Graficul funcției liniare y. Funcția liniară, proprietățile și graficul acesteia. Proprietățile funcției liniare

Conceptul de funcție numerică. Modalități de a seta o funcție. Proprietățile funcției.

O funcție numerică este o funcție care acționează de la un spațiu numeric (set) la un alt spațiu numeric (set).

Există trei moduri principale de a defini o funcție: analitică, tabelară și grafică.

1. Analitice.

Metoda de specificare a unei funcții folosind o formulă se numește analitică. Această metodă este cea principală din covoraș. analiză, dar în practică nu este convenabil.

2. Mod tabular atribuiri de funcții.

O funcție poate fi definită folosind un tabel care conține valorile argumentului și valorile funcției corespunzătoare ale acestora.

3. Mod grafic de setare a funcției.

Funcția y \u003d f (x) este numită dată grafic dacă graficul său este construit. Această metodă de setare a funcției face posibilă determinarea valorilor funcției doar aproximativ, deoarece construirea unui grafic și găsirea valorilor funcției pe acesta este asociată cu erori.

Proprietățile unei funcții care trebuie luate în considerare la trasarea graficului acesteia:

1) Regiunea definiții ale funcției.

Domeniul de aplicare a funcției, adică acele valori pe care le poate lua argumentul x al funcției F =y (x).

2) Intervale de funcție crescătoare și descrescătoare.

Funcția se numește crescător pe intervalul considerat, dacă valoare mai mare argumentul corespunde valorii mai mari a funcției y(x). Aceasta înseamnă că dacă două argumente arbitrare x 1 și x 2 sunt luate din intervalul luat în considerare și x 1 > x 2, atunci y (x 1) > y (x 2).

Funcția se numește descrescătoare pe intervalul luat în considerare, dacă valoarea mai mare a argumentului corespunde valorii mai mici a funcției y(x). Aceasta înseamnă că dacă două argumente arbitrare x 1 și x 2 sunt luate din intervalul considerat și x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Zerourile funcției.

Punctele în care funcția F \u003d y (x) intersectează axa absciselor (se obțin prin rezolvarea ecuației y (x) \u003d 0) și se numesc zerourile funcției.

4) Funcții pare și impare.

Funcția se numește par, dacă pentru toate valorile argumentului din domeniul de aplicare

y(-x) = y(x).

Programa chiar funcția simetric față de axa y.

Funcția se numește impar, dacă pentru toate valorile argumentului din domeniul de aplicare

y(-x) = -y(x).

Graficul unei funcții pare este simetric față de origine.

Multe funcții nu sunt nici pare, nici impare.

5) Periodicitatea funcției.

Funcția se numește periodică, dacă există un număr P astfel încât pentru toate valorile argumentului din domeniul definiției

y(x + P) = y(x).

Funcția liniară, proprietățile și graficul acesteia.

O funcție liniară este o funcție a formei y = kx + b, definit pe mulțimea tuturor numerelor reale.

k– factor de pantă (număr real)

b– termen liber (număr real)

X este o variabilă independentă.

· Într-un caz particular, dacă k = 0, obținem o funcție constantă y = b, al cărei grafic este o dreaptă paralelă cu axa Ox, care trece prin punctul cu coordonatele (0; b).

· Dacă b = 0, atunci obținem funcția y = kx, care este o proporționalitate directă.

o Sensul geometric al coeficientului b este lungimea segmentului pe care linia dreaptă o taie de-a lungul axei Oy, numărând de la origine.

o Semnificația geometrică a coeficientului k este unghiul de înclinare al dreptei față de direcția pozitivă a axei Ox, este considerat în sens invers acelor de ceasornic.

Proprietățile funcției liniare:

1) Domeniul de definire al unei funcții liniare este întreaga axă reală;

2) Dacă k ≠ 0, atunci domeniul funcției liniare este întreaga axă reală.

Dacă k = 0, atunci domeniul funcției liniare este format din numărul b;

3) Egalitatea și imparitatea unei funcții liniare depind de valorile coeficienților k și b.

a) b ≠ 0, k = 0, prin urmare, y = b este par;

b) b = 0, k ≠ 0, deci y = kx este impar;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, deci y = kx + b este o funcție generală;

d) b = 0, k = 0, prin urmare y = 0 este atât o funcție pară, cât și o funcție impară.

4) Funcția liniară nu are proprietatea de periodicitate;

5) Puncte de intersecție cu axele de coordonate:

Ox: y \u003d kx + b \u003d 0, x \u003d -b / k, prin urmare (-b / k; 0) este punctul de intersecție cu axa absciselor.

Oy: y = 0k + b = b, prin urmare (0; b) este punctul de intersecție cu axa y.

Cometariu. Dacă b = 0 și k = 0, atunci funcția y = 0 dispare pentru orice valoare a lui x. Dacă b ≠ 0 și k = 0, atunci funcția y = b nu dispare pentru nicio valoare a variabilei x.

6) Intervalele constantei semnului depind de coeficientul k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b este pozitiv pentru x din (-b/k; +∞),

y = kx + b este negativ pentru x din (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b este pozitiv pentru x din (-∞; -b/k),

y = kx + b este negativ pentru x din (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b este pozitiv în întregul domeniu,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Intervalele de monotonitate ale unei funcţii liniare depind de coeficientul k.

k > 0, prin urmare y = kx + b crește pe întregul domeniu,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Funcția y \u003d ax 2 + bx + c, proprietățile și graficul acesteia.

Funcția y \u003d ax 2 + bx + c (a, b, c sunt valori constante, a ≠ 0) se numește pătratică.În cel mai simplu caz, y \u003d ax 2 (b \u003d c \u003d 0), graficul este o linie curbă care trece prin origine. Curba care servește ca grafic al funcției y \u003d ax 2 este o parabolă. Fiecare parabolă are o axă de simetrie numită axa parabolei. Se numește punctul O al intersecției parabolei cu axa ei vârful parabolei.

Graficul poate fi construit după următoarea schemă: 1) Aflați coordonatele vârfului parabolei x 0 = -b/2a; y 0 \u003d y (x 0). 2) Mai construim câteva puncte care aparțin parabolei, atunci când construim, puteți folosi simetriile parabolei față de dreapta x = -b / 2a. 3) Conectăm punctele indicate cu o linie netedă. Exemplu. Construiți un grafic al funcției în \u003d x 2 + 2x - 3. Soluții. Graficul funcției este o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus. Abscisa vârfului parabolei x 0 \u003d 2 / (2 ∙ 1) \u003d -1, ordonatele sale y (-1) \u003d (1) 2 + 2 (-1) - 3 \u003d -4. Deci, vârful parabolei este punctul (-1; -4). Să facem un tabel de valori pentru mai multe puncte care sunt plasate în dreapta axei de simetrie a parabolei - linia dreaptă x \u003d -1. Proprietățile funcției.

Funcție liniară se numește o funcție a formei y = kx + b, definit pe mulțimea tuturor numerelor reale. Aici k– coeficient unghiular (număr real), b – membru gratuit (număr real), X este o variabilă independentă.

Într-un caz anume, dacă k = 0, obținem o funcție constantă y=b, al cărui grafic este o dreaptă paralelă cu axa Ox, care trece prin punctul cu coordonate (0;b).

În cazul în care un b = 0, apoi obținem funcția y=kx, care este în proporţie directă.

b – lungimea segmentului, care taie linia de-a lungul axei Oy, numărând de la origine.

Sensul geometric al coeficientului k – unghi de înclinare drept către direcția pozitivă a axei Ox este considerată a fi în sens invers acelor de ceasornic.

Proprietățile funcției liniare:

1) Domeniul unei funcții liniare este întreaga axă reală;

2) În cazul în care un k ≠ 0, atunci domeniul funcției liniare este întreaga axă reală. În cazul în care un k = 0, atunci domeniul funcției liniare constă din număr b;

3) Uniformitatea și neregulile unei funcții liniare depind de valorile coeficienților kși b.

A) b ≠ 0, k = 0, Prin urmare, y = b este par;

b) b = 0, k ≠ 0, prin urmare y = kx este impar;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, prin urmare y = kx + b este o funcție generală;

d) b = 0, k = 0, prin urmare y = 0 este atât o funcție pară, cât și o funcție impară.

4) O funcție liniară nu are proprietatea de periodicitate;

5) Puncte de intersecție cu axele de coordonate:

Bou: y = kx + b = 0, x = -b/k, Prin urmare (-b/k; 0)- punctul de intersecție cu axa absciselor.

Oi: y=0k+b=b, Prin urmare (0;b) este punctul de intersecție cu axa y.

Notă.Dacă b = 0și k = 0, apoi funcția y=0 dispare pentru orice valoare a variabilei X. În cazul în care un b ≠ 0și k = 0, apoi funcția y=b nu dispare pentru nicio valoare a variabilei X.

6) Intervalele de constanță ale semnului depind de coeficientul k.

A) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b- pozitiv la X din (-b/k; +∞),

y = kx + b- negativ la X din (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- pozitiv la X din (-∞; -b/k),

y = kx + b- negativ la X din (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b pozitiv în întregul domeniu al definiției,

k = 0, b< 0; y = kx + b este negativă în tot domeniul definiției.

7) Intervalele de monotonitate ale unei funcții liniare depind de coeficient k.

k > 0, Prin urmare y = kx + b crește pe întregul domeniu de definiție,

k< 0 , Prin urmare y = kx + b scade pe întregul domeniu de definire.

8) Graficul unei funcții liniare este o dreaptă. Pentru a desena o linie dreaptă, este suficient să cunoști două puncte. Poziția dreptei pe planul de coordonate depinde de valorile coeficienților kși b. Mai jos este un tabel care ilustrează clar acest lucru.

Care este motivul numelui său. Aceasta se referă la o funcție reală a unei variabile reale.

YouTube enciclopedic

• 1 / 5

  Dacă toate variabilele x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle x_(1),x_(2),\dots,x_(n))și coeficienți a 0 , a 1 , a 2 , … , a n (\displaystyle a_(0),a_(1),a_(2),\dots ,a_(n)) sunt numere reale, apoi graficul unei funcții liniare în (n + 1) (\displaystyle (n+1))-spaţiul dimensional al variabilelor x 1 , x 2 , … , x n , y (\displaystyle x_(1),x_(2),\dots ,x_(n),y) este n (\displaystyle n)-hiperplan dimensional

  y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n (\displaystyle y=a_(0)+a_(1)x_(1)+a_(2)x_(2)+\dots +a_ (n)x_(n))

  în special când n = 1 (\displaystyle n=1)- o linie dreaptă pe un plan.

  algebră abstractă

  Termenul „funcție liniară”, sau mai precis, „funcție liniară omogenă”, este adesea aplicat unei mapări liniare a unui spațiu vectorial X (\displaystyle X) peste vreun domeniu k (\displaystyle k)în acest domeniu, adică pentru o astfel de afișare f: X → k (\displaystyle f:X\to k), care pentru orice elemente x , y ∈ X (\displaystyle x,y\in X)și orice α , β ∈ k (\displaystyle \alpha ,\beta \in k) egalitate corectă

  f (α x + β y) = α f (x) + β f (y) (\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y))

  mai mult, în acest caz, în locul termenului „funcție liniară”, sunt folosiți și termenii liniar funcțional și liniar form - însemnând și liniar omogen funcția unei anumite clase.

  Definirea funcției liniare

  Să introducem definiția unei funcții liniare

  Definiție

  O funcție de forma $y=kx+b$, unde $k$ este diferit de zero, se numește funcție liniară.

  Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă. Numărul $k$ se numește panta dreptei.

  Pentru $b=0$ funcția liniară se numește funcție de proporționalitate directă $y=kx$.

  Luați în considerare figura 1.

  Orez. 1. Sensul geometric al pantei dreptei

  Luați în considerare triunghiul ABC. Vedem că $BC=kx_0+b$. Aflați punctul de intersecție al dreptei $y=kx+b$ cu axa $Ox$:

  \ \

  Deci $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Să găsim raportul dintre aceste laturi:

  \[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

  Pe de altă parte, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

  Astfel, se poate trage următoarea concluzie:

  Concluzie

  Sensul geometric al coeficientului $k$. Panta dreptei $k$ este egală cu tangentei pantei acestei drepte la axa $Ox$.

  Studiul funcției liniare $f\left(x\right)=kx+b$ și graficul acesteia

  Mai întâi, luați în considerare funcția $f\left(x\right)=kx+b$, unde $k > 0$.

  1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Prin urmare, această funcție crește pe întregul domeniu de definiție. Nu există puncte extreme.
  2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
  3. Grafic (Fig. 2).

  

  Orez. 2. Grafice ale funcției $y=kx+b$, pentru $k > 0$.

  Acum luați în considerare funcția $f\left(x\right)=kx$, unde $k

  1. Domeniul de aplicare este toate numerele.
  2. Domeniul de aplicare este toate numerele.
  3. $f\stanga(-x\dreapta)=-kx+b$. Funcția nu este nici pară, nici impară.
  4. Pentru $x=0,f\left(0\right)=b$. Pentru $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

  Puncte de intersecție cu axe de coordonate: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ și $\left(0,\b\right)$

  1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
  2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Prin urmare, funcția nu are puncte de inflexiune.
  3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
  4. Grafic (Fig. 3).