Transformarea expresiilor de acțiune cu fracții. Cum se simplifică expresiile algebrice. Ce este o fracție

Materialul acestui articol este o privire generală asupra transformării expresiilor care conțin fracții. Aici vom lua în considerare transformările de bază care sunt caracteristice expresiilor cu fracții.

Navigare în pagină.

Expresii fracționale și expresii fracționale

Pentru început, să clarificăm cu ce fel de transformare a expresiei ne vom ocupa.

Titlul articolului conține expresia care se explică de la sine „ expresii cu fracții". Adică, mai jos vom vorbi despre transformarea expresiilor numerice și a expresiilor cu variabile, în înregistrarea cărora se află cel puțin o fracție.

Observăm imediat că, după publicarea articolului „Transformarea fracțiilor: o viziune generală”Nu mai suntem interesați de fracții individuale. Astfel, în continuare vom lua în considerare sumele, diferențele, produsele, parțiale și nu numai expresii complexe cu rădăcini, grade, logaritmi, care sunt unite doar prin prezența a cel puțin unei fracții.

Și să vorbim despre expresii fracționale. Aceasta nu este același lucru cu expresiile cu fracții. Expresii cu fracții - mai multe concept general. Nu orice expresie cu fracții este o expresie fracțională. De exemplu, expresia nu este o expresie fracțională, deși conține o fracție, este o expresie rațională întreagă. Deci nu numiți o expresie cu fracții expresie fracțională fără a fi complet sigur că este.

Transformări identice de bază ale expresiilor cu fracții

Exemplu.

Simplificați expresia .

Soluţie.

În acest caz, puteți deschide parantezele, care vor da expresia , care conține termeni similari și , precum și −3 și 3 . După reducerea lor, obținem o fracție.

Să arătăm o scurtă formă de scriere a soluției:

Răspuns:

.

Lucrul cu fracții individuale

Expresiile despre care vorbim transformare diferă de alte expresii în principal prin prezența fracțiilor. Și prezența fracțiilor necesită instrumente pentru a lucra cu ele. În acest paragraf vom discuta despre transformarea fracțiilor individuale incluse în înregistrarea acestei expresii, iar în paragraful următor se va proceda la efectuarea operațiilor cu fracțiile care alcătuiesc expresia inițială.

Cu orice fracție care este o componentă a expresiei originale, puteți efectua oricare dintre transformările indicate în articolul Conversie fracție. Adică, puteți lua o fracție separată, puteți lucra cu numărătorul și numitorul ei, să o reduceți, să o aduceți la un nou numitor etc. Este clar că odată cu această transformare, fracția selectată va fi înlocuită cu o fracție identic egală cu aceasta, iar expresia inițială va fi înlocuită cu o expresie identic egală cu aceasta. Să ne uităm la un exemplu.

Exemplu.

Convertiți expresia cu fracție la o formă mai simplă.

Soluţie.

Să începem transformarea lucrând cu o fracție. Mai întâi, deschideți parantezele și dați termeni similari în numărătorul fracției: . Acum se impune punerea în paranteze a factorului comun x în numărător și reducerea ulterioară a fracției algebrice: . Rămâne doar să înlocuim rezultatul obținut în locul unei fracții în expresia originală, care dă .

Răspuns:

.

Efectuarea de acțiuni cu fracții

O parte a procesului de conversie a expresiilor cu fracții este adesea de făcut acțiuni cu fracții. Acestea se desfășoară în conformitate cu procedura acceptată pentru efectuarea acțiunilor. De asemenea, merită să rețineți că orice număr sau expresie poate fi întotdeauna reprezentat ca o fracție cu numitorul 1.

Exemplu.

Simplificați expresia .

Soluţie.

Problema poate fi abordată din diferite unghiuri. În contextul subiectului luat în considerare, vom trece prin efectuarea de acțiuni cu fracții. Să începem prin înmulțirea fracțiilor:

Acum scriem produsul ca fracție cu numitorul 1, după care scădem fracțiile:

Dacă se dorește și este necesar, se mai poate scăpa de iraționalitatea din numitor , pe care puteți finaliza transformarea.

Răspuns:

Aplicarea proprietăților rădăcinilor, puterilor, logaritmilor etc.

Clasa de expresii cu fracții este foarte largă. Astfel de expresii, pe lângă fracțiile reale, pot conține rădăcini, grade cu exponenți diferiți, module, logaritmi, funcții trigonometrice etc. Desigur, atunci când sunt convertite, se aplică proprietățile corespunzătoare.

Aplicabil fracțiilor, este de evidențiat proprietatea rădăcinii fracției, proprietatea fracției la grad, proprietatea modulului coeficientului și proprietatea logaritmului diferenței .

Pentru claritate, dăm câteva exemple. De exemplu, în expresia Poate fi util, pe baza proprietăților gradului, să înlocuim prima fracție cu un grad, ceea ce ne permite în continuare să reprezentăm expresia ca o diferență la pătrat. La conversia unei expresii logaritmice este posibil să înlocuim logaritmul unei fracții cu diferența de logaritmi, ceea ce ne permite în continuare să aducem termeni similari și prin urmare să simplificăm expresia: . Conversia expresiilor trigonometrice poate necesita înlocuirea raportului dintre sinus și cosinus al aceluiași unghi cu o tangentă. De asemenea, este posibil să trebuiască să treceți de la jumătatea argumentului folosind formulele adecvate la întregul argument, scăpând astfel de argumentul fracțiunii, de exemplu, .

Aplicarea proprietăților rădăcinilor, gradelor etc. la transformarea expresiilor este tratată mai detaliat în articolele:

• Transformarea expresiilor iraționale folosind proprietățile rădăcinilor,
• Transformarea expresiilor folosind proprietățile puterilor,
• Conversia expresiilor logaritmice folosind proprietățile logaritmilor,
• Conversia expresiilor trigonometrice.

Acest material generalizat este cunoscut de la cursul de matematică din școală. Aici luăm în considerare fracțiile unei forme generale cu numere, puteri, rădăcini, logaritmi, funcții trigonometrice sau alte obiecte. Se vor lua în considerare transformările de bază ale fracțiilor, indiferent de tipul lor.

Ce este o fracție?

Definiția 1

Există mai multe definiții.

Definiția 2

Bara oblică orizontală care separă A și B se numește fracție sau linie fracționară.

Definiția 3

Se numește expresia de deasupra barei unei fracții numărător si sub - numitor.

De la fracții obișnuite la fracții generale

Cunoașterea unei fracții are loc în clasa a V-a, când fracțiile obișnuite trec. Din definiție se poate observa că numărătorul și numitorul sunt numere naturale.

Exemplul 1

De exemplu 1 5 , 2 6 , 12 7 , 3 1 , care poate fi scris ca 1 / 5 , 2 / 6 , 12 / 7 , 3 / 1 .

După ce am studiat operațiile cu fracții obișnuite, ne ocupăm de fracții care au mai mult de un numitor numar natural, ci expresii cu numere naturale.

Exemplul 2

De exemplu, 1 + 3 5 , 9 - 5 16 , 2 7 9 12 .

Când avem de-a face cu fracții, unde există litere sau expresii literale, se scrie după cum urmează:

a + b c , a - b c , a c b d .

Definiția 4

Fixați regulile de adunare, scădere, înmulțire a fracțiilor ordinare a c + b c = a + b c , a c - b c = a - b c , a b v d = a c b d

Pentru a calcula, este adesea necesar să ajungem la traducerea numerelor mixte în fracții obișnuite. Când notăm partea întreagă ca a, atunci partea fracțională are forma b / c, obținem o fracție de forma a · c + bc, din care reiese clar apariția unor astfel de fracții 2 · 11 + 3 11 , 5 · 2 + 1 2 și așa mai departe.

Linia unei fracții este privită ca un semn de împărțire. Prin urmare, înregistrarea poate fi convertită într-un alt mod:

1: a - (2 b + 1) \u003d 1 a - 2 b + 1, 5 - 1, 7 3: 2 3 - 4: 2 \u003d 5 - 1, 7 3 2 3 - 4: 2 , unde coeficientul 4: 2 poate fi înlocuit cu o fracție, apoi obținem o expresie a formei

5 - 1 , 7 3 2 3 - 4 2

Calculele cu fracții raționale ocupă un loc special în matematică, deoarece numărătorul și numitorul pot conține nu doar valori numerice, ci și polinoame.

Exemplul 3

De exemplu, 1 x 2 + 1 , x y - 2 y 2 0 , 5 - 2 x + y 3 .

Expresiile raționale sunt considerate ca fracții ale unei forme generale.

Exemplul 4

De exemplu, x x + 1 4 x 2 x 2 - 1 2 x 3 + 3 , 1 + x 2 y (x - 2) 1 x + 3 x 1 + 2 - x 4 x 5 + 6x.

Studiul rădăcinilor, puterilor cu exponenți raționali, logaritmilor, funcțiilor trigonometrice sugerează că aplicarea lor apare în fracții date de forma:

Exemplul 5

anbn , 2 x + x 2 3 x 1 3 - 12 x , 2 x 2 + 3 3 x 2 + 3 , ln (x - 3) ln e 5 , cos 2 α - sin 2 α 1 - 1 cos 2 α .

Fracțiile pot fi combinate, adică au forma x + 1 x 3 log 3 sin 2 x + 3, lg x + 2 lg x 2 - 2 x + 1.

Tipuri de conversii de fracții

Pentru un număr de transformări identice, sunt luate în considerare mai multe tipuri:

Definiția 5

• transformare specifică lucrului cu numărătorul și numitorul;
• schimbarea semnului înaintea unei expresii fracționale;
• reducerea la un numitor comun și reducerea fracțiilor;
• reprezentarea unei fracții ca sumă de polinoame.

Conversia expresiilor în numărător și numitor

Definiția 6

Cu expresii identice egale, avem că fracția rezultată este identic egală cu cea originală.

Dacă este dată o fracție din forma A / B, atunci A și B sunt niște expresii. Apoi, la înlocuire, obținem o fracție de forma A 1 / B 1 . Este necesar să se demonstreze egalitatea A / A 1 = B / B 1 pentru orice valoare a variabilelor care satisfac ODZ.

Avem asta AȘi A 1Și BȘi B1 sunt identic egale, atunci și valorile lor sunt egale. Rezultă că pentru orice valoare A/BȘi A 1 / B 1 fracțiile vor fi egale.

O astfel de conversie simplifică lucrul cu fracții dacă trebuie să convertiți separat numărătorul și numitorul.

Exemplul 6

De exemplu, să luăm o fracție de forma 2 / 18, pe care o transformăm în 2 2 · 3 · 3. Pentru a face acest lucru, descompunem numitorul în factori simpli. Fracția x 2 + x yx 2 + 2 x y + y 2 \u003d x x + y (x + y) 2 are un numărător de forma x 2 + x y, înseamnă că este necesar să se înlocuiască cu x (x + y) , care se va obține prin bracketing factorul comun x . Numitorul unei fracții date x 2 + 2 x y + y 2 colaps prin formula de multiplicare prescurtată. Apoi înțelegem că este identic expresie egală este (x + y) 2 .

Exemplul 7

Dacă este dată o fracție de forma sin 2 3 φ - π + cos 2 3 φ - π φ φ 5 6, atunci pentru a simplifica este necesar să înlocuiți numărătorul cu 1 conform formulei și să aduceți numitorul la forma φ 11 12. Atunci obținem că 1 φ 11 12 este egal cu fracția dată.

Schimbarea semnului în fața unei fracții, în numărătorul, numitorul acesteia

Conversiile fracțiilor sunt, de asemenea, înlocuirea semnelor din fața fracției. Să ne uităm la câteva reguli:

Definiția 7

• la schimbarea semnului numărătorului, obținem o fracție care este egală cu cea dată și arată literalmente ca _ - A - B \u003d A B, unde A și B sunt câteva expresii;
• la schimbarea semnului înaintea fracției și înaintea numărătorului, obținem că - - A B = A B ;
• la înlocuirea semnului în fața fracției și a numitorului acesteia, obținem că - A - B = A B .

Dovada

Semnul minus este în cele mai multe cazuri tratat ca un factor cu semn - 1, iar bara oblică este diviziune. De aici obținem că - A - B = - 1 · A: - 1 · B . Grupând factorii, avem asta

1 A: - 1 B = ((- 1) : (- 1) A: B = = 1 A: B = A: B = A B

După ce demonstrăm prima afirmație, justificăm restul. Primim:

AB = (- 1) (((- 1) A) : B) = (- 1 - 1) A: B = = 1 (A: B) = A: B = AB - A - B = (- 1) (A: - 1 B) = ((- 1) : (- 1)) (A: B) == 1 (A: B) = A: B = AB

Luați în considerare exemple.

Exemplul 8

Când este necesară convertirea fracției 3/7 la forma - 3 - 7, - - 3 7, - 3 - 7, atunci se realizează în mod similar cu o fracție de forma - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x .

Transformările se efectuează după cum urmează:

1) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - (- 1 + x - x 2) - 2 2 3 - ln x 2 + 3 x + sin 2 x 3 x = = 1 - x + x 2 - 2 2 3 + ln (x 2 + 3) x - sin 2 x 3 x 2) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2) + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - (- 1 + x - x 2) 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - 1 - x + x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x 3) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - 1 + x - x 2 - 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - 1 + x - x 2 - 2 2 3 + ln (x 2 + 3) x - sin 2 x 3 x

Aducerea unei fracții la un nou numitor

Când studiem fracțiile obișnuite, am atins proprietatea de bază a fracțiilor, care vă permite să înmulțiți, să împărțiți numărătorul și numitorul cu același număr natural. Acest lucru se poate observa din egalitatea a · m b · m = a b și a: m b: m = a b , unde a , b , m sunt numere naturale.

Această egalitate este valabilă pentru orice valori a , b , m și toate a, cu excepția b ≠ 0 și m ≠ 0 . Adică obținem că dacă numărătorul fracției A/B cu A și C, care sunt niște expresii, este înmulțit sau împărțit cu expresia M, diferită de 0, atunci obținem o fracție care este identic egală cu cea inițială. Se obține că A · M B · M = A B și A: M B: M = A B .

Aceasta arată că transformările se bazează pe 2 transformări: reducerea la un numitor comun, reducerea.

La reducerea la un numitor comun, înmulțirea se realizează cu același număr sau expresie, numărător și numitor. Adică, trecem la rezolvarea fracției identice convertite egale.

Luați în considerare exemple.

Exemplul 9

Dacă luăm fracția x + 1 0, 5 x 3 și înmulțim cu 2, atunci obținem că noul numitor va fi 2 x 0, 5 x 3 = x 3, iar expresia va lua forma 2 x + 1 x 3.

Exemplul 10

Pentru a reduce fracția 1 - x 2 x 2 3 1 + ln x la un alt numitor de forma 6 x 1 + ln x 3, numărătorul și numitorul trebuie înmulțiți cu 3 x 1 3 (1 + ln x) 2. Ca rezultat, obținem fracția 3 x 1 3 1 + ln x 2 1 - x 6 x (1 + ln x) 3

O astfel de transformare precum eliminarea iraționalității din numitor este de asemenea aplicabilă. Elimină prezența unei rădăcini în numitor, ceea ce simplifică procesul de rezolvare.

Reducerea fracțiilor

Proprietatea principală este o transformare, adică reducerea ei directă. Când reducem, obținem o fracție simplificată. Să ne uităm la un exemplu:

Exemplul 11

Sau o fracție de forma x 3 x 3 x 2 (2 x 2 + 1 + 3) x 3 x 3 2 x 2 + 1 + 3 3 + 1 3 x, unde reducerea se face folosind x 3, x 3 , 2 x 2 + 1 + 3 sau o expresie ca x 3 x 3 2 x 2 + 1 + 3 . Apoi obținem fracția x 2 3 + 1 3 x

Reducerea fracțiilor este simplă atunci când factorii comuni sunt imediat vizibili. În practică, acest lucru nu se întâmplă des, prin urmare, este necesar mai întâi să se efectueze unele transformări ale expresiilor de acest fel. Există cazuri când este necesar să se găsească un factor comun.

Dacă există o fracție de forma x 2 2 3 (1 - cos 2 x) 2 sin x 2 cos x 2 2 x 1 3, atunci trebuie să aplicați formule trigonometriceși proprietățile gradelor astfel încât să puteți converti o fracție în forma x 1 3 x 2 1 3 sin 2 x sin 2 x x 1 3 . Aceasta va face posibilă reducerea lui cu x 1 3 · sin 2 x .

Reprezentarea unei fracții ca sumă

Când numărătorul are o sumă algebrică de expresii ca A 1 , A 2 , … , A n, iar numitorul este notat B, atunci această fracție poate fi reprezentată ca A 1 / B , A 2 / B , … , A n / B.

Definiția 8

Pentru a face acest lucru, remediați acest A 1 + A 2 + . . . + A n B = A 1 B + A 2 B + . . . + A n B .

Această transformare este fundamental diferită de adunarea fracțiilor cu aceiași exponenți. Luați în considerare un exemplu.

Exemplul 12

Având în vedere o fracție de forma sin x - 3 x + 1 + 1 x 2, pe care o vom reprezenta ca o sumă algebrică a fracțiilor. Pentru a face acest lucru, imaginați-vă ca sin x x 2 - 3 x + 1 x 2 + 1 x 2 sau sin x - 3 x + 1 x 2 + 1 x 2 sau sin x x 2 + - 3 x + 1 + 1 x 2.

Orice fracție care are forma A / B este reprezentată în orice fel ca o sumă de fracții. Expresia A din numărător poate fi redusă sau mărită cu orice număr sau expresie A 0 care va face posibilă ajungerea la A + A 0 B - A 0 B .

Descompunerea unei fracții în cea mai simplă este un caz special pentru transformarea unei fracții într-o sumă. Cel mai adesea este folosit în calcule complexe pentru integrare.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

La școala de tip VIII, elevii se familiarizează cu următoarele transformări ale fracțiilor: exprimarea unei fracții în fracții mai mari (clasa a VI-a), exprimarea unei fracții improprie cu un număr întreg sau mixt (clasa a VI-a), exprimarea fracțiilor în părți egale. (clasa a VII-a), exprimarea unui număr mixt ca fracție improprie (clasa a VII-a).

Exprimarea unei fracții improprie cu un număr întreg sau mixt

Studiul acestui material ar trebui să înceapă cu sarcina: luați 2 cercuri egale și împărțiți fiecare dintre ele în 4 părți egale, numărați numărul de a patra părți (Fig. 25). În plus, se propune să scrieți această sumă ca o fracție. Apoi a patra acțiuni la-

se întinde unul pe altul și elevii sunt convinși că s-a dovedit un întreg cerc. Prin urmare, la patru sferturi se adaugă-

Xia pornește secvențial și elevii notează:

Profesorul atrage atenția elevilor asupra faptului că în toate cazurile luate în considerare au luat o fracție improprie, iar ca urmare a transformării au primit fie un număr întreg, fie un număr mixt, adică au exprimat o fracție improprie ca număr întreg. sau număr mixt. În continuare, trebuie să ne străduim să ne asigurăm că studenții determină în mod independent ce operație aritmetică poate fi efectuată această transformare. Exemple vii care duc la un răspuns la întrebare sunt: ​​Concluzie: să

Pentru a exprima o fracție improprie ca număr întreg sau mixt, trebuie să împărțiți numărătorul fracției la numitor, să scrieți câtul ca număr întreg, să scrieți restul în numărător și să lăsați numitorul același. Întrucât regula este greoaie, nu este deloc necesar ca elevii să o memoreze. Ei ar trebui să poată spune în mod constant despre acțiunile când efectuează această transformare.

Înainte de a introduce elevii în exprimarea unei fracții improprie printr-un număr întreg sau mixt, este indicat să repetați împreună cu ei împărțirea unui număr întreg la un număr întreg cu rest.

Consolidarea unei noi transformări pentru studenți este facilitată de rezolvarea unor probleme de natură vitală și practică, de exemplu:

„În vază sunt nouă sferturi dintr-o portocală. Câte portocale întregi pot fi adăugate din aceste acțiuni? Câte sferturi au mai rămas?

Exprimarea unui număr întreg și mixt ca o fracție improprie

Introducerea studenților în această nouă transformare ar trebui să fie precedată de rezolvarea problemelor, de exemplu:

„2 bucăți de pânză, de lungime egală, având formă de pătrat, au fost tăiate în 4 părți egale. Din fiecare astfel de părți a fost cusută câte o batistă. Câte batiste ai luat? .

În continuare, profesorul îi invită pe elevi să finalizeze următoarea sarcină: „Luați un cerc întreg și încă o jumătate de cerc egale ca mărime cu primul. Tăiați tot cercul în jumătate. Câte jumătăți ai primit? Scrieți: a fost un cerc, a devenit un cerc.

Astfel, pe o bază vizuală și practică, luăm în considerare o serie de exemple. În exemplele luate în considerare, elevii sunt rugați să compare numărul inițial (mixt sau întreg) și numărul care a rezultat după conversie (fracție improprie).

Pentru a familiariza elevii cu regula exprimării unui întreg și a unui număr mixt ca fracție improprie, este necesar să le atragă atenția asupra comparației numitorilor unui număr mixt și a unei fracții improprie, precum și asupra modului în care se obține numărătorul, pt. exemplu:

va fi 15/4. Ca urmare, se formulează regula: pentru a exprima un număr mixt ca fracție improprie, este necesar să înmulțiți numitorul cu un număr întreg, să adăugați numărătorul la produs și să scrieți suma ca numărător și să lăsați numitorul. neschimbat.

În primul rând, trebuie să-i exersați pe elevi în exprimarea unei unități ca o fracție improprie, apoi orice alt număr întreg cu o indicație a numitorului și abia apoi un număr mixt -

Proprietatea de bază a fracției 1

Conceptul de imuabilitate a unei fracții în timp ce crește sau descrește simultan membrii ei, adică numărătorul și numitorul, este dobândit de elevii școlii de tip VIII cu mare dificultate. Acest concept trebuie introdus pe baza materialului vizual și didactic și este important ca elevii nu numai să observe activitățile profesorului, ci și să lucreze activ cu materialul didactic și pe baza observațiilor și activitati practice a ajuns la anumite concluzii, generalizări.

De exemplu, profesorul ia un nap întreg, îl împarte în 2 părți egale și întreabă: „Ce ai obținut împărțind tot napul în jumătate? (2 jumătăți.) Arătați napii. Tăiați (împarte) jumătate din nap în încă 2 părți egale. Ce vom primi? Scrieți: Comparați numărătorii și numitorii acestor fracții. La ce oră

ori a crescut numărătorul? De câte ori a crescut numitorul? De câte ori au crescut atât numărătorul, cât și numitorul? S-a schimbat fracția? De ce nu s-a schimbat? Care au fost acțiunile: mai mari sau mai mici? Numărul de acțiuni a crescut sau a scăzut?

Apoi toți elevii împart cercul în 2 părți egale, împart fiecare jumătate în 2 părți mai egale, fiecare sfert în 2 părți mai egale etc. și notează: etc. Apoi

stabiliți de câte ori au crescut numărătorul și numitorul fracției, dacă fracția s-a schimbat. Apoi desenează un segment și îl împart secvențial în 3, 6, 12 părți egale și notează:

La compararea fracțiilor se pare că

numărătorul și numitorul unei fracții cresc de același număr de ori, fracția nu se schimbă de la aceasta.

După ce au luat în considerare o serie de exemple, elevii ar trebui să fie invitați să răspundă la întrebarea: „Se va schimba fracția dacă numărătorul

Unele cunoștințe pe tema „Fracțiuni ordinare” sunt excluse curricula la matematică în școlile corecționale de tip VIII, dar sunt comunicate elevilor din școlile pentru copii cu retard mintal, în orele de aliniere pentru copiii cu dificultăți în învățarea matematicii. În acest manual, paragrafele care oferă o metodologie pentru studierea acestui material sunt marcate cu un asterisc (*).

și înmulțiți numitorul fracției cu același număr (creșteți de același număr de ori)? În plus, elevii ar trebui să fie rugați să ofere ei înșiși exemple.

Exemple similare sunt date atunci când se consideră reducerea numărătorului și numitorului cu același număr de ori (numărătorul și numitorul sunt împărțite la același număr). De exemplu, un cerc este împărțit în 8 părți egale, luați 4 optimi dintr-un cerc,

după ce au mărit acțiunile, o iau pe a patra, vor fi 2. După ce au mărit acțiunile, o iau pe a doua. Ele vor fi comparate secvenţial

numărătorii și numitorii acestor fracții, răspunzând la întrebările: „De câte ori scade numărătorul și numitorul? Se va schimba fracția?*.

Un bun beneficiu îl reprezintă dungile, împărțite în 12, 6, 3 părți egale (Fig. 26).

Pe baza exemplelor luate în considerare, elevii pot concluziona că fracția nu se va modifica dacă numărătorul și numitorul fracției sunt împărțite la același număr (reduceți cu același număr de ori). Apoi se dă o concluzie generalizată - proprietatea principală a unei fracții: fracția nu se va schimba dacă numărătorul și numitorul fracției sunt mărite sau micșorate de același număr de ori.

Reducerea fracțiilor

Mai întâi este necesar să pregătim elevii pentru această conversie a fracțiilor. După cum știți, a reduce o fracție înseamnă a împărți numărătorul și numitorul unei fracții la același număr. Dar divizorul trebuie să fie un număr care oferă o fracție ireductibilă în răspuns.

Cu o lună și jumătate înainte ca elevii să se familiarizeze cu reducerea fracțiilor, se efectuează lucrări pregătitoare - se propune să se numească două răspunsuri din tabla înmulțirii, care sunt împărțite la același număr. De exemplu: „Numiți două numere care sunt divizibile cu 4”. (În primul rând, elevii se uită la 1 în tabel și apoi numesc aceste numere din memorie.) Ei numesc atât numerele, cât și rezultatele împărțirii lor la 4. Apoi profesorul oferă elevilor pentru fracții, 3

de exemplu, alegeți un divizor - pentru numărător și numitor (baza pentru efectuarea unei astfel de acțiuni este tabla înmulțirii).

la ce masa ar trebui sa ma uit? Cu ce ​​număr pot fi împărțiți 5 și 15?) Se pare că la împărțirea numărătorului și numitorului unei fracții la același număr, valoarea fracției nu s-a schimbat (acest lucru poate fi afișat pe o bandă, segment, cerc) , doar că au devenit mai mari decât fracția: Vederea fracțiunii a devenit mai simplă. Elevii sunt conduși la încheierea regulii de reducere a fracțiilor.

Este adesea dificil pentru elevii școlii de tip VIII să găsească cel mai mare număr cu care atât numărătorul, cât și numitorul unei fracții sunt divizibili. Prin urmare, sunt adesea observate erori de această natură, cum ar fi 4/12 = 2/6, adică elevul nu a găsit cea mai mare comună

divizor pentru numerele 4 și 12. Prin urmare, la început, puteți permite împărțirea treptată, adică, dar în același timp întrebați în ce număr au fost împărțiți mai întâi numărătorul și numitorul fracției, ce număr și apoi ce număr ar putea imediat împărțiți fracțiile numărător și numitor. Astfel de întrebări îi ajută pe elevi să găsească treptat cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului unei fracții.

Casting fracții la cel mai mic numitor comun*

Reducerea fracțiilor la cel mai mic numitor comun ar trebui considerată nu ca un scop în sine, ci ca o transformare necesară pentru compararea fracțiilor și apoi pentru efectuarea adunării și scăderii fracțiilor cu numitori diferiți.

Elevii sunt deja familiarizați cu compararea fracțiilor cu același numărător, dar numitori diferiți și a celor cu același numitor, dar numărătoare diferiți. Cu toate acestea, ei încă nu știu cum să compare fracții cu numărători diferiți și numitori diferiți.

Înainte de a explica studenților semnificația unei noi transformări, este necesar să repetați materialul acoperit completând, de exemplu, următoarele sarcini:

Comparați fracțiile 2/5.2/7.2/3 Spuneți regula pentru compararea fracțiilor cu

aceiași numărători.

Compara fracții Spune regula pentru compararea fracțiilor

cu aceiași numitori.

Compararea fracțiilor Aceste fracții sunt dificil de comparat de către elevi

deoarece au numărători diferiți și numitori diferiți. Pentru a compara aceste fracții, trebuie să egalați numărătorii sau numitorii acestor fracții. De obicei, numitorii sunt exprimați în părți egale, adică fracțiile sunt reduse la cel mai mic numitor comun.

Elevii trebuie să fie introduși în modul de exprimare a fracțiilor în părți egale.

În primul rând, sunt luate în considerare fracțiile cu numitori diferiți, dar cele în care numitorul unei fracții este divizibil fără rest cu numitorul altei fracții și, prin urmare, pot fi și numitorul unei alte fracții.

De exemplu, în fracții, numitorii sunt numerele 8 și 2.

Pentru a exprima aceste fracții în părți egale, profesorul sugerează să înmulțiți succesiv numitorul mai mic cu numerele 2, 3, 4 etc., și faceți acest lucru până când se obține un rezultat egal cu numitorul primei fracții. De exemplu, înmulțim 2 cu 2, obținem 4. Din nou, numitorii celor două fracții sunt diferiți. În plus, înmulțim 2 cu 3, obținem 6. Nici numărul 6 nu se potrivește. Înmulțim 2 cu 4, obținem 8. În acest caz, numitorii au devenit la fel. Pentru ca fracția să nu se modifice, este necesar să înmulțiți numărătorul fracției cu 4 (pe baza proprietății principale a fracției). Obține fracția Acum fracțiile sunt exprimate în părți egale. Lor

ușor de comparat și de efectuat acțiuni cu ei.

Puteți găsi numărul cu care să înmulțiți numitorul mai mic al uneia dintre fracții împărțind numitorul mai mare la cel mai mic. De exemplu, dacă 8 este împărțit la 2, atunci obținem numărul 4. Trebuie să înmulțiți atât numitorul, cât și numărătorul fracției cu acest număr. Aceasta înseamnă că pentru a exprima mai multe fracții în părți egale, trebuie să împărțiți numitorul mai mare la cel mai mic, să înmulțiți câtul cu numitorul și numărătorul fracției cu numitori mai mici. De exemplu, fracții date Pentru a aduce aceste fracții

la cel mai mic numitor comun, aveți nevoie de 12:6=2, 2x6=12, 306

2x1=2. Fracția va lua forma . Apoi 12:3=4, 4x3=12, 4x2=8. Fracția va lua forma Prin urmare, fracțiile vor lua forma, respectiv, adică vor fi exprimate

nym în proporții egale.

Sunt efectuate exerciții care vă permit să vă formați capacitatea de a reduce fracțiile la un numitor comun cel mai mic.

De exemplu, este necesar să se exprimi în părți egale o fracție

Pentru ca elevii să nu uite câtul care se obține din împărțirea unui numitor mai mare la unul mai mic, este indicat.

scrieți peste o fracție cu un numitor mai mic. De exemplu, și

Atunci luăm în considerare fracțiile în care numitorul mai mare nu este divizibil cu cel mai mic și, prin urmare, nu este

comune acestor fracţii. De exemplu, Numitorul 8 nu este

este divizibil cu 6. În acest caz, numitorul mai mare 8 va fi înmulțit succesiv cu numerele seriei de numere, începând de la 2, până când obținem un număr care este divizibil fără rest la ambii numitori 8 și 6. Pentru fracțiile să rămână egale cu datele, numărătorii trebuie respectiv să se înmulțească cu aceleași numere. Pe-

3 5 exemplu, astfel încât fracțiile r și * sunt exprimate în părți egale,

numitorul mai mare 8 se înmulțește cu 2(8x2=16). 16 nu este divizibil cu 6, deci 8 se înmulțește cu următorul număr 3(8x3=24). 24 este divizibil cu 6 și 8, deci 24 este numitorul comun pentru aceste fracții. Dar pentru ca fracțiile să rămână egale, numărătorii lor trebuie măriți de același număr de ori cu cât au fost măriți numitorii, 8 măriți de 3 ori, ceea ce înseamnă că numărătorul acestei fracții 3 va crește de 3 ori.

Fracția va lua forma Numitorul 6 mărit de 4 ori. În consecință, numărătorul celei de-a 5-a fracții trebuie mărit de 4 ori. Fracțiile vor lua forma

Astfel, aducem elevii la concluzie generală(regula) și introduceți-le în algoritmul de exprimare a fracțiilor în părți egale. De exemplu, date două fracții ¾ și 5/7

1. Aflați cel mai mic numitor comun: 7x2=14, 7x3=21,
7x4=28. 28 este divizibil cu 4 și 7. 28 este cel mai puțin comun banner
deţinător de fracţii

2. Găsiți multiplicatori suplimentari: 28:4=7,

3. Să le scriem peste fracții:

4. Înmulțim numărătorii fracțiilor cu factori suplimentari:
3x7=21, 5x4=20.

Obținem fracții cu aceiași numitori. Deci,

am redus fracțiile la cel mai mic numitor comun.

Experiența arată că este recomandabil să se familiarizeze elevii cu conversia fracțiilor înainte de a studia diferite operații aritmetice cu fracții. De exemplu, reducerea fracțiilor sau înlocuirea unei fracții improprie cu un număr întreg sau mixt este indicat să se dea înainte de a studia adunarea și scăderea fracțiilor cu aceiași numitori, deoarece în suma sau diferența rezultată

Va trebui să faceți una sau ambele transformări.

Reducerea unei fracții la cel mai mic numitor comun este studiată cel mai bine cu elevii înaintea subiectului „Adunarea și scăderea fracțiilor cu diferiți numitori” și înlocuirea unui număr mixt cu o fracție improprie - înaintea subiectului „Înmulțirea și împărțirea fracțiilor cu un număr întreg” .

Adunarea și scăderea fracțiilor ordinare

1. Adunarea și scăderea fracțiilor cu aceiași numitori.

Un studiu realizat de Alysheva T.V. 1, indică oportunitatea, la studierea acțiunilor de adunare și scădere a fracțiilor obișnuite cu aceiași numitori, de a folosi analogia cu adunarea și scăderea deja cunoscută elevilor.

numerele obținute ca urmare a măsurării cantităților și să studieze acțiunile prin metoda deductivă, adică „de la general la particular”.

În primul rând, se repetă adunarea și scăderea numerelor cu numele măsurilor de valoare și lungime. De exemplu, 8 p. 20 k. ± 4 p. 15 k. Când efectuați adunarea și scăderea orală, trebuie să adăugați (scădeți) mai întâi ruble, apoi copeici.

3 m 45 cm ± 2 m 24 cm - mai întâi adăugați (scădeți) metri, apoi centimetri.

Când adăugați și scădeți fracții, luați în considerare general caz: efectuarea acestor acțiuni cu numere mixte (numitorii sunt aceiași): În acest caz, este necesar: „Adăugați (scădeți) numere întregi, apoi numărători, iar numitorul rămâne același”. Acest regula generala se aplică tuturor cazurilor de adunare și scădere de fracții. Se introduc treptat cazuri particulare: adăugarea unui număr mixt cu o fracție, apoi a unui număr mixt cu un întreg. După aceea, sunt luate în considerare cazuri mai dificile de scădere: 1) dintr-un număr mixt al unei fracții: 2) dintr-un număr mixt al unui întreg:

După stăpânirea acestor cazuri destul de simple de scădere, elevii se familiarizează cu cazuri mai dificile când este necesară o reducere: scăderea dintr-o unitate întreagă sau din mai multe unități, de exemplu:

În primul caz, unitatea trebuie reprezentată ca o fracție cu numitorul egal cu numitorul subtraendului. În cel de-al doilea caz, luăm o unitate dintr-un număr întreg și o scriem, de asemenea, ca o fracție improprie cu un numitor subtraend, obținem un număr mixt într-un număr redus. Scăderea se efectuează conform regulii generale.

În cele din urmă, este considerat cel mai dificil caz de scădere: dintr-un număr mixt, iar numărătorul părții fracționale este mai mic decât numărătorul din subtraend. În acest caz, minuend trebuie schimbat, astfel încât regula generală să poată fi aplicată, adică în minuend, luați o unitate din întreg și împărțiți.

în cincimi, obținem, da, obținem un exemplu

va lua următoarea formă: este deja posibil să se aplice la soluția sa

regula generala.

Utilizarea metodei deductive de predare a adunării și scăderii fracțiilor va contribui la dezvoltarea capacității elevilor de a generaliza, compara, diferenția, include cazuri individuale de calcule în sistemul general de cunoștințe despre acțiuni cu fracții.

Operația aritmetică care se efectuează ultima la calcularea valorii expresiei este „principală”.

Adică dacă înlocuiți câteva (orice) numere în loc de litere și încercați să calculați valoarea expresiei, atunci dacă ultima acțiune este înmulțirea, atunci avem un produs (expresia este descompusă în factori).

Dacă ultima acțiune este adunarea sau scăderea, aceasta înseamnă că expresia nu este factorizată (și, prin urmare, nu poate fi redusă).

Pentru a rezolva singur, câteva exemple:

Exemple:

Solutii:

1. Sper că nu te-ai grăbit imediat să tai și? Încă nu a fost suficient să „reducem” unități ca aceasta:

Primul pas ar trebui să fie factorizarea:

4. Adunarea și scăderea fracțiilor. Aducerea fracțiilor la un numitor comun.

Adunarea și scăderea fracțiilor obișnuite este o operație binecunoscută: căutăm un numitor comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul care lipsește și adunăm/scădem numărătorii.

Să ne amintim:

Raspunsuri:

1. Numitorii și sunt coprime, adică nu au factori comuni. Prin urmare, LCM a acestor numere este egal cu produsul lor. Acesta va fi numitorul comun:

2. Aici numitorul comun este:

3. Primul lucru aici fractii mixte transforma-le în unele greșite și apoi - conform schemei obișnuite:

Este cu totul altă problemă dacă fracțiile conțin litere, de exemplu:

Să începem simplu:

a) Numitorii nu conțin litere

Aici totul este la fel ca în cazul fracțiilor numerice obișnuite: găsim un numitor comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul care lipsește și adunăm/scădem numărătorii:

acum, la numărător, puteți aduce altele similare, dacă există, și le puteți factoriza:

Incearca-l tu insuti:

Raspunsuri:

b) Numitorii conțin litere

Să ne amintim principiul găsirii unui numitor comun fără litere:

În primul rând, determinăm factorii comuni;

Apoi scriem toți factorii comuni o dată;

și înmulțiți-le cu toți ceilalți factori, nu cu cei comuni.

Pentru a determina factorii comuni ai numitorilor, mai întâi îi descompunem în factori simpli:

Subliniem factorii comuni:

Acum scriem factorii comuni o dată și adăugăm la ei toți factorii necomuni (nu subliniați):

Acesta este numitorul comun.

Să revenim la scrisori. Numitorii sunt dați exact în același mod:

Descompunem numitorii în factori;

determina multiplicatori comuni (identici);

scrie toți factorii comuni o dată;

Le înmulțim cu toți ceilalți factori, nu cu cei comuni.

Deci, in ordine:

1) descompuneți numitorii în factori:

2) determinați factorii comuni (identici):

3) scrieți toți factorii comuni o dată și înmulțiți-i cu toți ceilalți factori (nesubliniați):

Deci numitorul comun este aici. Prima fracție trebuie înmulțită cu, a doua - cu:

Apropo, există un truc:

De exemplu: .

Vedem aceiași factori în numitori, doar toți cu indicatori diferiți. Numitorul comun va fi:

in masura

in masura

in masura

în grad.

Să complicăm sarcina:

Cum se face ca fracțiile să aibă același numitor?

Să ne amintim proprietatea de bază a unei fracții:

Nicăieri nu se spune că același număr poate fi scăzut (sau adunat) de la numărătorul și numitorul unei fracții. Pentru că nu este adevărat!

Vedeți singur: luați orice fracție, de exemplu, și adăugați un număr la numărător și numitor, de exemplu, . Ce s-a învățat?

Deci, o altă regulă de neclintit:

Când aduceți fracții la un numitor comun, folosiți numai operația de înmulțire!

Dar ce trebuie să înmulți pentru a obține?

Aici și înmulțiți. Și înmulțiți cu:

Expresiile care nu pot fi factorizate vor fi numite „factori elementari”.

De exemplu, este un factor elementar. - de asemenea. Dar - nu: este descompus în factori.

Ce zici de exprimare? Este elementar?

Nu, deoarece poate fi factorizat:

(ați citit deja despre factorizare în subiectul „”).

Deci, factorii elementari în care descompuneți expresia cu litere este un analog factori primiîn care descompuneți numerele. Și vom face același lucru cu ei.

Vedem că ambii numitori au un factor. Va merge la numitorul comun în putere (rețineți de ce?).

Multiplicatorul este elementar și nu îl au în comun, ceea ce înseamnă că prima fracție va trebui pur și simplu înmulțită cu ea:

Alt exemplu:

Soluţie:

Înainte de a înmulți acești numitori într-o panică, trebuie să te gândești cum să-i factorizezi? Ambele reprezintă:

Amenda! Apoi:

Alt exemplu:

Soluţie:

Ca de obicei, factorizăm numitorii. În primul numitor, pur și simplu îl punem între paranteze; în al doilea - diferența de pătrate:

S-ar părea că nu există factori comuni. Dar dacă te uiți cu atenție, sunt deja atât de asemănătoare... Și adevărul este:

Deci hai sa scriem:

Adică, s-a dovedit așa: în paranteză, am schimbat termenii și, în același timp, semnul din fața fracției s-a schimbat la opus. Ia notă, va trebui să faci asta des.

Acum aducem la un numitor comun:

Am înțeles? Acum să verificăm.

Sarcini pentru soluție independentă:

Raspunsuri:

Aici trebuie să ne amintim încă un lucru - diferența de cuburi:

Vă rugăm să rețineți că numitorul celei de-a doua fracții nu conține formula „pătratul sumei”! Pătratul sumei ar arăta astfel:

A este așa-numitul pătrat incomplet al sumei: al doilea termen din acesta este produsul dintre primul și ultimul, și nu produsul lor dublat. Pătratul incomplet al sumei este unul dintre factorii de extindere a diferenței de cuburi:

Ce se întâmplă dacă există deja trei fracții?

Da, la fel! În primul rând, ne vom asigura că numărul maxim de factori în numitori este același:

Atenție: dacă schimbați semnele dintr-o paranteză, semnul din fața fracției se schimbă în opus. Când schimbăm semnele din a doua paranteză, semnul din fața fracției este inversat din nou. Drept urmare, el (semnul din fața fracției) nu s-a schimbat.

Scriem primul numitor în întregime în numitorul comun, apoi adăugăm la el toți factorii care nu au fost încă scriși, din al doilea și apoi din al treilea (și așa mai departe, dacă sunt mai multe fracții). Adică merge așa:

Hmm... Cu fracții, este clar ce să faci. Dar ce zici de cei doi?

Este simplu: știi cum să adunăm fracții, nu? Deci, trebuie să vă asigurați că zeul devine o fracțiune! Amintiți-vă: o fracție este o operație de împărțire (numărătorul este împărțit la numitor, în cazul în care ați uitat brusc). Și nu este nimic mai ușor decât împărțirea unui număr la. În acest caz, numărul în sine nu se va schimba, ci se va transforma într-o fracție:

Exact ce este nevoie!

5. Înmulțirea și împărțirea fracțiilor.

Ei bine, partea cea mai grea s-a terminat. Și în fața noastră este cel mai simplu, dar în același timp cel mai important:

Procedură

Care este procedura de calcul a unei expresii numerice? Amintiți-vă, având în vedere valoarea unei astfel de expresii:

ai numarat?

Ar trebui să funcționeze.

Deci, vă reamintesc.

Primul pas este să calculezi gradul.

Al doilea este înmulțirea și împărțirea. Dacă există mai multe înmulțiri și împărțiri în același timp, le puteți face în orice ordine.

Și, în sfârșit, facem adunarea și scăderea. Din nou, în orice ordine.

Dar: expresia dintre paranteze este evaluată în dezordine!

Dacă mai multe paranteze sunt înmulțite sau împărțite între ele, mai întâi evaluăm expresia din fiecare dintre paranteze, apoi le înmulțim sau le împărțim.

Ce se întâmplă dacă există și alte paranteze între paranteze? Ei bine, să ne gândim: o expresie este scrisă între paranteze. Care este primul lucru de făcut atunci când evaluezi o expresie? Așa e, calculează paranteze. Ei bine, ne-am dat seama: mai întâi calculăm parantezele interioare, apoi totul.

Deci, ordinea acțiunilor pentru expresia de mai sus este următoarea (acțiunea curentă este evidențiată cu roșu, adică acțiunea pe care o efectuez chiar acum):

Bine, totul este simplu.

Dar asta nu este același lucru cu o expresie cu litere, nu-i așa?

Nu, e la fel! Numai în loc de operații aritmetice este necesar să se facă operații algebrice, adică operațiile descrise în secțiunea anterioară: aducând similare, adunarea fracțiilor, reducerea fracțiilor și așa mai departe. Singura diferență va fi acțiunea de factorizare a polinoamelor (o folosim adesea când lucrăm cu fracții). Cel mai adesea, pentru factorizare, trebuie să utilizați i sau pur și simplu să scoateți factorul comun din paranteze.

De obicei, scopul nostru este de a reprezenta o expresie ca produs sau coeficient.

De exemplu:

Să simplificăm expresia.

1) Mai întâi simplificăm expresia dintre paranteze. Acolo avem diferența de fracții, iar scopul nostru este să o reprezentăm ca produs sau coeficient. Deci, aducem fracțiile la un numitor comun și adăugăm:

Este imposibil să simplificați mai mult această expresie, toți factorii de aici sunt elementari (mai vă amintiți ce înseamnă asta?).

2) obținem:

Înmulțirea fracțiilor: ce ar putea fi mai ușor.

3) Acum puteți scurta:

Ei bine, asta-i tot. Nimic complicat, nu?

Alt exemplu:

Simplificați expresia.

Mai întâi, încercați să o rezolvați singur și abia apoi uitați-vă la soluție.

Soluţie:

În primul rând, să definim procedura.

Mai întâi, să adăugăm fracțiile dintre paranteze, în loc de două fracții, se va dovedi una.

Apoi vom face împărțirea fracțiilor. Ei bine, adăugăm rezultatul cu ultima fracție.

Voi numerota schematic pașii:

Acum voi arăta întregul proces, colorând acțiunea curentă cu roșu:

1. Daca sunt asemanatoare, acestea trebuie aduse imediat. In orice moment avem altele asemanatoare, este indicat sa le aducem imediat.

2. Același lucru este valabil și pentru fracțiile reducătoare: de îndată ce apare o oportunitate de reducere, aceasta trebuie folosită. Excepție fac fracțiile pe care le adunați sau scădeți: dacă acum au aceiași numitori, atunci reducerea ar trebui lăsată pentru mai târziu.

Iată câteva sarcini pe care le puteți rezolva singur:

Și a promis chiar de la început:

Raspunsuri:

Soluții (pe scurt):

Dacă ați făcut față cel puțin primelor trei exemple, atunci, luați în considerare, ați stăpânit subiectul.

Acum, la învățare!

CONVERSIUNEA EXPRESIILOR. REZUMAT ȘI FORMULA DE BAZĂ

Operatii de simplificare de baza:

• Aducerea asemănătoare: pentru a adăuga (reduce) termeni similari, trebuie să adăugați coeficienții acestora și să atribuiți partea de litere.
• Factorizare: scoaterea din paranteze a factorului comun, aplicarea etc.
• Reducerea fracțiilor: numărătorul și numitorul unei fracții pot fi înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, din care valoarea fracției nu se modifică.
  1) numărător și numitor factoriza
  2) dacă există factori comuni la numărător și numitor, aceștia pot fi tăiați.

  IMPORTANT: numai multiplicatorii pot fi redusi!

• Adunarea și scăderea fracțiilor:
  ;
• Înmulțirea și împărțirea fracțiilor:
  ;

Articolul vorbește despre transformarea expresiilor raționale. Luați în considerare tipurile de expresii raționale, transformările lor, grupările, punerea în paranteze a factorului comun. Să învățăm cum să reprezentăm expresii raționale fracționale ca fracții raționale.

Definiție și exemple de expresii raționale

Definiția 1

Se numesc expresii care sunt alcătuite din numere, variabile, paranteze, grade cu operațiile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire cu prezența unei bare de fracții. expresii rationale.

De exemplu, avem că 5 , 2 3 x - 5 , - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 xy 2 - 1 11 x 3 .

Adică acestea sunt expresii care nu au împărțire în expresii cu variabile. Studiul expresiilor raționale începe cu clasa a 8-a, unde se numesc expresii raționale fracționale.O atenție deosebită se acordă fracțiilor din numărător, care sunt convertite folosind reguli de transformare.

Acest lucru ne permite să trecem la transformarea fracțiilor raționale tip arbitrar. O astfel de expresie poate fi considerată ca o expresie cu prezența fracțiilor raționale și a expresiilor întregi cu semne de acțiune.

Principalele tipuri de transformări ale expresiilor raționale

Expresiile raționale sunt folosite pentru a efectua transformări identice, grupări, turnare asemănătoare și efectuarea altor operații cu numere. Scopul unor astfel de expresii este de a simplifica.

Exemplul 1

Convertiți expresia rațională 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .

Soluţie

Se poate observa că o astfel de expresie rațională este diferența 3 · x x · y - 1 și 2 · x x · y - 1 . Observați că au același numitor. Aceasta înseamnă că reducerea termenilor similari ia forma

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

Răspuns: 3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 .

Exemplul 2

Efectuați transformarea 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) .

Soluţie

Inițial, efectuăm acțiunile dintre paranteze 3 · x − x = 2 · x . Această expresie este reprezentată ca 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x. Ajungem la o expresie care conține acțiuni cu o etapă, adică are adunare și scădere.

Scăpați de paranteze folosind proprietatea divizare. Atunci obținem că 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x .

Grupăm factorii numerici cu variabila x, după care putem efectua operații cu puteri. Înțelegem asta

2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4

Răspuns: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4 .

Exemplul 3

Convertiți o expresie de forma x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .

Soluţie

Mai întâi, să convertim numărătorul și numitorul. Apoi obținem o expresie de forma (x (x + 3) - (3 x + 1)) : 1 2 x 4 + 2, iar acțiunile dintre paranteze se fac mai întâi. La numărător se realizează acțiuni și se grupează factorii. Atunci obținem o expresie de forma x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x 2 + 3 x - 3 x - 1 1 2 4 x + 2 = x 2 - 1 2 x + 2 .

Transformăm formula pentru diferența de pătrate în numărător, apoi obținem asta

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

Răspuns: x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x - 1 2 .

Reprezentarea ca fracție rațională

O fracție algebrică este supusă cel mai adesea simplificării la rezolvare. Fiecare rațional este adus la asta în moduri diferite. Este necesar să se efectueze toate operațiile necesare cu polinoame astfel încât expresia rațională să poată da în cele din urmă o fracție rațională.

Exemplul 4

Exprimați ca fracție rațională a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a .

Soluţie

Această expresie poate fi reprezentată ca a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a . Înmulțirea se face în primul rând după reguli.

Ar trebui să începem cu înmulțirea, apoi obținem asta

a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a

Producem o reprezentare a rezultatului obtinut cu originalul. Înțelegem asta

a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a + 5 a a - 3 - a - 5 a + 3 a

Acum să facem scăderea:

a + 5 a a - 3 - a - 5 a + 3 a = a + 5 a + 3 a (a - 3) (a + 3) - (a - 5) (a - 3) (a + 3) a ( a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 aa (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2 - 9

După aceea, este evident că expresia originală va lua forma 16 a 2 - 9 .

Răspuns: a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = 16 a 2 - 9 .

Exemplul 5

Exprimați x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x ca o fracție rațională.

Soluţie

Expresia dată se scrie sub formă de fracție, în numărătorul căreia se află x x + 1 + 1, iar la numitor 2 x - 1 1 + x. Este necesar să se facă transformări x x + 1 + 1 . Pentru a face acest lucru, trebuie să adăugați o fracție și un număr. Obținem că xx + 1 + 1 = xx + 1 + 1 1 = xx + 1 + 1 (x + 1) 1 (x + 1) = xx + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1

Rezultă că x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

Fracția rezultată poate fi scrisă ca 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x .

După împărțire, ajungem la o fracție rațională a formei

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1) ) = 2 x + 1 2 x - 1

O poți rezolva altfel.

În loc să împărțim la 2 x - 1 1 + x, înmulțim cu reciproca lui 1 + x 2 x - 1 . Aplicând proprietatea de distribuție, obținem asta

xx + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = xx + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = xx + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = xx + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

Răspuns: x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 2 x - 1 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter