Înmulțirea matricei: exemple, algoritm de acțiuni, proprietăți ale produsului. Înmulțirea matricei: exemple, algoritm de acțiuni, proprietăți ale produsului Adunarea și scăderea

Definiția 1

Produsul matricelor (C=AB) este o operație numai pentru matricele consistente A și B, în care numărul de coloane ale matricei A este egal cu numărul de rânduri ale matricei B:

C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n

Exemplul 1

Date matrice:

• A = a (i j) de dimensiuni m × n;
• B = b (i j) p × n

Matricea C , ale cărei elemente c i j se calculează prin următoarea formulă:

c i j = a i 1 × b 1 j + a i 2 × b 2 j + . . . + a i p × b p j , i = 1 , . . . m , j = 1 , . . . m

Exemplul 2

Să calculăm produsele AB=BA:

A = 1 2 1 0 1 2 , B = 1 0 0 1 1 1

Rezolvare folosind regula de înmulțire a matricei:

A ⏟ 2 × 3 × B ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2

B ⏟ 3 × 2 × A ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3×3

Produsul A B și B A se găsesc, dar sunt matrici de dimensiuni diferite: A B nu este egal cu B A.

Proprietățile înmulțirii matriceale

Proprietăți de multiplicare a matricei:

• (A B) C = A (B C) - asociativitatea înmulțirii matriceale;
• A (B + C) \u003d A B + A C - înmulțire distributivă;
• (A + B) C \u003d A C + B C - distributivitatea înmulțirii;
• λ (A B) = (λ A) B

Exemplul 1

Verificați proprietatea #1: (A B) C = A (B C) :

(A × B) × A = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100,

A (B × C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100 .

Exemplul 2

Verificăm proprietatea nr. 2: A (B + C) \u003d A B + A C:

A × (B + C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58,

A B + A C \u003d 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 \u003d 19 22 43 50 + 1 4 3 8 \u003d 20 26 46 58 .

Produsul a trei matrici

Produsul a trei matrici A B C se calculează în două moduri:

• găsiți A B și înmulțiți cu C: (A B) C;
• sau găsiți mai întâi B C și apoi înmulțiți A (B C) .

Exemplul 3

Înmulțiți matrice în 2 moduri:

4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 × 7 3 2 1

Algoritm de acțiune:

• găsiți produsul a 2 matrici;
• apoi găsiți din nou produsul a 2 matrici.

unu). A B \u003d 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 \u003d 4 (- 28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (- 126) 7 (- 28) + 5 × 38 7 × 93 + 5 (- 126 ) = 2 - 6 - 6 21

2). A B C = (A B) C = 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .

Folosim formula A B C \u003d (A B) C:

unu). B C = - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 = - 10 9 14 - 12

2). A B C \u003d (A B) C \u003d 7 3 2 1 - 10 9 14 - 12 \u003d 4 (- 10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (- 12) 7 (- 10) + 5 × 14 7 × 9 + 5 (- 12) = 2 0 0 3

Raspuns: 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3

Înmulțirea unei matrice cu un număr

Definiția 2

Produsul matricei A cu numărul k este matricea B \u003d A k de aceeași dimensiune, care se obține din original prin înmulțirea cu un număr dat a tuturor elementelor sale:

b i , j = k × a i , j

Proprietățile înmulțirii unei matrice cu un număr:

• 1 × A = A
• 0 × A = matrice zero
• k(A + B) = kA + kB
• (k + n) A = k A + n A
• (k×n)×A = k(n×A)

Exemplul 4

Aflați produsul matricei A \u003d 4 2 9 0 cu 5.

5 A = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0

Înmulțirea unei matrice cu un vector

Definiția 3

Pentru a găsi produsul dintre o matrice și un vector, trebuie să înmulțiți conform regulii rând cu coloană:

• dacă înmulțiți o matrice cu un vector coloană, numărul de coloane din matrice trebuie să se potrivească cu numărul de rânduri din vectorul coloană;
• rezultatul înmulțirii unui vector coloană este doar un vector coloană:

A B = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × b 1 + a 12 × b + ⋯ a 12 × b + 2 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b n = c 1 c 2 ⋯ c 1 m

• dacă înmulțiți o matrice cu un vector rând, atunci matricea de înmulțit trebuie să fie exclusiv un vector coloană, iar numărul de coloane trebuie să se potrivească cu numărul de coloane din vectorul rând:

A B = a a ⋯ a b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b 1 a n × b 2 ⋯ a n × b 1 a n × b 2 ⋯ a n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n

Exemplul 5

Aflați produsul dintre matricea A și vectorul coloană B:

A B \u003d 2 4 0 - 2 1 3 - 1 0 1 1 2 - 1 \u003d 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (- 1) - 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (- 1) - 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (- 1) = 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 = 10 - 3 - 2

Exemplul 6

Găsiți produsul dintre matricea A și vectorul rând B:

A \u003d 3 2 0 - 1, B \u003d - 1 1 0 2

A B = 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 = 3 × (- 1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Răspuns: A B \u003d - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Aceasta este una dintre cele mai frecvente operații cu matrice. Matricea care se obține după înmulțire se numește produs matriceal.

Produs Matrix A m × n la matrice B n × k va exista o matrice Cm × k astfel încât elementul de matrice C situat în i-a linia și j-a coloană, adică elementul c ij este egală cu suma produselor elementelor i al-lea rând al matricei A asupra elementelor relevante j a-a coloană a matricei B.

Proces inmultirile matriceale este posibil numai dacă numărul de coloane din prima matrice este egal cu numărul de rânduri din a doua matrice.

Exemplu:
Este posibil să înmulțim o matrice cu o matrice?

m =n, ceea ce înseamnă că puteți înmulți datele matricei.

Dacă matricele sunt interschimbate, atunci, cu astfel de matrici, înmulțirea nu va mai fi posibilă.

m≠ n, deci nu poți face înmulțirea:

Destul de des puteți găsi sarcini cu un truc atunci când studentului i se oferă înmulțiți matrice, a căror înmulțire este evident imposibilă.

Vă rugăm să rețineți că uneori este posibil să se înmulțească matrice în ambele moduri. De exemplu, pentru matrici și, eventual, ca înmulțire MN, la fel și înmulțirea N.M.

Aceasta nu este o acțiune foarte dificilă. Înmulțirea matricelor este mai bine înțeleasă prin exemple concrete, deoarece Numai definiția poate fi foarte confuză.

Să începem cu cel mai simplu exemplu:

Trebuie înmulțit cu . În primul rând, dăm formula pentru acest caz:

- Există un model bun aici.

Înmulțit cu .

Formula pentru acest caz este: .

Înmulțirea matricei și rezultatul:

Ca urmare, așa-numitul. matrice nulă.

Este foarte important să ne amintim că „regula de rearanjare a locurilor termenilor” nu funcționează aici, deoarece aproape întotdeauna MN≠ NM. Prin urmare, producând operația de multiplicare a matricei sub nicio formă nu trebuie să fie schimbate.

Acum luați în considerare exemple de înmulțire matrice de ordinul trei:

Multiplica pe .

Formula este foarte asemănătoare cu cele anterioare:

Soluție matriceală: .

Aceasta este aceeași înmulțire a matricei, doar un număr prim este luat în locul celei de-a doua matrice. După cum ați putea ghici, această înmulțire este mult mai ușor de efectuat.

Un exemplu de înmulțire a unei matrice cu un număr:

Totul este clar aici - pentru a înmulțiți o matrice cu un număr, este necesar să se înmulțească succesiv fiecare element al matricei cu numărul specificat. În acest caz, 3.

Un alt exemplu util:

- înmulțirea matricei cu număr fracționar.

În primul rând, să arătăm ce să nu faci:

Când înmulțiți o matrice cu un număr fracționar, nu este necesar să introduceți o fracție în matrice, deoarece acest lucru, în primul rând, complică acțiunile ulterioare cu matricea și, în al doilea rând, îngreunează profesorul să verifice soluția. .

Și, în plus, nu este nevoie să împărțiți fiecare element al matricei la -7:

.

Ceea ce ar trebui făcut în acest caz este să adăugați un minus la matrice:

.

Dacă ați avea un exemplu în care toate elementele matricei ar fi împărțite la 7 fără un rest, atunci ar fi posibil (și necesar!) să se împartă.

În acest exemplu, este posibil și necesar să se înmulțească toate elementele matricei cu ½, deoarece fiecare element al matricei este divizibil cu 2 fără rest.

Notă: în teoria matematicii superioare nu există un concept școlar de „diviziune”. În loc de expresia „acest lucru este împărțit cu aceasta”, puteți spune întotdeauna „acest lucru este înmulțit cu o fracție”. Adică împărțirea este un caz special de înmulțire.

În primul rând, CARE ar trebui să fie rezultatul înmulțirii a trei matrici? O pisică nu va da naștere unui șoarece. Dacă înmulțirea matricei este fezabilă, atunci rezultatul va fi și o matrice. Ei bine, profesorul meu de algebră nu vede cum explic închiderea structurii algebrice în raport cu elementele sale =)

Produsul a trei matrici poate fi calculat în două moduri:

1) găsiți și apoi înmulțiți cu matricea „ce”: ;

2) fie mai întâi găsiți, apoi efectuați înmulțirea.

Rezultatele vor coincide în mod necesar, și în teorie această proprietate se numește asociativitatea înmulțirii matriceale:

Exemplul 6

Înmulțiți matrice în două moduri

Algoritm solutiiîn doi pași: găsiți produsul a două matrici, apoi găsiți din nou produsul a două matrici.

1) Folosiți formula

Acțiunea unu:

Acțiunea a doua:

2) Folosiți formula

Acțiunea unu:

Acțiunea a doua:

Răspuns:

Mai familiar și mai standard, desigur, este primul mod de a rezolva, acolo „ca și cum totul ar fi în ordine”. Apropo, despre comandă. În sarcina luată în considerare, apare adesea iluzia că vorbim despre un fel de permutare a matricelor. Ei nu sunt aici. Vă reamintesc din nou că în cazul general, MATRIXELE NU TREBUIE ÎNLOCUITE. Deci, în al doilea paragraf, la a doua etapă, efectuăm înmulțirea, dar în niciun caz. Cu numere obișnuite, un astfel de număr ar trece, dar nu și cu matrici.

Proprietatea asociativității înmulțirii este valabilă nu numai pentru pătrat, ci și pentru matrici arbitrare - atâta timp cât acestea sunt înmulțite:

Exemplul 7

Aflați produsul a trei matrici

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă. În soluția eșantion, calculele au fost efectuate în două moduri, analizați care este calea mai profitabilă și mai scurtă.

Proprietatea asociativității înmulțirii matricelor are loc pentru un număr mai mare de factori.

Acum este timpul să ne întoarcem la puterile matricelor. Pătratul matricei este luat în considerare chiar de la început și este pe ordinea de zi.

Matricele sunt tabele de numere care sunt interconectate. Este posibil să efectuați o serie de operațiuni diferite asupra lor, despre care vă vom spune mai jos.

Mărimea unei matrice este determinată de ea Comenzi- numărul de rânduri $m$ și coloane $n$ care sunt prezente în acesta. Rândurile sunt formate din elemente care stau pe linii orizontale, iar coloanele sunt formate din elemente care stau pe linii verticale drepte. Dacă numărul de rânduri este echivalent cu numărul de coloane, ordinea tabelului luat în considerare este determinată de o singură valoare $m = n$.

Observație 1

Pentru orice element al matricei, numărul liniei în care se află este scris primul în index, iar numărul coloanei este scris al doilea, adică notația $a_(ij)$ înseamnă că elementul este în rândul $i$--lea și în coloana $j$- ohm.

Adunare si scadere

Deci, despre adunare și scădere. Aceste acțiuni pot fi efectuate numai cu matrice aceeasi dimensiune.

Pentru a efectua aceste acțiuni este necesar să se efectueze adunarea sau scăderea fiecărui element al matricei cu un element al altei matrice, care se află în aceeași poziție cu elementul din prima.

De exemplu, să găsim suma $A+B$, unde:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23)\\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \\ \end(pmatrix)$

și $B = \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33)\\ \end(pmatrix)$

Suma oricărui element din tabelul matriceal nou obținut $A + B$ este egală cu $a_(ij) + b_(ij)$, de exemplu, elementul cu indice $11$ este egal cu $a_(11) + b_ (11)$ și întregul rezultat arată astfel:

$A + B = \begin(pmatrix) a_(11)+b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+ b_(13) \\ a_(21)+ b_(21) & a_(22)+b_(22) & a_(23)+ b_(23) \\ a_(31)+ b_(31) & a_(32)+ b_(32) & a_(33) + b_(33) ) \\ \end(pmatrix)$

Scăderea pentru două matrice $A-B$ se efectuează în mod similar, dar fiecare element al noii matrice de rezultat va fi calculat folosind formula $a_(ij) – b_(ij)$.

Vă rugăm să rețineți că adunarea și scăderea pentru matrice pot fi efectuate numai dacă ordinele lor sunt aceleași.

Exemplul 1

Rezolvați următoarele exemple de matrice: $A + B$; $A-B$.

$A=\begin(pmatrix) 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ -2 & 0 & 7 \\ \end(pmatrix)$

$B=\begin(pmatrix) 0 & 3 & 2 \\ -4 & 0 & -1 \\ 0 & 7 & -3 \\ \end(pmatrix)$

Explicaţie:

Se efectuează acțiuni pentru fiecare pereche de elemente $a_(ij)$ și respectiv $b_(ij)$:

$A+B=\begin(pmatrix) 0+0 & 5+3 & 2+2 \\ 1-4 & -1+0 & 3 - 1\\ -2+0 & 0+7 & 7 - 3 \ \ \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) 0 & 8 & 4 \\ -3 & -1 & 2 \\ -2 & 7 & 4\\ \end(pmatrix)$

$A-B=\begin(pmatrix) 0-0 & 5-3 & 2-2 \\ 1+4 & -1-0 & 3 + 1\\ -2-0 & 0-7 & 7 + 3 \\ \ end(pmatrix)=\begin(pmatrix) 0 & 2 & 0 \\ 5 & -1 & 4 \\ -2 & -7 & 10 \\ \end(pmatrix)$

Înmulțirea unei matrice cu un număr

Pentru a înmulți tableta matriceală cu un anumit număr, fiecare element al matricei trebuie înmulțit cu acest număr, adică orice element al noii matrice $C$, care este rezultatul produsului $A$ cu $λ $, va fi egal cu $с_(ij)= λ\cdot a_(ij)$.

Exemplul 2

Înmulțiți $A$ cu $λ$ unde $A=\begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix)$ și $λ =5 $:

$A \cdot λ = 5 \cdot \begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 1 \cdot 5 & ​​​​0 \cdot 5 & 2 \cdot 5 \\ -1 \cdot 5 & 3 \cdot 5 & 0 \cdot 5 \\ 2 \cdot 5 & 1\cdot 5 & 3\cdot 5 \\ \end (pmatrix ) = \begin(pmatrix) 5 & 0 & 10 \\ -5 & 15 & 0 \\ 10 & 5 & 15 \\ \end(pmatrix)$.

Produsul tabelelor matriceale

Această sarcină este ceva mai dificilă decât cele anterioare, dar, în același timp, nu este nimic dificil în ea.

Pentru a efectua înmulțirea a două matrice $A \cdot B$, numărul de coloane din $A$ trebuie să se potrivească cu numărul de rânduri din $B$.

Din punct de vedere matematic, aceasta poate fi scrisă astfel:

$A_(m \times n)\cdot B_(n \times p) = C_(m \times p)$

Adică, văzând matricele originale multiplicate, puteți determina imediat ordinele celei noi rezultate. De exemplu, dacă trebuie să înmulțiți $A_(3 \times 2)$ și $B_(2 \times 3)$, rezultatul va fi $3 \times 3$:

$\begin(pmatrix) a_(11) și a_(12) \\ a_(21) și a_(22) \\ a_(31) și a_(32) \\ \end(pmatrix) \times \begin(pmatrix ) b_(11) & b_(12) &b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) &b_(33) \\ \end( pmatrix) = \begin(pmatrix) & & \\ & & \\ & & \\ \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) (a_(11)b_(11) + a_(12)b_(21)) & (a_(11)b_(12) + a_(12)b_(22)) & (a_(11)b_(13) + a_(12)b_(23)) \\ (a_(21)b_(11) ) + a_(22)b_(21)) și (a_(21)b_(12) + a_(22)b_(22)) și (a_(11)b_(13) + a_(22)b_(23) ) \\ (a_(31)b_(11) + a_(32)b_(21)) & (a_(31)b_(12) + a_(32)b_(22)) & (a_(31)b_( 13) + a_(32)b_(23)) \\ \end(pmatrix)$

Dacă numărul de coloane al primului multiplicator de matrice nu se potrivește cu numărul de rânduri al celui de-al doilea multiplicator de matrice, atunci înmulțirea nu poate fi efectuată.

Exemplul 3

Rezolva un exemplu:

$A \times B = ?$ dacă $A=\begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix)$ și $B = \ begin(pmatrix) 3 & - 1 & 2 \\ -4 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end(pmatrix)$.

$A \times B = \begin(pmatrix) (1 \cdot 3 + 0 \cdot (-4) + 2 \cdot 1) & (1 \cdot(-1) + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 2) \\ (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-4) + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot(-1) + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 0 \cdot 2) \\ (2 \cdot 3 + 1 \cdot (-4) + 3 \cdot 1) & 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1) & (2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2) \\ \end(pmatrix) $

$A \times B= \begin(pmatrix) (3 + 0+ 2) & (-1 + 0 + 2) & (2 + 0 + 4) \\ (-3-12+0) & (1 + 0) ) + 0) & (-2+6+0) \\ (6-4+3) & (-2 + 0 + 3) & (4 + 2 + 6) \\ \end(pmatrix) = \begin( pmatrix ) 5 & 1 & 6 \\ -15 & 1 & 4 \\ 5 & 1 & 12 \\ \end(pmatrix)$.

Găsirea determinantului unei matrice

Determinantul matricei este notat cu $Δ$ sau $\det$.

Observația 2

Determinantul poate fi găsit doar pentru matrice pătrată.

În cel mai simplu caz, când matricea este formată dintr-un singur element, determinantul său este egal cu acest element: $det A = |a_(11)|= a_(11)$

Puteți calcula determinantul dintr-o matrice de ordinul doi urmând următoarea regulă:

Definiția 1

Dimensiunea 2 determinant matricei este egală cu diferența produsele elementelor din diagonala principală cu produsul elementelor din diagonala secundară:

$\begin(array)(|cc|) a_(11)& a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \\ \end(array) = a_(11) \cdot a_(22) - a_(12)\cdot a_(21)$

Dacă determinantul matricei este dat în dimensiunea $3 \times 3$, atunci îl puteți găsi folosind regulile mnemonice: Sarrus sau triunghiuri, puteți, de asemenea, să descompuneți matricea într-un rând sau coloană sau să utilizați transformări gaussiene.

Pentru determinanți mai mari, pot fi utilizate transformări gaussiene și extinderea rândurilor.

Matrici inverse

Prin analogie cu înmulțirea obișnuită a unui număr cu reciproca sa $(1+\frac1x= 1)$, înmulțirea matricei inverse $A^(-1)$ cu matricea originală are ca rezultat matricea de identitate $E$.

Cea mai simplă metodă de rezolvare atunci când se caută matricea inversă este Jordan Gauss. O matrice unitară de aceeași dimensiune este scrisă lângă matricea de cobai, iar apoi matricea originală este redusă la o matrice unitară cu ajutorul transformărilor, iar toate acțiunile efectuate se repetă cu $E$.

Exemplul 4

Dana $A=\begin(pmatrix)(cc) 1& 2 \\ 3 & 4 \\ \end(pmatrix)$

Obțineți matrice inversă.

Soluţie:

Scriem împreună $A$ și în dreapta ei mărimea corespunzătoare $E$:

$ \begin(array)(cc|cc) 1& 2 & 1& 0\\ 3 & 4& 0 & 1 \\ \end(array)$

Obținem zero în ultima linie din prima poziție: îi adăugăm pe cel de sus, înmulțit cu $-3$:

$ \begin(array)(cc|cc) 1& 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end(array)$

Acum resetam ultimul element din prima linie. Pentru a face acest lucru, adăugați linia de jos la linia de sus:

$ \begin(array)(cc|cc) 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end(array)$

Împărțim al doilea la $-2$:

$ \begin(array)(cc|cc) 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & 1& 3/2 & -1/2 \\ \end(array)$

Am primit rezultatul:

$A=\begin(pmatrix)(cc) -2& 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end(pmatrix)$

Transpunerea tabelelor matriceale

Transpunerea este o schimbare a rândurilor și coloanelor într-o matrice sau a unui determinant pe alocuri, menținând în același timp ordinea inițială. Determinantul tabelului matricei transpus $A^T$ va fi egal cu determinantul matricei originale $A$.

Exemplul 5

Transpuneți matricea $A$ și verificați-vă găsind determinantul lui $A$ și tabelul matricei transpus.

$A=\begin(pmatrix) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ - 1 & -2 & -3\\ \end(pmatrix)$

Soluţie:

Aplicam metoda Sarrus pentru determinant:

$\det A= 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 \cdot (-2) - 2 \cdot 4 \cdot (-3) - 1 \cdot 6 \cdot (-2) - 3 \cdot 5 \cdot (-1) = -15 - 12 - 24+ 24 + 12 + 15 = $0.

Avem o matrice degenerată.

Acum să efectuăm transpunerea lui $A$, pentru aceasta vom arunca matricea pe partea dreaptă:

$A^T = \begin(pmatrix) 1 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 3 & 6 & -3 \\ \end(pmatrix)$

Găsiți determinantul pentru $A^T$ folosind aceeași regulă:

$det A^T = 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 4 \cdot (-2) \cdot 3 + (-1) \cdot 2 \cdot 6 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) - 1 \cdot (-2) \cdot 6 - (- 1) \cdot 5 \cdot 3 = - 15 -24 - 12+24+12+15 = 0$.

Deci, în lecția anterioară, am analizat regulile de adunare și scădere a matricelor. Acestea sunt operații atât de simple, încât majoritatea studenților le înțeleg literalmente de la bun început.

Cu toate acestea, te bucuri devreme. Freebie-ul s-a terminat - să trecem la înmulțire. Vă avertizez imediat: înmulțirea a două matrice nu înseamnă deloc înmulțirea numerelor din celule cu aceleași coordonate, așa cum ați putea crede. Totul este mult mai distractiv aici. Și trebuie să începeți cu definiții preliminare.

Matrici consistente

Una dintre cele mai importante caracteristici ale unei matrice este dimensiunea acesteia. Am vorbit deja despre asta de o sută de ori: $A=\left[ m\times n \right]$ înseamnă că matricea are exact $m$ rânduri și $n$ coloane. Am discutat deja cum să nu confundăm rândurile cu coloanele. Acum altceva este important.

Definiție. Matrici de forma $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$, în care numărul de coloane din prima matrice este același cu numărul de rânduri din al doilea, sunt numite consistente.

Încă o dată: numărul de coloane din prima matrice este egal cu numărul de rânduri din a doua! De aici obținem două concluzii simultan:

1. Ne pasă de ordinea matricelor. De exemplu, matricele $A=\left[ 3\times 2 \right]$ și $B=\left[ 2\times 5 \right]$ sunt consistente (2 coloane în prima matrice și 2 rânduri în a doua) , dar invers — matricele $B=\left[ 2\times 5 \right]$ și $A=\left[ 3\times 2 \right]$ nu mai sunt consistente (5 coloane din prima matrice sunt, ca era, nu 3 rânduri în al doilea).
2. Consistența este ușor de verificat dacă scrieți toate dimensiunile unul după altul. Folosind exemplul din paragraful anterior: „3 2 2 5” - aceleași numere sunt în mijloc, deci matricele sunt consistente. Dar „2 5 3 2” nu este de acord, deoarece există numere diferite la mijloc.

În plus, căpitanul pare să sugereze că matricele pătrate de aceeași dimensiune $\left[ n\times n \right]$ sunt întotdeauna consistente.

În matematică, când ordinea de enumerare a obiectelor este importantă (de exemplu, în definiția discutată mai sus, ordinea matricelor este importantă), se vorbește adesea de perechi ordonate. Ne-am întâlnit cu ei la școală: cred că este o idee deloc că coordonatele $\left(1;0 \right)$ și $\left(0;1 \right)$ definesc puncte diferite pe plan.

Deci: coordonatele sunt și perechi ordonate, care sunt alcătuite din numere. Dar nimic nu te împiedică să faci o astfel de pereche de matrici. Atunci se va putea spune: „O pereche ordonată de matrice $\left(A;B\right)$ este consecventă dacă numărul de coloane din prima matrice este același cu numărul de rânduri din a doua. "

Ei bine, ce?

Definiţia multiplication

Luați în considerare două matrici consistente: $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$. Și definim pentru ei operația de înmulțire.

Definiție. Produsul a două matrici consistente $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$ este noua matrice $C=\left[ m\times k \ dreapta] $, ale căror elemente sunt calculate după formula:

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

Un astfel de produs este notat în modul standard: $C=A\cdot B$.

Pentru cei care văd această definiție pentru prima dată, apar imediat două întrebări:

1. Ce fel de vânat sălbatic este acesta?
2. De ce este atât de greu?

Ei bine, primul lucru în primul rând. Să începem cu prima întrebare. Ce înseamnă toți acești indici? Și cum să nu faceți greșeli când lucrați cu matrici reale?

În primul rând, observăm că linia lungă pentru calcularea $((c)_(i;j))$ (în special puneți un punct și virgulă între indici pentru a nu vă încurca, dar nu trebuie să le puneți în general - eu însumi m-am săturat să scriu formula în definiție) se rezumă într-adevăr la o regulă simplă:

1. Luați $i$--lea rând din prima matrice;
2. Luați $j$-a coloană din a doua matrice;
3. Obținem două șiruri de numere. Înmulțim elementele acestor secvențe cu aceleași numere și apoi adăugăm produsele rezultate.

Acest proces este ușor de înțeles din imagine:

Schema de înmulțire a două matrici

Încă o dată: fixăm rândul $i$ în prima matrice, coloana $j$ în a doua matrice, înmulțim elementele cu aceleași numere și apoi adunăm produsele rezultate - obținem $((c)_(ij ))$. Și așa pentru toți $1\le i\le m$ și $1\le j\le k$. Acestea. vor exista $m\ori k$ astfel de „perversiuni” în total.

De fapt, ne-am întâlnit deja cu înmulțirea matricei în curiculumul scolar, doar într-o formă mult redusă. Să fie dați vectori:

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \right). \\ \end(align)\]

Apoi produsul lor scalar va fi exact suma produselor pe perechi:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y) )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

De fapt, în acei ani îndepărtați, când copacii erau mai verzi și cerul mai luminos, am înmulțit pur și simplu vectorul rând $\overrightarrow(a)$ cu vectorul coloană $\overrightarrow(b)$.

Nimic nu s-a schimbat astăzi. Doar că acum există mai mulți dintre acești vectori rând și coloană.

Dar destulă teorie! Să ne uităm la exemple reale. Și să începem cu cel mai simplu caz - matrici pătrate.

Înmulțirea matricelor pătrate

Sarcina 1. Efectuați înmulțirea:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 și 4 \\ 3 și 1 \\\end(matrice) \right]\]

Soluţie. Deci, avem două matrice: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ și $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Este clar că sunt consistente (matricele pătrate de aceeași dimensiune sunt întotdeauna consistente). Deci facem inmultirea:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \ begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ sfârşit(matrice)\dreapta]. \end(align)\]

Asta e tot!

Răspuns: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]$.

Sarcina 2. Efectuați înmulțirea:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(matrice) \right]\]

Soluţie. Din nou, matrici consistente, deci efectuăm următoarele acțiuni:\[\]

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)( r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ stânga(-3 \right) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6\ cdot \left(-2 \right) \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right] . \end(align)\]

După cum puteți vedea, rezultatul este o matrice plină cu zerouri

Răspuns: $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

Din exemplele de mai sus, este evident că înmulțirea matricei nu este o operație atât de complicată. Cel puțin pentru matrice pătrată 2 pe 2.

În procesul de calcule, am compilat o matrice intermediară, în care am pictat direct ce numere sunt incluse într-o anumită celulă. Este exact ceea ce trebuie făcut atunci când rezolvați probleme reale.

Proprietățile de bază ale produsului matricei

Pe scurt. Înmulțirea matricei:

1. Necomutativ: $A\cdot B\ne B\cdot A$ în general. Există, desigur, matrice speciale pentru care egalitatea $A\cdot B=B\cdot A$ (de exemplu, dacă $B=E$ este matricea de identitate), dar în marea majoritate a cazurilor acest lucru nu funcționează ;
2. Asociativ: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. Nu există opțiuni aici: matricele adiacente pot fi multiplicate fără să vă faceți griji cu privire la ceea ce se află în stânga și în dreapta acestor două matrici.
3. Distributiv: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ și $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $

Și acum - la fel, dar mai detaliat.

Înmulțirea prin matrice este foarte asemănătoare cu înmulțirea clasică a numerelor. Dar există diferențe, dintre care cea mai importantă este aceea înmulțirea matriceală este, în general, necomutativă.

Luați în considerare din nou matricele din problema 1. Știm deja produsul lor direct:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 și 4 \\ 3 și 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 și 6 \\ 18 & -8 \\\end(matrice) \right]\]

Dar dacă schimbăm matricele, obținem un rezultat complet diferit:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(matrix) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end(matrix) )\dreapta]\]

Se pare că $A\cdot B\ne B\cdot A$. De asemenea, operația de înmulțire este definită doar pentru matricele consistente $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$, dar nimeni nu a garantat că acestea vor rămâne consistente, dacă sunt schimbate. De exemplu, matricele $\left[ 2\times 3 \right]$ și $\left[ 3\times 5 \right]$ sunt destul de consistente în această ordine, dar aceleași matrici $\left[ 3\times 5 \ dreapta] $ și $\left[ 2\time 3 \right]$ scrise în ordine inversă nu se mai potrivesc. Tristete :(

Printre matricele pătrate de o mărime dată $n$, vor exista întotdeauna acelea care dau același rezultat atât atunci când sunt înmulțite direct, cât și în ordine inversă. Cum să descrii toate astfel de matrici (și câte dintre ele în general) este un subiect pentru o lecție separată. Astăzi nu vom vorbi despre asta. :)

Totuși, înmulțirea matriceală este asociativă:

\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

Prin urmare, atunci când trebuie să înmulți mai multe matrice la rând simultan, nu este deloc necesar să o faci din timp: este foarte posibil ca unele matrice adiacente, atunci când sunt înmulțite, să dea un rezultat interesant. De exemplu, o matrice zero, ca în problema 2 discutată mai sus.

În problemele reale, cel mai adesea trebuie să înmulțim matrici pătrate de dimensiune $\left[ n\times n \right]$. Setul tuturor acestor matrici este notat cu $((M)^(n))$ (adică, intrările $A=\left[ n\times n \right]$ și \ înseamnă același lucru) și va conțin cu siguranță matricea $E$, care se numește matricea identității.

Definiție. Matricea de identitate de mărimea $n$ este o matrice $E$ astfel încât pentru orice matrice pătrată $A=\left[ n\times n \right]$ egalitatea este valabilă:

O astfel de matrice arată întotdeauna la fel: există unități pe diagonala sa principală și zerouri în toate celelalte celule.

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(align)\]

Cu alte cuvinte, dacă trebuie să înmulțiți o matrice cu suma altor două, atunci o puteți înmulți cu fiecare dintre aceste „alte două” și apoi să adăugați rezultatele. În practică, de obicei trebuie să efectuați operația inversă: observăm aceeași matrice, o scoatem din paranteză, facem adunări și, prin urmare, ne simplificăm viața. :)

Rețineți că pentru a descrie distributivitatea, a trebuit să scriem două formule: unde suma este în al doilea factor și unde suma este în primul. Acest lucru se datorează tocmai faptului că înmulțirea matriceală este necomutativă (și, în general, în algebra necomutativă, există o mulțime de tot felul de glume care nici măcar nu-ți vin în minte când lucrezi cu numere obișnuite). Și dacă, de exemplu, trebuie să notați această proprietate în timpul examenului, atunci asigurați-vă că scrieți ambele formule, altfel profesorul se poate supăra puțin.

Bine, toate acestea au fost basme despre matrici pătrate. Dar dreptunghiuri?

Cazul matricelor dreptunghiulare

Dar nimic - totul este la fel ca la cele pătrate.

Sarcina 3. Efectuați înmulțirea:

\[\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(matrix) \ \\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]\]

Soluţie. Avem două matrice: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ și $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Să scriem numerele care indică dimensiunile pe rând:

După cum puteți vedea, cele două numere centrale sunt aceleași. Aceasta înseamnă că matricele sunt consistente și pot fi multiplicate. Și la ieșire obținem matricea $C=\left[ 3\times 2 \right]$:

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(matrice) \\\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\end(matrice)\dreapta]. \end(align)\]

Totul este clar: matricea finală are 3 rânduri și 2 coloane. Destul de $=\left[ 3\times 2 \right]$.

Răspuns: $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) \begin(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(array) & \begin(matrix) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(matrix) \\\end(matrice) \right]$.

Acum luați în considerare una dintre cele mai bune sarcini de antrenament pentru cei care abia încep să lucreze cu matrice. În ea, trebuie nu doar să înmulți două tablete, ci mai întâi să determinați: este permisă o astfel de înmulțire?

Problema 4. Găsiți toate produsele posibile în perechi ale matricelor:

\\]; $B=\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(matrice) \\\end(matrice) \right]$; $C=\left[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

Soluţie. Mai întâi, să notăm dimensiunile matricelor:

\;\ B=\left[ 4\times 2 \right];\ C=\left[ 2\times 2 \right]\]

Obținem că matricea $A$ poate fi asociată numai cu matricea $B$, deoarece numărul de coloane din $A$ este 4 și doar $B$ are acest număr de rânduri. Prin urmare, putem găsi produsul:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(array) \right]=\ stânga[ \begin(array)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]\]

Sugerez cititorului să efectueze singur pașii intermediari. Voi observa doar că este mai bine să determinați dimensiunea matricei rezultate în avans, chiar înainte de orice calcul:

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

Cu alte cuvinte, pur și simplu înlăturăm coeficienții „de tranziție” care asigurau consistența matricelor.

Ce alte variante sunt posibile? Este cu siguranță posibil să găsiți $B\cdot A$, deoarece $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, deci perechea ordonată $\ left(B ;A \right)$ este consecvent, iar dimensiunea produsului va fi:

\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

Pe scurt, rezultatul va fi o matrice $\left[ 4\times 4 \right]$, ai cărei coeficienți sunt ușor de calculat:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(array) \right]=\ stânga[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 și -8 \\\end(matrice) \right]\]

Evident, puteți potrivi și $C\cdot A$ și $B\cdot C$ și asta este tot. Prin urmare, scriem pur și simplu produsele rezultate:

A fost ușor.:)

Răspuns: $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(matrice) \right]$; $CA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(array) \right]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(array) \right]$.

În general, vă recomand să faceți singur această sarcină. Și o altă sarcină similară, care este în teme pentru acasă. Aceste gânduri aparent simple vă vor ajuta să rezolvați toți pașii cheie în înmulțirea matriceală.

Dar povestea nu se termină aici. Să trecem la cazuri speciale de înmulțire. :)

Vectori rând și vectori coloană

Una dintre cele mai comune operații cu matrice este înmulțirea cu o matrice care are un rând sau o coloană.

Definiție. Un vector coloană este o matrice $\left[ m\time 1 \right]$, adică. format din mai multe rânduri și o singură coloană.

Un vector rând este o matrice de dimensiune $\left[ 1\times n \right]$, adică. format dintr-un rând și mai multe coloane.

De fapt, ne-am întâlnit deja cu aceste obiecte. De exemplu, un vector tridimensional obișnuit din stereometrie $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ nu este altceva decât un vector rând. Din punct de vedere teoretic, nu există aproape nicio diferență între rânduri și coloane. Trebuie să fii atent numai atunci când te coordonezi cu matricele multiplicatoare din jur.

Sarcina 5. Înmulțiți:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]\]

Soluţie. Avem un produs de matrici consistente: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. Găsiți această piesă:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35) )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\end(matrice) \right]\]

Răspuns: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]$.

Sarcina 6. Efectuați înmulțirea:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(matrice) \right]\]

Soluţie. Din nou totul este consecvent: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. Luăm în considerare munca:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)( r))5 & -19 & 5 \\\end(matrice) \right]\]

Răspuns: $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$.

După cum puteți vedea, atunci când înmulțiți un vector rând și un vector coloană cu o matrice pătrată, rezultatul este întotdeauna un rând sau o coloană de aceeași dimensiune. Acest fapt are multe aplicații, de la rezolvare ecuatii lineare la tot felul de transformări de coordonate (care în cele din urmă se reduc și la sisteme de ecuații, dar să nu vorbim despre lucruri triste).

Cred că totul era evident aici. Să trecem la ultima parte a lecției de astăzi.

Exponentiarea matricei

Dintre toate operațiunile de înmulțire, exponentiația merită o atenție specială - atunci înmulțim același obiect de mai multe ori. Matricele nu fac excepție, ele pot fi, de asemenea, ridicate la diferite puteri.

Astfel de lucrări sunt întotdeauna coordonate:

\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

Și sunt desemnate în același mod ca grade obișnuite:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \end(align)\]

La prima vedere, totul este simplu. Să vedem cum arată în practică:

Sarcina 7. Ridicați matricea la puterea specificată:

$((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))$

Soluţie. OK, hai să construim. Să-l pătram mai întâi:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(2))=\left[ \begin(matrix ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(matrice) \right] \end(align)\]

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))=((\left[ \begin (matrice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end( matrice) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 și 1 \\\end(matrice) \right] \end(align)\]

Asta e tot.:)

Răspuns: $\left[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Problema 8. Ridicați matricea la puterea specificată:

\[((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))\]

Soluţie. Nu plânge acum de faptul că „gradul este prea mare”, „lumea nu este corectă” și „profesorii și-au pierdut complet băncile”. De fapt, totul este ușor:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))=((\left[ \begin (matrice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrice) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right ] \right)= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \end(align)\ ]

Rețineți că în a doua linie am folosit asociativitatea înmulțirii. De fapt, l-am folosit în sarcina anterioară, dar acolo era implicit.

Răspuns: $\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în ridicarea unei matrice la o putere. Ultimul exemplu poate fi rezumat:

\[((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(n))=\left[ \begin(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\]

Acest fapt este ușor de demonstrat prin inducție matematică sau înmulțire directă. Cu toate acestea, este departe de a fi întotdeauna posibil să prindem astfel de modele atunci când ridicați la o putere. Prin urmare, fiți atenți: de multe ori este mai ușor și mai rapid să înmulți mai multe matrice „albe” decât să cauți acolo niște modele.

În general, nu căutați un sens mai înalt acolo unde nu există. În cele din urmă, să luăm în considerare exponențiarea unei matrice mai mari - cât $\left[ 3\times 3 \right]$.

Problema 9. Ridicați matricea la puterea specificată:

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))\]

Soluţie. Să nu căutăm modele. Lucrăm „prin”:

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))=(( \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (matrice)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrice) \right]\]

Să începem prin a pune la pătrat această matrice:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 2))=\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(matrice) \right] \end(align)\]

Acum hai să-l cubăm:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 3))=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin( matrice)(*(35)(r)) 2 și 3 și 3 \\ 3 și 2 și 3 \\ 3 și 3 și 2 \\\end(matrice) \right] \end(align)\]

Asta e tot. Problema rezolvata.

Răspuns: $\left[ \begin(matrix) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matrix) \right]$.

După cum puteți vedea, cantitatea de calcule a devenit mai mare, dar sensul nu s-a schimbat deloc. :)

Această lecție se poate termina. Data viitoare vom lua în considerare operația inversă: vom căuta multiplicatorii originali folosind produsul existent.

După cum probabil ați ghicit deja, vom vorbi despre matricea inversă și despre metodele de găsire a acesteia.