Formulați o definiție în termeni de cosha lim. Definirea universală a limitei unei funcții prin câștig și prin coch. Limite finite ale funcției la punctele finale

Luați în considerare o funcție %%f(x)%% definită cel puțin într-o zonă perforată %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% din punctul %%a \in \overline( \ mathbb(R))%% linie numerică extinsă.

Conceptul de limită după Cauchy

Numărul %%A \in \mathbb(R)%% este numit limita functiei%%f(x)%% la %%a \in \mathbb(R)%% (sau când %%x%% tinde spre %%a \in \mathbb(R)%%) dacă, indiferent de pozitiv numărul %%\varepsilon%% este, există un număr pozitiv %%\delta%% astfel încât pentru toate punctele din vecinătatea punctului %%\delta%% a punctului %%a%% valorile funcției aparțin %%\varepsilon %%-cartierul punctului %%A%%, sau

$$ A = \lim\limits_(x \to a)(f(x)) \Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0 ~\exists \delta > 0 \big(x \in \stackrel(\circ)(\text (U))_\delta(a) \Rightarrow f(x) \in \text(U)_\varepsilon (A) \big) $$

Această definiție se numește definiția limbajului %%\varepsilon%% și %%\delta%%, propusă de matematicianul francez Augustin Cauchy și folosită cu începutul XIX secol până în prezent, deoarece are rigoarea și acuratețea matematică necesare.

Combinând diferite vecinătăți ale punctului %%a%% cum ar fi %%\stackrel(\circ)(\text(U))_\delta(a), \text(U)_\delta (\infty), \text( U) _\delta (-\infty), \text(U)_\delta (+\infty), \text(U)_\delta^+ (a), \text(U)_\delta^- ( a) %% cu cartierele %%\text(U)_\varepsilon (A), \text(U)_\varepsilon (\infty), \text(U)_\varepsilon (+\infty), \text( U) _\varepsilon (-\infty)%%, obținem 24 de definiții ale limitei Cauchy.

sens geometric

Sensul geometric al limitei unei funcții

Să aflăm care este sensul geometric al limitei unei funcții într-un punct. Să diagramăm funcția %%y = f(x)%% și să marchem punctele %%x = a%% și %%y = A%% pe ea.

Limita funcției %%y = f(x)%% în punctul %%x \to a%% există și este egală cu A dacă pentru orice %%\varepsilon%%-vecinația punctului %%A% % se poate specifica o astfel de %%\ delta%%-vecinătate a punctului %%a%%, astfel încât pentru orice %%x%% din acest %%\delta%%-vecinătate, valoarea %%f(x )%% va fi în punctele de vecinătate %%\varepsilon%% %%A%%.

Rețineți că, conform definiției Cauchy a limitei unei funcții, pentru existența unei limite la %%x \to a%%, nu contează ce valoare ia funcția chiar în punctul %%a%%. Puteți da exemple în care funcția nu este definită când %%x = a%% sau ia o altă valoare decât %%A%%. Cu toate acestea, limita poate fi %%A%%.

Definiția limitei Heine

Elementul %%A \in \overline(\mathbb(R))%% se numește limita funcției %%f(x)%% la %% x \to a, a \in \overline(\mathbb( R))%% , dacă pentru orice secvență %%\(x_n\) \la un%% din domeniu, secvența valorilor corespunzătoare ​​%%\big\(f(x_n)\big\)%% tinde la %%A%%.

Definiția limitei după Heine este convenabil de utilizat atunci când există îndoieli cu privire la existența limitei unei funcții la un punct dat. Dacă este posibil să construiți cel puțin o secvență %%\(x_n\)%% cu o limită în punctul %%a%% astfel încât secvența %%\big\(f(x_n)\big\)%% nu are limită, atunci putem concluziona că funcția %%f(x)%% nu are nicio limită în acest moment. Dacă pentru doi variat secvențele %%\(x"_n\)%% și %%\(x""_n\)%% având la fel limită %%a%%, secvențele %%\big\(f(x"_n)\big\)%% și %%\big\(f(x""_n)\big\)%% au variat limite, atunci în acest caz nici limita funcției %%f(x)%% nu există.

Exemplu

Fie %%f(x) = \sin(1/x)%%. Să verificăm dacă limita acestei funcții există în punctul %%a = 0%%.

Alegem mai întâi o secvență $$ \(x_n\) = \left\(\frac((-1)^n)(n\pi)\right\) care converge în acest punct. $$

În mod clar, %%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb(N)%% și %%\lim (x_n) = 0%%. Apoi %%f(x_n) = \sin(\left((-1)^n n\pi\right)) \equiv 0%% și %%\lim\big\(f(x_n)\big\) = 0 %%.

Apoi luați șirul $$ x"_n = \left\( \frac(2)((4n + 1)\pi) \right\), $$

pentru care %%\lim(x"_n) = +0%%, %%f(x"_n) = \sin(\big((4n + 1)\pi/2\big)) \equiv 1%% și %%\lim\big\(f(x"_n)\big\) = 1%%. În mod similar, pentru secvența $$ x""_n = \left\(-\frac(2)((4n + 1) ) \pi) \dreapta\), $$

de asemenea, convergând către punctul %%x = 0%%, %%\lim\big\(f(x""_n)\big\) = -1%%.

Toate cele trei secvențe au dat rezultate diferite, ceea ce contrazice condiția definiției Heine, i.e. această funcție nu are limită în punctul %%x = 0%%.

Teorema

Definirea limitei după Cauchy și după Heine sunt echivalente.

Să începem cu lucruri generale care sunt FOARTE importante, dar puțini oameni le acordă atenție.

Limita funcției - concepte de bază.

Infinitul denotă simbol . De fapt, infinitul este fie un număr pozitiv infinit de mare, fie un număr infinit de mare un număr negativ.

Ce înseamnă: când vezi , nu contează dacă este sau . Dar este mai bine să nu înlocuiți cu , la fel cum este mai bine să nu înlocuiți cu .

Scrieți limita unei funcții f(x) luate sub formă, argumentul x este indicat mai jos și prin săgeată spre ce valoare tinde.

Dacă este un anumit număr real, atunci se spune despre limita unei funcții într-un punct.

Dacă sau . apoi vorbesc despre limita funcției la infinit.

Limita în sine poate fi egală cu un anumit număr real, caz în care se spune că limita este finită.

În cazul în care un , sau , atunci ei spun asta limita este infinită.

Ei spun si asta limita nu exista, dacă este imposibil să se determine valoarea specifică a limitei sau valoarea sa infinită (, sau ). De exemplu, nu există limită de la sinus la infinit.

Limita unei funcții - definiții de bază.

E timpul să fii ocupat aflarea valorilor limitelor funcțiilor la infinit și la un punct. Câteva definiții ne vor ajuta în acest sens. Aceste definiții se bazează pe secvențe de numereși convergența sau divergența lor.

Definiție(găsirea limitei unei funcții la infinit).

Numărul A se numește limita funcției f (x) atunci când, dacă pentru orice succesiune infinit mare de argumente a funcției (positiv sau negativ infinit), succesiunea de valori a acestei funcție converge către A. Desemnat .

Cometariu.

Limita funcției f(x) la este infinită dacă pentru orice succesiune infinit mare de argumente ale funcției (infinit de mare pozitivă sau negativă), succesiunea de valori a acestei funcții este infinit de mare pozitivă sau infinit de mare negativă. Desemnat .

Exemplu.

Folosind definiția limitei pentru a demonstra egalitatea .

Soluţie.

Să scriem secvența valorilor funcției pentru o secvență pozitivă infinit de mare de valori ale argumentului.

Evident, termenii acestei secvențe scad monoton la zero.

Ilustrație grafică.

Acum să scriem secvența valorilor funcției pentru o secvență negativă infinit de mare a valorilor argumentului.

Termenii acestei secvențe scad și ei monoton spre zero, ceea ce demonstrează egalitatea inițială.

Ilustrație grafică.

Exemplu.

Găsiți limita

Soluţie.

Să scriem secvența valorilor funcției pentru o secvență pozitivă infinit de mare de valori ale argumentului. De exemplu, să luăm .

Secvența valorilor funcției în acest caz va fi (puncte albastre pe grafic)

Evident, această secvență este una pozitivă infinit de mare, prin urmare,

Acum să scriem secvența valorilor funcției pentru o secvență negativă infinit de mare a valorilor argumentului. De exemplu, să luăm .

Secvența valorilor funcției în acest caz va fi (puncte verzi pe grafic)

Evident, această secvență converge la zero, prin urmare,

Ilustrație grafică

Răspuns:

Acum să vorbim despre existența și găsirea limitei unei funcții într-un punct. Totul se bazează pe stabilirea de limite unilaterale. Nu se poate face fără calcularea limitelor unilaterale pentru .

Definiție(gasirea limitei functiei in stanga).

Numărul B se numește limita funcției f (x) din stânga când, dacă pentru orice succesiune de argumente a funcției convergând la a, valorile cărora rămân mai mici decât a (), succesiunea de valori ale acestei funcții converg către B.

Notat .

Definiție(gasirea limitei functiei in dreapta).

Numărul B se numește limita funcției f (x) din dreapta când, dacă pentru orice succesiune de argumente a funcției convergând la a, valorile cărora rămân mai mari decât a (), succesiunea de valori ale acestei funcții converg către B.

Notat .

Definiție(existența unei limite a unei funcții într-un punct).

Limita funcției f(x) într-un punct a există dacă există limite în stânga și dreapta lui a și sunt egale între ele.

Cometariu.

Limita funcției f(x) într-un punct a este infinită dacă limitele din stânga și din dreapta lui a sunt infinite.

Să explicăm aceste definiții cu un exemplu.

Exemplu.

Demonstrați existența unei limite finite a unei funcții la punctul . Găsiți-i valoarea.

Soluţie.

Vom pleca de la definirea existenței limitei unei funcții la un punct.

Mai întâi, arătăm existența unei limite în stânga. Pentru a face acest lucru, luați o secvență de argumente care converg către , și . Un exemplu de astfel de secvență ar fi

În figură, valorile corespunzătoare sunt afișate cu puncte verzi.

Este ușor de observat că această secvență converge către -2, deci .

În al doilea rând, arătăm existența unei limite la dreapta. Pentru a face acest lucru, luați o secvență de argumente care converg către , și . Un exemplu de astfel de secvență ar fi

Secvența corespunzătoare de valori ale funcției va arăta ca

În figură, valorile corespunzătoare sunt afișate sub formă de puncte albastre.

Este ușor de observat că această secvență converge și la -2, deci .

Prin aceasta am arătat că limitele din stânga și din dreapta sunt egale, prin urmare, prin definiție, există o limită a funcției la punctul , și

Ilustrație grafică.

Recomandăm continuarea studiului definițiilor de bază ale teoriei limitelor cu tema.

Sunt date definițiile limitei unei funcții după Heine (în termeni de secvențe) și în termeni de Cauchy (în termeni de vecinătăți epsilon și deltă). Definițiile sunt date într-o formă universală aplicabilă atât limitelor bilaterale, cât și unilaterale la puncte finite și infinite. Se ia în considerare definiția că un punct a nu este o limită a unei funcții. Dovada echivalenței definițiilor după Heine și după Cauchy.

Conţinut

Vezi si: Vecinătatea unui punct
Determinarea limitei unei funcții la punctul final
Determinarea limitei unei funcții la infinit

Prima definiție a limitei unei funcții (după Heine)

(X)în punctul x 0 :
,
dacă
1) există o astfel de vecinătate perforată a punctului x 0
2) pentru orice secvență ( x n ), convergând spre x 0 :
, ale căror elemente aparțin cartierului ,
ulterior (f(xn)) converge spre a:
.

Aici x 0 iar a poate fi fie numere finite, fie puncte la infinit. Cartierul poate fi fie cu două fețe, fie unilaterale.

.

A doua definiție a limitei unei funcții (după Cauchy)

Numărul a se numește limita funcției f (X)în punctul x 0 :
,
dacă
1) există o astfel de vecinătate perforată a punctului x 0 pe care este definită funcția;
2) pentru orice număr pozitiv ε > 0 există un număr δ ε > 0 , în funcție de ε, că pentru toate x aparținând unei vecinătăți δ ε perforate a punctului x 0 :
,
valorile funcției f (X) aparțin ε - vecinătăți ale punctului a :
.

punctele x 0 iar a poate fi fie numere finite, fie puncte la infinit. Cartierul poate fi, de asemenea, atât cu două fețe, cât și unilaterale.

Scriem această definiție folosind simbolurile logice ale existenței și universalității:
.

Această definiție folosește cartiere cu capete echidistante. O definiție echivalentă poate fi dată și folosind vecinătăți arbitrare de puncte.

Definiție folosind vecinătăți arbitrare
Numărul a se numește limita funcției f (X)în punctul x 0 :
,
dacă
1) există o astfel de vecinătate perforată a punctului x 0 pe care este definită funcția;
2) pentru orice cartier U (A) punctul a există o astfel de vecinătate perforată a punctului x 0 , că pentru toți x care aparțin unei vecinătăți perforate a punctului x 0 :
,
valorile funcției f (X) aparțin cartierului U (A) punctele a:
.

Folosind simbolurile logice ale existenței și universalității, această definiție poate fi scrisă după cum urmează:
.

Limite unilaterale și bilaterale

Definitiile de mai sus sunt universale in sensul ca pot fi folosite pentru orice tip de cartier. Dacă, pe măsură ce folosim vecinătatea punctată cu mâna stângă a punctului final, atunci obținem definiția limitei pentru stânga. Dacă folosim vecinătatea unui punct la infinit ca vecinătate, atunci obținem definiția limitei la infinit.

Pentru a determina limita conform lui Heine, aceasta se rezumă la faptul că se impune o restricție suplimentară unei secvențe arbitrare convergente către , că elementele sale trebuie să aparțină vecinătății perforate corespunzătoare a punctului .

Pentru determinarea limitei Cauchy, este necesară în fiecare caz transformarea expresiilor și în inegalități, folosind definițiile corespunzătoare ale unei vecinătăți a unui punct.
Vezi „Vecinătatea unui punct”.

Determinarea faptului că un punct a nu este limita unei funcții

Adesea este necesar să se folosească condiția ca punctul a să nu fie limita funcției pentru . Să construim negații la definițiile de mai sus. În ele, presupunem că funcția f (X) este definită pe o vecinătate perforată a punctului x 0 . Punctele a și x 0 pot fi atât numere finite, cât și infinit distant. Tot ceea ce este menționat mai jos se aplică atât limitelor bilaterale, cât și limitelor unilaterale.

Potrivit lui Heine.
Numărul a nu este limita funcției f (X)în punctul x 0 : ,
dacă există o astfel de succesiune ( x n ), convergând spre x 0 :
,
ale căror elemente aparțin cartierului ,
ce succesiune (f(xn)) nu converge la:
.
.

Potrivit lui Cauchy.
Numărul a nu este limita funcției f (X)în punctul x 0 :
,
dacă există un astfel de număr pozitiv ε > 0 , astfel încât pentru orice număr pozitiv δ > 0 , există x care aparține unei vecinătăți δ perforate a punctului x 0 :
,
că valoarea funcției f (X) nu aparține vecinătății ε a punctului a :
.
.

Desigur, dacă punctul a nu este limita funcției la , atunci aceasta nu înseamnă că nu poate avea o limită. Poate că există o limită, dar nu este egală cu un . De asemenea, este posibil ca funcția să fie definită într-o vecinătate perforată a punctului, dar nu are limită la .

Funcţie f(x) = sin(1/x) nu are limită ca x → 0.

De exemplu, funcția este definită la , dar nu există nicio limită. Pentru demonstrație, luăm șirul . Converge spre un punct 0 : . Pentru că atunci .
Să luăm o secvență. De asemenea, converge la obiect 0 : . Dar de atunci .
Atunci limita nu poate fi egală cu niciun număr a . Într-adevăr, pentru , există o secvență cu care . Prin urmare, orice număr diferit de zero nu este o limită. Dar nici nu este o limită, deoarece există o secvență cu care .

Echivalența definițiilor limitei după Heine și după Cauchy

Teorema
Definițiile Heine și Cauchy ale limitei unei funcții sunt echivalente.

Dovada

În demonstrație, presupunem că funcția este definită într-o vecinătate perforată a punctului (finit sau la infinit). Punctul a poate fi, de asemenea, finit sau la infinit.

Dovada Heine ⇒ Cauchy

Fie ca o funcție să aibă o limită a într-un punct conform primei definiții (după Heine). Adică pentru orice succesiune care aparține unei vecinătăți perforate a punctului și are o limită
(1) ,
limita secvenței este:
(2) .

Să arătăm că funcția are o limită Cauchy într-un punct. Adică pentru orice există asta pentru toți.

Să presupunem contrariul. Fie îndeplinite condițiile (1) și (2), dar funcția nu are limită Cauchy. Adică, există astfel încât pentru orice există, astfel încât
.

Luați , unde n - numar natural. Atunci există și
.
Astfel, am construit o secvență care converge către , dar limita șirului nu este egală cu a . Aceasta contrazice condiția teoremei.

Prima parte este dovedita.

Dovada Cauchy ⇒ Heine

Fie ca o funcție să aibă o limită a într-un punct conform celei de-a doua definiții (după Cauchy). Adică pentru orice există asta
(3) pentru toți .

Să arătăm că funcția are o limită a într-un punct conform lui Heine.
Să luăm un număr arbitrar. Conform definiției lui Cauchy, există un număr , deci (3) este valabil.

Luați o secvență arbitrară aparținând vecinătății perforate și care converge către . Prin definiția unei secvențe convergente, pentru oricare există astfel încât
la .
Apoi din (3) rezultă că
la .
Din moment ce acest lucru este valabil pentru orice , atunci
.

Teorema a fost demonstrată.

Referinte:
L.D. Kudryavtsev. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 2003.

Vezi si:

În acest articol, vom explica care este limita unei funcții. Mai întâi, să explicăm punctele generale care sunt foarte importante pentru înțelegerea esenței acestui fenomen.

Conceptul de limită

În matematică, conceptul de infinit, notat cu simbolul ∞, este fundamental important. Ar trebui înțeles ca un număr infinit de mare + ∞ sau un număr infinit de mic - ∞. Când vorbim despre infinit, deseori ne referim la ambele sensuri simultan, dar notația formei + ∞ sau - ∞ nu trebuie înlocuită pur și simplu cu ∞.

Limita funcției se scrie ca lim x → x 0 f (x) . În partea de jos, scriem argumentul principal x și folosim săgeata pentru a indica ce valoare x 0 va tinde. Dacă valoarea x 0 este un număr real specific, atunci avem de-a face cu limita funcției într-un punct. Dacă valoarea x 0 tinde spre infinit (nu contează, ∞, + ∞ sau - ∞), atunci ar trebui să vorbim despre limita funcției la infinit.

Limita este finită și infinită. Dacă este egal cu un anumit număr real, de ex. lim x → x 0 f (x) = A , atunci se numește limită finită, dar dacă lim x → x 0 f (x) = ∞ , lim x → x 0 f (x) = + ∞ sau lim x → x 0 f (x) = - ∞ , apoi infinit.

Dacă nu putem defini nici o valoare finită, nici o valoare infinită, înseamnă că o astfel de limită nu există. Un exemplu al acestui caz ar fi limita sinusului la infinit.

În acest paragraf, vom explica cum să găsim valoarea limitei unei funcții într-un punct și la infinit. Pentru a face acest lucru, trebuie să introducem definiții de bază și să ne amintim ce sunt secvențele numerice, precum și convergența și divergența lor.

Definiția 1

Numărul A este limita funcției f (x) ca x → ∞, dacă succesiunea valorilor sale va converge către A pentru orice succesiune infinit de argumente (negativă sau pozitivă).

Limita funcției se scrie astfel: lim x → ∞ f (x) = A .

Definiția 2

Ca x → ∞, limita funcției f(x) este infinită dacă șirul de valori pentru orice succesiune infinit de argumente este, de asemenea, infinit de mare (pozitivă sau negativă).

Notația arată ca lim x → ∞ f (x) = ∞ .

Exemplul 1

Demonstrați egalitatea lim x → ∞ 1 x 2 = 0 folosind definiția de bază a unei limite pentru x → ∞ .

Soluţie

Să începem prin a scrie o secvență de valori a funcției 1 x 2 pentru o secvență pozitivă infinit de valori a argumentului x = 1 , 2 , 3 , . . . , n , . . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 n 2 > . . .

Vedem că valorile vor scădea treptat, tinzând spre 0. Vezi poza:

x = - 1 , - 2 , - 3 , . . . , - n , . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 - n 2 > . . .

Și aici se poate observa o scădere monotonă la zero, care confirmă corectitudinea datei în condiția de egalitate:

Răspuns: Se confirmă corectitudinea datei în condiția de egalitate.

Exemplul 2

Calculați limita lim x → ∞ e 1 10 x .

Soluţie

Să începem, ca mai înainte, prin a scrie secvențe de valori f (x) = e 1 10 x pentru o succesiune pozitivă infinit de argumente. De exemplu, x = 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , . . . , 10 2 , . . . → +∞ .

e 1 10 ; e 4 10 ; e 9 10 ; e 16 10 ; e 25 10 ; . . . ; e 100 10 ; . . . == 1, 10; 1, 49; 2, 45; 4, 95; 12, 18; . . . ; 22026, 46; . . .

Vedem că această succesiune este infinit pozitivă, deci f (x) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞

Continuăm să scriem valorile unei secvențe negative infinit de mare, de exemplu, x = - 1 , - 4 , - 9 , - 16 , - 25 , . . . , - 10 2 , . . . → -∞ .

e - 1 10 ; e - 4 10 ; e - 9 10 ; e - 16 10 ; e - 25 10 ; . . . ; e - 100 10 ; . . . == 0, 90; 0,67; 0, 40; 0, 20; 0, 08; . . . ; 0,000045; . . . x = 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , . . . , 10 2 , . . . →∞

Deoarece tinde și spre zero, atunci f (x) = lim x → ∞ 1 e 10 x = 0 .

Soluția problemei este prezentată clar în ilustrație. Punctele albastre marchează succesiunea valorilor pozitive, punctele verzi marchează succesiunea celor negative.

Răspuns: lim x → ∞ e 1 10 x = + ∞ , pr și x → + ∞ 0 , pr și x → - ∞ .

Să trecem la metoda de calcul a limitei unei funcții într-un punct. Pentru a face acest lucru, trebuie să știm cum să definim corect limita unilaterală. Acest lucru ne va fi util și pentru a găsi asimptotele verticale ale graficului funcției.

Definiția 3

Numărul B este limita funcției f (x) din stânga ca x → a în cazul în care succesiunea valorilor sale converge către un număr dat pentru orice succesiune de argumente a funcției x n , convergând către a , dacă valorile sale rămân mai mici decât a (x n< a).

O astfel de limită se scrie în scris ca lim x → a - 0 f (x) = B .

Acum formulăm care este limita funcției din dreapta.

Definiția 4

Numărul B este limita funcției f (x) din dreapta ca x → a în cazul în care succesiunea valorilor sale converge către un număr dat pentru orice succesiune de argumente a funcției x n , convergând către a , dacă valorile sale rămân mai mari decât a (x n > a).

Scriem această limită ca lim x → a + 0 f (x) = B .

Putem găsi limita funcției f (x) la un moment dat când are limite egale pe părțile din stânga și din dreapta, i.e. lim x → a f (x) = lim x → a - 0 f (x) = lim x → a + 0 f (x) = B . În cazul infinitității ambelor limite, limita funcției la punctul de plecare va fi de asemenea infinită.

Acum vom explica aceste definiții notând soluția unei probleme specifice.

Exemplul 3

Demonstrați că există o limită finită a funcției f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 în punctul x 0 = 2 și calculați valoarea acesteia.

Soluţie

Pentru a rezolva problema, trebuie să ne amintim definiția limitei unei funcții într-un punct. Mai întâi, să demonstrăm că funcția originală are o limită în stânga. Să notăm șirul de valori ale funcției care va converge către x 0 = 2 dacă x n< 2:

f(-2); f(0); f (1) ; f 1 1 2 ; f 1 3 4 ; f 1 7 8 ; f 1 15 16 ; . . . ; f 1 1023 1024; . . . == 8, 667; 2.667; 0, 167; - 0,958; - 1, 489; - 1.747; - 1.874; . . . ; - 1.998; . . . → - 2

Deoarece succesiunea de mai sus se reduce la - 2 , putem scrie că lim x → 2 - 0 1 6 x - 8 2 - 8 = - 2 .

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

Valorile funcției din această secvență vor arăta astfel:

f(6) ; f (4); f (3) ; f 2 1 2 ; f 2 3 4 ; f 2 7 8 ; f 2 15 16 ; . . . ; f 2 1023 1024; . . . == - 7, 333; - 5, 333; - 3, 833; - 2.958; - 2, 489; - 2, 247; - 2, 124; . . . , - 2 , 001 , . . . → - 2

Această secvență converge și la - 2 , deci lim x → 2 + 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .

Am obținut că limitele din dreapta și din stânga acestei funcții vor fi egale, ceea ce înseamnă că limita funcției f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 există în punctul x 0 = 2 , iar lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .

Puteți vedea progresul soluției în ilustrație (punctele verzi sunt o secvență de valori care converg la x n< 2 , синие – к x n > 2).

Răspuns: Limitele din partea dreaptă și stângă ale acestei funcții vor fi egale, ceea ce înseamnă că limita funcției există, iar lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .

Pentru a studia mai aprofundat teoria limitelor, vă sfătuim să citiți articolul despre continuitatea unei funcții într-un punct și principalele tipuri de puncte de discontinuitate.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

În demonstrarea proprietăților limitei unei funcții, ne-am asigurat că nu se cere nimic cu adevărat din vecinătățile perforate în care au fost definite funcțiile noastre și care au apărut în cursul dovezilor, cu excepția proprietăților indicate în introducerea la paragraful precedent. 2. Această împrejurare servește drept justificare pentru evidențierea următorului obiect matematic.

A. Baza; definiție și exemple principale

Definiție 11. O mulțime B de submulțimi ale unei mulțimi X va fi numită bază într-o mulțime X dacă sunt îndeplinite două condiții:

Cu alte cuvinte, elementele colecției B sunt mulțimi nevide, iar intersecția a două dintre ele conține un element din aceeași colecție.

Să indicăm câteva dintre cele mai frecvent utilizate baze în analiză.

Dacă atunci în schimb ei scriu și spun că x tinde spre a din dreapta sau din lateral valori mari(respectiv, în stânga sau din partea valorilor mai mici). Când o înregistrare scurtă este acceptată în loc de

Intrarea va fi folosită în loc de Înseamnă că a; tinde peste mulțimea E spre a, rămânând mai mare (mai mică) decât a.

apoi în schimb ei scriu și spun că x tinde spre plus infinit (respectiv, spre minus infinit).

În schimb, se va folosi notația

Când în loc de noi (dacă acest lucru nu duce la neînțelegeri) vom scrie, așa cum este obișnuit în teoria limitei unei secvențe,

Rețineți că toate bazele enumerate au caracteristica că intersecția oricăror două elemente ale bazei este în sine un element al acestei baze și nu conține doar un element al bazei. Ne vom întâlni cu alte baze atunci când studiem funcții care nu sunt date pe axa reală.

De asemenea, menționăm că termenul „bază” folosit aici este o denumire scurtă a ceea ce se numește „bază de filtru” în matematică, iar limita de bază introdusă mai jos este partea cea mai esențială pentru analiza conceptului de limită de filtru creat de francezul modern. matematicianul A. Cartan

b. Limita funcției de bază

Definiția 12. Fie o funcție pe mulțimea X; B este o bază în X. Un număr se numește limita unei funcții față de baza B dacă pentru orice vecinătate a punctului A există un element al bazei a cărui imagine este conținută în vecinătate.

Dacă A este limita funcției față de baza B, atunci scriem

Să repetăm ​​definiția limitei de bază în simbolismul logic:

Deoarece acum luăm în considerare funcțiile cu valori numerice, este util să ținem cont de următoarea formă a acestei definiții de bază:

În această formulare, în loc de o vecinătate arbitrară V(A), luăm o vecinătate care este simetrică (în raport cu punctul A) (e-vecinătate). Echivalența acestor definiții pentru funcțiile cu valori reale rezultă din faptul că, așa cum sa menționat deja, orice vecinătate a unui punct conține o vecinătate simetrică a aceluiași punct (efectuați demonstrația în întregime!).

Am dat o definiție generală a limitei unei funcții față de bază. Mai sus au fost considerate exemple ale celor mai comune baze în analiză. Într-o problemă specifică în care apare una sau alta dintre aceste baze, este necesar să se poată descifra definiția generală și să o noteze pentru o anumită bază.

Luând în considerare exemple de baze, am introdus, în special, conceptul de vecinătate a infinitului. Dacă se folosește acest concept, atunci în conformitate cu definiție comună limitează este rezonabil să se adopte următoarele convenții:

sau, care este la fel,

De obicei, printr-o valoare mică. În definițiile de mai sus, acest lucru nu este, desigur, cazul. În conformitate cu convențiile acceptate, de exemplu, putem scrie

Pentru a fi considerate dovedite în cazul general al unei limite peste o bază arbitrară, toate acele teoreme asupra limitelor pe care le-am demonstrat în secțiunea 2 pentru o bază specială, este necesar să se dea definițiile adecvate: în final constante, în final mărginite și infinit mic pentru o bază dată de funcții.

Definiție 13. O funcție se numește în final constantă la baza B dacă există un număr și un astfel de element al bazei, în orice punct din care

Definiție 14. O funcție se numește mărginită la baza B sau în cele din urmă mărginită la baza B dacă există un număr c și un astfel de element al bazei, în orice punct din care

Definiţia 15. O funcţie se numeşte infinitezimală cu baza B dacă

După aceste definiții și după observația de bază că numai proprietățile bazei sunt necesare pentru a demonstra teoremele limită, putem presupune că toate proprietățile limită stabilite în secțiunea 2 sunt valabile pentru limite peste orice bază.

În special, acum putem vorbi despre limita unei funcții la sau la sau la

În plus, ne-am asigurat posibilitatea aplicării teoriei limitelor chiar și în cazul în care funcțiile nu sunt definite pe mulțimi numerice; acest lucru se va dovedi a fi deosebit de valoros în viitor. De exemplu, lungimea unei curbe este o funcție numerică definită pe o anumită clasă de curbe. Dacă cunoaștem această funcție pe linii întrerupte, atunci prin trecerea la limită o determinăm pentru curbe mai complexe, de exemplu, pentru un cerc.

În prezent, principalul beneficiu al observației făcute și al conceptului de bază introdus în legătură cu aceasta este că ne scutesc de verificări și dovezi formale ale teoremelor limită pentru fiecare tip specific de trecere la limită sau, în terminologia noastră actuală. , pentru fiecare tip specific de baze

Pentru a ne obișnui în sfârșit cu conceptul de limită peste o bază arbitrară, vom demonstra proprietățile ulterioare ale limitei unei funcții într-o formă generală.