10.000 și așa mai departe. Dacă fracția ta obișnuită are un astfel de numitor, nu este nicio problemă. De exemplu, sau

Dacă o fracție, de exemplu . În acest caz, trebuie să utilizați proprietatea de bază a fracției și să convertiți numitorul la 10 sau 100 sau 1000 ... În exemplul nostru, dacă înmulțim numărătorul și numitorul cu 4, obținem o fracție care poate fi scrisă ca număr zecimal 0,12.

Unele fracții sunt mai ușor de împărțit decât de transformat numitorul. De exemplu,

Unele fracții nu pot fi convertite în numere zecimale!
De exemplu,

Transformarea unei fracții mixte într-o fracție improprie

O fracție mixtă, cum ar fi , este ușor convertită într-o fracție improprie. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți partea întreagă cu numitorul (jos) și să o adăugați la numărător (sus), lăsând numitorul (jos) neschimbat. i.e

Când convertiți o fracție mixtă într-una necorespunzătoare, vă puteți aminti că puteți utiliza adăugarea de fracții

Transformarea unei fracții improprie într-una mixtă (evidențiind întreaga parte)

O fracție necorespunzătoare poate fi convertită într-o fracție mixtă prin evidențierea întregii părți. Luați în considerare un exemplu, . Determinați de câte ori întregi „3” se potrivesc în „23”. Sau împărțim 23 la 3 pe calculator, numărul întreg până la virgulă zecimală este cel dorit. Acesta este „7”. În continuare, determinăm numărătorul fracției viitoare: înmulțim „7” rezultat cu numitorul „3” și scădem rezultatul de la numărătorul „23”. Cum am găsi excesul care rămâne de la numărătorul „23”, dacă eliminăm numărul maxim de „3”. Numitorul rămâne neschimbat. Totul este făcut, notează rezultatul

Operația aritmetică care se efectuează ultima la calcularea valorii expresiei este „principală”.

Adică dacă înlocuiți câteva (orice) numere în loc de litere și încercați să calculați valoarea expresiei, atunci dacă ultima acțiune este înmulțirea, atunci avem un produs (expresia este descompusă în factori).

Dacă ultima acțiune este adunarea sau scăderea, aceasta înseamnă că expresia nu este factorizată (și, prin urmare, nu poate fi redusă).

Pentru a rezolva singur, câteva exemple:

Exemple:

Solutii:

1. Sper că nu te-ai grăbit imediat să tai și? Încă nu a fost suficient să „reducem” unități ca aceasta:

Primul pas ar trebui să fie factorizarea:

4. Adunarea și scăderea fracțiilor. Aducerea fracțiilor la un numitor comun.

Adunarea și scăderea fracțiilor obișnuite este o operație binecunoscută: căutăm un numitor comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul care lipsește și adunăm/scădem numărătorii.

Să ne amintim:

Raspunsuri:

1. Numitorii și sunt coprime, adică nu au factori comuni. Prin urmare, LCM a acestor numere este egal cu produsul lor. Acesta va fi numitorul comun:

2. Aici numitorul comun este:

3. Primul lucru aici fractii mixte transforma-le în unele greșite și apoi - conform schemei obișnuite:

Este cu totul altă problemă dacă fracțiile conțin litere, de exemplu:

Să începem simplu:

a) Numitorii nu conțin litere

Aici totul este la fel ca în cazul fracțiilor numerice obișnuite: găsim un numitor comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul care lipsește și adunăm/scădem numărătorii:

acum, la numărător, puteți aduce altele similare, dacă există, și le puteți factoriza:

Incearca-l tu insuti:

Raspunsuri:

b) Numitorii conțin litere

Să ne amintim principiul găsirii unui numitor comun fără litere:

În primul rând, determinăm factorii comuni;

Apoi scriem toți factorii comuni o dată;

și înmulțiți-le cu toți ceilalți factori, nu cu cei comuni.

Pentru a determina factorii comuni ai numitorilor, mai întâi îi descompunem în factori simpli:

Subliniem factorii comuni:

Acum scriem factorii comuni o dată și adăugăm la ei toți factorii necomuni (nu subliniați):

Acesta este numitorul comun.

Să revenim la litere. Numitorii sunt dați exact în același mod:

Descompunem numitorii în factori;

determina multiplicatori comuni (identici);

scrie toți factorii comuni o dată;

Le înmulțim cu toți ceilalți factori, nu cu cei comuni.

Deci, in ordine:

1) descompuneți numitorii în factori:

2) determinați factorii comuni (identici):

3) scrieți toți factorii comuni o dată și înmulțiți-i cu toți ceilalți factori (nesubliniați):

Deci numitorul comun este aici. Prima fracție trebuie înmulțită cu, a doua - cu:

Apropo, există un truc:

De exemplu: .

Vedem aceiași factori în numitori, doar toți cu indicatori diferiți. Numitorul comun va fi:

in masura

in masura

in masura

în grad.

Să complicăm sarcina:

Cum se face ca fracțiile să aibă același numitor?

Să ne amintim proprietatea de bază a unei fracții:

Nicăieri nu se spune că același număr poate fi scăzut (sau adunat) de la numărătorul și numitorul unei fracții. Pentru că nu este adevărat!

Vedeți singur: luați orice fracție, de exemplu, și adăugați un număr la numărător și numitor, de exemplu, . Ce s-a învățat?

Deci, o altă regulă de neclintit:

Când aduci fracții la numitor comun, foloseste doar operatia de inmultire!

Dar ce trebuie să înmulți pentru a obține?

Aici și înmulțiți. Și înmulțiți cu:

Expresiile care nu pot fi factorizate vor fi numite „factori elementari”.

De exemplu, este un factor elementar. - de asemenea. Dar - nu: se descompune în factori.

Ce zici de exprimare? Este elementar?

Nu, deoarece poate fi factorizat:

(ați citit deja despre factorizare în subiectul „”).

Deci, factorii elementari în care descompuneți expresia cu litere este un analog factori primiîn care descompuneți numerele. Și vom face același lucru cu ei.

Vedem că ambii numitori au un factor. Va merge la numitorul comun în putere (rețineți de ce?).

Multiplicatorul este elementar și nu îl au în comun, ceea ce înseamnă că prima fracție va trebui pur și simplu înmulțită cu ea:

Alt exemplu:

Decizie:

Înainte de a înmulți acești numitori într-o panică, trebuie să te gândești cum să-i factorizezi? Ambele reprezintă:

Amenda! Apoi:

Alt exemplu:

Decizie:

Ca de obicei, factorizăm numitorii. În primul numitor, pur și simplu îl punem între paranteze; în al doilea - diferența de pătrate:

S-ar părea că nu există factori comuni. Dar dacă te uiți cu atenție, sunt deja atât de asemănătoare... Și adevărul este:

Deci hai sa scriem:

Adică, s-a dovedit așa: în paranteză, am schimbat termenii și, în același timp, semnul din fața fracției s-a schimbat la opus. Ia notă, va trebui să faci asta des.

Acum aducem la un numitor comun:

Am înţeles? Acum să verificăm.

Sarcini pentru soluție independentă:

Raspunsuri:

Aici trebuie să ne amintim încă un lucru - diferența de cuburi:

Vă rugăm să rețineți că numitorul celei de-a doua fracții nu conține formula „pătratul sumei”! Pătratul sumei ar arăta astfel:

A este așa-numitul pătrat incomplet al sumei: al doilea termen din acesta este produsul dintre primul și ultimul, și nu produsul lor dublat. Pătratul incomplet al sumei este unul dintre factorii de extindere a diferenței de cuburi:

Ce se întâmplă dacă există deja trei fracții?

Da, la fel! În primul rând, ne vom asigura că numărul maxim de factori în numitori este același:

Atenție: dacă schimbați semnele dintr-o paranteză, semnul din fața fracției se schimbă în opus. Când schimbăm semnele din a doua paranteză, semnul din fața fracției este inversat din nou. Drept urmare, el (semnul din fața fracției) nu s-a schimbat.

Scriem primul numitor în întregime în numitorul comun, apoi adăugăm la el toți factorii care nu au fost încă scriși, din al doilea și apoi din al treilea (și așa mai departe, dacă sunt mai multe fracții). Adică merge așa:

Hmm... Cu fracții, este clar ce să faci. Dar ce zici de cei doi?

Este simplu: știi cum să adunăm fracții, nu? Deci, trebuie să vă asigurați că zeul devine o fracțiune! Amintiți-vă: o fracție este o operație de împărțire (numărătorul este împărțit la numitor, în cazul în care ați uitat brusc). Și nu este nimic mai ușor decât împărțirea unui număr la. În acest caz, numărul în sine nu se va schimba, ci se va transforma într-o fracție:

Exact ce este nevoie!

5. Înmulțirea și împărțirea fracțiilor.

Ei bine, partea cea mai grea s-a terminat. Și în fața noastră este cel mai simplu, dar în același timp cel mai important:

Procedură

Care este procedura de calcul a unei expresii numerice? Amintiți-vă, având în vedere valoarea unei astfel de expresii:

ai numarat?

Ar trebui să funcționeze.

Deci, vă reamintesc.

Primul pas este să calculezi gradul.

Al doilea este înmulțirea și împărțirea. Dacă există mai multe înmulțiri și împărțiri în același timp, le puteți face în orice ordine.

Și, în sfârșit, facem adunarea și scăderea. Din nou, în orice ordine.

Dar: expresia dintre paranteze este evaluată în dezordine!

Dacă mai multe paranteze sunt înmulțite sau împărțite între ele, mai întâi evaluăm expresia din fiecare dintre paranteze, apoi le înmulțim sau le împărțim.

Ce se întâmplă dacă există și alte paranteze între paranteze? Ei bine, să ne gândim: o expresie este scrisă între paranteze. Care este primul lucru de făcut atunci când evaluezi o expresie? Așa e, calculează paranteze. Ei bine, ne-am dat seama: mai întâi calculăm parantezele interioare, apoi totul.

Deci, ordinea acțiunilor pentru expresia de mai sus este următoarea (acțiunea curentă este evidențiată cu roșu, adică acțiunea pe care o efectuez chiar acum):

Bine, totul este simplu.

Dar asta nu este același lucru cu o expresie cu litere, nu-i așa?

Nu, este la fel! Numai în loc de operații aritmetice este necesar să se facă operații algebrice, adică operațiile descrise în secțiunea anterioară: aducând similare, adunarea fracțiilor, reducerea fracțiilor și așa mai departe. Singura diferență va fi acțiunea de factorizare a polinoamelor (o folosim adesea când lucrăm cu fracții). Cel mai adesea, pentru factorizare, trebuie să utilizați i sau pur și simplu să scoateți factorul comun din paranteze.

De obicei, scopul nostru este de a reprezenta o expresie ca produs sau coeficient.

De exemplu:

Să simplificăm expresia.

1) Mai întâi simplificăm expresia dintre paranteze. Acolo avem diferența de fracții, iar scopul nostru este să o reprezentăm ca produs sau coeficient. Deci, aducem fracțiile la un numitor comun și adăugăm:

Este imposibil să simplificați mai mult această expresie, toți factorii de aici sunt elementari (mai vă amintiți ce înseamnă asta?).

2) obținem:

Înmulțirea fracțiilor: ce ar putea fi mai ușor.

3) Acum puteți scurta:

Asta e. Nimic complicat, nu?

Alt exemplu:

Simplificați expresia.

Mai întâi, încercați să o rezolvați singur și abia apoi uitați-vă la soluție.

Decizie:

În primul rând, să definim procedura.

Mai întâi, să adăugăm fracțiile dintre paranteze, în loc de două fracții, se va dovedi una.

Apoi vom face împărțirea fracțiilor. Ei bine, adăugăm rezultatul cu ultima fracție.

Voi numerota schematic pașii:

Acum voi arăta întregul proces, colorând acțiunea curentă cu roșu:

1. Daca sunt asemanatoare, acestea trebuie aduse imediat. In orice moment avem altele asemanatoare, este indicat sa le aducem imediat.

2. Același lucru este valabil și pentru fracțiile reducătoare: de îndată ce apare o oportunitate de reducere, aceasta trebuie folosită. Excepție fac fracțiile pe care le adunați sau scădeți: dacă acum au aceiași numitori, atunci reducerea ar trebui lăsată pentru mai târziu.

Iată câteva sarcini pe care le puteți rezolva singur:

Și a promis chiar de la început:

Raspunsuri:

Soluții (pe scurt):

Dacă ați făcut față cel puțin primelor trei exemple, atunci, luați în considerare, ați stăpânit subiectul.

Acum, la învățare!

CONVERSIUNEA EXPRESIILOR. REZUMAT ȘI FORMULA DE BAZĂ

Operatii de simplificare de baza:

• Aducerea asemănătoare: pentru a adăuga (reduce) termeni similari, trebuie să adăugați coeficienții acestora și să atribuiți partea de litere.
• Factorizare: scoaterea din paranteze a factorului comun, aplicarea etc.
• Reducerea fracțiilor: numărătorul și numitorul unei fracții pot fi înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, din care valoarea fracției nu se modifică.
  1) numărător și numitor factorizați
  2) dacă există factori comuni la numărător și numitor, aceștia pot fi tăiați.

  IMPORTANT: numai multiplicatorii pot fi redusi!

• Adunarea și scăderea fracțiilor:
  ;
• Înmulțirea și împărțirea fracțiilor:
  ;

Simplificarea expresiilor algebrice este una dintre cheile învățării algebrei și o abilitate extrem de utilă pentru toți matematicienii. Simplificarea vă permite să reduceți o expresie complexă sau lungă la o expresie simplă cu care este ușor de lucrat. Abilitățile de bază de simplificare sunt bune chiar și pentru cei care nu sunt entuziaști de matematică. Păstrând câteva reguli simple, puteți simplifica multe dintre cele mai comune tipuri de expresii algebrice fără cunoștințe matematice speciale.

Pași

Definiții importante

1. Membri similari . Aceștia sunt membri cu o variabilă de aceeași ordine, membri cu aceleași variabile sau membri liberi (membri care nu conțin o variabilă). Cu alte cuvinte, termeni similari includ o variabilă în aceeași măsură, includ mai multe variabile identice sau nu includ deloc o variabilă. Ordinea termenilor din expresie nu contează.

   • De exemplu, 3x 2 și 4x 2 sunt termeni asemănători deoarece conțin variabila „x” de ordinul doi (în a doua putere). Cu toate acestea, x și x 2 nu sunt membri similari, deoarece conțin variabila „x” de ordine diferite (primul și al doilea). În mod similar, -3yx și 5xz nu sunt membri similari, deoarece conțin variabile diferite.

2. Factorizarea . Aceasta înseamnă găsirea unor astfel de numere, al căror produs duce la numărul inițial. Orice număr original poate avea mai mulți factori. De exemplu, numărul 12 poate fi descompus în următoarea serie de factori: 1 × 12, 2 × 6 și 3 × 4, deci putem spune că numerele 1, 2, 3, 4, 6 și 12 sunt factori ai numărul 12. Factorii sunt la fel ca divizorii , adică numerele cu care numărul inițial este divizibil.

   • De exemplu, dacă doriți să factorizați numărul 20, scrieți-l astfel: 4×5.
   • Rețineți că la factorizare, variabila este luată în considerare. De exemplu, 20x = 4(5x).
   • Numerele prime nu pot fi factorizate, deoarece sunt divizibile doar cu ele însele și cu 1.

3. Amintiți-vă și urmați ordinea operațiunilor pentru a evita greșelile.

   • Paranteze
   • grad
   • Multiplicare
   • Divizia
   • Plus
   • Scădere

   Casting Like Members

   1. Notează expresia. Cele mai simple expresii algebrice (care nu conțin fracții, rădăcini și așa mai departe) pot fi rezolvate (simplificate) în doar câțiva pași.

      • De exemplu, simplificați expresia 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definiți membri similari (membri cu o variabilă de aceeași ordine, membri cu aceleași variabile sau membri liberi).

      • Găsiți termeni similari în această expresie. Termenii 2x și 4x conțin o variabilă de același ordin (primul). De asemenea, 1 și -3 sunt membri liberi (nu conțin o variabilă). Astfel, în această expresie, termenii 2x și 4x sunt similare, iar membrii 1 și -3 sunt de asemenea asemănătoare.

   3. Oferă membri similari. Aceasta înseamnă adăugarea sau scăderea lor și simplificarea expresiei.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Rescrieți expresia ținând cont de membrii dați. Veți obține o expresie simplă cu mai puțini termeni. Noua expresie este egală cu cea originală.

      • În exemplul nostru: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, adică expresia originală este simplificată și mai ușor de lucrat.

   5. Observați ordinea în care sunt efectuate operațiunile atunci când turnați termeni similari.În exemplul nostru, a fost ușor să aducem termeni similari. Cu toate acestea, în cazul expresiilor complexe în care membrii sunt încadrați între paranteze și sunt prezente fracții și rădăcini, nu este atât de ușor să aduceți astfel de termeni. În aceste cazuri, urmați ordinea operațiunilor.

      • De exemplu, luați în considerare expresia 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Aici ar fi o greșeală să definiți imediat 3x și 2x ca termeni similari și să îi citați, deoarece mai întâi trebuie să extindeți parantezele. Prin urmare, efectuați operațiunile în ordinea lor.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Acum, când expresia conține doar operații de adunare și scădere, puteți arunca termeni similari.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Parantezărea multiplicatorului

   1. Găsi cel mai mare divizor comun(GCD) a tuturor coeficienților expresiei. GCD este cel mai mare număr cu care toți coeficienții expresiei sunt divizibili.

      • De exemplu, luați în considerare ecuația 9x 2 + 27x - 3. În acest caz, mcd=3, deoarece orice coeficient al acestei expresii este divizibil cu 3.

   2. Împărțiți fiecare termen al expresiei la mcd. Termenii rezultați vor conține coeficienți mai mici decât în ​​expresia originală.

      • În exemplul nostru, împărțiți fiecare termen de expresie la 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Sa dovedit expresia 3x2 + 9x-1. Nu este egal cu expresia originală.

   3. Scrieți expresia originală ca fiind egală cu produsul mcd înmulțit cu expresia rezultată. Adică, includeți expresia rezultată între paranteze și scoateți GCD-ul dintre paranteze.

      • În exemplul nostru: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Simplificarea expresiilor fracționale prin scoaterea multiplicatorului din paranteze. De ce pur și simplu scoateți multiplicatorul din paranteze, așa cum sa făcut mai devreme? Apoi, pentru a învăța cum să simplificați expresii complexe, cum ar fi expresiile fracționale. În acest caz, scoaterea factorului dintre paranteze poate ajuta la eliminarea fracției (de la numitor).

      • De exemplu, luați în considerare expresia fracțională (9x 2 + 27x - 3)/3. Utilizați paranteze pentru a simplifica această expresie.
        • Factorizați factorul 3 (cum ați făcut înainte): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Rețineți că atât numărătorul, cât și numitorul au acum numărul 3. Acesta poate fi redus și obțineți expresia: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Deoarece orice fracție care are numărul 1 la numitor este doar egală cu numărătorul, expresia fracțională inițială este simplificată la: 3x2 + 9x-1.

   Tehnici suplimentare de simplificare

   1. Simplificarea expresiilor fracționale. După cum sa menționat mai sus, dacă atât numărătorul, cât și numitorul conțin aceiași termeni (sau chiar aceleași expresii), atunci pot fi reduse. Pentru a face acest lucru, trebuie să eliminați factorul comun al numărătorului sau al numitorului sau atât al numărătorului, cât și al numitorului. Sau puteți împărți fiecare termen al numărătorului la numitor și astfel simplificați expresia.

      • De exemplu, luați în considerare expresia fracțională (5x 2 + 10x + 20)/10. Aici, pur și simplu împărțiți fiecare termen al numărătorului la numitorul (10). Dar rețineți că termenul 5x2 nu este nici măcar divizibil cu 10 (pentru că 5 este mai mic decât 10).
        • Deci, scrieți expresia simplificată astfel: ((5x 2)/10) + x + 2 = (1/2)x 2 + x + 2.

   2. Simplificarea expresiilor radicale. Expresiile sub semnul rădăcinii se numesc expresii radicale. Ele pot fi simplificate prin descompunerea lor în factori corespunzători și eliminarea ulterioară a unui factor de sub rădăcină.

      • Luați în considerare un exemplu simplu: √(90). Numărul 90 poate fi descompus în următorii factori: 9 și 10, iar din 9 extrage Rădăcină pătrată(3) și scoateți 3 de sub rădăcină.
        • √(90)
        • √(9×10)
        • √(9)×√(10)
        • 3×√(10)
        • 3√(10)

   3. Simplificarea expresiilor cu puteri.În unele expresii, există operații de înmulțire sau împărțire a termenilor cu grad. În cazul înmulțirii termenilor cu o singură bază, se adună gradele acestora; în cazul împărțirii termenilor cu aceeași bază, se scad gradele acestora.

      • De exemplu, luați în considerare expresia 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). În cazul înmulțirii, se adună exponenții, iar în cazul împărțirii, se scad.
        • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
        • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
        • 48x7+x2
      • Mai jos este o explicație a regulii de înmulțire și împărțire a termenilor cu un grad.
        • Înmulțirea termenilor cu puteri este echivalentă cu înmulțirea termenilor prin ei înșiși. De exemplu, deoarece x 3 = x × x × x și x 5 = x × x × x × x × x, atunci x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), sau x8.
        • În mod similar, împărțirea termenilor cu puteri este echivalentă cu împărțirea termenilor la ei înșiși. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Deoarece termeni similari care sunt atât în ​​numărător, cât și în numitor pot fi reduceți, produsul a doi „x”, sau x 2, rămâne în numărător.

Materialul acestui articol este o privire generală asupra transformării expresiilor care conțin fracții. Aici vom lua în considerare transformările de bază care sunt caracteristice expresiilor cu fracții.

Navigare în pagină.

Expresii fracționale și expresii fracționale

Pentru început, să clarificăm cu ce fel de transformare a expresiei ne vom ocupa.

Titlul articolului conține expresia care se explică de la sine „ expresii cu fracții". Adică, mai jos vom vorbi despre transformarea expresiilor numerice și a expresiilor cu variabile, în înregistrarea cărora se află cel puțin o fracție.

Observăm imediat că, după publicarea articolului „Transformarea fracțiilor: o viziune generală”Nu mai suntem interesați de fracții individuale. Astfel, în continuare vom lua în considerare sumele, diferențele, produsele, expresiile parțiale și mai complexe cu rădăcini, puteri, logaritmi, care sunt unite doar prin prezența a cel puțin unei fracții.

Și să vorbim despre expresii fracționale. Aceasta nu este același lucru cu expresiile cu fracții. Expresii cu fracții - mai multe concept general. Nu orice expresie cu fracții este o expresie fracțională. De exemplu, expresia nu este o expresie fracțională, deși conține o fracție, este o expresie rațională întreagă. Deci nu numiți o expresie cu fracții expresie fracțională fără a fi complet sigur că este.

Transformări identice de bază ale expresiilor cu fracții

Exemplu.

Simplificați expresia .

Decizie.

În acest caz, puteți deschide parantezele, care vor da expresia , care conține termeni similari și , precum și −3 și 3 . După reducerea lor, obținem o fracție.

Să arătăm o scurtă formă de scriere a soluției:

Răspuns:

.

Lucrul cu fracții individuale

Expresiile despre care vorbim transformare diferă de alte expresii în principal prin prezența fracțiilor. Și prezența fracțiilor necesită instrumente pentru a lucra cu ele. În acest paragraf vom discuta despre transformarea fracțiilor individuale incluse în înregistrarea acestei expresii, iar în paragraful următor se va proceda la efectuarea operațiilor cu fracțiile care alcătuiesc expresia inițială.

Cu orice fracție care este o componentă a expresiei originale, puteți efectua oricare dintre transformările indicate în articolul Conversia fracțiilor. Adică, puteți lua o fracție separată, puteți lucra cu numărătorul și numitorul ei, să o reduceți, să o aduceți la un nou numitor etc. Este clar că odată cu această transformare, fracția selectată va fi înlocuită cu o fracție identic egală cu aceasta, iar expresia inițială va fi înlocuită cu o expresie identic egală cu aceasta. Să ne uităm la un exemplu.

Exemplu.

Convertiți expresia cu fracție la o formă mai simplă.

Decizie.

Să începem transformarea lucrând cu o fracție. Mai întâi, deschideți parantezele și dați termeni similari în numărătorul fracției: . Acum se impune punerea în paranteze a factorului comun x în numărător și reducerea ulterioară a fracției algebrice: . Rămâne doar să înlocuim rezultatul obținut în locul unei fracții în expresia originală, care dă .

Răspuns:

.

Efectuarea de acțiuni cu fracții

O parte a procesului de conversie a expresiilor cu fracții este adesea de făcut acțiuni cu fracții. Acestea se desfășoară în conformitate cu procedura acceptată pentru efectuarea acțiunilor. De asemenea, merită să rețineți că orice număr sau expresie poate fi întotdeauna reprezentat ca o fracție cu numitorul 1.

Exemplu.

Simplificați expresia .

Decizie.

Problema poate fi abordată din diferite unghiuri. În contextul subiectului luat în considerare, vom trece prin efectuarea de acțiuni cu fracții. Să începem prin înmulțirea fracțiilor:

Acum scriem produsul ca fracție cu numitorul 1, după care scădem fracțiile:

Dacă se dorește și este necesar, se mai poate scăpa de iraționalitatea din numitor , pe care puteți finaliza transformarea.

Răspuns:

Aplicarea proprietăților rădăcinilor, puterilor, logaritmilor etc.

Clasa de expresii cu fracții este foarte largă. Astfel de expresii, pe lângă fracțiile reale, pot conține rădăcini, grade cu exponenți diferiți, module, logaritmi, funcții trigonometrice etc. Desigur, atunci când sunt convertite, se aplică proprietățile corespunzătoare.

Aplicabil fracțiilor, este de evidențiat proprietatea rădăcinii fracției, proprietatea fracției la grad, proprietatea modulului coeficientului și proprietatea logaritmului diferenței .

Pentru claritate, dăm câteva exemple. De exemplu, în expresia Poate fi util, pe baza proprietăților gradului, să înlocuim prima fracție cu un grad, ceea ce ne permite în continuare să reprezentăm expresia ca un pătrat de diferență. La conversia unei expresii logaritmice este posibil să înlocuim logaritmul unei fracții cu diferența de logaritmi, ceea ce ne permite în continuare să aducem termeni similari și prin urmare să simplificăm expresia: . Conversia expresiilor trigonometrice poate necesita înlocuirea raportului dintre sinus și cosinus al aceluiași unghi cu o tangentă. De asemenea, este posibil să trebuiască să treceți de la jumătatea argumentului folosind formulele adecvate la întregul argument, scăpând astfel de argumentul fracțiunii, de exemplu, .

Aplicarea proprietăților rădăcinilor, gradelor etc. la transformarea expresiilor este tratată mai detaliat în articolele:

• Transformarea expresiilor iraționale folosind proprietățile rădăcinilor,
• Transformarea expresiilor folosind proprietățile puterilor,
• Conversia expresiilor logaritmice folosind proprietățile logaritmilor,
• Conversia expresiilor trigonometrice.