O expresie generală care leagă potențialul de tensiune. Potențialul câmpului electrostatic. Expresie generală relaționând potențialul cu intensitatea Câmpul unei suprafețe sferice încărcate uniform

Un câmp electrostatic are două caracteristici: putere (putere) și energie (potențial). Tensiunea și potențialul sunt caracteristici diferite ale aceluiași punct de câmp, prin urmare, trebuie să existe o legătură între ele.

Lucrarea de mutare a unei sarcini pozitive punctuale de la un punct la altul de-a lungul axei x, cu condiția ca punctele să fie infinit aproape unele de altele și x 1 - x 2 \u003d dx, este egală cu qE x dx. Aceeași muncă este egală cu q(φ 1 - φ 2)= -dφq. Echivalând ambele expresii, putem scrie

Repetând un raționament similar pentru axele y și z, putem găsi vectorul:

unde sunt vectorii unitari ai axelor de coordonate x, y, z.

Din definiția unui gradient rezultă că

Sau (12.31)

acestea. intensitatea câmpului E este egală cu gradientul de potențial cu semnul minus. Semnul minus este determinat de faptul că vector de tensiune E câmpul este îndreptat în direcția potențialului descrescător.

Relația stabilită între putere și potențial permite, prin intensitatea câmpului cunoscută, să se găsească diferența de potențial între două puncte arbitrare ale acestui câmp.

Ø Câmpul unei sfere încărcate uniform raza R

Intensitatea câmpului în afara sferei este determinată de formulă

Diferența de potențial dintre punctele r 1 și r 2 (r 1 >R; r 2 >R) se determină folosind relația

Obținem potențialul sferei dacă r 1 = R, r 2 → ∞:

Ø Câmpul unui cilindru infinit de lung încărcat uniform

Intensitatea câmpului în afara cilindrului (r > R) este determinată de formulă

(τ este densitatea liniară).

Diferența de potențial dintre două puncte situate la o distanță r 1 și r 2 (r 1 >R; r 2 >R) de axa cilindrului este egală cu

(12.32)

Ø Câmp al unui plan infinit încărcat uniform

Intensitatea câmpului acestui plan este determinată de formulă

(σ - densitatea suprafeței).

Diferența de potențial dintre punctele situate la o distanță x 1 și x 2 de plan este egală cu

(12.33)

Ø Câmp de două plane paralele infinite încărcate opus

Intensitatea câmpului acestor planuri este determinată de formulă

Diferența de potențial dintre avioane este

(12.34)

(d este distanța dintre avioane).

Exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 12.1. Trei sarcini punctiforme Q 1 \u003d 2nC, Q 2 \u003d 3nC și Q 3 \u003d -4nC sunt situate la vârfurile unui triunghi echilateral cu lungimea laturii A= 10 cm. Determinați energia potențială a acestui sistem.

Dat: Q 1 \u003d 2nCl \u003d 2∙10 -9 C; Q 2 \u003d 3nCl \u003d 3 ∙ 10 -9 C; și Q 3 \u003d -4nCl \u003d 4∙10 -9 C; A= 10 cm = 0,1 m.

Găsiți: U.

Soluţie: Energia potențială a unui sistem de sarcini este egală cu suma algebrică a energiilor de interacțiune ale fiecăreia dintre perechile de sarcini care interacționează, i.e.

U=U 12 +U 13 +U 23

unde, respectiv, energiile potențiale ale uneia dintre sarcinile situate în câmpul altei sarcini la distanță dar de la el, egal

; ; (2)

Inlocuim formulele (2) in expresia (1), gasim energia potentiala dorita a sistemului de sarcini

Răspuns: U \u003d -0,126 μJ.

Exemplul 12.2. Determinați potențialul din centrul inelului cu o rază interioară R 1 =30cm și una exterioară R 2 =60cm, dacă sarcina q=5nC este distribuită uniform pe acesta.

Dat: R 1 \u003d 30 cm \u003d 0,3 m; R 2 \u003d 60 cm \u003d 0,6 m; q=5nCl=5∙10 -9 C

Găsiți: φ.

Soluţie:Împărțim inelul în inele concentrice infinit subțiri cu o rază interioară r și o rază exterioară (r+dr).

Aria inelului subțire considerat (vezi figura) dS=2πrdr.

Potențialul din centrul inelului, creat de un inel infinit de subțire,

unde este densitatea sarcinii de suprafață.

Pentru a determina potențialul din centrul inelului, ar trebui să adăugați aritmetic dφ din toate inelele infinit subțiri. Apoi

Având în vedere că sarcina inelului Q=σS, unde S= π(R 2 2 -R 1 2) este aria inelului, obținem potențialul dorit în centrul inelului

Răspuns: φ=25V

Exemplul 12.3.Două sarcini punctuale cu același nume (q 1 \u003d 2nC și q 2 \u003d 5nC) sunt în vid la o distanță r 1 \u003d 20 cm. Determinați munca A care trebuie făcută pentru a le aduce mai aproape de o distanță r 2 \u003d 5 cm.

Dat: q 1 \u003d 2nCl \u003d 2∙10 -9 C; q 2 \u003d 5nCl \u003d 5∙10 -9 C ; r 1 \u003d 20cm \u003d 0,2m; r 2 \u003d 5 cm \u003d 0,05 m.

Gaseste un.

Soluţie: Munca făcută de forțe câmp electrostatic la mutarea sarcinii Q dintr-un punct de câmp cu un potenţial φ 1 într-un punct cu un potenţial φ 2 .

A 12 \u003d q (φ 1 - φ 2)

Când sarcini similare se apropie una de cealaltă, munca este efectuată de forțe externe, astfel încât munca acestor forțe este egală ca valoare absolută, dar semn opus muncii forțelor Coulomb:

A \u003d -q (φ 1 - φ 2) \u003d q (φ 2 - φ 1). (unu)

Potențialele punctelor 1 și 2 ale câmpului electrostatic

Înlocuind formulele (2) în expresia (1), găsim munca dorită care trebuie făcută pentru a apropia sarcinile,

Răspuns: A=1,35 μJ.

Exemplul 12.4.Un câmp electrostatic este creat de un filament fără sfârșit încărcat pozitiv. Protonul, deplasându-se sub acțiunea unui câmp electrostatic de-a lungul liniei de tensiune din filament de la o distanță r 1 =2 cm la r 2 =10 cm, și-a schimbat viteza de la υ 1 =1 Mm/s la υ 2 =5 Mm/s. Determinați densitatea liniară τ a sarcinii firului.

Dat: q=1,6∙10-19 C; m=1,67∙10 -27 kg; r 1 \u003d 2 cm \u003d 2 ∙ 10 -2 m; r 2 \u003d 10cm \u003d 0,1m; r 2 \u003d 5 cm \u003d 0,05 m; υ 1 \u003d 1 Mm / s \u003d 1 ∙ 10 6 m / s; până la υ 2 \u003d 5 Mm / s \u003d 5 ∙ 10 6 m / s.

A găsi:τ .

Soluţie: Munca efectuată de forțele câmpului electrostatic la mutarea unui proton dintr-un punct al câmpului cu potențial φ 1 într-un punct cu potențial φ 2 crește energie kinetică proton

q(φ 1 - φ 2) \u003d ΔT (1)

În cazul unui filament, câmpul electrostatic este simetric axial, deci

Sau dφ=-Edr,

apoi diferența de potențial dintre două puncte situate la distanța r 1 și r 2 de fir,

(ținând cont de faptul că puterea câmpului creat de un fir infinit încărcat uniform, ).

Inlocuind expresia (2) in formula (1) si tinand cont de faptul ca , primim

Unde este densitatea de sarcină liniară dorită a firului

Răspuns: τ = 4,33 uC/m.

Exemplul 12.5.Un câmp electrostatic este creat în vid de o bilă cu raza R=8cm, încărcată uniform cu o densitate în vrac ρ=10nC/m 3 . Determinați diferența de potențial dintre două puncte ale acestui câmp, situate din centrul mingii la distanțe: 1) r 1 =10cm și r 2 =15cm; 2) r 3 \u003d 2cm și r 4 \u003d 5cm ..

Dat: R=8cm=8∙10 -2 m; ρ=10nC/m3 =10∙10 -9 nC/m3; r 1 \u003d 10 cm \u003d 10 ∙ 10 -2 m;

r 2 \u003d 15 cm \u003d 15 ∙ 10 -2 m; r 3 \u003d 2cm \u003d 2 ∙ 10 -2 m; r 4 \u003d 5 cm \u003d 5 ∙ 10 -2 m.

A găsi:1) φ 1 - φ 2; 2) φ 3 - φ 4.

Soluţie: 1) Diferența de potențial dintre două puncte situate la distanța r 1 și r 2 de centrul mingii.

(1)

unde este intensitatea câmpului generată de o minge încărcată uniform cu o densitate de volum ρ în orice punct din afara mingii la o distanță r de centrul acesteia.

Înlocuind această expresie în formula (1) și integrând, obținem diferența de potențial dorită

2) Diferența de potențial dintre două puncte situate la distanța r 3 și r 4 de centrul mingii,

(2)

unde este intensitatea câmpului generată de o minge încărcată uniform cu o densitate de volum ρ în orice punct situat în interiorul mingii la o distanță r de centrul acesteia.

Înlocuind această expresie în formula (2) și integrând, obținem diferența de potențial dorită

Răspuns: 1) φ 1 - φ 2 \u003d 0,643 V; 2) φ 3 - φ 4 \u003d 0,395 V

Formulă

poate fi folosit pentru a găsi funcția potențială a unui câmp potențial dat

a(x, y, z)=P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k.

Pentru a face acest lucru, fixăm punctul de plecare M 0 (x 0, y 0, z 0) și îl conectăm la punctul curent M (x, y, z) al poliliniei M 0 AVM, ale cărei legături sunt paralele cu axele de coordonate, și anume, M 0 A? Ox, AB? Oy, BM? Oz (Fig. 6.2). Apoi formula (6.6) ia forma

unde x, y, z sunt coordonatele punctului curent de pe legăturile poliliniei, de-a lungul căruia se realizează integrarea.

Exemplul 6.7. Demonstrați că câmpul vectorial

a= (e + z)i + (x + z)j + (x + y)k

este potențial și găsește-i potențialul.

Soluţie. 1-a cale. O condiție necesară și suficientă pentru potențialul câmpului a(M) este ca putregaiul a(M) să fie egal cu zero. În cazul nostru

adică domeniul este potențial. Găsim potențialul acestui câmp folosind formula (6.10). Să luăm originea coordonatelor O(0, 0, 0) ca punct fix inițial. Apoi primim

unde C este o constantă arbitrară.

a 2-a cale. Prin definiție, potențialul este o astfel de funcție scalară pentru care grad φ=a. Această egalitate vectorială este echivalentă cu trei egalități scalare:

Integrând (6.12) peste x, obținem

unde f(y, z) este o funcție diferențiabilă arbitrară a lui y și z. Diferențiând ambele părți ale (6.12) față de y și ținând cont de (6.11), obținem o relație pentru găsirea funcției încă nedefinite f(y, z). Avem

Integrând (6.16) peste y, avem

unde F(z) este o funcție încă nedefinită a lui z. Înlocuind (6.17) în (6.11) obținem

Diferențiând ultima egalitate față de z și ținând cont de relația (6.12), obținem o ecuație pentru găsirea F(z):

De aici, deci.

a 3-a cale. Prin definirea diferenţialului total al unei funcţii, avem

Înlocuind aici în loc de derivatele parțiale , , expresiile lor din (6.10), (6.11), (6.12), obținem

dφ =(y + z)dx + (x + z)dy + (x + y)dz

sau, după simple transformări,

dφ=(ydx+xdy)+(zdx+xdz)+(ydz+zdy)=d(xy)+d(xz)+d(yz)=d(xy +xz +yz).

dφ=d(xy + yz + zх).

De aici rezultă că

În cazul în care regiunea Ω are formă de stea cu centrul la originea O(0, 0, 0), potențialul φ(M) al câmpului vectorial a=a(M) în punctul M(x, y , z) poate fi găsită prin formula

unde r(M)=xi + yj + zk este vectorul rază al punctului M(x, y, z) și punctul (tx,ty,tz) pentru , segmentul OM trece prin linia dreaptă care trece prin punctele O și M.

Exemplul 6.8. Găsiți potențialul câmpului vectorial

a = yzi + xzj + xyk.

Soluţie. Este ușor de observat că putregaiul a 0, adică câmpul vectorial dat este potențial. Acest câmp este definit în întregul spațiu tridimensional, care este stelar cu centrul la originea O(0, 0, 0), prin urmare, pentru a-și găsi potențialul, folosim formula (6.12). Întrucât în ​​acest caz

A( )=a(tx, ty, tz)= t 2 yzi + t 2 xzj + t 2 xyk,

apoi produsul scalar al vectorilor A() Și r(M) egală

(A( ), r(M))=t2 (xyz+xyz+xyz)=3t2xyz.

Căutarea potențialului

7.5. Principiul suprapunerii câmpurilor electrostatice

7.5.2 Principiul suprapunerii pentru potențial

Principiul suprapunerii pentru potențial vă permite să calculați potențialul câmpului format din mai multe obiecte încărcate.

Potenţialul φ al câmpului electrostatic rezultat format din mai multe sarcini în punct dat spațiu, se calculează ca suma potențialelor câmpurilor formate de fiecare dintre sarcini separat:

φ \u003d φ 1 + φ 2 + ... + φ n,

unde φ 1 - potenţialul câmpului format de prima sarcină; φ 2 - potenţialul câmpului format de a doua sarcină; …; φ n este potențialul câmpului format de sarcina a n-a.

Pentru a calcula potențialul câmpului creat de mai multe sarcini Q 1, Q 2, ..., Q n într-un anumit punct din spațiu, utilizați următorul algoritm:

1) notează potențialele câmpurilor formate de fiecare dintre sarcinile Q 1, Q 2, ..., Q n (separat) ținând cont de semnul sarcinilor:

φ 1 , φ 2 , …, φ n ,

unde φ 1 - potenţialul câmpului format de prima sarcină; φ 2 - potenţialul câmpului format de a doua sarcină; …; φ n este potențialul câmpului format de sarcina a n-a;

2) calculați potențialul câmpului rezultat ca sumă algebrică a potențialelor scrise mai sus:

φ \u003d φ 1 + φ 2 + ... + φ n.

Exemplul 12. Două sarcini punctuale q 1 \u003d 5 μC și q 2 \u003d -2 μC sunt în punctele (5; 0) și (0; 2) ale sistemului de coordonate dreptunghiulare xOy, unde coordonatele x, y sunt exprimate în metri. Calculați potențialul câmpului rezultat la originea sistemului de coordonate dacă permisivitatea mediului este egală cu unu.

Soluție. Figura prezintă sistemul de coordonate și sarcinile situate în puncte cu coordonate date. Potențialul câmpului electrostatic rezultat la originea sistemului de coordonate este suma algebrică

φ \u003d φ 1 + φ 2,

unde φ 1 - potenţialul câmpului format de prima sarcină; φ 2 - potenţialul câmpului format de a doua sarcină.

Să calculăm potențialul câmpului rezultat la originea sistemului de coordonate folosind algoritmul:

1) potențialele câmpurilor create de fiecare dintre sarcini separat sunt determinate de următoarele formule:

φ 1 = k q 1 r 1 ,

unde k este coeficientul de proporționalitate, k = 9,0 ⋅ 10 9 N ⋅ m 2 /Cl 2; q 1 - sarcina situată în punctul cu coordonatele (5; 0); r 1 - distanța de la sarcina q 1 până la originea sistemului de coordonate, r 1 = 5 m;

φ 2 \u003d k q 2 r 2,

unde q 2 este sarcina (ținând cont de semn) situată în punctul cu coordonatele (0; 2); r 2 - distanța de la sarcina q 2 până la originea sistemului de coordonate, r 2 = 2 m;

φ = φ 1 + φ 2 = φ 1 − | φ 2 | = k q 1 r 1 − k | q 2 | r2.

Calculul oferă valoarea dorită a potențialului:

φ = 9 ⋅ 10 9 ⋅ 5 ⋅ 10 − 6 5 − 9 ⋅ 10 9 ⋅ 2 ⋅ 10 − 6 2 = 0 V.

La origine, potențialul câmpului rezultat este zero.

Exemplul 13. Trei vârfuri ale unui pătrat cu latura de 60 cm conțin sarcini pozitive de 0,30 μC fiecare. Găsiți potențialul câmpului rezultat la al patrulea vârf al pătratului. Permitivitatea mediului în care se află sistemul de sarcini este egală cu unitatea.

Soluție. Figura prezintă un pătrat cu trei vârfuri care conțin sarcini pozitive identice. Potențialul câmpului rezultat trebuie determinat la vârful A .

Să calculăm potențialul câmpului rezultat la al patrulea vârf al pătratului folosind algoritmul:

1) potențialele câmpurilor formate în punctul A de sarcini q 1, q 2 și q 3 separat sunt determinate prin următoarele formule:

• câmp format din sarcina q 1, -

φ 1 = k q 1 r 1 = k q a ,

unde k este coeficientul de proporționalitate, k = 9,0 ⋅ 10 9 N ⋅ m 2 /Cl 2; q 1 = q; r 1 - distanta de la q 1 la punctul A , r 1 = a ;

• câmp format din sarcina q 2, -

φ 2 \u003d k q 2 r 2 \u003d k q a 2,

unde q 2 \u003d q; r 2 - distanța de la q 2 la punctul A, r 2 = a 2;

• câmp format din sarcina q 3, -

φ 3 \u003d k q 3 r 3 \u003d k q a,

unde q 3 \u003d q; r 3 - distanța de la q 3 la punctul A, r 3 = a;

2) potențialul câmpului rezultat este suma algebrică a potențialelor scrise mai sus

φ = φ 1 + φ 2 + φ 3 = k q a + k q a 2 + k q a = k q a (2 + 1 2) = k q a ⋅ 4 + 2 2 .

Să calculăm:

φ = 9,0 ⋅ 10 9 ⋅ 0,30 ⋅ 10 − 6 60 ⋅ 10 − 2 ⋅ 4 + 2 2 = 12 ⋅ 10 3 V = 12 kV.

Potențialul câmpului electrostatic la al patrulea vârf al pătratului este de 12 kV.

Exemplul 14. Două sfere concentrice cu raze de 0,25 și 0,50 m sunt încărcate uniform cu sarcini de -0,80 și, respectiv, 0,50 μC. Aflați potențialul unui punct de câmp situat la o distanță de 1,0 m de centrul sferelor. Sistemul de încărcare este în vid.

Soluție. Să facem o ilustrare a stării problemei. Sferele concentrice au un centru comun, o sferă cu raza mai mică 1 este încărcată cu o sarcină negativă, iar o sferă cu raza mai mare 2 este pozitivă.

Potențialul câmpului electrostatic în punctul M este suma algebrică a potențialelor câmpurilor formate din prima φ 1 și a doua φ 2 sferă:

φ \u003d φ 1 + φ 2.

Să calculăm potențialul câmpului rezultat folosind algoritmul:

1) potențialele câmpurilor formate în punctul M de sarcini q 1 și q 2 distribuite pe suprafața sferelor interioare și, respectiv, exterioare, se determină separat prin următoarele formule:

• câmp format din sarcina q 1, -

φ 1 = k q 1 r 1 = k q 1 l ,

unde k este coeficientul de proporționalitate, k ≈ 9 ⋅ 10 9 N ⋅ m 2 /Cl 2; q 1 - sarcină distribuită pe suprafața sferei interioare, q 1 = −|q 1 |; r 1 - distanta de la centrul sferelor pana la punctul M, r 1 = l;

• câmp format din sarcina q 2, -

φ 2 \u003d k q 2 r 2 \u003d k q 2 l,

unde q 2 este sarcina distribuită pe suprafața sferei exterioare; r 2 - distanta de la centrul sferei la punctul M, r 2 = r 1 = l;

2) potențialul câmpului rezultat este suma algebrică a potențialelor scrise mai sus

φ = φ 1 + φ 2 = k q 1 l + k q 2 l = k l (q 1 + q 2) = k l (− | q 1 | + q 2) .

Să calculăm:

φ = 9 ⋅ 10 9 1,0 (− 0,80 + 0,50) ⋅ 10 − 6 = − 2,7 ⋅ 10 3 V = − 2,7 kV.

Potențialul câmpului electrostatic rezultat în punctul M este -2,7 kV. Rezultatul nu depinde de razele sferelor.

Teorema lui Gauss pentru vector

poate fi folosit cu succes ca instrument eficient pentru calcularea puterii și potențialului câmp electric o anumită distribuție a sarcinii, când integrala din stânga poate fi transformată în produsul ariei suprafeței pe care se realizează integrarea, cu valoarea componentei vectorului normal la suprafață, adică atunci când

.

Este clar că pentru a calcula vector acest lucru va fi suficient, în primul rând, când vector perpendicular pe suprafata. Prin urmare, suprafața de integrare trebuie să fie suprafata echipotentiala câmp calculat. Forma ei trebuie sa stii dinainte. În sfârșit, în al doilea rând, în toate punctele acestei suprafețe - echipotențiale, componenta normală acesteia trebuie să aibă aceeași valoare, în caz contrar, nu poate fi scoasă de sub semnul integral și se va putea găsi doar valoarea medie pe suprafata echipotentiala. Subliniem că din faptul că suprafața este echipotențială și anume din faptul că

nu rezultă deloc asta

în puncte de pe această suprafaţă. Privind în viitor, subliniem că, de exemplu, suprafața unui conductor încărcat, în condiția unei distribuții de echilibru a sarcinii pe acesta, este întotdeauna echipotențială, dar dacă nu este o bilă, ci un corp de formă complexă, atunci în vecinătatea proeminențelor (punctelor) intensitatea câmpului poate fi ordine de mărime mai mare decât în ​​vecinătatea depresiunilor de la suprafață. Cerința de persistență este o cerință separată.

Din cele de mai sus rezultă că teorema Gauss poate duce rapid și ușor la rezultat (vector ) numai în cazul în care distribuția sarcinii care creează câmpul are un grad înalt simetria, respectiv, forma suprafetelor echipotentiale ale campului este cunoscuta dinainte si exista incredere ca pe aceste suprafete. Dacă toate acestea sunt așa, atunci soluția arată astfel:

Rămâne să alegeți o suprafață în funcție de simetria distribuției sarcinii și să calculați sarcina din interior.

simetrie sferică

Cu o distribuție a sarcinii simetrică sferic, câmpul generat de aceasta este și simetric sferic. Câmpurile vectoriale (și scalare) cu această simetrie sunt de asemenea numite câmpuri centrale. Câmpul simetric central poate fi scris în general ca

Aici - vector rază începând de la centrul de simetrie al câmpului r- modulul acestuia, - componenta radială a intensității câmpului, în funcție numai de la distanţă până la centrul său de simetrie. Potențialul unui astfel de câmp depinde doar de și

Și, în plus, după cum rezultă din, sub normalizare arbitrară, potențialul câmpului are forma

Astfel, condițiile de aplicabilitate sunt îndeplinite și putem folosi această relație.

Să luăm ca suprafață sferică echipotențială a unei anumite raze de curent r, zona sa. Având în vedere continuitatea presupusă a distribuției de sarcină, folosim expresia:

.

unde este densitatea de sarcină în vrac. Din nou, ținând cont de simetria sferică a distribuției sarcinii - depinde numai de , este firesc să luăm ca element de volum un strat sferic infinit subțire cu o rază interioară și o rază exterioară. Volumul unui astfel de strat, ca rezultat, obținem

.

În cele din urmă, pentru orice distribuție de sarcină simetrică sferic, când , obținem

Continuarea calculelor necesită specificarea tipului de dependență a densității de sarcină de modulul vectorului rază.

Câmpul este uniform pe volumul sferei încărcate

Distribuția uniformă a sarcinii pe volumul unei bile cu rază (Fig. 1.41) înseamnă că densitatea sarcinii are forma

Orez. 1.41. Liniile de forță ale câmpului electric al unei bile încărcate uniform

Nu trebuie uitat că prin condiție nu există taxe în afara mingii.

Deoarece în acel punct densitatea de sarcină se modifică brusc: limita „din stânga” este diferită de zero , iar limita „pe dreapta” este egală cu zero , calculul va trebui efectuat în două etape: mai întâi pentru o suprafață sferică cu rază (se află în interiorul bilei), iar apoi pentru o suprafață sferică cu rază (închide mingea). In primul caz

.

În consecință, domeniul

crește liniar odată cu creșterea distanței până la centrul mingii, ceea ce se explică simplu: suprafața și încărcarea din interiorul acesteia

În al doilea caz, integrala este „taiată de sus” la:

Ultima expresie ia în considerare faptul că , unde este încărcarea totală a mingii. Astfel, în afara mingii, câmpul acesteia este câmpul unei încărcături punctiforme egale cu încărcarea totală a mingii și plasată în centrul acestei mingi:

.

Ambele expresii pot fi combinate într-o singură formulă. Dacă folosim întreaga încărcare a mingii, obținem:

Dacă în loc de încărcarea totală a mingii, densitatea de încărcare este utilizată ca parametru, aceste formule vor lua următoarea formă (Fig. 1.42):

Orez. 1.42. Distribuția intensității câmpului electric al unei bile încărcate uniform

Formule și exprimă aceeași dependență, comoditatea lor este determinată de ce parametri sunt setați: sau . Din aceste formule se vede clar că puterea câmpului de pe suprafața mingii este continuă, adică nu are discontinuitate. Acest lucru se datorează faptului că, în acest caz, discontinuitatea densității de sarcină pe suprafața bilei de primul fel este de mărime finită: de la zero. Prin urmare, atât în ​​formulele superioare, cât și inferioare, sunt plasate semne de inegalități nestrictive. În ce cazuri intensitatea câmpului poate tolera discontinuitatea va fi clar din exemplul următor.

Potențialul câmpului este ușor de găsit prin înlocuirea, de exemplu, de la to și efectuând integrarea. Primim:

unde și sunt constante de integrare, care se găsesc din următoarele considerații. Constanta este determinată din condiția de normalizare, de exemplu, la zero la infinit

Unde . Constanta se determină din condiția de continuitate a potențialului pe suprafața mingii, adică pentru:

Remarcăm că cerința de continuitate potențială este adesea denumită „unirea” a două soluții la interfață. În acest caz, aceasta este granița dintre două zone: zona în care există o încărcare (în interiorul mingii) și zona în care nu se află (în afara mingii). Deja acum se poate observa că potențialul este continuu în toate cazurile, cu excepția unuia: așa-numitul „strat dublu”. Imaginează-ți o suprafață pe o parte a căreia o sarcină pozitivă este distribuită cu o densitate, iar pe cealaltă parte o sarcină negativă este distribuită cu o densitate. O astfel de suprafață se numește strat dublu; pe această suprafață, potențialul suferă o discontinuitate. O astfel de suprafață (plană) poate fi obținută prin reunirea la infinit a două plăci ale unui condensator plat. Același lucru se poate face pentru un condensator de orice formă, de exemplu, sferic sau cilindric. În toate celelalte cazuri potențialul este continuu.

Înlocuind valorile obținute ale constantelor de integrare în, scriem rezultatul final în formă

Cu această normalizare, potențialul din centrul mingii este diferit de zero și este egal cu

.

Rezultatele obţinute sunt ilustrate în Figura 1.43 de mai jos.

Orez. 1.43. Puterea (1) și potențialul (2) ale câmpului electric al unei bile încărcate uniform de raza R în unități de putere și potențial pe suprafața sa (r = R)

Câmp al unei suprafețe sferice încărcate uniform

În acest caz al unei distribuții uniforme a sarcinii pe o suprafață sferică, ca și în cea precedentă, are loc simetria sferică, deci formule generale obținute mai sus sunt aplicabile și aici. Cu toate acestea, acestea trebuie tratate cu oarecare precauție din următorul motiv. Densitatea de încărcare a volumului inclusă în partea dreaptă se comportă în acest caz în următorul mod interesant:

Orez. 1.44. Intensitatea câmpului electric al unei sfere încărcate uniform

Într-adevăr, există o taxă doar pe suprafete, adică la , peste tot în interior, adică la și peste tot în exterior, adică atunci când nu există taxe. Ce volumetric densitatea de sarcină în punctele suprafeței merge la infinit (+∞ în cazul unei sarcini pozitive și –∞ în cazul unei sarcini negative) poate fi prezentată astfel. Figura de lângă ea arată o secțiune a unei suprafețe de-a lungul căreia superficial densitatea de sarcină. Pentru a determina valoarea voluminos densitatea de sarcină la un punct de pe suprafață, luați în considerare un cilindru (Fig. 1.45), a cărui bază superioară este deasupra suprafeței, iar cea inferioară este sub suprafață. Aria bazelor cilindrului este , înălțimea este , iar volumul este . Sarcina din interiorul cilindrului, densitatea de sarcină volumetrică, prin definiție, este egală cu limita raportului dintre sarcina din interiorul unui anumit volum și valoarea acestui volum atunci când acesta din urmă tinde spre zero (cu toate rezervele privind volumul de „fizic infinit de mic”). Primim

Orez. 1.45. Densitatea de sarcină la suprafață

Este important ca densitatea de pe suprafață să fie egală cu infinitul. Funcțiile de acest fel (pretutindeni, cu excepția unui punct - zero și în acest singur punct - infinit) aparțin clasei așa-numitelor funcții generalizate, sunt numite funcții Dirac în onoarea fizicianului Dirac, care a introdus pentru prima dată o astfel de funcție. în viața de zi cu zi a fizicii pentru a satisface nevoile mecanica cuantică. Nu vom studia aici în detaliu și vom folosi funcții de acest fel în calcule. Scopul nostru este să arătăm că luarea în considerare a suprafețelor încărcate formal infinit de subțiri duce la discontinuități (infinite) în densitatea de sarcină în volum, care, la rândul său, generează discontinuități infinite în intensitatea câmpului electric pe o astfel de suprafață încărcată. Subliniem că potențialul câmpului rămâne continuu în acest caz.

Ieșirea este simplă. Pentru toate, folosim prima dintre formulele cu , obținem că nu există un câmp peste tot în interiorul unei învelișuri sferice încărcate uniform: . Pentru toți, a doua formulă de la Ca și în cazul unei sfere încărcate uniform ca volum, în afara unei învelișuri sferice încărcate uniform, câmpul ei este câmpul unei sarcini punctiforme plasate în centrul acestei învelișuri și egal cu sarcina sa totală. În acest caz, desigur.

Rezultatul final este acesta:

Pe suprafața sferică însăși, intensitatea câmpului în acest caz suferă o discontinuitate. Dependența componentei radiale a câmpului de distanța până la centrul suprafeței sferice este prezentată în Fig. 1.46.

Orez. 1.46. Dependența câmpului de distanța până la centrul învelișului sferic

Dependența potențialului de distanța până la centrul învelișului sferic poate fi obținută prin integrare. Când este normalizat la zero la infinit, rezultatul arată astfel:

Dependența este prezentată în fig. 1.47.

Orez. 1.47. Potențialul unei sfere încărcate uniform

O distribuție uniformă (uniformă) a sarcinii pe o suprafață cilindrică infinit lungă (Fig. 1.48) are simetrie cilindrică, translațională și oglindă. Aceasta înseamnă următoarele. Când o astfel de distribuție a sarcinii este rotită în jurul axei suprafeței cilindrice prin orice unghi, ea coincide cu ea însăși. Cu o deplasare (transfer, translație) a unei astfel de distribuții de sarcină la orice distanță de-a lungul axei de simetrie, coincide și cu ea însăși. Și, în cele din urmă, dacă desenăm un plan perpendicular pe ax prin orice punct de pe axa de simetrie și reflectăm în acest plan, ca într-o oglindă, partea „superioară” a distribuției de sarcină, atunci reflectarea „superioară”. ”partea va coincide cu „inferioară” și invers, reflectarea „inferioară” se potrivește cu partea superioară. Cu alte cuvinte, această distribuție a sarcinii este invariantă sub aceste transformări. În consecință, câmpul electric creat de această distribuție a sarcinii trebuie să fie invariant (coincide cu el însuși) sub transformările indicate.

Orez. 1.48. Suprafață cilindrică infinit lungă

Să introducem un sistem de coordonate cilindric: să direcționăm axa de-a lungul axei de simetrie, - distanța până la axa de simetrie, - unghiul de azimut, unghiul de rotație în jurul axei de simetrie, - încă potențialul câmpului.

Din proprietățile de simetrie rezultă că potențialul câmpului nu poate depinde nici de coordonată - simetria translațională va fi ruptă, nici de coordonată - va fi ruptă simetria axială (cilindrica). Rămâne doar dependența de - distanța față de axa cilindrului. În acest fel:

Respectiv

vectorul intensității câmpului electric este îndreptat de-a lungul unor linii radiale perpendiculare pe axa de simetrie (Fig. 1.49), iar valoarea acestuia depinde doar de distanța față de axă. Suprafețele potențiale sunt cilindri coaxiali cu o suprafață cilindrică încărcată.

Orez. 1.49. Vectorul intensității câmpului electric este direcționat de-a lungul liniilor drepte radiale

Folosind aceste circumstanțe, vom integra pe partea stângă a teoremei Gauss peste suprafața închisă a unui cilindru cu raza bazei și înălțimea coaxiale cu suprafața cilindrica încărcată de rază considerată. Debitul prin bazele cilindrului este egal cu zero datorită faptului că pe baze , iar debitul prin suprafața sa laterală este egal cu produsul ariei sale: . În consecință, fluxul vectorial total (prin întreaga suprafață închisă a cilindrului considerat) este egal cu

La , sarcina din interiorul cilindrului este egală cu

unde este densitatea de sarcină liniară egală numeric cu sarcina pe unitatea de lungime a suprafeței cilindrice. Conform teoremei lui Gauss

de unde pentru noi

Când se află în interiorul cilindrului, prin suprafața căruia se calculează fluxul vectorial, nu există sarcini și, prin urmare, câmpul este egal cu zero. Combinând aceste două rezultate, obținem în sfârșit (Fig. 1.50):

Datorită naturii suprafeței distribuției sarcinii (vezi calculul anterior pentru mai multe detalii) pe suprafața cea mai încărcată, adică la , componenta radială a câmpului suferă o rupere.

Orez. 1,50. Intensitatea câmpului electric al unei suprafețe cilindrice încărcate uniform

Integrarea (1.51) (vezi și (1.49)), cerința de continuitate a potențialului la , și normalizarea lui , conduc la următoarea dependență a potențialului de distanța față de axa suprafeței cilindrice:

În acest caz, când o sarcină modulo infinit de mare este distribuită pe un cilindru infinit de lung, aceasta se referă la acele cazuri în care normalizarea la zero la infinit este lipsită de sens. După cum se poate observa din (1.52), dependența potențialului de distanța față de axă este logaritmică, normalizarea la zero la infinit, în limbajul formulelor (1.52), înseamnă că , dar, atunci potențialul va fi infinit de mare în valoare absolută la orice final distanța față de axa suprafeței încărcate, care este lipsită de sens. Alegerea distanței finale față de axa de simetrie la care este convenabil să se considere potențialul egal cu zero nu provoacă dificultăți și este determinată de specificul problemei. De exemplu, nimic nu ne împiedică să punem , atunci potențialul peste tot în interior și pe suprafața cea mai încărcată va fi egal cu zero.

Câmpul este infinit uniform avion încărcat

Fie densitatea de sarcină de suprafață . O astfel de distribuție a sarcinii pe un plan infinit se caracterizează prin faptul că forma sa nu depinde de: a) rotația prin orice unghi în jurul oricărei axe perpendicular pe plan, b) se deplasează cu orice distanță de-a lungul unei linii drepte situate în plan și în orice direcție. În cele din urmă, c) reflectarea unei distribuții date de sarcină într-o oglindă care coincide cu planul însuși o va lăsa neschimbată.

Din analiza simetriei, este destul de evident că potențialul în orice punct din afara planului poate depinde doar de distanța de la acest punct la plan. Să direcționăm axa sistemului de coordonate carteziene perpendicular pe plan și să lăsăm axele și să aparțină planului însuși, apoi

Mai mult, datorită simetriei în oglindă, câmpul „în fața” planului diferă de câmpul „în spatele” planului numai direcția vectorului. Aceasta înseamnă că dependența de trebuie să fie impară, iar dependența potențialului de trebuie să fie pară.

În virtutea acestor considerații, luăm o suprafață închisă - cea pentru care vom scrie teorema Gauss - de următoarea formă (Figura 1.51).

Orez. 1,51. Câmpul electric al unui plan încărcat

Acesta este un cilindru cu suprafața laterală perpendiculară pe plan și cu bazele paralele cu planul. Înălțimea cilindrului, zona bazelor. Luând în considerare ciudatenia dependenței, este convenabil să plasați bazele cilindrului la aceeași distanță de plan, atunci contribuția bazelor la flux va fi aceeași. Intensitatea câmpului de la baze, în primul rând, este perpendiculară pe acestea, în al doilea rând, este co-direcționată cu normala exterioară, în al treilea rând, este aceeași în toate punctele lor în valoare absolută

Contribuția la fluxul vectorului de pe suprafața laterală este egală cu zero, deoarece pe suprafața laterală .

Prin urmare, debitul total prin întreaga suprafață cilindrică închisă este egal cu

În interiorul suprafeței cilindrice considerate există o sarcină

unde este densitatea de sarcină pe plan. Conform teoremei lui Gauss

de aici modulul intensitatea câmpului planului încărcat egală

Subliniem că rezultatul în mod evident nu depinde de cât de departe de plan sunt amplasate bazele cilindrului considerat. Rezultă că pe fiecare parte a planului, câmpul electric creat de acesta este uniform.

Folosind axa introdusă anterior perpendiculară pe planul încărcat, câmpul de pe ambele părți ale planului poate fi descris printr-o singură formulă, potrivită pentru orice semn al sarcinii pe plan.

Aici este vectorul unitar al axei.

Integrarea ținând cont

pentru dependența de potențialul de câmp al avionului, este ușor de obținut:

Potențialul în este normalizat de condiție. Aici, ca în exemplul cu o suprafață cilindrică încărcată infinit de lungă, potențialul crește odată cu distanța până la infinit, astfel încât normalizarea la zero la infinit este lipsită de sens.

Liniile de câmp ale câmpului planului încărcat sunt prezentate în fig. 1,52 și 1,53.

Orez. 1,52. Câmpul unui plan încărcat pozitiv

Orez. 1,53. Câmpul unui plan încărcat negativ

Câmp plat condensator

Să determinăm puterea câmpului creat de două infinite plane paraleleîncărcat uniform și diferit. Densitățile de sarcină pe plane sunt identice și, respectiv, egale ca modul: și (un condensator plat ideal). Cu ajutorul fig. 1.54 este ușor să ne dăm seama că în decalajul dintre planuri, câmpurile create de acestea sunt direcționate într-o singură direcție, prin urmare, în interiorul câmpului total este de două ori câmpul din fiecare dintre planuri. În afara planurilor, câmpurile pe care le creează sunt direcționate în direcții opuse, respectiv câmpul total din ambele planuri este zero (Fig. 1.55).

Orez. 1,54. Câmpul electric al unui condensator plat

Orez. 1,55. Câmp electric al planurilor încărcate opus

În Anexa 6, este analizat un exemplu cu mișcarea unei particule încărcate într-un câmp electric constant.

Potențialul de câmp al unui disc încărcat

După cum sa remarcat de mai multe ori, cunoscând potențialul câmpului unei sarcini punctuale și folosind principiul suprapunerii, în principiu întotdeauna, este posibil să se calculeze potențialul câmpului creat de orice distribuție a sarcinilor.

Să găsim, de exemplu, potențialul câmpului electric creat pe axa unui disc subțire de rază R, încărcat uniform cu o densitate de sarcină de suprafață (Fig. 1.57). Datorită simetriei axiale, în puncte de pe axă, două componente ale intensității câmpului perpendiculare pe axa sunt egale cu zero: , rămâne de găsit - componenta câmpului direcționată de-a lungul axei.

Poate fi extins într-o serie, limitată la primii doi termeni ai expansiunii

Legea lui Coulomb și dimensiunea spațiului

Spațiul în care trăim are trei dimensiuni. Cu alte cuvinte, sunt necesare trei coordonate (de exemplu, în sisteme carteziene sau sferice) pentru a specifica poziția unui punct DAR(Fig. 1.58). Se pare că numărul 3 este strâns legat de forma legii lui Coulomb. Am văzut că teorema Ostrogradsky-Gauss decurge din legea Coulomb. Este adevărat și invers, legea lui Coulomb poate fi dedusă din teorema Ostrogradsky-Gauss. Dar această teoremă este mai generală decât legea lui Coulomb. În special, este aplicabilă spațiilor cu dimensiunea , unde nu trebuie să fie egală cu trei.

Deci, în spațiul bidimensional, zona noastră joacă rolul de volum. Într-adevăr, o sferă este un loc de puncte din spațiu care sunt echidistante de centru. Conform acestei definiții, o sferă bidimensională este un cerc cu o rază a lumii dimensionale proporțională cu lumea dimensională.

Când obținem de aici legea inversului pătratului (legea lui Coulomb). Când găsim De fapt, suntem deja familiarizați cu acest comportament al câmpului electric. Aceasta este legea (10.17) pe care am derivat-o pentru câmpul unui cilindru încărcat infinit. Dacă vă gândiți cu atenție și vă amintiți locația liniilor de forță ale cilindrului, devine clar că nimic nu depinde de coordonatele de-a lungul axei cilindrului. Astfel, acest sistem simulează un câmp electric într-o lume bidimensională. Acum este mai ușor de înțeles că un plan încărcat imită o sarcină punctuală într-o lume unidimensională: totul depinde de o singură coordonată - distanța până la plan. Dar am constatat mai sus că câmpul electric nu depinde de această distanță. Și din formula (10.49) rezultă că puterea grad ) ar trebui să dea o expresie pentru puterea câmpului electric.

De aici rezultă concluzii interesante. Deoarece potențialele cresc la infinit în lumi uni și bidimensionale, este necesară o cantitate infinit de mare de muncă pentru a separa două sarcini de atragere. Aceasta înseamnă că în lumile cu dimensiuni joase este posibilă numai mișcarea finită a două corpuri care se atrag (sarcini, mase). Amintiți-vă că mișcarea într-o regiune mărginită a spațiului se numește finită. Prin urmare, în lumi în care este imposibil să ionizezi un atom, este imposibil să lansezi un satelit dincolo sistem solar etc.. Într-o astfel de lume nu ar exista reacții chimice, galaxiile și stelele nu ar fi putut evolua. Într-un cuvânt, viața de acolo ar fi stagnant de plictisitoare.

Ne-am aștepta la o distracție mai plăcută în lumile multidimensionale. Din păcate, aceasta se dovedește a fi o iluzie. Studiul ecuației de mișcare

conduce la concluzia că, în esență, nu există o mișcare finită: se realizează numai pentru orbite circulare și chiar și atunci este instabilă - cea mai mică perturbare duce la căderea unui electron (planete) pe un centru de atragere sau (ei) acestuia. fugind la o distanţă infinit de lungă. Se pare că într-o astfel de lume, atomii, sistemele planetare și orice altceva nu s-ar fi putut forma deloc. Nu există stabilitate în lumile de dimensiuni superioare - aceasta este o alternativă la lumile de dimensiuni joase „stagnante”. Numai la este posibilă atât mișcări stabile finite, cât și mișcări infinite. Se dovedește că spațiul tridimensional este singura formă convenabilă de existență și mișcare a materiei, cel puțin dintre tipurile ei cunoscute, pe care le studiem în fizică.

informatii suplimentare

http://hea.iki.rssi.ru/~nik/astro/spher.htm - sistem de coordonate sferice;

http://edu.ioff.ru/register/?doc=physica/lect3.ch2.tex - mișcare finită, problema lui Kepler.

Potențialul φ în orice punct al câmpului electrostatic este o mărime fizică determinată de energia potențială a unei singure sarcini pozitive plasată în acest punct. Potențialul câmpului creat de o sarcină punctiformă Q este

Potențial - o mărime fizică, care este determinată de munca de mutare a unei singure sarcini electrice pozitive atunci când este îndepărtată dintr-un punct dat al câmpului la infinit. Acest lucru este numeric egal cu munca efectuată de forțele externe (împotriva forțelor câmpului electrostatic) în deplasarea unei unități de sarcină pozitivă de la infinit la un punct dat din câmp.

Unitatea de potențial este voltul (V): 1 V este egal cu potențialul unui astfel de punct din câmp la care o sarcină de 1 C are o energie potențială de 1 J (1 V = 1 J/C). Având în vedere dimensiunea voltului, se poate demonstra că unitatea de măsură a intensității câmpului electrostatic introdusă mai devreme este într-adevăr 1 V/m: 1 N/Cl=1 N m/(Cl m)=1 J/(Cl m)=1 V/m.

Din formulele (3) și (4) rezultă că, dacă câmpul este creat de mai multe sarcini, atunci potențialul câmpului dat al sistemului de sarcini este egal cu suma algebrică a potențialelor câmpurilor tuturor acestor sarcini:

Puterea în orice punct al câmpului electric este egală cu gradientul de potențial în acest punct, luat cu semnul opus. Semnul minus indică faptul că intensitatea E este direcționată în direcția potențialului descrescător.

E = - grad phi = - N phi.

Pentru a stabili o legătură între caracteristica de putere a câmpului electric - puterea și caracteristica energetică a acestuia - potențial, luați în considerare lucrul elementar al forțelor câmpului electric pe o deplasare infinit mică a unei sarcini punctiforme q: dA = q E dl, același lucru este egal cu scăderea energiei potențiale a sarcinii q: dA = - dWп = - q dphi, unde d phi este modificarea potențialului câmpului electric pe lungimea deplasării dl. Echivalând părțile corecte ale expresiilor, obținem: E dl = -d phi sau în sistemul de coordonate carteziene

Ex dx + Ey dy + Ez dz = -d fi

unde Ex, Ey, Ez sunt proiecțiile vectorului intensitate pe axele sistemului de coordonate. Deoarece expresia este o diferenţială totală, atunci pentru proiecţiile vectorului intensitate avem

Expresia dintre paranteze este gradientul potențialului phi.

Principiul suprapunerii ca proprietate fundamentală a câmpurilor. Expresii generale pentru puterea și potențialul câmpului creat într-un punct cu un vector rază de un sistem de sarcini punctuale situate în puncte cu coordonate (vezi punctul 4).

Dacă luăm în considerare principiul suprapunerii în sensul cel mai general, atunci conform acestuia, suma impactului forțe externe care acționează asupra particulei va fi suma valorilor individuale ale fiecăruia dintre ele. Acest principiu se aplică diverselor sisteme liniare, adică sisteme al căror comportament poate fi descris prin relaţii liniare. Un exemplu este o situație simplă în care o undă liniară se propagă într-un anumit mediu, caz în care proprietățile sale vor fi păstrate chiar și sub influența perturbațiilor care decurg din unda în sine. Aceste proprietăți sunt definite ca o sumă specifică a efectelor fiecăreia dintre componentele armonice.

Principiul suprapunerii poate lua și alte formulări care sunt complet echivalente cu cea dată mai sus:

· Interacțiunea dintre două particule nu se modifică atunci când este introdusă o a treia particulă, care interacționează și cu primele două.

· Energia de interacțiune a tuturor particulelor dintr-un sistem cu mai multe particule este pur și simplu suma energiilor interacțiunilor perechilor dintre toate perechile posibile de particule. Nu există interacțiuni cu mai multe particule în sistem.

· Ecuațiile care descriu comportamentul unui sistem multiparticule sunt liniare în numărul de particule.

6 Circulația vectorului de tensiune este munca pe care o fac forțele electrice atunci când se deplasează o singură sarcină pozitivă de-a lungul unui traseu închis L

Deoarece munca forțelor câmpului electrostatic într-o buclă închisă este zero (lucrarea forțelor câmpului potențial), prin urmare, circulația intensității câmpului electrostatic într-o buclă închisă este zero.

Potențialul câmpului. Lucrul oricărui câmp electrostatic atunci când se mișcă un corp încărcat dintr-un punct în altul nu depinde de forma traiectoriei, precum și de munca unui câmp uniform. Pe o traiectorie închisă, munca câmpului electrostatic este întotdeauna zero. Câmpurile cu această proprietate se numesc câmpuri potențiale. În special, câmpul electrostatic al unei sarcini punctiforme are un caracter potențial.
Lucrarea unui câmp potențial poate fi exprimată în termeni de modificare a energiei potențiale. Formula este valabilă pentru orice câmp electrostatic.

7-11 Dacă liniile de forță ale unui câmp electric uniform de forță pătrund într-o zonă S, atunci fluxul vectorului de intensitate (noi numim numărul de linii de forță prin zonă) va fi determinat prin formula:

unde En este produsul vectorului și normala la aria dată (Fig. 2.5).

Orez. 2.5

Numărul total de linii de forță care trec prin suprafața S se numește fluxul vectorului de intensitate FU prin această suprafață.

În formă vectorială, puteți scrie - produsul scalar a doi vectori, unde vectorul .

Astfel, fluxul vectorial este un scalar, care, în funcție de unghiul α, poate fi fie pozitiv, fie negativ.

Luați în considerare exemplele prezentate în figurile 2.6 și 2.7.

	Orez. 2.6	Orez. 2.7

Pentru Figura 2.6, suprafața A1 este înconjurată de o sarcină pozitivă, iar fluxul aici este îndreptat spre exterior, adică. Suprafața A2– este înconjurată de o sarcină negativă și aici este îndreptată spre interior. Debitul total prin suprafața A este zero.

Pentru Figura 2.7, fluxul va fi diferit de zero dacă sarcina totală din interiorul suprafeței este diferită de zero. Pentru această configurație, fluxul prin suprafața A este negativ (numărați numărul de linii de câmp).

Astfel, fluxul vectorului de intensitate depinde de sarcină. Acesta este sensul teoremei Ostrogradsky-Gauss.

Teorema lui Gauss

Legea lui Coulomb stabilită experimental și principiul suprapunerii fac posibilă descrierea completă a câmpului electrostatic al unui anumit sistem de sarcini în vid. Cu toate acestea, proprietățile câmpului electrostatic pot fi exprimate într-o formă diferită, mai generală, fără a recurge la conceptul de câmp coulombian al unei sarcini punctiforme.

Să introducem o nouă mărime fizică care caracterizează câmpul electric - fluxul Φ al vectorului intensității câmpului electric. Lasă o zonă suficient de mică ΔS să fie localizată în spațiul în care este creat câmpul electric. Produsul modulului vectorial și aria ΔS și cosinusul unghiului α dintre vector și normala locului se numește flux elementar al vectorului de intensitate prin situsul ΔS (Fig. 1.3.1):

Să luăm acum în considerare o suprafață închisă arbitrară S. Dacă împărțim această suprafață în zone mici ΔSi, determinăm fluxurile elementare ΔΦi ale câmpului prin aceste zone mici, apoi le însumăm, apoi obținem fluxul Φ al vector prin suprafața închisă S (Fig. 1.3.2):

Teorema lui Gauss spune:

Fluxul vectorului intensității câmpului electrostatic printr-o suprafață închisă arbitrară este egal cu suma algebrică a sarcinilor situate în interiorul acestei suprafețe, împărțită la constanta electrică ε0.

unde R este raza sferei. Fluxul Φ prin suprafața sferică va fi egal cu produsul lui E și aria sferei 4πR2. Prin urmare,

Să înconjurăm acum sarcina punctiformă cu o suprafață închisă arbitrară S și să considerăm o sferă auxiliară cu raza R0 (Fig. 1.3.3).

Luați în considerare un con cu un unghi solid mic ΔΩ la vârf. Acest con selectează o zonă mică ΔS0 pe sferă și o zonă ΔS pe suprafața S. Fluxurile elementare ΔΦ0 și ΔΦ prin aceste zone sunt aceleași. Într-adevăr,

În mod similar, se poate arăta că, dacă suprafața închisă S nu cuprinde o sarcină punctiformă q, atunci debitul Φ = 0. Un astfel de caz este reprezentat în fig. 1.3.2. Toate liniile de forță ale câmpului electric al unei sarcini punctiforme pătrund prin și prin suprafața închisă S. Nu există încărcături în interiorul suprafeței S, prin urmare, în această regiune, liniile de forță nu se rup și nu își au originea.

Generalizarea teoremei Gauss la cazul unei distribuții arbitrare a sarcinilor decurge din principiul suprapunerii. Câmpul oricărei distribuții de sarcină poate fi reprezentat ca o sumă vectorială a câmpurilor electrice ale sarcinilor punctiforme. Fluxul Φ al unui sistem de sarcini printr-o suprafață închisă arbitrară S va fi suma fluxurilor Φi ale câmpurilor electrice ale sarcinilor individuale. Dacă sarcina qi s-a dovedit a fi în interiorul suprafeței S, atunci are o contribuție la flux egală cu dacă această sarcină s-a dovedit a fi în afara suprafeței, atunci contribuția câmpului său electric la flux va fi egală cu zero.

Astfel, se demonstrează teorema lui Gauss.

Teorema lui Gauss este o consecință a legii lui Coulomb și a principiului suprapunerii. Dar dacă acceptăm afirmația conținută în această teoremă ca o axiomă inițială, atunci legea lui Coulomb se va dovedi a fi consecința ei. Prin urmare, teorema lui Gauss este uneori numită o formulare alternativă a legii lui Coulomb.

Folosind teorema Gauss, într-un număr de cazuri este ușor de calculat intensitatea câmpului electric în jurul unui corp încărcat dacă distribuția de sarcină dată are un fel de simetrie și structura generală a câmpului poate fi ghicită în avans.

Un exemplu este problema calculării câmpului unui cilindru lung cu pereți subțiri, gol, încărcat uniform, cu raza R. Această problemă are simetrie axială. Din motive de simetrie, câmpul electric trebuie direcționat de-a lungul razei. Prin urmare, pentru a aplica teorema Gauss, este indicat să alegeți o suprafață închisă S sub forma unui cilindru coaxial de o rază r și lungime l, închisă la ambele capete (Fig. 1.3.4).

Pentru r ≥ R, întregul flux al vectorului de intensitate va trece prin suprafața laterală a cilindrului, a cărui zonă este egală cu 2πrl, deoarece fluxul prin ambele baze este egal cu zero. Aplicând teorema lui Gauss rezultă:

Acest rezultat nu depinde de raza R a cilindrului încărcat, deci este aplicabil și câmpului unui filament lung încărcat uniform.

Pentru a determina intensitatea câmpului în interiorul unui cilindru încărcat, este necesar să se construiască o suprafață închisă pentru cazul r< R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E 2πrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.

În mod similar, teorema lui Gauss poate fi aplicată pentru a determina câmpul electric într-un număr de alte cazuri în care distribuția sarcinii are un fel de simetrie, de exemplu, simetrie față de centru, plan sau axă. În fiecare dintre aceste cazuri, este necesar să se aleagă o suprafață Gaussiană închisă de o formă convenabilă. De exemplu, în cazul simetriei centrale, este convenabil să alegeți o suprafață Gaussiană sub forma unei sfere centrate într-un punct de simetrie. Cu simetrie axială, suprafața închisă trebuie aleasă sub forma unui cilindru coaxial închis la ambele capete (ca în exemplul discutat mai sus). Dacă distribuția sarcinilor nu are nicio simetrie și nu poate fi ghicită structura generală a câmpului electric, aplicarea teoremei lui Gauss nu poate simplifica problema determinării intensității câmpului.

Luați în considerare un alt exemplu de distribuție simetrică a sarcinilor - definiția câmpului unui plan încărcat uniform (Fig. 1.3.5).

În acest caz, este indicat să alegeți suprafața gaussiană S sub forma unui cilindru de o anumită lungime, închis la ambele capete. Axa cilindrului este îndreptată perpendicular pe planul încărcat, iar capetele sale sunt situate la aceeași distanță de acesta. Datorită simetriei, câmpul unui plan încărcat uniform trebuie îndreptat peste tot de-a lungul normalului. Aplicând teorema lui Gauss rezultă:

unde σ este densitatea sarcinii de suprafață, adică sarcina pe unitatea de suprafață.

Expresia rezultată pentru câmpul electric al unui plan încărcat uniform este aplicabilă și în cazul zonelor încărcate plate de dimensiune finită. În acest caz, distanța de la punctul în care este determinată intensitatea câmpului până la zona încărcată trebuie să fie semnificativ mai mică decât dimensiunea zonei.

Și orare pentru 7 - 11

1. Intensitatea câmpului electrostatic creat de o suprafață sferică încărcată uniform.

Fie ca o suprafață sferică cu raza R (Fig. 13.7) să poarte o sarcină uniform distribuită q, adică. densitatea sarcinii de suprafață în orice punct al sferei va fi aceeași.

A. Închidem suprafața noastră sferică într-o suprafață simetrică S cu raza r>R. Fluxul vector de intensitate prin suprafața S va fi egal cu

Conform teoremei lui Gauss

prin urmare

c. Să desenăm prin punctul B, situat în interiorul suprafeței sferice încărcate, sfera S cu raza r

2. Câmpul electrostatic al mingii.

Să avem o bilă cu raza R, încărcată uniform cu densitate în vrac.

În orice punct A, aflat în afara mingii, la o distanță r de centrul acesteia (r> R), câmpul său este similar cu câmpul unui punct de încărcare situat în centrul mingii. Apoi în afara mingii

(13.10)

iar pe suprafața sa (r=R)

(13.11)

În punctul B, aflat în interiorul mingii la distanțe r de centrul acesteia (r>R), câmpul este determinat doar de sarcina închisă în interiorul sferei cu raza r. Fluxul vector de intensitate prin această sferă este egal cu

pe de altă parte, conform teoremei lui Gauss

Dintr-o comparaţie a ultimelor expresii rezultă

(13.12)

unde este permisivitatea în interiorul sferei. Dependența intensității câmpului creat de o sferă încărcată de distanța până la centrul mingii este prezentată în (Fig. 13.10)

Fie ca planul să aibă o întindere infinită și sarcina pe unitate de suprafață este egală cu σ. Din legile simetriei rezultă că câmpul este îndreptat peste tot perpendicular pe plan, iar dacă nu există alte sarcini externe, atunci câmpurile de pe ambele părți ale planului trebuie să fie aceleași. Să limităm o parte a planului încărcat la o cutie cilindrică imaginară, astfel încât cutia să fie tăiată în jumătate și generatoarele săi să fie perpendiculare, iar două baze, fiecare având o zonă S, să fie paralele cu planul încărcat (Figura 1.10).

fluxul total de vectori; tensiunea este egală cu vectorul înmulțit cu aria S a primei baze, plus fluxul vectorial prin baza opusă. Fluxul de tensiune prin suprafața laterală a cilindrului este egal cu zero, deoarece liniile de tensiune nu le traversează. În acest fel, Pe de altă parte, conform teoremei lui Gauss

În acest fel,

(13.15)

În afara plăcii, vectorii de la fiecare dintre ei sunt direcționați în direcții opuse și se anulează reciproc. Prin urmare, intensitatea câmpului în spațiul din jurul plăcilor va fi egală cu zero E=0.

12. Câmpul unei sfere încărcate uniform.

Să fie creat câmpul electric de sarcină Q, distribuită uniform pe suprafața unei sfere cu rază R(Fig. 190). Pentru a calcula potențialul câmpului într-un punct arbitrar situat la distanță r din centrul sferei, este necesar să se calculeze munca efectuată de câmp atunci când se deplasează o sarcină pozitivă unitară dintr-un punct dat la infinit. Mai devreme am demonstrat că intensitatea câmpului unei sfere încărcate uniform în afara acesteia este echivalentă cu câmpul unei sarcini punctiforme situate în centrul sferei. Prin urmare, în afara sferei, potențialul câmpului sferei va coincide cu potențialul câmpului unei sarcini punctiforme.

φ (r)=Q 4πε 0r . (1)

În special, pe suprafața unei sfere, potențialul este egal cu φ 0=Q 4πε 0R. Nu există câmp electrostatic în interiorul sferei, astfel încât munca de mutare a unei sarcini dintr-un punct arbitrar din interiorul sferei la suprafața sa este zero. A= 0, prin urmare, diferența de potențial dintre aceste puncte este, de asemenea, egală cu zero Δ φ = -A= 0. Prin urmare, toate punctele din interiorul sferei au același potențial, care coincide cu potențialul suprafeței sale φ 0=Q 4πε 0R .

Deci, distribuția potențialului de câmp al unei sfere încărcate uniform are forma (Fig. 191)

φ (r)=⎧⎩⎨Q 4πε 0R, npu r<RQ 4πε 0r, npu r>R . (2)

Vă rugăm să rețineți că nu există niciun câmp în interiorul sferei, iar potențialul este diferit de zero! Acest exemplu este o ilustrare vie a faptului că potențialul este determinat de valoarea câmpului de la un punct dat la infinit.