Putem face o ecuație. Cum se scrie o ecuație chimică: reguli, exemple. Înregistrarea unei reacții chimice. Compilarea formulelor binare după valență

SECȚIUNEA VI.

TRANSFORMĂRI DE EGALITATE.

___________

SOLUȚIONAREA ȘI COMPILAREA ECUAȚIILOR DE GRADUL I

§ 5. Alcătuirea unei ecuaţii cu o necunoscută.

Orice problemă de aritmetică constă în faptul că după mai multe mărimi cunoscute și după rapoartele date între aceste mărimi cunoscute și altele, se găsesc necunoscute, necunoscute. Algebra oferă o modalitate specială de a rezolva probleme aritmetice. Această metodă se bazează pe faptul că condițiile exprimate verbal ale problemelor aritmetice pot fi traduse în limbaj algebric, i.e. sunt exprimabile prin intermediul formulelor algebrice.

Traducerea condițiilor exprimate verbal ale problemei în limbaj algebric se numește în general formulare.

A compune o ecuație cu o necunoscută conform condițiilor problemei înseamnă a traduce aceste condiții în limbaj algebric în așa fel încât întregul set al acestor condiții să fie exprimat printr-o ecuație care conține o necunoscută. Pentru aceasta, este necesar ca numărul de condiții independente separate ale problemei să fie egal cu numărul de necunoscute implicate în aceasta.

Datorită diversităţii extreme a problemelor, metodele de compilare a ecuaţiilor corespunzătoare acestor probleme sunt extrem de diverse. Reguli generale pentru compilarea ecuatiilor nr. Dar există o indicație generală care ne ghidează raționamentul atunci când traducem condițiile problemei în limbaj algebric și ne permite încă de la începutul raționamentului să urmăm calea corectă pentru a atinge scopul final. Această indicație generală, sau principiul general al alcătuirii ecuației, vom exprima astfel:

Pentru a compune o ecuație cu o necunoscută în funcție de condițiile problemei, aveți nevoie de:

1) alegeți dintre necunoscutele, care sunt fie direct indicate în problemă, fie subînțelese, unele luate ca prima și desemnați această necunoscută cu o literă, de exemplu, X ;

2) folosind această denumire și denumirile date în problemă, exprimă toate cantitățile care sunt direct menționate în problemă, sau care sunt subînțelese, observând că la alcătuirea unor astfel de expresii, toate numerele date în problemă și toate legate de dains sau la valori necunoscute ale stării;

3) după o asemenea aplicare a tuturor condițiilor, găsiți între expresiile compuse sau pur și simplu scrise două astfel încât, în virtutea uneia dintre condițiile date, trebuie să fie egale între ele și legați aceste expresii cu un semn egal.

Să aplicăm acest principiu la rezolvarea a două probleme:

Sarcina 1 i. Numărul de monede dintr-un portofel este jumătate din cel al celuilalt. Dacă așezați șase monede din prima și adăugați opt monede la a doua, atunci numărul de monede din prima va fi de șapte ori mai mic decât în ​​al doilea. Aflați câte monede sunt în fiecare portofel?

În această problemă sunt indicate mai multe cantități cunoscute și mai multe necunoscute. Să luăm ca prim număr necunoscut de monede din prima poșetă primul număr necunoscut și să îl notăm cu X. Apoi ne vom ocupa de desemnarea tuturor cantităților, care includ condițiile problemei.

Numărul de monede din primul portofel este X . Raportul dintre numărul de monede din al doilea și primul portofel 2 . Deci numărul de monede al celui de-al doilea portofel 2X.

Scoate din prima 6 monede Prin urmare, în prima poșetă există monede X -6 .

În al doilea adaugă 8 monede. Prin urmare, în al doilea portofel vei primi monede 2X +8 . Noul raport între numărul de monede ale celei de-a doua și ale primei poșete este de . Este, de asemenea, egal 7 . Pe această bază, compunem o ecuație, rezolvând care, obținem x= 10 , după care nu este greu de determinat celelalte necunoscute pe care le-am amintit aici.

Dacă am lua cea de-a doua poșetă drept primul număr necunoscut de monede și l-am notat pentru a o deosebi de denumirea anterioară prin la , atunci, după cum se vede ușor, s-ar obține o altă ecuație și anume ( la + 8 ):( la / 2 -6 )=7 , care rezolvă și problema și dă răspunsul la=20 .

S-ar putea lua pentru prima necunoscută numărul de monede care au apărut în prima poșetă după calculul din aceasta 6 monede; apoi, denotând acest necunoscut prin z și mergând în același mod în care am mers în prima ecuație, vom obține ecuația , Unde z = 4 .

Dar s-ar putea schimba chiar și modul în care ecuația este corelată, de exemplu, luând în considerare raportul modificat între numărul de monede și bazând formularea ecuației pe ceea ce se știe despre raportul inițial. În acest caz, ecuația s-ar scrie după cum urmează:

Numărul de monede din primul portofel după calcul este z . Postat 6 monede. Deci numărul inițial de monede din primul portofel z + 6. S-a schimbat raportul dintre numărul de monede 7 . Prin urmare, numărul schimbat de monede al celui de-al doilea portofel 7z. a fost adăugat 8 monede. Prin urmare, numărul inițial de monede al celei de-a doua poșete 7z. - 8 . Raportul inițial dintre numărul de monede este Este egal cu 2 . Pe această bază avem o ecuație compatibilă cu cea anterioară, deși diferă de aceasta ca formă.

Dacă, mergând pe această a doua cale, am luat pentru primul număr necunoscut de monede din cea de-a doua poșetă după ce am adăugat la acesta 8 monede, atunci, denotând acest necunoscut pentru diferență prin Și , am obține ecuația ( Și -8 ):( Și / 7 + 6 )=2 , Unde Și =28 .

Aceste precizări arată că, ghidați de aceeași regulă generală pentru scrierea ecuațiilor, încă mai găsim în fiecare problemă o varietate de moduri de a atinge acest obiectiv. cel mai bun mod se consideră cea care exprimă mai simplu condiţiile problemei şi duce mai rapid atât la compilarea cât şi la rezolvarea ecuaţiei. În acest caz, prima și a treia metodă sunt la fel de convenabile pentru rezolvarea ecuației, dar prima este încă mai simplă și, prin urmare, mai bună decât celelalte.

În aplicarea regulii de mai sus de formulare a ecuațiilor, trebuie amintit că în orice ecuație exprimată corect, fiecare număr dat și fiecare condiție exprimată trebuie să fie luate în considerare.

Sarcina 2. Din oras DAR un călător iese, trecând peste zi 20 verstă. Două zile mai târziu, ea părăsește orașul pentru a-l întâlni. ÎN un alt călător care trece zilnic pe acolo 30 verstă. Distanța dintre DARȘi ÎN egală 190 verstă. Întrebarea este când și unde se vor întâlni cei doi călători?

1-a cale. Să luăm ca prima oră necunoscută de mișcare a primului călător de la ieșire din DARînainte de întâlnire, iar pentru ultima condiție este ca distanța dintre DARȘi ÎN egală 190 verstă. Apoi vom argumenta astfel:

Să presupunem că primul a mers înainte de întâlnire X zile. În fiecare zi mergea 20 verstă. Așa că a trecut prin 20X verstă.

Al doilea a ieșit mai târziu 2 zi. Așa că s-a dus să se întâlnească X -2 zi. În fiecare zi mergea 30 verstă. Prin urmare, a trecut prin 30 (X -2 ) verst. Împreună, ambii călători au trecut [ 20X + 30 (X -2 )] verst. Toată distanța dintre DARȘi ÎN egală 190 verstă. Pe baza acesteia, găsim ecuația

20X + 30 (X -2 ) =190 ,

Unde x= 5 . De aici vedem că primul călător a plecat 5 zile si a trecut 100 verst, al doilea a fost 3 zile si a trecut 90 verstă.

a 2-a cale. Să luăm ca prima distanță necunoscută parcursă de primul călător de la ieșire la întâlnire și pentru ultima condiție ca al doilea călător să plece mai târziu decât primul la 2 zi. Apoi discuția decurge astfel:

Credem că primul a trecut înainte de întâlnire la verstă. În fiecare zi mergea 20 verstă. Așa că a mers pe toate la / 20 zile.

Al doilea a trecut de toate ( 190 -la ) verst. În fiecare zi mergea 30 verstă. Așa că a mers doar câteva zile.

Diferența dintre timpii de mișcare a ambelor este și este egală cu 2 . Prin urmare, găsim ecuația , Unde la =100 .

a 3-a cale. Prima necunoscută este timpul de mișcare a celui de-al doilea călător de la ieșire din ÎN ne vedem, ultima condiție este ca primul călător să treacă zilnic 20 verstă.

Să presupunem că al doilea merge la întâlnire z zile. Deci primul va trece z +2 ) a zilei. Plimbare zilnic prin 30 verst, al doilea va trece numai 30z verstă. Din moment ce ambele trebuie să treacă 190 mile, atunci primul va trebui să facă ( 190 -30z ) verst. Pentru a face acest lucru, el trebuie să facă o milă pe zi. Întrucât această expresie este 20 , atunci se obține ecuația, de unde z = 3.

a 4-a cale. Prima necunoscută este distanța parcursă de al doilea călător înainte de întâlnire, ultima condiție este ca cel de-al doilea să parcurgă zilnic cu 10 verste mai mult decât primul.

Credem că al doilea a trecut înainte de întâlnire Și verstă. Deci primul mai trebuia să plece ( 190 -Și ) verst. Dinainte de lansarea celui de-al doilea a trecut deja 40 mile, apoi după ieșirea celui de-al doilea mai trebuia să meargă ( 150 -Și ) verst. Diferența de distanțe parcurse simultan de ambii este ( 2Și-150 ) verst. Momentul mișcării lor comune este Și / 30 zile. Prin urmare, a doua zi trece mai mult decât prima prin ( 2Și-150 ) : Și / 30 verstă. Întrucât această expresie este 10 , apoi obțineți ecuația ( 2Și-150 ) : Și / 30 =10 , care dă Și = 90 .

Explicațiile anterioare arată că varietatea modalităților de alcătuire a ecuațiilor în aceeași problemă depinde atât de ordinea mărimilor notate succesiv, cât și de ordinea condițiilor luate în considerare succesiv.

231. Două persoane au împreună 38 de ruble, iar prima are cu 6 ruble mai mulți bani decât a doua. Câți bani are fiecare?

231. Două persoane au împreună 114 ruble, iar prima are cu 18 ruble mai mulți bani decât a doua. Câți bani are fiecare?

232. Într-o casă sunt cu 15 ferestre mai puține decât în ​​cealaltă; în total, în ambele case sunt 51 de ferestre. Câte ferestre sunt în fiecare?

232. Într-o casă sunt cu 6 ferestre mai puține decât în ​​alta; in total ambele case au 62 de ferestre. Câte ferestre sunt în fiecare?

233. Sunt 81 de ruble în două portofele. În primul, sunt jumătate mai mulți bani decât în ​​al doilea. Câți bani sunt în fiecare?

233. Sunt 72 de ruble în două portofele. În primul, sunt de cinci ori mai puțini bani decât în ​​al doilea. Câți bani sunt în fiecare?

234. Tatăl este de trei ori mai în vârstă decât fiul, iar suma anilor amândoi este de 48 de ani. Determinați vârsta ambilor.

234. Tatăl este de două ori mai în vârstă decât fiul, iar suma celor doi ani este de 13 ani. Determinați vârsta ambilor.

235. Fiul este de patru ori mai mic decât tatăl, iar diferența dintre anii lor este de 27 de ani. Cât de mult să zbori fiecare?

235. Fiul este de cinci ori mai mic decât tatăl, iar diferența dintre anii lor este de 32 de ani. Câți ani are fiecare?

236. Sunt 47 de mere în trei coșuri, iar primul și al doilea coș sunt împărțite în mod egal, iar al treilea are cu 2 mere mai multe decât fiecare dintre celelalte. Câte mere sunt în fiecare coș?

236. Sunt 110 mere în trei coșuri, iar primul și al treilea sunt împărțiți în mod egal, iar al doilea are cu 4 mere mai puține decât fiecare dintre celelalte. Câte mere sunt în fiecare coș?

237. Cele trei bucăți de argint cântăresc împreună 48 de lire sterline. Primul este cu 12 lire mai greu decât al doilea, iar al treilea este cu 9 lire mai greu decât primul. Cât cântărește fiecare bucată?

237. Trei bucăți de argint cântăresc împreună 33 de lire.Prima este cu 5 lire mai ușoară decât a doua, iar a treia este cu 2 lire mai ușoară decât prima. Cât cântărește fiecare bucată?

238. Fiul este cu 20 de ani mai mic decât tatăl și cu 5 ani mai mare decât fiica. Suma tuturor celor trei ani este de 60 de ani. Câți ani are fiecare

238. Mama este cu 21 de ani mai mare decât fiul ei și cu 7 ani mai mică decât tatăl său. Suma tuturor celor trei ani este de 64 de ani. Câți ani are fiecare?

239. Există un total de 66 de cărți pe trei rafturi, cu de trei ori mai multe în partea de jos și de două ori mai multe pe mijloc decât în ​​partea de sus. Câte cărți sunt pe fiecare raft?

239. Sunt doar 60 de cărți pe trei rafturi, iar în partea de jos sunt de șase ori mai multe, iar în partea de sus de cinci ori mai multe decât pe cel din mijloc. Câte cărți sunt pe fiecare raft?

240. Pădurea, grădina și poiana costă împreună 10.800 de ruble. Lunca este de 2 ori mai scumpă decât grădina, iar pădurea este de 3 ori mai scumpă decât lunca. Cât costă fiecare dintre ele separat?

240. O pădure, o grădină și o poiană costă împreună 17 600 de ruble.O pădure este de 3 ori mai scumpă decât o grădină, iar o pajiște este de 4 ori mai scumpă decât o pădure. Cât costă fiecare dintre ele separat?

241. Împărțiți numărul 21 în două părți, astfel încât multiplu al raportului primei părți la a doua să fie egal cu fracția 3/4.

241. Împărțiți numărul 48 în două părți, astfel încât raportul multiplu al celei de-a doua părți la prima să fie egal cu fracția 5/3.

242. Împărțiți numărul 88 în două părți, astfel încât câturile împărțirii primei părți la 5 și a celei de-a doua la 6 să fie egale.

242. Împărțiți numărul 55 în două părți astfel încât coeficientii împărțirii primei părți la 7, a. al doilea cu 4 au fost egali.

243. Suma a două numere este 85, iar diferența lor este 15. Aflați ambele numere.

243. Suma a două numere este 72, iar diferența lor este 8. Aflați ambele numere.

244. Diferența a două numere este 8, iar raportul lor multiplu este egal cu fracția 3 / 2. Aflați aceste numere.

244. Diferența dintre două numere este 12, iar raportul lor multiplu este egal cu fracția 5/3. Găsiți aceste numere.

245. Împărțiți numărul 46 în două părți, astfel încât diferența de câte de la împărțirea primei părți la 3 și a celei de-a doua la 7 să fie egală cu 2.

245. Împărțiți numărul 59 în două părți, astfel încât diferența câturilor de la împărțirea primei părți la 3 și a celei de-a doua la 5 să fie egală cu 1.

246. Împărțiți numărul 75 în două părți, astfel încât partea mai mare să fie de trei ori diferența dintre cele două părți.

246. Împărțiți numărul 56 în două părți, astfel încât partea mai mică să fie de trei ori diferența dintre cele două părți.

247. Suma a două numere este 64. Când împărțiți un număr mai mare la unul mai mic, câtul este 3, iar restul este 4. Aflați aceste numere.

247. Suma a două numere este 45. Când un număr mai mare este împărțit la unul mai mic, câtul este 5, iar restul este 3. Aflați aceste numere.

248. Diferența a două numere este 35. Când împărțiți un număr mai mare la unul mai mic, câtul este 4, iar restul este 2. Aflați aceste numere.

248. Diferența a două numere 23. Când împărțiți un număr mai mare la unul mai mic, câtul este 2, iar restul este 11. Aflați aceste numere.

249. Unul dintre cele două numere necunoscute este mai mare decât celălalt cu 5. Dacă împărțiți numărul mai mic la 4 și numărul mai mare la 3, atunci primul coeficient va fi cu 4 mai mic decât al doilea. Găsiți ambele numere.

249. Unul dintre cele două numere necunoscute este mai mare decât celălalt cu 15. Dacă împărțiți numărul mai mare la 9 și pe cel mai mic la 2, atunci primul coeficient va fi cu 3 mai mic decât al doilea. Găsiți ambele numere.

250. Unul dintre cele două numere necunoscute este mai mic decât celălalt cu 6. Dacă împărțiți numărul mai mare la jumătate, atunci câtul rezultat va fi cu trei unități mai mic decât celălalt număr. Găsiți ambele numere.

250. Unul dintre cele două numere necunoscute este mai mic decât celălalt cu 18. Dacă împărțiți numărul mai mare la trei, atunci câtul rezultat va fi cu două unități mai mare decât celălalt număr. Găsiți ambele numere.

251. Un rezervor are de două ori mai multă apă decât celălalt; dacă turnați 16 găleți din prima în a doua, atunci vor fi cantități egale de apă în ambele. Câtă apă este în fiecare?

251. Într-un rezervor este de trei ori mai multă apă decât în ​​altul; dacă turnați 22 de găleți din prima în a doua, atunci ambele vor conține cantități egale de apă.Câtă apă este în fiecare?

252. În piață, doi comercianți au doar 220 de ouă; dacă al doilea dintre ei a dat primele 14 ouă, atunci numărul de ouă pentru fiecare dintre ele ar fi același. Câte ouă are fiecare?

252. În piață, doi comercianți au doar 186 de ouă; dacă al doilea dintre ei a dat primele 10 ouă, atunci numărul de ouă pentru fiecare dintre ele ar fi același. Câte ouă are fiecare?

253. Cineva are de 4 ori mai multe ruble în buzunarul drept decât în ​​stânga; dacă transferă 6 ruble din buzunarul drept în stânga, atunci vor fi doar de 3 ori mai mulți bani în dreapta decât în ​​stânga. Câți bani sunt în fiecare buzunar?

253. Cineva are de 3 ori mai multe ruble în buzunarul drept decât în ​​stânga; dacă, totuși, 5 ruble sunt transferate din buzunarul din stânga la dreapta, atunci dreapta va conține de cinci ori mai mulți bani decât stânga. Câți bani sunt în fiecare buzunar?

254. Când doi muncitori au fost plătiți la fabrică, primul dintre ei a primit cu 12 ruble mai mult decât al doilea pentru muncă, iar după aceea, al doilea muncitor i-a plătit 2 ruble. creanţă. S-a dovedit că primul a adus acasă de trei ori mai mulți bani decât al doilea. Cât a câștigat fiecare?

254. La calcularea a doi muncitori la fabrică, primul dintre ei a primit cu 20 de ruble mai puțin decât al doilea pentru muncă, dar, în același timp, al doilea muncitor i-a returnat 2 ruble. creanţă. S-a dovedit că primul a luat acasă jumătate din banii celui de-al doilea. Cât a câștigat fiecare?

255. Un băiat are 30 de copeici, celălalt 11. De câte ori ar trebui să dea câte o copecă fiecare, astfel încât primul să aibă de două ori mai mulți bani decât al doilea?

255. Un băiat are 48 de copeici, altul are 22 de copeici.De câte ori trebuie să cheltuiască câte o copeică pentru ca primul să aibă de trei ori mai mulți bani decât al doilea?

256. Tatăl are 40 de ani, iar fiul are 12 ani. Cu câți ani în urmă tatăl era de cinci ori mai mare decât fiul?

256. Tatăl are 49 de ani, iar fiul 11 ​​ani. Peste câți ani va fi tatăl de trei ori mai în vârstă decât fiul?

257. Un proprietar are de patru ori mai multe oi decât altul. Dacă amândoi ar cumpăra câte 9 oi fiecare, atunci primul ar avea de trei ori mai multe oi decât al doilea. Câte oi are fiecare?

257. Un moșier are de trei ori mai puține oi decât altul. Dacă ambii vând câte 10 oi fiecare, atunci primul ar avea de cinci ori mai puține oi decât al doilea. Câte oi are fiecare?

258. Tatăl este cu 39 de ani mai mare decât fiul său, iar în 7 ani va fi de 4 ori mai mare decât fiul său. Câți ani are unul și celălalt?

258. Tatăl și fiul împreună au 88 de ani, iar în urmă cu 8 ani tatăl era de 7 ori mai mare decât fiul său. Câți ani are unul și celălalt?

259. Un rezervor are 48 de găleți, iar celălalt are 22 de găleți cu apă. Din prima s-a scurs de două ori mai multă apă decât din a doua, iar apoi a rămas de trei ori mai multă apă în prima decât în ​​a doua. Câte găleți se toarnă din fiecare?

259. Într-un rezervor sunt 42 de găleți și în altul 8 găleți cu apă. În primul s-a turnat de trei ori mai multă apă decât în ​​al doilea, iar apoi s-a dovedit a fi de patru ori mai multă apă în primul decât în ​​al doilea. Câte găleți se toarnă în fiecare?

260. Două persoane, jucând cărți separat, au avut la începutul jocului - primele 72 de ruble, a doua 21 de ruble. Primul a pierdut de trei ori mai mult decât a câștigat al doilea. După joc, primul jucător a avut de două ori mai mulți bani decât al doilea jucător. Cât de mult a câștigat al doilea și a pierdut primul?

260. Două persoane, jucând cărți separat, au avut la începutul jocului - primele 25 de ruble, a doua 12 ruble. Primul a câștigat de două ori mai mult decât a pierdut al doilea. După joc, primul jucător s-a dovedit a avea de cinci ori mai mulți bani decât al doilea. Cât a pierdut al doilea și cât a câștigat primul?

261. Vânzătorul ambulant a vândut pentru prima dată o parte din 2/7 din numărul de mere pe care le avea, pentru a doua oară p din același număr; apoi i-au mai rămas doar 8 mere. Câte mere a avut?

261. Colportul a vândut prima dată 1/9 din numărul de mere pe care le avea, a doua oară 5/6 din același număr; apoi i-au mai rămas doar 4 mere. Câte mere a avut?

262. Mai întâi, din rezervorul de apă a fost turnată o treime din cantitatea totală de apă, apoi 5/6 din restul, iar apoi au rămas doar 6 găleți. Câtă apă era în rezervor?

262. Mai întâi s-au turnat 3/5 din cantitatea totală din rezervorul de apă, apoi 3/4 din restul, iar apoi au rămas doar 5 găleți. Câtă apă era în rezervor?

263. Într-o societate erau 40 de bărbați, femei și copii. Numărul femeilor a fost 3/5 din numărul bărbaților, iar numărul copiilor a fost 2/3 din numărul bărbaților și femeilor împreună. Câți bărbați, femei și copii erau acolo?

263. Într-o societate erau 72 de bărbați, femei și copii. Numărul bărbaților a fost 2/3 din numărul femeilor, iar numărul copiilor a fost 4/5 din numărul bărbaților și femeilor împreună. Câți bărbați, femei și copii erau acolo?

264. Pentru 30 de arshin de pânză din două soiuri, s-au plătit doar 128 de ruble; un etalon de clasa întâi costă 4 1/2 ruble, iar un etalon de clasa a doua costă 4 ruble. Câte arshine din ambele clase au fost cumpărate?

264. Numai 120 de ruble s-au plătit pentru 27 de arshine de pânză de două grade; arshin de clasa întâi costă 5 ruble; arshin al doilea 3 p. 75 k.. Câte arshine din ambele certificate au fost cumpărate?

265. Negustorul de ceai a vândut 38 de lire de ceai din două soiuri, la prețul de 3 lei. pe kilogram de clasa I și 1 p. 60 de copeici pe kilogram de clasa a doua și, în același timp, a câștigat cu 22 de ruble mai mult pentru întreaga clasă întâi decât pentru a doua. Câte ceaiuri din ambele soiuri s-au vândut?

265. Un comerciant de ceai a vândut 110 de lire de ceai din două soiuri, la un preț de 4 1/2 r. pe kilogram de clasa I și 2 p. 25 k. pentru o liră din clasa a doua și, în același timp, a câștigat cu 45 de ruble mai puțin pentru clasa întâi decât pentru a doua. Câte ceaiuri din ambele soiuri s-au vândut?

266. Antreprenorul a angajat un angajat cu condiția să-i plătească 90 de copeici. pentru fiecare zi lucrătoare și scădeți din aceasta 40 de copeici. pentru fiecare zi nelucrătoare. După 12 zile, muncitorul a primit 6 r. 90 k.. Câte zile a muncit?

266. Antreprenorul a angajat un angajat cu condiția să-i plătească 80 de copeici. pentru fiecare zi lucrătoare și scădeți din aceasta 50 de copeici. pentru fiecare zi nelucrătoare. După 50 de zile, muncitorul a primit 21 de ruble. 80 în .. Câte zile a sărit?

267. DARȘi ÎN joacă biliard cu condiția ca câștigătorul jocului să primească 76 k de la învins; după 20 de jocuri s-a dovedit că ÎN a castigat doar 4 r. 50 k.. Câte jocuri a câștigat?

267 DARȘi ÎN joacă biliard cu condiția ca câștigătorul jocului să primească 50 k de la învins; după 12 jocuri s-a dovedit că DAR a castigat doar de 2 ori.Cate jocuri a pierdut?

268. Doi curieri au plecat în același timp din două orașe situate la o distanță de 300 de mile și se deplasează unul spre celălalt. Primul călătorește cu 12 verste pe oră, al doilea cu 13 verste. Când se vor întâlni?

268. Doi curieri au plecat în același timp din două orașe situate la o distanță de 280 de mile și se îndreaptă unul spre celălalt. Primul călătorește cu 11 verste pe oră, al doilea cu 17 verste. Când se vor întâlni?

269. din două stații calea ferata, situat la o distanta de 77 de verste, doua trenuri pleaca in acelasi timp si merg in aceeasi directie cu viteze de 31 1/2 verste si 18 2/3 verste pe ora, primul urmand celui de-al doilea. Când va ajunge din urmă?

269. Din două gări situate la o distanță de 38 verste pleacă simultan două trenuri și merg în aceeași direcție cu viteze de 25 verste 1/4 și 20 verste 1/2 pe oră, primul urmând celui de-al doilea. Când va ajunge din urmă?

270. Un tren de pasageri pleacă din gară la ora 12, făcând 32 in. la ora unu. După 45 de minute, un tren de curier părăsește aceeași stație, făcând 42 in. la ora unu. La ce oră va depăși trenul de curierat trenul de călători?

270. Un tren de călători pleacă din gară la ora 9 dimineața, făcând 28 in. la ora unu. O oră și un sfert mai târziu, un tren de curierat părăsește aceeași stație, producând 40 de volți. la ora unu. La ce oră va depăși trenul de curierat trenul de călători?

271. Ce capital trebuie dat în creștere la 6% pentru a obține un profit de 224 de ruble într-un an și 2 luni?

271. La ce capital trebuie renunțat pentru creștere la 8% pentru a primi un profit de 182 de ruble în 7 luni?

272. Câtă dobândă trebuie acordată creșterii capitalului de 4400 de ruble pentru a primi un profit de 280 de ruble într-un an și 5 luni. 50 k.?

272. Cu câtă dobândă trebuie plătită un capital de 1.800 de ruble ca dobândă pentru a primi un profit de 93 de ruble în 11 luni. 60 k.?

273. Comerciantul, după ce a vândut mărfurile pentru 299 de ruble, a câștigat 15% din profit. Cat il costa produsul?

273. Un comerciant, care a vândut mărfuri pentru 161 de ruble, a primit 7 1/2% din profit. Cat il costa produsul?

274. La vânzarea mărfurilor în valoare de 429 p. primit cu o pierdere de 2 1/2%. Care este prețul unui produs?

274. La vânzarea mărfurilor în valoare de 366 de ruble. primit cu pierdere 8 1 / 2 % Care este costul mărfurilor?

275. Pe factura cu 10 luni înainte de scadență, s-au plătit 1120 de ruble, contabilitatea comercială fiind de 8%. Găsiți moneda bancnotei.

275. Pe o factură de 1 an cu 3 luni înainte de scadență, s-au plătit 839 de ruble. 60 cop. cu contabilitatea comercială la 7%. Găsiți moneda bancnotei.

276. Piscina se umple cu o conducta la ora 3, cealalta la ora 5. Cât timp va dura să se umple dacă ambele conducte sunt deschise în același timp?

276. Bazinul se umple cu o conductă la ora 7 1/2, cealaltă la ora 5. Cât timp va dura să se umple dacă ambele conducte sunt deschise în același timp?

277. Piscina este umplută cu o țeavă la ora 4, iar prin cealaltă poate curge toată la ora 6. La ce oră se va umple piscina cu acțiunea simultană a ambelor conducte?

277. Piscina se umple cu o țeavă la 2 1/3 ore, iar prin cealaltă poate curge totul la 2 ore 48 ore. Cât timp se va umple piscina cu acțiunea simultană a ambelor țevi?

278. Doi muncitori termină împreună munca la 3 ore și 36 de minute; primul îl poate executa la ora 6. La ce oră va face a doua persoană aceeași muncă?

278. Doi muncitori termină împreună munca la ora 12; primul îl poate executa la ora 20. La ce oră va face al doilea aceeași muncă?

279. În piscină sunt trei țevi; apa intră prin primele două, iese prin al treilea. Prin prima teava se poate umple piscina la ora 3, prin a doua la ora 2, iar prin a treia, toata apa poate iesi din bazin la ora 6. La ce oră se va umple piscina dacă toate cele trei conducte sunt deschise?

279. În bazin sunt trei conducte; apa intră prin primele două, iese prin al treilea. Prin prima teava se poate umple piscina la ora 2, prin a doua la ora 5, iar prin a treia, toata apa poate iesi din bazin la ora 10. La ce oră se va umple piscina dacă toate cele trei conducte sunt deschise?

280. Dintre cele trei conducte trase în bazin, prima o umple la ora 5, a doua o umple la ora 15, iar prin a treia toată piscina curge la ora 3. Cât timp va dura ca o piscină plină să se scurgă dacă toate conductele sunt active în același timp?

280. Dintre cele trei conducte trase în bazin, prima o umple la ora 6, a doua o umple la ora 18, iar prin a treia întregul bazin iese la ora 3. Cât timp va dura până când piscina plină să se scurgă dacă toate conductele funcționează simultan?

281. Al doilea tren al căii ferate pleacă de la DARîn ÎN cu o viteză medie de 30 de mile pe oră, apoi se întoarce din ÎNîn DAR cu o viteză de 28 de mile pe oră. Face toată călătoria acolo și înapoi la 2 ore și jumătate. La câte mile de DAR inainte de ÎN?

281. Al doilea tren al căii ferate merge din DARîn ÎN cu o viteză medie de 24 de mile pe oră, apoi se întoarce din ÎNîn DAR cu o viteză de 30 de mile pe oră. El face toată călătoria acolo și înapoi la 11 ore și jumătate. La câte mile de DAR inainte de ÎN?

282. Din DARîn ÎN a ieșit un tren care trecea la o oră de 20 de verste. După 8 ore trenul pleacă ÎNîn DAR, trecând de 30 in. la ora unu. Distanţă AB este egal cu 350 V.. La ce distanta de DAR trenurile se întâlnesc?

282. Din DARîn ÎN a ieșit un tren care trecea la ora de 24 de verste. Trenul pleacă în 5 ore. ÎNîn DAR trecând 28 c. la ora unu. Distanţă AB egal cu 380 in., La ce distanță de ÎN trenurile se întâlnesc?

283. Suma a trei numere este 70. Al doilea număr, atunci când este împărțit la primul, dă un coeficient de 2 și un rest de 1, al treilea, când este împărțit la al doilea, dă un coeficient de 3 și un rest de 3. Găsiți aceste numere.

283. Suma a trei numere este 60. Al doilea număr, împărțit la primul, dă un coeficient de 3 și un rest de 2, al treilea, când este împărțit la al doilea, dă un coeficient de 2 și un rest de 4. Găsiți numerele.

284. Găsiți un număr care, împărțit la 5, lasă un rest de 2, iar când este împărțit la 8, dă restul de 5, știind că primul coeficient este de trei ori mai mare decât al doilea.

284. Găsiți un număr care, împărțit la 7, lasă un rest de 2, iar când este împărțit la 9, dă un rest de 4, știind în plus. că primul coeficient este cu două mai mare decât al doilea.

285. Cineva, vrând să împartă săracilor banii pe care îi avea cu el, a socotit că dacă fiecăruia i se dau câte 15 copeici, atunci nu i-ar fi de ajuns 10 copeici, iar dacă fiecăruia i-ar fi dat câte 13 copeici, atunci ar rămâne 6 copeici în plus. Câți cerșetori erau și câți bani?

285. Cineva, vrând să împartă săracilor banii pe care îi avea cu el, a socotit că dacă tuturor li s-ar da 8 copeici, atunci ar rămâne 4 copeici. de prisos, iar dacă toată lumea primește 9 copeici, atunci 2 copeici nu vor fi suficiente .. Câți cerșetori au fost și câți bani?

286. Inginerul plasează stâlpi de telegraf la o oarecare distanță. Daca i-ar fi asezat la o distanta de 25 de brazi unul de altul, atunci ar fi trebuit sa mai faca inca 150 de stalpi, iar daca ar fi marit distanta dintre stalpi cu 5 brazi, atunci 70 de stalpi ar fi fost in plus. Cat de mare este distanta si cati stalpi sunt facuti?

286. Un inginer așează stâlpi de telegraf la o oarecare distanță. Daca i-ar fi asezat la o distanta de 30 de brazi unul de altul, atunci ar fi lasat 100 de stalpi in plus, iar daca ar fi redus distanta stalpilor cu 4 brazi, atunci ar fi trebuit sa se faca alti 180 de stalpi. Cat de mare este distanta si cati stalpi sunt facuti?

287. Cineva, când a angajat un servitor, i-a promis pentru un an de serviciu să plătească bani și 144 de ruble. și dă haine. Servitorul a plătit după 7 luni și a primit haine și 54 de ruble în plată. Cat au costat hainele?

287. La angajarea unui servitor, cineva a promis că îi va plăti 75 de ruble în bani pentru 7 luni de serviciu și îi va da haine. Servitorul a plătit după 5 luni și a primit haine și 45 de ruble în plată. Care este costul îmbrăcămintei?

288. Plătit pentru 46 de lire de zahăr pentru 195 de ruble. mai mult de 73 de kilograme de ceai; 9 puds de zahăr costă cu 30 de ruble mai puțin de 37 de lire de ceai. Cât valorează un kilogram de ceai și un pud de zahăr?

288. Plătit pentru 21 de lire de ceai pentru 238 de ruble mai puțin decât pentru 40 de lire de zahăr; 15 kilograme de ceai costă 2 ruble. mai scump decât 4 puds de zahăr. Cât valorează un kilogram de ceai și un pud de zahăr?

289. Proprietarul a angajat doi țărani pentru același salariu zilnic. Unul dintre ei timp de 40 de zile, a dat 7 p. 50 de copeici în bani și 3 1/2 sferturi de ovăz, alte 4 ruble în 24 de zile. 80 k. în numerar și 2 sferturi de ovăz. Cât valorează un sfert de ovăz?

289. Latifundiarul a angajat doi tarani pentru acelasi salariu zilnic. I-a dat 14 ruble unuia dintre ei în 56 de zile. bani si 8 sferturi de ovaz, altul pentru 88 de zile 13 p. 50 k. în numerar și 15 sferturi de ovăz. Cât costă un sfert de ovăz?

290. Plătit pentru 25 de arshins de pânză și 21 de arshins. catifea 247 ruble. Se stie ca 10 arsh. catifea costă 18 ruble mai mult decât 13 arshins de pânză. Ce merită un arshin din ambele?

290. Plătit pentru 15 arshine de catifea și 52 arshins. pânză 276 de ruble. Se stie ca 2 arsh. catifea a costat 17 ruble mai puțin decât 11 arsh. pânză. Ce merită un arshin din ambele?

291. Suma cifrelor unui număr din două cifre este 12. Dacă 18 este scăzut din numărul dorit, atunci obțineți un număr indicat de aceleași cifre, dar scris în ordine inversă. Găsiți acest număr.

291. Diferența dintre cifrele unităților și zeci de un număr din două cifre este egală cu 3. Dacă la numărul dorit se adaugă 27, atunci obținem un număr indicat de aceleași cifre, dar scris în ordine inversă. Găsiți acest număr.

292. Într-un număr de două cifre, numărul zecilor este de două ori mai mare decât numărul unităților. Dacă rearanjam cifrele acestui număr, atunci obținem un număr mai mic decât cel dorit cu 36. Găsiți acest număr.

292. Într-un număr de două cifre, numărul zecilor este de trei ori mai mic decât numărul unităților. Dacă rearanjam cifrele acestui număr, obținem un număr mai mare decât cel dorit cu 36. Găsiți acest număr.

293. A jucând șah cu ÎNși câștigă trei din patru jocuri împotriva lui, apoi joacă cu DINși câștigă două din trei jocuri împotriva acestuia din urmă. Total DAR a jucat 21 de jocuri și a câștigat 15 dintre ele.Cu câte jocuri a jucat ÎN si cu DIN?

293. DAR jucând șah cu ÎNși pierde în fața lui trei din opt jocuri, apoi joacă cu el DINși pierde două din cinci jocuri până la ultimul. În întregime DAR a jucat 26 de jocuri și a pierdut din ele 10. Cu câte jocuri a jucat ÎN si cu DIN?

294. Cât este ceasul acum dacă 1/5 din numărul de ore de la prânz este 1/3 din numărul de ore până la miezul nopții?

294. Cât este ceasul acum, dacă 1/11 din numărul de ore care au trecut de la prânz este egal cu 1/13 din numărul de ore rămase până la miezul nopții?

295. Aflați greutatea peștelui, știind că coada cântărește 2 kilograme, capul cântărește atât cât coada și jumătate din corp, iar corpul cântărește cât capul și coada.

295. Aflați greutatea peștelui, știind că capul său cântărește 7 kilograme, coada cântărește cât cântăresc capul și jumătate din corp, iar corpul cântărește cât coada și capul.

296. O anumită sumă trebuie împărțită la două persoane, astfel încât părțile primei și celei de-a doua să fie legate între ele precum numerele 5 și 3, iar acea parte a primei să fie de 50 de ruble. peste 5/9 din total. Cât de mare este fiecare parte?

296. O anumită sumă trebuie împărțită între două persoane, astfel încât părțile primei și celei de-a doua să fie legate între ele ca numerele 7 și 4, iar partea celei de-a doua să fie de 21 de ruble. mai puțin de 5/12 din întreaga sumă. Cât de mare este fiecare parte?

297. Produsul a fost vândut cu o pierdere de 420 de ruble; dacă ar fi vândut cu 570 de ruble, atunci profitul primit ar fi de 5 ori mai mare decât pierderea suferită. Care este prețul unui produs?

297. Mărfuri vândute la un profit pentru 520 de ruble; dacă ar fi fost vândut cu 320 de ruble, atunci ar fi existat o pierdere în valoare de 3/7 din încasări. Care este prețul unui produs?

298. Numărul de arshins de calico conținute în trei bucăți este raportat ca 2:3:5. Dacă tăiați 4 arshin-uri din prima bucată, 6 arshin-uri din a doua. iar din al treilea 10 arsh., atunci cantitatea rămasă din întregul chintz va fi 5/6 din suma precedentă. Câți arshin-uri sunt în fiecare piesă?

298. Numărul de arshins de calico conținute în trei bucăți este 3:5:8. Dacă sunt tăiate din primele 10 arshins, din a doua 20 arshins. iar din al treilea 30 arsh., atunci cantitatea rămasă din întregul chintz va fi 5/8 din suma precedentă. Câți arshin-uri sunt în fiecare piesă?

299. Mai întâi, jumătate din toată apa din ea și jumătate din găleată au fost turnate din rezervor, apoi jumătate din restul și jumătate din găleată, în cele din urmă încă o jumătate din restul și jumătate din găleată; după aceea, în rezervor au rămas 6 găleți. Câtă apă era la început?

299. O treime din apa care era în ea și o treime dintr-o găleată au fost turnate din rezervor, apoi o treime din restul și o treime din găleată, în cele din urmă încă o treime din restul și o treime din găleată; dupa aceea au ramas 7 galeti in rezervor.Cata apa era la inceput?

300. Mai multe persoane împart o anumită sumă după cum urmează; primul ia 100 r. și o cincime din restul, a doua 200 de ruble și o cincime din noul sold, a treia 300 de ruble și o cincime din restul etc. S-a dovedit că întreaga sumă a fost împărțită în părți egale. Cât de mare este această sumă, câți participanți sunt în divizie și cât a primit fiecare?

300. Mai multe persoane împart o anumită sumă după cum urmează: primul primește 50 de ruble și o șase din sold, al doilea 100 de ruble și o șase din noul sold, al treilea 150 de ruble și o șase din restul etc. a constatat că întreaga sumă a fost împărțită în părți egale. Cât de mare este această sumă, câți participanți sunt în divizie și cât a primit fiecare?

Următoarele sarcini diferă de cele anterioare prin faptul că datele sunt exprimate implicit, și anume cu litere. Aceste sarcini aparțin acelorași tipuri ca și cele anterioare. La rezolvarea acestora se repetă cele mai importante dintre acele tehnici care au fost folosite anterior, dar, datorită formei implicite a datelor, raționamentul este mai general și în același timp mai abstract. În noile exerciții, la fel ca și în cele precedente, trebuie în primul rând să aveți grijă să exprimați prin necunoscuta principală și prin denumirile date toate cantitățile care sunt menționate direct în problemă sau care sunt implicate în aceasta, iar în aceasta. în cazul în care trebuie să se țină cont în mod consecvent de atenția tuturor denumirilor date în problemă, și a tuturor condițiilor legate de date și de cele căutate, când în acest fel se vor folosi toate condițiile în caz, apoi gândul la cum să se facă. compune ecuația necesară va apărea ea însăși.

301. Diferența a două numere s q . Găsiți ambele numere.

301. Diferența a două numere d , raportul multiplu dintre cel mai mare și cel mai mic q . Găsiți ambele numere.

302. Împărțiți un număr dar în trei părți, astfel încât prima parte să fie mai mare decât a doua printr-un număr T și mai puțin de o treime P o singura data.

302. Împărțiți un număr dar în trei părți, astfel încât prima parte să fie mai mică decât a doua printr-un număr T și mai mult de o treime P o singura data.

303. Un număr înăuntru dar ori mai puțin decât celălalt. Dacă adaugi la primul număr T , iar la al doilea P , atunci prima sumă va fi în b ori mai puțin decât al doilea. Găsiți aceste numere.

303. Un număr în dar ori mai puțin decât celălalt. Dacă scadem din primul T , iar din a doua P , atunci prima diferență va fi în b ori mai mult decât al doilea. Găsiți aceste numere.

304. Numărul unei fracții este mai mic decât numitorul ei cu un număr dar ; Dacă, totuși, fracțiile se scad din ambii membri prin b T / P . Găsiți termenii unei fracții.

304. Numărătorul unei fracții este mai mare decât numitorul ei cu un număr dar . Dacă adunăm la ambii membri ai fracției prin b , atunci obțineți o fracție egală cu fracția T / P . Găsiți termenii unei fracții.

305. Împărțiți un număr dar R ori mai mult decât al doilea şi q ori mai puțin de o treime.

305. Împărțiți un număr dar în trei părți astfel încât prima a fost. în R ori mai puţin decât al doilea şi q ori mai mult de o treime.

306. Numitorul unei fracții este cel mai mare numărător al acesteia în dar o singura data. Dacă la numărător adăugăm numărul b și scădeți numărul de la numitor din , atunci obțineți o fracție egală cu fracția k /l . Găsiți termenii unei fracții.

306. Numitorul unei fracții este mai mic decât numărătorul ei în dar o singura data. Dacă scădem numărul din numărător b și adăugați un număr la numitor din , apoi învață o fracție egală cu fracția k /l . Găsiți termenii unei fracții.

307. Împărțiți un număr T în două părți astfel încât diferența dintre coeficienti de la împărțirea primei părți la dar iar al doilea mai departe b i-ar plăcea r.

307. Împărțiți un număr T în două părți astfel încât suma coeficientilor de la împărțirea primei părți la dar iar al doilea mai departe b ar fi egal s .

308. Un angajat primește pentru fiecare zi lucrătoare dar copeici, iar pentru fiecare nefuncțional se deduc b copeici. După expirarea P zile, venitul net al lucrătorului este egal cu s ruble. Câte zile lucrătoare și câte zile nelucrătoare?

308. Un salariat primeste pentru fiecare zi lucratoare dar copeici, iar pentru fiecare nefuncțional se scad din acesta b copeici. După expirarea P zile, angajatul trebuie să plătească el însuși 5 ruble Câte zile lucrătoare și câte zile nelucrătoare?

309. Diferența a două numere d . Împărțirea minuendului la subtraend dă câtul q iar un rest egal cu jumătate din diferență. Găsiți acele numere

309. Diferența a două numere d . Împărțirea minuendului la subtraend dă restul r și un coeficient egal cu jumătate din diferență. Găsiți aceste numere.

310. Pentru câteva arshine de pânză. plătit dar ruble; dacă am cumpăra mai multă pânză din b

310. Plătit pentru câteva arshine de pânză dar ruble; dacă am cumpăra pânză cu mai puțin din arshin, atunci ar trebui să plătești b ruble. Câte arshine au fost cumpărate?

311. Ce număr, atunci când este înmulțit cu A , va crește cu numărul T ?

311. Ce număr, fiind împărțit la dar , scade cu numărul T ?

312. Când vinde o casă pentru m ruble primite R pierdere la sută. Cât l-a costat pe vânzătorul însuși?

312. La vânzarea unei case pt T rubla primită R profit procentual. Cât l-a costat pe vânzătorul însuși?

313. Doi curieri pleacă în același timp din două locuri DARȘi ÎNși călătoriți în aceeași direcție DAR la ÎNși așa mai departe. ІІPrima trecere într-o oră dar verst, al doilea b verstă. Distanţă AB egală d verstă. Când și cât de departe de DAR Primul curier îl va depăși pe al doilea?

313. Doi curieri pleacă în acelaşi timp din două locuri DARȘi ÎNși mergeți unul spre celălalt. Primul trece într-o oră dar verst, al doilea b verstă. Distanţă AB egală d verstă. Când. si cat de departe de DAR se vor întâlni ambii curieri?

314. Roata din față a căruciorului are o circumferință de dar picioare, circumferinta spate b ft. Cât de departe trebuie să parcurgă căruciorul pentru ca roata din față să ajungă P turatii mari in marsarier?

314. Roata din față a căruciorului are un cerc pus dar picioare mai puțin decât spatele. Cât de departe trebuie să parcurgă căruciorul pentru ca roata din față să ajungă T , iar spatele P revoluții?

315. Două țevi sunt duse în piscină, ambele umplute, prima cu o acțiune separată dar ore, al doilea tot cu o acțiune separată în b ore. La ce oră se va umple piscina cu acțiunea simultană a ambelor conducte?

315. Două țevi sunt duse în bazin, dintre care prima, cu o acțiune separată, o umple. dar ore, iar al doilea, de asemenea, într-o acțiune separată, toarnă toată piscina în b ore. Cât timp va dura umplerea piscinei cu funcționarea simultană a ambelor conducte?

316. Circumferința roții echipajului dar de ori circumferința roții din față. Echipajul a trecut T picioare, iar făcând acest lucru, roata din față a făcut la revoluții mai mult decât spatele. Determinați circumferința ambelor roți și numărul de rotații.

316. Circumferința roții din față pe dar picioare mai mici decât circumferința din spate. Echipajul a trecut T picioarele și, în același timp, roata din spate a intrat la de ori mai puține revoluții decât frontul. Determinați circumferința ambelor roți și numărul de rotații.

317. Populația unui oraș crește anual cu R % faţă de populaţia anului precedent. În prezent în oraș T

317. Populația unui oraș scade anual cu R % faţă de populaţia anului precedent. În prezent în oraș T rezidenți. Câți oameni erau acum 3 ani?

318. Doi muncitori, care lucrează în același timp, își termină munca în dar ore. Unul primul va face aceeași treabă b , ori mai repede decât o secundă. La ce oră va termina munca fiecare muncitor?

318. Doi muncitori, lucrând în același timp, termină munca în dar ore. Unul primul va face aceeași treabă în b , ori mai lent decât o secundă. La ce oră termină fiecare muncitor lucrul?

319. Barcagiul, vâslând pe râu, înoată P sazhen in t ore; vâslit împotriva curentului, el folosește Și mai multe ore pentru a înota pe aceeași distanță. Determinați debitul orar.

319. Un barcagiu, vâslit împotriva curentului, înoată P sazhen in t ore; vâslit în aval, folosește Și ore mai puțin pentru a înota aceeași distanță. Determinați debitul orar.

320. Corp DAR deplasându-se cu o viteză v metri pe secundă. Cât de repede ar trebui să se miște celălalt corp? ÎN, venind din acelasi loc t secunde mai devreme dacă a fost depășit de corp DAR peste Și secunde după începerea mișcării acestui corp?

320. Corp A deplasându-se cu o viteză v metri pe secundă. Cât de repede ar trebui să se miște celălalt corp? ÎN venind din acelasi loc Și secunde mai târziu dacă ajunge din urmă cu corpul DAR prin și câteva secunde după începerea mișcării sale?

321. Dintre cele două soiuri de mărfuri, la un preț de dar ruble și b ruble pe liră, compilate d T ruble per liră primită s pierdere de ruble. Câte kilograme de ambele feluri au intrat în prepararea amestecului?

321. Din două soiuri de mărfuri, la un preţ de dar ruble și b ruble pe liră, compilate d kilograme de amestec. La vânzarea acestui amestec de către T ruble per liră primită s profitul rublelor. Câte kilograme de ambele feluri au intrat în prepararea amestecului?

322. Piscina B, primitoare T găleți, s-au pus două țevi. Primul se toarnă în piscină dar găleți pe oră. Al doilea toarnă toată piscina în b ore. La ce oră va fi umplută piscina cu funcționarea simultană a ambelor conducte?

322. Spre bazinul care contine T găleți, s-au pus două țevi. Primul umple întreaga piscină dar ore. Al doilea într-o oră se revarsă din piscină b găleți. La ce oră va fi umplută piscina cu funcționarea simultană a ambelor conducte?

323. Împărțiți un număr dar în trei părți, astfel încât prima se referă la a doua, ca t:p , iar al doilea până la al treilea, ca p: q.

323. Împărțiți un număr dar în trei părți, astfel încât a doua se referă la prima, ca t:p , iar al treilea la al doilea, ca p: q.

324. Din două locuri DARȘi ÎN P sazhen, două bărci navighează una spre alta, conduse de vâslași cu aceeași forță. Primul, plutind în aval, parcurge întreaga distanță ABîn t ore; al doilea, înot împotriva curentului, folosește aceeași distanță mai mult timp pentru Și ore. Determinați debitul orar.

324. Din două locuri DARȘi ÎN pe râu, despărțiți unul de altul prin P sazhen, două bărci navighează una spre alta, conduse de vâslași cu aceeași forță. Primul, înotând împotriva curentului, parcurge întreaga distanță ABîn t ore; al doilea, mergând cu fluxul, folosește mai puțin timp pe aceeași distanță Și ore. Determinați debitul orar.

325. Determinați majusculele a trei persoane, știind că prima și a doua au împreună T ruble, al doilea cu al treilea P ruble, și că capitala primului R ori mai puţin decât capitalul celui de-al treilea.

325. Determinați majusculele a trei persoane, știind că prima și a treia au împreună T ruble, al doilea cu al treilea P ruble, și că capitala primului R ori capitalul celui de-al doilea.

326. Două corpuri se deplasează unul spre celălalt din două locuri la distanță d metri. Primul se mișcă cu o viteză v metri pe secundă. Cu ce ​​viteză ar trebui să se miște al doilea corp dacă a atins h secunde mai târziu decât primul și ar trebui să meargă înainte de întâlnirea tuturor P secunde?

326. Două corpuri se deplasează unul spre altul din două locuri la distanță d metri. Primul se mișcă cu o viteză v metri pe secundă. Cu ce ​​viteză trebuie să se miște al doilea corp dacă a ajuns h secunde înainte de primul și ar trebui să meargă până la întâlnirea tuturor P secunde?

327. Billet la ordin redus comercial R % in spate P cu ani înainte de termenul limită, acordă mai multă considerație matematică, făcută tot conform R % si pentru P ani, mai departe dar ruble. Găsiți moneda săptămânii.

327. O factură redusă comercial R % in spate P ani, stă în picioare T ruble mai ieftine decât la contabilitatea matematică, făcută tot conform R % si pentru P ani Care este suma facturii?

328. Doi curieri părăsesc locurile DARȘi B situat la distanta d verstă, și se îndreaptă spre, trecând la prima oră u versiunea și a doua v verste; plecarea primului DAR a avut loc pe h ÎN. Stabiliți când și unde se vor întâlni curierii?

328. Doi curieri lasa locuri DARȘi B situat la distanta d verstă, și amândoi merg în aceeași direcție, trecând la o oră sau la una Și verstă și secundă v verste; plecare mai întâi din DAR a avut loc pe h cu ore înainte de plecarea celui de-al doilea B. Stabiliți când și unde îl va depăși primul curier pe al doilea?

329. Împărțiți un număr dar în astfel de trei părți, încât dacă te atașezi la prima T , al doilea este mai întâi redus cu m , și apoi înmulțiți cu P , și împarte pe al treilea în P , atunci rezultatele vor fi aceleași.

329. Împărțiți un număr dar în astfel de trei părți încât dacă prima este redusă cu T , primul crește pe al doilea cu T , apoi înmulțiți cu P , și împarte pe al treilea în P , atunci rezultatele vor fi aceleași.

330. Există trei țevi în piscină. A, BȘi DIN. Peste tot DARȘi DIN apa curge prin ÎN DARȘi ÎN piscina se umple T ore, sub acţiune DARȘi Cîn P ore, sub acţiune ÎNȘi DINîn R ore. La ce oră se va umple piscina cu acțiunea simultană a tuturor celor trei conducte?

330. Trei conducte sunt duse în bazin A, BȘi DIN. Peste tot DAR apa curge prin ÎNȘi DIN urmează. Cu acţiunea comună a conductelor DARȘi ÎN piscina se umple T ore, sub acţiune DARȘi DINîn P ceas, țevi ÎNȘi DIN turnați toată piscina în R ore. Cât timp va dura până când întreaga piscină se scurge dacă toate cele trei conducte funcționează simultan?

Acest articol continuă tema ecuației unei drepte pe un plan: luați în considerare acest tip de ecuație, ca ecuație generală Drept. Să definim o teoremă și să dăm dovada acesteia; Să ne dăm seama ce este o ecuație generală incompletă a unei linii drepte și cum să facem tranziții de la o ecuație generală la alte tipuri de ecuații ale unei linii drepte. Vom consolida întreaga teorie cu ilustrații și rezolvarea problemelor practice.

Fie dat un sistem de coordonate dreptunghiular O x y pe plan.

Teorema 1

Orice ecuație de gradul întâi, având forma A x + B y + C \u003d 0, unde A, B, C sunt numere reale (A și B nu sunt egale cu zero în același timp) definește o linie dreaptă în un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan. La rândul său, orice linie dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan este determinată de o ecuație care are forma A x + B y + C = 0 pentru un anumit set de valori A, B, C.

Dovada

Această teoremă constă din două puncte, vom demonstra fiecare dintre ele.

1. Să demonstrăm că ecuația A x + B y + C = 0 definește o dreaptă pe plan.

Să existe un punct M 0 (x 0 , y 0) ale cărui coordonate corespund ecuației A x + B y + C = 0 . Astfel: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Scădeți din partea stângă și dreaptă ale ecuațiilor A x + B y + C \u003d 0 laturile stânga și dreaptă ale ecuației A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, obținem o nouă ecuație care arată ca A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Este echivalent cu A x + B y + C = 0 .

Ecuația rezultată A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 este o condiție necesară și suficientă pentru perpendicularitatea vectorilor n → = (A, B) și M 0 M → = (x - x) 0, y - y 0). Astfel, mulțimea punctelor M (x, y) definește într-un sistem de coordonate dreptunghiular o dreaptă perpendiculară pe direcția vectorului n → = (A, B) . Putem presupune că nu este așa, dar atunci vectorii n → = (A, B) și M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) nu ar fi perpendiculari, iar egalitatea A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 nu ar fi adevărat.

Prin urmare, ecuația A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 definește o linie într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan și, prin urmare, ecuația echivalentă A x + B y + C \u003d 0 definește aceeași linie. Astfel am demonstrat prima parte a teoremei.

1. Să demonstrăm că orice dreaptă dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan poate fi dată printr-o ecuație de gradul I A x + B y + C = 0 .

Să stabilim o linie dreaptă a într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan; punctul M 0 (x 0 , y 0) prin care trece această dreaptă, precum și vectorul normal al acestei drepte n → = (A , B) .

Să existe și un punct M (x , y) - un punct flotant al dreptei. În acest caz, vectorii n → = (A , B) și M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) sunt perpendiculari între ei, iar produsul lor scalar este zero:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Să rescriem ecuația A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , definim C: C = - A x 0 - B y 0 și în final obținem ecuația A x + B y + C = 0 .

Deci, am demonstrat a doua parte a teoremei și am demonstrat întreaga teoremă ca întreg.

Definiția 1

O ecuație care arată ca A x + B y + C = 0 - acest ecuația generală a unei drepte pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiularO x y .

Pe baza teoremei demonstrate, putem concluziona că o dreaptă dată pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular fix și ecuația sa generală sunt indisolubil legate. Cu alte cuvinte, linia originală corespunde ecuației sale generale; ecuația generală a unei drepte corespunde unei drepte date.

De asemenea, din demonstrarea teoremei rezultă că coeficienții A și B pentru variabilele x și y sunt coordonatele vectorului normal al dreptei, care este dat de ecuația generală a dreptei A x + B y + C = 0 .

Considera exemplu concret ecuația generală a unei drepte.

Să fie dată ecuația 2 x + 3 y - 2 = 0, care corespunde unei linii drepte într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat. Vectorul normal al acestei linii este vectorul n → = (2, 3) ​​. Desenați o linie dreaptă dată în desen.

Se mai poate argumenta și următoarele: linia dreaptă pe care o vedem în desen este determinată de ecuația generală 2 x + 3 y - 2 = 0, deoarece coordonatele tuturor punctelor unei drepte date corespund acestei ecuații.

Putem obține ecuația λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 prin înmulțirea ambelor părți ale ecuației drepte generale cu un număr diferit de zero λ. Ecuația rezultată este echivalentă cu ecuația generală inițială, prin urmare, va descrie aceeași dreaptă în plan.

Definiția 2

Ecuația generală completă a unei linii drepte- o astfel de ecuație generală a dreptei A x + B y + C \u003d 0, în care numerele A, B, C sunt diferite de zero. În caz contrar, ecuația este incomplet.

Să analizăm toate variațiile ecuației generale incomplete a dreptei.

1. Când A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, ecuația generală devine B y + C \u003d 0. O astfel de ecuație generală incompletă definește o linie dreaptă într-un sistem de coordonate dreptunghiular O x y care este paralelă cu axa O x, deoarece pentru orice valoare reală a lui x, variabila y va lua valoarea - C B . Cu alte cuvinte, ecuația generală a liniei A x + B y + C \u003d 0, când A \u003d 0, B ≠ 0, definește locul punctelor (x, y) ale căror coordonate sunt egale cu același număr - C B .
2. Dacă A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, ecuația generală devine y \u003d 0. O astfel de ecuație incompletă definește axa x O x .
3. Când A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, obținem o ecuație generală incompletă A x + C \u003d 0, care definește o linie dreaptă paralelă cu axa y.
4. Fie A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, atunci ecuația generală incompletă va lua forma x \u003d 0, iar aceasta este ecuația dreptei de coordonate O y.
5. În cele din urmă, când A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, ecuația generală incompletă ia forma A x + B y \u003d 0. Și această ecuație descrie o linie dreaptă care trece prin origine. Într-adevăr, perechea de numere (0 , 0) corespunde egalității A x + B y = 0 , întrucât A · 0 + B · 0 = 0 .

Să ilustrăm grafic toate tipurile de mai sus ale ecuației generale incomplete a unei linii drepte.

Exemplul 1

Se știe că linia dreaptă dată este paralelă cu axa y și trece prin punctul 2 7 , - 11 . Este necesar să scrieți ecuația generală a unei linii drepte date.

Soluţie

O linie dreaptă paralelă cu axa y este dată de o ecuație de forma A x + C \u003d 0, în care A ≠ 0. Condiția specifică și coordonatele punctului prin care trece linia, iar coordonatele acestui punct corespund condițiilor ecuației generale incomplete A x + C = 0 , adică. egalitatea este corectă:

A 2 7 + C = 0

Este posibil să se determine C din el dând lui A o valoare diferită de zero, de exemplu, A = 7 . În acest caz, obținem: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Cunoaștem ambii coeficienți A și C, înlocuiți-i în ecuația A x + C = 0 și obținem ecuația necesară a dreptei: 7 x - 2 = 0

Răspuns: 7 x - 2 = 0

Exemplul 2

Desenul arată o linie dreaptă, este necesar să scrieți ecuația acesteia.

Soluţie

Desenul dat ne permite să luăm cu ușurință datele inițiale pentru rezolvarea problemei. Vedem în desen că linia dată este paralelă cu axa O x și trece prin punctul (0 , 3) ​​​​.

Linia dreaptă, care este paralelă cu abscisa, este determinată de ecuația generală incompletă B y + С = 0. Aflați valorile lui B și C. Coordonatele punctului (0, 3), deoarece o dreaptă dată trece prin el, vor satisface ecuația dreptei B y + С = 0, atunci egalitatea este valabilă: В · 3 + С = 0. Să setăm B la o altă valoare decât zero. Să spunem B \u003d 1, în acest caz, din egalitatea B · 3 + C \u003d 0 putem găsi C: C \u003d - 3. Folosind valorile cunoscute ale lui B și C, obținem ecuația necesară a dreptei: y - 3 = 0.

Răspuns: y - 3 = 0 .

Ecuația generală a unei drepte care trece printr-un punct dat al planului

Să treacă dreapta dată prin punctul M 0 (x 0, y 0), apoi coordonatele ei corespund ecuației generale a dreptei, adică. egalitatea este adevărată: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Scădeți părțile stânga și dreaptă ale acestei ecuații din părțile stânga și dreaptă ale generalului ecuație completă Drept. Obținem: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, această ecuație este echivalentă cu cea generală inițială, trece prin punctul M 0 (x 0, y 0) și are o vector normal n → \u003d (A, B) .

Rezultatul pe care l-am obținut face posibilă scrierea ecuației generale a unei drepte pentru coordonatele cunoscute ale vectorului normal al dreptei și coordonatele unui anumit punct al acestei drepte.

Exemplul 3

Dat un punct M 0 (- 3, 4) prin care trece dreapta și vectorul normal al acestei drepte n → = (1 , - 2) . Este necesar să scrieți ecuația unei linii drepte date.

Soluţie

Condițiile inițiale ne permit să obținem datele necesare pentru compilarea ecuației: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Apoi:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problema ar fi putut fi rezolvată altfel. Ecuația generală a unei drepte are forma A x + B y + C = 0 . Vectorul normal dat vă permite să obțineți valorile coeficienților A și B, apoi:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Acum să găsim valoarea lui C, folosind punctul M 0 (- 3, 4) dat de condiția problemei, prin care trece linia. Coordonatele acestui punct corespund ecuației x - 2 · y + C = 0 , adică. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Prin urmare, C = 11. Ecuația necesară dreptei ia forma: x - 2 · y + 11 = 0 .

Răspuns: x - 2 y + 11 = 0 .

Exemplul 4

Având în vedere o dreaptă 2 3 x - y - 1 2 = 0 și un punct M 0 situat pe această dreaptă. Numai abscisa acestui punct este cunoscută și este egală cu - 3. Este necesar să se determine ordonata punctului dat.

Soluţie

Să setăm desemnarea coordonatelor punctului M 0 ca x 0 și y 0 . Datele inițiale indică faptul că x 0 \u003d - 3. Deoarece punctul aparține unei linii date, atunci coordonatele sale corespund ecuației generale a acestei drepte. Atunci următoarea egalitate va fi adevărată:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definiți y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Răspuns: - 5 2

Trecerea de la ecuația generală a unei linii drepte la alte tipuri de ecuații a unei linii drepte și invers

După cum știm, există mai multe tipuri de ecuații ale aceleiași drepte în plan. Alegerea tipului de ecuație depinde de condițiile problemei; se poate alege pe cea mai convenabila solutiei sale. Aici este foarte utilă abilitatea de a converti o ecuație de un fel într-o ecuație de alt fel.

Mai întâi, luați în considerare trecerea de la ecuația generală de forma A x + B y + C = 0 la ecuația canonică x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Dacă A ≠ 0, atunci transferăm termenul B y în partea dreaptă a ecuației generale. În partea stângă, scoatem A din paranteze. Ca rezultat, obținem: A x + C A = - B y .

Această egalitate poate fi scrisă ca proporție: x + C A - B = y A .

Dacă B ≠ 0, lăsăm doar termenul A x în partea stângă a ecuației generale, le transferăm pe celelalte în partea dreaptă, obținem: A x \u003d - B y - C. Scoatem - B din paranteze, apoi: A x \u003d - B y + C B.

Să rescriem egalitatea ca proporție: x - B = y + C B A .

Desigur, nu este nevoie să memorezi formulele rezultate. Este suficient să cunoaștem algoritmul acțiunilor în timpul trecerii de la ecuația generală la cea canonică.

Exemplul 5

Este dată ecuația generală a dreptei 3 y - 4 = 0. Trebuie convertit într-o ecuație canonică.

Soluţie

Scriem ecuația originală ca 3 y - 4 = 0 . În continuare, acționăm conform algoritmului: termenul 0 x rămâne în partea stângă; iar pe partea dreaptă scoatem - 3 din paranteze; obținem: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Să scriem egalitatea rezultată ca proporție: x - 3 = y - 4 3 0 . Astfel, am obținut o ecuație a formei canonice.

Răspuns: x - 3 = y - 4 3 0.

Pentru a transforma ecuația generală a unei linii drepte în cele parametrice, se efectuează mai întâi trecerea la forma canonică, apoi trecerea de la ecuația canonică a dreptei la ecuațiile parametrice.

Exemplul 6

Linia dreaptă este dată de ecuația 2 x - 5 y - 1 = 0 . Notați ecuațiile parametrice ale acestei drepte.

Soluţie

Să facem trecerea de la ecuația generală la cea canonică:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Acum să luăm ambele părți ale ecuației canonice rezultate egale cu λ, atunci:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Răspuns:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Ecuația generală poate fi convertită în ecuația unei linii drepte cu panta y \u003d k x + b, dar numai atunci când B ≠ 0. Pentru trecerea pe partea stângă, lăsăm termenul B y , restul se transferă la dreapta. Se obține: B y = - A x - C . Să împărțim ambele părți ale egalității rezultate la B , care este diferit de zero: y = - A B x - C B .

Exemplul 7

Ecuația generală a unei drepte este dată: 2 x + 7 y = 0 . Trebuie să convertiți acea ecuație într-o ecuație a pantei.

Soluţie

Să efectuăm acțiunile necesare conform algoritmului:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Răspuns: y = - 2 7 x .

Din ecuația generală a unei linii drepte, este suficient să obțineți pur și simplu o ecuație în segmente de forma x a + y b \u003d 1. Pentru a face o astfel de tranziție, transferăm numărul C în partea dreaptă a egalității, împărțim ambele părți ale egalității rezultate cu - С și, în final, transferăm coeficienții pentru variabilele x și y la numitori:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Exemplul 8

Este necesar să convertiți ecuația generală a dreptei x - 7 y + 1 2 = 0 în ecuația unei drepte în segmente.

Soluţie

Să mutăm 1 2 în partea dreaptă: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Împărțiți la -1/2 ambele părți ale ecuației: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Răspuns: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

În general, trecerea inversă este și ea ușoară: de la alte tipuri de ecuații la cea generală.

Ecuația unei linii drepte în segmente și ecuația cu o pantă pot fi ușor convertite într-una generală prin simpla colectare a tuturor termenilor din partea stângă a ecuației:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Ecuația canonică este convertită în cea generală după următoarea schemă:

x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) = ax (y - y 1) ⇔ ⇔ ayx - axy - ayx 1 + axy 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Pentru a trece de la parametric, se efectuează mai întâi trecerea la canonic, apoi la cea generală:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Exemplul 9

Sunt date ecuațiile parametrice ale dreptei x = - 1 + 2 · λ y = 4. Este necesar să scrieți ecuația generală a acestei linii.

Soluţie

Să facem tranziția de la ecuații parametrice la canonic:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Să trecem de la canonic la general:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Răspuns: y - 4 = 0

Exemplul 10

Este dată ecuația unei drepte în segmente x 3 + y 1 2 = 1. Este necesar să se efectueze tranziția la forma generală a ecuației.

Soluţie:

Să rescriem ecuația în forma necesară:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Răspuns: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Întocmirea unei ecuații generale a unei linii drepte

Mai sus, am spus că ecuația generală poate fi scrisă cu coordonatele cunoscute ale vectorului normal și coordonatele punctului prin care trece dreapta. O astfel de dreaptă este definită de ecuația A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . În același loc am analizat exemplul corespunzător.

Acum să aruncăm o privire la mai multe exemple complexe, în care este necesar mai întâi să se determine coordonatele vectorului normal.

Exemplul 11

Dată o dreaptă paralelă cu dreapta 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . De asemenea, este cunoscut punctul M 0 (4 , 1) prin care trece linia dată. Este necesar să scrieți ecuația unei linii drepte date.

Soluţie

Condițiile inițiale ne spun că dreptele sunt paralele, apoi, ca vector normal al dreptei a cărei ecuație trebuie scrisă, luăm vectorul de direcție al dreptei n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Acum cunoaștem toate datele necesare pentru a compune ecuația generală a unei linii drepte:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Răspuns: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Exemplul 12

Linia dată trece prin originea perpendiculară pe dreapta x - 2 3 = y + 4 5 . Este necesar să scrieți ecuația generală a unei linii drepte date.

Soluţie

Vectorul normal al dreptei date va fi vectorul de direcție al dreptei x - 2 3 = y + 4 5 .

Atunci n → = (3 , 5) . Linia dreaptă trece prin origine, adică. prin punctul O (0, 0) . Să compunem ecuația generală a unei drepte date:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Răspuns: 3 x + 5 y = 0 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Soluția problemei se rezumă de obicei la găsirea valorii unei cantități prin raționament logic și calcule. De exemplu, găsiți viteza, timpul, distanța, masa unui obiect sau cantitatea de ceva.

Această problemă poate fi rezolvată folosind o ecuație. Pentru a face acest lucru, valoarea dorită se notează printr-o variabilă, apoi, prin raționament logic, ei compun și rezolvă o ecuație. După ce au rezolvat ecuația, ei verifică dacă soluția ecuației îndeplinește condițiile problemei.

Conținutul lecției

Scrierea expresiilor care conțin necunoscutul

Rezolvarea problemei este însoțită de compilarea unei ecuații pentru această problemă. Pe stadiul inițial studiind sarcini, este de dorit să învățați cum să compuneți expresii literale care descriu o anumită situație de viață. Această etapă nu este dificilă și poate fi studiată în procesul de rezolvare a problemei în sine.

Luați în considerare mai multe situații care pot fi scrise folosind o expresie matematică.

Sarcina 1. Vârsta tatălui X ani. Mama este cu doi ani mai mică. Fiul este de 3 ori mai mic decât tatăl. Înregistrați vârsta fiecăruia folosind expresii.

Soluţie:

Sarcina 2. Vârsta tatălui X ani, mama este cu 2 ani mai mică decât tatăl. Fiul este de 3 ori mai mic decât tatăl, fiica este de 3 ori mai mică decât mama. Înregistrați vârsta fiecăruia folosind expresii.

Soluţie:

Sarcina 3. Vârsta tatălui X ani, mama este cu 3 ani mai mică decât tatăl. Fiul este de 3 ori mai mic decât tatăl, fiica este de 3 ori mai mică decât mama. Câți ani are fiecare dacă vârsta combinată a tatălui, mamei, fiului și fiicei este de 92 de ani?

Soluţie:

În această problemă, pe lângă scrierea expresiilor, este necesar să se calculeze vârsta fiecărui membru al familiei.

În primul rând, notăm vârsta fiecărui membru al familiei folosind expresii. Pe variabilă X să luăm vârsta tatălui și apoi folosind această variabilă vom compune expresiile rămase:

Acum să stabilim vârsta fiecărui membru al familiei. Pentru a face acest lucru, trebuie să scriem și să rezolvăm o ecuație. Avem toate componentele ecuației pregătite. Rămâne doar să le colectăm împreună.

Vârsta totală de 92 de ani a fost obținută prin adăugarea vârstelor tatălui, mamei, fiului și fiicei:

Pentru fiecare vârstă, avem expresie matematică. Aceste expresii vor fi componentele ecuației noastre. Să ne adunăm ecuația conform acestei scheme și tabelului care a fost dat mai sus. Adică cuvintele tată, mamă, fiu, fiică vor fi înlocuite cu expresia corespunzătoare acestora din tabel:

Expresie pentru vârsta mamei x − 3 pentru claritate, a fost luat între paranteze.

Acum să rezolvăm ecuația rezultată. Pentru început, puteți deschide parantezele acolo unde este posibil:

Pentru a elibera ecuația de fracții, înmulțiți ambele părți cu 3

Rezolvăm ecuația rezultată folosind transformările identice cunoscute:

Am găsit valoarea variabilei X. Această variabilă a fost responsabilă de vârsta tatălui. Deci vârsta tatălui este de 36 de ani.

Cunoscând vârsta tatălui, puteți calcula vârsta restului familiei. Pentru a face acest lucru, trebuie să înlocuiți valoarea variabilei Xîn acele expresii care sunt responsabile de vârsta unui anumit membru al familiei.

În problemă se spunea că mama este cu 3 ani mai mică decât tatăl. Am desemnat vârsta ei prin expresie x−3. Valoare variabilă X este cunoscut acum, iar pentru a calcula vârsta mamei este necesar în expresie x − 3în loc de Xînlocuiți valoarea găsită 36

x - 3 \u003d 36 - 3 \u003d 33 de ani mamă.

În mod similar, vârsta membrilor familiei rămași este determinată:

Examinare:

Sarcina 4. Un kilogram de mere valorează X ruble. Scrieți o expresie care calculează câte kilograme de mere puteți cumpăra pentru 300 de ruble.

Soluţie

Dacă un kilogram de mere costă X ruble, apoi pentru 300 de ruble puteți cumpăra un kilogram de mere.

Exemplu. Un kilogram de mere costă 50 de ruble. Apoi pentru 300 de ruble puteți cumpăra, adică 6 kilograme de mere.

Sarcina 5. Pe X ruble, s-au cumpărat 5 kg de mere. Scrieți o expresie care calculează câte ruble costă un kilogram de mere.

Soluţie

Dacă pentru 5 kg de mere se plătea X ruble, atunci un kilogram va costa ruble

Exemplu. Pentru 300 de ruble s-au cumpărat 5 kg de mere. Apoi va costa un kilogram de mere, adică 60 de ruble.

Sarcina 6. Tom, John și Leo au mers la cantină în timpul pauzei și și-au cumpărat un sandviș și o cană de cafea. Sandvișul merită X ruble și o cană de cafea - 15 ruble. Determinați costul unui sandviș dacă se știe că s-au plătit 120 de ruble pentru tot?

Soluţie

Desigur, această problemă este la fel de simplă ca trei bănuți și poate fi rezolvată fără a recurge la o ecuație. Pentru a face acest lucru, scădeți costul a trei cești de cafea (15 × 3) din 120 de ruble și împărțiți rezultatul la 3

Dar scopul nostru este să scriem o ecuație pentru problemă și să rezolvăm această ecuație. Deci costul unui sandviș X ruble. Am cumparat doar trei. Deci, după triplat costul, obținem o expresie care descrie câte ruble s-au plătit pentru trei sandvișuri

3x - costul a trei sandvișuri

Și costul a trei cești de cafea poate fi scris ca 15 × 3. 15 este costul unei cani de cafea, iar 3 este un multiplicator (Tom, John și Leo) care triplează acest cost.

În funcție de starea problemei, s-au plătit 120 de ruble pentru tot. Noi deja avem schema exemplara, Ce trebuie sa facem:

Avem deja expresii care descriu costul a trei sandvișuri și trei cești de cafea. Acestea sunt expresiile 3 Xși 15×3. Folosind schema, vom scrie o ecuație și o vom rezolva:

Deci, costul unui sandviș este de 25 de ruble.

Problema este rezolvată corect numai dacă ecuația pentru aceasta este compilată corect. Spre deosebire de ecuațiile obișnuite, prin care învățăm să găsim rădăcini, ecuațiile pentru rezolvarea problemelor au propria lor aplicație specifică. Fiecare componentă a unei astfel de ecuații poate fi descrisă în formă verbală. La compilarea unei ecuații, este imperativ să înțelegem de ce includem una sau alta componentă în compoziția sa și de ce este necesară.

De asemenea, este necesar să ne amintim că ecuația este o egalitate, după rezolvarea căreia partea stângă va trebui să fie egală cu partea dreaptă. Ecuația rezultată nu ar trebui să contrazică această idee.

Imaginează-ți că ecuația este o balanță cu două boluri și un ecran care arată starea balanței.

Ecranul arată în prezent un semn egal. Este clar de ce bolul din stânga este egal cu cel din dreapta - nu există nimic pe boluri. Scriem starea cântarilor și absența a ceva pe boluri folosind următoarea egalitate:

0 = 0

Să punem un pepene verde pe scara din stânga:

Vasul din stânga a depășit vasul din dreapta și ecranul a sunat alarma, arătând semnul neegal (≠). Acest semn indică faptul că bolul din stânga nu este egal cu bolul din dreapta.

Acum să încercăm să rezolvăm problema. Să fie necesar să se afle cât cântărește pepenele, care se află pe bolul din stânga. Dar de unde știi? La urma urmei, cântarele noastre sunt concepute doar pentru a verifica dacă vasul din stânga este egal cu cel din dreapta.

Ecuațiile vin în ajutor. Amintiți-vă că, prin definiție, ecuația este egalitate A care conține variabila a cărei valoare doriți să găsiți. Solzii joacă în acest caz chiar rolul acestei ecuații, iar masa pepenelui verde este o variabilă a cărei valoare trebuie găsită. Scopul nostru este să obținem această ecuație corectă. Înțelegeți, aliniați cântarul astfel încât să puteți calcula masa pepenelui verde.

Pentru a nivela cântarul, puteți pune un obiect greu pe vasul din dreapta. De exemplu, să punem acolo o greutate de 7 kg.

Acum, dimpotrivă, castronul din dreapta îl depășea pe cel stâng. Ecranul arată în continuare că bolurile nu sunt egale.

Să încercăm să punem o greutate de 4 kg pe bolul din stânga

Acum cântarul s-a echilibrat. Figura arată că bolul din stânga se află la nivelul bolului din dreapta. Și ecranul arată un semn egal. Acest semn indică faptul că vasul din stânga este egal cu vasul din dreapta.

Astfel, am obținut o ecuație - o egalitate care conține o necunoscută. Pano-ul din stânga este partea stângă a ecuației, constând din cele 4 componente și variabila X(masa pepenelui verde), iar bolul din dreapta este partea dreaptă a ecuației, constând din componenta 7.

Ei bine, nu este greu de ghicit că rădăcina ecuației 4 + X\u003d 7 este 3. Deci masa pepenelui verde este de 3 kg.

Același lucru este valabil și pentru alte sarcini. Pentru a găsi o valoare necunoscută, în partea stângă sau dreaptă a ecuației sunt adăugate diferite elemente: termeni, factori, expresii. În problemele școlare, aceste elemente sunt deja date. Rămâne doar să le structuram corect și să construim o ecuație. În acest exemplu, am fost implicați în selecție, încercând greutăți de diferite mase pentru a calcula masa unui pepene verde.

Desigur, datele care sunt date în problemă trebuie mai întâi aduse într-o formă în care să poată fi incluse în ecuație. Prin urmare, după cum se spune „Fie că îți place sau nu, trebuie să te gândești”.

Luați în considerare următoarea problemă. Vârsta tatălui este egală cu vârsta fiului și fiicei împreună. Fiul este de două ori mai în vârstă decât fiica și cu douăzeci de ani mai tânăr decât tatăl. Câți ani are fiecare?

Vârsta fiicei poate fi exprimată ca X. Dacă fiul este de două ori mai în vârstă decât fiica, atunci vârsta lui va fi indicată ca 2 X. Condiția problemei spune că împreună vârsta fiicei și a fiului este egală cu vârsta tatălui. Deci vârsta tatălui va fi notată prin sumă X + 2X

Puteți adăuga termeni similari într-o expresie. Apoi, vârsta tatălui va fi notată ca 3 X

Acum să facem o ecuație. Trebuie să obținem o egalitate în care să găsim necunoscutul X. Să folosim greutăți. Pe bolul din stânga punem vârsta tatălui (3 X), iar pe castronul din dreapta vârsta fiului (2 X)

Este clar de ce bolul din stânga l-a depășit pe cel din dreapta și de ce ecranul arată semnul (≠) . La urma urmei, este logic că vârsta tatălui este mai mare decât vârsta fiului.

Dar trebuie să echilibrăm cântarul astfel încât să putem calcula necunoscutul X. Pentru a face acest lucru, trebuie să adăugați un număr în bolul potrivit. Ce număr este indicat în problemă. Condiția spunea că fiul era cu 20 de ani mai tânăr decât tatăl. Deci 20 de ani este același număr care trebuie pus pe cântar.

Balanța se va uniformiza dacă adăugăm acești 20 de ani în partea dreaptă a scalei. Cu alte cuvinte, să creștem fiul la vârsta tatălui

Acum cântarul s-a echilibrat. A rezultat ecuația , care se rezolva usor:

X am marcat vârsta fiicei. Acum am găsit valoarea acestei variabile. Fiica de 20 de ani.

Și, în sfârșit, calculăm vârsta tatălui. În problemă, se spunea că este egală cu suma vârstelor fiului și fiicei, adică (20 + 40) ani.

Să revenim la mijlocul sarcinii și să fim atenți la un punct. Când punem pe cântar vârsta tatălui și vârsta fiului, castronul din stânga îl depășește pe cel drept

Dar am rezolvat această problemă adăugând încă 20 de ani în bolul potrivit. Ca urmare, cântarul s-a egalat și am obținut egalitatea

Dar a fost posibil să nu se adauge acești 20 de ani în castronul din dreapta, ci să-i scadă din stânga. Am obține egalitate în acest caz

De data aceasta ecuația este . Rădăcina ecuației este încă 20

Adică ecuațiile Și sunt echivalente. Și ne amintim că ecuațiile echivalente au aceleași rădăcini. Dacă te uiți cu atenție la aceste două ecuații, poți vedea că a doua ecuație se obține prin transferul numărului 20 din partea dreaptă în partea stângă cu semnul opus. Și această acțiune, așa cum sa indicat în lecția anterioară, nu schimbă rădăcinile ecuației.

De asemenea, trebuie să acordați atenție faptului că la începutul rezolvării problemei, vârstele fiecărui membru al familiei ar putea fi notate prin alte expresii.

Să presupunem că vârsta fiului este notă cu X iar din moment ce el este cu doi mai mare decât fiica, atunci vârsta fiicei este indicată prin (înțelegeți să o faceți de două ori mai mică decât fiul). Iar vârsta tatălui, deoarece este suma vârstelor fiului și fiicei, se notează prin expresia . Și, în sfârșit, pentru a construi o ecuație corectă din punct de vedere logic, trebuie să adăugați numărul 20 la vârsta fiului, deoarece tatăl este cu douăzeci de ani mai în vârstă. Rezultatul este o ecuație complet diferită. . Să rezolvăm această ecuație

După cum puteți vedea, răspunsurile la problemă nu s-au schimbat. Fiul meu are încă 40 de ani. Fiicele au încă ani, iar tatăl are 40 + 20 de ani.

Cu alte cuvinte, problema poate fi rezolvată în diferite moduri. Prin urmare, nu trebuie să disperați că nu este posibil să rezolvați cutare sau cutare problemă. Dar trebuie să rețineți că există cele mai simple modalități de a rezolva problema. Există diverse rute către centrul orașului, dar există întotdeauna cel mai convenabil, cel mai rapid și cel mai sigur traseu.

Exemple de rezolvare a problemelor

Sarcina 1. Sunt 30 de caiete în două pachete. Dacă ar fi transferate 2 caiete din primul pachet în al doilea, atunci ar fi de două ori mai multe caiete în primul pachet decât în ​​al doilea. Câte caiete erau în fiecare pachet?

Soluţie

Notează prin X numărul de caiete care se aflau în primul pachet. Dacă ar fi 30 de caiete în total, și variabila X acesta este numărul de caiete din primul pachet, apoi numărul de caiete din al doilea pachet va fi notat cu expresia 30 − X. Adică din numărul total de caiete, scădem numărul de caiete din primul pachet și astfel obținem numărul de caiete din al doilea pachet.

și adăugați aceste două caiete la al doilea pachet

Să încercăm să facem o ecuație din expresiile existente. Punem ambele pachete de caiete pe cântar

Vasul din stânga este mai greu decât cel din dreapta. Aceasta pentru că starea problemei spune că după ce două caiete au fost luate din primul pachet și plasate în al doilea, numărul de caiete din primul pachet a devenit de două ori mai mare decât în ​​al doilea.

Pentru a egaliza scalele și a obține ecuația, dublați partea dreaptă. Pentru a face acest lucru, înmulțiți-l cu 2

Se dovedește o ecuație. Să rezolvăm această ecuație:

Am notat primul pachet cu variabila X. Acum i-am găsit sensul. Variabil X egal cu 22. Deci erau 22 de caiete în primul pachet.

Și am notat al doilea pachet prin expresia 30 − X iar din moment ce valoarea variabilei X Acum știm, putem calcula numărul de caiete din al doilea pachet. Este egal cu 30 − 22, adică 8 bucăți.

Sarcina 2. Doi oameni curăţau cartofi. Unul a curățat doi cartofi pe minut, iar ceilalți trei cartofi. Împreună au eliminat 400 de piese. Cât timp a funcționat fiecare dacă al doilea a funcționat cu 25 de minute mai mult decât primul?

Soluţie

Notează prin X timpul primei persoane. Deoarece a doua persoană a lucrat cu 25 de minute mai mult decât prima, timpul său va fi notat cu expresia

Primul muncitor a curățat 2 cartofi pe minut, și de când a lucrat X minute, apoi în total a eliminat 2 X cartofi.

A doua persoană a curățat trei cartofi pe minut și, din moment ce a lucrat minute în șir, a curățat cartofii în total.

Împreună au curățat 400 de cartofi

Din componentele disponibile, vom compune și vom rezolva ecuația. În partea stângă a ecuației vor fi cartofi curățați de fiecare persoană, iar în partea dreaptă a sumei lor:

La începutul rezolvării acestei probleme prin variabilă X am marcat timpul de lucru al persoanei I. Acum am găsit valoarea acestei variabile. Prima persoană a lucrat 65 de minute.

Și a doua persoană a lucrat minute în șir, și de la valoarea variabilei X acum se știe, atunci puteți calcula timpul celei de-a doua persoane - este egal cu 65 + 25, adică 90 de minute.

Problemă din manualul de algebră al lui Andrey Petrovici Kiselev. Din soiurile de ceai s-a făcut un amestec de 32 kg. Un kilogram din clasa întâi costă 8 ruble, iar din clasa a doua 6 ruble. 50 cop. Câte kilograme se iau din ambele soiuri, dacă un kilogram din amestec costă (fără profit sau pierdere) 7 ruble. 10 copeici?

Soluţie

Notează prin X mult ceai de clasa I. Apoi masa de ceai din clasa a II-a va fi notată prin expresia 32 − X

Un kilogram de ceai de clasa întâi costă 8 ruble. Dacă aceste opt ruble sunt înmulțite cu numărul de kilograme de ceai din clasa întâi, atunci va fi posibil să aflați cât costă rublele X kg de ceai de clasa I.

Un kilogram de ceai de clasa a doua costă 6 ruble. 50 cop. Dacă aceste 6 ruble. 50 cop. inmultiti cu 32 − x, apoi puteți afla câte ruble costă 32 − x kg de ceai de clasa a doua.

Condiția spune că un kilogram din amestec costă 7 ruble. 10 cop. În total, s-au preparat 32 kg de amestec. Înmulțiți 7 ruble. 10 cop. la 32 putem afla cat costa 32 kg din amestec.

Expresiile din care vom compune ecuația iau acum următoarea formă:

Să încercăm să facem o ecuație din expresiile existente. Să punem costul amestecurilor de ceaiuri de clasa întâi și a doua pe tigaia din stânga a cântarilor și să punem costul a 32 kg de amestec pe tigaia din dreapta, adică costul total al amestecului, care include atât soiuri de ceai:

La începutul rezolvării acestei probleme prin variabilă X am desemnat masa de ceai din clasa întâi. Acum am găsit valoarea acestei variabile. Variabil X este egal cu 12,8. Aceasta înseamnă că s-au luat 12,8 kg de ceai de prima clasă pentru prepararea amestecului.

Și prin expresia 32 − x am desemnat masa de ceai din clasa a doua și din valoarea schimbării X acum cunoscut, putem calcula masa de ceai din clasa a doua. Este egal cu 32 − 12,8, adică 19,2. Aceasta înseamnă că s-au luat 19,2 kg de ceai de clasa a doua pentru prepararea amestecului.

Sarcina 3. Un biciclist a parcurs o distanţă cu o viteză de 8 km/h. A trebuit să se întoarcă pe un alt drum, care era cu 3 km mai lung decât primul și, deși se întorcea, circula cu o viteză de 9 km/h, a folosit timpul mai mult de minute. Cât de lungi erau drumurile?

Soluţie

Unele sarcini pot acoperi subiecte pe care persoana poate să nu le fi studiat. Această sarcină aparține unei astfel de sarcini. Se ocupă de conceptele de distanță, viteză și timp. În consecință, pentru a rezolva o astfel de problemă, trebuie să aveți o idee despre lucrurile care sunt spuse în problemă. În cazul nostru, trebuie să știm care este distanța, viteza și timpul.

Sarcina este de a găsi distanțele a două drumuri. Trebuie să scriem o ecuație care să ne permită să calculăm aceste distanțe.

Luați în considerare relația dintre distanță, viteză și timp. Fiecare dintre aceste mărimi poate fi descrisă folosind o ecuație literală:

Vom folosi partea dreaptă a uneia dintre aceste ecuații pentru a ne elabora ecuația. Pentru a afla care dintre ele, trebuie să reveniți la textul sarcinii și să acordați atenție următorului punct:

Trebuie acordată atenție momentului în care biciclistul de la întoarcere a durat mai mult de un minut. Acest indiciu ne spune că putem folosi ecuația, și anume partea dreaptă. Acest lucru ne va permite să scriem o ecuație care conține variabila S .

Deci, să notăm lungimea primului drum ca S. Biciclistul a parcurs această potecă cu o viteză de 8 km/h. Timpul pentru care a parcurs această cale va fi notat cu expresia, deoarece timpul este raportul dintre distanța parcursă și viteza

Drumul de întoarcere pentru biciclist a fost cu 3 km mai lung. Prin urmare, distanța sa va fi notată prin expresie S+ 3 . Un biciclist a parcurs acest drum cu o viteză de 9 km/h. Deci timpul pentru care a depășit această cale va fi notat prin expresia .

Acum să facem o ecuație din expresiile existente

Vasul din dreapta este mai greu decât cel stâng. Asta pentru că problema spune că biciclistul a petrecut mai mult timp la întoarcere.

Pentru a egaliza cântarul, adăugați aceleași minute în partea stângă. Dar mai întâi, să convertim minutele în ore, deoarece în problemă viteza se măsoară în kilometri pe oră, și nu în metri pe minut.

Pentru a converti minutele în ore, trebuie să le împărțiți la 60

Minutele fac ore. Adăugați aceste ore în partea stângă a ecuației:

Se pare că ecuația . Să rezolvăm această ecuație. Pentru a scăpa de fracții, ambele părți ale piesei pot fi înmulțite cu 72. În continuare, folosind transformările identice cunoscute, găsim valoarea variabilei. S

Printr-o variabilă S am marcat distanța primului drum. Acum am găsit valoarea acestei variabile. Variabil S este de 15. Deci distanța primului drum este de 15 km.

Și am notat distanța celui de-al doilea drum prin expresie S+ 3 , iar din moment ce valoarea variabilei S Acum știm, putem calcula distanța celui de-al doilea drum. Această distanță este egală cu suma 15 + 3, adică 18 km.

Sarcina 4. Două mașini merg pe autostradă cu aceeași viteză. Daca primul mareste viteza cu 10 km/h, iar al doilea scade viteza cu 10 km/h, atunci primul va parcurge aceeasi distanta in 2 ore ca al doilea in 3 ore. mașini?

Soluţie

Notează prin v viteza fiecărei mașini. Mai departe în problemă, sunt oferite indicii: creșteți viteza primului automobil cu 10 km/h și reduceți viteza celui de-al doilea automobil cu 10 km/h. Să folosim acest indiciu

Se mai precizează că la astfel de viteze (creștete și scăzute cu 10 km/h), prima mașină va parcurge aceeași distanță în 2 ore ca a doua în 3 ore. Fraza "ca multi" poate fi înțeles ca „distanța parcursă de prima mașină va fi egală distanța parcursă de al doilea vagon.

Distanța, așa cum ne amintim, este determinată de formulă. Suntem interesați de partea dreaptă a acestei ecuații literale - ne va permite să scriem o ecuație care conține o variabilă v .

Deci, în viteză v + 10 km/h va trece prima mașină 2(v+10) km, iar al doilea va trece 3(v − 10) km. În această condiție, mașinile vor parcurge aceleași distanțe, așa că pentru a obține ecuația, este suficient să conectezi aceste două expresii cu un semn egal. Apoi obținem ecuația. Hai sa o rezolvam:

În starea problemei, se spunea că mașinile merg cu aceeași viteză. Am notat această viteză prin variabilă v. Acum am găsit valoarea acestei variabile. Variabil v este egal cu 50. Deci viteza ambelor mașini era de 50 km/h.

Sarcina 5. În 9 ore în aval nava parcurge aceeași distanță ca în 11 ore în amonte. Aflați viteza bărcii dacă viteza râului este de 2 km/h.

Soluţie

Notează prin v viteza proprie a navei. Viteza curgerii râului este de 2 km/h. În cursul râului, viteza navei va fi v + 2 km/h, și împotriva curentului - (v − 2) km/h.

Starea problemei spune că în 9 ore nava parcurge aceeași distanță de-a lungul râului ca în 11 ore împotriva curentului. Fraza "același fel" poate fi înțeles ca distanța parcursă cu barca de-a lungul râului în 9 ore, egală distanța parcursă de navă împotriva curentului râului în 11 ore. Adică distanțele vor fi aceleași.

Distanța este determinată de formula . Să folosim partea dreaptă a acestei ecuații literale pentru a scrie propria noastră ecuație.

Deci, în 9 ore, vasul va trece de-a lungul râului 9(v + 2) km, iar în 11 ore în amonte - 11(v − 2) km. Deoarece ambele expresii descriu aceeași distanță, echivalăm prima expresie cu a doua. Ca rezultat, obținem ecuația . Hai sa o rezolvam:

Deci viteza navei este de 20 km/h.

La rezolvarea problemelor, un obicei util este acela de a determina din timp ce soluție se caută pentru aceasta.

Să presupunem că sarcina a necesitat găsirea timpului necesar unui pieton pentru a parcurge o anumită cale. Am notat timpul prin variabilă t, apoi am făcut o ecuație care conține această variabilă și am găsit valoarea acesteia.

Din practică, știm că timpul de mișcare al unui obiect poate lua atât valori întregi, cât și fracționale, de exemplu, 2 ore, 1,5 ore, 0,5 ore.Atunci putem spune că soluția acestei probleme se caută pe mulțimea raționalelor. numerele Q, deoarece fiecare dintre valorile 2 h, 1,5 h, 0,5 h poate fi reprezentată ca o fracție.

Prin urmare, după ce o mărime necunoscută a fost notată printr-o variabilă, este util să indicați cărei set îi aparține această cantitate. În exemplul nostru, timpul t aparține mulțimii numerelor raționale Q

t ∈ Q

De asemenea, puteți introduce o constrângere asupra variabilei t, indicând că poate lua numai valori pozitive. Într-adevăr, dacă obiectul a petrecut un anumit timp pe drum, atunci acest timp nu poate fi negativ. Prin urmare, alături de expresie t∈ Q specificați că valoarea sa trebuie să fie mai mare decât zero:

t∈ R, t > 0

Dacă rezolvăm ecuația, obținem sens negativ pentru o variabilă t, atunci se va putea concluziona că problema a fost rezolvată incorect, deoarece această soluție nu va îndeplini condiția t∈ Q , t> 0 .

Alt exemplu. Dacă am rezolva o problemă în care se impunea găsirea numărului de persoane care să îndeplinească un anumit loc de muncă, atunci am nota acest număr printr-o variabilă X. Într-o astfel de problemă, soluția ar fi căutată pe platoul de filmare numere naturale

X ∈ N

Într-adevăr, numărul de persoane este un întreg, cum ar fi 2 persoane, 3 persoane, 5 persoane. Dar nu 1,5 (o persoană întreagă și jumătate de persoană) sau 2,3 ​​(două persoane întregi și alte trei zecimi de persoană).

Aici s-ar putea indica faptul că numărul de persoane trebuie să fie mai mare decât zero, dar numerele incluse în setul de numere naturale N sunt ele însele pozitive și mai mari decât zero. Acest set nu numere negative iar numărul 0. Prin urmare, expresia x > 0 poate fi omisă.

Sarcina 6. Pentru a repara școala a sosit o echipă în care erau de 2,5 ori mai mulți zugravi decât dulgheri. Curând, maistrul a inclus încă patru pictori în echipă și a transferat doi dulgheri la un alt obiect. Drept urmare, în brigadă erau de 4 ori mai mulți zugravi decât dulgheri. Câți zugravi și câți dulgheri au fost inițial în brigadă

Soluţie

Notează prin X tâmplari care au sosit iniţial la reparaţii.

Numărul de dulgheri este un număr întreg mai mare decât zero. Prin urmare, subliniem că X aparține mulțimii numerelor naturale

X∈N

Au fost de 2,5 ori mai mulți pictori decât dulgheri. Prin urmare, numărul de pictori va fi notat ca 2,5x.

Iar numărul pictorilor va crește cu 4

Acum numărul de dulgheri și zugravi va fi notat cu următoarele expresii:

Să încercăm să facem o ecuație din expresiile existente:

Vasul din dreapta este mai mare, pentru că după ce am adăugat încă patru zugravi în echipă și am mutat doi dulgheri la un alt obiect, numărul de zugravi din echipă s-a dovedit a fi de 4 ori mai mare decât dulgherii. Pentru a egaliza cântarul, trebuie să măriți vasul din stânga de 4 ori:

Am o ecuație. Hai sa o rezolvam:

Printr-o variabilă X a fost desemnat numărul iniţial de dulgheri. Acum am găsit valoarea acestei variabile. Variabil X este egal cu 8. Deci 8 tâmplari au fost inițial în brigadă.

Iar numărul de pictori era indicat prin expresia 2,5 X iar din moment ce valoarea variabilei X acum se știe, atunci puteți calcula numărul de pictori - este egal cu 2,5 × 8, adică 20.

Ne întoarcem la începutul sarcinii și ne asigurăm că condiția este îndeplinită X∈ N. Variabil X este egal cu 8 și elementele mulțimii numerelor naturale N toate acestea sunt numere care încep cu 1, 2, 3 și așa mai departe la infinit. Același set include și numărul 8, pe care l-am găsit.

8 ∈N

Același lucru se poate spune despre numărul de pictori. Numărul 20 aparține mulțimii numerelor naturale:

20 ∈N

Pentru a înțelege esența problemei și formularea corectă a ecuației, nu este deloc necesar să folosiți modelul cântarelor cu boluri. Poti folosi si alte modele: segmente, tabele, diagrame. Puteți veni cu propriul model care ar descrie bine esența problemei.

Sarcina 9. 30% din lapte a fost turnat din cutie. Drept urmare, au rămas 14 litri în el. Câți litri de lapte erau inițial în cutie?

Soluţie

Valoarea dorită este numărul inițial de litri din cutie. Desenați numărul de litri sub formă de linie și etichetați această linie cu X

Se spune că 30% din lapte a fost turnat din cutie. Selectăm în figură aproximativ 30%

Un procent, prin definiție, este o sutime din ceva. Dacă 30% din lapte a fost turnat, atunci restul de 70% au rămas în cutie. Aceste 70% reprezintă 14 litri indicați în problemă. Selectați restul de 70% din figură

Acum poți face o ecuație. Să ne amintim cum să găsim procentul unui număr. Pentru a face acest lucru, cantitatea totală a ceva este împărțită la 100 și rezultatul este înmulțit cu procentul dorit. Rețineți că 14 litri, adică 70%, pot fi obținuți în același mod: numărul inițial de litri Xîmpărțiți cu 100 și înmulțiți rezultatul cu 70. Echivalați toate acestea cu numărul 14

Sau obțineți o ecuație mai simplă: scrieți 70% ca 0,70, apoi înmulțiți cu X și echivalați această expresie cu 14

Asta înseamnă că inițial erau 20 de litri de lapte în cutie.

Sarcina 9. Au luat două aliaje de aur și argint. Într-unul, raportul acestor metale este de 1: 9, iar în celălalt 2: 3. Cât de mult ar trebui luată din fiecare aliaj pentru a obține 15 kg dintr-un aliaj nou în care aurul și argintul ar fi legate ca 1: 4?

Soluţie

Să încercăm mai întâi să aflăm cât aur și argint vor fi conținute în 15 kg din noul aliaj. Sarcina spune că conținutul acestor metale ar trebui să fie într-un raport de 1: 4, adică o parte din aliaj ar trebui să fie aur și patru părți să fie argint. Atunci numărul total de piese din aliaj va fi 1 + 4 = 5, iar masa unei piese va fi 15: 5 = 3 kg.

Să stabilim cât aur va fi conținut în 15 kg de aliaj. Pentru a face acest lucru, înmulțiți 3 kg cu numărul de părți de aur:

3 kg × 1 = 3 kg

Să determinăm cât argint va fi conținut în 15 kg de aliaj:

3 kg × 4 = 12 kg

Aceasta înseamnă că un aliaj cu o greutate de 15 kg va conține 3 kg de aur și 12 kg de argint. Acum revenim la aliajele originale. Trebuie să folosiți fiecare dintre ele. Notează prin X masa primului aliaj, iar masa celui de-al doilea aliaj pot fi notate cu 15 − X

Să exprimăm procentual toate relațiile care sunt date în problemă și să completăm cu ele următorul tabel:

În primul aliaj, aurul și argintul sunt într-un raport de 1: 9. Apoi totalul părților va fi 1 + 9 = 10. Dintre acestea, va fi aur , și argint .

Să transferăm aceste date în tabel. 10% vor fi introduse în primul rând din coloană „procent de aur din aliaj”, 90% vor fi introduse și în prima linie a coloanei „procentul de argint din aliaj”, iar în ultima coloană "greutatea aliajului" introduceți o variabilă X, deoarece așa am notat masa primului aliaj:

Facem același lucru cu al doilea aliaj. Aurul și argintul în el sunt într-un raport de 2: 3. Apoi vor fi 2 + 3 = 5 părți în total. Dintre acestea, aurul va fi , și argint .

Să transferăm aceste date în tabel. 40% vor fi introduse în al doilea rând din coloană „procent de aur din aliaj”, 60% vor fi introduse și în a doua linie a coloanei „procentul de argint din aliaj”, iar în ultima coloană "greutatea aliajului" introduceți expresia 15 − X, deoarece așa am notat masa celui de-al doilea aliaj:

Să completăm ultima linie. Aliajul rezultat cu o greutate de 15 kg va conține 3 kg de aur, adică aliaj, iar argintul va fi aliaj. În ultima coloană notăm masa aliajului rezultat 15

Acum puteți scrie ecuații folosind acest tabel. Ne amintim. Dacă adunăm separat aurul ambelor aliaje și echivalăm această cantitate cu masa de aur a aliajului rezultat, putem afla care este valoarea X.

Primul aliaj de aur a avut 0,10 X, iar în al doilea aliaj de aur a fost 0,40(15 − X). Apoi, în aliajul rezultat, masa de aur va fi suma maselor de aur ale primului și celui de-al doilea aliaj, iar această masă este de 20% din noul aliaj. Iar 20% din noul aliaj sunt 3 kg de aur, calculat de noi mai devreme. Ca rezultat, obținem ecuația 0,10X+ 0.40(15 − X) = 3 . Să rezolvăm această ecuație:

Inițial prin X am desemnat masa primului aliaj. Acum am găsit valoarea acestei variabile. Variabil X este egal cu 10. Și am notat masa celui de-al doilea aliaj prin 15 − X, iar din moment ce valoarea variabilei X acum se știe, atunci putem calcula masa celui de-al doilea aliaj, este egală cu 15 − 10 = 5 kg.

Aceasta înseamnă că pentru a obține un aliaj nou cu o greutate de 15 kg în care aurul și argintul ar fi tratate ca 1: 4, trebuie să luați 10 kg din primul aliaj și 5 kg din al doilea aliaj.

Ecuația ar putea fi făcută folosind a doua coloană a tabelului rezultat. Atunci vom obține ecuația 0,90X+ 0.60(15 − X) = 12. Rădăcina acestei ecuații este, de asemenea, 10

Sarcina 10. Există minereu din două straturi cu un conținut de cupru de 6% și 11%. Cât de mult minereu de calitate scăzută trebuie luat pentru a-l obține atunci când este amestecat cu 20 de tone bogate cu un conținut de cupru de 8%?

Soluţie

Notează prin X masa de minereu sărac. Deoarece trebuie să obțineți 20 de tone de minereu, atunci vor fi luate 20 de minereu bogat - X. Deoarece conținutul de cupru din minereul sărac este de 6%, atunci în X tone de minereu va conține 0,06 X tone de cupru. În minereu bogat, conținutul de cupru este de 11%, iar în 20 - X tone de minereu bogat va conține 0,11 (20 − X) tone de cupru.

În cele 20 de tone de minereu rezultate, conținutul de cupru ar trebui să fie de 8%. Aceasta înseamnă că 20 de tone de minereu de cupru vor conține 20 × 0,08 = 1,6 tone.

Adăugați expresiile 0,06 Xși 0,11(20 − X) și echivalează această sumă cu 1,6. Obținem ecuația 0,06x + 0,11(20 − X) = 1,6

Să rezolvăm această ecuație:

Aceasta înseamnă că pentru a obține 20 de tone de minereu cu un conținut de cupru de 8%, trebuie să luați 12 tone de minereu sărac. Bogații vor lua 20 − 12 = 8 tone.

Sarcina 11. După ce a crescut viteza medie de la 250 la 300 m/min, sportivul a început să alerge distanța cu 1 minut mai repede. Care este lungimea distantei?

Soluţie

Lungimea distanței (sau distanța distanței) poate fi descrisă prin următoarea ecuație cu litere:

Să folosim partea dreaptă a acestei ecuații pentru a scrie propria noastră ecuație. Inițial, sportivul a alergat distanța cu o viteză de 250 de metri pe minut. La această viteză, lungimea distanței va fi descrisă prin expresia 250 t

Apoi, sportiva și-a mărit viteza la 300 de metri pe minut. La această viteză, lungimea distanței va fi descrisă prin expresie 300t

Rețineți că lungimea distanței este o valoare constantă. Din faptul că sportivul mărește viteza sau o reduce, lungimea distanței va rămâne neschimbată.

Acest lucru ne permite să echivalăm expresia 250 t la expresia 300 t, deoarece ambele expresii descriu lungimea aceleiași distanțe

250t = 300t

Dar sarcina spune că la o viteză de 300 de metri pe minut, sportivul a început să alerge distanța cu 1 minut mai repede. Cu alte cuvinte, la o viteză de 300 de metri pe minut, timpul de călătorie va scădea cu unu. Prin urmare, în ecuația 250 t= 300tîn partea dreaptă, timpul trebuie redus cu una:

Cu o viteză de 250 de metri pe minut, sportivul parcurge distanța în 6 minute. Cunoscând viteza și timpul, puteți determina lungimea distanței:

S= 250 × 6 = 1500 m

Și cu o viteză de 300 de metri pe minut, sportivul aleargă distanța pentru t− 1 , adică în 5 minute. După cum am menționat mai devreme, lungimea distanței nu se modifică:

S= 300 × 5 = 1500 m

Sarcina 12. Un călăreț depășește un pieton care se află la 15 km în fața lui. În câte ore va ajunge călărețul din urmă pe pieton dacă în fiecare oră primul călăreț parcurge 10 km, iar al doilea doar 4 km?

Soluţie

Această sarcină este . Se poate rezolva prin determinarea vitezei de apropiere și împărțirea distanței inițiale dintre călăreț și pieton la această viteză.

Viteza de închidere se determină scăzând viteza inferioară din cea mai mare:

10 km/h − 4 km/h = 6 km/h (viteza de apropiere)

În fiecare oră, distanța de 15 kilometri va fi redusă cu 6 kilometri. Pentru a afla când va scădea complet (când călărețul ajunge din urmă cu pietonul), trebuie să împărțiți 15 la 6

15:6 = 2,5 ore

2,5 h sunt două ore întregi și jumătate de oră. Și o jumătate de oră înseamnă 30 de minute. Deci, călărețul va depăși pietonul în 2 ore și 30 de minute.

Să rezolvăm această problemă folosind ecuația.

După aceea, după el, un călăreț a pornit pe drum cu o viteză de 10 km/h. Iar viteza de mers este de doar 4 km/h. Aceasta înseamnă că călărețul va depăși pietonul după ceva timp. Trebuie să găsim această dată.

Când călărețul îl ajunge din urmă pe pieton, va însemna că au parcurs aceeași distanță împreună. Distanța parcursă de călăreț și pieton este descrisă de următoarea ecuație:

Să folosim partea dreaptă a acestei ecuații pentru a scrie propria noastră ecuație.

Distanța parcursă de călăreț va fi descrisă prin expresia 10 t. Întrucât pietonul a pornit înaintea călărețului și a reușit să depășească 15 km, distanța parcursă de acesta va fi descrisă prin expresia 4 t + 15 .

Până când călărețul ajunge din urmă cu pietonul, ambii vor fi parcurs aceeași distanță. Acest lucru ne permite să echivalăm distanțele parcurse de călăreț și de mers:

Rezultatul este o ecuație simplă. Hai sa o rezolvam:

Sarcini pentru soluție independentă

Problema 1. Un tren de pasageri ajunge dintr-un oraș în altul cu 45 de minute mai repede decât un tren de marfă. Calculați distanța dintre orașe dacă viteza trenului de pasageri este de 48 km/h și viteza trenului de marfă este de 36 km/h.

Soluţie

Vitezele trenurilor în această problemă sunt măsurate în kilometri pe oră. Prin urmare, vom converti cele 45 de minute indicate în sarcină în ore. 45 de minute înseamnă 0,75 ore

Să notăm prin variabila timpul în care un tren de marfă ajunge în oraș t. Deoarece trenul de pasageri ajunge în acest oraș cu 0,75 ore mai repede, timpul deplasării sale va fi notat cu expresia t - 0,75

Trenul de pasageri a depășit 48( t - 0,75) km, iar marfa 36 t km. În măsura în care vorbim cam la aceeași distanță, echivalăm prima expresie cu a doua. Ca rezultat, obținem ecuația 48(t - 0.75) = 36t . Hai sa o rezolvam:

Acum să calculăm distanța dintre orașe. Pentru a face acest lucru, viteza unui tren de marfă (36 km / h) este înmulțită cu timpul deplasării acestuia t. Valoare variabilă t acum cunoscut - este egal cu trei ore

36 × 3 = 108 km

Pentru a calcula distanța, puteți utiliza și viteza trenului de pasageri. Dar în acest caz valoarea variabilei

Valoare variabilă t este egal cu 1,2. Așa că mașinile s-au întâlnit după 1,2 ore.

Răspuns: mașinile s-au întâlnit după 1,2 ore.

Sarcina 3. Există un total de 685 de lucrători în trei ateliere ale fabricii. În al doilea magazin sunt de trei ori mai mulți lucrători decât în ​​primul, iar în al treilea - cu 15 lucrători mai puțin decât în ​​al doilea magazin. Câți lucrători sunt în fiecare magazin?

Soluţie

Lasa X muncitorii erau în primul magazin. În al doilea atelier au fost de trei ori mai mulți decât în ​​primul, așa că numărul de muncitori din al doilea atelier poate fi notat cu expresia 3 X. Al treilea magazin avea cu 15 lucrători mai puțini decât al doilea. Prin urmare, numărul de muncitori din al treilea atelier poate fi notat cu expresia 3 X - 15 .

Problema spune că au fost 685 de muncitori în total.De aceea, putem adăuga expresiile X, 3X, 3X - 15 și echivalăm această sumă cu numărul 685. Ca rezultat, obținem ecuația x + 3x + ( 3X - 15) = 685

Printr-o variabilă X a fost indicat numărul muncitorilor din primul atelier. Acum am găsit valoarea acestei variabile, este egală cu 100. Deci erau 100 de muncitori în primul magazin.

În al doilea atelier au fost 3 X lucrători, adică 3 × 100 = 300. Și în al treilea atelier au fost 3 X - 15, adică 3 × 100 − 15 = 285

Răspuns:în primul atelier erau 100 de muncitori, în al doilea - 300, în al treilea - 285.

Sarcina 4. Două ateliere de reparații într-o săptămână ar trebui să repare 18 motoare conform planului. Primul atelier a finalizat planul cu 120%, iar al doilea cu 125%, astfel că 22 de motoare au fost reparate într-o săptămână. Ce plan săptămânal de reparații a motorului avea fiecare atelier?

Soluţie

Lasa X motoarele urmau să fie reparate de primul atelier. Apoi, al doilea atelier a trebuit să fie renovat 18 − X motoare.

De când primul atelier și-a finalizat planul cu 120%, asta înseamnă că a reparat 1.2 X motoare. Iar al doilea atelier și-a îndeplinit planul cu 125%, ceea ce înseamnă că a reparat 1,25 (18 − X) motoare.

Sarcina spune că au fost reparate 22 de motoare. Prin urmare, putem adăuga expresiile 1,2Xși 1,25 (18 − x) , apoi echivalăm această sumă cu numărul 22. Ca rezultat, obținem ecuația 1,2x + 1,25(18− x) = 22

Printr-o variabilă X a fost indicat numărul de motoare pe care trebuia să le repare primul atelier. Acum am găsit valoarea acestei variabile, este egală cu 10. Deci primul atelier a trebuit să repare 10 motoare.

Și prin expresia 18 − X a fost indicat numărul de motoare pe care urma să le repare al doilea atelier. Deci al doilea atelier a trebuit să repare 18 − 10 = 8 motoare.

Răspuns: primul atelier urma să repare 10 motoare, iar al doilea 8 motoare.

Problema 5. Prețul mărfurilor a crescut cu 30% și acum este de 91 de ruble. Cât era produsul înainte de creșterea prețului?

Soluţie

Lasa X mărfuri în valoare de ruble înainte de creșterea prețului. Daca pretul a crescut cu 30% inseamna ca a crescut cu 0,30 X ruble. După creșterea prețului, mărfurile au început să coste 91 de ruble. Adăugați x cu 0,30 Xși echivalăm această sumă cu 91. Ca rezultat, obținem ecuația Scăderea numărului cu 10% a dus la 45. Aflați valoarea inițială a numărului. X -

Răspuns: pentru a obține o soluție de sare de 12%, trebuie să adăugați 0,25 kg de soluție de 20% la 1 kg de soluție de 10%.

Problema 12. Sunt date două soluții de sare în apă, ale căror concentrații sunt de 20% și 30%. Câte kilograme din fiecare soluție trebuie amestecate într-un singur vas pentru a obține 25 kg dintr-o soluție 25,2%?

Soluţie

Lasa X trebuie luate kg din prima soluție. Deoarece este necesar să se pregătească 25 kg de soluție, masa celei de-a doua soluții poate fi notă cu expresia 25 − x.

Prima soluție va conține 0,20x kg de sare, iar a doua va conține 0,30(25 − x) kg de sare. În soluția rezultată, conținutul de sare va fi de 25 × 0,252 = 6,3 kg. Adăugați expresiile 0,20x și 0,30(25 − x), apoi egalați această sumă cu 6,3. Ca rezultat, obținem ecuația

Deci prima soluție trebuie luată 12 kg, iar a doua 25 - 12 = 13 kg.

Răspuns: prima soluție trebuie să luați 12 kg, iar a doua 13 kg.

Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noului nostru grup Vkontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții

Cauți cum să scrii o ecuație? . O soluție detaliată cu o descriere și explicații te va ajuta să faci față chiar și celei mai dificile sarcini și să faci o ecuație, fără excepție. Vă vom ajuta să vă pregătiți pentru teme, teste, olimpiade, precum și pentru admiterea la o universitate. Și indiferent de exemplu, indiferent de interogarea matematică pe care o introduceți, avem deja o soluție. De exemplu, „cum se scrie o ecuație”.

Utilizarea diferitelor probleme matematice, calculatoare, ecuații și funcții este larg răspândită în viața noastră. Ele sunt folosite în multe calcule, construcția de structuri și chiar sport. Matematica a fost folosită de om din cele mai vechi timpuri, iar de atunci utilizarea lor a crescut. Cu toate acestea, acum știința nu stă pe loc și ne putem bucura de roadele activităților sale, cum ar fi, de exemplu, un calculator online care poate rezolva probleme, cum ar fi cum se scrie o ecuație, cum se scrie o ecuație. Pe această pagină veți găsi un calculator care vă va ajuta să rezolvați orice întrebare, inclusiv cum să scrieți o ecuație. (de exemplu, cum se scrie o ecuație).

Unde pot rezolva orice problemă de matematică, precum și cum să fac o ecuație online?

Puteți rezolva problema cum să scrieți o ecuație pe site-ul nostru. Un solutor online gratuit vă va permite să rezolvați o problemă online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să vă introduceți datele în soluție. De asemenea, puteți viziona instrucțiunile video și puteți afla cum să vă introduceți corect sarcina pe site-ul nostru web. Și dacă aveți întrebări, le puteți adresa în chat-ul din stânga jos a paginii calculatorului.

A compune o ecuație înseamnă a exprima în formă matematică relația dintre datele (cunoscute) problemei și valorile cerute (necunoscute) ale acesteia. Uneori, această legătură este atât de clar cuprinsă în formularea problemei, încât formularea ecuației este pur și simplu o repovestire literală a problemei, în limbajul semnelor matematice.

Exemplul 1. Petrov a primit 160 de ruble pentru munca sa. mai mult de jumătate din suma pe care a primit-o Ivanov. Împreună au primit 1120 de ruble. Cât de mult au primit Petrov și Ivanov pentru munca lor? Fie x câștigul lui Ivanov. Jumătate din câștigurile sale sunt de 0,5x; Salariul lunar al lui Petrov este de 0,5x + 160 împreună câștigă 1120 de ruble; notaţia matematică a ultimei fraze ar fi

(0,5x + 160) + x = 1120.

Ecuația a fost făcută. Rezolvând-o conform regulilor odată stabilite, găsim câștigurile lui Ivanov x \u003d 640 de ruble; Câștigurile lui Petrov sunt 0,5x + 160=480 (ruble).

Mai des, însă, se întâmplă ca relația dintre date și cantitățile căutate să nu fie direct indicată în problemă; trebuie stabilit pe baza condiţiilor sarcinii. În problemele practice, acesta este aproape întotdeauna cazul. Exemplul tocmai dat este născocit; În viața reală, astfel de sarcini nu sunt aproape niciodată întâlnite.

Prin urmare, este imposibil să dați instrucțiuni complet exhaustive pentru compilarea unei ecuații. Cu toate acestea, la început este util să vă ghidați după următoarele. Să luăm pentru valoarea valorii dorite (sau mai multe valori) un număr (sau mai multe numere) luat la întâmplare și să ne punem sarcina de a verifica dacă am ghicit corect solutie corecta sarcini sau nu. Dacă am reușit să efectuăm acest test și să aflăm fie că presupunerea noastră este corectă, fie că este incorectă (a doua este cel mai probabil să se întâmple, desigur), atunci putem să compunem imediat ecuația dorită(sau mai multe ecuații). Și anume, vom nota exact acțiunile pe care le-am efectuat pentru a verifica, dar în loc de un număr luat la întâmplare, vom introduce un semn alfabetic cu o valoare necunoscută. Obținem ecuația necesară.

Exemplul 2. O bucată dintr-un aliaj de cupru și zinc cu un volum de 1 dm3 cântărește 8,14 kg. Cât de mult cupru este în aliaj? (greutatea specifică a cuprului 8,9 kg/dm3; zinc - 7,0 kg/dm3).

Să luăm la întâmplare un număr care exprimă volumul dorit de cupru, de exemplu, 0,3 dm3. Să verificăm dacă am luat cu succes acest număr. Deoarece 1 kg / dm3 de cupru cântărește 8,9 kg, atunci 0,3 dm3 cântărește 8,9 * 0,3 = 2,67 (kg). Volumul de zinc din aliaj este 1 - 0,3 = 0,7 (dm3). Greutatea sa este de 7,0 0,7 = 4,9 (kg). Greutatea totală a zincului și cuprului este de 2,67 + + 4,9 = 7,57 (kg). Între timp, greutatea piesei noastre, în funcție de starea problemei, este de 8,14 kg. Presupunerea noastră este invalidă. Dar, pe de altă parte, vom obține imediat o ecuație a cărei soluție va da răspunsul corect. În loc de un număr luat aleatoriu de 0,3 dm3, notăm volumul de cupru (în dm3) prin x. În loc de produsul 8,9 0,3 = 2,67 luăm produsele 8,9 x. Aceasta este greutatea cuprului din aliaj. În loc de 1 - 0,3 = 0,7 luăm 1 - x; aceasta este cantitatea de zinc. În loc de 7,0 0,7 = 4,9 luăm 7,0 (1 - x); aceasta este greutatea zincului. În loc de 2,67 + 4,9 luăm 8,9 x + 7,0 (1 - x); aceasta este greutatea combinată a zincului și cuprului. După condiție, este egal cu 8,14 kg; deci 8,9 x + 7,0 (1 - x) = 8,14.

Rezolvând această ecuație, rezultă x = 0,6. Verificarea unei soluții alese aleatoriu se poate face în diverse moduri; în consecință, pentru aceeași problemă se pot obține diferite tipuri de ecuații; toate, totuși, vor da aceeași soluție pentru valoarea dorită, astfel de ecuații se numesc echivalente între ele.

Desigur, după dobândirea abilităților în compilarea ecuațiilor, nu este nevoie să verificați aleatoriu numărul luat: puteți lua pentru valoarea valorii dorite nu un număr, ci o literă (x, y etc.) și să acționați ca și cum această scrisoare (necunoscută) a fost numărul pe care urmează să-l testăm.