Studiul proceselor tranzitorii în RLC - circuite. Studiul tranzitorilor în circuitele RLC Tranzitorii într-un circuit rlc în serie

Circuit reactiv Lși DIN stochează energie atât în ​​câmpuri magnetice, cât și în câmpuri electrice, astfel încât nu există supratensiuni de curent și de tensiune în el. Să găsim tranziție iși asociat cu rezervele de energie în RLC-circuit (Fig. 7.13), când este pornit pentru o tensiune arbitrară u, numărând condensatorul DIN pre-descărcat.

Ecuația stării circuitului satisface a doua lege Kirchhoff:

.

Exprimând curentul în termeni de tensiune capacitivă:

,

obținem ecuația

,

a cărui ordine este determinată de numărul de elemente din circuit capabile să stocheze energie. Împărțirea ambelor părți ale ecuației la coeficient LC cu o derivată de ordin superior, găsim ecuația procesului tranzitoriu:

, (7.17)

a cărui soluție generală constă în suma a doi termeni:

Componenta forțată este determinată de tipul tensiunii aplicate. Când circuitul este pornit, curentul în stare constantă și toată tensiunea vor fi aplicate capacității. Când circuitul este pornit curent și tensiune constantă pe elemente R, L, C va fi sinusoidal. Componenta forțată este calculată prin metoda simbolică și apoi este trecută de la complex la valoarea instantanee.

Componenta liberă se determină din soluția ecuației omogene

(7.18)

ca suma a două exponențiale (două elemente de stocare a energiei L, C):

unde sunt rădăcinile ecuației caracteristice

.

Natura componentei libere depinde de tipul de rădăcini

, (7.20)

care poate fi real sau complex și este determinat de raportul parametrilor RLC-lanţuri.

Există trei opțiuni pentru procesul de tranziție:

- aperiodic când curentul și tensiunea tranzitorie se apropie de starea permanentă finală fără a schimba semnul. Condiție de apariție:

(7.21)

Unde - rezistență critică. În acest caz, rădăcinile ecuației caracteristice sunt reale, negative și
variat: ; constantele de timp sunt de asemenea diferite: ;

- mod limitator de aperiodic.Condiția de apariție:

. (7.22)

Rădăcinile ecuației caracteristice sunt reale, negative și egale: ; constantele de timp sunt de asemenea egale: . Regimul limitativ corespunde soluției generale a ecuației omogene (7.18) sub forma

; (7.23)

- periodic sau oscilatoare , când curentul și tensiunea tranzitorie se apropie de starea de echilibru finală, schimbându-se periodic semnul și amortizând în timp de-a lungul unei sinusoide. Condiție de apariție:

. (7.24)

Rădăcinile ecuației caracteristice sunt complexe conjugate cu partea reală negativă:

Unde α - factor de amortizare:

ω Sf. - frecvența unghiulară a oscilațiilor libere (naturale).:

. (7.26)

Procesul tranzitoriu în acest caz este rezultatul unui schimb oscilator de energie cu o frecvență de oscilații libere între elementele reactive. Lși C lanţuri. Fiecare oscilație este însoțită de pierderi ale rezistenței active R, asigurand amortizare cu constanta de timp .

Decizie comună ecuația (7.18) cu un proces tranzitoriu oscilator are forma

Unde DARși γ sunt constante de integrare determinate din condiţiile iniţiale.

Să notăm tensiunea u C si curent i asociat cu rezervele de energie din circuit, pentru cazul rădăcinilor reale și diferite ale ecuației caracteristice:

Din conditiile initiale

(7.30)

definirea constantelor de integrare DAR 1 și DAR 2 .

Luați în considerare includerea RLC- circuite de tensiune. Componentele forțate ale tensiunii capacitive și curentului sunt determinate din starea permanentă finală la și egale cu:

. (7.31)

Atunci sistemul de ecuații (7.30) pentru determinarea constantelor de integrare ia forma

(7.32)

Rezolvarea sistemului (7.32) dă:

; (7.33)

. (7.34)

Ca urmare a înlocuirii componentelor și constantelor forțate DAR 1 și DAR 2 în expresiile pentru tensiune tranzitorie u C(t) (7.28) și curent i(t) (7.29) obținem:

; (7.35)

întrucât conform teoremei Vieta .

Cunoscând curentul tranzitoriu, scriem tensiunile tranzitorii:

;

. (7.37)

În funcție de tipul de rădăcini, sunt posibile trei variante ale procesului tranzitoriu.

1. Când procesul tranzitoriu este aperiodic, apoi

Pe fig. 7.14, A, b sunt date curbele și componentele acestora; în fig. 7.14, în curbele , , sunt prezentate pe aceeași diagramă.

După cum reiese din curbe (Fig. 7.14, în), curentul din circuit crește ușor de la zero la maxim și apoi scade ușor la zero. Timp t 1 atingerea curentului maxim se determină din condiție . Maximul curentului corespunde punctului de inflexiune al curbei tensiunii capacitive ( ) și tensiune inductivă zero ( ).

Tensiunea în momentul comutării crește brusc până la U 0 , apoi scade, trece prin zero, își schimbă semnul, crește în valoare absolută la un maxim și scade din nou, tinzând spre zero. Timp
pe mine t 2 atingerea tensiunii maxime pe inductanță este determinată din condiție . Maximul corespunde punctului de inflexiune al curbei curente, deoarece .

În zona creșterii curente (), EMF de auto-inducție, care împiedică creșterea, este negativă. Tensiunea consumată de sursă pentru a depăși EMF, . În zona de scădere a curentului () EMF și a tensiunii care echilibrează EMF,.

2. Când are loc în circuit final (la limita)modul proces de tranziție aperiodic; curbele și sunt similare cu curbele din Fig. 7.14, natura procesului nu se schimbă.

3. Când apare circuitul periodic(oscilatoare) un proces tranzitoriu când

Unde - frecvența de rezonanță, pe care RLC-circuitul va rezona.

Înlocuind complexe conjugate în ecuația pentru tensiunea capacitivă (7.35), obținem:

Înlocuind complexele conjugate în ecuația curentului (7.36), obținem:

Înlocuind complexele în (7.37), obținem pentru tensiunea pe inductanță

Pentru a trasa dependențele , , este necesar să se cunoască perioada oscilațiilor naturale si constanta de timp .

Pe fig. 7.15 prezintă curbele , iar pentru o constantă suficient de mare . Ordinea de construcție este următoarea: mai întâi, sunt construite curbele anvelope (curbe întrerupte în Fig. 7.15) pe ambele părți ale regimului staționar final. Având în vedere faza inițială la aceeași scară ca t, amânați sferturi din perioada în care sinusoida atinge un maxim sau dispare. Sinusoidul este înscris în plicuri în așa fel încât să atingă plicurile în punctele maxime.

După cum rezultă din curbe u C(t), i(t) și tu L(t), tensiunea capacitivă întârzie curentul în fază cu un sfert de perioadă, iar tensiunea inductivă conduce curentul cu un sfert de perioadă, fiind în antifază cu tensiunea capacitivă. Tensiune inductivă zero ( ) și punctul de inflexiune al curbei tensiunii capacitive ( ) corespund curentului maxim./Tensiunea inductivă maximă corespunde punctului de inflexiune al curbei curentului ( ).

Actual i(t) și tensiune tu L(t) efectuează oscilații amortizate în jurul zero, tensiunea u C(t) - despre starea de echilibru U 0 . Tensiunea capacitivă în prima jumătate a perioadei atinge valoarea maximă, fără a depăși 2 U 0 .

Când circuit oscilator ideal w

numit scădere logaritmică de amortizare .

Circuitul oscilator ideal corespunde .

Lucrări de laborator

Comunicații, comunicații, electronice radio și dispozitive digitale

Rezolvarea unei astfel de ecuații depinde de forma rădăcinilor ecuației caracteristice.Rădăcinile ecuației sunt determinate numai de parametrii circuitului. Piesa de calcul Pentru circuitul electric prezentat in fig. Conectarea circuitului RLC la o sursă de tensiune constantă U la momentul t = 0 Determinați: la ce valori ale lui R procesul tranzitoriu este aperiodic; la ce valori ale lui R procesul tranzitoriu este oscilator; frecvența ωС a oscilațiilor naturale amortizate pentru acele valori ale lui R pentru care procesul tranzitoriu este oscilator...

Laboratorul #14

studiul proceselor tranzitorii în lanțuri rcL

Dacă în circuit există două dispozitive independente de stocare a energiei, procesele tranzitorii sunt descrise prin ecuații de ordinul doi de tip

Rezolvarea unei astfel de ecuații depinde de forma rădăcinilor ecuației caracteristice

Rădăcinile ecuației sunt determinate numai de parametrii circuitului

Valoarea α se numește coeficientul de amortizare al circuitului și ω 0 - frecvența de rezonanță a circuitului.

Natura procesului de tranziție depinde în esență de tipul rădăcinilor R1 și R2 , care poate fi:

real și diferit ( R > 2p);

real și egal ( R = 2p);

conjugare complexa ( R< 2 ρ ).

Aici este impedanța caracteristică a circuitului.

Partea de decontare

Pentru circuitul electric prezentat în fig. 1 sunt date:

inductanța bobinei L;

capacitatea condensatorului C;

rezistența rezistenței R.

Orez. 1. Conexiune RLC -circuit la o sursă de tensiune constantă U

atunci t = 0

Defini:

la ce valori R , procesul tranzitoriu este aperiodic;

la ce valori R , procesul tranzitoriu este oscilator;

frecvența ω С propriile oscilații amortizate pentru acele valori R , pentru care procesul tranzitoriu este oscilator

cvasiperioada Т С propriile oscilații amortizate

tabelul 1

Determinarea naturii procesului de tranziție în Circuite RLC

Combinaţie elemente	C, nF	L, mH	R, Ohm	2ρ, Ohm	Caracter proces	TC, us
			1000
			2000
			5000

partea experimentală

În partea experimentală, trebuie să:

• observați formele de undă de tensiune pe elemente RLC - circuite în procesul de încărcare și descărcare a unui condensator cu valori diferite ale elementelor de circuit;
• determinați influența valorilor elementelor circuitului asupra naturii procesului tranzitoriu.
• compara rezultatele experimentale cu cele calculate.

Pregătiți configurația de laborator pentru observarea formelor de undă ale tensiunii condensatorului. Schema schematică a măsurătorilor este prezentată în fig. 2.

Orez. 2. Schema schematică a osciloscopului de tensiune

pe condensatorul RLC

În munca de laborator, procesul tranzitoriu este studiat folosind un osciloscop electronic, astfel încât procesul se repetă periodic. Acest lucru se realizează prin faptul că nu se aplică un singur salt de tensiune la intrarea circuitului de la ieșirea generatorului, ci o secvență periodică de impulsuri pozitive (a se vedea „Descrierea tehnică a instalației de laborator”). Cu un salt de tensiune pozitiv (impuls pozitiv), condensatorul este încărcat. Cu un salt negativ de tensiune (pauză între impulsuri), condensatorul este descărcat.

Schema de conectare a elementelor de instalare pentru combinarea elementelor nr. 1 este prezentată în fig. 3.

Orez. 3. Schema de conectare a elementelor instalației pentru oscilografie

tensiunea la condensator (C \u003d 10 nF; L = 10 mH; R = 200 Ohm)

Rotiți regulatorul de tensiune de ieșire al generatorului de impulsuri în sens invers acelor de ceasornic până când se oprește. Prezintă diagrama completată profesorului. După verificarea circuitului asamblat de către profesor, porniți instalația.

Porniți osciloscopul. Mod de funcționare a osciloscopului:

• două canale cu indicarea simultană a tensiunii ambelor canale;
• intrarea 1 deschisă; sensibilitate 0,2 V/diviziune;
• intrarea 2 deschisă; 0,2 V / diviziune;
• sincronizare - externă (conexiune la prize de pe suprafața din stânga a modulului de laborator)
• durata balarii 0,2 ms/div.

Când configurați inițial liniile de tensiune zero ale ambelor canale, aliniați și instalați în centrul ecranului.

Porniți generatorul de impulsuri. Setați regulatorul de amplitudine a pulsului în poziția de mijloc. Obțineți o imagine stabilă a formei de undă a tensiunii la ieșirea generatorului de impulsuri pe ecranul osciloscopului.

Prin ajustarea duratei, setați durata impulsurilor pozitive la 500 µs (perioada de repetare a impulsurilor 1000 µs). Setați amplitudinea pulsului la 1 volt. În viitor, păstrați această valoare neschimbată.

Schițați în axele comune oscilogramele de tensiune („osc. Nr. 1”) la ieșirea generatorului și pe condensator. Determinați natura procesului de tranziție. Dacă procesul tranzitoriu este oscilator, determinați cvasiperioada T DIN propriile oscilații amortizate. Comparați cu rezultatul obținut în partea de calcul munca de laborator. Dacă este necesar, reglați sensibilitatea intrărilor osciloscopului.

Porniți generatorul de impulsuri. Schițați în axele comune oscilogramele de tensiune („osc. Nr. 2”) la ieșirea generatorului și pe condensator. Determinați natura procesului de tranziție. Dacă procesul tranzitoriu este oscilator, determinați cvasiperioada T DIN

Pregătiți configurația de laborator pentru observarea formelor de undă de curent tranzitoriu în Circuite RLC.

Schema schematică a măsurătorilor este prezentată în fig. patru.

Orez. patru . Schema schematică a osciloscopului curent

procesul de tranziție în Circuite RLC

Schema de conectare a elementelor de instalare pentru combinarea elementelor nr. 1 este prezentată în fig. 5.

Orez. 5 . Schema de conectare a elementelor de instalare pentru oscilografie

curent în circuit (C \u003d 10 nF; L = 10 mH; R = 200 Ohm)

Porniți generatorul de impulsuri. Desenați forme de undă ale curentului din circuit. Desenați figura în aceleași axe ca și formele de undă nr. 1 ale tensiunilor la ieșirea generatorului și pe condensator. Determinați natura procesului de tranziție. Dacă procesul tranzitoriu este oscilator, determinați cvasiperioada T DIN propriile oscilații amortizate. Comparați cu rezultatul obținut în partea de calcul a lucrării de laborator.

Opriți generatorul de impulsuri. Înlocuiți elementele de pe panoul modulului de laborator (vezi combinația nr. 2 conform tabelului 1).

Porniți generatorul de impulsuri. Desenați forme de undă ale curentului din circuit. Desenați figura în aceleași axe ca și formele de undă nr. 2 ale tensiunii la ieșirea generatorului și pe condensator. Determinați natura procesului de tranziție. Dacă procesul tranzitoriu este oscilator, determinați cvasiperioada T DIN propriile oscilații amortizate. Comparați cu rezultatul obținut în partea de calcul a lucrării de laborator.

Și așa mai departe. Faceți observații și înregistrați rezultatele experimentului pentru combinațiile nr. 3-7.

Opriți generatorul de impulsuri.

Opriți configurarea laboratorului.

întrebări de test

1. Care sunt cauzele proceselor tranzitorii?
2. Ce mod de funcționare se numește stare staționară?
3. Ce este un proces de tranziție?
4. Care este semnificația fizică a constantei de timp τ?
5. Ce proces dintr-un circuit se numește aperiodic?
6. Ce proces dintr-un circuit se numește oscilator?
7. Cum se determină frecvența și perioada oscilațiilor libere?
8. De ce scade amplitudinea oscilațiilor libere ale circuitului?
9. Care este factorul de amortizare logaritmică?
10. Care este tensiunea maximă pe condensator în timpul încărcării?
11. Formulați legile comutației.
12. Care sunt condițiile inițiale zero și non-zero?
13. Ce formă are componenta liberă a tranzitorilor în circuitele de ordinul doi?
14. Care este componenta forțată?

Precum și alte lucrări care te-ar putea interesa
64153.		Proiectarea vieții Băncii Khreschatyk	7,73 MB
	Viața de zi cu zi capitală, ca unul dintre cele mai importante colțuri ale producției materiale a țării, se revarsă în progresul științific și tehnic al tuturor celorlalte colțuri ale producției materiale. Nu există astfel de galere de precauție și vigilență față de activitatea oamenilor, unde soarta alarmiștilor nu ar fi cerută.
64154.		ORGANIZAREA IMAGINII MARII ÎNTREPRINDERI „STATUL POLTAVSK LISOVE”	7,29 MB
	Prin urmare, strategia și tactica de dezvoltare a planurilor de afaceri și a deciziilor de management sunt dezvoltate pentru a ajuta la dezvoltarea controlului asupra viconilor lor.
64155.		Credite ipotecare, probleme și perspective de dezvoltare	7,28 MB
	Baza teoretica credit ipotecar Modele de credit ipotecar. Starea curenta Piața creditării ipotecare în Rusia Analiza principalelor tendințe de pe piața creditării ipotecare în Rusia în stadiul actual.
64156.		Studiul motivației personalului ca funcție de management la MVideo Management LLC	6,6 MB
	Fundamentele teoretice ale sistemului de motivare și stimulare a personalului organizației. Conceptul și esența stimulării și motivației personalului organizației. Sisteme moderne de motivare și stimulente pentru personal pe exemplul SRL MVideo Management.
64157.		Personalul organizatiei. Analiza formării și modalităților de îmbunătățire a eficienței utilizării în programul de dezvoltare socio-economică din 2011-2015 (pe baza materialelor SA "SvetlogorskKhimvolokno")	1,12 MB
	Pentru atingerea acestui scop, au fost stabilite următoarele sarcini: să dezvăluie conținutul muncii angajaților unei organizații industriale și indicatorii care o caracterizează; ia în considerare indicatorii de utilizare a resurselor de muncă ale organizației și abordările metodologice pentru determinarea potențialului de muncă al personalului.
64158.		Module de procesare statistică ale analizorului Tenzotrem	5,01 MB
	Scopul lucrării este cercetarea și dezvoltarea modulelor software pentru prelucrarea statistică a informațiilor de măsurare a unui tremorograf tensometric. Obiectul de studiu este un tremorograf tensometric. Tremograful tensometric este conceput pentru a evalua activitatea sistemului motor uman...
64159.		Dezvoltarea sarcinilor de testare și a unui sistem automatizat de testare pentru reverificarea și evaluarea cunoștințelor actuale ale studenților la disciplinele „Informatică. Calcularea matematicii și programarea" și "Computer Merezhі"	1,44 MB
	Alegerea calculatoarelor pentru controlul cunoștințelor este viabilă din punct de vedere economic și asigură îmbunătățirea eficienței procesului inițial. Yak înseamnă eu. Bulakh, testarea computerizată a succesului face posibilă implementarea principalelor principii didactice ale controlului învățării: principiul naturii individuale a reverificării și evaluării cunoștințelor...
64160.		Dezvoltarea și cercetarea unui algoritm accelerat pentru calibrarea modelelor de rețele mari prin coeficientul de clustering	1,56 MB
	Scopul lucrării este de a studia algoritmi pentru generarea de grafice aleatoare, de a dezvolta un nou algoritm, de a-l implementa și de a efectua testele necesare. Lucrarea conturează conceptele necesare din teoria graficelor aleatoare, analizează în detaliu metodele de generare a graficelor Barabashi-Albert, Erdős-Renyi, Wats-Strogats...

Procesele tranzitorii din circuitul R, L, C sunt descrise printr-o ecuație diferențială de ordinul 2. Componentele în stare staționară ale curenților și tensiunilor sunt determinate de tipul sursei de energie și sunt determinate prin metode cunoscute de calcul a condițiilor de stare staționară. Componentele libere sunt de cel mai mare interes teoretic, deoarece natura procesului liber se dovedește a fi semnificativ diferită în funcție de faptul că rădăcinile ecuației caracteristice sunt reale sau conjugate complexe.

Să analizăm procesul tranzitoriu în circuitul R, L, C atunci când acesta este conectat la o sursă de EMF constantă (Fig. 70.1).

Vedere generală a soluției pentru curent: i(t)=iy(t)+iw(t)=Iy+A1ep2t+A2ep2t

Componenta constantă: Iy=0

Ecuația caracteristică și rădăcinile sale:

Ecuație diferențială:

Condiții inițiale independente: i(0)=0; uc(0)=0.

Condiție inițială dependentă:

Constantele de integrare sunt determinate din soluția comună a sistemului de ecuații:

Soluția finală pentru curent:

Să studiem forma funcției i(t) pentru diferite valori ale rădăcinilor ecuației caracteristice.

a) Rădăcinile ecuației caracteristice sunt reale, nu egale între ele.

Aceasta are loc cu condiția:

Când t se modifică de la 0 la ∞, funcțiile individuale ep1t și ep2t scad exponențial de la 1 la 0, a doua dintre ele scăzând mai rapid, în timp ce diferența lor ep1t - ep2t ≥ 0. Aceasta implică faptul că funcția de flux dorită i(t ) la punctele extreme la t = 0 și la t = ∞ sunt egale cu zero, iar în intervalul de timp 0< t < ∞ - всегда положительна, достигая при некотором значении времени tm своего максимального значения Imax. Найдем этот момент времени:

Schema grafică a funcției i(t) pentru cazul rădăcinilor reale ale ecuației caracteristice este prezentată în fig. 70.2.

Durata procesului tranzitoriu în acest caz este determinată de rădăcina mai mică: Tp=4/|pmin|.

Natura procesului tranzitoriu cu rădăcini reale ale ecuației caracteristice se numește amortizat sau aperiodic.

b) Rădăcinile ecuației caracteristice sunt conjugate complexe.

Acest lucru are loc atunci când raportul parametrilor:

factor de atenuare:

frecvența unghiulară a vibrațiilor naturale:

Soluția pentru funcția originală poate fi convertită într-o altă formă:

Astfel, în cazul rădăcinilor conjugate complexe ale ecuației caracteristice, funcția dorită i(t) se modifică în timp conform legii armonice Imsinω0t cu amplitudine amortizată Im(t)=A·e-bt. Schema grafică a funcției este prezentată în fig. 70.3.

Perioada de oscilație T0=2π/ω0, durata procesului tranzitoriu este determinată de coeficientul de atenuare: Tp=4/b.

Natura procesului de tranziție cu rădăcini complexe conjugate ale ecuației caracteristice se numește oscilatoare sau periodică.

În cazul rădăcinilor conjugate complexe, se utilizează o formă privată pentru a determina componenta liberă:

unde coeficienții A și ψ sau B și C sunt noi constante de integrare, care sunt determinate în funcție de condițiile inițiale pentru funcția dorită.

c) Rădăcinile ecuației caracteristice sunt reale și egale între ele.

Aceasta are loc cu condiția:

Soluția obținută anterior pentru funcția dorită i(t) în acest caz devine nedefinită, deoarece numărătorul și numitorul fracției devin zero. Să relevăm această incertitudine după regula lui L'Hopital, având în vedere p2=p=const, și p1=var, care tinde spre p. Atunci obținem:

Natura procesului tranzitoriu cu rădăcini egale ale ecuației caracteristice se numește critică. Natura critică a procesului tranzitoriu este la granița dintre amortizat și oscilator și nu diferă ca formă de amortizat. Durata procesului de tranziție Tp=4/p. Când se modifică numai rezistența rezistorului R=var=0…∞, natura amortizată a tranzitoriului corespunde intervalului de valori Rvar (Rkp< Rvar < ∞), колебательный характер - также области значений (0 < Rvar < Rkp), а критический характер – одной точке Rvar = Rкр. Поэтому на практике случай равных корней характеристического уравнения встречается крайне редко.

În cazul rădăcinilor egale, se utilizează o formă privată pentru a determina componenta liberă:

unde coeficienții A1 și A2 sunt noi constante de integrare, care sunt determinate prin condițiile inițiale pentru funcția dorită.

Modul critic al procesului tranzitoriu se caracterizează prin faptul că durata acestuia este minimă. Această proprietate este utilizată în inginerie electrică.

Luați în considerare două cazuri de tranzitori în serie Circuite RLC:

consistent Circuit RLC se conectează la o sursă de E.D.S constantă. E;

Condensatorul preîncărcat este descărcat la Circuit RLC.

1) Când conectați un serial Circuite RLC la sursa constantă E.D.S. E(Fig. 6.3.a) ecuația de echilibru electric a circuitului conform celei de-a doua legi Kirchhoff are forma:

U L +U R +U C =E (6,10)

luând în considerare rapoartele

U R = R i = R C (dU C /dt);

U L \u003d L (di / dt) \u003d L C (d 2 U C / dt 2)

ecuația (6.10) poate fi scris ca:

L C (d 2 U C / dt 2) + R C (dU C / dt) + U C = E (6.11)

A	b	în
Orez. 6.3

Rezolvarea neomogenului ecuație diferențială (6.11) este determinată de ecuația caracteristică: LCp2 +RCp+1=0,

care are rădăcini

δ=R/2L - factor de atenuare,

frecvența de rezonanță.

În funcție de raport δ2și ω 2, sunt posibile trei tipuri principale de procese tranzitorii:

a) δ 2 > ω 2 sau Rădăcinile ecuației caracteristice sunt reale negative. Procesul tranzitoriu are un caracter aperiodic (Fig. 6.3.b).

b) δ2< ω 2 sau Rădăcinile ecuației caracteristice sunt complexe și conjugate. Natura procesului tranzitoriu este oscilativă și amortizată (Fig. 6.3.c)

în) δ 2 \u003d ω 2 sau Rădăcinile ecuației caracteristice sunt reale și egale p 1 \u003d p 2 \u003d -R / 2L. Natura procesului tranzitoriu este aperiodic și decolorant (caz critic). Timpul procesului de tranziție este minim.

Pentru primele două cazuri, soluția ecuației are forma:

(6.13)

V=U C (0) - tensiunea pe condensator în momentul comutării.

Pentru ocazie δ2< ω 2 ecuația (6.13) este adus la forma:

, (6.14)

- frecvența oscilațiilor amortizate.

Din ecuație (6.14) rezultă că procesul de tranziţie U c (t) are caracter de oscilaţii cu frecvenţă unghiulară ω și punct T=2π/ω, care decad cu constanta de timp τ=2L/R=1/5.

Pentru a determina valoarea constantei de timp τ se poate folosi anvelopa curbei oscilatorii Uc(t), având forma unui exponent:

exp(-δt)=exp(-t/τ).

Pentru al treilea caz δ=ω 0 rezolvarea ecuației (6.11) se pare ca:

. (6.15)

Particularitatea acestui mod este aceea cu o scădere R sub valoare, procesul tranzitoriu devine oscilator.

2. Când condensatorul este descărcat Circuitul RL(Figura 6.4.a) toate cele trei moduri considerate mai sus sunt posibile și sunt determinate de raportul valorilor δ și ω 0 . Procesele tranzitorii în aceste moduri sunt descrise de ecuații (6.13), (6.14), (6.15) la E=0. De exemplu, pentru cazul δ<ω 0 ecuația (6.14) cu o descărcare oscilativă a unui condensator, are forma:

(6.16)

Curba tranzitorie U c (t) prezentat în (Fig. 6. 4.b). curba plicului U c (t) este o funcție exp(-δt)=exp(-t/τ), care poate fi folosit pentru a determina constanta de timp τ și factorul de amortizare δ=1/τ.

Luați în considerare procesele tranzitorii în circuitele RLC utilizând exemplul unui circuit de circuit oscilator în serie din Fig. 4.3, a, pierderile în care vom ține cont prin includerea unui rezistor R în circuit.

Fig.4.3. Circuitul RLC (a) și tranzitorii din acesta (b) și (c).

Procese tranzitorii într-un circuit oscilator serie în condiții inițiale zero. Setați cheia K în poziția 1 și conectați acțiunea de intrare la circuit. Sub acțiunea sursei conectate u, curentul i va circula în circuit, care va crea tensiuni uR, uL, uC.

Pe baza celei de-a doua legi a lui Kirchhoff, pentru acest circuit poate fi scrisă următoarea ecuație

.

Având în vedere că vom avea

. (4.34)

Vom căuta soluția generală a ecuației (4.34) sub forma sumei componentelor uС libere și uС forțate:

. (4.35)

Componenta liberă este determinată de soluția ecuației diferențiale omogene, care se obține din (4.34) pentru u = 0

. (4.36)

Soluția (4.36) depinde de rădăcinile ecuației caracteristice, care se obține din (4.36) și are forma

. (4.37)

Rădăcinile acestei ecuații sunt determinate numai de parametrii circuitului R, L, C și sunt egale cu

, (4.38)

unde α = R/2L este coeficientul de atenuare al circuitului;

Frecvența de rezonanță a circuitului.

Din (4.38) se poate observa că rădăcinile p1 și p2 depind de rezistența caracteristică a circuitului și pot fi:

pentru R > 2ρ real și distinct;

la R< 2ρ комплексно-сопряженными;

pentru R = 2ρ real și egal.

Pentru R > 2ρ, componenta liberă va fi egală cu:

. (4.39)

Fie acțiunea de intrare u = U = const, apoi componenta forțată upr = U. Luând în considerare expresia (4.39) și acea upr = U, expresia (4.35) va lua forma:

Cunoscând uC găsim curentul din circuit

. (4.41)

Pentru a determina constantele de integrare A1 și A2, scriem condițiile inițiale pentru uC și i la t = 0:

(4.42)

Rezolvând sistemul de ecuații (4.42) obținem:

;

Inlocuind A1 si A2 in ecuatiile (4.40) si (4.41) si tinand cont ca in conformitate cu (4.38) p1 p2=1/LC vom avea:

; (4.43)

. (4.44)

De atunci

. (4.45)

În fig. 4.3b).

Punctele de timp t1 și, respectiv, t2 sunt determinate din condiții

; .

O analiză a graficelor descrise prin expresiile (4.43 - 4.45) arată că la R > 2ρ (cu pierderi mari) în circuit au loc procese aperiodice.

Luați în considerare procesele din bucla la R< 2ρ. В этом случае из (4.38) имеем:

Unde - frecvenţa oscilaţiilor libere amortizate. Soluția ecuației (4.36) are forma

unde A și θ sunt constante de integrare

Luând în considerare (4.47) și că upr = U găsim legea modificării tensiunii la nivelul capacității

Sub acțiunea uC, în circuit circulă un curent

Presupunând în (4.48) și (4.49) t = 0 și ținând cont de legile de comutație, obținem

(4.50)

Rezolvând sistemul de ecuații (4.50) găsim

Înlocuind A în (4.48) și (4.49) și ținând cont că găsim ecuații care descriu modificări în uС, i, uL în circuitul pentru cazul R< 2ρ:

. (4.51)

. (4.52)

. (4.53)

Graficul modificării tensiunii uС, determinat de expresia (4.51) este prezentat în fig. 4.3b cu o linie punctată. Din figura și expresia (4.51) se poate observa că dacă circuitul în serie are pierderi mici (R< 2ρ), то при подключении к нему источника постоянного напряжения в контуре возникает затухающий колебательный процесс.

Procese tranzitorii într-un circuit oscilator serie în condiții inițiale diferite de zero. Montați cheia K în circuitul fig. 4.3, și la poziția 2. În acest caz, acțiunea de intrare va fi deconectată de la circuit și circuitul se va închide. Deoarece condensatorul a fost încărcat la o tensiune de uC = U înainte de a comuta circuitul, atunci în momentul în care circuitul este închis, acesta va începe să se descarce și va apărea un tranzitoriu liber în circuit.

Dacă condiția R> 2ρ este îndeplinită în contur, atunci rădăcinile p1 și p2 din (4.38) vor fi reale și diferite, iar soluția ecuației (4.36) va avea forma

Tensiunea uC creează un curent în circuit

. (4.55)

Pentru a determina constantele de integrare A1 și A2, setăm t = 0 și ținem cont că în momentul comutării uC = U, i = 0, apoi din (4.54) și (4.55) obținem

(4.56)

Rezolvând sistemul de ecuații (4.56) găsim

Înlocuind A1 și A2 în (4.54) și (4.55) obținem ecuațiile pentru tensiunea uC și curentul i în circuitul circuitului

. (4.57)

. (4.58)

Din expresiile (4.57) și (4.58) se poate observa că atunci când acțiunea de intrare este deconectată de la circuitul circuitului, care are o atenuare mare (R> 2ρ), are loc o descărcare aperiodică a capacității C. Energia stocată înainte ca acțiunea de intrare să fie oprită în capacitatea WС = CU2/2 care acoperă pierderile de căldură în rezistorul R și creează camp magneticîn inductanţa L. Apoi energia câmp electric capacitatea WC și energia magnetică a inductanței WL este consumată în rezistorul R.

Să găsim legea modificării tensiunii uC și a curentului i în circuit atunci când circuitul are pierderi mici, adică. cu condiția R< 2ρ. В этом случае корни р1 и р2 носят комплексно-сопряженный характер (4.46) и решение уравнения (4.36) имеет вид:

Sub acțiunea uC, în circuit circulă un curent

Pentru a determina constantele de integrare A și θ, ținem cont că în momentul comutării t = 0, uC = U, i = 0 și înlocuind aceste valori în (4.59) și (4.60) obținem

(4.61)

Rezolvând sistemul de ecuații (4.61) găsim

Înlocuind A și θ în (4.59) și (4.60) și ținând cont că obținem ecuații care determină legea modificării tensiunii și curentului într-un circuit cu pierderi mici

(4.62)

Analiza ecuațiilor (4.62) arată că atunci când acțiunea de intrare este deconectată de la circuit cu pierderi mici (R< 2ρ) в нем возникают затухающие колебания с частотой ωС, которая определяется параметрами R, L, C цепи. Графики изменения uC и i изображены на рис. 4.3,в.

Rata de amortizare a unui proces periodic este caracterizată de decrementul de amortizare, care este definit ca raportul dintre două amplitudini de curent sau tensiune învecinate de același semn.

. (4.63)

În formă logaritmică, decrementul de amortizare are forma

. (4.64)

Din (4.64) se poate observa că cu cât sunt mai mari pierderile în circuit, care sunt determinate de valoarea R, cu atât este mai mare atenuarea.Pentru R ≥ 2ρ, procesul tranzitoriu din circuit devine aperiodic. La R = 0, în circuitul cu o frecvență are loc o oscilație armonică continuă . În circuitele reale, R ≠ 0; prin urmare, în ele au loc oscilații amortizate.