Suprafețe conice de ordinul doi. suprafete conice. Ecuații de plan comun

Cu suprafețe de ordinul 2, elevul se întâlnește cel mai adesea în primul an. La început, sarcinile pe această temă pot părea simple, dar pe măsură ce studiezi matematica superioară și aprofundezi latura științifică, poți în sfârșit să nu te mai orientezi spre ceea ce se întâmplă. Pentru a preveni acest lucru, este necesar nu numai să memorați, ci și să înțelegeți cum se obține cutare sau cutare suprafață, cum o afectează modificarea coeficienților și locația sa în raport cu sistemul de coordonate original și cum să găsiți sistem nou(una în care centrul său coincide cu originea coordonatelor și este paralelă cu una dintre axele de coordonate). Să începem de la bun început.

Definiție

O suprafață de ordinul 2 este un GMT, ale cărui coordonate satisfac ecuația generală de următoarea formă:

Este clar că fiecare punct aparținând suprafeței trebuie să aibă trei coordonate într-o bază desemnată. Deși în unele cazuri locul punctelor poate degenera, de exemplu, într-un plan. Înseamnă doar că una dintre coordonate este constantă și egală cu zero în întregul interval de valori admisibile.

Forma completă pictată a egalității menționate mai sus arată astfel:

A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.

A nm - unele constante, x, y, z - variabile corespunzătoare coordonatelor afine ale unui punct. În același timp, cel puțin unul dintre factorii constanți nu trebuie să fie egal cu zero, adică niciun punct nu va corespunde ecuației.

În majoritatea covârșitoare a exemplelor, mulți factori numerici sunt încă identic egali cu zero, iar ecuația este mult simplificată. În practică, determinarea dacă un punct aparține unei suprafețe nu este dificilă (este suficient să substituiți coordonatele sale în ecuație și să verificați dacă identitatea este respectată). Punctul cheie într-o astfel de lucrare este reducerea acesteia din urmă la formă canonică.

Ecuația scrisă mai sus definește orice (toate listate mai jos) suprafețe de ordinul 2. Vom lua în considerare exemple mai jos.

Tipuri de suprafete de ordinul 2

Ecuațiile suprafețelor de ordinul doi diferă numai în valorile coeficienților A nm . Din punct de vedere general, pentru anumite valori ale constantelor se pot obține diferite suprafețe, clasificate după cum urmează:

1. Cilindrii.
2. Tip eliptic.
3. tip hiperbolic.
4. Tip conic.
5. tip parabolic.
6. Avioane.

Fiecare dintre tipurile enumerate are o formă naturală și imaginară: în forma imaginară, locul punctelor reale fie degenerează într-o figură mai simplă, fie este absent cu totul.

cilindrii

Acesta este cel mai simplu tip, deoarece o curbă relativ complexă se află doar la bază, acționând ca un ghid. Generatoarele sunt linii drepte perpendiculare pe planul în care se află baza.

Graficul prezintă un cilindru circular, un caz special al unui cilindru eliptic. În planul XY, proiecția sa va fi o elipsă (în cazul nostru, un cerc) - un ghid, iar în XZ - un dreptunghi - deoarece generatoarele sunt paralele cu axa Z. Pentru a o obține din ecuația generală, aveți nevoie de pentru a da coeficienților următoarele valori:

În loc de denumirile obișnuite, se utilizează x, y, z, x cu un număr de serie - acest lucru nu contează.

De fapt, 1/a 2 și celelalte constante indicate aici sunt aceiași coeficienți indicați în ecuația generală, dar se obișnuiește să le scrieți în această formă - aceasta este reprezentarea canonică. În cele ce urmează, se va folosi doar o astfel de notație.

Așa este definit un cilindru hiperbolic. Schema este aceeași - hiperbola va fi ghidul.

Un cilindru parabolic este definit într-un mod ușor diferit: forma sa canonică include un coeficient p, numit parametru. De fapt, coeficientul este egal cu q=2p, dar se obișnuiește să-l împarți în cei doi factori prezentați.

Există un alt tip de cilindru: imaginar. Niciun punct real nu aparține unui astfel de cilindru. Este descris de ecuația unui cilindru eliptic, dar în loc de unitate este -1.

Tip eliptic

Elipsoidul poate fi întins de-a lungul uneia dintre axe (de-a lungul căreia depinde de valorile constantelor a, b, c, indicate mai sus; este evident că un coeficient mai mare va corespunde axei mai mari).

Există și un elipsoid imaginar - cu condiția ca suma coordonatelor înmulțită cu coeficienții să fie -1:

Hiperboloizi

Când apare un minus într-una dintre constante, ecuația elipsoidală se transformă în ecuația unui hiperboloid cu o singură foaie. Trebuie inteles ca acest minus nu trebuie sa fie situat in fata coordonatei x 3! Determină doar care dintre axe va fi axa de rotație a hiperboloidului (sau paralelă cu acesta, deoarece atunci când apar termeni suplimentari în pătrat (de exemplu, (x-2) 2), centrul figurii se deplasează, așa cum ca rezultat, suprafața se deplasează paralel cu axele de coordonate). Acest lucru se aplică tuturor suprafețelor de ordinul 2.

În plus, trebuie să înțelegem că ecuațiile sunt prezentate în formă canonică și pot fi modificate prin variarea constantelor (cu semnul păstrat!); în timp ce forma lor (hiperboloid, con și așa mai departe) va rămâne aceeași.

O astfel de ecuație este deja dată de un hiperboloid cu două foi.

suprafata conica

Nu există nicio unitate în ecuația conului - egalitate cu zero.

Numai o suprafață conică mărginită se numește con. Imaginea de mai jos arată că, de fapt, vor fi două așa-numite conuri pe diagramă.

Notă importantă: în toate ecuațiile canonice considerate, se presupune că constantele sunt pozitive în mod implicit. În caz contrar, semnul poate afecta graficul final.

Planurile de coordonate devin planurile de simetrie ale conului, centrul de simetrie este situat la origine.

În ecuația conului imaginar, există doar plusuri; are un singur punct real.

Paraboloizi

Suprafețele de 2 ordine în spațiu pot lua diferite forme chiar și cu ecuații similare. De exemplu, există două tipuri de paraboloizi.

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 2z

Un paraboloid eliptic, când axa Z este perpendiculară pe desen, va fi proiectat într-o elipsă.

x 2 / a 2 -y 2 / b 2 \u003d 2z

Paraboloid hiperbolic: secțiunile cu plane paralele cu ZY vor produce parabole, iar secțiunile cu plane paralele cu XY vor produce hiperbole.

Planuri care se intersectează

Există cazuri când suprafețele de ordinul 2 degenerează într-un plan. Aceste avioane pot fi aranjate în diferite moduri.

Luați în considerare mai întâi planurile care se intersectează:

x 2 / a 2 -y 2 / b 2 \u003d 0

Această modificare a ecuației canonice are ca rezultat doar două planuri care se intersectează (imaginar!); toate punctele reale sunt pe axa coordonatei care nu se află în ecuație (în canonic - axa Z).

Planuri paralele

În prezența unei singure coordonate, suprafețele de ordinul 2 degenerează într-o pereche de plane paralele. Amintiți-vă, orice altă variabilă poate lua locul lui Y; apoi se vor obţine plane paralele cu alte axe.

În acest caz, ele devin imaginare.

Avioane coincidente

Cu o ecuație atât de simplă, o pereche de planuri degenerează într-una singură - ele coincid.

Nu uitați că în cazul unei baze tridimensionale, ecuația de mai sus nu definește linia y=0! Nu are alte două variabile, dar asta înseamnă doar că valoarea lor este constantă și egală cu zero.

Clădire

Una dintre cele mai dificile sarcini pentru un student este construirea suprafețelor de ordinul 2. Este și mai dificil să treci de la un sistem de coordonate la altul, având în vedere unghiurile curbei față de axe și decalajul centrului. Să repetăm ​​cum să determinăm secvenţial vederea viitoare a desenului într-un mod analitic.

Pentru a construi o suprafață de ordinul 2, aveți nevoie de:

• aduce ecuația la forma canonică;
• determina tipul suprafetei studiate;
• construcție bazată pe valorile coeficienților.

Toate tipurile luate în considerare sunt enumerate mai jos:

Pentru a consolida, descriem în detaliu un exemplu de acest tip de sarcină.

Exemple

Să presupunem că avem o ecuație:

3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0

Să o aducem la forma canonică. Să evidențiem pătratele complete, adică aranjam termenii disponibili în așa fel încât să fie expansiunea pătratului sumei sau diferenței. De exemplu: dacă (a+1) 2 =a 2 +2a+1, atunci a 2 +2a+1=(a+1) 2 . Vom efectua a doua operațiune. În acest caz, nu este necesar să deschideți parantezele, deoarece acest lucru va complica doar calculele, dar este necesar să eliminați factorul comun 6 (în paranteze cu pătratul complet al lui Y):

3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6

Variabila z apare în acest caz o singură dată - poate fi lăsată neatinsă pentru moment.

Analizăm ecuația în această etapă: toate necunoscutele sunt precedate de un semn plus; când este împărțit la șase, unul rămâne. Prin urmare, avem o ecuație care definește un elipsoid.

Rețineți că 144 a fost luat în considerare în 150-6, după care -6 a fost mutat la dreapta. De ce a trebuit să se facă așa? Evident cel mai mult mare divizorîn acest exemplu -6, prin urmare, pentru a lăsa unul în dreapta după împărțirea la acesta, este necesar să „amânați” exact 6 din 144 (prezența unui membru liber, o constantă neînmulțită cu necunoscut, indică faptul că dreptul ar trebui să fie unul).

Împărțiți totul la șase și obțineți ecuația canonică a elipsoidului:

(x-1) 2/2+(y+5) 2/1+z2/3=1

În clasificarea utilizată anterior a suprafețelor de ordinul 2, este luat în considerare un caz particular când centrul figurii este la origine. În acest exemplu, este compensat.

Presupunem că fiecare paranteză cu necunoscute este o variabilă nouă. Adică: a=x-1, b=y+5, c=z. În noile coordonate, centrul elipsoidului coincide cu punctul (0,0,0), deci, a=b=c=0, de unde: x=1, y=-5, z=0. În coordonatele inițiale, centrul figurii se află în punctul (1,-5,0).

Elipsoidul va fi format din două elipse: prima în planul XY și a doua în planul XZ (sau YZ - nu contează). Coeficienții cu care sunt împărțite variabilele sunt la pătrat în ecuația canonică. Prin urmare, în exemplul de mai sus, ar fi mai corect să se împartă la rădăcina lui doi, unu și rădăcina lui trei.

Axa minoră a primei elipse, paralelă cu axa Y, este două. Axa majoră paralelă cu axa x este două rădăcini a două. Axa minoră a celei de-a doua elipse, paralelă cu axa Y, rămâne aceeași - este egală cu două. Și axa majoră, paralelă cu axa Z, este egală cu două rădăcini a trei.

Folosind datele obținute din ecuația originală prin conversie la forma canonică, putem desena un elipsoid.

Rezumând

Subiectul abordat în acest articol este destul de extins, dar, de fapt, după cum puteți vedea acum, nu este foarte complicat. Dezvoltarea lui, de fapt, se termină în momentul în care memorezi numele și ecuațiile suprafețelor (și, bineînțeles, cum arată acestea). În exemplul de mai sus, am luat în considerare fiecare pas în detaliu, dar aducerea ecuației la forma canonică necesită cunoștințe minime de matematică superioară și nu ar trebui să provoace dificultăți elevului.

Analiza programului viitor conform egalității existente este deja o sarcină mai dificilă. Dar pentru soluția sa de succes, este suficient să înțelegem cum sunt construite curbele de ordinul doi corespunzătoare - elipse, parabole și altele.

Cazurile de degenerare este o secțiune și mai simplă. Datorită absenței unor variabile, nu doar calculele sunt simplificate, așa cum am menționat mai devreme, ci și construcția în sine.

De îndată ce puteți numi cu încredere toate tipurile de suprafețe, variați constantele, transformând graficul într-una sau alta cifră, subiectul va fi stăpânit.

Succes in invatare!

Informații teoretice de bază

Suprafata cilindrica sau pur și simplu cilindru numită orice suprafață care poate fi obținută prin deplasarea unei linii drepte, deplasându-se paralel cu un vector și intersectând tot timpul o dreaptă dată, care se numește ghid. Linia în mișcare este numită generator.

Suprafata conica sau pur și simplu con numită suprafața formată prin mișcarea unei drepte care trece printr-un punct dat, numită vârf de con,și deplasându-se de-a lungul acestei curbe. Linia în mișcare este numită generatria conului,și curba de-a lungul căreia alunecă generatoarea, - ghid.

Rotirea unei figuri în jurul unei linii drepte date (axa de rotație) este o astfel de mișcare în care fiecare punct al figurii
descrie un cerc centrat pe axa de rotație, situat într-un plan perpendicular pe axa de rotație.

Suprafața formată prin rotirea unei linii în jurul unei axe se numește suprafata de revolutie.

Ecuații canonice ale suprafețelor de ordinul doi

O suprafață de ordinul doi este dată în coordonate dreptunghiulare printr-o ecuație de gradul doi

(7.1)

Prin transformarea coordonatelor (prin rotirea axelor și translația paralelă), ecuația (7.1) se reduce la forma canonică. În cazul în care nu există termeni cu produsul coordonatelor din ecuația (7.1), această ecuație este selecția pătratelor întregi prin ,,iar translația paralelă a axelor de coordonate este redusă la forma canonică în același mod în care sa făcut pentru liniile de ordinul doi (vezi Studiul ecuației generale a unei linii de ordinul doi). Suprafețele de ordinul doi și ecuațiile lor canonice sunt prezentate în tabel. 3.

Forma și aranjarea suprafețelor de ordinul doi sunt de obicei studiate prin metoda secțiunilor paralele. Esența metodei constă în faptul că suprafața este intersectată de mai multe plane paralele cu planurile de coordonate. Forma și parametrii secțiunilor obținute fac posibilă determinarea formei suprafeței în sine.

Masa 3

Hiperboloid: cu o singură cavitate, bicameral,
Paraboloid: eliptic, hiperbolic,

eliptic, hiperbolic, parabolic,

Exemple de rezolvare a problemelor

Problema 7.1. Scrieți o ecuație pentru o sferă a cărei rază este , iar centrul este la punct
.

Soluţie. O sferă este un set de puncte care se află la aceeași distanță de centru. Prin urmare, notând prin
coordonate ale punctelor arbitrare
sfere şi exprimând prin ele egalitatea
, vom avea

Punând la pătrat ambele părți ale egalității, obținem ecuația canonică dorită a sferei:

Dacă centrul sferei este plasat la origine, atunci ecuația sferei are o formă mai simplă:

.

Răspuns.
.

Problema 7.2. Scrieți o ecuație pentru o suprafață conică cu un vârf la origine și un ghidaj

(7.1)

Soluţie. Ecuații canonice ale generatoarelor printr-un punct
și punct
ghid, are forma

(7.2)

Exclude ,,din ecuațiile (7.1) și (7.2). Pentru a face acest lucru, în ecuațiile (7.2) înlocuim pe și definiți și :

;

Înlocuind aceste valori și în prima ecuație a sistemului (7.1), vom avea:

sau

Ecuația rezultată definește un con de ordinul doi (a se vedea tabelul 3)

Problema 7.3.

Soluţie. Această suprafață este un cilindru hiperbolic cu generatoare paralele cu axa
Într-adevăr, această ecuație nu conține , iar ghidajul cilindrului este o hiperbolă

cu centrul de simetrie în punct
și o axă reală paralelă cu axa
.

Problema 7.4. Explorează și construiește suprafața dată de ecuație

Soluţie. Intersectează suprafața cu un plan
. Ca urmare, avem

Unde
. Aceasta este ecuația unei parabole în plan

Secțiunea unei suprafețe date printr-un plan
există o parabolă

Secțiune de avion
există o pereche de linii care se intersectează:

Secțiune cu planuri paralele cu planul
, există hiperbole:

La
axa reală a hiperbolei este paralelă cu axa
, la
topoare
. Suprafața investigată este un paraboloid hiperbolic (asociat cu forma, suprafața se numește „șa”).

Cometariu. O proprietate interesantă a unui paraboloid hiperbolic este prezența liniilor drepte cu toate punctele lor pe suprafața sa. Astfel de linii sunt numite generatoare rectilinii ale unui paraboloid hiperbolic. Prin fiecare punct al paraboloidului hiperbolic trec două generatoare rectilinii.

Problema 7.5. Care suprafață definește ecuația

Soluţie. Pentru a reduce această ecuație la forma canonică, evidențiem pătratele complete ale variabilelor ,,:

Comparând ecuația rezultată cu cele tabulare (a se vedea tabelul 3), vedem că aceasta este ecuația unui hiperboloid cu o singură foaie, al cărui centru este deplasat la punctul
Prin transfer paralel al sistemului de coordonate conform formulelor

aducem ecuația la forma canonică:

Cometariu. Un hiperboloid cu o singură folie, ca unul hiperbolic, are două familii de generatoare rectilinii.

Conținutul articolului

SECȚIUNI CONICE, curbe plane, care se obțin prin traversarea unui con circular drept cu un plan care nu trece prin vârful acestuia (Fig. 1). Din punctul de vedere al geometriei analitice, secțiunea conică este locul punctelor care satisfac o ecuație de ordinul doi. Cu excepția cazurilor degenerate discutate în ultima secțiune, secțiunile conice sunt elipse, hiperbole sau parabole.

Secțiunile conice se găsesc adesea în natură și tehnologie. De exemplu, orbitele planetelor care se rotesc în jurul Soarelui sunt elipse. Un cerc este un caz special al unei elipse, în care axa majoră este egală cu cea minoră. O oglindă parabolică are proprietatea că toate razele incidente paralele cu axa ei converg într-un punct (focal). Acesta este folosit în majoritatea telescoapelor reflectorizante care folosesc oglinzi parabolice, precum și în antene radar și microfoane speciale cu reflectoare parabolice. Un fascicul de raze paralele emană dintr-o sursă de lumină plasată în focarul unui reflector parabolic. Prin urmare, oglinzile parabolice sunt folosite în reflectoare puternice și faruri auto. O hiperbola este un grafic al multor relații fizice importante, cum ar fi Legea lui Boyle (care raportează presiunea și volumul unui gaz ideal) și Legea lui Ohm, care definește curentul electric ca o funcție a rezistenței la tensiune constantă.

ISTORIE VIMPURIE

Descoperitorul secțiunilor conice este Menechmus (secolul al IV-lea î.Hr.), un elev al lui Platon și profesor al lui Alexandru cel Mare. Menechmus a folosit o parabolă și o hiperbolă isoscelă pentru a rezolva problema dublării unui cub.

Tratate de secțiuni conice scrise de Aristaeus și Euclid la sfârșitul secolului al IV-lea. î.Hr., s-au pierdut, dar materialele din ele au fost incluse în celebre Secțiuni conice Apollonius din Perga (c. 260-170 î.Hr.), care au supraviețuit până în vremea noastră. Apollonius a abandonat cerința ca planul secant al generatricei conului să fie perpendicular și, variind unghiul de înclinare a acestuia, a obținut toate secțiunile conice dintr-un singur con circular, drept sau înclinat. De asemenea, lui Apollonius îi datorăm denumirile moderne de curbe - elipsă, parabolă și hiperbolă.

În construcțiile sale, Apollonius a folosit un con circular cu două foi (ca în Fig. 1), așa că pentru prima dată a devenit clar că o hiperbolă este o curbă cu două ramuri. Din vremea lui Apollonius, secțiunile conice au fost împărțite în trei tipuri, în funcție de înclinarea planului de tăiere față de generatria conului. Elipsa (Fig. 1, A) se formează atunci când planul de tăiere intersectează toate generatricele conului în punctele uneia dintre cavitățile acestuia; parabolă (Fig. 1, b) - când planul de tăiere este paralel cu unul dintre planurile tangente ale conului; hiperbola (fig. 1, în) - când planul de tăiere intersectează ambele cavități ale conului.

CONSTRUCȚIA SECȚIUNILOR CONICE

În timp ce studiau secțiunile conice ca intersecții de planuri și conuri, matematicienii greci antici le considerau și ca traiectorii de puncte pe un plan. S-a constatat că o elipsă poate fi definită drept locul punctelor, suma distanțelor de la care până la două puncte date este constantă; parabolă - ca loc de puncte echidistant de un punct dat și de o dreaptă dată; hiperbola - ca loc al punctelor, diferența de distanțe de la care la două puncte date este constantă.

Aceste definiții ale secțiunilor conice ca curbe plane sugerează, de asemenea, o modalitate de a le construi folosind un fir întins.

Elipsă.

Dacă capetele unui fir de o lungime dată sunt fixate în puncte F 1 și F 2 (Fig. 2), apoi curba descrisă de vârful unui creion care alunecă de-a lungul unui fir strâns întins are forma unei elipse. puncte F 1 și F 2 se numesc focarele elipsei, iar segmentele V 1 V 2 și v 1 v 2 între punctele de intersecție ale elipsei cu axele de coordonate - axele majore și minore. Dacă punctele F 1 și F 2 coincid, apoi elipsa se transformă într-un cerc.

Hiperbolă.

Când construiți o hiperbolă, un punct P, vârful unui creion, se fixează pe un fir care alunecă liber de-a lungul cherelor instalate în puncte F 1 și F 2 așa cum se arată în fig. 3, A. Distanţele sunt alese astfel încât segmentul PF 2 este mai lung decât segmentul PF 1 cu o sumă fixă ​​mai mică decât distanța F 1 F 2. În acest caz, un capăt al firului trece pe sub cuier F 1 și ambele capete ale firului trec peste cuier F 2. (Vârful creionului nu trebuie să alunece de-a lungul firului, așa că trebuie să-l fixați făcând o buclă mică pe fir și înfilând vârful în el.) O ramură a hiperbolei ( PV 1 Q) tragem, asigurându-ne că firul rămâne întins tot timpul și trăgând ambele capete ale firului în jos dincolo de punct F 2, iar când punctul P va fi sub linie F 1 F 2, ținând firul la ambele capete și strângându-l cu grijă (adică eliberându-l). A doua ramură a hiperbolei ( Pў V 2 Qў) desenăm, schimbând anterior rolurile cuierelor F 1 și F 2 .

Ramurile hiperbolei se apropie de două linii drepte care se intersectează între ramuri. Aceste linii, numite asimptotele hiperbolei, sunt construite așa cum se arată în Fig. 3, b. Pantele acestor drepte sunt ± ( v 1 v 2)/(V 1 V 2), unde v 1 v 2 - un segment al bisectoarei unghiului dintre asimptote, perpendicular pe segment F 1 F 2; segment de linie v 1 v 2 se numește axa conjugată a hiperbolei și segmentul V 1 V 2 - axa sa transversală. Deci asimptotele sunt diagonalele unui dreptunghi cu laturile care trec prin patru puncte v 1 , v 2 , V 1 , V 2 paralele cu axele. Pentru a construi acest dreptunghi, trebuie să specificați locația punctelor v 1 și v 2. Sunt la aceeași distanță, egală cu

din punctul de intersecție a axelor O. Această formulă presupune construirea unui triunghi dreptunghic cu catete Ov 1 și V 2 O si ipotenuza F 2 O.

Dacă asimptotele hiperbolei sunt reciproc perpendiculare, atunci hiperbola se numește isoscelă. Două hiperbole având asimptote comune, dar cu axele transversale și conjugate rearanjate, se numesc conjugate reciproc.

Parabolă.

Focarele elipsei și hiperbolei erau cunoscute de Apollonius, dar focarul parabolei, aparent, a fost stabilit pentru prima dată de Pappus (a doua jumătate a secolului al III-lea), care a definit această curbă ca fiind locul punctelor echidistante de un punct dat ( focus) și o linie dreaptă dată, care se numește director. Construcția unei parabole folosind un fir întins, pe baza definiției lui Pappus, a fost propusă de Isidor de Milet (sec. VI). Poziționați rigla astfel încât marginea acesteia să coincidă cu directriza LLў (Fig. 4) și atașați piciorul de această margine AC triunghi de desen ABC. Fixăm un capăt al firului cu o lungime ABîn vârf B triunghi și celălalt la focarul parabolei F. Tragând firul cu vârful unui creion, apăsați vârful într-un punct variabil P la patina liberă AB triunghi de desen. Pe măsură ce triunghiul se mișcă de-a lungul riglei, punctul P va descrie arcul unei parabole cu focalizare Fși directoare LLў, deoarece lungimea totală a firului este egală cu AB, segmentul firului este adiacent piciorului liber al triunghiului și, prin urmare, segmentul rămas al firului PF trebuie să fie egal cu restul piciorului AB, adică PA. Punct de intersecție V parabola cu o axă se numește vârful parabolei, o linie dreaptă care trece prin Fși V, este axa parabolei. Dacă se trasează o linie prin focalizare, perpendicular pe ax, atunci segmentul acestei drepte tăiat de parabolă se numește parametru focal. Pentru o elipsă și o hiperbolă, parametrul focal este definit în mod similar.

PROPRIETĂȚI ALE SECȚIUNILOR CONICE

Definiții Pappus.

Stabilirea focalizării parabolei l-a condus pe Pappus la ideea de a oferi o definiție alternativă a secțiunilor conice în general. Lăsa F este un punct dat (focalizare) și L este o linie dreaptă dată (directrice) care nu trece prin F, și D Fși D L– distanta fata de punctul de miscare P a se concentra F si directori L respectiv. Apoi, după cum a arătat Papp, secțiunile conice sunt definite ca loc de puncte P, pentru care raportul D F/D L este o constantă nenegativă. Acest raport se numește excentricitate e sectiune conica. La e e > 1 este o hiperbolă; la e= 1 este o parabolă. În cazul în care un F se întinde pe L, atunci locul are forma de linii (reale sau imaginare), care sunt secțiuni conice degenerate.

Simetria evidentă a elipsei și a hiperbolei sugerează că fiecare dintre aceste curbe are două directrice și două focare, iar această circumstanță l-a condus pe Kepler în 1604 la ideea că parabola are și un al doilea focar și o a doua directrice - un punct la infinit și Drept. În mod similar, cercul poate fi considerat ca o elipsă, ale cărei focare coincid cu centrul, iar directricele sunt la infinit. Excentricitate eîn acest caz este zero.

Designul lui Dandelin.

Focurile și directricele unei secțiuni conice pot fi demonstrate clar folosind sfere înscrise într-un con și numite sfere Dandelin (bile) în onoarea matematicianului și inginerului belgian J. Dandelin (1794–1847), care a propus următoarea construcție. Fie ca secțiunea conică să fie formată prin intersecția unui plan p cu un con circular drept cu două cavităţi cu vârf într-un punct O. Să înscriem două sfere în acest con S 1 și S 2 care ating avionul p la puncte F 1 și F 2 respectiv. Dacă secțiunea conică este o elipsă (Fig. 5, A), atunci ambele sfere se află în interiorul aceleiași cavități: o sferă este situată deasupra planului p iar celălalt dedesubt. Fiecare generatrică a conului atinge ambele sfere, iar locul punctelor de contact are forma a două cercuri C 1 și C 2 situate în planuri paralele p 1 și p 2. Lăsa P este un punct arbitrar pe o secțiune conică. Să desenăm drept PF 1 , PF 2 și extindeți linia PO. Aceste drepte sunt tangente la sferele în puncte F 1 , F 2 și R 1 , R 2. Deoarece toate tangentele trasate la sferă dintr-un punct sunt egale, atunci PF 1 = relatii cu publicul 1 și PF 2 = relatii cu publicul 2. Prin urmare, PF 1 + PF 2 = relatii cu publicul 1 + relatii cu publicul 2 = R 1 R 2. Din moment ce avioanele p 1 și p 2 paralel, segment R 1 R 2 este de lungime constantă. Astfel, valoarea relatii cu publicul 1 + relatii cu publicul 2 este același pentru toate pozițiile punctului P, și punct P aparține locului punctelor pentru care suma distanțelor de la P inainte de F 1 și F 2 este constantă. Prin urmare, punctele F 1 și F 2 - focare de secțiune eliptică. În plus, se poate demonstra că liniile de-a lungul cărora planul p traversează avionul p 1 și p 2, sunt directrice ale elipsei construite. În cazul în care un p traversează ambele cavități ale conului (Fig. 5, b), apoi două sfere Dandelin se află pe aceeași parte a planului p, câte o sferă în fiecare cavitate a conului. În acest caz, diferența dintre PF 1 și PF 2 este constantă, iar locul punctelor P are forma unei hiperbole cu focare F 1 și F 2 și linii drepte - linii de intersecție p Cu p 1 și p 2 - în calitate de directori. Dacă secțiunea conică este o parabolă, așa cum se arată în Fig. 5, în, atunci doar o sferă Dandelin poate fi înscrisă în con.

Alte proprietăți.

Proprietățile secțiunilor conice sunt cu adevărat inepuizabile și oricare dintre ele poate fi considerată decisivă. loc important în Întâlnire matematică Pappa (c. 300), geometrii Descartes (1637) și Începuturile Newton (1687) este preocupat de problema locului punctelor în raport cu patru drepte. Dacă pe plan sunt date patru drepte L 1 , L 2 , L 3 și L 4 (dintre care două se pot potrivi) și un punct P este astfel încât produsul distanțelor de la P inainte de L 1 și L 2 este proporțional cu produsul distanțelor de la P inainte de L 3 și L 4, apoi locul punctelor P este o secțiune conică. Crezând în mod eronat că Apollonius și Pappus nu au reușit să rezolve problema locului punctelor față de patru drepte, Descartes, pentru a obține o soluție și a o generaliza, a creat geometria analitică.

ABORDAREA ANALITICĂ

Clasificare algebrică.

În termeni algebrici, secțiunile conice pot fi definite ca curbe plane ale căror coordonate carteziene satisfac o ecuație de gradul doi. Cu alte cuvinte, ecuația tuturor secțiunilor conice poate fi scrisă în formă generală ca

unde nu toți coeficienții A, Bși C sunt egale cu zero. Cu ajutorul translației și rotației paralele a axelor, ecuația (1) poate fi redusă la forma

topor 2 + de 2 + c = 0

px 2 + qy = 0.

Prima ecuație se obține din ecuația (1) cu B 2 № AC, al doilea - la ora B 2 = AC. Secțiunile conice ale căror ecuații sunt reduse la prima formă se numesc centrale. Secțiuni conice date prin ecuații de al doilea tip cu q Nr. 0, sunt numite non-centrale. În cadrul acestor două categorii, sunt nouă tipuri variate secţiuni conice în funcţie de semnele coeficienţilor.

2831) i A, bși c au același semn, atunci nu există puncte reale ale căror coordonate ar satisface ecuația. O astfel de secțiune conică se numește elipsă imaginară (sau cerc imaginar dacă A = b).

2) Dacă Ași b au un singur semn și c- opus, atunci secțiunea conică este o elipsă (Fig. 1, A); la A = b- cerc (Fig. 6, b).

3) Dacă Ași b avea semne diferite, atunci secțiunea conică este o hiperbolă (Fig. 1, în).

4) Dacă Ași b au semne diferite şi c= 0, atunci secțiunea conică este formată din două linii drepte care se intersectează (Fig. 6, A).

5) Dacă Ași b au un singur semn și c= 0, atunci există un singur punct real pe curbă care satisface ecuația, iar secțiunea conică este două drepte imaginare care se intersectează. În acest caz, se vorbește și de o elipsă contractată la un punct sau, dacă A = b, contractată într-un punct al unui cerc (Fig. 6, b).

6) Dacă oricare A, sau b este egal cu zero, iar coeficienții rămași au semne diferite, atunci secțiunea conică este formată din două drepte paralele.

7) Dacă oricare A, sau b este egal cu zero, iar coeficienții rămași au același semn, atunci nu există niciun punct real care să satisfacă ecuația. În acest caz, se spune că secțiunea conică este formată din două linii paralele imaginare.

8) Dacă c= 0 și fie A, sau b este, de asemenea, egală cu zero, atunci secțiunea conică este formată din două drepte reale care coincid. (Ecuația nu definește nicio secțiune conică la A = b= 0, deoarece în acest caz ecuația inițială (1) nu este de gradul doi.)

9) Ecuațiile de al doilea tip definesc parabolele dacă pși q sunt diferite de zero. În cazul în care un p nr. 0 și q= 0, obținem curba de la itemul 8. Dacă, pe de altă parte, p= 0, atunci ecuația nu definește nicio secțiune conică, deoarece ecuația inițială (1) nu este de gradul doi.

Derivarea ecuațiilor secțiunilor conice.

Orice secțiune conică poate fi definită și ca o curbă de-a lungul căreia un plan se intersectează cu o suprafață pătratică, de exemplu. cu suprafaţa dată de ecuaţia gradului II f (X, y, z) = 0. Aparent, secțiunile conice au fost recunoscute pentru prima dată sub această formă, iar numele lor ( vezi mai jos) sunt legate de faptul că au fost obținute prin încrucișarea planului cu conul z 2 = X 2 + y 2. Lăsa ABCD- baza unui con circular drept (Fig. 7) cu unghi drept în vârf V. Lasă avionul FDC intersectează generatoarea VB la punct F, baza este în linie dreaptă CD iar suprafața conului - de-a lungul curbei DFPC, Unde P este orice punct al curbei. Desenați prin mijlocul segmentului CD- punct E- direct EF si diametrul AB. Prin punct P desenează un avion paralel cu baza con care intersectează conul într-un cerc RPS si direct EF la punct Q. Apoi QFși QP pot fi luate, respectiv, pentru abscisă X si ordonata y puncte P. Curba rezultată va fi o parabolă.

Construcția prezentată în fig. 7, poate fi folosit pentru ieșire ecuații generale secțiuni conice. Pătratul lungimii unui segment al unei perpendiculare, restabilit din orice punct al diametrului la intersecția cu cercul, este întotdeauna egal cu produsul lungimilor segmentelor diametrului. De aceea

y 2 = RQ H QS.

Pentru o parabolă, un segment RQ are o lungime constantă (deoarece pentru orice poziție a punctului P este egal cu segmentul AE), și lungimea segmentului QS proporţional X(din relație QS/EB = QF/F.E.). De aici rezultă că

Unde A este un coeficient constant. Număr A exprimă lungimea parametrului focal al parabolei.

Dacă unghiul de la vârful conului este acut, atunci segmentul RQ nu egal cu tăierea AE; dar raportul y 2 = RQ H QS este echivalent cu o ecuație de formă

Unde Ași b sunt constante sau, după deplasarea axelor, la ecuație

care este ecuația unei elipse. Punctele de intersecție ale elipsei cu axa X (X = Ași X = –A) și punctele de intersecție ale elipsei cu axa y (y = bși y = –b) definesc axele majore și, respectiv, minore. Dacă unghiul de la vârful conului este obtuz, atunci curba de intersecție a conului și a planului are forma unei hiperbole, iar ecuația ia următoarea formă:

sau, după mutarea axelor,

În acest caz, punctele de intersecție cu axa X, dat de relația X 2 = A 2, definiți axa transversală și punctele de intersecție cu axa y, dat de relația y 2 = –b 2 definiți axa de împerechere. Dacă este constantă Ași bîn ecuația (4a) sunt egale, atunci hiperbola se numește isoscelă. Prin rotirea axelor, ecuația sa se reduce la forma

X y = k.

Acum din ecuațiile (3), (2) și (4) putem înțelege semnificația numelor date de Apollonius celor trei secțiuni conice principale. Termenii „elipsă”, „parabolă” și „hiperbolă” provin din cuvinte grecești care înseamnă „lipsă”, „egal” și „superior”. Din ecuațiile (3), (2) și (4) este clar că pentru o elipsă y 2 b 2 / A) X, pentru parabolă y 2 = (A) X iar pentru hiperbolă y 2 > (2b 2 /A) X. În fiecare caz, valoarea cuprinsă între paranteze este egală cu parametrul focal al curbei.

Apollonius însuși a considerat doar trei tipuri generale de secțiuni conice (tipurile 2, 3 și 9 enumerate mai sus), dar abordarea sa admite o generalizare care permite să se ia în considerare toate curbele reale de ordinul doi. Dacă planul de tăiere este ales paralel cu baza circulară a conului, atunci secțiunea va fi un cerc. Dacă planul de tăiere are un singur punct comun cu conul, vârful acestuia, atunci se va obține o secțiune de tip 5; dacă conține un vârf și o tangentă la con, atunci obținem o secțiune de tip 8 (Fig. 6, b); dacă planul de tăiere conține doi generatori ai conului, atunci se obține o curbă de tip 4 în secțiune (Fig. 6, A); când vârful este transferat la infinit, conul se transformă într-un cilindru, iar dacă planul conține două generatoare, atunci se obține o secțiune de tip 6.

Când este privit dintr-un unghi oblic, un cerc arată ca o elipsă. Relația dintre cerc și elipsă, cunoscută lui Arhimede, devine evidentă dacă cerc X 2 + Y 2 = A 2 folosind substituția X = X, Y = (A/b) y convertiți în elipsă, dat de ecuaţie(3a). transformare X = X, Y = (ai/b) y, Unde i 2 = –1, ne permite să scriem ecuația cercului sub forma (4a). Aceasta arată că o hiperbolă poate fi privită ca o elipsă cu o axă minoră imaginară sau, dimpotrivă, o elipsă poate fi văzută ca o hiperbolă cu o axă conjugată imaginară.

Relația dintre ordonatele unui cerc X 2 + y 2 = A 2 și elipsa ( X 2 /A 2) + (y 2 /b 2) = 1 duce direct la formula lui Arhimede A = p ab pentru zona elipsei. Kepler cunoștea formula aproximativă p(A + b) pentru perimetrul unei elipse apropiate de cerc, dar expresia exactă a fost obținută abia în secolul al XVIII-lea. după introducerea integralelor eliptice. După cum a arătat Arhimede, aria unui segment parabolic este de patru treimi din aria unui triunghi înscris, dar lungimea arcului unei parabole a putut fi calculată abia după, în secolul al XVII-lea. a fost inventat calculul diferenţial.

ABORDAREA PROIECTIVĂ

Geometria proiectivă este strâns legată de construcția perspectivei. Dacă desenați un cerc pe o foaie transparentă de hârtie și îl plasați sub o sursă de lumină, atunci acest cerc va fi proiectat în planul de mai jos. În acest caz, dacă sursa de lumină este situată direct deasupra centrului cercului, iar planul și foaia transparentă sunt paralele, atunci proiecția va fi, de asemenea, un cerc (Fig. 8). Poziția sursei de lumină se numește punct de fugă. Este marcat cu litera V. În cazul în care un V situat nu deasupra centrului cercului sau dacă planul nu este paralel cu foaia de hârtie, atunci proiecția cercului ia forma unei elipse. Cu o înclinare și mai mare a planului, axa majoră a elipsei (proiecția cercului) se prelungește, iar elipsa se transformă treptat într-o parabolă; pe un plan paralel cu o dreaptă VP, proiecția arată ca o parabolă; cu o înclinare și mai mare, proiecția ia forma uneia dintre ramurile hiperbolei.

Fiecare punct de pe cercul original corespunde unui punct din proiecție. Dacă proiecția are forma unei parabole sau hiperbole, atunci ei spun că punctul corespunzător punctului P, este la infinit sau la infinit.

După cum am văzut, cu o alegere adecvată a punctelor de fugă, un cerc poate fi proiectat în elipse de diferite dimensiuni și cu diferite excentricități, iar lungimile axelor majore nu sunt direct legate de diametrul cercului proiectat. Prin urmare, geometria proiectivă nu se ocupă de distanțe sau lungimi în sine, sarcina sa este de a studia raportul lungimilor care se păstrează sub proiecție. Această relație poate fi găsită folosind următoarea construcție. prin orice punct P plan desenăm două tangente la orice cerc și conectăm punctele de contact cu o dreaptă p. Lasă o altă linie să treacă prin punct P, intersectează cercul în puncte C 1 și C 2, ci linia dreaptă p- la punct Q(Fig. 9). Planimetria demonstrează că PC 1 /PC 2 = –QC 1 /QC 2. (Semnul minus apare deoarece direcția segmentului QC 1 opus directiilor altor segmente.) Cu alte cuvinte, punctele Pși Qîmpărțiți segmentul C 1 C 2 extern și intern în același sens; ei mai spun că raportul armonic a patru segmente este egal cu - 1. Dacă cercul este proiectat într-o secțiune conică și aceleași denumiri sunt păstrate pentru punctele corespunzătoare, atunci raportul armonic ( PC 1)(QC 2)/(PC 2)(QC 1) va rămâne egal - 1. Punct P numit polul liniei pîn raport cu o secțiune conică și o linie dreaptă p- punctul polar P faţă de secţiunea conică.

Când punct P se apropie de o secţiune conică, polarul tinde să ia poziţia unei tangente; dacă punct P se află pe secțiunea conică, apoi polara sa coincide cu tangenta la secțiunea conică în punct P. Dacă punct P situat în interiorul secțiunii conice, atunci polarul său poate fi construit după cum urmează. Să trecem prin punct P orice linie dreaptă care intersectează o secțiune conică în două puncte; trageți tangente la secțiunea conică în punctele de intersecție; să presupunem că aceste tangente se intersectează într-un punct P unu . Să trecem prin punct P o altă dreaptă care intersectează secțiunea conică în alte două puncte; să presupunem că tangentele la secțiunea conică în aceste noi puncte se intersectează în acest punct P 2 (Fig. 10). Linie care trece prin puncte P 1 și P 2 și există polarul dorit p. Dacă punct P apropiindu-se de centru O secțiunea conică centrală, apoi cea polară p se îndepărtează de O. Când punct P coincide cu O, apoi polarul său devine la infinit, sau ideal, drept pe plan.

CLĂDIRI SPECIALE

De interes deosebit pentru astronomi este următoarea construcție simplă a punctelor unei elipse folosind o busolă și o linie dreaptă. Fie o dreaptă arbitrară care trece printr-un punct O(Fig. 11, A), se intersectează în puncte Qși R două cercuri concentrice centrate într-un punct Oși razele bși A, Unde b A. Să trecem prin punct Q linie orizontală și R- o linie verticală și indică punctul lor de intersecție P P când se rotește drept OQRîn jurul punctului O va fi o elipsă. Colţ fîntre linie OQR iar axa majoră se numește unghi excentric și este convenabil să setați elipsa construită ecuații parametrice X = A cos f, y = b păcat f. Excluzând parametrul f, obținem ecuația (3a).

Pentru o hiperbolă, construcția este în mare măsură similară. Linie arbitrară care trece printr-un punct O, intersectează unul dintre cele două cercuri într-un punct R(Fig. 11, b). Până la punctul R un cerc şi punctul final S diametrul orizontal al altui cerc, desenăm tangente care se intersectează OS la punct Tși SAU- la punct Q. Lasă linia verticală care trece prin punct T, și o linie orizontală care trece prin punct Q, se intersectează într-un punct P. Apoi locul punctelor P la rotirea segmentului SAUîn jurul O va exista o hiperbolă dată de ecuaţiile parametrice X = A sec f, y = b tg f, Unde f- unghi excentric. Aceste ecuații au fost obținute de matematicianul francez A. Legendre (1752–1833). Prin excluderea parametrului f, obținem ecuația (4a).

O elipsă, după cum a observat N. Copernic (1473-1543), poate fi construită folosind o mișcare epiciclică. Dacă un cerc se rostogolește fără să alunece de-a lungul interiorului altui cerc cu diametrul de două ori mai mare, atunci fiecare punct P, care nu se află pe un cerc mai mic, ci fix în raport cu acesta, va descrie o elipsă. Dacă punct P este pe cercul mai mic, atunci traiectoria acestui punct este un caz degenerat al unei elipse - diametrul cercului mai mare. O construcție și mai simplă a unei elipse a fost propusă de Proclus în secolul al V-lea. Dacă se termină Ași B segment de linie dreaptă AB al unei lungimi date alunecă de-a lungul a două linii drepte fixe care se intersectează (de exemplu, de-a lungul axelor de coordonate), apoi fiecare punct intern P segmentul va descrie o elipsă; matematicianul olandez F. van Schoten (1615–1660) a arătat că orice punct din planul dreptelor care se intersectează, fix față de segmentul de alunecare, va descrie și o elipsă.

B. Pascal (1623–1662) la vârsta de 16 ani a formulat acum faimoasa teoremă a lui Pascal, care spune: trei puncte de intersecție ale laturilor opuse ale unui hexagon înscrise în orice secțiune conică se află pe o dreaptă. Pascal a derivat peste 400 de corolare din această teoremă.

Suprafețe de ordinul doi sunt suprafețe care sunt definite într-un sistem de coordonate dreptunghiular ecuații algebrice gradul doi.

1. Elipsoid.

Un elipsoid este o suprafață care, într-un sistem de coordonate dreptunghiular, este definită de ecuație:

Ecuația (1) se numește ecuația canonică a elipsoidului.

Setați vederea geometrică a elipsoidului. Pentru a face acest lucru, luați în considerare secțiuni ale elipsoidului dat prin planuri paralele cu planul Oxy. Fiecare dintre aceste planuri este definit de o ecuație de formă z=h, Unde h- orice număr, iar linia care se obține în secțiune este determinată de două ecuații

(2)

Să studiem ecuațiile (2) pentru diferite valori h .

> c(c>0), atunci ecuațiile (2) definesc și o elipsă imaginară, adică puncte de intersecție ale planului z=h cu elipsoidul dat nu există. , apoi iar linia (2) degenerează în puncte (0; 0; + c) și (0; 0; - c) (planele ating elipsoidul). , atunci ecuațiile (2) pot fi reprezentate ca

de unde rezultă că avionul z=h intersectează elipsoidul de-a lungul unei elipse cu semiaxe

și . Când scad, valorile și cresc și ajung la nivelul lor cele mai mari valori la , adică în secțiunea elipsoidului după planul de coordonate Oxy rezultă cea mai mare elipsă cu semiaxele și .

O imagine similară se obține atunci când suprafața dată este intersectată de plane paralele cu planurile de coordonate Oxzși Oyz.

Astfel, secțiunile luate în considerare fac posibilă reprezentarea elipsoidului ca o suprafață ovală închisă (Fig. 156). Cantitati a, b, c numit arbori de osie elipsoid. Când a=b=c elipsoidul este sferăth.

2. Hiperboloid cu o bandă.

Un hiperboloid cu o bandă este o suprafață care, într-un sistem de coordonate dreptunghiular, este definită de ecuație (3)

Ecuația (3) se numește ecuația canonică a unui hiperboloid cu o bandă.

Setați tipul suprafeței (3). Pentru a face acest lucru, luați în considerare secțiunea transversală planuri de coordonate Oxy (y=0)șiOx(x=0). Obținem, respectiv, ecuațiile

și

Acum luați în considerare secțiuni ale hiperboloidului dat de planuri z=h paralele cu planul de coordonate Oxy. Linia obținută în secțiune este determinată de ecuații

sau (4)

din care rezultă că planul z=h intersectează hiperboloidul de-a lungul unei elipse cu semiaxe

și ,

atingând valorile lor cele mai scăzute la h=0, adică în secțiunea acestui hiperboloid, axa de coordonate Oxy produce cea mai mică elipsă cu semiaxele a*=a și b*=b. Cu o creștere infinită

marimile a* si b* cresc la infinit.

Astfel, secțiunile luate în considerare fac posibilă reprezentarea unui hiperboloid cu o bandă ca un tub infinit, extinzându-se infinit pe măsură ce se îndepărtează (pe ambele părți) de planul Oxy.

Mărimile a, b, c se numesc semiaxele unui hiperboloid cu o bandă.

3. Hiperboloid cu două foi.

Un hiperboloid cu două foi este o suprafață care, într-un sistem de coordonate dreptunghiular, este definită de ecuație

Ecuația (5) se numește ecuația canonică a unui hiperboloid cu două foi.

Să stabilim forma geometrică a suprafeței (5). Pentru a face acest lucru, luați în considerare secțiunile sale după planurile de coordonate Oxy și Oyz. Obținem, respectiv, ecuațiile

și

din care rezultă că în secţiuni se obţin hiperbole.

Acum luați în considerare secțiuni ale hiperboloidului dat de planuri z=h paralele cu planul de coordonate Oxy. Linia obținută în secțiune este determinată de ecuații

sau (6)

din care rezultă că

>c (c>0) planul z=h intersectează hiperboloidul de-a lungul unei elipse cu semi-axe și . Pe măsură ce valoarea crește, cresc și a* și b*. Ecuațiile (6) sunt îndeplinite de coordonatele a doar două puncte: (0; 0; + c) și (0; 0; - c) (planele ating suprafața dată). ecuațiile (6) definesc o elipsă imaginară, i.e. nu există puncte de intersecție ale planului z=h cu hiperboloidul dat.

Mărimea a, b și c sunt numite semiaxele hiperboloidului cu două foi.

4. Paraboloid eliptic.

Un paraboloid eliptic este o suprafață care, într-un sistem de coordonate dreptunghiular, este definită de ecuație

(7)

unde p>0 și q>0.

Ecuația (7) se numește ecuația canonică a unui paraboloid eliptic.

Luați în considerare secțiunile suprafeței date după planurile de coordonate Oxy și Oyz. Obținem, respectiv, ecuațiile

și

din care rezultă că în secțiuni se obțin parabole, simetrice față de axa Oz, cu vârfuri la origine. (opt)

din care rezultă că pentru . Pe măsură ce h crește, cresc și a și b; pentru h=0 elipsa degenerează într-un punct (planul z=0 atinge hiperboloidul dat). Pentru H<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

Astfel, secțiunile luate în considerare fac posibilă reprezentarea unui paraboloid eliptic sub forma unui bol infinit convex.

Punctul (0;0;0) se numește vârful paraboloidului; numerele p și q sunt parametrii săi.

În cazul lui p=q, ecuația (8) definește un cerc centrat pe axa Oz, i.e. Un paraboloid eliptic poate fi privit ca o suprafață formată prin rotația unei parabole în jurul axei sale (paraboloid de revoluție).

5. Paraboloid hiperbolic.

Un paraboloid hiperbolic este o suprafață care, într-un sistem de coordonate dreptunghiular, este definită de ecuație

(9)

O suprafață conică este o suprafață formată din linii drepte - formând un con - care trec printr-un punct dat - vârful conului - și care intersectează o linie dată - ghidul conului. Fie ghidul conului să aibă ecuațiile

iar vârful conului are coordonate.Ecuațiile canonice ale generatoarelor conului ca drepte care trec prin punctul ) și prin punctul ghidajului vor fi;

Eliminând x, y și z din cele patru ecuații (3) și (4), obținem ecuația dorită pentru o suprafață conică. Această ecuație are o proprietate foarte simplă: este omogenă (adică toți membrii săi de aceeași dimensiune) în ceea ce privește diferențele. Într-adevăr, să presupunem mai întâi că vârful conului este la origine. Fie X, Y și Z coordonatele oricărui punct al conului; deci satisfac ecuația conului. După înlocuirea conului X, Y și Z în ecuație, respectiv, prin XX, XY, XZ, unde X este un factor arbitrar, ecuația trebuie îndeplinită, întrucât XX, XY și XZ sunt coordonatele punctului dreptei. linie care trece prin origine până la punct, adică generatoarea conului. Prin urmare, ecuația conului nu se va modifica dacă înmulțim toate coordonatele curente cu același număr X. Rezultă că această ecuație trebuie să fie omogenă în raport cu coordonatele curente.

Dacă vârful conului se află într-un punct, vom transfera originea coordonatelor către vârf și, conform celor demonstrate, ecuația transformată a conului va fi omogenă față de alte coordonate, adică față de

Exemplu. Scrieți o ecuație pentru un con cu un vârf la origine și un ghidaj

Ecuațiile canonice ale generatoarelor care trec prin vârful (0, 0, C) conului și punctul ghidajului vor fi:

Eliminați x, y și din cele patru ecuații date. Înlocuind c, determinăm y din ultimele două ecuații.