Ceea ce se numește proiecția unui punct. Liniile principale din avion. Proiecție, tipuri de proiecție

În cazul proiecției dreptunghiulare, sistemul de planuri de proiecție este format din două planuri de proiecție reciproc perpendiculare (Fig. 2.1). Unul a fost de acord să fie amplasat orizontal, iar celălalt vertical.

Planul proiecțiilor, situat orizontal, se numește plan orizontal de proiecție si denota sch, iar planul perpendicular pe acesta planul de proiecție frontalăl 2 . Sistemul de planuri de proiecție în sine este notat p/p 2. Utilizați de obicei expresii prescurtate: avion L[, avion n 2 . Linia de intersecție a planurilor schși la 2 numit axa de proiecțieOH.Împarte fiecare plan de proiecție în două părți - etaje. Planul orizontal al proiecțiilor are un etaj anterior și posterior, în timp ce planul frontal are un etaj superior și inferior.

avioane schși p 2împărțiți spațiul în patru părți numite sferturiși notat cu cifre romane I, II, III și IV (vezi Fig. 2.1). Primul sfert se numește partea de spațiu delimitată de planurile de proiecție orizontale goale frontale superioare și frontale goale. Pentru sferturile rămase din spațiu, definițiile sunt similare cu cea anterioară.

Toate desenele de inginerie sunt imagini construite pe același plan. Pe fig. 2.1 sistemul de planuri de proiecție este spațial. Pentru a trece la imagini din același plan, am convenit să combinăm planurile de proiecție. De obicei avion p 2 rămas nemişcat, iar avionul P rotiți în direcția indicată de săgeți (vezi Fig. 2.1), în jurul axei OH la un unghi de 90 ° până când este aliniat cu planul n 2 . Cu o astfel de întoarcere, podeaua din față a planului orizontal coboară, iar cea din spate se ridică. După aliniere, planurile au forma descrisă

femela din fig. 2.2. Se crede că planurile de proiecție sunt opace și observatorul este întotdeauna în primul trimestru. Pe fig. 2.2, desemnarea planurilor invizibile după aliniere este luată între paranteze, așa cum este obișnuit pentru evidențierea figurilor invizibile în desene.

Punctul proiectat poate fi în orice sfert de spațiu sau pe orice plan de proiecție. În toate cazurile, pentru a construi proiecții, prin ea se trasează linii de proiectare și punctele lor de întâlnire se găsesc cu planurile 711 și 712, care sunt proiecții.

Luați în considerare proiecția unui punct situat în primul trimestru. Sistemul de planuri de proiecție 711/712 și punctul DAR(Fig. 2.3). Prin ea sunt trasate două LINII drepte, perpendiculare pe PLANURI 71) ȘI 71 2. Unul dintre ei va intersecta planul 711 la punctul respectiv DAR ", numit proiecția orizontală a punctului A, iar celălalt este planul 71 2 la punct DAR ", numit proiecția frontală a punctului A.

Linii de proiectare AA"și AA" determinați planul de proiecție a. Este perpendicular pe planuri Kip 2, deoarece trece prin perpendiculare pe ele și intersectează planurile de proiecție de-a lungul unor drepte A „Ah și A” A x. Axa de proiecție OH perpendicular pe planul oc, ca linie de intersecție a două plane 71| și 71 2 perpendicular pe al treilea plan (a) și, prin urmare, pe orice linie aflată în el. În special, 0X1A "A xși 0X1A "A x.

La combinarea avioanelor, segmentul A „Ah, apartament la 2, rămâne staționar, iar segmentul A „A xîmpreună cu planul 71) vor fi rotite în jurul axei OH până se aliniază cu planul 71 2 . Vedere a planurilor de proiecție combinate împreună cu proiecțiile unui punct DAR prezentată în fig. 2.4, A. După alinierea punctului A", A x și A" vor fi situate pe o linie dreaptă perpendiculară pe axă OH. Aceasta înseamnă că două proiecții ale aceluiași punct

se află pe o perpendiculară comună pe axa de proiecție. Această perpendiculară care leagă două proiecții ale aceluiași punct se numește linia de proiecție.

Desenul din fig. 2.4, A poate fi foarte simplificat. Denumirile planurilor de proiecție combinate din desene nu sunt marcate și dreptunghiurile care limitează în mod condiționat planurile de proiecție nu sunt reprezentate, deoarece planurile sunt nelimitate. Desenul punctual simplificat DAR(Fig. 2.4, b) numit si diagramă(Din franceza ?pure - desen).

Arată în fig. 2.3 patrulater AE4 "A X A" este un dreptunghi și laturile sale opuse sunt egale și paralele. Prin urmare, distanța de la punct DAR până la avion P, măsurată printr-un segment AA", în desen este determinat de segment Un „Ah. Segmentul A „A x = AA” vă permite să judecați distanța de la un punct DAR până la avion la 2 . Astfel, desenul unui punct oferă o imagine completă a locației acestuia în raport cu planurile de proiecție. De exemplu, conform desenului (vezi Fig. 2.4, b) se poate argumenta că ideea DAR situat în primul sfert și scos din avion p 2 la o distanţă mai mică decât de la planul ts b deoarece A „A x Un „Ah.

Să trecem la proiectarea unui punct în al doilea, al treilea și al patrulea sferturi de spațiu.

La proiectarea unui punct LA, situat în al doilea trimestru (Fig. 2.5), după combinarea planurilor, ambele proiecții ale sale vor fi deasupra axei OH.

Proiecția orizontală a punctului C, dată în al treilea sfert (Fig. 2.6), este situată deasupra axei OH, iar fata este mai jos.

Punctul D prezentat în fig. 2.7 este situat în al patrulea trimestru. După combinarea planurilor de proiecție, ambele proiecții vor fi sub axă OH.

Comparând desenele punctelor situate în diferite sferturi de spațiu (vezi Fig. 2.4-2.7), puteți vedea că fiecare este caracterizat de propria sa locație a proiecțiilor în raport cu axa proiecțiilor OH.

În cazuri particulare, punctul proiectat se poate afla pe planul de proiecție. Apoi, una dintre proiecțiile sale coincide cu punctul însuși, iar cealaltă va fi situată pe axa de proiecție. De exemplu, pentru un punct E,întins într-un avion sch(Fig. 2.8), proiecția orizontală coincide cu punctul însuși, iar proiecția frontală este pe axă OH. La punctul E, situat în avion la 2(Fig. 2.9), proiecție orizontală pe axă OH, iar fața coincide cu punctul însuși.

Un punct, ca concept matematic, nu are dimensiuni. Evident, dacă obiectul proiecției este un obiect cu dimensiuni zero, atunci este lipsit de sens să vorbim despre proiecția lui.

Fig.9 Fig.10

În geometrie sub un punct, este recomandabil să luați un obiect fizic care are dimensiuni liniare. În mod convențional, o minge cu o rază infinit de mică poate fi luată ca punct. Cu această interpretare a conceptului de punct, putem vorbi despre proiecțiile acestuia.

Când construim proiecții ortogonale ale unui punct, trebuie să ne ghidăm după prima proprietate invariantă a proiecției ortogonale: proiecția ortogonală a unui punct este un punct.

Poziția unui punct în spațiu este determinată de trei coordonate: X, Y, Z, arătând distanţele la care punctul este îndepărtat din planurile de proiecţie. Pentru a determina aceste distanțe, este suficient să determinați punctele de întâlnire ale acestor linii cu planurile de proiecție și să măsurați valorile corespunzătoare, care vor indica, respectiv, valorile abscisei. X, ordonate Yși aplicații Z puncte (Fig. 10).

Proiecția unui punct este baza perpendicularei căzute de la punct la planul de proiecție corespunzător. Proiecție orizontală puncte A numiți proiecția dreptunghiulară a unui punct pe planul orizontal al proiecțiilor, proiecție frontală a /- respectiv pe planul frontal al proiecţiilor şi profil a // – pe planul de proiecție a profilului.

Direct Aaaa /și Aa // se numesc linii proiectante. În același timp, direct Ah, punct de proiectare DAR pe planul orizontal al proiecțiilor, numit linie proiectată orizontal, Аa /și Aa //- respectiv: frontalși linii drepte care proiectează profil.

Două linii proeminente care trec printr-un punct DAR definiți planul, care se numește proiectand.

La conversia aspectului spațial, proiecția frontală a punctului A - a / rămâne pe loc ca aparținând unui plan care nu își schimbă poziția sub transformarea considerată. proiecție orizontală - Aîmpreună cu planul orizontal de proiecție se vor întoarce în sensul deplasării în sensul acelor de ceasornic și vor fi situate pe una perpendiculară pe axa X cu proiecție frontală. proiecție profil - A // se va roti împreună cu planul profilului și până la sfârșitul transformării va lua poziția indicată în Figura 10. În același timp - A // va fi perpendicular pe ax Z trase din punct A /și va fi îndepărtat de pe axă Z aceeași distanță ca și proiecția orizontală A departe de axă X. Prin urmare, legătura dintre proiecțiile orizontale și de profil ale unui punct poate fi stabilită folosind două segmente ortogonale aa yși a da //și un arc de conjugare al unui cerc centrat în punctul de intersecție al axelor ( O- origine). Conexiunea marcată este folosită pentru a găsi proiecția lipsă (pentru două date date). Poziția proiecției profilului (orizontală) conform proiecțiilor orizontale (profilului) și frontală date poate fi găsită folosind o linie dreaptă trasată la un unghi de 45 0 de la origine la axă. Y(această bisectoare se numește linie dreaptă) k este constanta Monge). Prima dintre aceste metode este de preferat, deoarece este mai precisă.

Prin urmare:

1. Punctul din spațiu eliminat:

din planul orizontal H Z,

din planul frontal V prin valoarea coordonatei date Y,

din planul profilului W prin valoarea coordonatei. X.

2. Două proiecții ale oricărui punct aparțin aceleiași perpendiculare (o linie de legătură):

orizontală și frontală - perpendiculară pe axă X,

orizontal și profil - perpendicular pe axa Y,

frontală și de profil - perpendicular pe axa Z.

3. Poziția unui punct în spațiu este complet determinată de poziția celor două proiecții ortogonale ale sale. Prin urmare - pentru oricare două date proiecții ortogonale punct, este întotdeauna posibil să-și construiască a treia proiecție lipsă.

Dacă un punct are trei coordonate definite, atunci se numește un astfel de punct punct în poziție generală. Dacă un punct are una sau două coordonate egale cu zero, atunci se numește un astfel de punct punct de poziție privată.

Orez. 11 Fig. 12

Figura 11 prezintă un desen spațial al punctelor cu o anumită poziție, Figura 12 prezintă un desen complex (diagrame) a acestor puncte. Punct DAR aparține planului de proiecție frontală, punctul LA– plan orizontal al proiecțiilor, punct DIN– planul de profil al proiecțiilor și punctului D– axa absciselor ( X).

Proiecția unui punct pe trei planuri de proiecție ale unghiului de coordonate începe cu obținerea imaginii acestuia pe planul H - planul orizontal al proiecțiilor. Pentru a face acest lucru, prin punctul A (Fig. 4.12, a) se trasează o grindă proeminentă perpendicular pe planul H.

În figură, perpendiculara pe planul H este paralelă cu axa Oz. Punctul de intersecție al grinzii cu planul H (punctul a) se alege în mod arbitrar. Segmentul Aa determină cât de departe este punctul A de planul H, indicând astfel fără ambiguitate poziția punctului A în figură față de planurile de proiecție. Punctul a este o proiecție dreptunghiulară a punctului A pe planul H și se numește proiecția orizontală a punctului A (fig. 4.12, a).

Pentru a obține o imagine a punctului A pe planul V (Fig. 4.12, b), se trasează un fascicul proiectat prin punctul A perpendicular pe planul de proiecție frontală V. În figură, perpendiculara pe planul V este paralelă cu Oy axă. Pe planul H, distanța de la punctul A la planul V va fi reprezentată printr-un segment aa x, paralel cu axa Oy și perpendicular pe axa Ox. Dacă ne imaginăm că fasciculul proiectat și imaginea sa sunt efectuate simultan în direcția planului V, atunci când imaginea fasciculului intersectează axa Ox în punctul a x, fasciculul intersectează planul V în punctul a. Desen din punctul a x din planul V perpendicular pe axa Ox , care este imaginea fasciculului proiectat Aa pe planul V, punctul a se obține la intersecția cu fasciculul proeminent. Punctul a „este proiecția frontală a punctului A, adică imaginea acestuia pe planul V.

Imaginea punctului A pe planul de profil al proiecțiilor (Fig. 4.12, c) este construită folosind un fascicul proeminent perpendicular pe planul W. În figură, perpendiculara pe planul W este paralelă cu axa Ox. Grinda proeminentă din punctul A în planul W pe planul H va fi reprezentată printr-un segment aa y, paralel cu axa Ox și perpendicular pe axa Oy. Din punctul Oy paralel cu axa Oz și perpendicular pe axa Oy se construiește o imagine a fasciculului proiectant aA și, la intersecția cu fasciculul proiectant, se obține punctul a. Punctul a „este proiecția de profil a punctul A, adică imaginea punctului A pe planul W.

Punctul a „poate fi construit desenând din punctul a” segmentul a „a z (imaginea fasciculului proiectat Aa” pe planul V) paralel cu axa Ox, iar din punctul a z - segmentul a „a z paralel cu axa Oy până se intersectează cu fasciculul proeminent.

După ce au primit trei proiecții ale punctului A pe planurile de proiecție, unghiul de coordonate este desfășurat într-un singur plan, așa cum se arată în Fig. 4.11, b, împreună cu proiecțiile punctului A și razele proeminente, și punctul A și razele proeminente Aa, Aa „și Aa” sunt îndepărtate. Marginile planurilor de proiecție combinate nu sunt realizate, ci se realizează doar axele de proiecție Oz, Oy și Ox, Oy 1 (Fig. 4.13).

O analiză a desenului ortogonal al unui punct arată că trei distanțe - Aa", Aa și Aa" (Fig. 4.12, c), care caracterizează poziția punctului A în spațiu, pot fi determinate prin aruncarea obiectului de proiecție însuși - punctul A , pe un unghi de coordonate desfășurat într-un plan (Fig. 4.13). Segmentele a „a z, aa y și Oa x sunt egale cu Aa” ca laturi opuse ale dreptunghiurilor corespunzătoare (Fig. 4.12, c și 4.13). Ele determină distanța la care punctul A este situat față de planul de profil al proiecțiilor. Segmentele a „a x, a” a y1 și Oa y sunt egale cu segmentul Aa, determină distanța de la punctul A la planul orizontal al proiecțiilor, segmentele aa x, a „a z și Oa y 1 sunt egale cu segmentul Aa”, care determină distanța de la punctul A la planul de proiecție frontală.

Segmentele Oa x, Oa y și Oa z situate pe axele de proiecție sunt o expresie grafică a dimensiunilor coordonatelor X, Y și Z ale punctului A. Coordonatele punctului sunt notate cu indicele literei corespunzătoare. Măsurând dimensiunea acestor segmente, puteți determina poziția punctului în spațiu, adică setați coordonatele punctului.

Pe diagramă, segmentele a "a x și aa x sunt aranjate ca o singură dreaptă perpendiculară pe axa Ox, iar segmentele a" a z și a "a z - pe axa Oz. Aceste linii se numesc linii de legătură de proiecție. Ele intersectează axele de proiecție în punctele a x și respectiv z. Linia conexiunii de proiecție care leagă proiecția orizontală a punctului A cu cea de profil s-a dovedit a fi „tăiată” în punctul a y.

Două proiecții ale aceluiași punct sunt întotdeauna situate pe aceeași linie de conexiune de proiecție perpendiculară pe axa de proiecție.

Pentru a reprezenta poziția unui punct în spațiu, sunt suficiente două dintre proiecțiile sale și o origine dată (punctul O). 4.14, b, două proiecții ale unui punct determină complet poziția sa în spațiu Folosind aceste două proiecții, puteți construi o proiecție de profil a punctului A. Prin urmare, în viitor, dacă nu este nevoie de proiecția profilului, diagramele vor fi construite pe două planuri de proiecție: V și H.

Orez. 4.14. Orez. 4.15.

Să luăm în considerare câteva exemple de construire și citire a unui desen al unui punct.

Exemplul 1 Determinarea coordonatelor punctului J date pe diagramă prin două proiecții (Fig. 4.14). Se măsoară trei segmente: segmentul Ov X (coordonată X), segmentul b X b (coordonată Y) și segmentul b X b "(coordonată Z). Coordonatele se scriu în următoarea ordine: X, Y și Z, după desemnarea literei al punctului, de exemplu, B20; 30; 15.

Exemplul 2. Construirea unui punct după coordonatele date. Punctul C este dat de coordonatele C30; zece; 40. Pe axa Ox (Fig. 4.15) găsiți un punct cu x, în care linia conexiunii de proiecție intersectează axa de proiecție. Pentru a face acest lucru, coordonata X (dimensiunea 30) este trasată de-a lungul axei Ox de la origine (punctul O) și se obține un punct cu x. Prin acest punct, perpendicular pe axa Ox, se trasează o linie de conexiune de proiecție și se așează coordonata Y din punct (dimensiunea 10), se obține punctul c - proiecția orizontală a punctului C. Coordonata Z (dimensiunea 10). 40) este trasat în sus de la punctul c x de-a lungul liniei de conectare a proiecției (dimensiunea 40), punctul se obține c" - proiecția frontală a punctului C.

Exemplul 3. Construirea unei proiecții de profil a unui punct conform proiecțiilor date. Sunt stabilite proiecțiile punctului D - d și d. Prin punctul O se desenează axele de proiecție Oz, Oy și Oy 1 (Fig. 4.16, a), acesta în dreapta în spatele axei Oz. Pe această linie va fi amplasată proiecția de profil a punctului D. Acesta va fi situat la aceeași distanță de axa Oz ca și proiecția orizontală a punctului d: de axa Ox, adică la distanța dd x. Segmentele d z d "și dd x sunt aceleași, deoarece determină aceeași distanță - distanța de la punctul D la planul de proiecție frontală. Această distanță este coordonata Y a punctului D.

Grafic, segmentul d z d "se construiește prin transferul segmentului dd x din planul orizontal al proiecțiilor pe cel de profil. Pentru a face acest lucru, trageți o linie de legătură de proiecție paralelă cu axa Ox, obțineți un punct d y pe axa Oy ( Fig. 4.16, b).Se transferă apoi dimensiunea segmentului Od y pe axa Oy 1 , desenând din punctul O un arc cu raza egală cu segmentul Od y, până când se intersectează cu axa Oy 1 (Fig. 4.16, b), obțineți punctul dy 1. Acest punct poate fi, de asemenea, construit, așa cum se arată în Fig. 4.16, c, prin trasarea unei linii drepte la un unghi de 45 ° față de axa Oy din punctul d y. Din punctul d y1 trageți o linie de conexiune de proiecție paralelă cu axa Oz și așezați pe ea un segment egal cu segmentul d "d x, obțineți punctul d".

Transferarea valorii segmentului d x d în planul profilului proiecțiilor se poate face folosind un desen în linie dreaptă constantă (Fig. 4.16, d). În acest caz, linia de conectare a proiecției dd y este trasată prin proiecția orizontală a punctului paralel cu axa Oy 1 până când se intersectează cu o dreaptă constantă și apoi paralelă cu axa Oy până se intersectează cu continuarea proiecției. linia de legătură d "d z.

Cazuri particulare de localizare a punctelor în raport cu planurile de proiecție

Poziția unui punct față de planul de proiecție este determinată de coordonatele corespunzătoare, adică valoarea segmentului liniei de conectare a proiecției de la axa Ox la proiecția corespunzătoare. Pe fig. 4.17 coordonata Y a punctului A este determinată de segmentul aa x - distanța de la punctul A la planul V. Coordonata Z a punctului A este determinată de segmentul a "a x - distanța de la punctul A la planul H. Dacă unul a coordonatelor este zero, atunci punctul este situat pe planul de proiecție. Fig. 4.17 prezintă exemple de locații diferite ale punctelor în raport cu planurile de proiecție. Coordonata Z a punctului B este zero, punctul se află în planul H. Proiecția sa frontală este pe axa Ox și coincide cu punctul b x. Coordonata Y a punctului C este zero, punctul este situat pe planul V, proiecția sa orizontală c este pe axa x și coincide cu punctul c x.

Prin urmare, dacă un punct se află pe planul de proiecție, atunci una dintre proiecțiile acestui punct se află pe axa de proiecție.

Pe fig. 4.17, coordonatele Z și Y ale punctului D sunt zero, prin urmare, punctul D se află pe axa de proiecție Ox și cele două proiecții ale sale coincid.

Se știe că suprafețele poliedrelor sunt mărginite figuri plate. Prin urmare, punctele date pe suprafața unui poliedru de cel puțin o proiecție sunt, în cazul general, puncte definite. Același lucru este valabil și pentru suprafețele altor corpuri geometrice: cilindru, con, bilă și tor, delimitate de suprafețe curbe.

Să fim de acord să descriem punctele vizibile aflate pe suprafața corpului ca cercuri, punctele invizibile ca cercuri înnegrite (puncte); Liniile vizibile vor fi afișate ca linii continue, iar liniile invizibile ca linii întrerupte.

Să fie dată proiecția orizontală A 1 a punctului A aflat pe suprafața unei prisme triunghiulare drepte (fig. 162, a).

TBegin-->Tend-->

După cum se poate observa din desen, bazele din față și din spate ale prismei sunt paralele cu planul de proiecție frontală P2 și sunt proiectate pe acesta fără distorsiuni, fața laterală inferioară a prismei este paralelă cu planul de proiecție orizontal P1 și este de asemenea proiectat fără distorsiuni. Marginile laterale ale prismei sunt linii drepte proiectate frontal, prin urmare sunt proiectate pe planul de proiecție frontală P 2 sub formă de puncte.

Deoarece proiecţia A 1 . este reprezentat de un cerc de lumină, apoi punctul A este vizibil și, prin urmare, este situat pe partea dreaptă a prismei. Această față este un plan de proiecție frontală, iar proiecția frontală A2 a punctului trebuie să coincidă cu proiecția frontală a planului reprezentat printr-o linie dreaptă.

După ce a tras o dreaptă constantă k 123, găsim a treia proiecție A 3 a punctului A. Când este proiectat pe planul de profil al proiecțiilor, punctul A va fi invizibil, prin urmare punctul A 3 este afișat ca un cerc negru. Specificarea unui punct prin proiecția frontală B 2 este nedefinită, deoarece nu determină distanța punctului B de baza frontală a prismei.

Să construim o proiecție izometrică a prismei și a punctului A (Fig. 162, b). Este convenabil să începeți construcția de la baza frontală a prismei. Construim un triunghi al bazei conform dimensiunilor luate din desenul complex; de-a lungul axei y "punem deoparte dimensiunea marginii prismei. Construim imaginea axonometrică A" a punctului A folosind polilinia de coordonate încercuită în ambele desene cu o linie dublă subțire.

Să fie dată proiecția frontală C 2 a punctului C, situată pe suprafața unei piramide patruunghiulare regulate, dată de două proiecții principale (Fig. 163, a). Este necesar să se construiască trei proiecții ale punctului C.

Din proiecția frontală, se poate observa că vârful piramidei este mai înalt decât baza pătrată a piramidei. În această condiție, toate cele patru fețe laterale vor fi vizibile atunci când sunt proiectate pe planul orizontal de proiecție П 1 . La proiectarea pe planul de proiecție frontală P 2, va fi vizibilă doar fața frontală a piramidei. Deoarece proiecția C 2 este prezentată în desen ca un cerc de lumină, punctul C este vizibil și aparține feței frontale a piramidei. Pentru a construi o proiecție orizontală C 1, trasăm o dreaptă auxiliară D 2 E 2 prin punctul C 2, paralelă cu linia bazei piramidei. Pe ea găsim proiecția orizontală D 1 E 1 și punctul C 1. Dacă există o a treia proiecție a piramidei, găsim proiecția orizontală a punctului C 1 mai simplu: după ce am găsit proiecția de profil C 3, construim a treia proiecție. unul folosind două proiecții folosind linii de comunicare orizontală și orizontal-verticală. Progresul construcției este afișat în desen prin săgeți.

TBegin-->
Tend-->

Să construim o proiecție dimetrică a piramidei și a punctului C (Fig. 163, b). Construim baza piramidei; pentru aceasta, prin punctul O „luat pe axa r”, desenăm axele x” și y”; pe axa x „lăsăm deoparte dimensiunile reale ale bazei, iar pe axa y” - înjumătățit. Prin punctele obținute trasăm drepte paralele cu axele x „și y”. Pe axa z, trasăm înălțimea piramidei; conectăm punctul rezultat cu punctele bazei, ținând cont de vizibilitatea marginilor. Pentru a construi punctul C, folosim polilinia de coordonate încercuită în desene de o linie dublă subțire.Pentru a verifica acuratețea soluției, trasăm o dreaptă D „E” prin punctul găsit C, axa x paralelă”. Lungimea sa trebuie să fie egală cu lungimea dreptei D 2 E 2 (sau D 1 E 1).

Un punct din spațiu este definit de oricare două dintre proiecțiile sale. Dacă este necesar să se construiască o a treia proiecție în funcție de două date date, este necesar să se folosească corespondența segmentelor liniilor de legătură ale proiecției obținute la determinarea distanțelor de la un punct la planul de proiecție (vezi Fig. 2.27 și Fig. 2.28).

Exemple de rezolvare a problemelor în octantul I

dat A 1 ; A 2	Construiește A 3
dat A2; A 3	Construiește A 1
dat A 1 ; A 3	Construiește A 2

Luați în considerare algoritmul pentru construirea punctului A (Tabelul 2.5)

Tabelul 2.5

Algoritm pentru construirea punctului A
conform coordonatelor date A ( X = 5, y = 20, z = -9)

În următoarele capitole vom lua în considerare imagini: linii drepte și plane doar în primul trimestru. Deși toate metodele luate în considerare pot fi aplicate în orice trimestru.

concluzii

Astfel, pe baza teoriei lui G. Monge, este posibilă transformarea imaginii spațiale a imaginii (punctului) într-una plană.

Această teorie se bazează pe următoarele puncte:

1. Întregul spațiu este împărțit în 4 sferturi cu ajutorul a două reciproc planuri perpendiculare p 1 și p 2 , sau cu 8 octave prin adăugarea unui al treilea plan reciproc perpendicular p 3 .

2. Imaginea unei imagini spațiale pe aceste planuri se obține folosind o proiecție dreptunghiulară (ortogonală).

3. Pentru a converti o imagine spațială într-o imagine plană, se consideră că planul p 2 este staționar, iar planul p 1 se rotește în jurul axei X astfel încât semiplanul pozitiv p 1 coincide cu semiplanul negativ p 2 , partea negativă a lui p 1 coincide cu partea pozitivă p 2 .

4. Planul p 3 se rotește în jurul axei z(linii de intersecție a planurilor) până când se aliniază cu planul p 2 (vezi Fig. 2.31).

Imaginile obţinute pe planurile p 1 , p 2 şi p 3 cu o proiecţie dreptunghiulară a imaginilor se numesc proiecţii.

Planurile p 1 , p 2 și p 3 împreună cu proiecțiile descrise pe ele formează un desen sau diagrame complexe plane.

Linii care leagă proiecțiile imaginii ^ de axe X, y, z, sunt numite linii de proiecție.

Pentru o definire mai precisă a imaginilor în spațiu, se poate aplica un sistem de trei plane reciproc perpendiculare p 1 , p 2 , p 3 .

În funcție de starea problemei, puteți alege pentru imagine fie sistemul p 1 , p 2 sau p 1 , p 2 , p 3 .

Sistemul de planuri p 1 , p 2 , p 3 poate fi conectat la sistem coordonate carteziene, ceea ce face posibilă specificarea obiectelor nu numai în mod grafic sau (verbal), ci și analitic (folosind numere).

Acest mod de a reprezenta imagini, în special puncte, face posibilă rezolvarea unor astfel de probleme de poziție precum:

• locația punctului în raport cu planurile de proiecție ( pozitia generala, aparținând planului, axei);
• poziţia punctului în sferturi (în ce sfert se află punctul);
• poziția punctelor unul față de celălalt (mai sus, mai jos, mai aproape, mai departe față de planurile proiecțiilor și privitorului);
• poziția proiecțiilor punctuale în raport cu planurile de proiecție (distanță egală, mai aproape, mai departe).

Sarcini de metrică:

• echidistanța proiecției față de planurile de proiecție;
• raportul de eliminare a proiecției din planurile de proiecție (de 2-3 ori, mai mult, mai puțin);
• determinarea distantei unui punct fata de planurile de proiectie (la introducerea unui sistem de coordonate).

Întrebări pentru introspecție

1. Linia de intersecție a cărei planuri este axa z?

2. Linia de intersecție a cărei planuri este axa y?

3. Cum este situată linia de legătură de proiecție a proiecției frontale și de profil a punctului? Spectacol.

4. Ce coordonate determină poziția proiecției punctului: orizontală, frontală, de profil?

5. În ce sfert se află punctul F (10; -40; -20)? De ce plan de proiecție este punctul F cel mai îndepărtat?

6. Distanţa de la care proiecţie la ce axă determină distanţa punctului de planul p 1 ? Care este coordonata punctului este aceasta distanta?