Corpul se rostogolește pe munte pe măsură ce valorile sunt legate. Corpuri rulante pe un plan înclinat. Rularea unui corp rigid pe un plan înclinat

Sterlitamak

Studiul corpurilor care se rostogolesc pe un plan înclinat

Scopul lucrării : să dobândească unele abilităţi de cercetare independentă a fenomenelor fizice şi de prelucrare a rezultatelor obţinute.

Echipamente si accesorii : plan înclinat (tribometru), riglă de scară, set de corpuri, cântare, cronometru.

Exercițiu. Investigați rularea cilindrilor și a unei mingi pe un plan înclinat.

Notă: dacă un cilindru sau o bilă se rostogolește pe un plan înclinat la un unghi ușor față de orizontală, atunci rularea are loc fără alunecare. Dacă unghiul de înclinare al planului depășește o anumită valoare limită, atunci rularea va avea loc cu alunecare.

La îndeplinirea sarcinii, este necesar să se determine unghiul de limitare la care va începe rostogolirea corpurilor cu alunecare. Pe baza rezultatelor studiului, întocmește un raport în care să reflecte metodologia cercetării, să furnizeze un tabel cu rezultatele observației și să se explice de ce, la un unghi care depășește o anumită valoare, se produce rostogolirea corpurilor cu alunecare.

În plus, problema include determinarea momentului de inerție al cilindrilor și al bilei în funcție de rezultatele observațiilor de rulare a acestora pe un plan înclinat.

Scurtă teorie

Să presupunem că un cilindru se rostogolește pe un plan înclinat fără să alunece. Forțe externe acționează asupra cilindrului: gravitația, frecarea și forța de reacție din partea planului. Considerăm mișcarea ca translațională cu o viteză egală cu viteza centrului de masă și rotațională în jurul axei care trece prin centrul de masă.

Ecuația mișcării centrului de masă al mingii (cilindru)

sau sub formă scalară în proiecții:

la axa OX: .

pe axa y:

Ecuația momentelor în jurul axei

Fără alunecare

Să aflăm accelerația pe care o dobândește cilindrul sub acțiunea forțelor indicate. Poate fi găsit folosind expresia pentru energia cinetică a unui corp care se rostogolește

,

(1)

unde este masa bilei (cilindrului), este viteza mișcării de translație a centrului de masă, este momentul de inerție al bilei, raportat la axa de rotație, este viteza unghiulară de rotație, în raport cu axa de rotatie.

Modificarea energiei cinetice a corpului este egală cu munca forțelor externe care acționează asupra corpului. Lucrul elementar al forței de frecare și reacție, planul este egal cu zero, deoarece liniile lor de acțiune trec prin axa instantanee de rotație (). Prin urmare, modificarea energiei cinetice a corpului are loc numai datorită muncii gravitației

unde este viteza finală a centrului de masă la capătul planului înclinat, este viteza inițială, este egală cu zero, prin urmare

,

(6)

unde este timpul de rulare a corpului în jos pe planul înclinat, este raza bilei (cilindrului), este masa bilei (cilindrului), este unghiul planului față de orizont, este lungimea planului înclinat .

Măsurând cantitățile de mai sus se poate calcula momentul de inerție al cilindrului de rulare. Poate fi solid, gol, cu caneluri pe generatoarea sa etc. Formula (9): este valabilă atât pentru cilindri, cât și pentru o minge.

Experimentul cu fiecare dintre corpuri trebuie efectuat de cel puțin trei ori. Înregistrați rezultatele observațiilor și calculelor în tabelul 1.

tabelul 1

Nu. p / p	Forma corpului rulant	Greutate, kg	Raza, m	Lungimea planului înclinat (m)	Timp de rulare, s	Moment de inerție, kg m 2

Determinați pentru fiecare caz eroarea în determinarea .

Determinați teoretic valoarea momentului de inerție pentru fiecare corp. Comparați valoarea momentului de inerție al corpurilor determinată teoretic și din experiment, iar în caz de discrepanță a acestora, explicați motivul.

Întrebări de control

1. Definiți momentul forțelor. Scrieți în formă vectorială. Cum este direcționat momentul forței în raport cu forța? Care este raza vectorului acțiunii forței? Desenează și arată.

2. Care este direcția accelerației unghiulare, viteza unghiulară?

3. Definiți momentul de inerție al unui punct material și al unui corp absolut rigid. Semnificația fizică a inerției.

4. Afișați momentul de inerție al mingii și al cilindrului.

5. Demonstrați teorema lui Steiner.

6. Formulați legea conservării energiei în timpul mișcării de rotație.

7. Deduceți formula pentru ziua de calcul a energiei cinetice, ținând cont de rotația corpului.

8. Deduceți legea conservării momentului unghiular al sistemului de corpuri.

9. Definiți centrul de masă al sistemului termic.

10. Formulați condiția în care corpul se rostogolește fără alunecare și deduceți formulele utilizate în calcul.

11. Formulați legile dinamicii pentru mișcarea de rotație și derivați-le pentru un punct material și pentru un corp absolut rigid.

12. Explicați cum a fost calculată eroarea de măsurare în lucrare.

MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI AL FEDERATIEI RUSE

SUCURSALA FGBOU VPO „UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE AVIATIE DE STAT UFA”

ÎN ORAȘUL STERLITAMAK

Instrucțiuni

la lucrări de laborator la cursul de fizică generală

sectiune: sectiune: „Mecanica. Vibrații mecanice. Fizică statistică și termodinamică»

LAB #9

Definirea coeficientului
frecarea internă a lichidelor

Sterlitamak

Scopul lucrării: determinați coeficientul de frecare internă a unui fluid necunoscut folosind metoda Stokes.

Dispozitive și echipamente: un cilindru de sticlă cu lichidul de testare, un cronometru, bile de diferite diametre, un micrometru.

Scurtă teorie

Orice corp care se mișcă într-un fluid vâscos este supus unei forțe de tracțiune. În cazul general, mărimea acestei forțe depinde de mulți factori: de frecarea internă a fluidului, de forma corpului, de natura curgerii etc.

Forța de frecare internă care decurge din mișcările macroscopice dintr-un fluid este direct proporțională cu gradientul de viteză. Coeficientul de proporționalitate se numește coeficient de frecare internă sau pur și simplu vâscozitatea fluidului. Vâscozitatea (sau vâscozitatea dinamică) este numeric egală cu forța de frecare internă care acționează asupra unității de suprafață a interfeței straturilor de fluide în mișcare paralelă, atunci când viteza de mișcare a acestora scade cu unu atunci când se deplasează în direcția perpendiculară pe graniță, pe unitate de lungime, adică ~ la .

.

(1)

Legea (1) a fost obținută de Newton din analiza datelor experimentale și a devenit baza pentru studierea mișcării unui lichid și gaz vâscos.

Luați în considerare, de exemplu, mișcarea uniformă a unei mingi mici cu rază într-un fluid.

Să notăm viteza bilei în raport cu lichidul ca .

Distribuția vitezelor în straturile vecine de lichid antrenat de minge ar trebui să aibă forma prezentată în figura 1. În imediata vecinătate a suprafeței mingii, această viteză este egală cu , iar pe măsură ce se îndepărtează, scade și devine practic. egal cu zero la o anumită distanță de suprafață. Este evident că cu cât raza mingii este mai mare, cu atât masa de lichid este implicată în mișcarea acesteia și ar trebui să fie proporțională cu

Suprafața bilei și forța totală de frecare experimentată de bila în mișcare este

Formula (5) se numește legea Stokes.

Formula Stokes este aplicabilă numai în cazul corpurilor de dimensiuni suficient de mici și cu viteze reduse de deplasare a acestora. La viteze mari în jurul corpurilor în mișcare, apar mișcări complexe de vortex ale fluidului, iar forța de rezistență crește proporțional cu pătratul vitezei și nu cu prima sa putere.

Rolul frecării este caracterizat de o mărime adimensională numită numărul Reynolds:

,

unde sunt dimensiunile liniare caracteristice fluxului de fluid luat în considerare. În cazul curgerii fluidului printr-o conductă - raza conductei, - viteza medie. Raportul se numește coeficient de vâscozitate cinematică.

Pentru a explica rolul numărului Reynolds, luați în considerare elementul de volum al lichidului cu lungimea muchiei . Energia cinetică a acestui volum este:

Forța de frecare care acționează asupra unui element de volum lichid este proporțională cu suprafața acestuia, coeficientul de vâscozitate și gradientul de viteză. Presupunând că viteza scade la zero la o distanță egală în ordinea mărimii (în cazul unui flux printr-o conductă, pe direcția radială), obținem că gradientul de viteză este egal cu . Deci forța de frecare

Rolul frecării în curgerea fluidului este mic dacă lucrul este mic în comparație cu energia cinetică a volumului fluidului, adică dacă inegalitatea

,

Dar - Re este numărul Reynolds.

Astfel, rolul forțelor de frecare în curgerea fluidului este mic la numere Reynolds mari.

Considerăm căderea liberă a unei mingi într-un fluid vâscos.Asupra mingii acționează 3 forțe: gravitația, forța arhimediană, forța de rezistență, care depinde de viteză. Să găsim ecuația de mișcare a unei bile într-un lichid.Conform celei de-a doua legi a lui Newton

unde este volumul mingii; - densitatea acestuia; este densitatea lichidului; - accelerarea gravitației.

Rezolvând această ecuație, găsim

.

(9)

După cum se poate observa din (7), viteza mingii se apropie exponențial de viteza constantă. Stabilirea vitezei este determinată de mărimea , care are dimensiunea timpului și se numește timp de relaxare. Dacă timpul de cădere este de câteva ori mai mare decât timpul de relaxare, procesul de stabilire a vitezei poate fi considerat încheiat.

Măsurând experimental viteza constantă a căderii mingii și valorile, este posibil să se determine coeficientul de frecare internă a lichidului prin formula

,

(10)

urmand din (8).

Notă: bile cu raze diferite se deplasează într-un lichid cu viteze egale și timpi de relaxare diferiți. Dacă în întregul interval de viteze și timpi de relaxare întâlniți, valorile calculate prin formula (10) se dovedesc a fi aceleași, atunci formula (5) transmite corect dependența forțelor de raza bilei. Dependență sau independență față de servește ca un indicator sensibil al corectitudinii teoriei și al fiabilității experimentului. Este logic să procesăm rezultatele experimentului numai dacă valoarea nu arată o dependență sistematică de . Dacă se observă o astfel de dependență, atunci cel mai adesea aceasta se datorează influenței pereților vasului.

3. Ce caracterizează numărul Reynolds?

4. Fluxul laminar și turbulent și legătura lor cu numărul Reynolds.

5. Care sunt limitele de aplicabilitate ale legii lui Stokes?

6. Ce metode există pentru determinarea forței de frecare?

7. Cum se explică mecanismul fenomenului de frecare vâscoasă?

8. De ce mărimi fizice depinde frecarea?

9. Ce transformări energetice au loc când corpurile se mișcă, ținând cont de forța de frecare?

10. Care este mărimea forței statice de frecare, alunecare?

11. Spuneți-ne despre frecarea de alunecare, frecarea de repaus, frecarea vâscoasă și frecarea de rulare.

12. De ce frecarea de alunecare este mai mare decât frecarea de rulare?

13. De ce frecarea vâscoasă este mai mică decât frecarea de alunecare?

14. Cum se manifestă frecarea în natură? Când joacă un rol pozitiv sau negativ? Cum să scapi de frecare?

1) Trofimova T.I. Curs de fizică: manual pentru specialitățile inginerești și tehnice ale universităților - M.: Academia, 2006.

2) Aleksandrov I.V. și altele.Fizică modernă [Resursă electronică]: un manual pentru studenții de toate formele de învățământ care studiază în domenii și specialități tehnice și tehnologice - Ufa: USATU, 2008.

3) Grinkrug M.S., Vakulyuk A.A. Atelier de laborator în fizică [Resursă electronică] - Sankt Petersburg: Lan, 2012.

4) Kalashnikov N. P. Fundamentals of Physics: un manual pentru universități: în 2 volume / N. P. Kalashnikov, M. A. Smondyrev - M .: Bustard, 2007.

Un corp rigid, adică o mișcare în care punctele corpului descriu traiectorii situate în planuri paralele. Un exemplu de astfel de mișcare este rotirea roții unei mașini atunci când aceasta se mișcă în linie dreaptă. Poți lua orice punct 0 corp și trageți mental prin el o axă de rotație perpendiculară pe planurile în care se află traiectoriile punctelor corpului. Apoi axa de rotație se va deplasa înainte, rămânând tot timpul paralelă cu ea însăși.

Video 7.2. Mișcarea plană a unui corp rigid într-un câmp gravitațional uniform. Zborul unei figurine de carton plat

În consecință, viteza masei elementare a unui corp rigid este suma vitezei mișcării de translație a punctului. 0 și viteza liniară de rotație în jurul axei asociate (desenată mental):

unde este vectorul rază care determină poziția masei elementare față de punct 0 .

Energia cinetică a masei elementare este atunci:

produs vectorial

are un modul egal cu , unde este distanța masei față de axa de rotație. Prin urmare, al treilea termen dintre paranteze este . Al doilea termen, care este un produs mixt de vectori, nu se modifică atunci când factorii sunt rearanjați ciclic:

Ca rezultat, obținem următoarea expresie pentru energia cinetică a unui element solid

Pentru a găsi energia cinetică a corpului, însumăm toate masele elementare:

Suma maselor elementare

este masa unui corp rigid. Expresie

unde este vectorul rază al centrului de masă al corpului relativ la punct 0 .

Există un moment de inerție a corpului față de axa de rotație. Prin urmare, pentru energia cinetică a unui corp solid, putem scrie formula:

Deoarece alegerea axei mentale de rotație este în întregime în puterea noastră, vom simplifica expresia rezultată luând ca punct 0 centrul de masă al corpului. Atunci = 0 și energia cinetică a unui corp în mișcare plană este egal cu

Aici este viteza centrului de masă, a este momentul de inerție în jurul axei care trece prin centrul de masă și planul ortogonal unde se află traiectoriile punctelor corpului. Astfel, energia cinetică a unui corp rigid în timpul mișcării plane este compusă din energia mișcării de translație cu o viteză egală cu viteza centrului de masă și energia de rotație în jurul unei axe care trece prin centrul de masă al corpului.

Mișcarea unui corp rigid este determinată de forțele externe care acționează asupra corpului și de momentele acestor forțe

Indicele din notația pentru momentul forței externe înseamnă proiecția momentului pe axa de rotație.

În următoarele exemple, avem de-a face cu mișcarea plată.

Video 7.3. Dependența comportării cilindrilor pe un plan înclinat de natura distribuției masei pe volumul lor

Exemplul 1. Un corp rotund omogen (cerc, cilindru, bilă) cu rază și masă se rostogolește în jos fără să alunece pe un plan înclinat la un unghi față de orizont de la o înălțime (Fig. 7.12). Viteza inițială a corpului este zero. Aflați viteza centrului de masă al fiecărui corp la sfârșitul coborârii.

Orez. 7.12. Rularea unui corp pe un plan înclinat

Această problemă poate fi analizată în două moduri.

1-a cale. Conform stării, caroseria se rostogolește fără să alunece. Această condiție este folosită de două ori. Forța de frecare dintre corp și plan acționează în punctul de contact și, în absența alunecării, nu depășește valoarea sa maximă:

unde este coeficientul de frecare de alunecare.

Este convenabil să direcționați axele de coordonate după cum urmează: X- de-a lungul miscarii, axa la- perpendicular pe planul înclinat. Corpul se mișcă sub acțiunea a trei forțe: gravitația, forța de frecare și forța normală de presiune, astfel încât ecuația pentru mișcarea de translație a centrului de inerție al corpului are forma:

De-a lungul axei la corpul nu se mișcă. Proiectarea ecuației de mișcare a centrului de masă pe axă la, obținem relația pentru forța presiunii normale:

Proiecția ecuației de mișcare pe axă X ofera:

Deoarece viteza liniară a punctelor de contact ale cilindrului cu planul înclinat este egală cu zero (din nou, folosim condiția lipsei de alunecare), viteza (accelerația) mișcării de translație este legată de viteza unghiulară (accelerația unghiulară) ale corpului prin relațiile obișnuite:

Pe lângă mișcarea de translație, corpul se rotește și el. Rotația este descrisă convenabil în raport cu axa z care trece prin centrul de masă al cilindrului.

Această alegere se datorează faptului că liniile de acțiune ale forței gravitaționale și forța de presiune normală a planului trec prin axa de rotație și, prin urmare, momentele acestor forțe sunt egale cu zero. Astfel, cilindrul se rotește numai sub acțiunea forței de frecare, iar ecuația mișcării de rotație are forma:

Astfel, se obține un sistem de 4 ecuații care descrie mișcarea de translație și rotație cu o inegalitate suplimentară care exprimă legea frecării. Rezolvând sistemul de ecuații, găsim:

Cu cât este mai mare momentul de inerție în jurul axei care trece prin centrul de masă, cu atât accelerația corpului este mai mică. Am primit deja un răspuns la una dintre întrebările problemei: mingea se va mișca mai repede decât cilindrul, iar cilindrul se va mișca mai repede decât cercul. Înlocuind soluția forței de frecare în inegalitatea care exprimă legea frecării, găsim condiția în care nu va exista alunecare:

Sensul acestei condiții este simplu: panta nu trebuie să fie prea abruptă.

Asa de, centrul de greutate corpul se mișcă de-a lungul unui plan cu accelerație constantă A, astfel încât dependența distanței parcurse și a vitezei în timp are forma:

De aici rezultă relația dintre viteză și distanța parcursă:

Până la sfârșitul coborârii, corpul trece pe lângă potecă

astfel încât viteza sa să atingă valoarea

Înlocuind aici momentele de inerție ale cercului (), cilindrului () și bilei (), găsim, respectiv:

a 2-a cale. Folosim legea conservării energiei totale. La sfârșitul coborârii, corpul capătă energie cinetică

Această energie cinetică este dobândită în detrimentul energiei potențiale. De aici rezultă că expresia pentru viteza corpului la finalul coborârii a fost găsită mai sus. Această metodă este mult mai scurtă, dar nu vă permite să aflați detaliile procesului: forțele care acționează asupra corpului etc.

În exemplul de mai sus, am presupus că avem de-a face cu un caz în care nu a existat nicio alunecare. Acest lucru a făcut posibilă afirmarea unei relații simple () între vitezele unghiulare și liniare ale corpului și raza acestuia. Forța de frecare statică a fost găsită în acest caz ca urmare a rezolvării ecuațiilor de mișcare. În cazul în care corpul se mișcă cu alunecare, nu există o relație cunoscută între vitezele liniare și unghiulare. Dar știm dinainte forța de frecare: deoarece punctul de contact al corpului cu suprafața alunecă peste suprafață, forța de frecare este forța de frecare de alunecare, al cărei modul este legat de forța presiunii normale de către Amonton- Legea Coulomb.

Forțele de frecare, așa cum sa menționat deja, sunt direcționate astfel încât previne alunecarea relativă corpuri în contact. Această posibilă alunecare este adesea confundată cu mișcarea continuă înainte. Trebuie să se înțeleagă clar că cazurile nu sunt neobișnuite când forța de frecare nu încetinește, ci accelerează corpul, adică este direcționat de-a lungul mișcării sale. Cel mai faimos exemplu este pornirea unei mașini. Roțile încep să se învârtească și alunecă înapoi pe sol. În consecință, forța de frecare este îndreptată înainte și ea este cea care face ca mașina să se miște. Să aruncăm o privire la un exemplu pentru a înțelege mai bine aceste cazuri.

Exemplul 2. Un artist de circ aruncă un cerc de masă și rază în arenă, care începe să se rostogolească în direcție orizontală cu o viteză (Fig. 7.13). În acest caz, cercului i se dă o rotație inversă cu o viteză unghiulară . Să aflăm cu ce viteză unghiulară se va rostogoli cercul înapoi spre artist după oprire, precum și viteza finală a mișcării de translație a cercului.

Orez. 7.13. Mișcare inversă a cercului

Când cercul se rotește înapoi, punctul de contact cu arena se deplasează înainte atât datorită mișcării de rotație, cât și a mișcării de translație a cercului. Prin urmare, alunecarea există inevitabil și, prin urmare, forța de frecare atinge valoarea maximă. Acesta încetinește atât mișcarea înainte, cât și rotația cercului. Se poate întâmpla ca mișcarea înainte a cercului să fie oprită în momentul în care acesta păstrează încă rotația inversă. În plus, forța de frecare va începe să accelereze cercul spre artist. Această accelerație se va opri când tendința de alunecare va dispărea, după care cercul se va rostogoli înapoi uniform cu o anumită viteză constantă. Cu toate acestea, se poate întâmpla și ca rotația inversă să fie oprită mai devreme, iar apoi cercul să continue să se miște înainte, schimbând direcția de rotație în înainte. Pentru a distinge între aceste două cazuri, raționamentul calitativ nu este suficient și ne întoarcem la formule.

Să direcționăm axa OH la dreapta (în sensul săgeții roșii din Fig. 7.13), axa de rotație OZ trimite pe noi(a se vedea exemplul următor, unde este mai convenabil să direcționați această axă departe de noi, adică în spatele desenului), adică în direcția de rotație „în sens invers”, axa OY direct ca de obicei, sus. Să reprezentăm mișcarea plană a cercului ca o suprapunere a mișcării sale de translație împreună cu centrul de masă (centrul geometric, deoarece cercul se presupune a fi omogen). Proiectăm vitezele liniare și unghiulare pe axele corespunzătoare. Atunci, atâta timp cât forța de frecare este forța de frecare de alunecare și este îndreptată spre stânga, ecuațiile mișcării au forma

Ecuația (7.3.1) descrie mișcarea centrului de masă al cercului, iar ecuația (7.3.2) descrie rotația acestuia în jurul axei care trece prin centrul de masă din cadrul de referință în care se află (sistemul centrului de masă). ). În (7.3.2), se ține cont de faptul că momentul de inerție al unui cerc omogen în jurul axei sale de simetrie este egal cu . După integrarea elementară, obținem

Mișcarea de translație se va opri, adică va deveni egală cu zero, în momentul de timp

Rotația se va opri, adică va deveni egală cu zero, în momentul de timp

Atitudinea lor

poate fi oricare datorită independenței vitezelor inițiale ale mișcărilor de translație și rotație.

Pentru o analiză ulterioară, introducem în considerare viteza punctului inferior al cercului - acel punct care atinge suprafața arenei. Remarcăm deja aici că condiția pentru dispariția alunecării este dispariția vitezei acestui punct particular, deoarece viteza punctului corespunzător de pe suprafața arenei (cea pe care o atinge cercul) este în mod evident egală cu zero în cadrul nostru de referință, unde arena este staționară. Absența alunecării este imobilitatea acestor două puncte unul față de celălalt. Cu direcția aleasă a axelor ozȘi BOU, avem

Dacă , atunci mișcarea de translație a cercului se va opri mai întâi. În momentul de față, vitezele (7.3.3) și (7.3.8) vor avea valorile

Punctul inferior al cercului, datorită rotației continue, va continua să alunece față de arenă spre dreapta (la dreapta în Figura 7.13), forța de frecare de alunecare își va păstra magnitudinea și direcția spre stânga. În consecință, centrul cercului va începe să accelereze spre stânga, adică va deveni mai mic decât zero și va începe să crească în valoare absolută, rotația în sens invers acelor de ceasornic (în Figura 7.13) va continua să încetinească. Cu alte cuvinte, la , cercul la momentul (7.3.5) începe să revină artistului care l-a aruncat.

După cum urmează din (7.3.8), în momentul de timp

viteza punctului inferior al cercului din (7.3.8) dispare, alunecarea se oprește, forța de frecare de alunecare este înlocuită brusc cu forța de frecare statică egală cu zero (neglijăm forța de frecare de rulare) și cercul începe să se rostogolească spre artist cu o viteză constantă a centrului de masă

rotindu-se în sens invers acelor de ceasornic cu o viteză unghiulară constantă

Dacă , atunci primul, în momentul de timp (7.3.6), rotația cercului se va opri. În momentul de față, viteza (7.3.8) punctului inferior al cercului va fi egală cu viteza centrului său și va fi pozitivă:

Alunecarea rămâne, forța de frecare de alunecare își păstrează magnitudinea și direcția spre stânga, dar cercul sub acțiunea acestei forțe de frecare de alunecare începe să se rotească în sensul acelor de ceasornic (reamintim: stânga, dreapta, în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic - în Figura 10). Ca urmare, viteza centrului de masă (centrul cercului) va scădea, viteza de rotație va crește, la momentul respectiv.

alunecarea cercului se va opri și cercul va începe să se îndepărteze de executant uniform cu viteza centrală (7.3.10) și viteza unghiulară de rotație (7.3.11). Amintiți-vă că în acest caz, astfel încât a

Astfel, răspunsul la întrebarea: „Se va întoarce cercul sau se va rostogoli?” este determinată de condițiile inițiale, și mai precis de valoarea parametrului , care are o semnificație fizică simplă: acesta este raportul modulului

viteza oricărui punct al cercului datorită mișcării sale de translație împreună cu centrul de masă la modulul vitezei aceluiași punct datorită rotației cercului în jurul unei axe care trece prin centrul său de masă în momentul inițial de timp.

Dinamica și cinematica sunt două ramuri importante ale fizicii care studiază legile mișcării obiectelor în spațiu. Primul ia în considerare forțele care acționează asupra corpului, în timp ce al doilea se ocupă direct de caracteristicile procesului dinamic, fără a aprofunda motivele cauzei acestuia. Cunoașterea acestor secțiuni ale fizicii trebuie aplicată pentru a rezolva cu succes problemele de mișcare de-a lungul unui plan înclinat. Să luăm în considerare această problemă în articol.

Formula de bază a dinamicii

Desigur, vorbim despre a doua lege, care a fost postulată de Isaac Newton în secolul al XVII-lea, studiind mișcarea mecanică a corpurilor solide. Să o scriem în formă matematică:

Acțiunea unei forțe externe F¯ determină o accelerație liniară a¯ pentru un corp cu masa m. Ambele mărimi vectoriale (F¯ și a¯) sunt direcționate în aceeași direcție. Forța din formulă este rezultatul acțiunii asupra corpului a tuturor forțelor care sunt prezente în sistem.

În cazul mișcării de rotație, a doua lege a lui Newton se scrie astfel:

Aici M și I - și, respectiv, inerția, α - accelerația unghiulară.

Formule cinematice

Rezolvarea problemelor de mișcare de-a lungul unui plan înclinat necesită cunoașterea nu numai a formulei principale a dinamicii, ci și a expresiilor corespunzătoare ale cinematicii. Ele leagă accelerația, viteza și distanța parcursă în egalitate. Pentru mișcarea rectilinie uniform accelerată (echidistantă), se folosesc următoarele formule:

S \u003d v 0 * t ± a * t 2 / 2

Aici v 0 este valoarea vitezei inițiale a corpului, S este calea parcursă în timp t de-a lungul unei traiectorii drepte. Semnul „+” trebuie pus dacă viteza corpului crește în timp. În caz contrar (la fel de încetinit), semnul „-” ar trebui folosit în formule. Acesta este un punct important.

Dacă mișcarea se efectuează pe o cale circulară (rotație în jurul unei axe), atunci trebuie utilizate următoarele formule:

ω = ω 0 ± α*t;

θ = ω 0 *t ± α*t 2 /2

Aici α și ω sunt viteza, respectiv θ este unghiul de rotație al corpului în rotație în timpul t.

Caracteristicile liniare și unghiulare sunt legate între ele prin formulele:

Aici r este raza de rotație.

Mișcarea pe un plan înclinat: forțe

Această mișcare este înțeleasă ca mișcarea unui obiect de-a lungul unei suprafețe plane, care este înclinată la un anumit unghi față de orizont. Exemple sunt alunecarea unei bare pe o placă sau rularea unui cilindru pe o foaie de metal care este înclinată.

Pentru a determina caracteristicile tipului de mișcare considerat, este necesar în primul rând să găsim toate forțele care acționează asupra corpului (bară, cilindru). Ele pot fi diferite. În general, acestea pot fi următoarele forțe:

• gravitatie;
• susținerea reacțiilor;
• și/sau alunecare;
• tensiunea firului;
• forța de tracțiune externă.

Primii trei dintre ei sunt mereu prezenți. Existența ultimelor două depinde de sistemul specific al corpurilor fizice.

Pentru a rezolva problemele deplasării de-a lungul unui plan înclinat, este necesar să se cunoască nu numai modulele de forțe, ci și direcțiile lor de acțiune. Dacă corpul se rostogolește în jos, forța de frecare este necunoscută. Cu toate acestea, este determinată din sistemul corespunzător de ecuații ale mișcării.

Metoda de rezolvare

Rezolvarea problemelor de acest tip începe cu definirea forțelor și a direcțiilor lor de acțiune. Pentru a face acest lucru, luați în considerare mai întâi forța gravitației. Ar trebui să fie descompus în doi vectori componente. Unul dintre ele trebuie să fie îndreptat de-a lungul suprafeței planului înclinat, iar al doilea trebuie să fie perpendicular pe acesta. Prima componentă a gravitației, în cazul unei mișcări în jos a corpului, asigură accelerația sa liniară. Se întâmplă oricum. Al doilea este egal cu Toți acești indicatori pot avea parametri diferiți.

Forța de frecare atunci când se deplasează de-a lungul unui plan înclinat este întotdeauna îndreptată împotriva mișcării corpului. Când vine vorba de alunecare, calculele sunt destul de simple. Pentru a face acest lucru, utilizați formula:

Unde N este reacția suportului, µ este coeficientul de frecare, care nu are dimensiune.

Dacă doar aceste trei forțe sunt prezente în sistem, atunci rezultanta lor de-a lungul planului înclinat va fi egală cu:

F = m*g*sin(φ) - µ*m*g*cos(φ) = m*g*(sin(φ) - µ*cos(φ)) = m*a

Aici φ este unghiul de înclinare al planului față de orizont.

Cunoscând forța F, se poate determina accelerația liniară a conform legii lui Newton. Acesta din urmă, la rândul său, este folosit pentru a determina viteza de mișcare de-a lungul unui plan înclinat după o perioadă de timp cunoscută și distanța parcursă de corp. Dacă te aprofundezi în ea, poți înțelege că totul nu este atât de dificil.

În cazul în care corpul se rostogolește pe un plan înclinat fără alunecare, forța totală F va fi egală cu:

F \u003d m * g * sin (φ) - F r \u003d m * a

Unde F r - Ea este necunoscută. Când un corp se rostogolește, forța gravitației nu creează un moment, deoarece este aplicată pe axa de rotație. La rândul său, F r creează următorul moment:

Având în vedere că avem două ecuații și două necunoscute (α și a sunt legate între ele), putem rezolva cu ușurință acest sistem și, prin urmare, problema.

Acum vom analiza cum să folosim tehnica descrisă în rezolvarea unor probleme specifice.

Problema mișcării unei bare pe un plan înclinat

Blocul de lemn se află în vârful planului înclinat. Se stie ca are o lungime de 1 metru si este situata la un unghi de 45 o . Este necesar să se calculeze cât timp va dura blocul să cadă de-a lungul acestui plan ca urmare a alunecării. Se consideră coeficientul de frecare egal cu 0,4.

Scriem legea lui Newton pentru un sistem fizic dat și calculăm valoarea accelerației liniare:

m*g*(sin(φ) - µ*cos(φ)) = m*a =>

a \u003d g * (sin (φ) - µ * cos (φ)) ≈ 4,162 m / s 2

Deoarece știm distanța pe care bara trebuie să o parcurgă, putem scrie următoarea formulă pentru calea în timpul mișcării accelerate uniform fără viteza inițială:

De unde să exprimați timpul și înlocuiți valorile cunoscute:

t = √(2*S/a) = √(2*1/4,162) ≈ 0,7 s

Astfel, timpul de mișcare de-a lungul planului înclinat al barei va fi mai mic de o secundă. Rețineți că rezultatul obținut nu depinde de greutatea corporală.

Problemă cu un cilindru care rulează într-un avion

Un cilindru cu raza de 20 cm și masa de 1 kg este plasat pe un plan înclinat la un unghi de 30 o. Este necesar să se calculeze viteza sa liniară maximă, pe care o va ridica la rostogolirea dintr-un avion dacă lungimea sa este de 1,5 metri.

Scriem ecuațiile corespunzătoare:

m*g*sin(φ) - F r = m*a;

F r *r = I*α = I*a/r

Momentul de inerție al cilindrului I se calculează prin formula:

Inlocuim aceasta valoare in a doua formula, exprimam din ea forta de frecare F r si o inlocuim cu expresia obtinuta in prima ecuatie, avem:

F r *r = 1/2*m*r 2 *a/r = >

m*g*sin(φ) - 1/2*m*a = m*a =>

a = 2/3*g*sin(φ)

Am obținut că accelerația liniară nu depinde de raza și masa corpului care se rostogolește în jos din plan.

Știind că lungimea planului este de 1,5 metri, aflăm timpul de mișcare al corpului:

Atunci viteza maximă de mișcare de-a lungul planului înclinat al cilindrului va fi egală cu:

v = a*t = a*√(2*S/a) = √(2*S*a) = √(4/3*S*g*sin(φ))

Înlocuim toate mărimile cunoscute din condiția problemei în formula finală, obținem răspunsul: v ≈ 3,132 m/s.

Pentru a ilustra aplicarea legilor dinamicii corpului rigid, să rezolvăm problema unui cilindru care se rostogolește pe un plan înclinat (Fig. 10.5).

Cilindru de masă solidă m si raza R se rostogolește pe un plan înclinat fără să alunece. Unghiul de înclinare al planului este a, iar înălțimea H (H » R). Viteza inițială a cilindrului este zero. Să stabilim timpul de rulare - Tși viteza centrului de masă al cilindrului la baza planului înclinat.

Când cilindrul rulează, asupra lui acționează trei forțe: forța gravitațională, forța de reacție elastică a suportului și forța de frecare odihnă(la urma urmei, rostogolindu-se fără să alunece!).

Să reprezentăm această mișcare ca suma a două mișcări: de translație cu o viteză V C , cu care se mișcă axa cilindrului și rotație în jurul axei cilindrului cu o viteză unghiulară w.

Orez. 10.5

Această relație între vitezele mișcărilor de translație și rotație rezultă din condiția „mișcare fără alunecare”.

Diferențiând ecuația (10.9) în funcție de timp, obținem raportul accelerațiilor unghiulare și liniare ale cilindrului:

Acesta este .

Folosind teorema privind mișcarea punctului centrului de masă, descriem mișcarea de translație a cilindrului:

Pentru a descrie rotația, folosim ecuația de bază a dinamicii mișcării de rotație:

M C= eu C×e. (10.11)

Proiectarea ecuației (10.10) pe direcțiile axelor XȘi y, obținem două ecuații scalare:

X: mg Sina- F tr = ma C; (10,12)

y: N – mg cosa = 0. (10,13)

Să trecem acum la ecuația (10.11). Dintre cele trei forțe numite, momentul relativ la axa cilindrului este creat doar de forța de frecare:

Momentul de inerție al unui cilindru solid în jurul axei sale este (vezi cursul nr. 9):

Având în vedere toate acestea, putem rescrie ecuația (10.11) după cum urmează:

Rezolvând împreună ecuațiile (10.12) și (10.14), obținem următoarele valori ale mărimilor necunoscute:

Din ecuația (10.15) rezultă că odată cu creșterea unghiului de înclinare a, ar trebui să crească și forța de frecare statică. F tr. Dar, după cum știți, creșterea sa este limitată de valoarea limită:

Deoarece forța de frecare statică (10.15) nu poate depăși valoarea limită (10.17), inegalitatea trebuie îndeplinită:

⅓mg Sina ≤ m mg cosa.

Rezultă că rularea va avea loc fără alunecare până când unghiul a depășește valoarea a înainte:

a înainte = arctg3m.

Aici m este coeficientul de frecare al cilindrului de-a lungul planului.

Accelerația liniară a cilindrului (10.16) este o valoare constantă, prin urmare, mișcarea de translație a cilindrului este accelerată uniform. Cu o astfel de mișcare fără o viteză inițială, cilindrul va ajunge la baza planului înclinat în timp:

Aici: l= - lungimea planului;

A=, (vezi 10.16).

Deci timpul de rulare este:

Calculați viteza finală a mișcării de translație a axei cilindrului:

Rețineți că această problemă poate fi rezolvată mai simplu folosind legea conservării energiei mecanice.

Adevărat, există o forță de frecare în sistem, dar munca sa este zero, deoarece punctul de aplicare a acestei forțe în timpul coborârii rămâne nemișcat: la urma urmei, mișcarea are loc fără alunecare. Deoarece forța de frecare nu efectuează niciun lucru, energia mecanică a sistemului nu se modifică.

Luați în considerare energia cilindrului în momentul inițial - la o înălțime h iar la sfârşitul coborârii. Energia totală a cilindrului în aceste poziții este aceeași:

Amintiți-vă că și . Atunci ecuația legii conservării energiei poate fi rescrisă după cum urmează:

De aici putem găsi cu ușurință viteza finală a cilindrului:

care confirmă în mod strălucit rezultatul nostru anterior (10.19).

Cursul 11 ​​„Elemente de mecanica fluidelor”

Planul cursului

1. Presiunea fluidului. Legile hidrostaticii.

2. Flux staționar de fluid. Ecuația continuității fluxului.

3. Legea de bază a dinamicii pentru un fluid ideal. ecuația lui Bernoulli.

4. Aplicarea ecuaţiei Bernoulli pentru rezolvarea problemelor de hidrodinamică.

4.1. Scurgeri de lichid dintr-un vas.

4.2. Debitmetru manometric.