Funcții și grafice. Cum se construiește o parabolă? Ce este o parabolă? Cum se rezolvă ecuațiile pătratice? Construiți funcția y ax2 bx c
Să considerăm o expresie de forma ax 2 + în + c, unde a, b, c sunt numere reale și este diferită de zero. Aceasta este expresie matematică cunoscut sub numele de trinom pătrat.
Amintiți-vă că axa 2 este termenul principal al acestui trinom pătrat și este coeficientul său principal.
Dar trinomul pătrat nu are întotdeauna toți cei trei termeni. Luați de exemplu expresia 3x 2 + 2x, unde a=3, b=2, c=0.
Să trecem la funcţie pătratică y \u003d ax 2 + în + c, unde a, b, c sunt numere arbitrare. Această funcție este pătratică deoarece conține un termen de gradul doi, adică x pătrat.
Este destul de ușor să trasezi o funcție pătratică, de exemplu, poți folosi metoda pătratului complet.
Luați în considerare un exemplu de trasare a unei funcții y egală cu -3x 2 - 6x + 1.
Pentru a face acest lucru, primul lucru de reținut este schema de evidențiere a pătratului complet în trinomul -3x 2 - 6x + 1.
Scoatem -3 din primii doi termeni între paranteze. Avem -3 ori suma lui x pătrat plus 2x și adunăm 1. Adunând și scăzând unitatea din paranteze, obținem formula pentru pătratul sumei, care poate fi restrânsă. Obținem -3 ori suma (x + 1) pătrat minus 1, adunăm 1. Extindem parantezele și adăugând termeni similari, iese expresia: -3 ori pătratul sumei (x + 1) adunăm 4.
Să construim un grafic al funcției rezultate mergând la sistemul de coordonate auxiliar cu originea în punctul cu coordonatele (-1; 4).
În figura din videoclip, acest sistem este indicat prin linii punctate. Legăm funcția y egal cu -3x 2 la sistemul de coordonate construit. Pentru comoditate, luăm puncte de control. De exemplu, (0;0), (1;-3), (-1;-3), (2;-12), (-2;-12). În același timp, le punem deoparte în sistemul de coordonate construit. Parabola obținută în timpul construcției este graficul de care avem nevoie. În figură, aceasta este o parabolă roșie.
Aplicând metoda de selecție a pătratului complet, avem o funcție pătratică de forma: y = a * (x + 1) 2 + m.
Graficul parabolei y \u003d ax 2 + bx + c este ușor de obținut din parabola y \u003d ax 2 prin translație paralelă. Acest lucru este confirmat de o teoremă care poate fi demonstrată luând pătratul complet al binomului. Expresia ax 2 + bx + c după transformări succesive se transformă într-o expresie de forma: a * (x + l) 2 + m. Să desenăm un grafic. Să efectuăm o mișcare paralelă a parabolei y \u003d ax 2, combinând vârful cu punctul cu coordonatele (-l; m). Important este că x = -l, ceea ce înseamnă -b / 2a. Deci această linie este axa parabolei ax 2 + bx + c, vârful său se află în punctul cu abscisa x zero egal cu minus b împărțit la 2a, iar ordonata este calculată prin formula greoaie 4ac - b 2 /. Dar această formulă nu este necesară de memorat. Deoarece, prin substituirea valorii abscisei în funcție, obținem ordonata.
Pentru a determina ecuația axei, direcția ramurilor sale și coordonatele vârfului parabolei, luați în considerare următorul exemplu.
Să luăm funcția y \u003d -3x 2 - 6x + 1. După ce am întocmit ecuația pentru axa parabolei, avem că x \u003d -1. Și această valoare este coordonata x a vârfului parabolei. Rămâne de găsit doar ordonata. Înlocuind valoarea -1 în funcție, obținem 4. Vârful parabolei este în punctul (-1; 4).
Graficul funcției y \u003d -3x 2 - 6x + 1 a fost obținut prin transferul paralel al graficului funcției y \u003d -3x 2, ceea ce înseamnă că se comportă similar. Coeficientul de conducere este negativ, deci ramurile sunt îndreptate în jos.
Vedem că pentru orice funcție de forma y = ax 2 + bx + c, cea mai ușoară întrebare este ultima întrebare, adică direcția ramurilor parabolei. Dacă coeficientul a este pozitiv, atunci ramurile sunt în sus, iar dacă sunt negative, atunci sunt în jos.
Următoarea întrebare cea mai dificilă este prima întrebare, deoarece necesită calcule suplimentare.
Iar cel mai dificil este al doilea, pentru că, pe lângă calcule, este nevoie și de cunoașterea formulelor prin care x este zero și y este zero.
Să diagramăm funcția y \u003d 2x 2 - x + 1.
Determinăm imediat - graficul este o parabolă, ramurile sunt îndreptate în sus, deoarece coeficientul de conducere este 2, iar acesta este un număr pozitiv. Conform formulei, găsim că abscisa x este zero, este egală cu 1,5. Pentru a găsi ordonata, amintiți-vă că zero este egal cu o funcție de 1,5, când calculăm obținem -3,5.
Sus - (1,5; -3,5). Axa - x=1,5. Luați punctele x=0 și x=3. y=1. Rețineți aceste puncte. Pe baza a trei puncte cunoscute, construim graficul necesar.
Pentru a reprezenta graficul funcției ax 2 + bx + c, aveți nevoie de:
Aflați coordonatele vârfului parabolei și marcați-le în figură, apoi desenați axa parabolei;
Pe axa x, luați două puncte care sunt simetrice față de axa parabolei, găsiți valoarea funcției în aceste puncte și marcați-le pe planul de coordonate;
Prin trei puncte, construiți o parabolă, dacă este necesar, puteți mai lua câteva puncte și construiți un grafic pe baza lor.
În exemplul următor, vom învăța cum să găsim cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției -2x 2 + 8x - 5 pe segment.
Conform algoritmului: a \u003d -2, b \u003d 8, atunci x zero este 2 și zero y este 3, (2; 3) este vârful parabolei și x \u003d 2 este axa.
Să luăm valorile x=0 și x=4 și să găsim ordonatele acestor puncte. Acesta este -5. Construim o parabolă și determinăm că cea mai mică valoare a funcției este -5 la x=0, iar cea mai mare este 3 la x=2.
Lecția cu tema „Funcția y=ax^2, graficul și proprietățile sale” este studiată la cursul de algebră clasa a IX-a în sistemul de lecții cu tema „Funcții”. Această lecție necesită o pregătire atentă. Și anume astfel de metode și mijloace de antrenament care vor da rezultate cu adevărat bune.
Autorul acestei lecții video a avut grijă să ajute profesorii în pregătirea lecțiilor pe această temă. A dezvoltat un tutorial video cu toate cerințele în minte. Materialul este selectat în funcție de vârsta elevilor. Nu este supraîncărcat, dar este suficient de încăpător. Autorul descrie materialul în detaliu, insistând pe mai multe Puncte importante. Fiecare punct teoretic este însoțit de un exemplu astfel încât percepția material educațional a fost mult mai eficient și de mai bună calitate.
Lecția poate fi folosită de un profesor într-o lecție obișnuită de algebră din clasa a 9-a ca o etapă specifică a lecției - explicarea materialului nou. Profesorul nu va trebui să spună sau să spună nimic în această perioadă. Este suficient ca el să pornească această lecție video și să se asigure că elevii ascultă cu atenție și notează punctele importante.
Lecția poate fi folosită de școlari în autopregătirea pentru lecție, precum și pentru autoeducație.
Durata lecției este de 8:17 minute. La începutul lecției, autorul observă că una dintre funcțiile importante este funcția pătratică. Apoi se introduce o funcție pătratică din punct de vedere matematic. Definiția lui este dată cu explicații.
Mai mult, autorul introduce elevii în domeniul definirii unei funcții pătratice. Pe ecran apare notația matematică corectă. După aceea, autorul ia în considerare un exemplu de funcție pătratică într-o situație reală: se ia ca bază o problemă fizică, care arată modul în care calea depinde de timp în timpul mișcării accelerate uniform.
După aceea, autorul consideră funcția y=3x^2. Pe ecran apare construcția tabelului de valori ale acestei funcții și a funcției y=x^2. Conform datelor acestor tabele, se construiesc grafice ale funcțiilor. Aici apare o explicație în casetă, cum se obține graficul funcției y=3x^2 din y=x^2.
Având în vedere două cazuri speciale, un exemplu al funcției y=ax^2, autorul ajunge la regula modului în care se obține graficul acestei funcții din graficul y=x^2.
În continuare, considerăm funcția y=ax^2, unde a<0. И, подобно тому, как строились графики функций до этого, автор предлагает построить график функции y=-1/3 x^2. При этом он строит таблицу значений, строит графики функций y=-1/3 x^2 и, замечая при этом закономерность расположения графиков между собой.
Apoi consecințele sunt derivate din proprietăți. Sunt patru. Printre acestea, apare un nou concept - vârfurile unei parabole. Urmează o remarcă, care spune ce transformări sunt posibile pentru graficul acestei funcții. După aceea, se spune cum se obține graficul funcției y=-f(x) din graficul funcției y=f(x), precum și y=af(x) din y=f(x) .
Se încheie astfel lecția care conține materialul educațional. Rămâne să o consolidam prin selectarea sarcinilor adecvate în funcție de abilitățile elevilor.
Sunt date date de referință privind funcția exponențială - proprietăți de bază, grafice și formule. Sunt luate în considerare următoarele aspecte: domeniul definiției, mulțimea de valori, monotonitatea, funcția inversă, derivata, integrala, extinderea seriei de puteri și reprezentarea prin intermediul numerelor complexe.
ConţinutProprietățile funcției exponențiale
Funcția exponențială y = a x are următoarele proprietăți pe mulțimea numerelor reale () :
(1.1)
este definită și continuă, pentru , pentru toți ;
(1.2)
când a ≠ 1
are multe semnificații;
(1.3)
crește strict la , scade strict la ,
este constantă la ;
(1.4)
la ;
la ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Alte formule utile
.
Formula pentru conversia într-o funcție exponențială cu o bază de putere diferită:
Pentru b = e , obținem expresia funcției exponențiale în termeni de exponent:
Valori private
, , , , .
y = a x pentru diferite valori ale bazei a. Figura prezintă grafice ale funcției exponențiale
y (x) = x
pentru patru valori baze de grad:a= 2
, a = 8
, a = 1/2
și a = 1/8
. Se vede că pentru un > 1
funcția exponențială crește monoton. Cu cât baza gradului a este mai mare, cu atât creșterea este mai puternică. La 0
< a < 1
funcția exponențială este monoton în scădere. Cu cât exponentul a este mai mic, cu atât scăderea este mai puternică.
Urcând, coborând
Funcția exponențială la este strict monotonă, deci nu are extreme. Principalele sale proprietăți sunt prezentate în tabel.
| y = a x , a > 1 | y = x, 0 < a < 1 | |
| Domeniu | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Gama de valori | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Monoton | crește monoton | scade monoton |
| Zerouri, y= 0 | Nu | Nu |
| Puncte de intersecție cu axa y, x = 0 | y= 1 | y= 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Funcție inversă
Reciproca unei funcții exponențiale cu o bază de gradul a este logaritmul cu baza a.
Daca atunci
.
Daca atunci
.
Diferențierea funcției exponențiale
Pentru a diferenția o funcție exponențială, baza acesteia trebuie redusă la numărul e, aplicați tabelul derivatelor și regula de diferențiere a unei funcții complexe.
Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați proprietatea logaritmilor
și formula din tabelul derivatelor:
.
Să fie dată o funcție exponențială:
.
O aducem la baza e:
Aplicam regula de diferentiere a unei functii complexe. Pentru a face acest lucru, introducem o variabilă
Apoi
Din tabelul derivatelor avem (înlocuiește variabila x cu z ):
.
Deoarece este o constantă, derivata lui z față de x este
.
Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe:
.
Derivată a funcției exponențiale
.
Derivată de ordinul al n-lea:
.
Derivarea formulelor > > >
Un exemplu de diferențiere a unei funcții exponențiale
Aflați derivata unei funcții
y= 35 x
Decizie
Exprimăm baza funcției exponențiale în termeni de număr e.
3 = e log 3
Apoi
.
Introducem o variabilă
.
Apoi
Din tabelul derivatelor găsim:
.
În măsura în care 5ln 3 este o constantă, atunci derivata lui z față de x este:
.
Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe, avem:
.
Răspuns
Integral
Expresii în termeni de numere complexe
Luați în considerare funcția număr complex z:
f (z) = az
unde z = x + iy ; i 2 = - 1
.
Exprimăm constanta complexă a în termeni de modul r și argumentul φ :
a = r e i φ
Apoi
.
Argumentul φ nu este definit în mod unic. În general
φ = φ 0 + 2 pn,
unde n este un număr întreg. Prin urmare, funcția f (z) este, de asemenea, ambiguu. Adesea considerată importanța sa principală
.
Un profesor rău învață adevărul, un profesor bun învață să-l extragă.
A.Disterweg
Profesor: Netikova Margarita Anatolyevna, profesor de matematică, școala nr. 471 din districtul Vyborgsky din Sankt Petersburg.
Subiectul lecției: „Graficul unei funcțiiy= topor 2 »
Tip de lecție: lecția de învățare.
Ţintă:învață elevii cum să grafice o funcție y= topor 2 .
Sarcini:
Tutoriale: dezvolta capacitatea de a construi o parabolă y= topor 2 și stabiliți un model între graficul funcției y= topor 2
și coeficient A.
În curs de dezvoltare: dezvoltarea abilităților cognitive, gândirea analitică și comparativă, alfabetizarea matematică, capacitatea de a generaliza și de a trage concluzii.
Educatori: educație de interes pentru subiect, acuratețe, responsabilitate, exigență față de sine și față de ceilalți.
Rezultate planificate:
Subiect: să fie capabil să determine direcția ramurilor parabolei prin formula și să o construiască folosind tabelul.
Personal: să își apere punctul de vedere și să lucreze în perechi, în echipă.
Metasubiect: să fie capabil să planifice și să evalueze procesul și rezultatul activităților lor, să proceseze informații.
Tehnologii pedagogice: elemente de învățare bazată pe probleme și avansate.
Echipament: tablă interactivă, computer, fișe.
1. Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice și factorizarea unui trinom pătratic.
2. Reducerea fracțiilor algebrice.
3.Grafic de proprietăți și funcții y= topor 2 , dependența direcției ramurilor parabolei, „expansiunea” și „compresia” acesteia de-a lungul axei ordonatelor pe coeficient A.
Structura lecției.
1. Partea organizatorica.
2. Actualizarea cunoștințelor:
Examinare teme pentru acasă
Lucrare orală după desene gata făcute
3. Munca independentă
4.Explicarea materialului nou
Pregătirea pentru învățarea de materiale noi (crearea unei situații problematice)
Asimilarea primară a noilor cunoștințe
5. Fixare
Aplicarea cunoștințelor și abilităților într-o situație nouă.
6. Rezumând lecția.
7. Tema pentru acasă.
8. Reflecția lecției.
Harta tehnologică a unei lecții de algebră din clasa a 9-a pe tema: „Grafic de funcțiiy=
topor 2
»
| Etapele lecției | Sarcini de scenă | Activitatea profesorului | Activitati elevilor | UUD |
| 1. Partea organizatorica 1 minut | Crearea unei dispoziții de lucru la începutul lecției | Salută studenții le verifică pregătirea pentru lecție, notează cei care lipsesc, scrie data pe tablă. | Pregătindu-te să lucrezi în clasă, salută profesorul | de reglementare: organizarea de activități educaționale. |
| 2.Actualizarea cunoștințelor 4 minute | Verificați temele, repetați și rezumați materialul studiat în lecțiile anterioare și creați condiții pentru finalizarea cu succes a muncii independente. | Colectează caiete de la șase elevi (selectare a câte doi de pe fiecare rând) pentru a verifica temele pentru nota (Anexa 1), apoi lucrează cu clasa activată tablă interactivă (anexa 2). | Șase elevi predau caiete cu temele pentru verificare, apoi răspund la întrebările sondajului frontal (anexa 2). | Cognitiv: aducerea cunoștințelor în sistem. Comunicativ: capacitatea de a asculta opiniile altora. de reglementare: evaluarea rezultatelor activității lor. Personal: evaluarea nivelului de asimilare a materialului. |
| 3. Munca independentă 10 minute | Verificați capacitatea de a factoriza un trinom pătrat, reduceți fracții algebriceși descrie unele proprietăți ale funcțiilor conform graficului acesteia. | Oferă elevilor carduri cu o sarcină diferențiată individuală (Anexa 3). și foi de soluție. | A executa muncă independentă, alegând independent nivelul de dificultate al exercițiilor pe puncte. | Cognitiv: Personal: evaluarea nivelului de asimilare a materialului şi a capacităţilor acestora. |
| 4.Explicarea materialului nou Pregătirea pentru a învăța material nou Asimilarea primară a noilor cunoștințe | Crearea unui mediu favorabil pentru a ieși dintr-o situație problematică, percepția și înțelegerea materialului nou, independent ajungând la concluzia corectă | Deci, știți cum să reprezentați grafic o funcție y= X 2 (diagramele sunt pre-construite pe trei panouri). Numiți principalele proprietăți ale acestei funcții: 3. Coordonatele vârfurilor 5. Intervale de monotonitate Care este coeficientul pentru acest caz? X 2 ? În exemplul trinomului pătrat, ați văzut că acest lucru nu este deloc necesar. Ce semn poate fi? Dă exemple. Cum vor arăta parabolele cu alți coeficienți, trebuie să aflați singur. Cel mai bun mod de a studia ceva este de descoperit singur. D.Poya Ne împărțim în trei echipe (în rânduri), alegem căpitanii care merg la tablă. Sarcina echipelor este scrisă pe trei plăci, începe competiția! Într-un sistem de coordonate, construiți grafice ale funcțiilor 1 echipa: a) y=x 2 b) y= 2x 2 c) y= x 2 2 echipa: a) y \u003d - x 2 b) y \u003d -2x 2 c) y \u003d - x 2 3 echipa: a) y=x 2 b) y=4x 2 c) y=-x 2 Misiune indeplinita! (Anexa 4). Găsiți funcții care au aceleași proprietăți. Căpitanii se consultă cu echipele lor. De ce depinde? Dar în ce mai diferă aceste parabole și de ce? Ce determină „grosimea” parabolei? Ce determină direcția ramurilor unei parabole? Vom numi condiționat programul a) „inițial”. Imaginați-vă o bandă elastică: dacă o întindeți, devine mai subțire. Aceasta înseamnă că graficul b) a fost obținut prin întinderea graficului original de-a lungul axei y. Cum se obține graficul c)? Deci, la X 2 poate fi orice coeficient care afectează configurația parabolei. Iată subiectul lecției noastre: „Graficul funcțieiy= topor 2 » | 1. R 4. Ramuri în sus 5. Se scade cu (- Creste cu )
Articole similare
|