Ce sunt nodurile și numerele prime relativ. Numerele coprime: definiție, exemple și proprietăți. numere coprime"
Concurs pentru tineri profesori
Regiunea Bryansk
"Debutul pedagogic - 2014"
Anul universitar 2014-2015
Lecție de consolidare matematică în clasa a VI-a
pe tema „NOD. numere coprime"
Loc de munca:MBOU „Școala secundară Glinishchevskaya” din regiunea Bryansk
Obiective:
Educational:
- Consolidează și sistematizează materialul studiat;
- Să dezvolte abilitățile de a descompune numerele în factori primi și de a găsi GCD;
- Verificați cunoștințele elevilor și identificați lacunele;
În curs de dezvoltare:
- Contribuie la dezvoltarea gândirii logice, a vorbirii și a abilităților de operații mentale ale elevilor;
- Să contribuie la formarea capacității de a observa tipare;
- Contribuie la ridicarea nivelului culturii matematice;
Educational:
- Să promoveze formarea interesului pentru matematică; capacitatea de a-și exprima gândurile, de a-i asculta pe ceilalți, de a-și apăra punctul de vedere;
- educație pentru independență, concentrare, concentrare a atenției;
- pentru a insufla abilitățile de acuratețe în ținerea unui caiet.
Tip de lecție: lectie de generalizare si sistematizare a cunostintelor.
Metode de predare : lucrare explicativă și ilustrativă, independentă.
Echipament: computer, ecran, prezentare, fișă.
În timpul orelor:
- Organizarea timpului.
„Sonerul a sunat și a tăcut - începe lecția.
Te-ai așezat în liniște la birourile tale, toată lumea s-a uitat la mine.
Ură-ți succes reciproc cu ochii tăi.
Și înainte pentru noi cunoștințe.
Prieteni, pe tabele vedeți „Fișa de evaluare”, adică. pe lângă evaluarea mea, vă veți evalua pe dvs. completând fiecare sarcină.
Lucrare de evaluare
Băieți, ce subiect ați studiat pentru mai multe lecții? (Am învățat să găsim cel mai mare divizor comun).
Ce crezi că vom face astăzi? Prezentați subiectul lecției noastre. (Astăzi vom continua să lucrăm cu cel mai mare divizor comun. Subiectul lecției noastre este „Cel mai mare divizor comun”. În această lecție, vom găsi cel mai mare divizor comun al mai multor numere și vom rezolva probleme folosind cunoștințele de a găsi cel mai mare divizor comun. divizor comun.).
Deschide caietele, notează numărul, munca la clasă și tema lecției: „Cel mai mare divizor comun. Numerele coprime.
- Actualizare de cunoștințe
Câteva întrebări teoretice
Sunt adevărate afirmațiile? "Da" - __; "Nu" - /\. slide 3-4
- Un număr prim are exact doi divizori; (dreapta)
- 1 este un număr prim; (neadevarat)
- Cel mai mic număr prim de două cifre este 11; (dreapta)
- Cel mai mare număr compus din două cifre este 99; (dreapta)
- Numerele 8 și 10 sunt între prime (nu adevărat)
- Unele numere compuse nu pot fi factorate în factori primi; (neadevarat).
Cheie: _ /\ _ _/\ /\.
Au evaluat munca lor orală în fișa de evaluare.
- Sistematizarea cunoștințelor
Astăzi, în lecția noastră va fi puțină magie.
Unde se găsește magia? (în basm)
Ghiciți din imagine în ce fel de basm vom cădea. ( slide 5 ) Basm Gâște-lebede. Absolut corect. Foarte bine. Și acum să încercăm cu toții să ne amintim conținutul acestei povești. Lanțul este foarte scurt.
Acolo trăiau un bărbat și o femeie. Au avut o fiică și un băiețel. Tatăl și mama au mers la muncă și i-au cerut fiicei să aibă grijă de fratele ei.
Și-a pus fratele pe iarbă sub fereastră și a fugit în stradă, s-a jucat, a făcut o plimbare. Când fata s-a întors, fratele ei era plecat. A început să-l caute, a țipat, l-a sunat, dar nimeni nu a răspuns. Ea a fugit într-un câmp deschis și a văzut doar: gâște lebede s-au repezit în depărtare și au dispărut în spatele unei păduri întunecate. Atunci fata și-a dat seama că i-au luat fratele. Știa de multă vreme că gâștele lebădă au luat copii mici.
S-a repezit după ei. Pe drum, a întâlnit o sobă, un măr, un râu. Dar râul nostru nu este lăptos în malurile de jeleu, ci unul obișnuit, în care sunt foarte, foarte mulți pești. Niciunul dintre ei nu a sugerat unde zburau gâștele, pentru că ea însăși nu le-a îndeplinit cererile.
Multă vreme fata a alergat prin câmpuri, prin păduri. Ziua se apropie deja de sfârșit, dintr-o dată ea vede - există o colibă pe o pulpă de pui, cu o fereastră, se întoarce în jurul ei. În colibă, bătrânul Baba Yaga învârte un cârlig. Iar fratele ei stă pe o bancă lângă fereastră. Fata nu a spus că a venit după fratele ei, ci a mințit, spunând că s-a pierdut. Dacă n-ar fi fost șoricelul pe care l-a hrănit cu terci, atunci Baba Yaga l-ar fi prăjit în cuptor și l-ar fi mâncat. Fata și-a prins repede fratele și a fugit acasă. Gâște - lebedele le-au observat și au zburat după ele. Și dacă ajung acasă în siguranță - totul depinde acum de noi, băieți. Să continuăm povestea.
Ei aleargă și aleargă și aleargă spre râu. Au cerut să ajute râul.
Dar râul îi va ajuta să se ascundă doar dacă „prindeți” toți peștii.
Acum veți lucra în perechi. Dau fiecărei perechi câte un plic - o plasă în care se încurcă trei pești. Sarcina ta este să obții toți peștii, să notezi numărul 1 și să rezolvi
Sarcini de pește. Demonstrați că numerele sunt coprime
1) 40 și 15 2) 45 și 49 3) 16 și 21
Verificare reciprocă. Acordați atenție criteriilor de evaluare. Slide 6-7
Generalizare: Cum se demonstrează că numerele sunt coprime?
Evaluat.
Foarte bine. A ajutat o fată și un băiat. Râul le acoperea sub malul său. Gâște-lebede au zburat.
În semn de recunoștință, Băiatul va petrece un minut fizic pentru tine (video) Slide 9
În ce caz mărul le va ascunde?
Dacă o fată își încearcă mărul de pădure.
Dreapta. Să „mâncăm” cu toții mere de pădure împreună. Iar merele de pe el nu sunt simple, cu sarcini neobișnuite, numite LOTO. „Mâncăm” mere mari câte unul pe grup, adică. lucrăm în grupuri. Găsiți GCD-ul în fiecare celulă de pe cardurile mici de răspuns. Când toate celulele sunt închise, întoarceți cărțile și ar trebui să obțineți o poză.
Sarcini privind merele de pădure
Găsiți GCD:
1 grup | 2 grupa | ||
mcd(48,84)= | GCD (60,48)= | mcd(60,80)= | GCD (80,64)= |
mcd (12,15)= | mcd(15,20)= | GCD (50,30)= | mcd (12,16)= |
3 grupa | 4 grupa | ||
GCD (123,72)= | mcd(120,96)= | mcd(90,72)= | GCD(15;100)= |
mcd(45,30)= | GCD (15,9)= | mcd(14,42)= | GCD (34,51)= |
Verifică: trec prin rânduri, verific poza
Generalizare: Ce trebuie făcut pentru a găsi GCD-ul?
Foarte bine. Mărul le-a acoperit cu ramuri, le-a acoperit cu frunze. Gâște - lebedele le-au pierdut și au zburat mai departe. Ce urmează?
Au alergat din nou. Nu era departe, atunci i-au văzut gâștele, au început să-și bată aripile, vor să-și smulgă fratele din mâini. Au fugit la sobă. Aragazul le va ascunde dacă fata încearcă plăcinta de secară.
Să o ajutăm pe fată.Atribuire după opțiuni, test
TEST
Subiect
Opțiunea 1
- Ce numere sunt divizori comuni ai lui 24 și 16?
1) 4, 8; 2) 6, 2, 4;
3) 2, 4, 8; 4) 8, 6.
- Este 9 cel mai mare divizor comun al lui 27 și 36?
- Da; 2) nr.
- Având în vedere numerele 128, 64 și 32. Care dintre ele este cel mai mare divizor dintre toate cele trei numere?
1) 128; 2) 64; 3) 32.
- Numerele 7 și 418 sunt coprime?
1) da; 2) nr.
1) 5 și 25;
2) 64 și 2;
3) 12 și 10;
4) 100 și 9.
TEST
Subiect : NU. Numerele coprime.
Opțiunea 1
- Ce numere sunt divizori comuni ai lui 18 și 12?
1) 9, 6, 3; 2) 2, 3, 4, 6;
3) 2, 3; 4) 2, 3, 6.
- Este 4 cel mai mare divizor comun al lui 16 și 32?
- Da; 2) nr.
- Având în vedere numerele 300, 150 și 600. Care dintre ele este cel mai mare divizor dintre toate cele trei numere?
1) 600; 2) 150; 3) 300.
- Numerele 31 și 44 sunt coprime?
1) da; 2) nr.
- Care dintre numere sunt relativ prime?
1) 9 și 18;
2) 105 și 65;
3) 44 și 45;
4) 6 și 16.
Examinare. Autoverificare dintr-un diapozitiv. Criteriu de evaluare. Slide 10-11
Foarte bine. Au mâncat plăcinte. Fata și fratele ei s-au așezat în stomă și s-au ascuns. Gâște-lebede au zburat-au zburat, au strigat-au strigat și au zburat spre Baba Yaga fără nimic.
Fata a mulțumit aragazului și a fugit acasă.
Curând, atât tatăl, cât și mama au venit acasă de la serviciu.
Rezumatul lecției. În timp ce ajutam o fată cu un băiat, ce subiecte am repetat? (Găsirea mcd-ului a două numere, numere coprime.)
Cum să găsiți GCD-ul mai multor numere naturale?
Cum se demonstrează că numerele sunt coprime?
În timpul lecției, la fiecare sarcină, ți-am dat note și te-ai evaluat. Prin compararea acestora se va stabili punctajul mediu pentru lecție.
Reflecţie.
Dragi prieteni! Rezumând lecția, aș dori să aud părerea ta despre lecție.
- Ce a fost interesant și instructiv în lecție?
- Pot fi sigur că te descurci cu acest tip de sarcină?
- Care dintre sarcini s-a dovedit a fi cea mai dificilă?
- Ce lacune de cunoștințe au apărut în lecție?
- La ce probleme a dat naștere această lecție?
- Cum apreciați rolul profesorului? V-a ajutat să dobândiți abilitățile și cunoștințele necesare pentru a rezolva aceste tipuri de probleme?
Lipiți merele de copac. Cine a făcut față tuturor sarcinilor și totul a fost clar - lipiți un măr roșu. Cine a avut o întrebare - verde, cine nu a înțeles - galben. slide 12
Este adevărată afirmația? Cel mai mic număr prim din două cifre este 11
Este adevărată afirmația? Cel mai mare număr compus din două cifre este 99
Este adevărată afirmația? Numerele 8 și 10 sunt între prime
Este adevărată afirmația? Unele numere compuse nu pot fi factorizate în factori primi
Cheia dictarii: _ /\ _ _ /\ /\ Criterii de evaluare Fără erori - „5” 1-2 erori - „4” 3 erori - „3” Mai mult de trei - „2”
Demonstrați că numerele 16 și 21 sunt relativ prime 3 Demonstrați că numerele 40 și 15 sunt relativ prime Demonstrați că numerele 45 și 49 sunt relativ prime 2 1 40=2 2 2 5 15=3 5 mcd(40; 15) = 5, numere neprime 45=3 3 5 49=7 7 mcd(45; 49)=, numere coprime 16=2 2 2 2 21=3 7 mcd(45; 49) =1, numere coprime
Criterii de evaluare Fără erori - "5" 1 eroare - "4" 2 erori - "3" Mai mult de două - "2"
Grupa 1 GCD(48.84)= GCD(60.48)= GCD(12.15)= GCD(15.20)= Grupa 3 GCD(123.72)= GCD(120.96)= GCD(45, 30)= GCD(15.9)= Grupa 2 GCD( 60,80)= GCD(80,64)= GCD(50,30)= GCD(12,16)= Grupa 4 GCD(90,72)= GCD (15,100)= GCD (14,42)= GCD(34,51)=
Sarcini de la aragaz B1 3 2. 1 3. 3 4. 1 5. 4 B2 4 2. 2 3. 2 4. 1 5. 3
Criterii de evaluare Fără erori - "5" 1-2 erori - "4" 3 erori - "3" Mai mult de trei - "2"
Reflecție Am înțeles totul, am făcut față tuturor sarcinilor, au fost dificultăți minore, dar le-am făcut față, au rămas câteva întrebări
Divizori comuni
Exemplul 1
Găsiți divizorii comuni ai numerelor $15$ și $–25$.
Decizie.
Divizori ai numărului $15: 1, 3, 5, 15$ și contrariile lor.
Divizori ai numărului $–25: $1, $5, $25 și contrariile lor.
Răspuns: $15$ și $–25$ au divizori comuni ai lui $1, 5$ și contrariul lor.
Conform proprietăților de divizibilitate, numerele $−1$ și $1$ sunt divizori ai oricărui număr întreg, deci $−1$ și $1$ vor fi întotdeauna divizori comuni pentru orice număr întreg.
Orice set de numere întregi va avea întotdeauna cel puțin $2$ divizori comuni: $1$ și $−1$.
Rețineți că dacă întregul $a$ este un divizor comun al unor numere întregi, atunci -a va fi și un divizor comun al acelor numere întregi.
Cel mai adesea, în practică, ele sunt limitate doar la divizori pozitivi, dar nu uitați că fiecare număr întreg opus unui divizor pozitiv va fi și un divizor al acestui număr.
Găsirea celui mai mare divizor comun (GCD)
Conform proprietăților divizibilității, fiecare număr întreg are cel puțin un divizor altul decât zero, iar numărul acestor divizori este finit. În acest caz, divizorii comuni ai numerelor date sunt, de asemenea, un număr finit. Dintre toți divizorii comuni ai numerelor date, puteți selecta cel mai mare număr.
Dacă toate aceste numere sunt egale cu zero, este imposibil să se determine cel mai mare dintre divizorii comuni, deoarece zero este divizibil cu orice număr întreg, dintre care există un număr infinit.
Cel mai mare divizor comun al numerelor $a$ și $b$ în matematică este notat cu $gcd(a, b)$.
Exemplul 2
Găsiți mcd-ul numerelor întregi 412$ și $–30$..
Decizie.
Să găsim divizorii fiecăruia dintre numere:
$12$: numerele $1, 3, 4, 6, 12$ și contrariile lor.
$–30$: numerele $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$ și contrariile lor.
Divizorii comuni ai numerelor $12$ și $–30$ sunt $1, 3, 6$ și contrariile lor.
$gcd (12, -30)=6$.
Este posibil să se determine GCD a trei sau mai multe numere întregi în același mod ca și definiția GCD a două numere.
GCD de trei sau mai multe numere întregi este cel mai mare număr întreg care împarte toate numerele simultan.
Se notează cel mai mare divizor $n$ al numerelor $gcd(a_1, a_2, …, a_n)= b$.
Exemplul 3
Găsiți mcd a trei numere întregi $–12, 32, 56$.
Decizie.
Să găsim toți divizorii fiecăruia dintre numere:
$–12$: numerele $1, 2, 3, 4, 6, 12$ și contrariile lor;
$32$: numerele $1, 2, 4, 8, 16, 32$ și contrariile lor;
$56$: numerele $1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56$ și contrariile lor.
Divizorii comuni ai numerelor $–12, 32, 56$ sunt $1, 2, 4$ și contrariile lor.
Găsiți cel mai mare dintre aceste numere comparând numai pe cele pozitive: $1
$gcd(-12, 32, 56)=4$.
În unele cazuri, mcd-ul numerelor întregi poate fi unul dintre aceste numere.
Numerele coprime
Definiția 3
Numerele întregi $a$ și $b$ – coprime, dacă $gcd(a, b)=1$.
Exemplul 4
Arătați că numerele $7$ și $13$ sunt coprime.
Lucrări terminate
ACESTE LUCRĂRI
Multe au rămas deja în urmă și acum ești absolvent, dacă, bineînțeles, îți scrii teza la timp. Dar viața este așa ceva încât abia acum îți devine clar că, după ce ai încetat să mai fii student, vei pierde toate bucuriile studențești, multe dintre care nu le-ai încercat, amânând totul și amânând pentru mai târziu. Și acum, în loc să te atingă din urmă, îți schimbi teza? Există o ieșire grozavă: descărcați teza de care aveți nevoie de pe site-ul nostru - și veți avea instantaneu mult timp liber!
Lucrările de diplomă au fost susținute cu succes în principalele universități din Republica Kazahstan.
Costul lucrării de la 20 000 tenge
LUCRĂRI DE CURS
Proiectul de curs este prima lucrare practică serioasă. Pregătirea pentru dezvoltarea proiectelor de absolvire începe odată cu scrierea unei lucrări. Dacă un student învață să enunțe corect conținutul subiectului într-un proiect de curs și să îl redacteze corect, atunci în viitor nu va avea probleme nici cu redactarea rapoartelor, nici cu alcătuirea tezelor, nici cu îndeplinirea altor sarcini practice. Pentru a-i ajuta pe elevi în redactarea acestui tip de lucrare a studenților și pentru a clarifica întrebările care apar în cursul pregătirii sale, de fapt, a fost creată această secțiune de informare.
Costul lucrării de la 2 500 tenge
TEZE DE MAESTRO
În prezent, în instituțiile de învățământ superior din Kazahstan și țările CSI, etapa de învățământ profesional superior, care urmează după diplomă de licență - master, este foarte frecventă. În magistratură, studenții studiază cu scopul de a obține o diplomă de master, care este recunoscută în majoritatea țărilor lumii mai mult decât o diplomă de licență, și este recunoscută și de angajatorii străini. Rezultatul pregătirii în magistratură este susținerea unei lucrări de master.
Vă vom oferi material analitic și textual la zi, prețul include 2 articole științifice și un rezumat.
Costul lucrării de la 35 000 tenge
RAPOARTE DE PRACTICĂ
După finalizarea oricărui tip de practică studentească (educațional, industrial, universitar) este necesar un raport. Acest document va fi o confirmare a muncii practice a studentului și baza pentru formarea evaluării pentru practică. De obicei, pentru a întocmi un raport de stagiu, trebuie să colectați și să analizați informații despre întreprindere, să luați în considerare structura și programul de lucru al organizației în care are loc stagiul, să întocmiți un plan calendaristic și să vă descrieți activitățile practice.
Vă vom ajuta să scrieți un raport despre stagiu, ținând cont de specificul activităților unei anumite întreprinderi.
cartierul urban Tolyatti
"Cel mai mare divizor comun. Numerele coprime.
Profesorul Kostina T.K.
g. o. Toliatti
Prezentare pe tema: „Cel mai mare divizor comun.
numere coprime"
Pregătirea preliminară pentru lecție: elevii ar trebui să cunoască următoarele subiecte: „Divizori și multipli”, „Semne de divizibilitate cu 10, 5, 2, 3, 9”, „Numerele prime și compuse”, „Descompunerea în factori primi”
Obiectivele lecției:
Educațional: pentru a studia conceptele de GCD și numere prime relativ; învață elevii să găsească numere GCD; să creeze condiții pentru dezvoltarea capacității de a rezuma materialul studiat, de a analiza, compara și de a trage concluzii.
Educativ: formarea deprinderilor de autocontrol; promovarea simțului responsabilității.
Dezvoltare: dezvoltarea memoriei, imaginației, gândirii, atenției, ingeniozității.
În timpul orelor
Procese verbale de sarcini logice Lucru oral.
1. Bunicii au adus un număr impar de caise din grădină pentru cei doi nepoți ai lor. Aceste caise pot fi împărțite în mod egal între nepoți? [poate sa]
2. De la un sat la altul 3 km. Doi oameni au ieșit din aceste sate unul spre celălalt cu aceeași viteză. Întâlnirea a avut loc o jumătate de oră mai târziu. Găsiți viteza fiecăruia.
3. Turistul a trecut 2/5 din tot drumul. După aceea, a trebuit să meargă cu 4 km mai mult decât a făcut. Găsiți până la capăt.
4. Numărul de ouă din coș este mai mic de 40. Dacă sunt numărate în perechi, atunci va rămâne 1 ou. Dacă le numărați în tripleți, atunci va mai fi câte un ou fiecare. Câte ouă sunt în coș? (31)
2. Repetarea.
Conform tabelului, repetăm definiția unui divizor, a unui multiplu, a semnelor de divizibilitate, definiția numerelor prime și compuse. Pe ecran sunt diapozitive care înfățișează animale, o hartă a regiunii Samara, fotografii ale unui VAZ.
3. Învățarea de noi materiale sub forma unei conversații.
Care sunt divizorii numărului 18, 21, 24.
Suprafața VAZ este de 500 de hectare. În ce factori primi poate fi descompus acest număr? 500=2*5*2*5*5=2 2 *5 3
Care sunt divizorii comuni ai numerelor 120 și 80.
Greutatea ursului este de 525 kg. Masa unui elefant este de 5025 kg. Numiți câțiva divizori comuni
Castorul cântărește 24 kg și are 97 cm lungime.Care numere sunt simple sau complexe? Numiți divizorii lor comuni.
56640 de tone de oxigen sunt consumate de 1 aeronavă de pasageri pentru 9 ore de funcționare. Această cantitate de oxigen este eliberată în timpul fotosintezei a 35.000 de hectare de pădure. Numiți câțiva divizori ai acestui număr.
Care dintre aceste numere sunt prime și care sunt compuse? 111, 313, 323, 437, 549, 677, 781, 891?
Care număr este divizibil cu toate numerele fără rest?
Care este divizorul oricărui număr natural?
Este expresia 34*28+85*20 divizibil cu 17?
Este expresia 4132*7008 divizibil cu 3?
Care este coeficientul (3*5*2*7*13)/(5*2*13)=?
Care este produsul lui (2*5*5*5*3)*(2*2*2*2*3)?
Numiți câteva numere prime.
Cu cât mergem mai departe de-a lungul seriei naturale de numere, cu atât este mai dificil să găsim numere prime. Imaginați-vă că zburăm într-un avion care zboară de-a lungul unei linii naturale. Este întuneric peste tot și numai numerele prime sunt marcate cu lumini. Sunt multe lumini la începutul călătoriei, apoi din ce în ce mai puține.
Vechiul om de știință grec Euclid a demonstrat în urmă cu 2300 de ani că există infinit de numere prime și că nu există cel mai mare număr prim.
Problema numerelor prime a fost studiată de mulți matematicieni, inclusiv de savantul grec antic Eratosthenes. Metoda lui de a găsi numere prime a fost numită sita lui Eratostene.
Goldbach și Euler, care au trăit în secolul al XVIII-lea și au fost membri ai Academiei de Științe din Sankt Petersburg, s-au ocupat de problema numerelor prime. Ei au presupus că fiecare număr natural poate fi reprezentat ca o sumă de numere prime, dar acest lucru nu a fost dovedit. În 1937, academicianul sovietic Vinogradov a dovedit această propunere.
Un elefant indian a trăit 65 de ani, un crocodil 51 de ani, o cămilă 23 de ani și un cal 19 ani. Care dintre aceste numere sunt prime și compuse?
Lupul urmărește iepurele, trebuie să treacă prin labirint. Puteți trece dacă răspunsul este un număr prim [labirinturi sub formă de cercuri, pe care sunt trei exemple, iar în centru este o casă]
1000-2; 250*2+9; 310/5
24/4, 2 2 +41, 23+140
10-3; 133+12; 28*5
Pentru sarcina de pe registrul de bord:
Divizori 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 48
Divizori 36: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36
GCD (48; 36) \u003d 12 12 cadouri determinarea GCD al divizorului regula pentru găsirea GCD
Și cum să găsiți GCD-ul numerelor mari, când este dificil să enumerați toți divizorii. Conform tabelului și manualului, derivăm regula. Evidențiem cuvintele principale: descompune, compune, înmulți.
Arăt exemple de găsire a GCD din numere mari, aici putem spune că GCD de numere mari poate fi găsit folosind algoritmul euclidian. Ne vom familiariza cu acest algoritm în detaliu în sala de clasă a școlii de matematică.
Un algoritm este o regulă conform căreia sunt efectuate acțiuni. În secolul al IX-lea, astfel de reguli au fost date de matematicianul arab Alkhvaruimi.
4. Lucrați în grupuri de 4 persoane.
Toată lumea primește una dintre cele 4 opțiuni pentru sarcini, unde sunt indicate următoarele:
Elevul trebuie să studieze teoria din manual și să răspundă la o întrebare
Studiați un exemplu de găsire a GCD
Completați sarcini pentru munca independentă.
La sfârșitul lucrării, se efectuează o mică lucrare independentă.
carduri CSR
Opțiunea 1
1. Ce număr se numește prim? Ce este un număr compus?
2. Găsiți GCD (96; 36)
Pentru a găsi MCD de numere, trebuie să descompuneți numerele date în factori primi.
| 96 | 2 |
| 48 | 2 |
| 24 | 2 |
| 12 | 2 |
| 6 | 2 |
| 3 | 3 |
| 1 |
| 36 | 2 |
| 18 | 2 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 | |
36=2 2 *3 2
96=2 5 *3
Extinderea numărului care este MCD al numerelor 96 și 36 va include factorii primi comuni cu cel mai mic exponent:
GCD (96;36)=2 2 *3=4*3=12
3. Decide pentru tine. GCD(102; 84), GCD(75; 28), GCD(120; 144)
Opțiunea 2
1. Ce înseamnă a descompune un număr natural în factori primi? Care este divizorul comun al acestor numere?
2. Proba GCD (54; 72)=18
3. Rezolva-te GCD(144; 128), GCD(81; 64), GCD(360; 840)
Opțiunea 3
1. Ce numere se numesc relativ prime? Dă un exemplu.
2. Proba GCD (72; 96) =24
3. Rezolva-te GCD(102; 170), GCD(45; 64), GCD(864; 192)
Opțiunea 4
1. Cum să găsiți un divizor comun al numerelor?
2. Eșantion GCD (360; 432)
3. Rezolva-te GCD (135; 105), GCD (128; 75), GCD (360; 8400)
Muncă independentă
| Opțiunea 1 | Opțiunea 2 | Opțiunea 3 | Opțiunea 4 |
| NOD (180; 120) | NOD (150; 375) | NOD (135; 315; 450) | NOD (250; 125; 375) |
| NOD (2016; 1320) | NOD (504; 756) | NOD (1575, 6615) | NOD (468; 702) |
| NOD (3120; 900) | NOD (1028; 1152) | NOD (1512; 1008) | NOD (3375; 2250) |
5. Rezumând lecția. Raportarea notelor pentru munca independentă.
În acest articol, vom vorbi despre ce sunt numerele coprime. În primul paragraf, formulăm definiții pentru două, trei sau mai multe numere coprime, dăm mai multe exemple și arătăm în ce cazuri două numere pot fi considerate prime unul față de celălalt. După aceea, ne întoarcem la formularea principalelor proprietăți și dovezile lor. În ultima secțiune, vom vorbi despre un concept înrudit, numerele prime perechi.
Ce sunt numerele coprime
Ambele două numere întregi și mai multe dintre ele pot fi coprime. Pentru început, introducem o definiție pentru două numere, pentru care avem nevoie de conceptul celui mai mare divizor comun al acestora. Dacă este necesar, repetă materialul dedicat acestuia.
Definiția 1
Două astfel de numere a și b vor fi reciproc prime, cel mai mare divizor comun al cărora este egal cu 1, adică. mcd (a, b) = 1.
Din această definiție, putem concluziona că singurul divizor comun pozitiv al două numere coprime va fi egal cu 1. Doar două astfel de numere au doi divizori comuni - unu și minus unu.
Care sunt câteva exemple de numere relativ prime? De exemplu, o astfel de pereche ar fi 5 și 11. Au un singur divizor pozitiv comun, egal cu 1, ceea ce este o confirmare a simplității lor reciproce.
Dacă luăm două numere prime, atunci unul față de celălalt vor fi relativ prime în toate cazurile, dar astfel de relații reciproce se formează și între numerele compuse. Există cazuri când un număr dintr-o pereche de coprime este compus, iar al doilea este prim sau ambele sunt compuse.
Această afirmație este ilustrată de următorul exemplu: numerele compuse - 9 și 8 formează o pereche coprime. Să demonstrăm acest lucru calculând cel mai mare divizor comun al lor. Pentru a face acest lucru, notăm toți divizorii lor (recomandăm să recitiți articolul despre găsirea divizorilor unui număr). Pentru 8, acestea vor fi numerele ± 1, ± 2, ± 4, ± 8 și pentru 9 - ± 1, ± 3, ± 9. Alegem dintre toți divizorii pe cel care va fi comun și cel mai mare - acesta este unul. Prin urmare, dacă mcd (8, - 9) = 1, atunci 8 și - 9 vor fi coprime unul față de celălalt.
500 și 45 nu sunt numere prime reciproc, deoarece au un alt divizor comun - 5 (vezi articolul despre semnele divizibilității cu 5). Cinci este mai mare decât unu și este un număr pozitiv. O altă pereche similară ar putea fi - 201 și 3 , deoarece ambele pot fi împărțite la 3 , așa cum este indicat de semnul de divizibilitate corespunzător.
În practică, este destul de comun să se determine primitatea reciprocă a două numere întregi. Aflarea acestui lucru se poate reduce la găsirea celui mai mare divizor comun și compararea acestuia cu unul. De asemenea, este convenabil să folosiți un tabel de numere prime pentru a nu face calcule inutile: dacă unul dintre numerele date se află în acest tabel, atunci este divizibil numai cu unul și de la sine. Să aruncăm o privire la o soluție la această problemă.
Exemplul 1
Condiție: află dacă numerele 275 și 84 sunt între prime.
Decizie
Ambele numere au în mod clar mai mult de un divizor, așa că nu le putem numi imediat coprime.
Calculați cel mai mare divizor comun folosind algoritmul lui Euclid: 275 = 84 3 + 23 , 84 = 23 3 + 15 , 23 = 15 1 + 8 , 15 = 8 1 + 7 , 8 = 7 1 + 1 , 7 = 7 1 .
Răspuns:întrucât mcd (84, 275) = 1, atunci aceste numere vor fi coprime.
După cum am spus mai devreme, definiția unor astfel de numere poate fi extinsă la cazurile în care nu avem două numere, ci mai multe.
Definiția 2
Numerele întregi coprime a 1 , a 2 , … , a k , k > 2 vor fi atunci când au cel mai mare divizor comun egal cu 1 .
Cu alte cuvinte, dacă avem o mulțime de numere cu cel mai mare divizor pozitiv mai mare decât 1, atunci toate aceste numere nu sunt reciproc inverse unul față de celălalt.
Să luăm câteva exemple. Deci, numerele întregi - 99 , 17 și - 27 sunt coprime. Orice număr de numere prime va fi coprime în raport cu toți membrii populației, cum ar fi în secvența 2 , 3 , 11 , 19 , 151 , 293 și 667 . Dar numerele 12 , − 9 , 900 și − 72 coprime nu vor fi, deoarece pe lângă unitate vor mai avea un divizor pozitiv egal cu 3. Același lucru este valabil și pentru numerele 17, 85 și 187: cu excepția unuia, toate pot fi împărțite la 17.
De obicei, simplitatea reciprocă a numerelor nu este evidentă la prima vedere, acest fapt trebuie dovedit. Pentru a afla dacă unele numere sunt coprime, trebuie să găsiți cel mai mare divizor comun al lor și să trageți o concluzie pe baza comparației cu unul.
Exemplul 2
Condiție: determinați dacă numerele 331 , 463 și 733 sunt între prime.
Decizie
Să verificăm tabelul numerelor prime și să stabilim că toate aceste trei numere sunt în el. Atunci divizorul lor comun poate fi doar unul.
Răspuns: toate aceste numere vor fi relativ prime între ele.
Exemplul 3
Condiție: dați dovada că numerele − 14 , 105 , − 2 107 și − 91 nu sunt coprime.
Decizie
Să începem prin a găsi cel mai mare divizor comun al lor, după care ne asigurăm că acesta nu este egal cu 1 . Deoarece numerele negative au aceiași divizori ca și cele pozitive corespondente, atunci mcd (− 14 , 105 , 2 107 , − 91) = mcd (14 , 105 , 2 107 , 91) . Conform regulilor pe care le-am dat în articolul despre găsirea celui mai mare divizor comun, în acest caz, GCD va fi egal cu șapte.
Răspuns:șapte este mai mare decât unu, ceea ce înseamnă că aceste numere nu sunt coprime.
Proprietățile de bază ale numerelor coprime
Astfel de numere au unele proprietăți practic importante. Le enumerăm în ordine și le dovedim.
Definiția 3
Dacă împărțim numerele întregi a și b la numărul corespunzător celui mai mare divizor comun al lor, obținem numere prime relativ. Cu alte cuvinte, a: mcd(a, b) și b: mcd(a, b) vor fi coprime.
Am dovedit deja această proprietate. Dovada poate fi găsită în articolul despre proprietățile celui mai mare divizor comun. Datorită acesteia, putem defini perechi de numere coprime: trebuie doar să luăm oricare două numere întregi și să împărțim la mcd. Ca rezultat, ar trebui să obținem numere coprime.
Definiția 4
O condiție necesară și suficientă pentru simplitatea reciprocă a numerelor a și b este existența unor astfel de numere întregi tu 0și v0, pentru care egalitatea a u 0 + b v 0 = 1 va fi adevărat.
Dovada 1
Începem prin a demonstra necesitatea acestei condiții. Să presupunem că avem două numere prime relativ, etichetate a și b. Apoi, prin definiția acestui concept, cel mai mare divizor comun al lor va fi egal cu unu. Știm din proprietățile mcd că pentru numerele întregi a și b există o relație Bezout a u 0 + b v 0 = mcd (a, b). Din asta obținem asta a u 0 + b v 0 = 1. După aceea, trebuie să dovedim suficiența condiției. Lasă egalitatea a u 0 + b v 0 = 1 va fi adevărat dacă gcd (a, b)împarte și a , și b, atunci se va împărți și va însuma a u 0 + b v 0, și respectiv unitate (acest lucru poate fi argumentat pe baza proprietăților divizibilității). Și acest lucru este posibil doar dacă mcd(a, b) = 1, ceea ce dovedește simplitatea reciprocă a lui a și b .
Într-adevăr, dacă a și b sunt coprimi, atunci conform proprietății anterioare, egalitatea va fi adevărată a u 0 + b v 0 = 1. Înmulțim ambele părți cu c și obținem asta a c u 0 + b c v 0 = c. Putem împărți primul termen a c u 0 + b c v 0 prin b , deoarece este posibil pentru a c , iar al doilea termen este și el divizibil cu b , deoarece unul dintre factorii pe care îi avem este b . Din aceasta concluzionăm că întreaga sumă poate fi împărțită la b și, deoarece această sumă este egală cu c, atunci c poate fi împărțită la b.
Definiția 5
Dacă două numere întregi a și b sunt între prime, atunci mcd(a c, b) = mcd(c, b) .
Dovada 2
Să demonstrăm că mcd (a c , b) va împărți mcd (c , b) , iar după aceea - că mcd (c , b) împarte mcd (a c , b) , ceea ce va dovedi corectitudinea egalității mcd (a · c, b) = mcd (c, b) .
Deoarece mcd (a c , b) împarte atât a c și b și mcd (a c , b) împarte b , va împărți și b c . Prin urmare, mcd (a c, b) împarte atât a c, cât și b c, prin urmare, datorită proprietăților mcd, împarte și mcd (a c, b c), care va fi egal cu c gcd (a, b ) = c. Prin urmare, mcd(a c, b) împarte atât b, cât și c, prin urmare mcd(c, b) împarte și ele.
De asemenea, puteți spune că, deoarece mcd (c, b) împarte atât c, cât și b, atunci va împărți atât c, cât și a c. Aceasta înseamnă că GCD (c , b) împarte atât a c, cât și b, prin urmare, GCD (a c , b) împarte și el.
Astfel, mcd (a c, b) și mcd (c, b) se împart reciproc, ceea ce înseamnă că sunt egale.
Definiția 6
Dacă numerele din succesiune a 1 , a 2 , … , a k vor fi coprime în raport cu numerele șirului b 1 , b 2 , … , b m(pentru valorile naturale ale lui k și m), apoi produsele lor a 1 a 2 … a kși b 1 b 2 … b m sunt, de asemenea, coprime, în special, a 1 = a 2 = … = a k = ași b 1 = b 2 = ... = b m = b, apoi un kși b m sunt coprime.
Dovada 3
Conform proprietății anterioare, putem scrie egalități de următoarea formă: mcd (a 1 a 2 … a k , b m) = mcd (a 2 a k , b m) = … = mcd (a k , b m) = 1 . Posibilitatea ultimei tranziții este asigurată de faptul că a k și b m sunt coprime prin presupunere. Prin urmare, GCD (a 1 · a 2 · … · a k , b m) = 1 .
Notați a 1 a 2 … a k = A și obțineți că mcd (b 1 b 2 … b m , a 1 a 2 … a k) = mcd (b 1 b 2 … b m , A) = MCD (b 2 · … · b · b m , A) = … = GCD (b m , A) = 1 . Acest lucru va fi adevărat datorită ultimei egalități din lanțul construit mai sus. Astfel, am obținut egalitatea mcd (b 1 b 2 … b m , a 1 a 2 … a k) = 1, care poate fi folosită pentru a demonstra simplitatea reciprocă a produselor a 1 a 2 … a kși b 1 b 2 … b m
Acestea sunt toate proprietățile numerelor coprime despre care am dori să vă spunem.
Conceptul de numere prime perechi
Știind ce sunt numerele prime coprime, putem formula definiția numerelor prime în perechi.
Definiția 7
Numere prime în perechi este o succesiune de numere întregi a 1 , a 2 , … , a k , unde fiecare număr este copprim față de celelalte.
Un exemplu de succesiune de numere prime perechi ar fi 14 , 9 , 17 și - 25 . Aici toate perechile (14 și 9 , 14 și 17 , 14 și − 25 , 9 și 17 , 9 și − 25 , 17 și − 25) sunt coprime. Rețineți că condiția coprime este obligatorie pentru numerele prime în perechi, dar numerele coprime nu vor fi prime în perechi în toate cazurile. De exemplu, în secvența 8 , 16 , 5 și 15 numerele nu sunt așa, deoarece 8 și 16 nu vor fi coprime.
Ar trebui să ne oprim și asupra conceptului de mulțime de un anumit număr de numere prime. Ele vor fi întotdeauna simple atât reciproc, cât și perechi. Un exemplu ar fi secvența 71 , 443 , 857 , 991 . În cazul numerelor prime, conceptele de simplitate reciprocă și perechi vor coincide.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
