Prima întrebare Examen

1. Metodologia analizei sistemului. Conceptul de sistem. Proprietățile statice ale sistemului. Deschidere. Dificultăți în construirea unui model cutie neagră. Neomogenitatea compoziției. Dificultăți în construirea unui model de compoziție. Structurat. Dificultăți în construirea unui model de structură.

proprietăți statice Să numim caracteristicile unei anumite stări a sistemului. Aceasta este ceea ce are sistemul în orice moment, cu excepția unui moment fix în timp.

deschidere este a doua proprietate a sistemului. Sistemul izolat, care se distinge de orice altceva, nu este izolat de mediu. Dimpotrivă, sunt conectate și schimbă între ele orice fel de resurse (substanță, energie, informații etc.). Să remarcăm că conexiunile sistemului cu mediul sunt direcționale; după unul, mediul afectează sistemul (se numesc intrări de sistem), după alții, sistemul afectează mediul, face ceva în mediu, dă ceva mediului (astfel de conexiuni se numesc ieșiri de sistem). Se apelează lista de intrări și ieșiri ale sistemului model cutie neagra . Acest model nu are informații despre caracteristicile interne ale sistemului. În ciuda simplității (aparente) și conținutului slab al modelului cutie neagră, acest model este adesea destul de suficient pentru a funcționa cu sistemul.

Dificultăți în construirea unui model cutie neagră . Toate acestea provin din faptul că modelul conține întotdeauna o listă finită de conexiuni, în timp ce numărul lor într-un sistem real nu este limitat. Se pune întrebarea: care dintre ele ar trebui să fie incluse în model și care nu? Știm deja răspunsul: modelul trebuie să reflecte toate conexiunile pentru care sunt esențiale

realizarea obiectivului.

Patru tipuri de erori la construirea unui model cutie neagră:

O eroare de primul fel apare atunci când subiectul consideră relația ca fiind semnificativă și decide să o includă în model, pe când de fapt, în raport cu scopul, este nesemnificativă și ar putea fi ignorată. Acest lucru duce la apariția în model a unor elemente „de prisos”, care sunt în esență inutile.

O eroare de al doilea fel, dimpotrivă, este comisă de subiect atunci când decide că această legătură este nesemnificativă și nu merită să fie inclusă în model, în timp ce de fapt, fără ea, scopul nostru nu poate fi pe deplin sau chiar complet. realizat.

Eroarea de tip III este considerată a fi consecințele ignoranței. Pentru a evalua semnificația unei anumite conexiuni, trebuie să știi că ea există deloc. Dacă acest lucru nu se știe, nu se pune problema de a-l include în model sau deloc: modelele conțin doar ceea ce știm. Dar din faptul că nu bănuim existența unei anumite conexiuni, aceasta nu încetează să existe și să se manifeste în realitate. Și apoi totul depinde de cât de esențial este să ne atingem obiectivul. Dacă este nesemnificativ, atunci în practică nu vom observa prezența lui în realitate și absența ei în model. Dacă este semnificativă, vom experimenta aceleași dificultăți ca și în cazul unei erori de al doilea fel. Diferența este că eroarea de tip III este mai greu de corectat: trebuie dobândite noi cunoștințe.

O eroare de al patrulea fel poate apărea atunci când o relație semnificativă cunoscută și recunoscută este atribuită incorect numărului de intrări sau ieșiri.

Eterogenitate internă: distingerea părților (a treia proprietate a sistemului). Dacă te uiți în interiorul „cutiei negre”, se dovedește că sistemul nu este omogen, nu este monolitic; puteți descoperi că diferite calități în diferite locuri sunt diferite. Descrierea eterogenității interne a sistemului se reduce la izolarea unor zone relativ omogene, trasând limite între ele. Așa apare conceptul părților sistemului. La o examinare mai atentă, se dovedește că părțile mari selectate nu sunt, de asemenea, omogene, ceea ce necesită selectarea unor părți și mai mici. Rezultatul este o listă ierarhică a părților sistemului, pe care o vom numi modelul de compoziție a sistemului.

Dificultăți în construirea unui model de compoziție , pe care toată lumea trebuie să o depășească, poate fi reprezentată de trei prevederi:

Primul. Întregul poate fi împărțit în părți în moduri diferite (cum ar fi tăierea unei pâini în felii de diferite dimensiuni și forme). Cum mai exact este necesar? Răspuns: așa cum trebuie să-ți atingi scopul.

Al doilea. Numărul de piese din modelul de compoziție depinde și de nivelul la care este oprită fragmentarea sistemului. Părțile de pe ramurile terminale ale arborelui ierarhic rezultat sunt numite elemente .

Al treilea. Orice sistem face parte dintr-un sistem mai mare (și adesea parte din mai multe sisteme simultan). Și acest metasistem poate fi, de asemenea, împărțit în subsisteme în moduri diferite. Aceasta înseamnă că granița externă a sistemului are un caracter relativ, condiționat. Nici măcar limita „evidentă” a sistemului (pielea umană, gardul unei întreprinderi etc.) în anumite condiții nu este suficientă pentru a determina limita în aceste condiții.

Structurat A patra proprietate statică este că părțile sistemului nu sunt independente, nu sunt izolate unele de altele; sunt interconectate și interacționează între ele. În același timp, proprietățile sistemului în ansamblu depind în mod esențial de modul în care interacționează exact părțile sale. Prin urmare, informațiile despre relațiile părților sunt atât de adesea importante. Lista de legături esențiale dintre elementele sistemului se numește modelul structurii sistemului. Indivizibilitatea oricărui sistem de către o anumită structură va fi numită a patra proprietate statică a sistemelor - structurarea.

Dificultăți în construirea unui model de structură . Subliniem că pentru acest sistem pot fi propuse multe modele diferite ale structurii. Este clar că pentru atingerea unui anumit scop este nevoie de unul, specific, cel mai potrivit model al acestora. Dificultatea de a alege dintre cele disponibile sau de a construi un model special pentru cazul nostru provine din faptul că, prin definiție, un model de structură este o listă de relații esențiale.

Prima dificultate este legată de faptul că modelul de structură este determinat după alegerea modelului de compoziție și depinde de care este exact compoziția sistemului. Dar chiar și cu o compoziție fixă, modelul de structură este variabil - din cauza posibilității de a determina semnificația relațiilor în moduri diferite.

A doua dificultate provine din faptul că fiecare element al sistemului este o „cutie neagră”. Deci toate cele patru tipuri de erori sunt POSIBILE atunci când se determină intrările și ieșirile fiecărui element inclus în modelul de structură.

2. Metodologia analizei sistemului. Conceptul de sistem. Proprietăți dinamice ale sistemului: funcționalitate, stimulare, variabilitate a sistemului în timp, existență într-un mediu în schimbare. Proprietăți sintetice ale sistemului: apariție, inseparabilitate în părți, inerență, oportunitate.

Proprietățile dinamice ale sistemului:

Funcționalitate este a cincea proprietate a sistemului. Procesele Y(t) care apar la ieșirile sistemului (Y(1)^(yi(t), Yi(1), -, Yn(0) sunt considerate drept funcții ale acestuia. Funcțiile sistemului - acesta este comportamentul ei în mediul extern; modificările efectuate de sistem mediu inconjurator; rezultatele activității sale; produse produse de sistem. Din multiplicitatea ieșirilor urmează multiplicitatea funcțiilor, fiecare dintre acestea putând fi folosită de cineva și pentru ceva. Prin urmare, același sistem poate servi unor scopuri diferite.

Stimulabilitate - a șasea proprietate a sistemului. Anumite procese X(t) = (x^(t), X2 (t), x^(t)) apar și la intrările sistemului, afectând sistemul, transformându-se (după o serie de transformări în sistem) în YT). Să numim influențelor X(t) stimulente și însăși susceptibilitatea oricărui sistem la influențele externe și schimbarea comportamentului său sub aceste influențe - vom numi stimulabilitate.

Variabilitatea sistemului în timp - a șaptea proprietate a sistemului. În orice sistem, există modificări care trebuie luate în considerare; să prevadă și să se bazeze în proiectul viitorului sistem; contribuiți sau contracarați-le, accelerându-le sau încetinindu-le atunci când lucrați cu sistemul existent. Orice se poate schimba în sistem, dar în ceea ce privește modelele noastre, putem oferi o clasificare clară a modificărilor: valorile variabilelor interne (parametrii) Z(t), compoziția și structura sistemului și orice combinație de ele se pot schimba.

Existența într-un mediu în schimbare - a opta proprietate a sistemului. Nu numai acest sistem se schimbă, ci și toate celelalte. Pentru acest sistem, pare o schimbare continuă a mediului. Inevitabilitatea existenței într-un mediu în continuă schimbare are multe consecințe asupra sistemului însuși, de la nevoia de adaptare la schimbările exterioare pentru a nu pieri, la diverse alte reacții ale sistemului. Atunci când luăm în considerare un sistem specific pentru un scop specific, atenția este concentrată asupra unor caracteristici specifice ale răspunsului său.

Proprietățile sintetice ale sistemului:

Sintetic . Acest termen denotă proprietăți generalizatoare, colective, integrale, ținând cont de cele spuse mai înainte, dar punând accent pe interacțiunea sistemului cu mediul, asupra integrității în sensul cel mai general.

aparitie - a noua proprietate a sistemului. Poate că această proprietate vorbește mai mult decât oricare alta despre natura sistemelor. Combinarea părților într-un sistem dă naștere la noi proprietăți calitativ ale sistemului care nu sunt reduse la proprietățile părților, nu sunt derivate din proprietățile părților, sunt inerente doar sistemului în sine și există doar atâta timp cât sistemul este un întreg. Un sistem este mai mult decât o simplă colecție de piese. Calitatile sistemului care îi aparțin numai ei, se numesc emergente (din engleza „a se naste”).

Inseparabilitate în părți este a zecea proprietate a sistemului. Deși această proprietate este o simplă consecință a apariției, importanța sa practică este atât de mare, iar subestimarea ei este atât de comună, încât merită să o subliniem separat. Dacă avem nevoie de sistemul în sine, și nu de altceva, atunci acesta nu poate fi împărțit în părți. Atunci când o piesă este ȘTIRATĂ din sistem, au loc două evenimente importante.

În primul rând, acest lucru schimbă compoziția sistemului și, prin urmare, structura acestuia. Va fi un sistem diferit, cu proprietăți diferite. Deoarece primul sistem are multe proprietăți, unele proprietăți asociate cu această parte anume vor dispărea cu totul (se poate dovedi a fi atât emergente, cât și neemergente. Unele proprietăți se vor schimba, dar vor fi parțial păstrate. Și unele proprietăți ale sistemului sunt în general lipsite de importanță. Subliniem încă o dată că dacă eliminarea unei părți din sistem va avea sau nu un impact semnificativ este o chestiune de evaluare a consecințelor.

Al doilea consecință importantă scoaterea unei piese din sistem constă în faptul că piesa din sistem și din afara acestuia nu sunt același lucru. Proprietățile sale se schimbă datorită faptului că proprietățile obiectului se manifestă în interacțiuni cu obiectele care îl înconjoară, iar atunci când elementul este îndepărtat din sistem, mediul elementului devine complet diferit.

ingrență - a unsprezecea proprietate a sistemului. Vom spune că sistemul este mai ierent (din engleză inerent - fiind parte integrantă a ceva), cu atât este mai bine coordonat, adaptat mediului, compatibil cu acesta. Gradul de inerență variază și se poate schimba (învățare, uitare, evoluție, reforme, dezvoltare, degradare etc.). Faptul că toate sistemele sunt deschise nu înseamnă că toate sunt la fel de bine coordonate cu mediul.

oportunitate - a douăsprezecea proprietate a sistemului. În sistemele create de om, subordonarea tuturor (atât compoziția, cât și structura) față de scop este atât de evidentă încât trebuie recunoscută ca o proprietate fundamentală a oricărui sistem artificial. Scopul pentru care este creat sistemul determină care proprietate emergentă va asigura realizarea scopului, iar aceasta, la rândul său, dictează alegerea compoziției și structurii sistemului. Una dintre definițiile unui sistem afirmă că un sistem este un mijloc pentru un scop. Se înțelege că, dacă scopul propus nu poate fi atins în detrimentul oportunităților existente, atunci subiectul compune din obiectele care îl înconjoară. sistem nou special creat pentru a ajuta la atingerea acestui obiectiv. Este demn de remarcat faptul că scopul determină rareori fără ambiguitate compoziția și structura sistemului creat: este important ca funcția dorită să fie implementată, iar acest lucru poate fi adesea atins în moduri diferite.

3. Metodologia analizei sistemului. Modele și modelare. Conceptul de model ca sistem. Analiza și sinteza ca metode de construire a modelelor. Clasificarea artificială și naturală a modelelor. Coerența modelelor cu cultura subiectului.

În funcție de ceea ce trebuie să știm, să explicăm - cum funcționează sistemul sau cum interacționează cu mediul, există două metode de cunoaștere: 1) analitic; 2) sintetice.

Procedura de analiză constă în executarea secvenţială a următoarelor trei operaţii; 1) împărțiți întregul complex în părți mai mici, probabil mai simple; 2) dați o explicație clară a fragmentelor primite; 3) combinați explicația părților într-o explicație a întregului. Dacă o parte a sistemului este încă de neînțeles, operația de descompunere se repetă și încercăm din nou să explicăm fragmente noi, chiar mai mici.

Primul produs al analizei este, după cum se poate observa din diagramă, o listă de elemente de sistem, adică . model de compoziție a sistemului . Al doilea produs al analizei este un model de structură a sistemului . Al treilea produs al analizei este model cutie neagra pentru fiecare element al sistemului.

Metoda sintetică constă în efectuarea succesivă a trei operaţii: 1) selectarea unui sistem mai mare (metasistem), în care sistemul care ne interesează este inclus ca parte; 2) luarea în considerare a compoziției și structurii metasistemului (analiza acestuia): 3) explicarea rolului pe care sistemul nostru îl ocupă în metasistem prin conexiunile sale cu alte subsisteme ale metasistemului. Produsul final al sintezei este cunoașterea conexiunilor sistemului nostru cu alte părți ale metasistemului, adică. model cutie neagra. Dar pentru a-l construi, a trebuit să creăm modele ale compoziției și structurii metasistemului pe parcurs ca produse secundare.

Analiza și sinteza nu sunt opuse, ci se completează reciproc. Mai mult, în analiză există o componentă sintetică, iar în sinteză există o analiză a metasistemului.

Există două tipuri de clasificări: artificiale și naturale . Cu clasificare artificială împărțirea în clase se realizează „cum trebuie”, adică. pe baza scopului – atâtea clase și cu asemenea limite câte dictează scopul. O clasificare oarecum diferită se face atunci când setul luat în considerare este în mod clar neomogen. Grupările naturale (se numesc clustere în statistică) par să sugereze ele însele să fie definite ca clase , (de unde și numele clasificării naturale) . Cu toate acestea, trebuie avut în vedere faptul că clasificarea naturală este doar un model simplificat, grosier al realității .

Coerența modelelor cu cultura subiectului . Pentru ca modelul să-și realizeze funcția de model, nu este suficient să existe doar modelul în sine. Este necesar să modelul a fost compatibil, în concordanță cu mediul, care pentru model este cultura (lumea modelelor) utilizatorului. Această condiție, atunci când se iau în considerare proprietățile sistemelor, se numește inerență: inerența unui model la cultură este o cerință necesară pentru modelare. Gradul de integritate a modelului se poate schimba: creste (antrenamentul utilizatorilor, aparitia unui adaptor de tip Rosetta Stone, etc.) sau scade (uitare, distrugere a culturii) datorita modificarilor de mediu sau a modelului in sine. Astfel, un alt element, cultura, ar trebui inclus în metasistemul de modelare.

4. Metodologia analizei sistemului. Control. Cinci componente ale managementului. Șapte tipuri de control.

Control - impactul vizat asupra sistemului.

Cinci componente de control:

Prima componentă de control este obiectul de control însuși, sistemul gestionat.

A doua componentă obligatorie a sistemului de management este scopul managementului.

Acțiunea de control U(t) este a treia componentă de control . Faptul că intrările și ieșirile sistemului sunt interconectate printr-o relație Y(t)=S ne permite să sperăm că există o astfel de acțiune de control sub care obiectivul V*(t) este realizat la ieșire.

Modelul de sistem devine a patra componentă a procesului de management.

Trebuie efectuate toate acțiunile necesare managementului. Această funcție este de obicei atribuită unui sistem special creat pentru aceasta. (a cincea componentă a procesului de management). Numit o unitate de control sau un sistem de control (subsistem), un dispozitiv de control etc. In realitate Bloc de control poate fi un subsistem al unui sistem controlat (cum ar fi un sistem de control al apei face parte dintr-o fabrică, un pilot automat face parte dintr-o aeronavă), dar poate fi și un sistem extern (cum ar fi un minister pentru o întreprindere subordonată, ca un aerodrom controlor pentru o aeronavă care vine la aterizare).

Șapte tipuri de control:

Primul tip de control este controlul unui sistem simplu sau controlul programului.

Al doilea tip de management este managementul unui sistem complex.

Al treilea tip de control este controlul prin parametri sau reglarea.

Al patrulea tip de management este managementul pe structură.

Al cincilea tip de management este managementul prin obiective.

Al șaselea tip de management este managementul sistemelor mari.

Al șaptelea tip de management. Pe lângă primul tip de control, când este disponibil tot ceea ce este necesar pentru atingerea scopului, celelalte tipuri de control luate în considerare sunt asociate cu factori de depășire care ajută la atingerea scopului: lipsa de informații despre obiectul de control (al doilea tip), al treilea -interferența minoră a părții care abate ușor sistemul de la traiectoria țintă (tip al treilea), discrepanță între proprietățile emergente ale sistemului și obiectivul (tipul al patrulea), lipsa resurselor materiale, care fac obiectivul inatins și necesită înlocuirea acestuia (tipul al cincilea). ), lipsa timpului de cautare cea mai bună soluție(al șaselea tip).

5. Tehnologia analizei sistemului. Condiții pentru succesul cercetării sistematice. Etapele cercetării sistematice: remedierea problemei, diagnosticarea problemei, alcătuirea unei liste de părți interesate, determinarea dezordinei problematice.

Condiții pentru succesul cercetării sistemelor :

garantarea accesului la orice informație necesară (în același timp, analistul, la rândul său, garantează confidențialitatea);

garanția participării personale a primelor persoane ale organizațiilor - participanți obligatorii într-o situație problematică (șefii sistemelor de rezolvare a problemelor și de conținut);

abandonarea cerinței de a formula în prealabil rezultatul necesar („termeni de referință”), întrucât sunt multe intervenții de îmbunătățire și nu se cunosc dinainte, în special care va fi aleasă pentru implementare.

Remedierea problemei - sarcina este de a formula problema și de a o remedia documentat. Formularea problemei este elaborată de client; treaba analistului este să afle de ce se plânge clientul, de ce este nemulțumit. Aceasta este problema clientului așa cum o vede el. În același timp, ar trebui să încerci să nu-i influențezi opinia, să nu o distorsionezi.

Diagnosticarea problemei . Care dintre metodele de rezolvare a problemelor să aplicăm pentru a rezolva această problemă depinde dacă alegem să influențăm subiectul cel mai nemulțumit sau să intervenim în realitatea de care este nemulțumit (sunt cazuri când este recomandabilă o combinație a ambelor influențe). Sarcina acestei etape este de a face un diagnostic - pentru a determina tipul căruia îi aparține problema.

Întocmirea unei liste de părți interesate .Scopul nostru final este implementarea unei intervenții de îmbunătățire. Fiecare etapă ar trebui să ne aducă cu un pas mai aproape de ea, dar trebuie avută o grijă deosebită ca acest pas să fie exact în direcția bună, și nu în cealaltă direcție. Pentru a ține ulterior cont de interesele tuturor participanților situatie problematica(și anume, aceasta este baza conceptului de îmbunătățire a intervenției), trebuie mai întâi să aflați cine este implicat în situația problemă, să faceți o listă a acestora. Este important să nu ratezi pe nimeni; la urma urmei, este imposibil să ținem cont de interesele cuiva care ne este necunoscut, iar a nu ține cont de cineva amenință că intervenția noastră nu se va îmbunătăți. Astfel, lista participanților în situația problemă ar trebui să fie completă.

Identificarea mizeriei problematice . Părțile interesate au interese de care trebuie să ținem cont. Dar pentru asta trebuie să știe. Până acum, avem doar o listă a proprietarilor de interese. Prima informație care trebuie obținută despre partea interesată este propria sa evaluare a situației care este problematică pentru clientul nostru. Poate fi diferit: unii dintre părțile interesate pot avea propriile lor probleme (evaluare negativă), cineva este destul de mulțumit (evaluare pozitivă), alții pot fi neutri față de realitate. Deci se va limpezi<выражение л ица:^ каждого стейкхолдера. По сути, мы должны выполнить работу, которую делали на первом этапе с клиентом, но теперь с каждым стейкхолдером в отдельности.

6. Tehnologia analizei sistemului. Operații de analiză a sistemului. Etapele cercetării sistemului: definirea unui configurator, identificarea scopului, definirea criteriilor, cercetare experimentală.

Operațiuni de analiză a sistemului . Dacă clientul este de acord cu termenii contractului, analistul trece la prima etapă, după finalizarea căreia, începe a doua și așa mai departe până la ultima etapă, la finalul căreia ar trebui să se obțină intervenția de îmbunătățire implementată.

Definiția configuratorului . O condiție necesară pentru soluționarea cu succes a problemei este disponibilitatea unui model adecvat al situației problemei, cu ajutorul acestuia se va putea testa și compara opțiunile pentru acțiunile propuse. Acest model (sau set de modele) trebuie inevitabil construit folosind mijloacele unui limbaj (sau limbi). Se pune întrebarea câte și ce limbi sunt necesare pentru a lucra la o anumită problemă și cum să le alegeți. Se apelează configuratorul setul minim de limbi profesionale care vă permite să oferiți o descriere completă (adecvată) a situației problemei și a transformărilor acesteia. Toate lucrările în cursul rezolvării problemei se vor desfășura în limbile configuratorului. Și numai pe ei. Definirea configuratorului este sarcina acestui pas. Subliniem că configuratorul nu este o invenție artificială a analiștilor de sistem, inventată pentru a le facilita munca.. Pe de o parte, configuratorul este determinat de natura problemei. Pe de altă parte, configuratorul poate fi considerat și ca o altă PROPRIETATE a sistemelor, ca mijloc prin care sistemul își rezolvă problema.

Direcționare . În încercarea de a implementa o intervenție de îmbunătățire, trebuie să ne asigurăm că niciunul dintre părțile interesate nu o consideră negativ. Oamenii apreciază schimbarea pozitiv dacă îi apropie de obiectivul lor și negativ dacă îi îndepărtează mai mult de el. Prin urmare, pentru a proiecta o intervenție, este necesar să se cunoască obiectivele tuturor părților interesate. Desigur, principala sursă de informații este însuși stakeholder-ul.

Definiţia criteriilor . În cursul rezolvării problemei, va fi necesar să se compare opțiunile propuse, să se evalueze gradul de realizare a obiectivului sau abaterea de la acesta și să se monitorizeze cursul evenimentelor. Acest lucru se realizează prin evidențierea unor caracteristici ale obiectelor și proceselor luate în considerare. Aceste semne ar trebui să fie asociate cu caracteristicile obiectelor sau proceselor care ne interesează, ar trebui să fie disponibile pentru observare și măsurare. Apoi, în funcție de rezultatele măsurătorilor obținute, vom putea efectua controlul necesar. Astfel de caracteristici se numesc criterii. Fiecare studiu (inclusiv al nostru) va necesita criterii. Câte, ce și cum să alegi criterii? În primul rând, despre numărul de criterii. Evident, cu cât sunt necesare mai puține criterii, cu atât va fi mai ușor de comparat. Adică, este de dorit să se minimizeze numărul de criterii, ar fi bine să-l reducă la unul singur. Alegerea criteriilor . Criteriile sunt modele cantitative ale obiectivelor calitative. De fapt, criteriile formate în viitor într-un anumit sens reprezintă, înlocuiesc obiectivele: optimizarea prin criterii ar trebui să ofere aproximarea maximă a scopului. Desigur, criteriile nu sunt identice cu scopul, este o asemănare a scopului, modelul acestuia. Determinarea valorii unui criteriu pentru o alternativă dată este în esență o măsură a adecvării acestuia ca mijloc pentru un scop.

Studiul experimental al sistemelor. Experiment și model. Adesea informațiile lipsă despre sistem pot fi obținute doar de la sistemul propriu-zis, prin efectuarea unui experiment special conceput în acest scop. Informațiile cuprinse în protocolul experimentului sunt extrase prin supunerea datelor obținute la prelucrare, transformare într-o formă adecvată pentru includerea în modelul de sistem. Pasul final este corectarea modelului, care include informațiile obținute în model. Este ușor de perceput că experimentul este necesar pentru a îmbunătăți modelul. De asemenea, este important să înțelegem că un experiment este imposibil fără un model. Sunt în același ciclu. Cu toate acestea, rotația în acest ciclu nu seamănă cu o roată care se învârte, ci cu un bulgăre de zăpadă care se rostogolește - cu fiecare revoluție devine mai mare și mai greu.

7. Tehnologia analizei sistemului. Etapele cercetării sistemului: construirea și îmbunătățirea modelelor, generarea de alternative, luarea deciziilor, +.

Construcția și îmbunătățirea modelelor. În analiza de sistem, modelul este problematic și situația este necesară pentru a „pierde” posibil opțiuni de intervenție pentru a le tăia nu numai pe cele care nu se vor îmbunătăți, ci și pentru a alege dintre cele care se îmbunătățesc cel mai mult (după criteriile noastre) pe cele îmbunătățite. Trebuie subliniat faptul că contribuția la construirea modelului de situație se realizează la fiecare etapă anterioară și la toate etapele ulterioare (atât prin propria contribuție, cât și prin decizia de a reveni la un stadiu incipient pentru a completa modelul cu informații). Prin urmare, de fapt, nu există o „etapă separată, specială a construirii unui model”, Și totuși, merită să ne concentrăm asupra caracteristicilor modelelor de construcție sau, mai degrabă, asupra lor "completare" (adică adăugarea de elemente noi sau eliminarea celor inutile).

Generarea de alternative . În tehnologia descrisă, această acțiune se realizează în două etape:

identificarea discrepanțelor între problemă și mizerii țintă. Distincția dintre starea actuală (și nesatisfăcătoare) a organizației și starea viitoare, cea mai dezirabilă, ideală pentru care trebuie să ne străduim trebuie să fie clar articulată. Aceste diferențe sunt decalajele, a căror eliminare trebuie planificată;

sugerând posibile opțiuni pentru eliminarea sau reducerea discrepanțelor constatate. Acțiunile, procedurile, regulile, proiectele, programele și politicile, toate componentele managementului, trebuie concepute.

Termenul „sistem” este folosit în diverse științe. În consecință, diferite definiții ale sistemului sunt utilizate în diferite situații: de la filozofic la formal. Pentru scopurile cursului, următoarea definiție este cea mai potrivită: un sistem este un set de elemente unite prin legături și care funcționează împreună pentru a atinge un scop.

Sistemele sunt caracterizate printr-o serie de proprietăți, dintre care principalele sunt împărțite în trei grupuri: statice, dinamice și sintetice.

1.1 Proprietăți statice ale sistemelor

static proprietățile sunt numite caracteristici ale unei stări a sistemului. Aceasta este ceea ce dispune sistemul în orice moment fix în timp.

Integritate. Fiecare sistem acționează ca ceva unificat, întreg, izolat, diferit de orice altceva. Această proprietate se numește integritate a sistemului. Vă permite să împărțiți întreaga lume în două părți: sistemul și mediul.

Deschidere. Sistemul izolat, distins de orice altceva, nu este izolat de mediu. Dimpotrivă, ele sunt conectate și fac schimb de diferite tipuri de resurse (substanță, energie, informații etc.). Această caracteristică este denumită „deschidere”.

Conexiunile sistemului cu mediul sunt direcționale: după unul, mediul afectează sistemul (intrarile sistemului), după alții, sistemul influențează mediul, face ceva în mediu, dă ceva mediului (ieșirile sistemului) . Descrierea intrărilor și ieșirilor sistemului se numește modelul cutiei negre. Într-un astfel de model, nu există informații despre caracteristicile interne ale sistemului. În ciuda simplității aparente, un astfel de model este adesea suficient pentru a funcționa cu sistemul.

În multe cazuri, atunci când controlați echipamente sau oameni, informațiile numai despre intrările și ieșirile sistemului vă permit să atingeți cu succes obiectivul. Cu toate acestea, acest model trebuie să îndeplinească anumite cerințe. De exemplu, utilizatorul poate întâmpina dificultăți dacă nu știe că la unele modele de televizoare butonul de pornire nu trebuie să fie apăsat, ci tras. Prin urmare, pentru un management de succes, modelul trebuie să conțină toate informațiile necesare atingerii scopului. Atunci când se încearcă satisfacerea acestei cerințe pot apărea patru tipuri de erori, care decurg din faptul că modelul conține întotdeauna un număr finit de conexiuni, în timp ce numărul de conexiuni într-un sistem real este nelimitat.

O eroare de primul fel apare atunci când subiectul consideră în mod eronat relația ca fiind semnificativă și decide să o includă în model. Acest lucru duce la apariția unor elemente inutile, inutile în model. O eroare de al doilea fel, dimpotrivă, se comite atunci când se ia decizia de a exclude din model o legătură presupusă nesemnificativă, fără de care, de fapt, atingerea scopului este dificilă sau chiar imposibilă.

Răspunsul la întrebarea care eroare este mai gravă depinde de contextul în care este pusă. Este clar că utilizarea unui model care conține o eroare duce inevitabil la pierderi. Pierderile pot fi mici, acceptabile, intolerabile și inacceptabile. Prejudiciul cauzat de o eroare de tip I se datorează faptului că informațiile introduse de aceasta sunt redundante. Când lucrați cu un astfel de model, va trebui să cheltuiți resurse pentru repararea și procesarea informațiilor inutile, de exemplu, cheltuirea memoriei computerului și a timpului de procesare pe acesta. Acest lucru poate să nu afecteze calitatea soluției, dar cu siguranță va afecta costul și promptitudinea. Pierderi dintr-o eroare de al doilea fel - daune din faptul că nu există suficiente informații pentru a atinge pe deplin scopul, scopul nu poate fi atins pe deplin.

Acum este clar că cea mai gravă greșeală este aceea, în urma căreia pierderile sunt mai mari și asta depinde de circumstanțele specifice. De exemplu, dacă timpul este un factor critic, atunci o eroare de primul fel devine mult mai periculoasă decât o eroare de al doilea fel: o decizie luată la timp, chiar dacă nu cea mai bună, este de preferat uneia optime, dar tardive. .

Eroarea de tip III este considerată a fi consecințele ignoranței. Pentru a evalua semnificația unei conexiuni, trebuie să știți că există deloc. Dacă acest lucru nu este cunoscut, atunci întrebarea includerii conexiunii în model nu merită deloc. În cazul în care o astfel de conexiune este nesemnificativă, atunci în practică prezența ei în realitate și absența ei în model vor fi imperceptibile. Dacă relația este semnificativă, atunci vor exista dificultăți similare celor cu o eroare de tip II. Diferența este că eroarea de tip III este mai greu de corectat: necesită extragerea de noi cunoștințe.

O eroare de al patrulea fel apare atunci când o atribuire eronată a unei conexiuni semnificative cunoscute la numărul de intrări sau ieșiri ale sistemului. De exemplu, este bine stabilit că în Anglia secolului al XIX-lea, sănătatea bărbaților care purtau pălării de culoare o depășea cu mult pe cea a bărbaților care poartă șepci. De aici rezultă cu greu că tipul de accesorii pentru cap poate fi considerat o intrare pentru un sistem de predicție a stării de sănătate.

Eterogenitatea internă a sistemelor, distincția părților. Dacă te uiți în interiorul „cutiei negre”, se dovedește că sistemul este eterogen, nu monolitic. Se poate constata că diferitele calități în diferite părți ale sistemului sunt diferite. Descrierea eterogenității interne a sistemului se reduce la izolarea unor zone relativ omogene, trasând limite între ele. Așa apare conceptul părților sistemului. La o examinare mai atentă, se dovedește că părțile mari selectate sunt, de asemenea, neomogene, ceea ce necesită selectarea unor părți și mai mici. Rezultatul este o descriere ierarhică a părților sistemului, care se numește model de compoziție.

Informațiile despre compoziția sistemului pot fi folosite pentru a lucra cu sistemul. Obiectivele interacțiunii cu sistemul pot fi diferite și, prin urmare, modelele de compoziție a aceluiași sistem pot diferi și ele. La prima vedere, nu este dificil să distingem părțile sistemului, ele sunt „stribitoare”. În unele sisteme, părțile apar în mod arbitrar, în procesul de creștere și dezvoltare naturală (organisme, societăți etc.). Sistemele artificiale sunt asamblate în mod deliberat din părți cunoscute anterior (mecanisme, clădiri etc.). Există, de asemenea, tipuri mixte de sisteme, cum ar fi rezerve, sisteme agricole. Pe de altă parte, din punctul de vedere al rectorului, studentului, contabilului și directorului de afaceri, universitatea este formată din diferite părți. Avionul este format din diferite părți din punctul de vedere al pilotului, stewardesei, pasagerului. Dificultățile creării unui model de compoziție pot fi reprezentate de trei prevederi.

În primul rând, întregul poate fi împărțit în părți în moduri diferite. În acest caz, metoda de împărțire este determinată de scop. De exemplu, compoziția unei mașini este prezentată în moduri diferite șoferilor începători, viitorilor șoferi profesioniști, mecanicilor care se pregătesc să lucreze într-un centru de service auto și vânzătorilor din dealerii de mașini. Este firesc să ne întrebăm dacă părți ale sistemului există „cu adevărat”? Răspunsul este conținut în formularea proprietății în cauză: vorbim despre distingere, și nu despre separabilitatea părților. Se poate distinge între părțile sistemului necesare atingerii scopului, dar nu le putem separa.

În al doilea rând, numărul de piese din modelul de compoziție depinde și de nivelul la care este oprită fragmentarea sistemului. Piesele de pe ramurile terminale ale arborelui ierarhic rezultat se numesc elemente. În diferite circumstanțe, descompunerea se încheie la diferite niveluri. De exemplu, atunci când descrieți munca viitoare, trebuie să oferiți instrucțiuni unui lucrător cu experiență și unui novice în diferite grade de detaliu. Astfel, modelul de compoziție depinde de ceea ce este considerat elementar. Există cazuri când un element are un caracter natural, absolut (celulă, individ, fonem, electron).

În al treilea rând, orice sistem face parte dintr-un sistem mai mare și, uneori, mai multe sisteme simultan. Un astfel de metasistem poate fi, de asemenea, împărțit în subsisteme în moduri diferite. Aceasta înseamnă că granița exterioară a sistemului are un caracter relativ, condiționat. Definirea limitelor sistemului se face ținând cont de obiectivele subiectului care va utiliza modelul de sistem.

Structurat. Proprietatea structurii constă în faptul că părțile sistemului nu sunt izolate, nu sunt independente unele de altele; sunt interconectate și interacționează între ele. În același timp, proprietățile sistemului depind în esență de modul în care părțile sale interacționează. Prin urmare, informațiile despre conexiunile elementelor sistemului sunt atât de importante. Lista de legături esențiale dintre elementele sistemului se numește modelul structurii sistemului. Dotarea oricărui sistem cu o anumită structură se numește structurare.

Conceptul de structurare aprofundează și mai mult ideea integrității sistemului: conexiunile, așa cum ar fi, țin părțile împreună, le țin ca un întreg. Integritatea, menționată mai devreme ca o proprietate externă, primește o explicație întăritoare din interiorul sistemului - prin structură.

La construirea unui model al structurii, se întâlnesc și anumite dificultăți. Prima dintre acestea este legată de faptul că modelul de structură este determinat după alegerea modelului de compoziție și depinde de care este exact compoziția sistemului. Dar chiar și cu o compoziție fixă, modelul de structură este variabil. Acest lucru se datorează posibilității diferitelor moduri de a determina semnificația relațiilor. De exemplu, unui manager modern i se recomandă, alături de structura formală a organizației sale, să țină cont de existența unor relații informale între angajați, care afectează și funcționarea organizației. A doua dificultate provine din faptul că fiecare element al sistemului, la rândul său, este o „cutie neagră”. Deci, toate cele patru tipuri de erori sunt posibile atunci când se determină intrările și ieșirile fiecărui element inclus în modelul de structură.

1.2 PROPRIETĂȚI DINAMICE ALE SISTEMELOR

Dacă luăm în considerare starea sistemului la un nou moment în timp, atunci din nou putem găsi toate cele patru proprietăți statice. Dar dacă suprapuneți „fotografiile” sistemului în momente diferite de timp una peste alta, atunci se va constata că acestea diferă în detalii: în timpul intervalului dintre două puncte de observație, au avut loc unele modificări în sistem și în acesta. mediu inconjurator. Astfel de modificări pot fi importante atunci când lucrați cu sistemul și, prin urmare, ar trebui să fie reflectate în descrierile sistemului și luate în considerare atunci când lucrați cu acesta. Caracteristicile schimbărilor de-a lungul timpului în interiorul și în afara sistemului se numesc proprietăți dinamice ale sistemului. În general, se disting patru proprietăți dinamice ale unui sistem.

Funcționalitate. Procese Y(t) care apar la ieșirile sistemului sunt considerate funcții ale acestuia. Funcțiile sistemului sunt comportamentul său în mediul extern, rezultatele activităților sale, produsele produse de sistem.

Din multiplicitatea ieșirilor urmează multiplicitatea funcțiilor, fiecare dintre acestea putând fi folosită de cineva și pentru ceva. Prin urmare, același sistem poate servi unor scopuri diferite. Subiectul care folosește sistemul în scopuri proprii își va evalua în mod natural funcțiile și le va aranja în raport cu nevoile sale. Așa apar conceptele de funcție principală, secundară, neutră, nedorită, de prisos etc.

Stimulabilitate. Anumite procese au loc și la intrările sistemului. X(t), afectând sistemul și transformându-se după o serie de transformări în sistem în Y(t). Impact X(t) se numesc stimulente, iar susceptibilitatea oricărui sistem la influențe externe și schimbarea comportamentului său sub aceste influențe se numesc stimulabilitate.

Variabilitatea sistemului în timp. În orice sistem, există modificări care trebuie luate în considerare. În ceea ce privește modelul de sistem, putem spune că valorile variabilelor interne (parametrilor) se pot schimba Z(t), compoziția și structura sistemului și orice combinație a acestora. Natura acestor schimbări poate fi, de asemenea, diferită. Prin urmare, pot fi luate în considerare clasificări suplimentare ale modificărilor.

Clasificarea cea mai evidentă este în funcție de rata de schimbare (lent, rapid. Rata de schimbare este măsurată în raport cu o rată luată ca standard. Se pot introduce un număr mare de gradații ale ratelor. De asemenea, este posibil să se clasifice tendințele în modificări ale sistemului în ceea ce privește structura și compoziția acestuia.

Putem vorbi despre astfel de modificări care nu afectează structura sistemului: unele elemente sunt înlocuite cu altele, echivalente; Opțiuni Z(t) se poate schimba fără a modifica structura. Acest tip de dinamică a sistemului se numește funcționarea sa. Modificările pot fi de natură cantitativă: există o creștere a compoziției sistemului și, deși structura acestuia se schimbă automat, de asemenea, acest lucru nu afectează proprietățile sistemului până la un anumit punct (de exemplu, extinderea unei gropi de gunoi). ). Astfel de modificări se numesc creșterea sistemului. Odată cu schimbările calitative ale sistemului, proprietățile sale esențiale se schimbă. Dacă astfel de schimbări sunt într-o direcție pozitivă, ele se numesc dezvoltare. Cu aceleași resurse, un sistem dezvoltat obține rezultate mai bune, pot apărea noi calități (funcții) pozitive. Acest lucru se datorează unei creșteri a nivelului de consistență, de organizare a sistemului.

Creșterea se produce în principal datorită consumului de resurse materiale, dezvoltării - datorită asimilării și utilizării informațiilor. Creșterea și dezvoltarea pot avea loc simultan, dar nu sunt neapărat legate între ele. Creșterea este întotdeauna limitată (din cauza resurselor materiale limitate), iar dezvoltarea din exterior nu este limitată, deoarece informațiile despre mediul extern sunt inepuizabile. Dezvoltarea este rezultatul învățării, dar învățarea nu poate fi făcută în locul celui care învață. Prin urmare, există o restricție internă asupra dezvoltării. Dacă sistemul „nu vrea” să învețe, nu poate și nu se va dezvolta.

Pe lângă procesele de creștere și dezvoltare, în sistem pot apărea și procese inverse. Schimbările inverse creșterii se numesc recesiune, contracție, scădere. Dezvoltarea inversă a modificării se numește degradare, pierdere sau slăbire a proprietăților utile.

Schimbările luate în considerare sunt monotone, adică sunt direcționate „într-o singură direcție”. Evident, schimbările monotone nu pot dura pentru totdeauna. În istoria oricărui sistem se pot distinge perioade de declin și creștere, stabilitate și instabilitate, a căror secvență formează un ciclu individual de viață al sistemului.

Puteți utiliza și alte clasificări ale proceselor care apar în sistem: în funcție de predictibilitate, procesele sunt împărțite în aleatoare și deterministe; în funcție de tipul de dependență de timp, procesele se împart în monotone, periodice, armonice, de impuls etc.

Existența într-un mediu în schimbare. Nu numai acest sistem se schimbă, ci și toate celelalte. Pentru sistemul luat în considerare, aceasta arată ca o schimbare continuă a mediului. Această împrejurare are multe consecințe asupra sistemului în sine, care trebuie să se adapteze la noile condiții pentru a nu pieri. Când se ia în considerare un sistem specific, de obicei se acordă atenție caracteristicilor unei anumite reacții a sistemului, de exemplu, viteza de reacție. Dacă luăm în considerare sistemele care stochează informații (cărți, medii magnetice), atunci viteza de reacție la schimbările din mediul extern ar trebui să fie minimă pentru a asigura păstrarea informațiilor. Pe de altă parte, rata de răspuns a sistemului de control trebuie să fie de multe ori mai mare decât rata de schimbare a mediului, deoarece sistemul trebuie să aleagă acțiunea de control chiar înainte ca starea mediului să se schimbe ireversibil.

1.3 PROPRIETĂȚI SINTETICE ALE SISTEMELOR

Proprietățile sintetice includ proprietăți generalizate, integrale, colective care descriu interacțiunea sistemului cu mediul și iau în considerare integritatea în sensul cel mai general.

Apariție. Combinarea elementelor într-un sistem duce la apariția unor proprietăți calitativ noi, care nu sunt derivate din proprietățile părților, inerente doar sistemului în sine și existente doar atâta timp cât sistemul este un întreg. Astfel de calități ale sistemului sunt numite
emergente (din engleză „a se ridica”).

Exemple de proprietăți emergente pot fi găsite în diverse domenii. De exemplu, niciuna dintre părțile unui avion nu poate zbura, dar avionul încă zboară. Proprietățile apei, dintre care multe nu sunt pe deplin înțelese, nu rezultă din proprietățile hidrogenului și oxigenului.

Să fie două cutii negre, fiecare dintre ele având o intrare, o ieșire și efectuează o operație - adaugă una la numărul de la intrare. Când conectăm astfel de elemente conform schemei prezentate în figură, obținem un sistem fără intrări, dar cu două ieșiri. La fiecare ciclu de lucru, sistemul va emite un număr mai mare, în timp ce doar numerele pare vor apărea pe o intrare și doar numere impare pe cealaltă.

A	b
Fig.1.1. Conectarea elementelor sistemului: a) sistem cu două ieșiri; b) conexiunea paralelă a elementelor

Proprietățile emergente ale unui sistem sunt determinate de structura acestuia. Aceasta înseamnă că diferite combinații de elemente vor produce proprietăți emergente diferite. De exemplu, dacă conectați elementele în paralel, atunci noul sistem funcțional nu va diferi de un element. Apariția se va manifesta prin creșterea fiabilității sistemului datorită conexiunii paralele a două elemente identice - adică datorită redundanței.

Trebuie remarcat un caz important când elementele sistemului au toate proprietățile sale. Această situație este tipică pentru construcția fractală a sistemului. În același timp, principiile de structurare a părților sunt aceleași cu cele ale sistemului ca întreg. Un exemplu de sistem fractal este o organizație în care managementul este construit identic la toate nivelurile ierarhiei.

Inseparabilitate în părți. Această proprietate este, de fapt, o consecință a apariției. Este subliniată mai ales datorită faptului că importanța sa practică este mare, iar subestimarea este foarte frecventă.

Când o piesă este scoasă din sistem, au loc două evenimente importante. În primul rând, compoziția sistemului se modifică și, prin urmare, structura acestuia. Va fi un sistem diferit cu proprietăți diferite. În al doilea rând, elementul retras din sistem se va comporta diferit datorită faptului că mediul său se va schimba. Toate acestea sugerează că atunci când se consideră un element separat de restul sistemului, trebuie avut grijă.

Inerenta. Sistemul este cu atât mai integral (din engleză inerent - „a fi parte din ceva”), cu atât este mai bine coordonat, adaptat mediului, compatibil cu acesta. Gradul de inerență este diferit și se poate schimba. Actualitatea de a considera inerenta ca una dintre proprietatile sistemului este legata de faptul ca gradul si calitatea implementarii functiei alese de catre sistem depind de aceasta. În sistemele naturale, inerența este sporită de selecția naturală. În sistemele artificiale, inerenta ar trebui să fie o preocupare specială a proiectantului.

Într-un număr de cazuri, inerența este asigurată cu ajutorul unor sisteme intermediare, intermediare. Exemplele includ adaptoare pentru utilizarea aparatelor electrice străine împreună cu prize în stil sovietic; middleware (cum ar fi serviciul Windows COM) care permite a două programe de la producători diferiți să comunice între ele.

Oportunitate.În sistemele create de om, subordonarea atât a structurii, cât și a compoziției față de realizarea scopului stabilit este atât de evidentă încât poate fi recunoscută ca o proprietate fundamentală a oricărui sistem artificial. Această proprietate se numește oportunitate. Scopul pentru care este creat sistemul determină care proprietate emergentă va asigura atingerea scopului, iar aceasta, la rândul său, dictează alegerea structurii și compoziției sistemului. Pentru a extinde conceptul de oportunitate la sistemele naturale, este necesar să se clarifice conceptul de scop. Rafinamentul se realizează pe exemplul unui sistem artificial.

Istoria oricărui sistem artificial începe la un moment dat în timp 0, când valoarea existentă a vectorului de stare Y 0 se dovedește a fi nesatisfăcătoare, adică apare o situație problematică. Subiectul este nemulțumit de această condiție și ar dori să o schimbe. Să fie mulțumit de valorile vectorului de stare Y*. Aceasta este prima definiție a scopului. Mai mult, se dovedește că Y* nu există acum și nu poate, din mai multe motive, să fie atins în viitorul apropiat. Al doilea pas în definirea unui obiectiv este recunoașterea acestuia ca o stare viitoare dezirabilă. Devine imediat clar că viitorul nu este limitat. Al treilea pas în rafinarea noțiunii de scop este estimarea timpului T* în care starea dorită Y* poate fi atinsă în condiții date. Acum ținta devine bidimensională, este un punct (T*, Y*) pe grafic. Sarcina este de a trece de la punctul (0, Y 0) la punctul (T*, Y*). Dar se dovedește că această cale poate fi parcursă pe diferite traiectorii și doar una dintre ele poate fi realizată. Lasă alegerea să cadă pe traiectoria Y*( t). Astfel, scopul este acum înțeles nu numai ca starea finală (T*, Y*), ci și ca întreaga traiectorie Y*( t) („obiective intermediare”, „plan”). Deci scopul este stările viitoare dorite Y*( t).

După timpul T* starea Y* devine reală. Prin urmare, devine posibil să se definească scopul ca o stare reală viitoare. Acest lucru face posibil să spunem că sistemele naturale au și proprietatea oportunității, ceea ce ne permite să abordăm descrierea sistemelor de orice natură dintr-un punct de vedere unificat. Principala diferență dintre sistemele naturale și cele artificiale este că sistemele naturale, respectând legile naturii, realizează scopuri obiective, în timp ce sistemele artificiale sunt create pentru a atinge obiective subiective.

Teoria echilibrului general a lui Walras, care stă la baza ideologică a unei economii centralizate, are o serie de avantaje neîndoielnice și anume: integritatea și certitudinea concluziilor care o fac foarte atractivă pentru analiza economică.

Cu toate acestea, în cadrul acestei teorii, este imposibil să descriem în mod adecvat o economie descentralizată. Vorbim despre mecanismul coordonării, aspectul temporal al proceselor economice, natura fluxurilor și agenților.

Practica „bâjbării pentru” echilibru în teoria walrasiană implică în esență că niciunul dintre participanții de pe piață nu poate influența prețurile, că fiecare agent are o cunoaștere perfectă a cererii și ofertei, că procesul de „bâjbărire” este instantaneu și, în sfârșit, că executarea tranzacțiilor absolut inacceptabilă până când „prețurile adevărate”, adică controlul centralizat asupra tuturor fluxurilor, nu se stabilesc prin „tâmplărie”. Astfel, acest model, care presupune limitări foarte semnificative, seamănă foarte mult cu imaginea ideală a economiei sovietice.

După cum a susținut economistul polonez Lange, „nu există nimic mai important decât înțelegerea legilor unei economii descentralizate. În primul rând, pentru că este singura realitate cu care avem de-a face.”

Economistul francez Jean-Paul Fitoussi susține că există ceva intermediar între stat și piață, iar prin acest intermediar el înțelege varietatea formelor de coordonare a relațiilor și legăturilor lor. Aceste conexiuni bidirecționale nu se limitează nici la transmiterea unei comenzi, nici la contactul direct al participanților la schimb în cadrul unui anumit contract. Un ordin contează numai în măsura în care este executat. Acest lucru creează o oarecare asimetrie între pozițiile de superior și de subordonat în favoarea acestuia din urmă. În puterea subordonatului stă executarea ordinului. Desigur, șeful poate verifica executarea ordinelor și, așa cum a făcut Stalin la vremea lui, poate pedepsi executorul. Dar verificarea este și o ordine care reproduce asimetria originală. Fiecare verificare este urmată de o verificare de validare. Astfel, deja la fundamentul unei economii centralizate se află originile descentralizării – asimetria operațională și informațională – eterogenitatea.

Potrivit lui Jacques Sapir, se pot distinge cinci astfel de forme de eterogenitate.

1. Eterogenitatea produselor asociate cu posibilități inegale de înlocuire a acestora. Acest lucru este determinat nu numai de natura produsului, ci și de modul specific în care acesta este inclus într-un anumit proces tehnologic sau economic.

2. Eterogenitatea agenților economici, care nu se limitează la diferențele dintre angajat, antreprenor și capitalist. Dominanța înseamnă o situație în care în jurul unor tipuri de comportament sau în jurul unor agenți există o organizare spontană a altor tipuri de comportament sau agenți, adică formarea unei echipe. Trecerea de la nivelul individual la cel colectiv se realizează prin cooperare în cadrul colectivului de organizații care acționează ca agenți economici. Ele, la rândul lor, implică eterogenitate în metodele de interacțiune și coordonare.

3. Eterogenitatea timpului. Poate lua două forme diferite și complementare. Una dintre ele este legată de faptul că actele de consum, economisire sau producție de către diferiți agenți au durate de timp diferite - continuum-ul. Aceasta este problema neuniformității „timpului de acțiune”. Apariția unei alte forme de eterogenitate temporală este legată de ceea ce numim intervalul de timp în care decizia fiecărui agent rămâne valabilă. În acest caz, putem vorbi despre „intervale de timp”.

4. Eterogenitatea întreprinderilor ca sisteme de producție locale. Chiar dacă produsele realizate sunt identice, comportamentul unei întreprinderi mici diferă semnificativ de comportamentul unei întreprinderi cu un număr mare de angajați. În plus, există o diferență între producerea unui produs simplu și producerea unui produs complex și așa mai departe.

5. Eterogenitatea spațiilor în care se desfășoară activități economice. Furnizarea inegală a diferitelor regiuni cu factori de producție, atât materiale, cât și umani, afectează în mod natural prețul relativ al acestor factori.

Tipologia eterogenităților de J. Sapir ar fi incompletă fără încă două eterogenități:

6. Eterogenitatea spațiului informațional, datorită caracteristicilor geografice și istorice și culturale ale spațiului economic.

7. Eterogenitatea politică a regiunilor și țărilor, care asigură securitatea investițiilor și accesul la sursele de informații și afectează semnificativ atractivitatea investițională a acestora. Exemplul dezvoltării economice a Chinei este o ilustrare foarte clară a acestei situații.

Anterior

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE) este, fără îndoială, cel mai important subiect al cursului de algebră liniară. Un număr mare de probleme din toate ramurile matematicii sunt reduse la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Acești factori explică motivul creării acestui articol. Materialul articolului este selectat și structurat astfel încât cu ajutorul lui să puteți

• alege metoda optimă pentru rezolvarea sistemului tău de ecuații algebrice liniare,
• studiază teoria metodei alese,
• rezolvați sistemul dvs. de ecuații liniare, luând în considerare în detaliu soluțiile exemplelor și problemelor tipice.

Scurtă descriere a materialului articolului.

În primul rând, dăm toate definițiile și conceptele necesare și introducem unele notații.

În continuare, avem în vedere metode de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și care au o soluție unică. În primul rând, să ne concentrăm pe metoda Cramer, în al doilea rând, vom prezenta metoda matriceală pentru rezolvarea unor astfel de sisteme de ecuații, iar în al treilea rând, vom analiza metoda Gauss (metoda eliminării succesive a variabilelor necunoscute). Pentru a consolida teoria, cu siguranță vom rezolva mai multe SLAE-uri în diferite moduri.

După aceea, trecem la rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală, în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de variabile necunoscute sau matricea principală a sistemului este degenerată. Formulăm teorema Kronecker-Capelli, care ne permite să stabilim compatibilitatea SLAE-urilor. Să analizăm soluția sistemelor (în cazul compatibilității lor) folosind conceptul de bază minoră a unei matrice. Vom lua în considerare și metoda Gauss și vom descrie în detaliu soluțiile exemplelor.

Asigurați-vă că vă opriți asupra structurii soluției generale a sistemelor omogene și neomogene de ecuații algebrice liniare. Să dăm conceptul de sistem fundamental de soluții și să arătăm cum este scrisă soluția generală a SLAE folosind vectorii sistemului fundamental de soluții. Pentru o mai bună înțelegere, să ne uităm la câteva exemple.

În concluzie, luăm în considerare sistemele de ecuații care se reduc la cele liniare, precum și diverse probleme, în soluția cărora apar SLAE-uri.

Navigare în pagină.

Definiții, concepte, denumiri.

Vom lua în considerare sisteme de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute (p poate fi egal cu n ) de forma

Variabile necunoscute, - coeficienți (unele numere reale sau complexe), - membri liberi (și numere reale sau complexe).

Această formă de SLAE se numește coordona.

LA formă matriceală acest sistem de ecuații are forma ,
Unde - matricea principală a sistemului, - matricea-coloana de variabile necunoscute, - matricea-coloana de membri liberi.

Dacă adăugăm la matricea A ca (n + 1)-a coloană coloana matricei de termeni liberi, atunci obținem așa-numita matrice extinsă sisteme de ecuații liniare. De obicei, matricea mărită este desemnată cu litera T, iar coloana de membri liberi este separată printr-o linie verticală de restul coloanelor, adică

Prin rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare numit un set de valori ale variabilelor necunoscute, care transformă toate ecuațiile sistemului în identități. Ecuația matriceală pentru valorile date ale variabilelor necunoscute se transformă și ea într-o identitate.

Dacă un sistem de ecuații are cel puțin o soluție, atunci se numește comun.

Dacă sistemul de ecuații nu are soluții, atunci se numește incompatibil.

Dacă un SLAE are o soluție unică, atunci se numește anumit; dacă există mai multe soluții, atunci - incert.

Dacă termenii liberi ai tuturor ecuațiilor sistemului sunt egali cu zero , atunci sistemul este apelat omogen, in caz contrar - eterogen.

Rezolvarea sistemelor elementare de ecuații algebrice liniare.

Dacă numărul de ecuații de sistem este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei sale principale nu este egal cu zero, atunci vom numi astfel de SLAE-uri elementar. Astfel de sisteme de ecuații au o soluție unică, iar în cazul unui sistem omogen, toate variabilele necunoscute sunt egale cu zero.

Am început să studiem astfel de SLAE în liceu. Când le-am rezolvat, am luat o ecuație, am exprimat o variabilă necunoscută în termenii altora și am înlocuit-o în ecuațiile rămase, apoi am luat următoarea ecuație, am exprimat următoarea variabilă necunoscută și am înlocuit-o în alte ecuații și așa mai departe. Sau au folosit metoda adunării, adică au adăugat două sau mai multe ecuații pentru a elimina unele variabile necunoscute. Nu ne vom opri în detaliu asupra acestor metode, deoarece sunt în esență modificări ale metodei Gauss.

Principalele metode de rezolvare a sistemelor elementare de ecuații liniare sunt metoda Cramer, metoda matriceală și metoda Gauss. Să le rezolvăm.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda lui Cramer.

Să rezolvăm un sistem de ecuații algebrice liniare

în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, adică .

Fie determinantul matricei principale a sistemului, și sunt determinanţi ai matricelor care se obţin din A prin înlocuire 1, 2, …, al n-lea coloana respectiv la coloana de membri liberi:

Cu o astfel de notație, variabilele necunoscute sunt calculate prin formulele metodei lui Cramer ca . Așa se găsește soluția unui sistem de ecuații algebrice liniare prin metoda Cramer.

Exemplu.

Metoda Cramer .

Soluţie.

Matricea principală a sistemului are forma . Calculați determinantul acestuia (dacă este necesar, consultați articolul):

Deoarece determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, sistemul are o soluție unică care poate fi găsită prin metoda lui Cramer.

Compuneți și calculați determinanții necesari (determinantul se obține prin înlocuirea primei coloane din matricea A cu o coloană de membri liberi, determinantul - prin înlocuirea coloanei a doua cu o coloană de membri liberi, - prin înlocuirea celei de-a treia coloane a matricei A cu o coloană de membri liberi ):

Găsirea variabilelor necunoscute folosind formule :

Răspuns:

Principalul dezavantaj al metodei lui Cramer (dacă poate fi numită un dezavantaj) este complexitatea calculării determinanților atunci când numărul de ecuații ale sistemului este mai mare de trei.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare prin metoda matricei (folosind matricea inversă).

Fie sistemul de ecuații algebrice liniare dat sub formă de matrice , unde matricea A are dimensiunea n cu n și determinantul său este diferit de zero.

Deoarece , atunci matricea A este inversabilă, adică există o matrice inversă . Dacă înmulțim ambele părți ale egalității cu în stânga, atunci obținem o formulă pentru găsirea matricei coloanei de variabile necunoscute. Deci am obținut soluția sistemului de ecuații algebrice liniare prin metoda matricei.

Exemplu.

Rezolvarea sistemului de ecuații liniare metoda matricei.

Soluţie.

Să rescriem sistemul de ecuații sub formă de matrice:

pentru că

atunci SLAE poate fi rezolvat prin metoda matricei. Folosind matricea inversă, soluția acestui sistem poate fi găsită ca .

Să construim o matrice inversă folosind o matrice de complemente algebrice ale elementelor matricei A (dacă este necesar, vezi articolul):

Rămâne de calculat - matricea variabilelor necunoscute prin înmulțirea matricei inverse pe coloana-matrice a membrilor liberi (dacă este necesar, vezi articolul):

Răspuns:

sau într-o altă notație x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Problema principală în găsirea de soluții la sisteme de ecuații algebrice liniare prin metoda matricei este complexitatea găsirii matricei inverse, în special pentru matrice pătrată de ordin mai mare decât a treia.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda Gauss.

Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la un sistem de n ecuații liniare cu n variabile necunoscute
al cărei determinant al matricei principale este diferit de zero.

Esența metodei Gauss constă în excluderea succesivă a variabilelor necunoscute: mai întâi, x 1 este exclus din toate ecuațiile sistemului, începând de la a doua, apoi x 2 este exclus din toate ecuațiile, începând de la a treia, și așa mai departe, până la doar variabila necunoscută. x n rămâne în ultima ecuație. Se numește un astfel de proces de transformare a ecuațiilor sistemului pentru eliminarea succesivă a variabilelor necunoscute metoda Gauss directă. După finalizarea executării directe a metodei gaussiene, x n este găsit din ultima ecuație, x n-1 este calculat din penultima ecuație folosind această valoare și așa mai departe, x 1 este găsit din prima ecuație. Procesul de calcul al variabilelor necunoscute la trecerea de la ultima ecuație a sistemului la prima este numit metoda Gauss inversă.

Să descriem pe scurt algoritmul de eliminare a variabilelor necunoscute.

Vom presupune că , deoarece putem realiza întotdeauna acest lucru prin rearanjarea ecuațiilor sistemului. Excludem variabila necunoscută x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând de la a doua. Pentru a face acest lucru, adăugați prima ecuație înmulțită cu la a doua ecuație a sistemului, adăugați prima înmulțită cu la a treia ecuație și așa mai departe, adăugați prima înmulțită cu la a n-a ecuație. Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde un .

Am ajunge la același rezultat dacă am exprima x 1 în termeni de alte variabile necunoscute în prima ecuație a sistemului și am înlocui expresia rezultată în toate celelalte ecuații. Astfel, variabila x 1 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a doua.

În continuare, acționăm în mod similar, dar numai cu o parte a sistemului rezultat, care este marcată în figură

Pentru a face acest lucru, adăugați al doilea înmulțit cu la a treia ecuație a sistemului, adăugați al doilea înmulțit cu la a patra ecuație și așa mai departe, adăugați al doilea înmulțit cu la a n-a ecuație. Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde un . Astfel, variabila x 2 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a treia.

În continuare, trecem la eliminarea necunoscutului x 3, acționând în același timp cu partea din sistem marcată în figură

Deci continuăm cursul direct al metodei Gauss până când sistemul ia forma

Din acest moment începem cursul invers al metodei Gauss: calculăm x n din ultima ecuație ca , folosind valoarea x n obținută găsim x n-1 din penultima ecuație, și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuaţie.

Exemplu.

Rezolvarea sistemului de ecuații liniare metoda gaussiana.

Soluţie.

Să excludem variabila necunoscută x 1 din a doua și a treia ecuație a sistemului. Pentru a face acest lucru, la ambele părți ale celei de-a doua și a treia ecuații, adăugăm părțile corespunzătoare ale primei ecuații, înmulțite cu și, respectiv, cu:

Acum excludem x 2 din a treia ecuație prin adăugarea părților din stânga și din dreapta părților din stânga și din dreapta celei de-a doua ecuații, înmulțite cu:

Pe aceasta, cursul înainte al metodei Gauss este finalizat, începem cursul invers.

Din ultima ecuație a sistemului de ecuații rezultat, găsim x 3:

Din a doua ecuație obținem .

Din prima ecuație găsim variabila necunoscută rămasă și aceasta completează cursul invers al metodei Gauss.

Răspuns:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

În cazul general, numărul de ecuații ale sistemului p nu coincide cu numărul de variabile necunoscute n:

Astfel de SLAE-uri pot să nu aibă soluții, să aibă o singură soluție sau să aibă infinite de soluții. Această afirmație se aplică și sistemelor de ecuații a căror matrice principală este pătrată și degenerată.

Teorema Kronecker-Capelli.

Înainte de a găsi o soluție la un sistem de ecuații liniare, este necesar să se stabilească compatibilitatea acestuia. Răspunsul la întrebarea când SLAE este compatibil și când este incompatibil dă Teorema Kronecker–Capelli:
pentru ca un sistem de p ecuații cu n necunoscute (p poate fi egal cu n ) să fie consistent este necesar și suficient ca rangul matricei principale a sistemului să fie egal cu rangul matricei extinse, adică Rank( A)=Rang(T).

Să considerăm ca exemplu aplicarea teoremei Kronecker-Cappelli pentru determinarea compatibilității unui sistem de ecuații liniare.

Exemplu.

Aflați dacă sistemul de ecuații liniare are solutii.

Soluţie.

. Să folosim metoda limitării minorilor. Minor de ordinul doi diferit de zero. Să trecem peste minorii de ordinul trei care îl înconjoară:

Deoarece toți minorii de ordinul al treilea învecinați sunt egali cu zero, rangul matricei principale este de doi.

La rândul său, rangul matricei augmentate este egal cu trei, deoarece minorul de ordinul al treilea

diferit de zero.

În acest fel, Rang(A) , prin urmare, conform teoremei Kronecker-Capelli, putem concluziona că sistemul original de ecuații liniare este inconsecvent.

Răspuns:

Nu există un sistem de soluții.

Deci, am învățat să stabilim inconsistența sistemului folosind teorema Kronecker-Capelli.

Dar cum să găsești soluția SLAE dacă compatibilitatea acestuia este stabilită?

Pentru a face acest lucru, avem nevoie de conceptul de bază minoră a unei matrice și de teorema privind rangul unei matrice.

Minorul de ordinul cel mai înalt al matricei A, altul decât zero, este numit de bază.

Din definirea bazei minore rezultă că ordinea acesteia este egală cu rangul matricei. Pentru o matrice A diferită de zero, pot exista mai multe minore de bază; există întotdeauna un minor de bază.

De exemplu, luați în considerare matricea .

Toate minorele de ordinul trei ale acestei matrice sunt egale cu zero, deoarece elementele celui de-al treilea rând al acestei matrice sunt suma elementelor corespunzătoare din primul și al doilea rând.

Următorii minori de ordinul doi sunt de bază, deoarece nu sunt zero

Minorii nu sunt de bază, deoarece sunt egale cu zero.

Teorema rangului matricei.

Dacă rangul unei matrice de ordinul p cu n este r, atunci toate elementele rândurilor (și coloanelor) ale matricei care nu formează baza minoră aleasă sunt exprimate liniar în termenii elementelor corespunzătoare ale rândurilor (și coloanelor). ) care formează baza minoră.

Ce ne oferă teorema rangului matricei?

Dacă, prin teorema Kronecker-Capelli, am stabilit compatibilitatea sistemului, atunci alegem orice minor de bază al matricei principale a sistemului (ordinea sa este egală cu r) și excludem din sistem toate ecuațiile care nu formează minorul de bază ales. SLAE obținut în acest fel va fi echivalent cu cel inițial, deoarece ecuațiile aruncate sunt încă redundante (conform teoremei rangului matricei, ele sunt o combinație liniară a ecuațiilor rămase).

Ca urmare, după eliminarea ecuațiilor excesive ale sistemului, sunt posibile două cazuri.

Dacă numărul de ecuații r din sistemul rezultat este egal cu numărul de variabile necunoscute, atunci acesta va fi definit și singura soluție poate fi găsită prin metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Exemplu.

.

Soluţie.

Rangul matricei principale a sistemului este egal cu doi, deoarece minorul de ordinul doi diferit de zero. Rang matrice extins este, de asemenea, egal cu doi, deoarece singurul minor de ordinul al treilea este egal cu zero

iar minorul de ordinul doi considerat mai sus este diferit de zero. Pe baza teoremei Kronecker-Capelli, se poate afirma compatibilitatea sistemului original de ecuații liniare, deoarece Rank(A)=Rank(T)=2 .

Ca bază minoră, luăm . Este format din coeficienții primei și celei de-a doua ecuații:


A treia ecuație a sistemului nu participă la formarea minorului de bază, așa că o excludem din sistemul bazat pe teorema rangului matricei:


Astfel am obținut un sistem elementar de ecuații algebrice liniare. Să o rezolvăm prin metoda lui Cramer:


Răspuns:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Dacă numărul de ecuații r din SLAE rezultat este mai mic decât numărul de variabile necunoscute n , atunci lăsăm termenii care formează minorul de bază în părțile din stânga ecuațiilor și transferăm termenii rămași în părțile din dreapta ale ecuațiilor. a sistemului cu semnul opus.

Variabilele necunoscute (există r dintre ele) rămase în partea stângă a ecuațiilor se numesc principal.

Sunt numite variabile necunoscute (există n - r) care au ajuns în partea dreaptă gratuit.

Acum presupunem că variabilele necunoscute libere pot lua valori arbitrare, în timp ce principalele variabile necunoscute r vor fi exprimate în termeni de variabile necunoscute libere într-un mod unic. Expresia lor poate fi găsită prin rezolvarea SLAE rezultată prin metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Să luăm un exemplu.

Exemplu.

Rezolvarea sistemului de ecuații algebrice liniare .

Soluţie.

Aflați rangul matricei principale a sistemului prin metoda minorilor limitrofe. Să luăm un 1 1 = 1 ca un minor de ordinul întâi diferit de zero. Să începem să căutăm un minor de ordinul doi diferit de zero în jurul acestui minor:


Așa că am găsit un minor diferit de zero de ordinul doi. Să începem să căutăm un minor de ordinul al treilea care nu se limitează la zero:


Astfel, rangul matricei principale este de trei. Rangul matricei augmentate este, de asemenea, egal cu trei, adică sistemul este consecvent.

Minorul non-zero găsit de ordinul al treilea va fi luat drept cel de bază.

Pentru claritate, arătăm elementele care formează baza minoră:


Lăsăm termenii care participă la minorul de bază în partea stângă a ecuațiilor sistemului și transferăm restul cu semne opuse în partea dreaptă:


Oferim variabilelor necunoscute libere x 2 și x 5 valori arbitrare, adică luăm , unde sunt numere arbitrare. În acest caz, SLAE ia forma


Rezolvăm sistemul elementar de ecuații algebrice liniare obținut prin metoda Cramer:


Prin urmare, .

În răspuns, nu uitați să indicați variabile necunoscute gratuite.

Răspuns:

Unde sunt numerele arbitrare.

Rezuma.

Pentru a rezolva un sistem de ecuații algebrice liniare de formă generală, aflăm mai întâi compatibilitatea acestuia folosind teorema Kronecker-Capelli. Dacă rangul matricei principale nu este egal cu rangul matricei extinse, atunci ajungem la concluzia că sistemul este inconsecvent.

Dacă rangul matricei principale este egal cu rangul matricei extinse, atunci alegem minorul de bază și renunțăm la ecuațiile sistemului care nu participă la formarea minorului de bază ales.

Dacă ordinea bazei minore este egală cu numărul de variabile necunoscute, atunci SLAE are o soluție unică, care poate fi găsită prin orice metodă cunoscută de noi.

Dacă ordinea bazei minore este mai mică decât numărul de variabile necunoscute, atunci lăsăm termenii cu principalele variabile necunoscute în partea stângă a ecuațiilor sistemului, transferăm termenii rămași în partea dreaptă și atribuim valori arbitrare. la variabilele necunoscute libere. Din sistemul de ecuații liniare rezultat, găsim principalele variabile necunoscute prin metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

Folosind metoda Gauss, se pot rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare de orice fel fără investigația lor preliminară pentru compatibilitate. Procesul de eliminare succesivă a variabilelor necunoscute face posibilă tragerea unei concluzii atât despre compatibilitatea, cât și despre inconsecvența SLAE, iar dacă există o soluție, face posibilă găsirea acesteia.

Din punct de vedere al muncii computaționale, este de preferat metoda Gaussiană.

Vezi descrierea sa detaliată și exemplele analizate în articolul Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

Înregistrarea soluției generale a sistemelor algebrice liniare omogene și neomogene folosind vectorii sistemului fundamental de soluții.

În această secțiune, ne vom concentra asupra sistemelor comune omogene și neomogene de ecuații algebrice liniare care au un număr infinit de soluții.

Să ne ocupăm mai întâi de sisteme omogene.

Sistem de decizie fundamental Un sistem omogen de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute este o mulțime de (n – r) soluții liniar independente ale acestui sistem, unde r este ordinul bazei minore a matricei principale a sistemului.

Dacă desemnăm soluții liniar independente ale unui SLAE omogen ca X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sunt coloane de matrice de dimensiunea n prin 1 ) , atunci soluția generală a acestui sistem omogen este reprezentată ca o combinație liniară de vectori ai sistemului fundamental de soluții cu coeficienți constanți arbitrari С 1 , С 2 , …, С (n-r), adică .

Ce înseamnă termenul de soluție generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare (oroslau)?

Semnificația este simplă: formula specifică toate soluțiile posibile la SLAE inițial, cu alte cuvinte, luând orice set de valori ale constantelor arbitrare C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , conform formulei pe care o avem va obține una dintre soluțiile SLAE omogen original.

Astfel, dacă găsim un sistem fundamental de soluții, atunci putem seta toate soluțiile acestui SLAE omogen ca .

Să arătăm procesul de construire a unui sistem fundamental de soluții pentru un SLAE omogen.

Alegem minorul de bază al sistemului original de ecuații liniare, excludem toate celelalte ecuații din sistem și transferăm în partea dreaptă a ecuațiilor sistemului cu semne opuse toți termenii care conțin variabile necunoscute libere. Să dăm variabilelor necunoscute libere valorile 1,0,0,…,0 și să calculăm principalele necunoscute prin rezolvarea sistemului elementar rezultat de ecuații liniare în orice mod, de exemplu, prin metoda Cramer. Astfel, se va obține X (1) - prima soluție a sistemului fundamental. Dacă dăm necunoscutelor libere valorile 0,1,0,0,…,0 și calculăm principalele necunoscute, atunci obținem X (2) . Si asa mai departe. Dacă dăm variabilelor necunoscute libere valorile 0,0,…,0,1 și calculăm principalele necunoscute, atunci obținem X (n-r) . Așa se va construi sistemul fundamental de soluții al SLAE omogen și soluția sa generală poate fi scrisă sub forma .

Pentru sistemele neomogene de ecuații algebrice liniare, soluția generală este reprezentată ca

Să ne uităm la exemple.

Exemplu.

Aflați sistemul fundamental de soluții și soluția generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare .

Soluţie.

Rangul matricei principale a sistemelor omogene de ecuații liniare este întotdeauna egal cu rangul matricei extinse. Să găsim rangul matricei principale prin metoda franjării minorilor. Ca un minor de ordinul întâi, diferit de zero, luăm elementul a 1 1 = 9 din matricea principală a sistemului. Găsiți minorul de ordinul doi care se limitează la zero:

Se găsește un minor de ordinul doi, diferit de zero. Să trecem prin minorii de ordinul trei care se învecinează cu acesta în căutarea unuia diferit de zero:

Toți minorii învecinați de ordinul al treilea sunt egali cu zero, prin urmare, rangul matricei principale și extinse este de doi. Să luăm minorul de bază. Pentru claritate, notăm elementele sistemului care îl formează:

A treia ecuație a SLAE originală nu participă la formarea minorului de bază, prin urmare, poate fi exclusă:

Lăsăm termenii care conțin principalele necunoscute în partea dreaptă a ecuațiilor și transferăm termenii cu necunoscute libere în partea dreaptă:

Să construim un sistem fundamental de soluții la sistemul omogen original de ecuații liniare. Sistemul fundamental de soluții al acestui SLAE constă din două soluții, deoarece SLAE original conține patru variabile necunoscute, iar ordinea minorului său de bază este două. Pentru a găsi X (1), dăm variabilelor necunoscute libere valorile x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, apoi găsim principalele necunoscute din sistemul de ecuații
.

§5. Forma trigonometrică a unui număr complex. Formula Moivre. extragerea rădăcinilor

§6. Funcții complexe

Funcții complexe ale unei variabile reale

Funcția exponențială zez cu un exponent complex și proprietățile sale

Formule Euler. Forma exponențială a unui număr complex

Capitolul 3 Polinoame

§unu. Inel de polinoame

§2. Împărțirea polinoamelor prin puteri descrescătoare

§3. Polinoame reciproc simple și ireductibile. Teorema și algoritmul lui Euclid

§patru. Zerourile (rădăcinile) unui polinom. Multiplicitatea lui zero. Descompunerea unui polinom într-un produs de polinoame ireductibile peste câmpul c și r

Exerciții

Capitolul 4 spații vectoriale

§unu. Spațiu vectorial al polinoamelor peste un câmp de p coeficienți

§2. Spații vectoriale p n peste câmpul p

§3. Vectori în spațiul geometric

3.1. Tipuri de vectori în spațiul geometric

Din asemănarea triunghiurilor abs și av"c" rezultă (atât în ​​cazul lui   , cât și în cazul lui   ) că.

3.3. Definirea vectorilor liberi folosind un sistem de coordonate carteziene și potrivirea acestora cu vectorii din spațiul vectorial r3

3.4. Produsul punctual a doi vectori liberi

Exerciții

§patru. subspațiu vectorial

4.1. Subspațiu generat de o combinație liniară de vectori

4.2. Dependența liniară și independența vectorilor

4.3. Teoreme pe vectori liniar dependenți și liniar independenți

4.4. Baza și rangul sistemului vectorial. Baza și dimensiunea unui subspațiu vectorial generat de un sistem de vectori

4.5. Baza și dimensiunea subspațiului generat de sistem

§5. Baza și dimensiunea unui spațiu vectorial

5.1. Construirea unei baze

5.2. Proprietățile de bază ale bazei

5.3. Baza și dimensiunea spațiului vectorilor liberi

§6. Izomorfism între spațiile vectoriale n-dimensionale k și p n peste câmpul p

§opt. Mapări liniare ale spațiilor vectoriale

8.1. Rang de afișare liniară

8.2. Notarea coordonatelor mapărilor liniare

Exerciții

Capitolul 5 Matrici

§unu. Rangul matricei. Transformări ale matricei elementare

§2. Operații algebrice pe matrici.

Lasă matrice

§3. Izomorfismul între spațiul vectorial

§patru. Produsul scalar a doi vectori din spațiul Rn

§5. Matrici pătrate

5.1. matrice inversă

5.2. Matrice pătrată transpusă.

Exerciții

Capitolul 6 Determinanți

§unu. Definiția și proprietățile determinantului care decurg din definiție

§2. Descompunerea determinantului de elementele coloanei (rândului). Teorema complementului străin

§3. Reprezentarea geometrică a determinantului

3.1. Produs vectorial din doi vectori liberi

3.2. Produs mixt din trei vectori liberi

§patru. Utilizarea determinanților pentru a găsi rangul matricelor

§5. Construirea matricei inverse

Exerciții

Capitolul 7 Sisteme de ecuații liniare

§unu. Definiții. Sisteme cooperative și necooperative

§2. metoda Gauss

§3. Forme matrice și vectoriale de scriere liniară

3. Matrice-coloană de membri liberi dimensiunea matricei k 1.

§patru. Sistemul Cramer

§5. Sistem omogen de ecuații liniare

§6. Sistem neomogen de ecuații liniare

Exerciții

Capitolul 8 Reducerea matricei

§unu. Matrice de tranziție de la o bază la alta

1.1. Matricea de tranziție asociată transformării

1.2. Matrici de tranziție ortogonale

§2. Modificarea matricei de cartografiere liniară la schimbarea bazelor

2.1. Valori proprii, vectori proprii

2.2. Reducerea unei matrice pătrate la o formă diagonală

§3. Forme reale liniare și pătratice

3.1. Reducerea unei forme pătratice la o formă canonică

3.2. O anumită formă pătratică. criteriul lui Sylvester

Exerciții

§6. Sistem neomogen de ecuații liniare

Dacă în sistemul de ecuaţii liniare (7.1) cel puţin unul dintre termenii liberi în i este diferit de zero, atunci se numește un astfel de sistem eterogen.

Să fie dat un sistem neomogen de ecuații liniare, care poate fi reprezentat sub formă vectorială ca

, i = 1,2,.. .,la, (7.13)

Luați în considerare sistemul omogen corespunzător

i = 1,2,... ,la. (7.14)

Fie vectorul
este o soluție a sistemului neomogen (7.13), iar vectorul
este o soluție a sistemului omogen (7.14). Apoi, este ușor de observat că vectorul
este și o soluție la sistemul neomogen (7.13). Într-adevăr

Acum, folosind formula (7.12) a soluției generale a ecuației omogene, avem

Unde
orice număr de la R, A
sunt soluţii fundamentale ale unui sistem omogen.

Astfel, soluția unui sistem neomogen este combinația dintre soluția sa particulară și soluția generală a sistemului omogen corespunzător.

Soluția (7.15) se numește o soluție generală a unui sistem neomogen de ecuații liniare. Din (7.15) rezultă că un sistem neomogen compatibil de ecuații liniare are o soluție unică dacă rangul r(A) din matricea principală DAR se potrivește cu numărul n sistem necunoscut (sistemul lui Cramer), dacă r(A)  n, atunci sistemul are o mulțime infinită de soluții, iar această mulțime de soluții este echivalentă cu subspațiul de soluții al sistemului omogen de ecuații de dimensiune corespunzător n– r.

Exemple.

1. Să fie dat un sistem neomogen de ecuații în care numărul de ecuații la= 3 și numărul de necunoscute n = 4.

X 1 – X 2 + X 3 –2X 4 = 1,

X 1 – X 2 + 2X 3 – X 4 = 2,

5X 1 – 5X 2 + 8X 3 – 7X 4 = 3.

Determinați rangurile matricei principale DARși extins DAR * acest sistem. Pentru că DARși DAR * matrici nenule şi k = 3  n, deci 1  r (A), r * (DAR * )  3. Luați în considerare minorii de ordinul doi ale matricilor DARși DAR * :

Astfel, printre minorii de ordinul doi ale matricilor DARși DAR * există un minor diferit de zero, deci 2 r(A),r * (A * )  3. Acum luați în considerare minorii de ordinul trei

, deoarece prima și a doua coloană sunt proporționale. La fel pentru minor
.

Și așa toți minorii de ordinul trei al matricei principale DAR sunt egale cu zero, prin urmare, r(A) = 2. Pentru matricea augmentată DAR * mai sunt minori de ordinul al treilea

Prin urmare, printre minorii de ordinul trei ai matricei extinse DAR * există o minoră diferită de zero, deci r * (A * ) = 3. Aceasta înseamnă că r(A)  r * (A * ) și apoi, pe baza teoremei Kornecker-Capelli, concluzionăm că acest sistem este inconsecvent.

2. Rezolvați sistemul de ecuații

3X 1 + 2X 2 + X 3 + X 4 = 1,

3X 1 + 2X 2 – X 3 – 2X 4 = 2.

Pentru acest sistem
și deci 1 r(A),r * (A * )  2. Considerați pentru matrici Ași A * minori de ordinul doi

În acest fel, r(A)= r * (A * ) = 2 și, prin urmare, sistemul este consistent. Ca variabile de bază, alegem oricare două variabile pentru care minorul de ordinul doi, compus din coeficienții acestor variabile, nu este egal cu zero. Astfel de variabile pot fi, de exemplu,

X 3 și X 4 pentru că
Atunci noi avem

X 3 + X 4 = 1 – 3X 1 – 2X 2 ,

– X 3 – 2X 4 = 2 – 3X 1 – 2X 2 .

Definim o anumită soluție sistem eterogen. Pentru asta ne-am stabilit X 1 = X 2 = 0.

X 3 + X 4 = 1,

– X 3 – 2X 4 = 2.

Soluție pentru acest sistem: X 3 = 4, X 4 = - 3, prin urmare, = (0,0,4, –3).

Definim acum soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare

X 3 + X 4 = – 3X 1 – 2X 2 ,

–X 3 – 2X 4 = – 3X 1 – 2X 2 .

Sa punem: X 1 = 1, X 2 = 0

X 3 + X 4 = –3,

–X 3 – 2X 4 = –3.

Rezolvarea acestui sistem X 3 = –9, X 4 = 6.

În acest fel

Acum să punem X 1 = 0, X 2 = 1

X 3 + X 4 = –2,

–X 3 – 2X 4 = –2.

Soluţie: X 3 = – 6, X 4 = 4 și apoi

După ce a fost determinată o anumită soluție , ecuație neomogenă și soluții fundamentale
și a ecuației omogene corespunzătoare, notăm soluția generală a ecuației neomogene.

Unde
orice număr de la R.