Ecuații algebrice de grade superioare cu parametri

Scopul acestei lucrări este de a studia diverse modalități de rezolvare a problemelor cu parametri. Abilitatea și capacitatea de a rezolva probleme cu parametrii demonstrează stăpânirea metodelor de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților, o înțelegere semnificativă a informațiilor teoretice, nivelul gandire logica stimulează activitatea cognitivă. Sunt necesare eforturi mai îndelungate pentru dezvoltarea acestor abilități, motiv pentru care în profil clasele 10-11 cu studiu aprofundatștiințe exacte, a fost introdus un curs: „Practicum matematic”, parte din care face parte rezolvarea ecuațiilor și inegalităților cu parametri. Cursul este una dintre disciplinele incluse în componenta curriculară a școlii.

Studiul cu succes al metodelor de rezolvare a problemelor cu parametri poate fi ajutat de un curs opțional sau opțional, sau de o componentă din spatele unei grile pe tema: „Probleme cu parametrii”.

Luați în considerare patru clase mari de probleme cu parametri:

1. Ecuații, inegalități și sistemele lor care trebuie rezolvate pentru orice valoare a parametrului sau pentru valorile parametrilor care aparțin unui anumit set.
2. Ecuații, inegalități și sistemele lor, pentru care se cere să se determine numărul de soluții în funcție de valoarea parametrului.
3. Ecuații, inegalități și sistemele lor, pentru care se cere să se găsească toate acele valori ale parametrului pentru care ecuațiile indicate (sisteme, inegalități) au un număr dat de soluții.
4. Ecuații, inegalități și sisteme ale acestora, pentru care, pentru valorile dorite ale parametrului, setul de soluții satisface condițiile date în domeniul definiției.

Metode de rezolvare a problemelor cu parametri.

1. Metodă analitică.

Aceasta este o metodă de rezolvare directă care repetă procedurile standard pentru găsirea unui răspuns în probleme fără parametru.

Exemplul 1: Găsiți toate valorile parametrilor A, pentru care ecuația:

(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 are cel mult o rădăcină.

La 2 A– 1 = 0 această ecuație nu este pătratică, deci este cazul A=1/2 sunt analizate separat.

În cazul în care un A= 1/2, atunci ecuația devine 1/2 X– 2 = 0, are o rădăcină.

În cazul în care un A≠ 1/2, atunci ecuația este pătratică; pentru ca acesta să aibă cel mult o rădăcină este necesar și suficient ca discriminantul să fie nepozitiv:

D= A 2 – 4(2A – 1)(2A – 3) = -15A 2 + 32A – 12;

Pentru a scrie răspunsul final, este necesar să înțelegeți

2. Metoda grafică.

În funcție de sarcină (cu o variabilă Xși parametru A) graficele sunt considerate în planul de coordonate ( X y) sau în avion ( x;a).

Exemplul 2. Pentru fiecare valoare a parametrului A cuantificați soluțiile ecuației .

Rețineți că numărul de soluții ale ecuației egal cu numărul de puncte de intersecție ale graficelor de funcții și y = a.

Graficul funcției prezentat în Fig.1.

y=a este o linie orizontală. Conform graficului, este ușor de stabilit numărul de puncte de intersecție în funcție de A(de exemplu, când A= 11 – două puncte de intersecție; la A= 2 – opt puncte de intersecție).

Răspuns: când A < 0 – решений нет; при A= 0 și A= 25/4 – patru soluții; la 0< A < 6 – восемь решений; при A= 6 – șapte soluții; la

6 < A < 25/4 – шесть решений; при A> 25/4 - două soluții.

3. Mod de decizie privind parametrul.

Când se rezolvă astfel, variabilele Xși A sunt luate egale și se selectează variabila în raport cu care soluția analitică devine mai simplă. După simplificări, trebuie să reveniți la sensul inițial al variabilelor Xși Ași completează soluția.

Exemplul 3: Găsiți toate valorile parametrilor A, pentru fiecare dintre care ecuația = - topor +3A+2 are o soluție unică.

Vom rezolva această ecuație prin schimbarea variabilelor. Fie = t , t≥ 0 atunci X = t 2 + 8 și ecuația devine la 2 +t + 5A– 2 = 0 . Acum sarcina este să le găsim pe toate A, pentru care ecuația la 2 +t + 5A– 2 = 0 are o soluție unică nenegativă. Acest lucru are loc în următoarele cazuri.

1) Dacă A= 0, atunci ecuația are o soluție unică t = 2.

Rezolvarea unor tipuri de ecuații și inegalități cu parametri.

Sarcinile cu parametri ajută la formarea gândirii logice, la dobândirea deprinderilor de cercetare.

Soluția fiecărei probleme este unică și necesită o abordare individuală, non-standard, deoarece nu există o modalitate unică de a rezolva astfel de probleme.

. Ecuatii lineare.

Sarcina numărul 1. Pentru ce valori ale parametrului b ecuația nu are rădăcini?

. Ecuații de putere, inegalități și sistemele lor.

Sarcina numărul 2. Găsiți toate valorile parametrilor A, pentru care mulțimea soluțiilor inegalității:

conține numărul 6 și, de asemenea, conține două segmente de lungime 6 care nu au puncte comune.

Să transformăm ambele părți ale inegalității.

Pentru ca mulțimea soluțiilor inegalității să conțină numărul 6, este necesar și suficient ca următoarea condiție să fie îndeplinită:

Fig.4

La A> 6 set de soluții ale inegalității: .

Intervalul (0;5) nu poate conține niciun segment de lungime 6. Prin urmare, două segmente care nu se intersectează de lungime 6 trebuie să fie conținute în intervalul (5; A).

. Ecuații exponențiale, inegalități și sisteme.

Sarcina numărul 3. În domeniul definiției funcției Luați toate numerele întregi pozitive și adăugați-le. Găsiți toate valorile pentru care o astfel de sumă este mai mare de 5, dar mai mică de 10.

1) Graficul unei funcții liniar-fracționale este o hiperbolă. După condiție X> 0. Cu o creștere nelimitată X fracția scade monoton și se apropie de zero, iar valorile funcției z crește și se apropie de 5. În plus, z(0) = 1.

2) Prin definiția gradului, domeniul definiției D(y) constă în soluții la inegalitatea . La A= 1 obținem o inegalitate care nu are soluții. Prin urmare, funcția la definit nicăieri.

3) La 0< A< 1 functie exponentiala cu baza A scade iar inegalitatea este echivalentă cu inegalitatea . La fel de X> 0, atunci z(X) > z(0) = 1. Deci fiecare valoare pozitivă X este o soluție la inegalitate. Prin urmare, pentru așa ceva A suma specificată în condiție nu poate fi găsită.

4) Când A> 1 funcție exponențială cu bază A crește și inegalitatea este echivalentă cu inegalitatea . În cazul în care un A≥ 5, atunci orice număr pozitiv este soluția sa, iar suma specificată în condiție nu poate fi găsită. Daca 1< A < 5, то множество положительных решений – это интервал (0;X 0), unde A = z(X 0) .

5) Numerele întregi sunt situate în acest interval pe rând, începând de la 1. Să calculăm sumele consecutive numere naturaleîncepând cu 1:1; 1+2 = 3; 1+2+3 = 6; 1+2+3+4 = 10;… Prin urmare, suma indicată va fi mai mare decât 5 și mai mică decât 10 numai dacă numărul 3 se află în intervalul (0; X 0), iar numărul 4 nu se află în acest interval. Deci 3< X 0 ≤ 4 . Deoarece crește cu , atunci z(3) < z(X 0) ≤ z(4) .

Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților iraționale, precum și a ecuațiilor, inegalităților și sistemelor care conțin module sunt considerate în Anexa 1.

Problemele cu parametrii sunt complexe deoarece nu există un singur algoritm pentru rezolvarea acestora. Specificul unor astfel de probleme este că, împreună cu cantitățile necunoscute, ele includ parametri ale căror valori numerice nu sunt specificate în mod specific, dar sunt considerate cunoscute și date pe o anumită mulțime numerică. În același timp, valorile parametrilor afectează în mod semnificativ cursul logic și tehnic al rezolvării problemei și forma răspunsului.

Conform statisticilor, mulți dintre absolvenți nu încep să rezolve probleme cu parametrii pentru USE. Potrivit FIPI, doar 10% dintre absolvenți încep să rezolve astfel de probleme, iar procentul soluției lor corecte este scăzut: 2–3%, deci dobândirea de competențe în rezolvarea sarcinilor dificile, nestandardizate, inclusiv a sarcinilor cu parametri, de către școală elevii este încă relevantă.

1.1. Concept metodologic general de rezolvare a ecuațiilor cu parametri

Fie ecuația F(x, a) = 0, (1)

dacă sarcina este stabilită pentru fiecare valoare a unei A rezolva ecuația (1) în raport cu X, adică obține ecuația

atunci ecuația (1) se numește ecuație cu o necunoscută Xși parametru A. A este zona de modificare a parametrilor. Este general acceptat că A este mulțimea numerelor reale. Rezolvarea ecuației (1) înseamnă rezolvarea mulțimii de ecuații care se obțin din ecuația (1) cu un R. Acest lucru se poate face dacă, după un criteriu, mulțimea A este împărțită în submulțimi și rezolvată. ecuația dată pe fiecare dintre ele. Valori A se numesc controale.

1.2. Utilizarea unui parametru ca variabilă peer

Poate fi indicat să se rezolve unele ecuații, considerându-le ca o ecuație tocmai față de parametrul care apare în condiție, și nu față de variabila dorită. Acest mod este eficient, în special, în cazurile în care gradul variabilei este relativ mare, iar gradul parametrului este egal cu doi.

Exemplul 1. Rezolvați o ecuație cu un parametru.

2x 3 - (a + 2) x 2 - ax + a 2 \u003d 0 (1)

Rezolvare: Această ecuație poate fi considerată drept una pătratică în raport cu parametrul A, rescriindu-l ca:

a 2 - x (x + 1) a - 2x 2 + 2x 3 \u003d 0 (2)

Găsiți discriminantul D.

D \u003d x 2 (x + 1) 2 - 8 (x 3 - x 2) \u003d x 4 - 6x 3 + 9x 2 \u003d x 2 (x 2 - 6x + 9) \u003d x 2 (x - 3) ) 2.

D \u003d x 2 (x - 3) 2

Să găsim rădăcinile ecuației (2).

; și 2 = 2x.

Obținem ecuația (a - x 2 + x) (a - 2x) \u003d 0, care este echivalentă cu ecuația inițială, care, la rândul ei, este echivalentă și cu mulțimea

Luați în considerare ecuația x 2 - x - a \u003d 0, D \u003d 1 - 4a.

D \u003d 0 pentru o \u003d -1/4 o rădăcină x \u003d 1/2

D< 0 при а < - 1/4 корней нет

D > 0 pentru a > -1/4 două rădăcini

Luați în considerare ecuația x \u003d a / 2, cu a \u003d -1/4, x \u003d -1/8.

Alegem un răspuns.

Răspuns: pentru a > -1/4 trei rădăcini: x1 = a/2,

cu un \u003d -1/4, două rădăcini: x1 \u003d -1/8; x 2 = ½

la o< - 1/4 один корень: х = а/2.

Exerciții

Rezolvați ecuații.

1. 2x 4 - (a + 2) x 3 - (a - 1) x 2 + (a 2 - 1) \u003d 0;
2. x 4 + 6x 3 + (4 - 2a) x 2 - (6a + 1) x + a 2 + a \u003d 0;
3. x 3 + (2a - 3) x 2 + (a 2 - 4a + 2) x - a 2 + 2a \u003d 0;
4. x 3 - (2a + 3) x 2 + (a 2 + 4a + 2) x - a 2 - 2a \u003d 0.

1.3. Mod grafic de rezolvare a ecuațiilor cu parametri

Vederea parametrului ca o variabilă egală este reflectată în metodele grafice. Într-adevăr, deoarece parametrul este „egal în drepturi” cu variabila, i se poate aloca în mod natural propria sa axă de coordonate. Astfel, există un plan de coordonate (x; a). Luați în considerare exemple.

Exemplul 1: În funcție de parametru A determinați numărul de rădăcini ale ecuației.

x 4 - 10x 3 - 2 (a - 11) x 2 + 2 (5a + 6) x + 2a + a 2 \u003d 0;

Decizie. Considerați această ecuație ca fiind una pătratică în raport cu a.

a 2 + 2a (1 + 5x - x 2) + (x 4 - 10x 3 + 22x 2 + 12x) \u003d 0;

Să găsim discriminantul

D / 4 \u003d 1 + 25x 2 + x 4 + 10x - 10x 3 - 2x 2 - x 4 + 10x 3 - 22x 2 - 12x \u003d x 2 - 2x + 1 \u003d \u003d (x - 1)

Găsiți un 1 și un 2; a 1 \u003d x 2 -5x - 1 + x - 1 \u003d x 2 - 4x - 2;

a 2 \u003d x 2 -5x - 1 - x + 1 \u003d \u003d x 2 - 6x.

Acum ne întoarcem la planul de coordonate (x; a).

x 2 - 4x - 2 \u003d x 2 - 6x, 2x \u003d 2, x \u003d 1, a (1) \u003d -5.

Răspuns: dacă a< -9, то нет решений;
dacă a = -9, atunci o soluție;
dacă -9< a < -6, то два решения;
dacă a = -6 sau a = -5, atunci trei soluții;
dacă -6< а < -5 или а >-5, apoi patru soluții.

Exerciții

Găsiți toate valorile parametrului a, pentru fiecare dintre ele ecuația are trei soluții.

1. (x 2 - 12a) 2 - 24x 2 + 32x + 96a \u003d 0;
2. (2x 2 - a) 2 - 24x 2 + 16x + 4a \u003d 0;
3. (2x 2 - a) 2 \u003d 13x 2 + 6x - 2a \u003d 0.

1.4. Utilizarea proprietăților funcțiilor pentru a rezolva ecuații algebrice

La examenele finale ale cursului liceu există ecuații cu un parametru, a cărui soluție este legată de utilizarea parității funcțiilor. Amintiți-vă definiția parității unei funcții.

Definiție. Funcția f(x) este apelată chiar dacă f(-x) = f(x) pentru orice x din domeniul acestei funcții. Programa chiar funcția simetric față de axa y. Pentru o funcție pară, domeniul de definiție este simetric față de origine.

Exemplul 1. Poate, pentru o anumită valoare, A ecuația

2x 8 - 3x 6 + 4x 4 - x 2 \u003d 5 au 5 rădăcini?

Decizie. Notați f (x) = 2x 8 - 3ax 6 + 4x 4 - ax 2. f(x) este o funcție pară, prin urmare, dacă x0 este rădăcina acestei ecuații, atunci x 0 este și, x \u003d 0 nu este rădăcina acestei ecuații (0 ≠ 5). Prin urmare, numărul de rădăcini ale acestei ecuații pentru orice real A este par, deci nu poate avea 5 rădăcini.

Răspuns: nu se poate.

Exemplul 2. La ce valoare A ecuația x 10 – a|x| + a 2 – a = 0 are o soluție unică?

Decizie. Notăm f(x) = x 10 – a|x| + a 2 - a, f (x) este o funcție pară, prin urmare, dacă x0 este rădăcina acestei ecuații, atunci - x 0 este de asemenea. Deci pentru unicitatea soluției este necesar ca x 0 = 0. În acest caz, din ecuație obținem: a 2 - a = 0, a = 0 sau a = 1. Verificăm suficiența fiecăruia dintre cele obținute. valorile parametrului A,

la a = 0, x 10 = 0, adică. x = 0 este singura soluție.

pentru a = 1, x 10 - |x| = 0. Rădăcinile sunt numerele ± 1, 0.

Răspuns: pentru a = 0, ecuația are o soluție unică.

Exerciții

1.5. Metoda de înlocuire

După cum știm deja, o soluție rațională și rapidă a unei ecuații depinde de o schimbare a variabilei. Să luăm în considerare exemple pentru care sunt necesare substituții speciale, care conduc tocmai la rezolvarea rapidă a ecuațiilor.

Sarcina 1 #6329

Nivel de sarcină: Egal cu examenul de stat unificat

Găsiți toate valorile parametrului \(a\) , pentru fiecare dintre care sistemul \[\begin(cases) (x-2a-2)^2+(y-a)^2=1\\ y^2=x^2\end(cases)\]

are exact patru soluții.

(UTILIZARE 2018, val principal)

A doua ecuație a sistemului poate fi rescrisă ca \(y=\pm x\) . Prin urmare, luați în considerare două cazuri: când \(y=x\) și când \(y=-x\) . Atunci numărul de soluții ale sistemului va fi egal cu suma numărului de soluții din primul și al doilea caz.

1) \(y=x\) . Înlocuiți în prima ecuație și obțineți: \ (rețineți că în cazul lui \(y=-x\) vom face același lucru și vom obține, de asemenea, o ecuație pătratică)
Pentru ca sistemul inițial să aibă 4 soluții diferite este necesar ca în fiecare dintre cele două cazuri să se obțină 2 soluții.
O ecuație pătratică are două rădăcini atunci când este \(D>0\) . Să găsim discriminantul ecuației (1):
\(D=-4(a^2+4a+2)\) .
Discriminant mai mare decât zero: \(a^2+4a+2<0\) , откуда \(a\in (-2-\sqrt2; -2+\sqrt2)\).

2) \(y=-x\) . Obținem o ecuație pătratică: \ Discriminantul este mai mare decât zero: \(D=-4(9a^2+12a+2)>0\) , de unde \(a\în \left(\frac(-2-\sqrt2)3; \frac(-2+\sqrt2)3\right)\).

Este necesar să se verifice dacă soluțiile din primul caz sunt aceleași cu soluțiile din al doilea caz.

Fie \(x_0\) soluția generală a ecuațiilor (1) și (2), atunci \ De aici obținem că fie \(x_0=0\) fie \(a=0\) .
Dacă \(a=0\) , atunci ecuațiile (1) și (2) se dovedesc a fi aceleași, prin urmare, au aceleași rădăcini. Acest caz nu ne convine.
Dacă \(x_0=0\) este rădăcina lor comună, atunci \(2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=0\), de unde \((2a+2)^2+a^2-1=0\) , de unde \(a=-1\) sau \(a=-0,6\) . Atunci întregul sistem original va avea 3 soluții diferite, ceea ce nu ni se potrivește.

Având în vedere toate acestea, răspunsul va fi:

Răspuns:

\(a\in\left(\frac(-2-\sqrt2)3; -1\right)\cup\left(-1; -0,6\right)\cup\left(-0,6; - 2+\sqrt2 \dreapta)\)

Sarcina 2 #4032

Nivel de sarcină: Egal cu examenul de stat unificat

Găsiți toate valorile \(a\) , pentru fiecare dintre care sistemul \[\begin(cases) (a-1)x^2+2ax+a+4\leqslant 0\\ ax^2+2(a+1)x+a+1\geqslant 0 \end(cases)\ ]

are o soluție unică.

Să rescriem sistemul ca: \[\begin(cases) ax^2+2ax+a\leqslant x^2-4\\ ax^2+2ax+a\geqslant -2x-1 \end(cases)\] Luați în considerare trei funcții: \(y=ax^2+2ax+a=a(x+1)^2\) , \(g=x^2-4\) , \(h=-2x-1\) . Din sistem rezultă că \(y\leqslant g\) , dar \(y\geqslant h\) . Prin urmare, pentru ca sistemul să aibă soluții, graficul \(y\) trebuie să fie în zonă, care este dată de condițiile: „deasupra” graficului \(h\) , dar „dedesubt” graficului \(g\). ) :

(vom numi regiunea „stânga” regiunea I, regiunea „dreapta” - regiunea II)
Rețineți că pentru fiecare grafic \(a\ne 0\) fix \(y\) este o parabolă al cărei vârf este în punctul \((-1;0)\) și ale cărui ramuri sunt fie în sus, fie în jos. Dacă \(a=0\) , atunci ecuația arată ca \(y=0\), iar graficul este o linie dreaptă care coincide cu axa x.
Rețineți că, pentru ca sistemul original să aibă o soluție unică, este necesar ca graficul \(y\) să aibă exact un punct comun cu regiunea I sau cu regiunea II (aceasta înseamnă că graficul \(y\) trebuie să aibă un singur punct comun cu hotarul uneia dintre aceste regiuni).

Să luăm în considerare mai multe cazuri separat.

1) \(a>0\) . Apoi ramurile parabolei \(y\) sunt întoarse în sus. Pentru ca sistemul original să aibă o soluție unică, este necesar ca parabola \(y\) să atingă limita regiunii I sau limita regiunii II, adică să atingă parabola \(g\) și abscisa punctului de contact ar trebui să fie \(\leqslant -3\) sau \(\geqslant 2\) (adică parabola \(y\) trebuie să atingă granița uneia dintre regiunile care se află deasupra lui x -axa, deoarece parabola \(y\) se află deasupra axei x).

\(y"=2a(x+1)\) , \(g"=2x\) . Condiții pentru ca graficele \(y\) și \(g\) să se atingă în punctul cu abscisă \(x_0\leqslant -3\) sau \(x_0\geqslant 2\) : \[\begin(cases) 2a(x_0+1)=2x_0\\ a(x_0+1)^2=x_0^2-4 \\ \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &x_0\leqslant - 3\\ &x_0\geqslant 2 \end(aliniat)\end(adunat)\right. \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &x_0\leqslant -3\\ &x_0\geqslant 2 \end(aligned)\end(gathered) \dreapta.\\ a=\dfrac(x_0)(x_0+1)\\ x_0^2+5x_0+4=0 \end(cases)\] Din sistemul dat \(x_0=-4\) , \(a=\frac43\) .
Am primit prima valoare a parametrului \(a\) .

2) \(a=0\) . Atunci \(y=0\) și este clar că linia are un număr infinit de puncte în comun cu regiunea II. Prin urmare, această valoare a parametrului nu ni se potrivește.

3) \(a<0\) . Тогда ветви параболы \(y\) обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку \(B\) , причем, если парабола \(y\) будет иметь еще одну общую точку с прямой \(h\) , то эта общая точка должна быть “выше” точки \(B\) (то есть абсцисса второй точки должна быть \(<1\) ).

Găsiți \(a\) pentru care parabola \(y\) trece prin punctul \(B\) : \[-3=a(1+1)^2\quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac34\] Ne asigurăm că, cu această valoare a parametrului, al doilea punct de intersecție al parabolei \(y=-\frac34(x+1)^2\) cu dreapta \(h=-2x-1\) este un punct cu coordonate \(\stanga(-\frac13; -\frac13\dreapta)\).
Astfel, avem încă o valoare a parametrului.

Deoarece am luat în considerare toate cazurile posibile pentru \(a\) , răspunsul final este: \

Răspuns:

\(\stanga\(-\frac34; \frac43\dreapta\)\)

Sarcina 3 #4013

Nivel de sarcină: Egal cu examenul de stat unificat

Găsiți toate valorile parametrului \(a\) , pentru fiecare dintre care sistemul de ecuații \[\begin(cases) 2x^2+2y^2=5xy\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 \end(cases)\]

are exact două soluții.

1) Considerați prima ecuație a sistemului drept pătratică în raport cu \(x\) : \ Discriminantul este egal cu \(D=9y^2\) , prin urmare, \ Atunci ecuația poate fi rescrisă ca \[(x-2y)\cdot (2x-y)=0\] Prin urmare, întregul sistem poate fi rescris ca \[\begin(cases) \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &y=2x\\ &y=0,5x\end(aliniat)\end(gathered)\right.\\ (x-a)^2 + (y-a)^2=5a^4\end(cazuri)\] Mulțimea definește două drepte, a doua ecuație a sistemului definește un cerc cu centrul \((a;a)\) și raza \(R=\sqrt5a^2\) . Pentru ca ecuația inițială să aibă două soluții, cercul trebuie să intersecteze graficul populației în exact două puncte. Iată desenul când, de exemplu, \(a=1\) :


Rețineți că, deoarece coordonatele centrului cercului sunt egale, centrul cercului „se desfășoară” de-a lungul liniei drepte \(y=x\) .

2) Deoarece dreapta \(y=kx\) are tangenta unghiului de înclinare a acestei drepte la direcția pozitivă a axei \(Ox\) este egală cu \(k\), atunci tangentei pantei a dreptei \(y=0,5x\) este egală cu \ (0,5\) (să-i spunem \(\mathrm(tg)\,\alpha\) ), linia dreaptă \(y=2x\) este egal cu \(2\) (să-l numim \(\mathrm(tg)\ ,\beta\) ). observa asta \(\mathrm(tg)\,\alpha\cdot \mathrm(tg)\,\beta=1\), prin urmare, \(\mathrm(tg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\beta=\mathrm(tg)\,(90^\circ-\beta)\). De aici \(\alpha=90^\circ-\beta\) , de unde \(\alpha+\beta=90^\circ\) . Aceasta înseamnă că unghiul dintre \(y=2x\) și direcția pozitivă \(Oy\) este egal cu unghiul dintre \(y=0,5x\) și direcția pozitivă \(Ox\) :


Și întrucât linia \(y=x\) este bisectoarea unghiului de coordonate I (adică unghiurile dintre ea și direcțiile pozitive \(Ox\) și \(Oy\) sunt egale în \(45^\ circ\) ), atunci unghiurile dintre \(y=x\) și liniile \(y=2x\) și \(y=0,5x\) sunt egale.
Aveam nevoie de toate acestea pentru a spune că dreptele \(y=2x\) și \(y=0.5x\) sunt simetrice între ele în raport cu \(y=x\) , prin urmare, dacă cercul atinge unul dintre ele, atunci atinge neapărat a doua linie.
Rețineți că dacă \(a=0\) , atunci cercul degenerează în punctul \((0;0)\) și are un singur punct de intersecție cu ambele drepte. Adică acest caz nu ne convine.
Astfel, pentru ca cercul să aibă 2 puncte de intersecție cu liniile, trebuie să fie tangent la aceste drepte:


Vedem că cazul în care cercul este situat în al treilea trimestru este simetric (față de originea coordonatelor) față de cazul când este situat în primul trimestru. Adică în primul trimestru \(a>0\), iar în al treilea \(a<0\) (но такие же по модулю).
Prin urmare, vom lua în considerare doar primul trimestru.


observa asta \(OQ=\sqrt((a-0)^2+(a-0)^2)=\sqrt2a\), \(QK=R=\sqrt5a^2\) . Apoi \ Apoi \[\mathrm(tg)\,\angle QOK=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4))\] Dar pe de altă parte, \[\mathrm(tg)\,\angle QOK=\mathrm(tg)\,(45^\circ-\alpha)=\dfrac(\mathrm(tg)\, 45^\circ-\mathrm(tg) \,\alpha)(1+\mathrm(tg)\,45^\circ\cdot \mathrm(tg)\,\alpha)\] prin urmare, \[\dfrac(1-0.5)(1+1\cdot 0.5)=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4)) \quad\Leftrightarrow\quad a =\pm \ dfrac15\] Astfel, am obținut deja imediat atât o valoare pozitivă, cât și una negativă pentru \(a\) . Prin urmare, răspunsul este: \

Răspuns:

\(\{-0,2;0,2\}\)

Sarcina 4 #3278

Nivel de sarcină: Egal cu examenul de stat unificat

Găsiți toate valorile \(a\) , pentru fiecare dintre ele ecuația \

are o soluție unică.

(USE 2017, proces oficial 21.04.2017)

Să facem înlocuirea \(t=5^x, t>0\) și să mutăm toți termenii într-o singură parte: \ Am obținut o ecuație pătratică ale cărei rădăcini, conform teoremei Vieta, sunt \(t_1=a+6\) și \(t_2=5+3|a|\) . Pentru ca ecuația inițială să aibă o rădăcină, este suficient ca ecuația rezultată cu \(t\) să aibă și o rădăcină (pozitivă!).
Observăm imediat că \(t_2\) pentru toate \(a\) va fi pozitiv. Astfel, obținem două cazuri:

1) \(t_1=t_2\) : \ &a=-\dfrac14 \end(aliniat) \end(adunat) \right.\]

2) Deoarece \(t_2\) este întotdeauna pozitiv, \(t_1\) trebuie să fie \(\leqslant 0\) : \

Răspuns:

\((-\infty;-6]\cup\left\(-\frac14;\frac12\right\)\)

Sarcina 5 #3252

Nivel de sarcină: Egal cu examenul de stat unificat

\[\sqrt(x^2-a^2)=\sqrt(3x^2-(3a+1)x+a)\]

are exact o rădăcină pe intervalul \(\) .

(Examenul de stat unificat 2017, zi de rezervă)

Ecuația poate fi rescrisă astfel: \[\sqrt((x-a)(x+a))=\sqrt((3x-1)(x-a))\] Astfel, rețineți că \(x=a\) este rădăcina ecuației pentru orice \(a\) , deoarece ecuația devine \(0=0\) . Pentru ca această rădăcină să aparțină segmentului \(\) , aveți nevoie de \(0\leqslant a\leqslant 1\) .
A doua rădăcină a ecuației se găsește din \(x+a=3x-1\) , adică \(x=\frac(a+1)2\) . Pentru ca acest număr să fie rădăcina ecuației, trebuie să satisfacă ODZ a ecuației, adică: \[\left(\dfrac(a+1)2-a\right)\cdot \left(\dfrac(a+1)2+a\right)\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad -\dfrac13\leqslant a\leqslant 1\] Pentru ca această rădăcină să aparțină segmentului \(\) , este necesar ca \ Astfel, pentru ca rădăcina \(x=\frac(a+1)2\) să existe și să aparțină segmentului \(\) , este necesar ca \(-\frac13\leqslant a\leqslant 1\).
Rețineți că atunci pentru \(0\leqslant a\leqslant 1\) ambele rădăcini \(x=a\) și \(x=\frac(a+1)2\) aparțin segmentului \(\) (adică , ecuația are două rădăcini pe acest segment), cu excepția cazului în care acestea coincid: \ Deci ne potrivim \(a\în \stanga[-\frac13; 0\dreapta)\)și \(a=1\) .

Răspuns:

\(a\în \left[-\frac13;0\right)\cup\(1\)\)

Sarcina 6 #3238

Nivel de sarcină: Egal cu examenul de stat unificat

Găsiți toate valorile parametrului \(a\) , pentru fiecare dintre ele ecuația \

are o singură rădăcină pe segmentul \(.\)

(Examenul de stat unificat 2017, zi de rezervă)

Ecuația este echivalentă: \ ecuația odz: \[\begin(cases) x\geqslant 0\\ x-a\geqslant 0\\3a(1-x) \geqslant 0\end(cases)\] Pe ODZ, ecuația va fi rescrisă sub forma: \

1) Fie \(a<0\) . Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 1\) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке \(\) , этот корень должен быть равен \(1\) . Проверим: \ Nu se potrivește cu \(a<0\) . Следовательно, эти значения \(a\) не подходят.

2) Fie \(a=0\) . Atunci ecuația ODZ este: \(x\geqslant 0\) . Ecuația va fi rescrisă astfel: \ Rădăcina rezultată se potrivește sub ODZ și este inclusă în segmentul \(\) . Prin urmare, \(a=0\) este potrivit.

3) Fie \(a>0\) . Apoi ODZ: \(x\geqslant a\) și \(x\leqslant 1\) . Prin urmare, dacă \(a>1\) , atunci ODZ este un set gol. Astfel, \(0 Se consideră funcția \(y=x^3-a(x^2-3x+3)\) . Să-l explorăm.
Derivata este \(y"=3x^2-2ax+3a\) . Să determinăm ce semn poate fi derivata. Pentru a face acest lucru, găsiți discriminantul ecuației \(3x^2-2ax+3a=0\) : \(D=4a( a-9)\) Prin urmare, pentru \(a\in (0;1]\) discriminantul \(D<0\) . Значит, выражение \(3x^2-2ax+3a\) положительно при всех \(x\) . Следовательно, при \(a\in (0;1]\) производная \(y">0\) . Prin urmare, \(y\) este în creștere. Astfel, prin proprietatea unei funcții crescătoare, ecuația \(y(x)=0\) poate avea cel mult o rădăcină.

Prin urmare, pentru ca rădăcina ecuației (punctul de intersecție al graficului \(y\) cu axa x) să fie pe segmentul \(\) , este necesar ca \[\begin(cases) y(1)\geqslant 0\\ y(a)\leqslant 0 \end(cases)\quad\Rightarrow\quad a\in \] Considerând că inițial în cazul luat în considerare \(a\in (0;1]\) , atunci răspunsul este \(a\in (0;1]\). Rețineți că rădăcina \(x_1\) satisface \( (1) \) , rădăcinile \(x_2\) și \(x_3\) satisfac \((2)\) . De asemenea, rețineți că rădăcina \(x_1\) aparține segmentului \(\) .
Luați în considerare trei cazuri:

1) \(a>0\) . Apoi \(x_2>3\) , \(x_3<3\) , следовательно, \(x_2\notin .\) Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\) в одном из двух случаях:
- \(x_1\) satisface \((2)\) , \(x_3\) nu satisface \((1)\) , sau se potrivește cu \(x_1\) , sau satisface \((1)\), dar neinclus în segmentul \(\) (adică mai mic decât \(0\) );
- \(x_1\) nu satisface \((2)\) , \(x_3\) satisface \((1)\) și nu este egal cu \(x_1\) .
Rețineți că \(x_3\) nu poate fi atât mai mic decât zero, cât și să satisfacă \((1)\) (adică mai mare decât \(\frac35\) ). Având în vedere această remarcă, cazurile se înregistrează în următorul set: \[\left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3-a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\ &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3-a> Rezolvând această colecție și ținând cont de faptul că \(a>0\) , obținem: \

2) \(a=0\) . Atunci \(x_2=x_3=3\in .\) Rețineți că în acest caz \(x_1\) satisface \((2)\) și \(x_2=3\) satisface \((1)\) , atunci există este o ecuație care are două rădăcini la \(\) . Această valoare \(a\) nu ne convine.

3) \(a<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) și \(x_3\notin \) . Argumentând în mod similar cu paragraful 1), trebuie să rezolvați setul: \[\left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\ &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end(cases) \end(aligned) \end(adunat)\dreapta.\] Rezolvând această colecție și ținând cont de faptul că \(a<0\) , получим: \\]

Răspuns:

\(\left(-\frac(13)5;-\frac(12)5\right] \cup\left[\frac(12)5;\frac(13)5\right)\)