Y 2 3x 4 reprezentați grafic funcția. Construirea de diagrame online. Proprietățile de bază ale unei funcții pătratice

Un grafic al funcției este o reprezentare vizuală a comportamentului unei anumite funcții plan de coordonate. Graficele ajută la înțelegerea diferitelor aspecte ale unei funcții care nu pot fi determinate din funcția în sine. Puteți construi grafice cu mai multe funcții, iar fiecare dintre ele va fi dată printr-o formulă specifică. Graficul oricărei funcții este construit conform unui anumit algoritm (dacă ați uitat procesul exact de trasare a graficului unei anumite funcții).

Pași

Trasarea unei funcții liniare

Determinați dacă funcția este liniară. O funcție liniară este dată de o formulă de formă F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) sau y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(de exemplu, ), iar graficul său este o linie dreaptă. Astfel, formula include o variabilă și o constantă (constantă) fără exponenți, semne de rădăcină și altele asemenea. Având în vedere o funcție de formă similară, trasarea unei astfel de funcție este destul de simplă. Iată și alte exemple de funcții liniare:

Utilizați o constantă pentru a marca un punct pe axa y. Constanta (b) este coordonata „y” a punctului de intersecție al graficului cu axa Y. Adică este un punct a cărui coordonată „x” este 0. Astfel, dacă x = 0 este înlocuit în formula , atunci y = b (constant). În exemplul nostru y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) constanta este 5, adică punctul de intersecție cu axa Y are coordonatele (0,5). Trasează acest punct pe planul de coordonate.

Aflați panta dreptei. Este egal cu multiplicatorul variabilei. În exemplul nostru y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) cu variabila „x” este un factor de 2; astfel, panta este 2. Panta determină unghiul de înclinare al dreptei față de axa X, adică cu cât panta este mai mare, cu atât funcția crește sau scade mai repede.

Scrieți panta sub formă de fracție. Panta este egală cu tangenta unghiului de înclinare, adică raportul dintre distanța verticală (între două puncte pe o linie dreaptă) și distanța orizontală (între aceleași puncte). În exemplul nostru, panta este 2, deci putem spune că distanța verticală este 2 și distanța orizontală este 1. Scrieți aceasta ca o fracție: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Dacă panta este negativă, funcția este descrescătoare.

1. Din punctul în care linia se intersectează cu axa Y, desenați un al doilea punct folosind distanțele verticale și orizontale. Programa funcție liniară poate fi construit din două puncte. În exemplul nostru, punctul de intersecție cu axa Y are coordonatele (0,5); din acest punct mutați 2 spații în sus și apoi 1 spațiu spre dreapta. Marcați un punct; va avea coordonatele (1,7). Acum puteți trage o linie dreaptă.

   Folosește o riglă pentru a trage o linie dreaptă prin două puncte. Pentru a evita greșelile, găsiți al treilea punct, dar în cele mai multe cazuri graficul poate fi construit folosind două puncte. Astfel, ați trasat o funcție liniară.

   Desenarea punctelor pe planul de coordonate

   1. Definiți o funcție. Funcția se notează ca f(x). Toate valorile posibile ale variabilei „y” se numesc domeniul funcției, iar toate valorile posibile ale variabilei „x” sunt numite domeniul funcției. De exemplu, luăm în considerare funcția y = x+2, și anume f(x) = x+2.

      Desenați două drepte perpendiculare care se intersectează. Linia orizontală este axa X. Linia verticală este axa Y.

      Etichetați axele de coordonate.Împărțiți fiecare axă în segmente egale și numerotați-le. Punctul de intersecție al axelor este 0. Pentru axa X: numerele pozitive sunt trasate în dreapta (de la 0), iar numerele negative în stânga. Pentru axa Y: numerele pozitive sunt trasate în partea de sus (de la 0), iar numerele negative în partea de jos.

      Găsiți valorile „y” din valorile „x”.În exemplul nostru f(x) = x+2. Înlocuiți anumite valori „x” în această formulă pentru a calcula valorile „y” corespunzătoare. Dacă i se oferă o funcție complexă, simplificați-o prin izolarea „y” de pe o parte a ecuației.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Desenați puncte pe planul de coordonate. Pentru fiecare pereche de coordonate, procedați în felul următor: găsiți valoarea corespunzătoare pe axa x și trasați o linie verticală (linie punctată); găsiți valoarea corespunzătoare pe axa y și trasați o linie orizontală (linie punctată). Marcați punctul de intersecție al celor două linii punctate; astfel, ați trasat un punct grafic.

      Ștergeți liniile punctate. Faceți acest lucru după ce ați trasat toate punctele graficului pe planul de coordonate. Notă: graficul funcției f(x) = x este o dreaptă care trece prin centrul coordonatelor [punct cu coordonatele (0,0)]; graficul f(x) = x + 2 este o dreaptă paralelă cu dreapta f(x) = x, dar deplasată în sus cu două unități și, prin urmare, trece prin punctul cu coordonatele (0,2) (deoarece constanta este 2) .

   Trasarea unei funcții complexe

   Găsiți zerourile funcției. Zerourile unei funcții sunt valorile variabilei „x” la care y = 0, adică acestea sunt punctele de intersecție ale graficului cu axa x. Rețineți că nu toate funcțiile au zerouri, dar acesta este primul pas în procesul de trasare a oricărei funcții. Pentru a găsi zerourile unei funcții, setați-o egală cu zero. De exemplu:

   Găsiți și etichetați asimptotele orizontale. O asimptotă este o linie pe care graficul unei funcții se apropie, dar nu o traversează niciodată (adică funcția nu este definită în această zonă, de exemplu, la împărțirea la 0). Marcați asimptota cu o linie punctată. Dacă variabila „x” se află la numitorul unei fracții (de exemplu, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), setați numitorul la zero și găsiți „x”. În valorile obținute ale variabilei „x”, funcția nu este definită (în exemplul nostru, trageți linii întrerupte prin x = 2 și x = -2), deoarece nu puteți împărți la 0. Dar asimptotele există nu numai în cazurile în care funcția conține expresie fracționată. Prin urmare, se recomandă utilizarea bunului simț:

Cum se construiește o parabolă? Există mai multe moduri de a reprezenta grafic o funcție pătratică. Fiecare dintre ele are avantajele și dezavantajele sale. Să luăm în considerare două moduri.

Să începem prin a reprezenta o funcție pătratică precum y=x²+bx+c și y= -x²+bx+c.

Exemplu.

Trasează funcția y=x²+2x-3.

Decizie:

y=x²+2x-3 este o funcție pătratică. Graficul este o parabolă cu ramuri în sus. Coordonatele vârfurilor parabolei

Din vârful (-1;-4) construim un grafic al parabolei y=x² (ca de la origine. În loc de (0;0) - vârful (-1;-4). Din (-1;-) 4) mergem la dreapta cu 1 unitate și în sus cu 1, apoi la stânga cu 1 și în sus cu 1, apoi: 2 - dreapta, 4 - sus, 2 - stânga, 4 - sus, 3 - dreapta, 9 - sus, 3 - stânga, 9 - sus, aceste 7 puncte nu sunt suficiente, apoi - 4 la dreapta, 16 - sus etc.).

Graficul funcției pătratice y= -x²+bx+c este o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos. Pentru a construi un grafic, căutăm coordonatele vârfului și din acesta construim o parabolă y= -x².

Exemplu.

Trasează funcția y= -x²+2x+8.

Decizie:

y= -x²+2x+8 este o funcție pătratică. Graficul este o parabolă cu ramurile în jos. Coordonatele vârfurilor parabolei

Din partea de sus construim o parabolă y = -x² (1 - dreapta, 1 - jos; 1 - stânga, 1 - jos; 2 - dreapta, 4 - jos; 2 - stânga, 4 - jos, etc.):

Această metodă vă permite să construiți rapid o parabolă și nu provoacă dificultăți dacă știți să reprezentați graficul funcțiilor y=x² și y= -x². Dezavantaj: dacă coordonatele vârfurilor sunt numere fracționare, complotarea nu este foarte convenabilă. Dacă doriți să aflați valorile exacte ale punctelor de intersecție ale graficului cu axa x, va trebui să rezolvați suplimentar ecuația x² + bx + c = 0 (sau -x² + bx + c = 0), chiar dacă aceste puncte pot fi determinate direct din figură.

O altă modalitate de a construi o parabolă este prin puncte, adică puteți găsi mai multe puncte pe grafic și puteți trasa o parabolă prin ele (ținând cont de faptul că dreapta x=xₒ este axa ei de simetrie). De obicei, pentru aceasta, ei iau vârful parabolei, punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate și 1-2 puncte suplimentare.

Trasează funcția y=x²+5x+4.

Decizie:

y=x²+5x+4 este o funcție pătratică. Graficul este o parabolă cu ramuri în sus. Coordonatele vârfurilor parabolei

adică vârful parabolei este punctul (-2,5; -2,25).

Cauta . În punctul de intersecție cu axa Ox y=0: x²+5x+4=0. Rădăcini ecuație pătratică x1=-1, x2=-4, adică avem două puncte pe grafic (-1; 0) și (-4; 0).

În punctul de intersecție al graficului cu axa Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Am primit un punct (0; 4).

Pentru a rafina graficul, puteți găsi un punct suplimentar. Să luăm x=1, atunci y=1²+5∙1+4=10, adică încă un punct al graficului - (1; 10). Marcam aceste puncte pe planul de coordonate. Ținând cont de simetria parabolei față de dreapta care trece prin vârful ei, mai notăm două puncte: (-5; 6) și (-6; 10) și trasăm o parabolă prin ele:

Trasează funcția y= -x²-3x.

Decizie:

y= -x²-3x este o funcție pătratică. Graficul este o parabolă cu ramurile în jos. Coordonatele vârfurilor parabolei

Vârful (-1,5; 2,25) este primul punct al parabolei.

În punctele de intersecție ale graficului cu axa x y=0, adică rezolvăm ecuația -x²-3x=0. Rădăcinile sale sunt x=0 și x=-3, adică (0; 0) și (-3; 0) sunt încă două puncte de pe grafic. Punctul (o; 0) este și punctul de intersecție al parabolei cu axa y.

La x=1 y=-1²-3∙1=-4, adică (1; -4) este un punct suplimentar pentru trasare.

Construirea unei parabole din puncte este o metodă care consumă mai mult timp în comparație cu prima. Dacă parabola nu intersectează axa Ox, vor fi necesare mai multe puncte suplimentare.

Înainte de a continua construcția graficelor de funcții pătratice de forma y=ax²+bx+c, luați în considerare construcția graficelor de funcții folosind transformări geometrice. Graficele funcțiilor de forma y=x²+c sunt, de asemenea, cel mai convenabil de construit folosind una dintre aceste transformări - translația paralelă.

Rubrica: |

Să ne dăm seama cum să construim un grafic cu modulul.

Să găsim punctele la tranziția cărora semnul modulelor se schimbă.
Fiecare expresie care sub modul este egală cu 0. Avem două dintre ele x-3 și x+3.
x-3=0 și x+3=0
x=3 și x=-3

Linia noastră numerică va fi împărțită în trei intervale (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞). Pe fiecare interval, trebuie să determinați semnul expresiilor submodulului.

1. Acest lucru este foarte ușor de făcut, luați în considerare primul interval (-∞;-3). Să luăm orice valoare din acest segment, de exemplu, -4 și să înlocuim în fiecare sub ecuația modulară în loc de valoarea lui x.
x=-4
x-3=-4-3=-7 și x+3=-4+3=-1

Ambele expresii au semne negative, ceea ce înseamnă că punem un minus înaintea semnului modulului în ecuație, iar în locul semnului modulului punem paranteze și obținem ecuația dorită pe interval (-∞; -3).

y= — (x-3)-( — (x+3))=-x+3+x+3=6

Pe intervalul (-∞;-3) obținem un grafic al unei funcții liniare (linie dreaptă) y \u003d 6

2. Se consideră al doilea interval (-3;3). Să aflăm cum va arăta ecuația graficului pe acest segment. Să luăm orice număr de la -3 la 3, de exemplu, 0. Înlocuiește valoarea lui 0 în loc de x.
x=0
x-3=0-3=-3 și x+3=0+3=3

Prima expresie x-3 are semn negativ, iar a doua expresie x+3 are semn pozitiv. Prin urmare, scriem un semn minus înaintea expresiei x-3 și un semn plus înaintea celei de-a doua expresii.

y= — (x-3)-( + (x+3))=-x+3-x-3=-2x

Pe intervalul (-3; 3) obținem un grafic al unei funcții liniare (linie dreaptă) y \u003d -2x

3. Se consideră al treilea interval (3;+∞). Luăm orice valoare din acest segment, de exemplu 5, și înlocuim în fiecare sub ecuația modulară în loc de valoarea x.

x=5
x-3=5-3=2 și x+3=5+3=8

Pentru ambele expresii, semnele s-au dovedit a fi pozitive, ceea ce înseamnă că punem un plus în fața semnului modulului din ecuație, iar în loc de semnul modulului punem paranteze și obținem ecuația dorită pe interval (3;+). ∞).

y= + (x-3)-( + (x+3))=x-3-x-3=-6

Pe intervalul (3; + ∞), obținem un grafic al unei funcții liniare (linie dreaptă) y \u003d -6

4. Acum să rezumam. Să reprezentăm grafic y=|x-3|-|x+3|.
Pe intervalul (-∞;-3) construim un grafic al unei funcții liniare (linie dreaptă) y \u003d 6.
Pe intervalul (-3; 3) construim un grafic al unei funcții liniare (linie dreaptă) y \u003d -2x.
Pentru a construi un grafic y \u003d -2x, selectăm mai multe puncte.
x=-3 y=-2*(-3)=6 a primit un punct (-3;6)
x=0 y=-2*0=0 a primit un punct (0;0)
x=3 y=-2*(3)=-6 a obținut punctul (3;-6)
Pe intervalul (3; + ∞) construim un grafic al unei funcții liniare (linie dreaptă) y \u003d -6.

5. Acum să analizăm rezultatul și să răspundem la întrebarea sarcinii, să găsim valoarea lui k pentru care linia y=kx o are cu graficul y=|x-3|-|x+3| această funcție are exact un punct comun.

Linia dreaptă y=kx pentru orice valoare a lui k va trece întotdeauna prin punctul (0;0). Prin urmare, putem schimba doar panta acestei drepte y=kx, iar coeficientul k este responsabil pentru panta.

Dacă k este orice număr pozitiv, atunci va exista o intersecție a dreptei y=kx cu graficul y=|x-3|-|x+3|. Această opțiune ni se potrivește.

Dacă k ia valoarea (-2;0), atunci intersecțiile dreptei y=kx cu graficul y=|x-3|-|x+3| vor fi trei.Această opțiune nu ne convine.

Dacă k=-2, va exista o mulțime de soluții [-2;2], deoarece dreapta y=kx va coincide cu graficul y=|x-3|-|x+3| pe acest domeniu. Această opțiune nu ne convine.

Dacă k este mai mic decât -2, atunci linia y=kx cu graficul y=|x-3|-|x+3| va avea o singură intersecție. Această opțiune ni se potrivește.

Dacă k=0, atunci intersecțiile dreptei y=kx cu graficul y=|x-3|-|x+3| va fi și una. Această opțiune ni se potrivește.

Răspuns: cu k aparținând intervalului (-∞;-2)U)