Unghiul dintre liniile care se intersectează: definiție, exemple de găsire. Unghiul dintre liniile care se intersectează: definiție, exemple de găsire Găsiți unghiul dintre drepte 3x

Acest material este dedicat unui astfel de concept precum unghiul dintre două linii drepte care se intersectează. În primul paragraf, vom explica ce este și o vom arăta în ilustrații. Apoi vom analiza cum puteți găsi sinusul, cosinusul acestui unghi și unghiul în sine (vom lua în considerare separat cazurile cu un plan și spațiu tridimensional), vom da formulele necesare și vom arăta cu exemple cum sunt aplicate exact. in practica.

Pentru a înțelege ce este un unghi format la intersecția a două drepte, trebuie să ne amintim însăși definiția unghiului, a perpendicularității și a unui punct de intersecție.

Definiția 1

Numim două drepte care se intersectează dacă au un punct comun. Acest punct se numește punctul de intersecție a celor două drepte.

Fiecare linie este împărțită de punctul de intersecție în raze. În acest caz, ambele linii formează 4 unghiuri, dintre care două sunt verticale și două sunt adiacente. Dacă cunoaștem măsura unuia dintre ele, atunci le putem determina pe celelalte rămase.

Să presupunem că știm că unul dintre unghiuri este egal cu α. Într-un astfel de caz, unghiul care este vertical față de acesta va fi, de asemenea, egal cu α. Pentru a găsi unghiurile rămase, trebuie să calculăm diferența 180 ° - α . Dacă α este egal cu 90 de grade, atunci toate unghiurile vor fi drepte. Liniile care se intersectează în unghi drept sunt numite perpendiculare (un articol separat este dedicat conceptului de perpendicularitate).

Aruncă o privire la poză:

Să trecem la formularea definiției principale.

Definiția 2

Unghiul format din două drepte care se intersectează este măsura celui mai mic dintre cele 4 unghiuri care formează aceste două drepte.

Din definiție trebuie trasă o concluzie importantă: mărimea unghiului în acest caz va fi exprimată prin orice număr real din intervalul (0 , 90 ] . Dacă dreptele sunt perpendiculare, atunci unghiul dintre ele va fi în orice caz egal cu 90 de grade.

Capacitatea de a găsi măsura unghiului dintre două drepte care se intersectează este utilă pentru rezolvarea multor probleme practice. Metoda de rezolvare poate fi selectată din mai multe opțiuni.

Pentru început, putem lua metode geometrice. Dacă știm ceva despre unghiuri suplimentare, atunci le putem conecta la unghiul de care avem nevoie folosind proprietățile formelor egale sau similare. De exemplu, dacă cunoaștem laturile unui triunghi și trebuie să calculăm unghiul dintre liniile pe care sunt situate aceste laturi, atunci teorema cosinusului este potrivită pentru rezolvare. Dacă avem un triunghi dreptunghic în condiție, atunci pentru calcule va trebui să cunoaștem și sinusul, cosinusul și tangenta unghiului.

Metoda coordonatelor este, de asemenea, foarte convenabilă pentru rezolvarea problemelor de acest tip. Să explicăm cum să-l folosim corect.

Avem un sistem de coordonate dreptunghiular (cartezian) O x y cu două drepte. Să le notăm cu literele a și b. În acest caz, liniile drepte pot fi descrise folosind orice ecuație. Liniile originale au un punct de intersecție M . Cum se determină unghiul dorit (să-l notăm α) între aceste linii?

Să începem cu formularea principiului de bază al găsirii unui unghi în condiții date.

Știm că concepte precum direcția și vectorul normal sunt strâns legate de conceptul de linie dreaptă. Dacă avem ecuația unei linii drepte, putem lua din ea coordonatele acestor vectori. Putem face acest lucru pentru două linii care se intersectează simultan.

Unghiul format din două drepte care se intersectează poate fi găsit folosind:

• unghiul dintre vectorii de direcție;
• unghiul dintre vectorii normali;
• unghiul dintre vectorul normal al unei linii și vectorul direcție al celeilalte.

Acum să ne uităm la fiecare metodă separat.

1. Să presupunem că avem o dreaptă a cu vector de direcție a → = (a x , a y) și o dreaptă b cu vector de direcție b → (b x , b y) . Acum să lăsăm deoparte doi vectori a → și b → din punctul de intersecție. După aceea, vom vedea că fiecare va fi amplasat pe propria linie. Apoi avem patru opțiuni pentru poziția lor relativă. Vezi ilustrația:

Dacă unghiul dintre doi vectori nu este obtuz, atunci va fi unghiul de care avem nevoie între liniile care se intersectează a și b. Dacă este obtuz, atunci unghiul dorit va fi egal cu unghiul adiacent unghiului a → , b → ^ . Astfel, α = a → , b → ^ dacă a → , b → ^ ≤ 90 ° , și α = 180 ° - a → , b → ^ dacă a → , b → ^ > 90 ° .

Din moment ce cosinus unghiuri egale sunt egale, putem rescrie egalitățile rezultate astfel: cos α = cos a → , b → ^ dacă a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ dacă a → , b → ^ > 90 ° .

În al doilea caz s-au folosit formule de reducere. Prin urmare,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Să scriem ultima formulă în cuvinte:

Definiția 3

Cosinusul unghiului format din două drepte care se intersectează va fi egal cu modulul cosinusului unghiului dintre vectorii săi de direcție.

Forma generală a formulei pentru cosinusul unghiului dintre doi vectori a → = (a x, a y) și b → = (b x, b y) arată astfel:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Din aceasta putem deriva formula pentru cosinusul unghiului dintre două drepte date:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Apoi unghiul în sine poate fi găsit folosind următoarea formulă:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Aici a → = (a x , a y) și b → = (b x , b y) sunt vectorii de direcție ai dreptelor date.

Să dăm un exemplu de rezolvare a problemei.

Exemplul 1

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular, pe plan sunt date două drepte care se intersectează a și b. Ele pot fi descrise prin ecuații parametrice x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R și x 5 = y - 6 - 3 . Calculați unghiul dintre aceste drepte.

Soluţie

Avem in stare ecuație parametrică, ceea ce înseamnă că pentru această linie dreaptă putem nota imediat coordonatele vectorului său de direcție. Pentru a face acest lucru, trebuie să luăm valorile coeficienților la parametru, adică. dreapta x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R va avea un vector de direcție a → = (4 , 1) .

A doua linie dreaptă este descrisă folosind ecuația canonică x 5 = y - 6 - 3 . Aici putem lua coordonatele de la numitori. Astfel, această dreaptă are un vector de direcție b → = (5 , - 3) .

În continuare, trecem direct la găsirea unghiului. Pentru a face acest lucru, pur și simplu înlocuiți coordonatele disponibile ale celor doi vectori în formula de mai sus α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Obținem următoarele:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Răspuns: Aceste linii formează un unghi de 45 de grade.

Putem rezolva o problemă similară găsind unghiul dintre vectorii normali. Dacă avem o dreaptă a cu un vector normal n a → = (n a x , n a y) și o dreaptă b cu un vector normal n b → = (n b x , n b y) , atunci unghiul dintre ele va fi egal cu unghiul dintre n a → și n b → sau unghiul care va fi adiacent lui n a → , n b → ^ . Această metodă este prezentată în imagine:

Formulele pentru calcularea cosinusului unghiului dintre liniile care se intersectează și acest unghi în sine folosind coordonatele vectorilor normali arată astfel:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n de y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n de y 2 n de y 2

Aici n a → și n b → denotă vectorii normali ai două drepte date.

Exemplul 2

Două drepte sunt date într-un sistem de coordonate dreptunghiular folosind ecuațiile 3 x + 5 y - 30 = 0 și x + 4 y - 17 = 0 . Găsiți sinusul, cosinusul unghiului dintre ele și mărimea acelui unghi în sine.

Soluţie

Dreaptele inițiale sunt date folosind ecuații drepte normale de forma A x + B y + C = 0 . Se notează vectorul normal n → = (A , B) . Să găsim coordonatele primului vector normal pentru o dreaptă și să le scriem: n a → = (3 , 5) . Pentru a doua linie x + 4 y - 17 = 0 vectorul normal va avea coordonatele n b → = (1 , 4) . Acum adăugați valorile obținute la formulă și calculați totalul:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Dacă cunoaștem cosinusul unui unghi, atunci putem calcula sinusul acestuia folosind identitatea trigonometrică de bază. Deoarece unghiul α format din linii drepte nu este obtuz, atunci sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

În acest caz, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Răspuns: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Să analizăm ultimul caz - găsirea unghiului dintre drepte, dacă știm coordonatele vectorului de direcție al unei linii și vectorului normal al celeilalte.

Să presupunem că linia a are un vector de direcție a → = (a x , a y) , iar linia b are un vector normal n b → = (n b x , n b y) . Trebuie să amânăm acești vectori din punctul de intersecție și să luăm în considerare toate opțiunile pentru poziția lor relativă. Vezi poza:

Dacă unghiul dintre vectorii dați nu este mai mare de 90 de grade, se dovedește că va completa unghiul dintre a și b la un unghi drept.

a → , n b → ^ = 90 ° - α dacă a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Dacă este mai mică de 90 de grade, atunci obținem următoarele:

a → , n b → ^ > 90 ° , apoi a → , n b → ^ = 90 ° + α

Folosind regula egalității cosinusurilor de unghiuri egale, scriem:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α pentru a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α la a → , n b → ^ > 90 ° .

Prin urmare,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Să formulăm o concluzie.

Definiția 4

Pentru a găsi sinusul unghiului dintre două drepte care se intersectează într-un plan, trebuie să calculați modulul cosinusului unghiului dintre vectorul de direcție al primei linii și vectorul normal al celei de-a doua.

Să notăm formulele necesare. Aflarea sinusului unui unghi:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Găsirea colțului în sine:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Aici a → este vectorul de direcție al primei linii, iar n b → este vectorul normal al celei de-a doua.

Exemplul 3

Două drepte care se intersectează sunt date de ecuațiile x - 5 = y - 6 3 și x + 4 y - 17 = 0 . Aflați unghiul de intersecție.

Soluţie

Luăm coordonatele vectorului de direcție și normal din ecuațiile date. Rezultă a → = (- 5 , 3) ​​​​și n → b = (1 , 4) . Luăm formula α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n by y 2 și luăm în considerare:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Rețineți că am luat ecuațiile din problema anterioară și am obținut exact același rezultat, dar într-un mod diferit.

Răspuns:α = a r c sin 7 2 34

Iată o altă modalitate de a găsi unghiul dorit folosind coeficienții de pantă ai liniilor date.

Avem o linie a , care este definită într-un sistem de coordonate dreptunghiular folosind ecuația y = k 1 · x + b 1 , și o linie b , definită ca y = k 2 · x + b 2 . Acestea sunt ecuații ale dreptelor cu pantă. Pentru a găsi unghiul de intersecție, utilizați formula:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , unde k 1 și k 2 sunt pantele dreptelor date. Pentru a obține această înregistrare s-au folosit formule pentru determinarea unghiului prin coordonatele vectorilor normali.

Exemplul 4

Există două drepte care se intersectează într-un plan, dat de ecuaţii y = - 3 5 x + 6 și y = - 1 4 x + 17 4 . Calculați unghiul de intersecție.

Soluţie

Pantele dreptelor noastre sunt egale cu k 1 = - 3 5 și k 2 = - 1 4 . Să le adăugăm la formula α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 și să calculăm:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

Răspuns:α = a r c cos 23 2 34

În concluziile acestui paragraf, trebuie menționat că formulele pentru găsirea unghiului prezentate aici nu trebuie învățate pe de rost. Pentru a face acest lucru, este suficient să cunoașteți coordonatele ghidajelor și/sau ale vectorilor normali ai liniilor date și să le puteți determina din tipuri diferite ecuații. Dar formulele pentru calcularea cosinusului unui unghi sunt mai bine de reținut sau de notat.

Cum se calculează unghiul dintre liniile care se intersectează în spațiu

Calculul unui astfel de unghi poate fi redus la calculul coordonatelor vectorilor de direcție și la determinarea mărimii unghiului format de acești vectori. Pentru astfel de exemple, folosim același raționament pe care l-am dat înainte.

Să presupunem că avem un sistem de coordonate dreptunghiular situat în spațiul 3D. Conține două drepte a și b cu punctul de intersecție M . Pentru a calcula coordonatele vectorilor de direcție, trebuie să cunoaștem ecuațiile acestor drepte. Se notează vectorii de direcție a → = (a x , a y , a z) și b → = (b x , b y , b z) . Pentru a calcula cosinusul unghiului dintre ele, folosim formula:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Pentru a găsi unghiul în sine, avem nevoie de această formulă:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Exemplul 5

Avem o linie dreaptă definită în spațiul 3D folosind ecuația x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Se știe că se intersectează cu axa O z. Calculați unghiul de intersecție și cosinusul acelui unghi.

Soluţie

Să notăm unghiul care trebuie calculat cu litera α. Să notăm coordonatele vectorului direcție pentru prima dreaptă - a → = (1 , - 3 , - 2) . Pentru axa aplicată, putem lua ca ghid vectorul de coordonate k → = (0 , 0 , 1). Am primit datele necesare și le putem adăuga la formula dorită:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Ca rezultat, am obținut că unghiul de care avem nevoie va fi egal cu a r c cos 1 2 = 45 °.

Răspuns: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Va fi util pentru fiecare elev care se pregătește pentru examenul de matematică să repete subiectul „Găsirea unghiului dintre linii”. După cum arată statisticile, la trecerea unui test de atestare, sarcinile din această secțiune de stereometrie provoacă dificultăți pentru un număr mare de studenți. În același timp, sarcinile care necesită găsirea unghiului dintre liniile drepte se regăsesc în USE atât de bază, cât și nivel de profil. Aceasta înseamnă că toată lumea ar trebui să le poată rezolva.

Momente de bază

Există 4 tipuri de aranjare reciprocă a liniilor în spațiu. Ele pot coincide, se intersectează, pot fi paralele sau se intersectează. Unghiul dintre ele poate fi acut sau drept.

Pentru a găsi unghiul dintre linii în examenul de stat unificat sau, de exemplu, în soluție, școlarii din Moscova și alte orașe pot folosi mai multe metode pentru rezolvarea problemelor din această secțiune a stereometriei. Puteți finaliza sarcina prin construcții clasice. Pentru a face acest lucru, merită să învățați axiomele și teoremele de bază ale stereometriei. Elevul trebuie să fie capabil să construiască logic raționament și să creeze desene pentru a aduce sarcina la o problemă planimetrică.

De asemenea, puteți utiliza metoda vector-coordonate, folosind formule, reguli și algoritmi simpli. Principalul lucru în acest caz este să efectuați corect toate calculele. Vă va ajuta să vă perfecționați abilitățile în rezolvarea problemelor din stereometrie și alte secțiuni ale cursului școlar. proiect educațional„Șkolkovo”.

A. Să fie date două drepte Aceste linii, așa cum sa indicat în capitolul 1, formează diverse unghiuri pozitive și negative, care pot fi fie acute, fie obtuze. Cunoscând unul dintre aceste unghiuri, putem găsi cu ușurință oricare altul.

Apropo, pentru toate aceste unghiuri, valoarea numerică a tangentei este aceeași, diferența poate fi doar în semn

Ecuații de linii. Numerele sunt proiecțiile vectorilor de direcție ai primei și a doua linii.Unghiul dintre acești vectori este egal cu unul dintre unghiurile formate din drepte. Prin urmare, problema se reduce la determinarea unghiului dintre vectori, obținem

Pentru simplitate, putem conveni asupra unui unghi între două drepte pentru a înțelege un unghi pozitiv acut (ca, de exemplu, în Fig. 53).

Atunci tangenta acestui unghi va fi întotdeauna pozitivă. Astfel, dacă se obține un semn minus în partea dreaptă a formulei (1), atunci trebuie să-l renunțăm, adică să păstrăm doar valoarea absolută.

Exemplu. Determinați unghiul dintre linii

Prin formula (1) avem

Cu. Dacă se indică care dintre laturile unghiului este începutul și care este sfârșitul lui, atunci, numărând întotdeauna direcția unghiului în sens invers acelor de ceasornic, putem extrage ceva mai mult din formulele (1). După cum se vede ușor din fig. 53 semnul obținut în partea dreaptă a formulei (1) va indica care dintre ele - acut sau obtuz - unghiul formează a doua linie cu prima.

(Într-adevăr, din Fig. 53 vedem că unghiul dintre primul și al doilea vector de direcție este fie egal cu unghiul dorit dintre linii, fie diferă de acesta cu ±180°.)

d. Dacă dreptele sunt paralele, atunci vectorii lor de direcție sunt și ei paraleli.Aplicând condiția de paralelism a doi vectori, obținem!

Aceasta este o condiție necesară și suficientă pentru ca două linii să fie paralele.

Exemplu. Direct

sunt paralele deoarece

e. Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci vectorii lor de direcție sunt și ei perpendiculari. Aplicând condiția de perpendicularitate a doi vectori, obținem condiția de perpendicularitate a două drepte și anume

Exemplu. Direct

perpendicular deoarece

În legătură cu condițiile de paralelism și perpendicularitate, vom rezolva următoarele două probleme.

f. Desenați o dreaptă paralelă cu o dreaptă dată printr-un punct

Decizia se ia asa. Deoarece linia dorită este paralelă cu cea dată, atunci pentru vectorul său de direcție îl putem lua pe aceeași cu cea a dreptei date, adică un vector cu proiecțiile A și B. Și atunci se va scrie ecuația dreptei dorite. sub forma (§ 1)

Exemplu. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct (1; 3) paralel cu o dreaptă

va fi urmatorul!

g. Desenați o dreaptă printr-un punct perpendicular pe dreapta dată

Aici, nu mai este potrivit să luăm un vector cu proiecțiile A și ca vector de direcție, dar este necesar să câștigăm un vector perpendicular pe acesta. Prin urmare, proiecțiile acestui vector trebuie alese în funcție de condiția ca ambii vectori să fie perpendiculari, adică în funcție de condiția

Această condiție poate fi îndeplinită într-un număr infinit de moduri, deoarece aici există o ecuație cu două necunoscute.Dar cel mai simplu mod este să o luați.Atunci ecuația liniei dorite se va scrie sub forma

Exemplu. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct (-7; 2) într-o dreaptă perpendiculară

va fi urmatoarea (conform celei de-a doua formule)!

h. În cazul în care liniile sunt date prin ecuații de forma

rescriind aceste ecuații în mod diferit, avem

Să fie date două drepte l și m pe planul sistemului de coordonate carteziene ecuații generale: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

Vectorii normalelor acestor drepte: = (A 1 , B 1) - la dreapta l,

= (A 2 , B 2) la dreapta m.

Fie j unghiul dintre liniile l și m.

Deoarece unghiurile cu laturile reciproc perpendiculare sunt fie egale, fie adună p, atunci , adică cos j = .

Deci, am demonstrat următoarea teoremă.

Teorema. Fie j unghiul dintre două drepte în plan și aceste drepte să fie date în sistemul de coordonate carteziene prin ecuațiile generale A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 și A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Atunci cos j = .

Exerciții.

1) Deduceți o formulă pentru calcularea unghiului dintre linii dacă:

(1) ambele linii sunt date parametric; (2) ambele drepte sunt date prin ecuații canonice; (3) o dreaptă este dată parametric, cealaltă dreaptă – prin ecuația generală; (4) ambele drepte sunt date de ecuația pantei.

2) Fie j unghiul dintre două drepte în plan și aceste drepte să fie date sistemului de coordonate carteziene prin ecuațiile y = k 1 x + b 1 și y =k 2 x + b 2 .

Atunci tan j = .

3) Explora aranjament reciproc două drepte date prin ecuații generale în sistemul de coordonate carteziene și completați tabelul:

Distanța de la un punct la o dreaptă dintr-un plan.

Fie ca dreapta l pe planul din sistemul de coordonate carteziene să fie dată de ecuația generală Ax + By + C = 0. Aflați distanța de la punctul M(x 0 , y 0) la dreapta l.

Distanța de la punctul M la dreapta l este lungimea perpendicularei HM (H н l, HM ^ l).

Vectorul și vectorul normal la linia l sunt coliniare, astfel încât | | = | | | | și | | = .

Fie coordonatele punctului H (x,y).

Deoarece punctul H aparține dreptei l, atunci Ax + By + C = 0 (*).

Coordonatele vectorilor și: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).

| | = = =

(C = -Ax - Prin , vezi (*))

Teorema. Fie ca dreapta l să fie dată în sistemul de coordonate carteziene prin ecuația generală Ax + By + C = 0. Atunci distanța de la punctul M(x 0 , y 0) la această dreaptă se calculează prin formula: r (M; l) = .

Exerciții.

1) Deduceți o formulă pentru calcularea distanței de la un punct la o dreaptă dacă: (1) linia este dată parametric; (2) linia este dată de ecuațiile canonice; (3) linia dreaptă este dată de ecuația pantei.

2) Scrieți ecuația unui cerc tangent la dreapta 3x - y = 0 centrată în Q(-2,4).

3) Scrieți ecuațiile dreptelor care împart în jumătate unghiurile formate prin intersecția dreptelor 2x + y - 1 = 0 și x + y + 1 = 0.

§ 27. Definirea analitică a unui plan în spațiu

Definiție. Vectorul normal al planului vom numi un vector diferit de zero, al cărui reprezentant este perpendicular pe planul dat.

Cometariu. Este clar că dacă cel puțin un reprezentant al vectorului este perpendicular pe plan, atunci toți ceilalți reprezentanți ai vectorului sunt perpendiculari pe acest plan.

Fie dat un sistem de coordonate carteziene în spațiu.

Să fie dat planul a, = (A, B, C) – vectorul normal acestui plan, punctul M (x 0 , y 0 , z 0) aparține planului a.

Pentru orice punct N(x, y, z) al planului a, vectorii și sunt ortogonali, adică produsul lor scalar este egal cu zero: = 0. Să scriem ultima egalitate în coordonate: A(x - x 0 ) + B(y - y 0) + C(z - z0) = 0.

Fie -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, apoi Ax + By + Cz + D = 0.

Luați un punct K (x, y) astfel încât Ax + By + Cz + D \u003d 0. Deoarece D \u003d -Ax 0 - By 0 - Cz 0, atunci A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. Deoarece coordonatele segmentului direcționat = (x - x 0 , y - y 0 , z - z 0), ultima egalitate înseamnă că ^ , și, prin urmare, K н a.

Deci am demonstrat următoarea teoremă:

Teorema. Orice plan din spațiu în sistemul de coordonate carteziene poate fi definit printr-o ecuație de forma Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), unde (A, B, C) sunt coordonatele vectorului normal la acest plan.

Este adevărat și invers.

Teorema. Orice ecuație de forma Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) în sistemul de coordonate carteziene definește un anumit plan, în timp ce (A, B, C) sunt coordonatele vector normal la acest plan.

Dovada.

Luați un punct M (x 0 , y 0 , z 0) astfel încât Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 și vector = (A, B, C) ( ≠ q).

Un plan (și doar unul) trece prin punctul M perpendicular pe vector. Conform teoremei anterioare, acest plan este dat de ecuația Ax + By + Cz + D = 0.

Definiție. O ecuație de forma Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) se numește ecuația generală a planului.

Exemplu.

Să scriem ecuația planului care trece prin punctele M (0.2.4), N (1,-1.0) și K (-1.0.5).

1. Aflați coordonatele vectorului normal în plan (MNK). Deoarece produsul vectorial ´ este ortogonal cu vectorii necoliniari și , vectorul este coliniar cu ´ .

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ = (-11, 3, -5).

Deci, ca vector normal, luați vectorul = (-11, 3, -5).

2. Să folosim acum rezultatele primei teoreme:

ecuația acestui plan A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, unde (A, B, C) sunt coordonatele vectorului normal, (x 0) , y 0 , z 0) – coordonatele unui punct situat în plan (de exemplu, punctul M).

11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0

11x + 3y - 5z + 14 = 0

Răspuns: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

Exerciții.

1) Scrieți ecuația planului dacă

(1) planul trece prin punctul M (-2,3,0) paralel cu planul 3x + y + z = 0;

(2) planul conține axa (Ox) și este perpendicular pe planul x + 2y – 5z + 7 = 0.

2) Scrieți ecuația pentru un plan care trece prin trei puncte date.

§ 28. Specificarea analitică a unui semi-spațiu*

Cometariu*. Să fie reparat un avion. Sub semi-spațiu vom înțelege mulțimea de puncte situate pe o parte a unui plan dat, adică două puncte se află în același semi-spațiu dacă segmentul care le leagă nu intersectează planul dat. Acest avion se numește limita acestui semi-spațiu. Se va numi unirea unui plan dat și a unui semi-spațiu semi-spațiu închis.

Fie fixat în spațiu un sistem de coordonate carteziene.

Teorema. Fie planul a dat de ecuația generală Ax + By + Cz + D = 0. Atunci unul dintre cele două semi-spații în care planul a împarte spațiul este dat de inegalitatea Ax + By + Cz + D > 0 , iar al doilea semi-spațiu este dat de inegalitatea Ax + By + Cz + D< 0.

Dovada.

Să trasăm vectorul normal = (A, B, С) pe planul a din punctul M (x 0 , y 0 , z 0) situat pe acest plan: = , M н a, MN ^ a. Planul împarte spațiul în două semi-spații: b 1 și b 2 . Este clar că punctul N aparține unuia dintre aceste semi-spații. Fără pierderea generalității, presupunem că N н b 1 .

Să demonstrăm că semi-spațiul b 1 este definit de inegalitatea Ax + By + Cz + D > 0.

1) Luați un punct K(x,y,z) în semi-spațiul b 1 . Unghiul Ð NMK este unghiul dintre vectori și este acut, deci produsul scalar al acestor vectori este pozitiv: > 0. Să scriem această inegalitate în coordonate: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, adică Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.

Deoarece M н b 1 , atunci Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, deci -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Prin urmare, ultima inegalitate poate fi scrisă astfel: Ax + By + Cz + D > 0.

2) Luați un punct L(x,y) astfel încât Ax + By + Cz + D > 0.

Să rescriem inegalitatea, înlocuind D cu (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (deoarece M н b 1, apoi Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0) ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.

Vectorul cu coordonatele (x - x 0 ,y - y 0 , z - z 0) este un vector , deci expresia A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) poate fi înțeles ca produsul scalar al vectorilor și . Deoarece produsul scalar al vectorilor și este pozitiv, unghiul dintre ei este ascuțit și punctul L н b 1 .

În mod similar, se poate demonstra că semi-spațiul b 2 este dat de inegalitatea Ax + By + Cz + D< 0.

Remarci.

1) Este clar că demonstrația de mai sus nu depinde de alegerea punctului M din planul a.

2) Este clar că același semi-spațiu poate fi definit prin inegalități diferite.

Este adevărat și invers.

Teorema. Orice inegalitate liniară de forma Ax + By + Cz + D > 0 (sau Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Dovada.

Ecuația Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) în spațiu definește un plan a (vezi § ...). După cum sa demonstrat în teorema anterioară, unul dintre cele două semi-spații în care planul împarte spațiul este dat de inegalitatea Ax Ax + By + Cz + D > 0.

Remarci.

1) Este clar că un semi-spațiu închis poate fi definit printr-o inegalitate liniară nestrictă, iar orice inegalitate liniară nestrict din sistemul de coordonate carteziene definește un semi-spațiu închis.

2) Orice poliedru convex poate fi definit ca intersecția semi-spațiilor închise (ale căror limite sunt plane care conțin fețele poliedrului), adică, analitic, printr-un sistem de inegalități liniare nestrictive.

Exerciții.

1) Demonstrați cele două teoreme prezentate pentru un sistem de coordonate afine arbitrar.

2) Este adevărat invers, că orice sistem de inegalități liniare nestrict definește un poligon convex?

Exercițiu.

1) Explorați poziția relativă a două plane date prin ecuații generale în sistemul de coordonate carteziene și completați tabelul.

colţîntre drepte în spațiu vom numi oricare dintre unghiurile adiacente formate din două drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Să fie date două drepte în spațiu:

Evident, unghiul φ dintre linii poate fi luat ca unghi între vectorii lor de direcție și . Deoarece , atunci conform formulei pentru cosinusul unghiului dintre vectori obținem

Condițiile de paralelism și perpendicularitate a două drepte sunt echivalente cu condițiile de paralelism și perpendicularitate ale vectorilor lor de direcție și:

Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă coeficienții lor respectivi sunt proporționali, i.e. l 1 paralelă l 2 dacă și numai dacă sunt paralele .

Două drepte perpendicular dacă şi numai dacă suma produselor coeficienţilor corespunzători este egală cu zero: .

La obiectiv între linie și plan

Lasă linia d- nu perpendicular pe planul θ;
d′− proiecția unei drepte d la planul θ;
Cel mai mic dintre unghiurile dintre liniile drepte dȘi d„vom suna unghiul dintre linie și plan.
Să o notăm ca φ=( d,θ)
Dacă d⊥θ , atunci ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− sistem de coordonate dreptunghiular.
Ecuația plană:

θ: Topor+De+cz+D=0

Considerăm că linia este dată de un punct și un vector de direcție: d[M 0,p→]
Vector n→(A,B,C)⊥θ
Apoi rămâne de aflat unghiul dintre vectori n→ și p→, notează-l ca γ=( n→,p→).

Dacă unghiul γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Dacă unghiul γ>π/2 , atunci unghiul necesar φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Apoi, unghiul dintre linie și plan poate fi calculat folosind formula:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

Întrebarea 29. Conceptul de formă pătratică. Definitivitatea semnului formelor pătratice.

Forma pătratică j (x 1, x 2, ..., x n) n variabile reale x 1, x 2, ..., x n se numește sumă a formei
, (1)

Unde aij sunt niște numere numite coeficienți. Fără a pierde generalitatea, putem presupune că aij = a ji.

Forma pătratică se numește valabil, Dacă aij О GR. Matrice de formă pătratică se numește matrice alcătuită din coeficienții săi. Forma pătratică (1) corespunde unei matrice simetrice unice
adică A T = A. Prin urmare, forma pătratică (1) poate fi scrisă sub forma matriceală j ( X) = x T Ah, Unde x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

Și invers, orice matrice simetrică (2) corespunde unei forme pătratice unice până la notarea variabilelor.

Rangul formei pătratice se numește rangul matricei sale. Forma pătratică se numește nedegenerat, dacă matricea sa este nesingulară A. (amintim că matricea A se numeşte nedegenerat dacă determinantul său este diferit de zero). În caz contrar, forma pătratică este degenerată.

definit pozitiv(sau strict pozitiv) dacă

j ( X) > 0 , pentru oricine X = (X 1 , X 2 , …, x n), cu exceptia X = (0, 0, …, 0).

Matrice A forma patratică definită pozitivă j ( X) se mai numește și definit pozitiv. Prin urmare, o formă pătratică definită pozitivă corespunde unei matrice definite pozitive unice și invers.

Forma pătratică (1) se numește definitiv negativ(sau strict negativ) dacă

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), cu exceptia X = (0, 0, …, 0).

În mod similar ca mai sus, o matrice pătratică negativ-definită este, de asemenea, numită negativ-definită.

Prin urmare, o formă pătratică definită pozitiv (negativ) j ( X) atinge valoarea minimă (maximă) j ( X*) = 0 pentru X* = (0, 0, …, 0).

Rețineți că cele mai multe dintre formele pătratice nu sunt definite de semn, adică nu sunt nici pozitive, nici negative. Astfel de forme pătratice dispar nu numai la originea sistemului de coordonate, ci și în alte puncte.

Când n> 2, sunt necesare criterii speciale pentru a verifica caracterul semnificativ al unei forme pătratice. Să le luăm în considerare.

Minori majori forma pătratică se numesc minore:

adică aceștia sunt minori de ordinul 1, 2, …, n matrici A, situat în colțul din stânga sus, ultimul dintre ele coincide cu determinantul matricei A.

Criteriul de certitudine pozitivă (criteriul Sylvester)

X) = x T Ah este pozitiv definit, este necesar și suficient ca toți minorii principali ai matricei A au fost pozitive, adică: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Criteriul certitudinii negative Pentru forma pătratică j ( X) = x T Ah este negativ definit, este necesar și suficient ca principalii săi minori de ordin par să fie pozitivi, iar cei de ordin impar să fie negativi, adică: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n