Математические способности ребёнка. Психология математических способностей Пример развивает математические навыки
6.11. Краткий обзор исследований математических способностей
В исследованиях под руководством В.А. Крутецкого отражены разные уровни изучения проблемы математических, литературных и конструктивно-технических способностей. Однако все исследования были организованы и проводились по общей схеме:
1-й этап – исследование сущности, структуры конкретных способностей;
2-й этап – исследование возрастных и индивидуальных различий в структуре конкретных способностей, возрастной динамики развития структуры;
3-й этап – изучение психологических основ формирования и развития способностей.
Работы В. А. Крутецкого, И. В. Дубровиной, С. И. Шапиро дают общую картину возрастного развития математических способностей школьников на всём протяжении школьного обучения.
Специальное исследование математических способностей школьников провёл В.А. Крутецкий (1968) . Под способностью к изучению математики он понимает индивидуально-психологические особенности (прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обусловливающие при прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности, относительно быстрое, лёгкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики. В структуре математических способностей им выделены следующие основные компоненты:
1) способность к формализованному восприятию математического материала, схватыванию формальной структуры задачи;
2) способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий;
3) способность к свёртыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий – способность мыслить свёрнутыми структурами;
4) гибкость мыслительных процессов в математической деятельности;
5) способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключению с прямого на обратный ход мысли;
6) стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений;
7) математическая память (обобщённая память на математические отношения, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним). Методика исследования способностей к математике принадлежит В.А. Крутецкому (1968).
Дубровиной И.В. разработана модификация этой методики применительно к учащимся 2 – 4 классов .
Анализ материалов, изложенных в этой работе, позволяет сделать следующие выводы.
1. У способных к математике учащихся младшего школьного возраста довольно чётко обнаруживаются такие компоненты математических способностей, как способность к аналитико-синтетическому восприятию условий задач, способность к обобщению математического материала, гибкость мыслительных процессов. Менее ясно выражены в этом возрасте такие компоненты математических способностей, как способность к свёртыванию рассуждений и системы соответствующих действий, стремление к поиску наиболее рационального, экономного (изящного) способа решения задач.
Указанные компоненты наиболее отчётливо представлены лишь у учащихся группы «Очень способные» (ОС). Это же относится и к особенностям математической памяти младших школьников. Только у учащихся группы ОС можно обнаружить признаки обобщённой математической памяти.
2. Проявляются все указанные выше компоненты математических способностей на доступном для учащихся младшего школьного возраста математическом материале, поэтому в более или менее элементарном виде.
3. Заметно развитие всех указанных выше компонентов у способных к математике учащихся от 2 к 4 классу: с годами усиливается тенденция к относительно полному аналитико-синтетическому восприятию условия задачи; более широким, быстрым и уверенным становится обобщение математического материала; происходит довольно заметное развитие способности к свёртыванию рассуждений и системы соответствующих действий, которая первоначально формируется на основе однотипных упражнений, а с годами всё чаще проявляется «с места»; к 4 классу учащиеся значительно легче переключаются с одной умственной операции на другую, качественно иную, чаще видят одновременно несколько способов решения задачи; память постепенно освобождается от хранения конкретного частного материала, всё большее значение приобретает запоминание математических отношений.
4. У исследованных малоспособных (МС) учащихся младшего школьного возраста все перечисленные выше компоненты математических способностей проявляются на сравнительно низком уровне развития (способность к обобщению математического материала, гибкость мыслительных процессов) или не обнаруживаются совсем (способность к сокращению рассуждений и системы соответствующих действий, обобщённая математическая память).
5. Сформировать основные компоненты математических способностей на более или менее удовлетворительном уровне в процессе экспериментального обучения можно было у детей группы МС только в результате упорного, настойчивого, систематического труда как со стороны экспериментатора, так и со стороны учащихся.
6. Возрастные различия в развитии компонентов математических способностей у малоспособных к математике младших школьников выражены слабо и нечётко.
В статье С.И. Шапиро «Психологический анализ структуры математических способностей в старшем школьном возрасте» показано, что в отличие от менее способных учащихся, у которых информация, как правило, хранится в памяти в узкоконкретной форме, разрозненно и недифференцированно, способные к математике учащиеся запоминают, используют и воспроизводят материал в обобщённом, «свёрнутом» виде.
Значительный интерес представляет собой исследование математических способностей и их природных предпосылок И.А. Лёвочкиной , которая считает, что хотя математические способности и не были предметом специального рассмотрения в трудах Б.М.Теплова, однако ответы на многие вопросы, связанные с их изучением, можно найти в его работах, посвященных проблемам способностей. Среди них особое место занимают две монографические работы – «Психология музыкальных способностей» и «Ум полководца», ставшие классическими образцами психологического изучения способностей и вобравшими в себя универсальные принципы подхода к этой проблеме, которые возможно и необходимо использовать при изучении любых видов способностей.
В обеих работах Б.М.Теплов не только дает блестящий психологический анализ конкретных видов деятельности, но и на примерах выдающихся представителей музыкального и военного искусства раскрывает необходимые составляющие, из которых складываются яркие таланты в этих областях. Особое внимание Б.М.Теплов уделил вопросу о соотношении общих и специальных способностей, доказывая, что успех в любом виде деятельности, в том числе в музыке и военном деле, зависит не только от специальных компонентов (например, в музыке – слух, чувство ритма), но и от общих особенностей внимания, памяти, интеллекта. При этом общие умственные способности неразрывно связаны со специальными способностями и существенно влияют на уровень развития последних.
Наиболее ярко роль общих способностей продемонстрирована в работе «Ум полководца». Остановимся на рассмотрении основных положений этой работы, поскольку они могут быть использованы при изучении других видов способностей, связанных с мыслительной деятельностью, в том числе и математических способностей. Проведя глубокое изучение деятельности полководца, Б.М. Теплов показал, какое место в ней занимают интеллектуальные функции. Они обеспечивают анализ сложных военных ситуаций, выявление отдельных существенных деталей, способных повлиять на исход предстоящих сражений. Именно способность к анализу обеспечивает первый необходимый этап в принятии верного решения, в составлении плана сражения. Вслед за аналитической работой наступает этап синтеза, позволяющего объединить в единое целое многообразие деталей. По мнению Б.М. Теплова, деятельность полководца требует равновесия процессов анализа и синтеза, при обязательном высоком уровне их развития.
Важное место в интеллектуальной деятельности полководца занимает память. Совсем не обязательно, чтобы она была универсальной. Гораздо важнее, чтобы она обладала избирательностью, то есть удерживала, прежде всего, необходимые, существенные детали. В качестве классического примера такой памяти Б.М. Теплов приводит высказывания о памяти Наполеона, который помнил буквально все, что имело непосредственное отношение к его военной деятельности, начиная от номеров частей и кончая лицами солдат. При этом Наполеон был неспособен запоминать бессмысленный материал, но обладал важной особенностью мгновенно усваивать то, что подчинялось классификации, определенному логическому закону.
Б.М. Теплов приходит к выводу, что «умение находить и выделять существенное и постоянная систематизация материала – вот важнейшие условия, обеспечивающие единство анализа и синтеза, то равновесие между этими сторонами мыслительной деятельности, которые отличают работу ума хорошего полководца» . Наряду с выдающимся умом полководец должен обладать определенными личностными качествами. Это, прежде всего, мужество, решительность, энергия, то есть то, что применительно к полководческой деятельности принято обозначать понятием «воля». Не менее важным личностным качеством является стрессоустойчивость. Эмоциональность талантливого полководца проявляется в сочетании эмоции боевого возбуждения и умении собраться, сосредоточиться.
Особое место в интеллектуальной деятельности полководца Б.М. Теплов отводил наличию такого качества, как интуиция. Он анализировал это качество ума полководца, сравнивая его с интуицией ученого. Между ними существует много общего. Основное же отличие, по мнению Б.М. Теплова, состоит в необходимости для полководца принятия срочного решения, от которого может зависеть успех операции, в то время как ученый не ограничен временными рамками. Но и в том и другом случае "озарению" должен предшествовать упорный труд, на основе которого и может быть принято единственно верное решение проблемы.
Подтверждения положениям, проанализированным и обобщенным Б.М. Тепловым с психологических позиций, можно обнаружить в работах многих выдающихся ученых, в том числе и математиков . Так, в психологическом этюде «Математическое творчество» Анри Пуанкаре подробно описывает ситуацию, при которой ему удалось сделать одно из открытий. Этому предшествовала долгая подготовительная работа, большой удельный вес в которой составлял, по мнению ученого, процесс бессознательного. За этапом «озарения» необходимо следовал второй этап – тщательной сознательной работы по приведению в порядок доказательства и его проверке. А. Пуанкаре пришел к выводу, что важнейшее место в математических способностях занимает умение логически выстроить цепь операций , которые приведут к решению задачи. Казалось бы, это должно быть доступно любому способному логически мыслить человеку. Однако далеко не каждый оказывается способным оперировать математическими символами с той же легкостью, что и при решении логических задач.
Для математика недостаточно иметь хорошую память и внимание. По мнению Пуанкаре, людей, способных к математике, отличает умение уловить порядок , в котором должны быть расположены элементы, необходимые для математического доказательства. Наличие интуиции такого рода – есть основной элемент математического творчества. Одни люди не владеют этим тонким чувством и не обладают сильной памятью и вниманием, поэтому не способны понимать математику. Другие – обладают слабой интуицией, но одарены хорошей памятью и способностью к напряженному вниманию, потому могут понимать и применять математику. Третьи – владеют такой особой интуицией и даже при отсутствии отличной памяти могут не только понимать математику, но и делать математические открытия .
Здесь речь идет о математическом творчестве , доступном немногим. Но, как писал Ж. Адамар, «между работой ученика, решающего задачу по алгебре или геометрии, и творческой работой разница лишь в уровне, в качестве, так как обе работы аналогичного характера» . Для того, чтобы понять, какие качества еще требуются для достижения успехов в математике, исследователями анализировалась математическая деятельность: процесс решения задач, способы доказательств, логических рассуждений, особенности математической памяти. Этот анализ привел к созданию различных вариантов структур математических способностей, сложных по своему компонентному составу. При этом мнения большинства исследователей сходились в одном – что нет и не может быть единственной ярко выраженной математической способности – это совокупная характеристика, в которой отражаются особенности разных психических процессов: восприятия, мышления, памяти, воображения.
Среди наиболее важных компонентов математических способностей выделяются специфическая способность к обобщению математического материала, способность к пространственным представлениям, способность к отвлеченному мышлению. Некоторые исследователи выделяют также в качестве самостоятельного компонента математических способностей математическую память на схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним. Исследование математических способностей включает в себя и решение одной из важнейших проблем – поиска природных предпосылок, или задатков, данного вида способностей. Долгое время задатки рассматривались как фактор, фатально предопределяющий уровень и направление развития способностей. Классики отечественной психологии Б.М. Теплов и С.Л. Рубинштейн научно доказали неправомерность такого понимания задатков и показали, что источником развития способностей является тесное взаимодействие внешних и внутренних условий. Выраженность того или иного физиологического качества ни в коей мере не свидетельствует об обязательном развитии конкретного вида способностей. Оно может являться лишь благоприятным условием для этого развития. Типологические свойства, входящие в состав задатков и являющиеся важной их составляющей, отражают такие индивидуальные особенности функционирования организма, как предел работоспособности, скоростные характеристики нервного реагирования, способность перестройки реакции в ответ на изменение внешних воздействий.
Свойства нервной системы, тесно связанные со свойствами темперамента, в свою очередь, влияют на проявление характерологических особенностей личности (В.С. Мерлин, 1986). Б.Г. Ананьев, развивая представления об общей природной основе развития характера и способностей, указывал на формирование в процессе деятельности связей способностей и характера, приводящих к новым психическим образованиям, обозначаемым терминами «талант» и «призвание» (Ананьев Б.Г., 1980). Таким образом, темперамент, способности и характер образуют как бы цепь взаимосвязанных подструктур в структуре личности и индивидуальности, имеющих единую природную основу (Э.А. Голубева, 1993).
Основные принципы комплексного типологического подхода к изучению способностей и индивидуальности подробно изложены Э.А. Голубевой в соответствующей главе монографии. Одним из важнейших принципов является использование, наряду с качественным анализом, измерительных методов диагностики разных характеристик индивидуальности. Исходя из этого, И.А. Лёвочкина строила экспериментальное исследование математических способностей. В конкретную задачу входила диагностика свойств нервной системы, которые рассматривались в качестве задатков математических способностей, изучение личностных особенностей математически одаренных учащихся и особенностей их интеллекта. Эксперименты проводились на базе школы № 91 г. Москвы, в которой есть специализированные математические классы. В эти классы принимаются старшеклассники со всей Москвы, в основном победители районных и городских олимпиад, прошедшие дополнительное собеседование. Преподавание математики здесь ведется по более углубленной программе, дополнительно читается курс математического анализа. Исследование проводилось совместно с Е.П. Гусевой и учителем-экспериментатором В.М. Сапожниковым.
Все ученики, с которыми довелось работать исследователю в 8-10 классах, уже определились в своих интересах и склонностях. Дальнейшую свою учебу и работу они связывают с математикой. Их успешность по математике значительно превосходит успешность учеников нематематических классов. Но при общей высокой успешности внутри этой группы учащихся наблюдаются существенные индивидуальные различия. Исследование строилось таким образом: учащихся наблюдали в процессе уроков, анализировали с помощью экспертов их контрольные работы, предлагали для решения экспериментальные задания, направленные на выявление некоторых компонентов математических способностей. Кроме того, с учащимися была проведена серия психологических и психофизиологических экспериментов. Изучались уровень развития и своеобразие интеллектуальных функций, выявлялись их личностные особенности и типологические особенности нервной системы. Всего на протяжении нескольких лет были обследованы 57 учеников с выраженными способностями к математике.
Результаты
Объективное измерение уровня интеллектуального развития при помощи теста Векслера у математически одаренных ребят показало, что большинство из них имеет очень высокий уровень общего интеллекта. Цифровые значения общего интеллекта многих учащихся, обследованных нами, превышали 130 баллов. Такой величины значения по некоторым нормативным классификациям обнаруживаются лишь у 2,2% населения. В подавляющем большинстве случаев наблюдали преобладание вербального интеллекта над невербальным. Сам по себе факт наличия высокоразвитого общего и вербального интеллекта у детей с выраженными математическими способностями не является неожиданным. Многие исследователи математических способностей отмечали, что высокая степень развития словесно-логических функций является необходимым условием для математических способностей. И.А. Лёвочкину интересовала не только количественная характеристика интеллекта, но и то, как она связана с психофизиологическими, природными особенностями учащихся. Индивидуальные особенности нервной системы диагностировались с помощью электроэнцефалографической методики. В качестве показателей свойств нервной системы были использованы фоновые и реактивные характеристики электроэнцефалограммы, запись которой производилась на 17-ти канальном энцефалографе. По этим показателям проводилась диагностика силы, лабильности и активированности нервной системы.
И.А. Лёвочкина установила, используя статистические методы анализа, что более высокий уровень вербального и общего интеллекта в этой выборке имели обладатели более сильной нервной системы. Они же имели и более высокие оценки успеваемости по предметам естественного и гуманитарного циклов. По данным других исследователей, полученным на подростках-старшеклассниках общеобразовательных школ, более высокий уровень интеллекта и лучшую успеваемость имели обладатели слабой нервной системы (Голубева Э.А. с соавт. 1974, Кадыров Б.Р. 1977). Причину такого расхождения следует, вероятно, искать, прежде всего, в характере самой учебной деятельности. Учащиеся математических классов испытывают значительно большие учебные нагрузки, по сравнению с учениками обычных классов. С ними проводятся дополнительные факультативы, кроме того, помимо обязательных домашних и классных заданий, они решают множество заданий, связанных с подготовкой в высшие учебные заведения. Интересы этих ребят смещены в сторону повышенной постоянной умственной нагрузки. Такие условия деятельности предъявляют повышенные требования к выносливости, работоспособности, а поскольку главным, определяющим признаком свойства силы нервной системы является способность выдерживать длительное возбуждение, не входя в состояние запредельного торможения, то, видимо. поэтому наибольшую результативность демонстрируют те учащиеся, которые обладают такими характеристиками нервной системы, как выносливость, работоспособность.
В.А. Крутецкий, изучая математическую деятельность способных к математике учеников, обращал внимание на их характерную особенность – способность к длительному поддержанию напряжения, когда ученик может долго и сосредоточенно заниматься, не обнаруживая усталости. Эти наблюдения позволили ему предположить, что такое свойство, как сила нервной системы, может являться одной из природных предпосылок, благоприятствующих развитию математических способностей. Полученные нами соотношения отчасти подтверждают это предположение. Почему лишь отчасти? Пониженная утомляемость в процессе занятий математикой отмечалась многими исследователями у способных к математике учеников по сравнению с неспособными к ней. И.А. Лёвочкина обследовала выборку, которая состояла только из способных учащихся. Однако среди них были не только обладатели сильной нервной системы, но и те, кто характеризовались как обладатели слабой нервной системы. Это означает, что не только высокая общая работоспособность, являющаяся благоприятной природной основой для успешности в данном виде деятельности, может обеспечивать развитие математических способностей.
Анализ личностных особенностей показал, что в целом для группы учащихся с более слабой нервной системы оказались более характерны такие черты личности, как разумность, рассудительность, упорство (фактор J+ по Кеттеллу), а также независимость, самостоятельность (фактор Q2+). Лица с высокими оценками по фактору J уделяют много внимания планированию поведения, анализируют свои ошибки, проявляя при этом «осторожный индивидуализм». Высокие оценки по фактору Q2 имеют люди, склонные к самостоятельному принятию решений, способные нести за них ответственность. Этот фактор обозначается как «мыслящая интроверсия». Вероятно, обладатели слабой нервной системы достигают успешности в данном виде деятельности в том числе за счет формирования таких качеств, как планирование действий, самостоятельность.
Можно также предположить, что разные полюса данного свойства нервной системы могут быть связаны с разными компонентами математических способностей. Так известно, что свойство слабости нервной системы характеризуется повышенной чувствительностью. Именно она может лежать в основе способности интуитивного, внезапного постижения истины, «озарения» или догадки, что является одним из важных компонентов математических способностей. И хотя это только предположение, но его подтверждение можно найти в конкретных примерах среди математически одаренных учеников. Вот два самых ярких таких примера . Дима на основании результатов объективной психофизиологической диагностики может быть отнесен к представителям сильного типа нервной системы. Он – «звезда первой величины» в математическом классе. Важно отметить то, что блестящих успехов он достигает без каких-либо видимых усилий, с легкостью. Никогда не жалуется на усталость. Уроки, занятия математикой являются для него необходимой постоянной умственной гимнастикой. Особое предпочтение отдается решению нестандартных, сложных задач, требующих напряжения мысли, глубокого анализа, строгой логический последовательности. Дима не допускает неточностей в изложении материала. Если учитель при объяснении делает логические пропуски, Дима обязательно обратит на это внимание. Его отличает высокая интеллектуальная культура. Это подтверждается и результатами тестирования. У Димы самый высокий в обследованной группе показатель общего интеллекта – 149 усл.ед.
Антон – один из самых ярких представителей слабого типа нервной системы, которого нам довелось наблюдать среди математически одаренных ребят. Он очень быстро утомляется на уроке, не в состоянии долго и сосредоточенно работать, часто оставляет одни дела, чтобы без достаточного обдумывания взяться за другие. Случается, что он отказывается от решения задачи, если предвидит, что оно потребует больших усилий. Однако, несмотря на эти особенности, учителя очень высоко оценивают его математические способности. Дело в том, что он обладает прекрасной математической интуицией. Часто бывает, что он первым решает сложнейшие задания, выдавая конечный результат и опуская при этом все промежуточные этапы решения. Для него характерна способность к «озарению». Он не затрудняет себя объяснением, почему выбрано именно такое решение, но на проверку оно оказывается оптимальным и оригинальным.
Математические способности очень сложны и многогранны по своей структуре. И тем не менее, выделяются как бы два основных типа людей с их проявлением – это «геометры» и «аналитики». В истории математики яркими примерами этого могут являться такие имена, как Пифагор и Евклид (крупнейшие геометры), Ковалевская и Клейн (аналитики, создатели теории функций). В основе такого деления лежат прежде всего индивидуальные особенности восприятия действительности, в том числе и математического материала. Оно определяется не предметом, над которым работает математик: аналитики и в геометрии остаются аналитиками, тогда как геометры любую математическую реальность предпочитают воспринимать образно. В этой связи уместно привести высказывание А. Пуанкаре: «Отнюдь не обсуждаемый ими вопрос заставляет их использовать тот или другой метод. Если часто об одних говорят, что они аналитики, а других называют геометрами, то это не мешает тому, что первые остаются аналитиками, даже когда занимаются вопросами геометрии, в то время как другие являются геометрами, даже если занимаются чистым анализом» .
В школьной практике при работе с одаренными учащимися эти различия проявляются не только в разной успешности овладения разными разделами математики, но и в предпочтительном отношении к принципам решения задач. Одни ученики любые задачи стремятся решить с помощью формул, логического рассуждения, другие по возможности используют пространственные представления. Причем эти различия являются весьма устойчивыми. Конечно, среди учеников встречаются и такие, у которых наблюдается определенное равновесие этих характеристик. Они одинаково ровно овладевают всеми разделами математики, используя при этом разные принципы подхода к решению разных задач. Индивидуальные различия между учащимися в подходах к решению задач и методах их решения были выявлены И.А. Лёвочкиной не только благодаря наблюдению за учащимися при работе на уроках, но и экспериментальным путем. Для анализа отдельных компонентов математических способностей учителем-экспериментатором В.М. Сапожниковым была разработана серия специальных экспериментальных задач. Анализ результатов решения задач этой серии позволил получить объективное представление о характере мыслительной деятельности школьников и о соотношении образного и аналитического компонентов математического мышления.
Были выявлены учащиеся, которые лучше справлялись с решением алгебраических задач, а также те, кто лучше решал геометрические задачи. Эксперимент показал, что среди учащихся есть представители аналитического типа математического мышления, которые характеризуются явным преобладанием вербально-логического компонента. У них нет потребности в наглядных схемах, они предпочитают оперировать знаковыми символами. Мышление учащихся, оказывающих предпочтение геометрическим заданиям, характеризуется большей выраженностью наглядно-образного компонента. Эти учащиеся испытывают потребность в наглядном представлении и интерпретации в выражении математических отношений и зависимостей.
Из общего числа математически одаренных учеников, принявших участие в экспериментах, были выделены самые яркие «аналитики» и «геометры», составившие две крайние группы. В группу «аналитиков» вошли 11 человек, наиболее ярких представителей вербально-логического типа мышления. Группа «геометров» состояла из 5 человек, с ярким наглядно-образным типом мышления. Тот факт, что в группу ярких представителей «геометров» удалось отобрать значительно меньше учеников, можно объяснить, на наш взгляд, следующим обстоятельством. При проведении математических конкурсов и олимпиад недостаточно учитывается роль наглядно-образных компонентов мышления. В конкурсных заданиях удельный вес задач по геометрии невысок – из 4 – 5 заданий в лучшем случае одно направлено на выявление пространственных представлений у учащихся. Тем самым при отборе как бы «отсекаются» потенциально способные математики-геометры с ярким наглядно-образным типом мышления. Дальнейший анализ проводился с использованием статистического метода сравнения групповых различий (t-критерий Стьюдента) по всем, имевшимся в распоряжении психофизиологическим и психологическим показателям.
Известно, что типологическая концепция И.П. Павлова помимо физиологической теории свойств нервной системы включала в себя классификацию специально человеческих типов высшей нервной деятельности, различающихся по соотношению сигнальных систем. Это – «художники», с преобладанием первой сигнальной системы, «мыслители», с преобладанием второй сигнальной системы, и средний тип, с равновесием обеих систем. Для «мыслителей» наиболее характерным является абстрактно-логический способ переработки информации, тогда как «художники» обладают ярким образным целостным восприятием действительности. Безусловно, эти различия не носят абсолютный характер, а отражают лишь преимущественные формы реагирования. Те же принципы лежат в основе различий между «аналитиками» и «геометрами». Первые предпочитают аналитические способы решения любых математических задач, то есть по типу приближаются к «мыслителям». «Геометры» стремятся вычленить в задачах образные компоненты, тем самым действуют так, как характерно для «художников».
В последнее время появился ряд работ, в которых предпринимались попытки объединить учение об основных свойствах нервной системы с представлениями о специально человеческих типах – «художниках» и «мыслителях». Установлено, что к «художественному» типу тяготеют обладатели сильной, лабильной и активированной нервной системы, а к «мыслительному» – слабой, инертной и инактивированной нервной системы (Печенков В.В., 1989). В работе И.А. Лёвочкиной из показателей различных свойств нервной системы наиболее информативной психофизиологической характеристикой при диагностике типов математического мышления оказалась характеристика свойства силы–слабости нервной системы. В группу «аналитиков» вошли обладатели относительно более слабой нервной системы, по сравнению с группой «геометров», то есть выявленные различия между группами по свойству силы–слабости нервной системы оказались в русле ранее полученных результатов. По двум другим свойствам нервной системы (лабильности, активированности) статистически значимых различий установлено не было, а наметившиеся тенденции не противоречат исходным предположениям.
Проведен также сравнительный анализ результатов диагностики личностных особенностей, полученных с помощью опросника Кэттелла. Статистически значимые различия между группами были установлены по двум факторам – Н и J. По фактору Н группу «аналитиков» можно в целом характеризовать как относительно более сдержанную, с ограниченным кругом интересов (Н-). Обычно люди с низкими показателями по этому фактору замкнуты, не стремятся к дополнительным контактам с людьми. Группа «геометров» имеет по этому личностному фактору большие величины (Н+) и отличается по нему определенной беззаботностью, общительностью. Такие люди не испытывают трудностей в общении, много и охотно идут на контакты, не теряются в неожиданных обстоятельствах. Они артистичны, способны выдерживать значительные эмоциональные нагрузки. По фактору J, который в целом характеризует такую черту личности, как индивидуализм, группа «аналитиков» имеет высокие среднегрупповые значения. Это означает, что им свойственны разумность, рассудительность, упорство. Люди, имеющие высокий вес по этому фактору, уделяют много внимания планированию своего поведения, при этом оставаясь замкнутыми и действуя индивидуально.
В противовес им, ребята, входящие в группу «геометров», энергичны, экспрессивны. Они любят совместные действия, готовы включиться в групповые интересы и проявить при этом свою активность. Наметившиеся различия показывают, что исследуемые группы математически одаренных учащихся наиболее расходятся по двум факторам, которые, с одной стороны, характеризуют определенную эмоциональную направленность (сдержанность, рассудительность – беззаботность, экспрессивность), с другой, особенности в межличностных отношениях (замкнутость – общительность). Интересно, что описание этих черт в значительной степени совпадает с описанием типов экстравертов–интровертов, предложенных Айзенком. В свою очередь, эти типы имеют определенную психофизиологическую интерпретацию. Экстраверты – это сильные, лабильные, активированные; интроверты – слабые, инертные, инактивированные. Тот же набор психофизиологических характеристик получен для специально человеческих типов высшей нервной деятельности – «художников» и «мыслителей».
Результаты, полученные И.А. Лёвочкиной, позволяют выстроить определенные синдромы взаимосвязи психофизиологических, психологических признаков и типов математического мышления.
«Аналитики» «Геометры»
(абстрактно-логический (наглядно-образный тип мышления)
тип мышления)
Слабая н.с. Сильная н.с. рассудительность беззаботность замкнутость общительность интроверты экстраверты
Таким образом, проведенное И.А. Лёвочкиной комплексное исследование математически одаренных школьников позволило экспериментально подтвердить наличие определенного сочетания психологических и психофизиологических факторов, составляющих благоприятную основу для развития математических способностей. Это касается как общих, так и специальных моментов в проявлении данного вида способностей.
Несколько слов о способностях к чтению чертежей .
В исследовании Н. П. Линьковой «Способности к чтению чертежей у младших школьников» доказано, что умение читать и выполнять чертежи – одно из условий, обеспечивающих успешность деятельности в области техники. Поэтому изучение способностей к чтению чертежей входит в качестве составной части в исследование, посвященное техническому творчеству.
Обычно конструктор использует чертежи для выражения мыслей, возникающих у него в процессе решения задачи.
Конструктору необходим такой уровень владения навыками чтения чертежей, при котором сам процесс создания образа по его плоскому изображению превращается из специальной цели в средство, помогающее решать какую-либо другую задачу.
Разница между этими двумя уровнями владения навыками чтения чертежей заключается не только в том, какая цель при этом ставится – представить объект по его изображению или использовать полученный образ для решения какой-либо задачи, но и в самом характере деятельности.
Эксперименты, проведённые с младшими школьниками, подтвердили результаты, полученные в работе с учениками старших классов.
Для успешного овладения приёмами чтения чертежей наиболее важной является способность ученика к определённым логическим операциям. К ним, прежде всего, относится умение проводить логический анализ изображений и соотносить их между собой, выдвигать гипотезы, предвосхищающие решения, делать логические заключения на основе имеющихся изображений и проводить необходимую проверку своих предположений.
Способность к овладению такого рода операциями, условно названную способностью к логическому мышлению, можно считать центральной среди компонентов, обеспечивающих успешное овладение приёмами чтения чертежей.
Она должна сочетаться с гибкостью мышления, со способностью отказываться от неправильного пути, по которому пошло решение, или даже от уже полученного решения.
Мысленное представление образа объекта на основе его изображения может возникнуть только в результате такого анализа.
Появление образа является результатом определённых действий. Если задача для ученика слишком лёгкая, эти действия носят свёрнутый, малозаметный характер. Но они сразу же проявляются в случае усложнения задачи или появления в ходе решения каких-либо затруднений.
Успешность чтения чертежей обеспечивается одновременно и логическим анализом изображения, и деятельностью пространственного воображения, без которого невозможно возникновение образа. Однако логическому анализу принадлежит в этой работе ведущая роль. Он определяет направление поиска решения – неудачный или неполный анализ приводит к появлению неправильного образа.
Способность к созданию устойчивых и ярких образов в данной ситуации только усложнит положение.
2. Эксперименты показали, что у некоторых учеников младшего школьного возраста компоненты способностей, необходимые для овладения приёмами чтения чертежей, достигли такого уровня, что они без всяких затруднений выполняют самые разнообразные задания из школьного курса черчения.
У большей же части учеников этого возраста необходимость проводить логический анализ изображений, делать умозаключения и обосновывать свои решения вызывает серьёзные затруднения. Речь идёт о степени развития способности к логическому мышлению.
Вывод: обучение проекционному черчению можно начинать в начальной школе. Возможность организации такого обучения была проверена в ходе специального эксперимента, проведённого совместно с Э.А. Фарапоновой (Линькова, Фарапонова, 1967).
Но при организации такого обучения в методику должны быть внесены серьёзные изменения.
Эти изменения должны, прежде всего, идти по линии ослабления на первом этапе обучения требований к логическому анализу. Не менее важно, если не разгрузить, то хотя бы не усложнять требований, предъявляемых к пространственному воображению введением таких приёмов объяснения материала, как проектирование точек на плоскости трёхгранного угла, мысленный поворот моделей или их изображений.
Объясняется данное требование не столько слабым развитием у детей этого возраста пространственного воображения (большей частью оно оказывается достаточно развитым), сколько их неподготовленностью к одновременному выполнению нескольких операций.
Проведённое исследование показало наличие очень больших индивидуальных различий между учениками в степени развития у них способностей, необходимых для овладения приёмами чтения чертежей, начиная с момента прихода их в школу. Вопрос о причинах этих различий и о путях развития данных способностей не рассматривается в исследовании Н.П. Линьковой.
| " |
Способности к математике – это один из данных природой талантов, проявляющийся уже с раннего возраста и связанный напрямую со становлением творческого потенциала, стремлением к познанию мира вокруг малыша. Но почему изучение математики так сложно дается некоторым детям и можно ли улучшить эти способности?
Мнение, что математика подвластна лишь одарённым детям, ошибочно. Математические способности, как и прочие таланты, являются результатом гармоничного развития ребенка, и начинать надо с самого раннего возраста.
В современном компьютерном мире с его цифровыми технологиями умение “дружить” с числами крайне необходимо. Много профессий основано на математике, развивающей мышление и относящейся к одному из самых важных факторов влияния на интеллектуальный рост детей. Эта точная наука, чья роль в воспитании и обучении ребенка неоспорима, развивает логику, учит последовательно мыслить, определять сходства, связи и отличия предметов и явлений, делает детский ум быстрым, внимательным и гибким.
Чтобы занятия математикой у детей пяти-семи лет были эффективными, необходим серьезный подход, и первым делом следует диагностировать их знания и умения – оценить, на каком уровне находятся у малыша логическое мышление и базовые математические понятия.
Диагностика математических способностей детей 5-7 лет по методу Белошистой А.В.
Если ребенок с математическим складом ума освоил устный счет еще в раннем возрасте, это еще не является основанием для стопроцентной уверенности в его будущем как гения математики. Навыки устного счёта – это лишь небольшой элемент точной науки и далеко не самый сложный. О наличии у ребенка способностей к математике свидетельствует особый способ мышления, которому присущи логика и абстрактное мышление, понимание схем, таблиц и формул, умение анализировать, способность видеть фигуры в пространстве (объемными).
Чтобы определить наличие у детей от младшего дошкольного (4-5 лет) до младшего школьного возраста данных способностей, существует система эффективной диагностики, созданная доктором педагогических наук Анной Витальевной Белошистой. Она основана на создании учителем или родителем определенных ситуаций, в которых ребенок должен применить то или иное умение.
Этапы диагностики:
- Проверка ребенка 5-6 лет на предмет владения навыками анализа и синтеза. На данном этапе можно оценить, как ребенок умеет сравнивать предметы различных форм, разделять их и обобщать по определенным признакам.
- Тестирование навыков образного анализа у детей в возрасте 5-6 лет.
- Проверка умения анализировать и синтезировать информацию, по результатам которого выявляется способность дошкольника (первоклассника) определять формы различных фигур и замечать их в сложных картинках с наложенными друг на друга фигурами.
- Тестирование с целью определения у ребенка понимания базовых тезисов математики – речь идет о понятиях “больше” и “меньше”, порядковом счете, форме простейших геометрических фигур.
Первые два этапа такой диагностики проводятся в начале учебного года, остальные – в конце, что дает возможность оценить динамику математического развития ребенка.
Применяемый для проверки материал должен быть понятным и интересным для детей – соответствующим возрасту, ярким и с картинками.
Диагностика математических способностей ребенка по методу Колесниковой Е.В.
Елена Владимировна создала немало учебно-методических пособий для развития математических способностей у дошкольников. Её метод тестирования детей 6 и 7 лет получил широкое распространение у учителей и родителей разных стран и соответствует требованиям ФГОС (Россия).
Благодаря методу Колесниковой можно максимально точно установить уровень основных показателей развития математических навыков детей, узнать их готовность к школе, определить слабые стороны для своевременного восполнения пробелов. Данная диагностика помогает найти пути улучшения математических способностей малыша.
Развитие математических способностей ребенка: советы родителям
С любой наукой, даже такой серьезной, как математика, малыша лучше знакомить в игровой форме – именно это будет лучшим методом обучения, который следует выбрать родителям. Прислушайтесь к словам известного ученого Альберта Эйнштейна: “Игра – это высшая форма исследования”. Ведь при помощи игры можно получить потрясающие результаты:
– познание себя и окружающего мира;
– формирование базы математических знаний;
– развитие мышления:
– становление личности;
– развитие коммуникабельности.
Применять можно различные игры:
- Счетные палочки. Благодаря им малыш запоминает формы предметов, развивает свое внимание, память, смекалку, формируются навыки сравнения и усидчивость.
- Головоломки, развивающие логику и смекалку, внимание и память. Логические задачи помогают детям научиться лучшему восприятию пространства, взвешенному планированию, простому и обратному, а также порядковому счету.
- Математические загадки – это отличный способ развития основных аспектов мышления: логики, анализа и синтеза, сравнения и обобщения. Во время поиска решения дети учатся самостоятельно делать выводы, справляться с трудностями и отстаивать свою точку зрения.
Развитие математических способностей через игру формирует учебный азарт, добавляет яркие эмоции, помогает малышу полюбить заинтересовавший его предмет изучения. Также стоит отметить, что игровая деятельность способствует и развитию творческих способностей.
Роль сказок в развитии математических способностей дошкольников
Детской памяти присущи свои особенности: она фиксирует яркие эмоциональные моменты, то есть ребенок запоминает ту информацию, которая связана с удивлением, радостью, восхищением. И учиться “из-под палки” – крайне неэффективный способ. В поиске результативных методов обучения взрослым следует вспомнить о таком простом и обыденном элементе, как сказка. Именно сказка является одним из первых средств знакомства малыша с окружающим миром.
Для детей сказка и реальность тесно связаны, волшебные персонажи – настоящие и живые. Благодаря сказкам развивается речь ребенка, его фантазия и смекалка; они дают понятие добра, честности, расширяют кругозор, а также дают возможность развивать и математические навыки.
К примеру, в сказке “Три медведя” малыш в ненавязчивой форме знакомится со счётом до трех, понятиями “маленький”, “средний” и “большой”. “Репка”, “Теремок”, “Козленок, который умел считать до 10”, “Волк и семеро козлят”, – в этих сказках можно научиться простому и порядковому счёту.
Обсуждая сказочных персонажей, можно предложить крохе сравнить их по ширине и высоте, “спрятать” в геометрических фигурах, подходящих по размеру или форме, что способствует развитию абстрактного мышления.
Использовать сказки можно не только дома, но и на занятиях в школе. Дети очень любят уроки, построенные на сюжетах их любимых сказок, с применением загадок, лабиринтов, пальцематики. Такие занятия станут настоящим приключением, в которых малыши будут принимать личное участие, а значит, и материал будет усвоен лучше. Главное – вовлечь детей в процесс игры и вызвать у них интерес.
Проблема формирования и развития математических способностей младших школьников актуальна в настоящее время, но, в то же время ей уделяется недостаточное внимание среди проблем педагогики. Математические способности относятся к специальным способностям, которые проявляются только в отдельном виде человеческой деятельности.
Часто преподаватели пытаются понять, почему дети, обучающиеся в одной и той же школе, у одних и тех же учителей, в одном и том же классе, достигают разных успехов в освоении этой дисциплиной. Ученые объясняют это наличием или отсутствием тех или иных способностей.
Способности формируются и развиваются в процессе обучения, овладения соответствующей деятельностью, поэтому нужно формировать, развивать, воспитывать и совершенствовать способности детей. В период с 3-4 лет до 8-9 лет происходит бурное развитие интеллекта. Поэтому в период младшего школьного возраста возможности развития способностей наиболее высокие. Под развитием математических способностей младшего школьника понимается целенаправленное дидактически и методически организованное формирование и развитие совокупности взаимосвязанных свойств и качеств математического стиля мышления ребенка и его способностей к математическому познанию действительности.
Первое место среди академических предметов, которые представляют собой особую трудность в учении, отводится математике, как одной из абстрактных наук. Для детей младшего школьного возраста чрезвычайно сложно воспринимать данную науку. Объяснение этому можно найти в трудах Л.С. Выготского. Он утверждал, что для того, «чтобы понять значение слова, нужно создать вокруг него смысловое поле. Для построения смыслового поля должна быть осуществлена проекция значения в реальную ситуацию». Из этого следует, что математика сложна, т. к. является абстрактной наукой, например, невозможно перенести в реальность числовой ряд, ведь его в природе не существует.
Из вышесказанного следует, что нужно развивать способности ребенка, при этом подходить к этой проблеме нужно индивидуально.
Проблему математических способностей рассматривали следующие авторы: Крутецкий В.А. «Психология математических способностей», Лейтес Н.С. «Возрастная одаренность и индивидуальные различия», Леонтьев А.Н. «Глава о способностях», Зак З.А. «Развитие интеллектуальных способностей у детей» и другие.
На сегодняшний день проблема развития математических способностей младших школьников - одна из наименее разработанных проблем, как методических, так и научных. Это определяет актуальность данной работы.
Цель данной работы : систематизация научных точек зрения по данной проблеме и выявление прямых и косвенных факторов, влияющих на развитие математических способностей.
При написании данной работы ставились следующие задачи :
1. Изучение психолого-педагогической литературы с целью выяснения сущности понятия способности в широком смысле слова, и понятия математические способности в узком смысле.
2. Анализ психолого-педагогической литературы, материалы периодической печати, посвященных проблеме исследования математических способностей в историческом развитии и на современном этапе.
Глава I . Сущность понятия способности.
1.1 Общее понятие способностей.
Проблема способностей является одной из наиболее сложных и наименее разработанных в психологии. Рассматривая её, прежде всего, следует учесть, что реальным предметом психологического исследования является деятельность и поведение человека. Нет сомнений, что источником понятия о способностях является бесспорный факт различия людей по количеству и качеству продуктивности их деятельности. Многообразие видов деятельности человека и количественно-качественная разница продуктивности позволяет различать виды и степени способностей. О человеке, делающем что-либо хорошо и быстро, говорят как о способном к этому делу. Суждение о способностях имеет всегда сравнительный характер, то есть основывается на сопоставлении продуктивности, умении одного человека с умением других. Критерием способности является уровень (результат) деятельности, которого одним удаётся достигнуть, а другим нет. История общественного и индивидуального развития учит, что всякое искусное умение достигается в результате более или менее напряжённой работы, различных, иногда гигантских, «сверхчеловеческих» усилий. С другой стороны, одни достигают высокого владения деятельностью, умения и умелости при меньшей затрате сил и быстрее, другие не выходят за пределы средних достижений, третьи оказываются ниже и этого уровня, даже если они усердно стараются, учатся и имеют благоприятные внешние условия. Именно представителей первой группы называют способными.
Способности человека, разные их типы и степени, относятся к важнейшим и сложнейшим проблемам психологии. Однако, научная разработка вопроса о способностях ещё недостаточна. Поэтому в психологии не существует единого определения способностей.
В.Г. Белинский понимал под способностями потенциальные природные силы личности, или её возможности.
По Б.М. Теплову, способности - это индивидуально-психологические особенности, отличающие одного человека от другого.
С.Л. Рубинштейн понимает под способностями пригодность к определённой деятельности.
Психологический словарь определяет способность как качество, возможность, умение, опыт, мастерство, талант. Способности позволяют совершать определённые действия в заданное время.
Способность - это готовность индивида к выполнению какого-либо действия; годность - имеющийся потенциал для выполнения какой-либо деятельности или возможность достичь определённого уровня развития способности.
На основе изложенного, можно дать общее определение способностей:
Способность представляет собой выражение соответствия между требованиями деятельности и комплексом нервно-психологических свойств человека, обеспечивающим высокую качественно-количественную продуктивность и рост его деятельности, которое проявляется в высокой и быстро растущей (по сравнению со средним человеком) умелости овладевать этой деятельностью и владеть ею.
1.2 Проблема развития понятия математических способностей за рубежом и в России.
Большое разнообразие направлений определило и большое разнообразие в подходе к исследованию математических способностей, в методических средствах и теоретических обобщениях.
Исследование математических способностей следует начинать с определения предмета исследования. Единственное, в чем сходятся все исследователи, это мнение о том, что следует различать обычные, «школьные» способности к усвоению математических знаний, к их репродуцированию и самостоятельному применению и творческие математические способности, связанные с самостоятельным созданием оригинального и имеющего общественную ценность продукта.
Еще в 1918 г. в работе Роджерс отмечались две стороны математических способностей, репродуктивная (связанная с функцией памяти) и продуктивная (связанная с функцией мышления). В соответствии с этим автор построил известную систему математических тестов.
Известный психолог Ревеш в книге «Талант и гений», изданной в 1952 году, рассматривает две основные формы математических способностей - аппликативную (как способность быстро обнаруживать математические отношения без предварительных проб и применять соответствующие знания в аналогичных случаях) и продуктивную (как способность открывать отношения, непосредственно не вытекающие из имеющихся знаний).
Большое единство взглядов проявляют зарубежные исследователи по вопросу о врожденности или приобретенности математических способностей. Если и здесь различать два разных аспекта этих способностей - «школьные» и творческие способности, то в отношении вторых существует полное единство - творческие способности ученого - математика являются врожденным образованием, благоприятная среда необходима только для их проявления и развития. Такова, например, точка зрения математиков, интересовавшихся вопросами математического творчества, - Пуанкаре и Адамара. О врожденности математического таланта писал и Бетц, подчеркивавший, что речь идет о способности самостоятельно открывать математические истины, «ибо понять чужую мысль могут, вероятно, все». Тезис о врожденной и наследственной природе математического таланта усиленно пропагандировал Ревеш.
В отношении «школьных» (учебных) способностей зарубежные психологи не высказываются столь единодушно. Здесь, пожалуй, доминирует теория параллельного действия двух факторов - биологического потенциала и среды. До недавних пор и в отношении школьных математических способностей господствовали идеи врожденности.
Еще в 1909-1910 гг. Стоун и независимо от него Куртис, изучая достижения в арифметике и способности к этому предмету, пришли к выводу о том, что едва ли можно говорить о математических способностях как об едином целом, даже в отношении арифметики. Стоун указал на то, что дети, искусные в вычислениях, часто отстают в области арифметических рассуждений. Куртис также показал, что возможно совмещение успешности ребенка в одной отрасли арифметики и его неуспешности - в другой. Отсюда они оба делали вывод, что каждая операция требует своей особой и относительно независимой способности. Некоторое время спустя аналогичное исследование провел Дейвис и пришел к таким же выводам.
Одним из значительных исследований математических способностей надо признать исследование шведского психолога Ингвара Верделина в его книге «Математические способности». Основной замысел автора заключался в том, чтобы, основываясь на мультифакторной теории интеллекта, проанализировать структуру математических способностей школьников, выявить относительную роль в этой структуре каждого из факторов. Верделин принимает, как отправное следующее определение математических способностей: «Математическая способность - это способность понимать сущность математических (и подобных им) систем, символов, методов и доказательств, заучивать, удерживать их в памяти и репродуцировать, комбинировать их с другими системами, символами, методами и доказательствами, использовать их при решении математических (и подобных им) задач». Автор разбирает вопрос о сравнительной ценности и объективности измерения математических способностей учебными отметками учителей и специальными тестами и отмечает, что школьные отметки ненадежны, субъективны и далеки от настоящего измерения способностей.
Большой вклад в исследование математических способностей внес известный американский психолог Торндайк. В работе «Психология алгебры» он дает массу всевозможных алгебраических тестов для определения и измерения способностей.
Митчелл в своей книге о природе математического мышления перечисляет несколько процессов, которые, по его мнению, характеризуют математическое мышление, в частности:
1. классификация;
2. способность понимать и использовать символы;
3. дедукция;
4. манипулирование с идеями и понятиями в абстрактной форме, без опоры на конкретное.
Браун и Джонсон в статье «Пути выявления и воспитания учащихся с потенциями в науках» указывают, что учителя-практики вычленили те особенности, которые характеризуют учащихся с потенциями в математике, а именно:
1. экстраординарная память;
2. интеллектуальная любознательность;
3. способность к абстрактному мышлению;
4. способность применять знания в новой ситуации;
5. способность быстро «видеть» ответ при решении задач.
Заключая обзор работ зарубежных психологов, следует заметить, что они не дают более или менее ясного и четкого представления о структуре математических способностей. К тому же надо еще иметь в виду, что в одних работах данные получены мало объективным интроспективным методом, а другие характеризуются чисто количественным подходом при игнорировании качественных особенностей мышления. Обобщая результаты всех упомянутых выше исследований, мы получим самые общие характеристики математического мышления, такие, как способность к абстракции, способность к логическому рассуждению, хорошая память, способность к пространственным представлениям и т.д.
В русской педагогике и психологии лишь отдельные работы посвящены психологи способностей вообще и психологии математических способностей в частности. Необходимо упомянуть оригинальную статью Д. Мордухай-Болтовского «Психология математического мышления». Автор писал статью с идеалистических позиций, придавая, например, особое значение «бессознательному мыслительному процессу», утверждая, что «мышление математика … глубоко внедряется в бессознательную сферу». Математик не осознает каждого шага своей мысли «внезапное появление в сознании готового решения какой-либо задачи, которую мы не могли долго решить, - пишет автор, - мы объясняем бессознательным мышлением, которое … продолжало заниматься задачей, … а результат всплывает за порог сознания».
Автор отмечает специфические характер математического таланта и математического мышления. Он утверждает, что способность к математике не всегда присуща даже гениальным людям, что между математическим и нематематическим умом есть разница.
Большой интерес представляет попытка Мордухай-Болтовского выделить компоненты математических способностей. К таким компонентам он относит, в частности:
1. «сильную память», оговаривалось, что имеется в виду «математическая память», память на «предмет того типа, с которым имеет дело математика»;
2. «остроумие», под которым понимается способность «обнимать в одном суждении» понятия из двух малосвязанных областей мысли, находить уже в известном сходное с данным;
3. быстроту мысли (быстрота мысли объясняется той работой, которую совершает бессознательное мышление в пользу сознательному).
Д. Мордухай-Болтовский высказывает также свои соображения по поводу типов математического воображения, которые лежат в основе разных типов математиков - «»геометров» и «алгебраистов». «Арифметики, алгебраисты и вообще аналитики, у которых открытие производится в самой абстрактной форме прерывных количественных символов и их взаимоотношений, не могут выражать так, как геометр». Он же высказал ценные мысли об особенностях памяти «геометров» и «алгебраистов».
Теория способностей создавалась на протяжении долгого времени совместным трудом виднейших психологов того времени: Б. М. Теплов, Л.С. Выготский, А.Н. Леонтьев, С.Л. Рубинштейн, Б.Г. Анафьев и другие.
Помимо общетеоретических исследований проблемы способностей, Б.М.Теплов своей монографией «Психология музыкальных способностей» положил начало экспериментальному анализу структуры способностей к конкретным видам деятельности. Значение этой работы выходит за рамки узкого вопроса о сущности и структуре музыкальных способностей, в ней нашли решение основные, принципиальные вопросы исследования проблемы способностей к конкретным видам деятельности.
За этой работой последовали аналогичные по идее исследования способностей: к изобразительной деятельности - В.И. Киреенко и Е.И. Игнатов, литературных способностей - А.Г. Ковалев, педагогических способностей - Н.В. Кузьмина и Ф.Н. Гоноболин, конструктивно-технических способностей - П.М. Якобсон, Н.Д. Левитов, В.Н. Колбановский и математических способностей - В.А. Крутецкий.
Ряд экспериментальных исследований мышления был проведен под руководством А.Н. Леонтьева. Выяснились некоторые вопросы творческого мышления, в частности, как человек приходит к идее решения задачи, способ решения которой прямо не вытекает из ее условия. Была установлена интересная закономерность: эффективность упражнений приводящих к правильному решению, различна в зависимости от того, на какой стадии решения основной задачи предъявляются вспомогательные упражнения, т. е. была показана роль наводящих упражнений.
Прямое отношение к проблеме способностей имеет серия исследований Л.Н. Ланды. В одной из первых работ этой серии - «О некоторых недостатках изучения мышления учащихся» - он ставит вопрос о необходимости раскрыть психологическую природу, внутренний механизм «умения думать». Воспитывать способности, по мнению Л.Н. Ланды, значит «обучить технике мышления», сформировать умения и навыки аналитико-синтетической деятельности. В другой своей работе - «Некоторые данные о развитие умственных способностей» - Л. Н. Ланда обнаружил существенные индивидуальные различия в усвоении школьниками нового для них метода рассуждения при решении геометрических задач на доказательство - различия в количестве упражнений, необходимых для овладения этим методом, различия в темпе работы, различия в формировании способности дифференцированного применения операций в зависимости от характера условия задачи и различия в усвоении операций.
Большое значение для теории умственных способностей вообще и математических способностей в частности имеют исследования Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова, Л.В. Занкова, А.В. Скрипченко.
Обычно считается, что мышление детей 7-10 лет имеет образный характер, отличается малой способностью к отвлечению и абстрагированию. Опытное обучение, осуществляемое под руководством Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова, показало, что уже в первом классе при специальной методике обучения, возможно дать ученикам в буквенной символике, т. е. в общем виде, систему знаний об отношениях величин, зависимостях между ними, ввести их в область формально знаковых операций. А.В. Скрипченко показал, что у учеников третьих - четвертых классов при соответствующих условиях можно сформировать умение решать арифметические задачи путем составления уравнения с одним неизвестным.
1.3 Математические способности и личность
Прежде всего, следует отметить характеризующее способных математиков и необходимое для успешной деятельности в области математики «единство склонностей и способностей в призвании», выражающееся в избирательно-положительном отношении к математике, наличии глубоких и действенных интересов в соответствующей области, стремлении и потребности заниматься ею, страстной увлеченности делом.Без склонности к математике не может быть подлинных способностей к ней. Если ученик не чувствует никакой склонности к математике, то даже хорошие способности вряд ли обеспечат вполне успешное овладение математикой. Роль, которую здесь играют склонность, интерес, сводится к тому, что интересующийся математикой человек усиленно занимается ею, а, следовательно, энергично упражняет и развивает свои способности.
Многочисленные исследования и характеристики одаренных, в области математики, детей свидетельствуют о том, что способности развиваются только при наличии склонностей или даже своеобразной потребности в математической деятельности. Проблема состоит в том, что нередко учащиеся способные к математике, но мало интересующиеся ею, и поэтому не имеющие особых успехов в овладении этим предметом. Но если учитель сумеет пробудить у них интерес к математике и желание заниматься ею, то такой ученик может добиться больших успехов.В школе нередко встречаются такие случаи: способный к математике ученик мало интересуется ею, и не проявляет особых успехов в овладении этим предметом. Но если учитель сумеет пробудить у него интерес к математике и склонность заниматься ею, то такой ученик, «захваченный» математикой, может быстро добиться больших успехов.
Из этого вытекает первое правило преподавания математики: умение заинтересовать наукой, подтолкнуть к самостоятельному развитию способностей. Переживаемые человеком эмоции так же являются важным фактором развития способностей в любой деятельности, не исключая и математическую деятельность. Радость творчества, чувство удовлетворения от напряженной умственной работы, мобилизуют его силы, заставляют преодолевать трудности. Все дети, имеющие способности к математике, отличаются глубоким эмоциональным отношением к математической деятельности, переживают настоящую радость, вызванную каждым новым достижением. Пробудить в ученике творческую жилку, научить любить математику - второе правило учителя математики.Многие учителя указывают, что способность к быстрому и глубокому обобщению может проявляться в каком-нибудь одном предмете, не характеризуя учебной деятельности школьника по другим предметам. Примером может служить то, что ребенок, способный обобщать и систематизировать материал по литературе, не проявляет подобные способности в области математики.
К сожалению, учителя подчас забывают, что общие по своей природе умственные способности, в ряде случаев выступают как специфические способности. Многим преподавателям свойственно применять объективную оценку, т. е. если ученик слабый по чтению, то он в принципе не может достичь высот в области математики. Такое мнение свойственно для учителей начальных классов, которые ведут комплекс предметов. Это ведет к неправильной оценке способностей ребенка, что, в свое очередь, ведет к отставанию в математике.
1.4 Развитие математических способностей у младших школьников.
Проблема способностей - это проблема индивидуальных различий. При самой лучшей организации методики обучения ученик будет успешнее и быстрее продвигаться в какой-нибудь одной области, чем в другой.
Естественно, что успех в учении определяется не только одними способностями школьника. В этом смысле имеет ведущее значение содержание и методы обучения, а также отношение ученика к предмету. Поэтому успешность и не успешность в обучении не всегда дают основания для суждений о характере имеющихся у школьника способностей.
Наличие слабых способностей у учащихся не освобождает учителя от необходимости, насколько возможно, развивать способности этих учащихся в данной области. Вместе с тем стоит не менее важная задача - всемерно развивать его способности в той области, в которой он проявляет их.
Нужно воспитывать способных и отбирать способных, при этом не забывая обо всех школьниках, всемерно поднимать общий уровень их подготовки. В связи с этим в своей работе нужно различные коллективные и индивидуальные методы работы, чтобы таким образом активизировать деятельность учащихся.
Процесс обучения должен носить комплексный характер как в плане организации самого процесса обучения, так в плане формирования у учащихся глубокого интереса к математике, умений и навыков решения задач, понимания системы математических знаний, решение с учащимися особой системы нестандартных задач, которые должны предлагаться не только на уроках, но и на контрольных работах. Таким образом, особая организация подачи учебного материала, хорошо продуманная система задач, способствуют увеличению роли содержательных мотивов изучения математики. Уменьшается число учащихся с ориентацией на результат.
На уроке должны всячески поощряться не просто решения задач, а необычность применяемого учащимися способа решения задач, в связи с этим особое значение возлагается не только на результат в ходе решения задачи, но красоту и рациональность способа.
Преподаватели успешно используют методику "составления задач" для определения направленности мотивации. Каждая задача оценивается по системе следующих показателей: характер задачи, ее правильность и отношение к исходному тексту. Этот же метод иногда используется вином варианте: после решения задачи учащимся предлагалось составить любые задачи, как-то связанные с исходной задачей.
Для создания психо-педагогических условий повышения эффективности организации системы процесса обучения используется принцип организации процесса обучения в форме предметного общения с использованием кооперативных форм работы учащихся. Это групповое решение задач и коллективное обсуждение выставления оценок, парная и бригадная формы работы.
Глава II. Развитие математических способностей у младших школьников как методическая проблема.
2.1 Общие особенности способных и талантливых детей
Проблема развития математических способностей детей — одна из наименее разработанных на сегодня методических проблем обучения математике в начальных классах.
Крайняя разнородность взглядов на само понятие математические способности обусловливает отсутствие сколько-нибудь концептуально обоснованных методик, что в свою очередь порождает сложности в работе учителей. Возможно, именно поэтому не только среди родителей, но и среди учителей распространено мнение: математические способности либо даны, либо не даны. И тут уж ничего не поделаешь.
Безусловно, способности к тому или иному виду деятельности обусловлены индивидуальными различиями психики человека, в основе которых лежат генетические комбинации биологических (нейрофизиологических) компонентов. Однако на сегодня нет доказательств того, что те или иные свойства нервных тканей напрямую влияют на проявление или отсутствие тех или иных способностей.
Более того, целенаправленная компенсация неблагоприятных природных задатков может привести к формированию личности, обладающей ярко выраженными способностями, чему в истории немало примеров. Математические способности относятся к группе так называемых специальных способностей (как и музыкальные, изобразительные и др.). Для их проявления и дальнейшего развития требуются усвоение определенного запаса знаний и наличие определенных умений, в том числе и умений применять имеющиеся знания в мыслительной деятельности.
Математика является одним из тех предметов, где индивидуальные особенности психики (внимание, восприятие, память, мышление, воображение) ребенка имеют решающее значение для его усвоения. За важными характеристиками поведения, за успешностью (или неуспешностью) учебной деятельности часто скрываются те природные динамические особенности, о которых говорилось выше. Нередко они порождают и различия в знаниях — их глубине, прочности, обобщенности. По этим качествам знаний, относящимся (наряду с ценностными ориентациями, убеждениями, навыками) к содержательной стороне психической жизни человека, обычно судят об одаренности детей.
Индивидуальность и одаренность — понятия взаимосвязанные. Исследователи, занимающиеся проблемой математических способностей, проблемой формирования и развития математического мышления, при всем различии мнений, отмечают прежде всего специфические особенности психики математически способного ребенка (а также профессионального математика), в частности, гибкость мышления, т.е. нешаблонность, неординарность, умение варьировать способы решения познавательной проблемы, легкость перехода от одного пути решения к другому, умение выходить за пределы привычного способа деятельности и находить новые способы решения проблемы при измененных условиях. Очевидно, что эти особенности мышления напрямую зависят от особой организованности памяти (свободных и связанных ассоциаций), воображения и восприятия.
Исследователи выделяют такое понятие, как глубина мышления, т.е. умение проникать в сущность каждого изучаемого факта и явления, умение видеть их взаимосвязи с другими фактами и явлениями, выявлять специфические, скрытые особенности в изучаемом материале, а также целенаправленность мышления, сочетающаяся с широтой, т.е. способностью к формированию обобщенных способов действий, умением охватить проблему целиком, не упуская деталей. Психологический анализ этих категорий показывает, что в их основе должна лежать специально сформированная или природная склонность к структурному подходу к проблеме и предельно высокая устойчивость, концентрация и большой объем внимания.
Таким образом, индивидуально типологические особенности личности каждого ученика в отдельности, под коими понимается и темперамент, и характер, и задатки, и соматическая организация личности в целом и т.д., оказывают существенное (а может быть, даже определяющее!) влияние на формирование и развитие математического стиля мышления ребенка, который, безусловно, является необходимым условием сохранения природного потенциала (задатков) ребенка в математике и его дальнейшего развития в ярко выраженные математические способности.
Опытные учителя-предметники знают, что математические способности — это «товар штучный», и если не заниматься таким ребенком индивидуально (индивидуально, а не в рамках кружка или факультатива), то способности могут и не развиться дальше.
Именно поэтому мы часто наблюдаем, как первоклассник с выделяющимися способностями к третьему классу «выравнивается», а в пятом и вовсе перестает отличаться от других детей. Что это? Исследования психологов показывают, что могут быть разные типы возрастного умственного развития:
. «Ранний подъем» (в дошкольном или младшем школьном возрасте) — обусловлен наличием ярких природных способностей и задатков соответствующего типа. В дальнейшем может произойти закрепление и обогащение умственных достоинств, что послужит стартом для становления выдающихся умственных способностей.
При этом факты показывают, что почти все ученые, проявившие себя до 20 лет, были математиками.
Но может произойти и «выравнивание» со сверстниками. Мы полагаем, что такое «выравнивание» во многом обусловлено отсутствием грамотного и методически активного индивидуального подхода к ребенку в ранний период.
«Замедленный и растянутый подъем», т.е. постепенное накопление интеллекта. Отсутствие ранних достижений в этом случае не означает, что предпосылки больших или выдающихся способностей не выявятся в дальнейшем. Таким возможным «подъемом» является возраст 16-17 лет, когда фактором «интеллектуального взрыва» служит социальная переориентация личности, направляющая ее активность в это русло. Однако такой «подъем» может произойти и в более зрелые годы.
Для учителя начальных классов наиболее актуальной является проблема «раннего подъема», приходящаяся на возраст 6-9 лет. Не секрет, что один такой ярко-способный ребенок в классе, обладающий к тому же сильным типом нервной системы, способен, в буквальном смысле слова, никому из детей и рта открыть на уроке не дать. И в результате вместо того, чтобы максимально стимулировать и развивать маленького «вундеркинда», учитель вынужден учить его молчать (!) и «держать свои гениальные мысли при себе, пока не спросят». Ведь в классе 25 других детей! Такое «притормаживание», если оно идет систематически, и может привести к тому, что через 3-4 года ребенок «выравнивается» со сверстниками. А поскольку математические способности относятся к группе «ранних способностей», то, возможно, именно математически способных детей мы теряем в процессе этого «притормаживания» и «выравнивания».
Психологические исследования показали, что хотя развитие учебных способностей и творческой одаренности у типологически различных детей протекает по-разному, равно высокой степени развития этих способностей могут добиться (достигнуть) дети с противоположными характеристиками нервной системы. В связи с этим учителю, возможно, по лезнее ориентироваться не на типологические особенности нервной системы детей, а на некоторые общие особенности способных и талантливых детей, которые отмечают большинство исследователей этой проблемы.
Разные авторы выделяют разный «комплект» общих особенностей способных детей в рамках тех видов деятельности, в которых эти способности исследовались (математика, музыка, живопись и т.д.). Мы полагаем, что учителю удобнее опираться на некоторые чисто процессуальные характеристики деятельности способных детей, которые, как показывает сопоставление ряда специальных психологических и педагогических исследований по этой теме, оказываются едиными для детей с различными видами способностей и одаренности. Исследователи отмечают, что большинству способных детей свойственны:
Повышенная склонность к умственным действиям и положительный эмоциональный отклик на любую новую умственную нагрузку. Эти дети не знают, что такое скука — у них всегда есть занятие. Некоторые психологи вообще трактуют эту черту как возрастной фактор одаренности.
Постоянная потребность в возобновлении и усложнении умственной нагрузки, что влечет за собой постоянное повышение уровня достижений. Если этого ребенка не нагружать, то он сам находит себе нагрузку и может сам освоить шахматы, музыкальный инструмент, радиодело и т.д., изучать энциклопедии и справочники, читать специальную литературу и т.д.
Стремление к самостоятельному выбору дел и планированию своей деятельности. Этот ребенок имеет обо всем свое мнение, упорно отстаивает неограниченную инициативу своей деятельности, обладает высокой (почти всегда адекватной при этом) самооценкой и весьма настойчив в самоутверждении в выбранной области.
Совершенная саморегуляция. Этот ребенок способен на полную мобилизацию сил для достижения цели; способен неоднократно возобновлять умственные усилия, стремясь добиться поставленной цели; имеет как бы «изначальную» установку на преодоление любых трудностей, а неудачи его только заставляют с завидным упорством стремиться их одолеть.
Повышенная работоспособность. Длительные интеллектуальные нагрузки не утомляют этого ребенка, наоборот, он чувствует себя хорошо именно в ситуации наличия проблемы, требующей решения. Чисто инстинктивно он умеет использовать все резервы своей психики и своего мозга, мобилизуя и переключая их в нужный момент.
Хорошо видно, что эти общие процессуальные характеристики деятельности способных детей, признаваемые психологами статистически значимыми, не присущи однозначно какому-то одному типу нервной системы человека. Поэтому педагогически и методически общая тактика и стратегия индивидуального подхода к способному ребенку, очевидно, должна строиться на таких психологических и дидактических принципах, которые обеспечивают учет указанных выше процессуальных характеристик деятельности этих детей.
С педагогической позиции способный ребенок в наибольшей степени нуждается в инструктивном стиле отношений с учителем, требующем большей информативности и обоснованности выдвигаемых требований со стороны учителя. Инструктивный стиль в противоположность императивному стилю, господствующему в начальной школе, предполагает апеллирование к личности ученика, учет его индивидуальных особенностей и ориентацию на них. Такой стиль отношений способствует развитию независимости, инициативности и творческих потенций, что отмечается многими педагогами-исследователями. Столь же очевидно, что с дидактической точки зрения способные дети нуждаются, как минимум, в обеспечении оптимального темпа продвижения в содержании и оптимального объема учебной нагрузки. Причем оптимального для себя, для своих способностей, т.е. более высокого, чем для обычных детей. Если учесть при этом необходимость в постоянном усложнении умственной нагрузки, настойчивую тягу к саморегуляции своей деятельности и повышенную работоспособность этих детей, можно с достаточной уверенностью утверждать, что в школе эти дети отнюдь не являются «благополучными» учениками, поскольку их учебная деятельность постоянно проходит не в зоне ближайшего развития (!), а далеко позади этой зоны! Таким образом, в отношении этих учеников мы (вольно или невольно) постоянно нарушаем нами провозглашаемое кредо, основной принцип развивающего обучения, требующий обучения ребенка с учетом зоны его ближайшего развития.
Работа со способными детьми в начальных классах сегодня ничуть не менее «больная» проблема, чем работа с неуспевающими.
Ее меньшая «популярность» в специальных педагогических и методических изданиях объясняется ее меньшей «бросаемостью в глаза», так как двоечник — это вечный источник неприятностей для учителя, а то, что Петина пятерка и вполовину не отражает его возможностей, это знает только учитель (и то не всегда), да Петины родители (если занимаются этим вопросом специально). При этом постоянная «недогрузка» способного ребенка (а норма для всех — это недогрузка для способного ребенка) будет способствовать недостаточной стимуляции развития способностей, не только «неиспользованию» потенциала такого ребенка (см. пункты выше), но и возможному угасанию этих способностей как невостребованных в учебной деятельности (ведущей в этот период жизни ребенка).
Есть и более серьезное и неприятное следствие этого: такому ребенку слишком легко учиться на начальном этапе, в результате у него не формируется в достаточной мере умение преодолевать трудности, не формируется иммунитет к неудачам, чем в большей мере объясняется массовый «обвал» успеваемости таких детей при переходе из начального в среднее звено.
Для того чтобы учитель массовой школы мог успешно справляться с работой со способным ребенком по математике, недостаточно обозначить педагогические и методические аспекты проблемы. Как показала тридцатилетняя практика реализации системы развивающего обучения, для того чтобы эта проблема могла быть решена в условиях обучения в массовой начальной школе, необходимо конкретное и принципиально новое методическое решение, в полном виде представленное учителю.
К сожалению, на сегодняшний день практически отсутствуют специальные методические пособия для учителей начальных классов, предназначенные для работы со способными и одаренными детьми на уроках математики. Мы не можем привести ни одного такого пособия или методической разработки, если не считать разнообразных сборников типа «Математической шкатулки». Для работы со способными и одаренными детьми нужны не занимательные задания, это слишком убогая пища для их ума! Нужна специальная система и специальные «параллельные» к существующим учебные пособия. Отсутствие методического обеспечения индивидуальной работы со способным ребенком по математике приводит к тому, что учителя начальной школы этой работой не занимаются совсем (нельзя считать индивидуальной кружковую или факультативную работу, где группа детей решает с учителем занимательные задания, как правило, не системно подобранные). Можно понять проблемы молодого учителя, у которого не хватает ни времени, ни знаний для подбора и систематизации соответствующих материалов. Но и учитель с опытом не всегда готов к решению такой проблемы. Другим (и, пожалуй, главным!) сдерживающим фактором является здесь наличие единого для всего класса учебного пособия. Работа по единому для всех детей учебному пособию, по единому календарному плану просто не позволяет учителю реализовать требование индивидуализации темпа обучения способного ребенка, а единый для всех детей содержательный объем учебника не позволяет реализовать требование индивидуализации объема учебной нагрузки (не говоря уже о требовании саморегуляции и самостоятельном планировании деятельности).
Мы полагаем, что создание специальных методических материалов по математике для работы со способными детьми — это единственно возможный способ реализации принципа индивидуализации обучения в отношении этих детей в условиях обучения целого класса.
2.2 Методика долгосрочных заданий
Методика использования системы долгосрочных заданий рассматривалась Е.С. Рабунским при организации работы со старшеклассниками в процессе обучения немецкому языку в школе.
В ряде педагогических исследований рассматривалась возможность создания систем таких заданий по различным предметам для учеников старших классов как по усвоению нового материала, так и по устранению пробелов знаний. В ходе исследований отмечено, что абсолютное большинство учеников предпочитает и тот, и другой вид работы выполнять в форме «долгосрочных заданий» или «отсроченной работы». Такой вид организации учебной деятельности, традиционно рекомендуемый главным образом для трудоемких творческих работ (сочинений, рефератов и т.д.), оказался наиболее предпочтительным для большинства опрошенных школьников. Оказалось, что такая «отсроченная работа» удовлетворяет школьника больше, чем отдельные уроки и задания, так как основным критерием удовлетворенности ученика в любом возрасте выступает успешность в работе. Отсутствие резкого временного ограничения (как это бывает на уроке) и возможность свободного многократного возвращения к содержанию работы позволяет справиться с ней гораздо успешнее. Таким образом, задания, рассчитанные на длительную подготовку, можно рассматривать также как средство воспитания положительного отношения к предмету.
Многие годы считалось, что все сказанное относится только к ученикам старшего возраста, но не соответствует особенностям учебной деятельности учеников начальных классов. Анализ процессуальных характеристик деятельности способных детей младшего школьного возраста и опыт работы Белошистой А.В. и учителей, принявших участие в экспериментальной проверке данной методики, показал высокую эффективность предлагаемой системы при работе со способными детьми. Первоначально для разработки системы заданий (в дальнейшем будем именовать их листы в связи с формой их графического оформления, удобной для работы с ребенком) были отобраны темы, связанные с формированием вычислительных навыков, которые традиционно рассматриваются учителями и методистами как темы, требующие постоянного руководства на этапе знакомства и постоянного контроля на этапе закрепления.
В ходе экспериментальной работы было разработано большое количество листов на печатной основе, объединенных в блоки, охватывающие целую тему. Каждый блок содержит 12-20 листов. Лист представляет собой большую систему заданий (до полусотни заданий), методически и графически организованных таким образом, чтобы по мере их выполнения ученик мог самостоятельно подойти к пониманию сути и способа выполнения нового вычислительного приема, а затем закрепить новый способ деятельности. Лист (или система листов, т.е. тематический блок) представляет собой «долгосрочное задание», сроки выполнения которого индивидуализированы в соответствии с желанием и возможностями ученика, работающего по этой системе. Такой лист можно предлагать на уроке или вместо домашнего задания в виде задания «с отложенным сроком» исполнения, который учитель либо устанавливает индивидуально, либо позволяет ученику (этот путь более продуктивен) самому установить для себя срок его выполнения (это путь формирования самодисциплины, так как самостоятельное планирование деятельности в связи с самостоятельно определенными целями и сроками — это основа самовоспитания человека).
Тактику работы с листами учитель определяет для ученика индивидуально. На первых порах их можно предлагать ученику в качестве домашнего задания (вместо обычного задания), индивидуально договариваясь о сроках его выполнения (2-4 дня). По мере освоения этой системы, можно перейти к предваряющему или параллельному способу работы, т.е. давать ученику лист до знакомства с темой (накануне урока) или на самом уроке для самостоятельного освоения материала. Внимательное и доброжелательное наблюдение за учеником в процессе деятельности, «договорной стиль» отношений (пусть ребенок сам решит, когда он хочет получить этот лист), возможно даже освобождение от других уроков в этот или следующий день для концентрации внимания на задании, консультативная помощь (на один вопрос всегда можно ответить сразу, проходя мимо ребенка на уроке) — все это поможет учителю в полной мере сделать процесс обучения способного ребенка индивидуализированным без больших затрат времени.
Не следует заставлять детей переписывать задания с листа. Ученик работает карандашом на листе, записывая ответы или дописывая действия. Такая организация обучения вызывает у ребенка положительные эмоции — ему нравится работать на печатной основе. Избавленный от необходимости утомительного переписывания ребенок работает с большей производительностью. Практика показывает, что хотя листы содержат до полусотни заданий (обычная норма домашнего задания 6-10 примеров), ученик с удовольствием работает с ними. Многие дети просят новый лист каждый день! Иными словами, они перевыполняют рабочую норму урока и домашнего задания в несколько раз, испытывая при этом положительные эмоции и работая по собственному желанию.
В ходе эксперимента такие листы были разработаны по темам: «Устные и письменные вычислительные приемы», «Нумерация», «Величины», «Дроби», «Уравнения».
Методические принципы построения предлагаемой системы:
1. Принцип соответствия программе по математике для начальных классов. Содержательно листы привязаны к стабильной (типовой) программе по математике для начальных классов. Таким образом, реализовать концепцию индивидуализации обучения математике способного ребенка в соответствии с процессуальными особенностями его учебной деятельности мы полагаем возможным при работе по любому учебнику, соответствующему типовой программе.
2. Методически в каждом листе реализован принцип дозированности, т.е. в одном листе вводится только один прием, или одно понятие, или раскрывается одна, но существенная для данного понятия связь. Это, с одной стороны, помогает ребенку четко осознать цель работы, а с другой — помогает учителю легко отслеживать качество усвоения этого приема или понятия.
3. Структурно лист представляет собой подробное методическое решение задачи введения или знакомства и закрепления того или иного приема, понятия, связей этого понятия с другими понятиями. Задания подобраны и сгруппированы (т.е. имеет значение и порядок их размещения на листе) таким образом, чтобы ребенок мог «двигаться» по листу самостоятельно, отталкиваясь от уже знакомых ему простейших способов действий, и постепенно осваивать новый способ, который на первых шагах полностью раскрыт в более мелких действиях, являющихся основой данного приема. По мере продвижения по листу, эти мелкие действия постепенно компонуются в более крупные блоки. Это позволяет ученику самому освоить прием в целом, что является логическим завершением всей методической «конструкции». Такая структура листа позволяет в полной мере реализовать принцип постепенного нарастания уровня сложности на всех этапах.
4. Такая структура листа позволяет реализовать и принцип доступности, причем в гораздо более глубокой степени, чем это удается сегодня сделать при работе только с учебником, так как систематическое использование листов позволяет усваивать материал в удобном для ученика индивидуальном темпе, который ребенок может регулировать самостоятельно.
5. Система листов (тематический блок) позволяет реализовать принцип перспективности, т.е. постепенное включение ученика в деятельность планирования учебного процесса. Задания, рассчитанные на длительную (отсроченную) подготовку, требуют перспективного планирования. Умение же организовать свой труд, спланировав его на определенный срок, является важнейшим учебным умением.
6. Система листов по теме позволяет также реализовать принцип индивидуализации проверки и оценки знаний учащихся, причем не на основе дифференциации уровня сложности заданий, а на основе единства требований к уровню знаний, умений и навыков. Индивидуализированные сроки и способы выполнения заданий позволяют предъявлять всем детям задания одного уровня сложности, соответствующего программным требованиям к норме. Это не означает, что талантливым детям не надо предъявлять требования более высокого уровня. Листы на определенном этапе позволяют таким детям использовать более насыщенный с интеллектуальной точки зрения материал, который в пропедевтическом плане будет знакомить их со следующими математическими понятиями более высокого уровня сложности.
Заключение
Анализ психолого-педагогической литературы по проблеме формирования и развития математических способностей показывает: все без исключения исследователи (как отечественные, так и зарубежные) связывают её не с содержательной стороной предмета, а с процессуальной стороной мыслительной деятельности.
Таким образом многие педагоги полагают, что развитие математических способностей ребёнка возможно только при наличии существенных природных данных к этому, т.е. наиболее часто в практике обучения считается, что развивать способности нужно только у тех детей, у которых они уже есть. Но опытные исследования Белошистой А.В. показали, что работа над развитием математических способностей необходима в отношении каждого ребёнка, независимо от его природной одарённости. Просто результаты этой работы будут выражаться в разной степени развития этих способностей: для одних детей это будет значительное продвижение в уровне развития математических способностей, для других - коррекция природной недостаточности в их развитии.
Большая трудность для учителя при организации работы над развитием математических способностей состоит в том, что на сегодняшний день отсутствует конкретное и принципиально новое методическое решение, которое может быть представлено учителю в полном виде. Отсутствие методического обеспечения индивидуальной работы со способными детьми приводит к тому, что учителя начальной школы этой работой не занимаются вовсе.
Своей работой мне хотелось привлечь внимание к этой проблеме и подчеркнуть, что индивидуальные особенности каждого одаренного ребёнка - это не только его особенности, но, возможно, и источник его одарённости. А индивидуализация обучения такого ребенка - это не только способ его развития, но и основа его сохранения в статусе «способный, одарённый».
Библиографический список.
1. Белошистая, А.В. Развитие математических способностей школьника как методическая проблема [Текст] / А.В. Белошистая // Начальная школа. - 2003. - №1. - С. 45 - 53
2. Выготский, Л.С. Сборник сочинений в 6 томах (том 3) [Текст] / Л.С. Выготский. - М, 1983. - С. 368
3. Дорофеев, Г.В. Математика и интеллектуальное развитие школьников [Текст] / Г.В. Дорофеев // Мир образования в мире. - 2008. - №1. - С. 68 - 78
4. Зайцева, С.А. Активация математической деятельности младших школьников [Текст] / с.А. Зайцева // Начальное образование. - 2009. - №1.- С. 12 - 19
5. Зак, А.З. Развитие интеллектуальных способностей у детей 8 - 9 лет [Текст] / А.З. Зак. - М.: Новая школа, 1996. - С. 278
6. Крутецкий, В.А. Основы педагогической психологии [Текст] / В.А. Крутецкий - М., 1972. - С. 256
7. Леонтьев, А.Н. Глава о способностях [Текст] /А.Н. Леонтьев // Вопросы психологии. - 2003. - №2. - С.7
8. Мордухай-Болтовской, Д. Философия. Психология. Математика[Текст] / Д. Мордухай-Болтовской. - М., 1988. - С. 560
9. Немов, Р.С. Психология: в 3 книгах (том 1) [Текст] / Р.С. Немов. - М.: ВЛАДОС, 2006. - С. 688
10.Ожегов, С.И. Толковый словарь русского языка [Текст] / С.И. Ожегов. - Оникс, 2008. - С. 736
11.Реверш, Ж.. Талант и Гений [Текст] / Ж. Реверш. - М., 1982. - С. 512
12.Теплов, Б.М. Проблема индивидуальных способностей [Текст] / Б.М. Теплов. - М.: АПН РСФСР, 1961. - С. 535
13.Торндайк, Э.Л. Принципы обучения, основанные на психологии [электронный ресурс]. - Режим доступа. - http://metodolog.ru/vigotskiy40.html
14.Психология [Текст]/ под ред. А.А.Крылова. - М.:Наука, 2008. - С.752
15.Шадриков В.Д. Развитие способностей [Текст] / В.Д.Шадриков //Начальная школа. - 2004. - № 5. - с18-25
16.Волков, И.П. Много ли в школе талантов? [Текст] / И.П. Волков. - М.: Знание, 1989. - С.78
17.Дорофеев, Г.В. Способствует ли обучение математике повышению уровня интеллектуального развития школьников? [Текст] /Г.В. Дорофеев // Математика в школе. - 2007. - №4. - С. 24 - 29
18.Истомина, Н.В. Методика обучения математике в начальных классах [Текст] / Н.В. Истомина. - М.: Академия, 2002. - С. 288
19.Савенков, А.И. Одаренный ребенок в массовой школе [Текст] / под ред. М.А. Ушакова. - М.: Сентябрь, 2001. - С. 201
20.Эльконин, Д.Б. Вопросы психологии учебной деятельности младших школьников [Текст] / Под ред. В. В. Давыдова, В. П. Зинченко. - М.: Просвещение, 2001. - С. 574
Математические способности оказывают прямое влияние на умственное развитие дошкольника. Ребенку гораздо в большей степени приходится смотреть на окружающий мир «математическим взглядом», нежели взрослому человеку. Причина заключается в том, что за короткий период детскому мозгу необходимо разобраться с формами и размерами, геометрическими фигурами и пространственной ориентацией, уяснить их характеристики и отношения.
Какие способности в дошкольном возрасте относятся к математическим
Многие родители думают, что заниматься развитием математических способностей детей в дошкольном возрасте еще рано. И подразумевают под этим понятием некие специальные способности, позволяющие детям оперировать большими числами, или увлеченность формулами и алгоритмами.
В первом случае способности путают с природной одаренностью, а в другом – радующий результат может не иметь никакого отношения к математике. Возможно, ребенку пришелся по душе ритм счета или запомнились образы цифр в арифметическом примере.
Чтобы развеять подобное заблуждение, важно прояснить, какие способности называют математическими.
Математические способности – это особенности протекания мыслительного процесса с выраженностью анализа и синтеза, быстрого абстрагирования и обобщения применительно к математическому материалу.
Опирается на эти же мыслительные операции. Развиваются они у всех деток с различной эффективностью. Стимулировать их развитие можно и нужно. Это вовсе не означает, что у ребенка пробудится математическая одаренность, и он вырастет настоящим математиком. Но, если развивать умения анализировать, выделять признаки, обобщать, выстраивать логическую цепочку мыслей, то это будет способствовать развитию математических способностей дошкольника и более общих – интеллектуальных.
Элементарные математические представления дошкольников
Итак, способности к математике выходят далеко за рамки арифметики и развиваются на основе мыслительных операций. Но, как слово является основой речи, так и в математике существуют элементарные представления, без которых говорить о развитии бессмысленно.
Малышей необходимо обучать счету, знакомить с количественными соотношениями, расширять познания геометрических фигур. К концу дошкольного возраста ребенок должен иметь базовые математические представления:
- Знать все цифры от 0 до 9 и узнавать их в любой форме написания.
- Считать от 1 до 10, как в прямом, так и обратном порядке (начиная с любой цифры).
- Иметь представление о простых порядковых числительных и уметь ими оперировать.
- Выполнять операции сложения и вычитания в пределах 10.
- Уметь уравнивать количество предметов в двух наборах (В одной корзинке 5 яблок, в другой – 7 груш. Что нужно сделать, чтобы фруктов в корзинках было поровну?).
- Знать основные геометрические фигуры и называть отличающие их признаки.
- Оперировать количественными соотношениями «больше-меньше», «дальше-ближе».
- Оперировать простыми качественными соотношениями: самый большой, самый маленький, самый низкий и пр.
- Понимать сложные отношения: «больше, чем самый маленький, но меньше других», «впереди и выше других» и пр.
- Уметь выявлять лишний объект, не подходящий к группе остальных.
- Выстраивать простые ряды по возрастанию и убыванию (На кубиках изображены точки в количестве 3, 5, 7, 8. Расставить кубики так, чтобы количество точек на каждом последующем уменьшалось).
- Находить соответствующее место объекта с числовым признаком (На примере предыдущего задания: расставлены кубики с точками 3, 5 и 8. Куда поставить кубик с 7 точками?).
Этот математический «багаж» предстоит накопить ребенку до поступления в школу. Перечисленные представления относятся к элементарным. Без них изучать математику невозможно.
Среди базовых умений есть совершенно простые, которые доступны уже в 3-4 года, но есть и такие (9-12 пункты), которые используют простейший анализ, сравнение, обобщение. Им предстоит сформироваться в процессе игровых занятий в старшем дошкольном возрасте.
Перечень элементарных представлений можно использовать для выявления математических способностей дошкольников. Предложив ребенку выполнить задание, соответствующее каждому пункту, определяют, какие умения уже сформированы, а над какими нужно поработать.
Развиваем математические способности ребенка в игре
Выполнение заданий с математическим уклоном особенно полезно для детей, так как развивает . Ценность состоит не только в накапливании математических представлений и навыков, но и в том, что происходит общее умственное развитие дошкольника.
В практической психологии выделяют три категории игровых занятий, направленных на развитие отдельных компонентов математических способностей.
- Упражнения на определение свойств предметов, выявление объектов по обозначенному признаку (аналитико-синтетические способности).
- Игры на сопоставление различных свойств, выявление существенных признаков, абстрагирование от второстепенных, обобщение.
- Игры на развитие логических умозаключений на основе мыслительных операций.
Развитие математических способностей у детей дошкольного возраста должно осуществляться исключительно в игровой форме.
Упражнения на развитие анализа и синтеза
1.По-порядку становись! Игра на упорядочение объектов по размеру. Подготовить 10 одноцветных полосок из картона одинаковой ширины и различной длины и разложить их хаотично перед дошкольником.
Инструкция: «Расставь «спортсменов» по росту от самого низкого до самого высокого». Если ребенок затрудняется с выбором полоски, предложите «спортсменам» мериться ростом.
После выполнения задания предложите ребенку отвернуться и поменяйте местами некоторые полоски. Дошкольнику предстоит вернуть «хулиганов» на свои места.
2.Сложи квадрат. Подготовьте два набора треугольников. 1-ый — один большой треугольник и два маленьких; 2-ой – 4 одинаковых маленьких. Предложите ребенку сначала сложить квадрат из трех деталей, затем из четырех.
Рисунок 1.
Если дошкольник на составление второго квадрата затрачивает меньше времени, значит, пришло понимание. Способные дети справляются с каждым из этих заданий менее чем за 20 секунд.
Упражнения на абстрагирование и обобщение
1.Четвертый лишний. Понадобится набор карточек, на которых изображены четыре предмета. На каждой карточке три объекта должны быть связаны между собой существенным признаком.
Инструкция: «Найди, что на картинке лишнее. Что не подходит ко всем остальным и почему?».
Рисунок 2.
Такие упражнения стоит начинать с простых групп объектов и постепенно усложнять. Например, карточку с изображением стола, стула, чайника и дивана – можно применять в занятиях с 4-летними детьми, а наборы с геометрическими фигурами предлагать старшим дошкольникам.
2.Построй заборчик. Необходимо подготовить не менее 20 полосок равной длины и ширины или счетные палочки двух цветов. Для примера: синего цвета – С, и красного – К.
Инструкция: «Давай построим красивый заборчик, где чередуются цвета. Первой будет синяя палочка, за ней – красная, далее… (продолжаем выкладывать палочки в последовательности СКССККСК). А теперь ты продолжи строить забор, чтобы был такой же узор».
В случае затруднения обращать внимание ребенка на ритм чередования цветов. Упражнение можно выполнять несколько раз с различным ритмом узора.
Логико-математические игры
1.Мы едем-едем-едем . Необходимо подобрать 10-12 прямоугольных картинок с изображением хорошо знакомых ребенку предметов. Играет ребенок в паре с взрослым.
Инструкция: «Сейчас мы составим поезд из вагончиков, которые будут прочно между собой связаны важным признаком. В моем вагончике будет чашка (кладет первую картинку), а чтобы твой вагончик присоединился, можно выбрать картинку с изображением ложки. Чашка и ложка связаны, потому что это посуда. Я дополню наш поезд картинкой с совочком, так как совочек и ложка имеют похожую форму и т.д.»
Поезд готов отправиться в путь, если все картинки нашли свое место. Можно смешать картинки и вновь начать игру, находя новые взаимосвязи.
2.Задания на поиск подходящей «заплатки» для коврика вызывают живой интерес у дошкольников разного возраста. Для проведения игры необходимо изготовить несколько картинок, на которых изображен коврик с вырезанным кругом или прямоугольником. Отдельно необходимо изобразить варианты «заплаток» с характерным узором, среди которых ребенку придется найти подходящий для коврика.
Начинать выполнять задания необходимо с цветовых оттенков коврика. Далее предлагать карточки с простыми узорами ковриков, и по мере развития навыков логического выбора, усложнять задания по образцу теста Равена.
Рисунок 3.
«Починка» коврика развивает одновременно ряд важных аспектов: наглядно-образные представления, мыслительные операции, способность к воссозданию целого.
Рекомендации родителям по развитию математических способностей ребенка
Зачастую родители-гуманитарии склонны игнорировать вопрос развития математических способностей у своих детей, и это ошибочный подход. В дошкольном возрасте данные способности применяются ребенком для познания окружающего мира.
Дошкольник нуждается в стимулировании математического подхода, чтобы уяснить закономерности, причинно-следственный и логичный уклад реальной жизни.
С раннего детства следует окружать ребенка развивающими игрушками, требующими элементарного анализа и поиска закономерных связей. Это различные пирамидки, мозаики, игрушки-вкладыши, наборы кубиков и других геометрических тел, конструкторы LEGO.
По достижении трехлетнего возраста необходимо дополнить познавательную деятельность ребенка игровыми занятиями, стимулирующими формирование математических способностей. При этом следует учитывать несколько важных моментов:
- Развивающие игры должны быть непродолжительными. Дошкольники с соответствующими задатками проявляют любопытство к подобным играм, следовательно, они должны длиться столько, сколько присутствует интерес. Других детей нужно умело завлекать выполнением задания.
- Игры аналитико-логического характера нужно проводить с применением наглядного материала – картинок, игрушек, геометрических фигур.
- Стимульный материал для игры несложно подготовить самостоятельно, ориентируясь на примеры данной статьи.
Ученые обосновали, что применение геометрического материала наиболее эффективно в развитии математических способностей. Восприятие фигур опирается на сенсорные способности, которые формируются у ребенка ранее других , позволяя малышу улавливать связи и отношения между объектами или их деталями.
Развивающие логико-математические игры и упражнения способствуют формированию самостоятельности мышления дошкольника, его умению выделять главное в значительном объеме информации. А это и есть качества, которые необходимы для успешного обучения.
Федеральное агентство по образованию
Смоленский государственный университет
Кафедра методики обучения математике, физике и информатике
РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ
студентки 5 курса
физико-математического факультета
МАКСИМОВИЧ Ульяны Анатольевны
Научный руководитель:
Кандидат педагогических наук
Профессор кафедры методики
обучения математике и физике
СЕНЬКИНА Гульжан Ержановна
Смоленск
Введение ………………………………………………………………..…. ..….3
Глава I.Теоретические основы проблемы математических способностей......6
Раздел 1 Общая характеристика способностей.
1.1.1. Понятие способности…..………………………………………….………6
1.1.2. Общие и специальные способности…...……………………………..…...8
1.1.3. Способности и задатки……………….…………….…………………….10
Раздел 2. Математические способности.
1.2.1. Исследование математических способностей в зарубежной психологии…………………………………………………………………….....13
1.2.2. Исследование проблемы математических способностей в отечественной психологии……………………………………………………...18
1.2.3. Классификация математических способностей……………………….22
Глава II. Методика развития математических способностей………………....24
Раздел 1. Общая методика.
2.1.1. Общие положения теории развития способностей……..………...…….24
2.1.2. Принципы работы по развитию математических способностей учащихся……………………………………………………………………….....28
2.1.3. Развитие математической одарённости………………………….............31
Раздел 2. Частная методика.
2.2.1. Развитие математических способностей на уроках математики………37
2.2.2. Развитие математических способностей на внеклассных занятиях…...44
Глава III. Разработка базы данных по развитию математических способностей……………………………………………………………………..54
3.1. Организация данных в базе данных………………………………………..54
3.2. Описание работы в базе данных…………………………………………...56
Заключение……………...………………………...……………………………..62
Литература………………...………………………………...……………...…....64
Приложения………………………………………………………………………67
Введение.
В последнее время во многих странах наблюдается значительный рост интереса к проблемам математического образования. Это связано с тем, что значение математики в жизни человеческого общества возрастает с каждым днём. Высокий уровень развития математики является необходимым условием подъёма и эффективности целого ряда важнейших областей знаний. Как подчёркивают учёные, развитие наук в последнее время характеризуется тенденцией к их математизации, и это касается не только физики, астрономии или химии, но и таких наук, как современная биология, медицина, метеорология, экономика, лингвистика и другие. Математические методы и математический стиль мышления проникают всюду. Трудно найти такую область знаний, к которой математика не имела бы никакого отношения. С каждым годом математика будет находить всё более широкое применение в разнообразных областях человеческой деятельности. Принципиально область применения математики неограниченна, указывает академик А.Н. Колмогоров .
В связи с этим в нашей стране ежегодно возрастает потребность в математиках. В последнее время потребность эта явно не удовлетворяется, «математики стали дефицитны».
Хорошо известно, что основной вклад в развитие той или иной науки делают люди, проявляющие способности в соответствующей области. Всё это выдвигает перед школой задачу всемерного развития у учащихся математических способностей, склонностей и интересов, задачу повышения уровня математической культуры, уровня математического развития школьников. Наряду с этим школа должна уделять особое внимание школьникам, проявляющим высокий уровень способностей к математике, содействовать математическому развитию учащихся, проявляющих особую склонность к изучению математики.
Некоторые считают, что вместо отбора способных к математике школьников необходимо заниматься изысканием возможностей максимального математического развития всех учащихся. Но одно всегда будет дополнять другое, так как и при самых совершенных методах обучения индивидуальные различия в математических способностях всегда будут иметь место – одни и тогда будут более способными, другие – менее способными. Уравнение в этом отношении никогда не будет достигнуто.
Следовательно, учителя математики должны вести систематическую работу по развитию математических способностей у всех школьников, по воспитанию у них интересов и склонностей к математике и наряду с этим должны уделять особое внимание школьникам, проявляющим повышенные способности к математике, организовать специальную работу с ними, направленную на дальнейшее развитие этих способностей.
Несмотря на потребность общества в людях, способных внести свой вклад в развитие математической науки, и возлагающуюся на школу задачу по развитию математических способностей, в современной школе наблюдается следующая ситуация:
· сокращение часов преподавания математики;
· формализм математических знаний;
· отсутствие мотивации учения;
· неумение применять полученные знания на практике;
· отсутствие самостоятельной и творческой деятельности учеников;
· отсутствие в подавляющем большинстве учебников и дидактических пособий заданий, способствующих подготовке учеников к этой творческой деятельности.
Как же помочь учителю в организации учебной деятельности по развитию математических способностей?
Объект исследования моей работы - процесс развития способностей в школе.
Предметом исследования моей работы является процесс развития математических способностей в основной школе.
Целью моего исследования является теоретико-методический анализ проблемы развития математических способностей школьников, и на его основании разработка и описание программного средства, позволяющего наилучшим для учителя образом осуществлять обработку данных по развитию математических способностей.
Гипотеза: программные средства способствуют развитию математических способностей, если
Предлагают систему методических разработок по развитию математических способностей,
Учитывают возраст учеников, типы математических способностей и виды занятий по их развитию,
Ориентированы на снижение временных затрат учителя при подготовке к занятиям,
Обеспечивают актуальность хранящейся информации.
Для осуществления поставленной цели и подтверждения выдвинутых гипотез необходимо выполнить следующие задачи:
Привести литературно-критический обзор по данной проблеме;
Рассмотреть возможности, принципы, особенности методов работы по развитию математических способностей;
Разработать базу данных, которая обеспечивала бы ввод, хранение и автоматизированный поиск информации, необходимой для развития математических способностей;
Провести первичное заполнение базы данных методическими разработками.
Теоретические основы проблемы математических способностей.
Раздел 1. Общая характеристика способностей учащихся.
1.1.1. Понятие способности.
Естественно, в своей работе я буду говорить в основном о математических способностях, однако для понимания сложных проблем этой теории следует осветить некоторые фундаментальные вопросы теории способностей.
Прежде всего следует понять, как в психологии трактуют само понятие «способности» и его взаимосвязь с процессом формирования целостной всесторонне развитой личности.
Понятие «способности» употребляется учителем в самых разных сочетаниях: «способный ученик», «одаренный ученик», «талантливый ученик», «у этого ученика есть природные способности», «у него большие задатки» и т. д. В дидактике и методике преподавания математики мы говорим о творческих, исследовательских, познавательных способностях, о способностях к счёту или другим видам математической деятельности.
Все это многообразие терминологии заставляет задуматься над сущностью понятия.
Российская педагогическая энциклопедия дает следующее определение:
«Способности – индивидуально-психологические особенности личности, являющиеся условиями успешного выполнения определённой деятельности».
Проблема способностей широко исследовалась и исследуется психологами России.
Одним из основоположников этой теории в нашей стране был Рубинштейн. Он писал: «Под способностями обычно понимают свойства или качества человека, делающие его пригодным к успешному выполнению какого-либо из видов общественно-полезной деятельности, сложившегося в ходе общественно-исторического развития» .
Б.М. Теплов включал три признака в понятие «способности»: «Во-первых, под способностями разумеются индивидуально-психологические особенности, отличающие одного человека от другого… Во-вторых, способностями называются не всякие, вообще, индивидуальные особенности, а лишь такие, которые имеют отношение к сущности выполнения какой-либо деятельности или многих деятельностей... В-третьих, понятие «способность» не сводится к тем знаниям, навыкам или умениям, которые уже выработаны у данного человека». Последнее замечание спорно, так как знания, умения и навыки, которые уже выработаны у учащихся, также требуют от них определенных способностей.
Очень интересно такое заключение Б.М. Теплова: «Не в том дело, что способности проявляются в деятельности, а в том что они создаются в этой деятельности».
