Proporție directă și inversă. Proporționalitate directă și inversă Formule care sunt proporționalitate directă
Să presupunem că t este timpul deplasării pietonului (în secunde), s este distanța parcursă de acesta (în metri). Dacă pietonul se deplasează uniform cu o viteză de 5 m/s, atunci s = 5t. Este logic ca fiecare valoare a variabilei t să corespundă unei singure valori s. Formula s = 5t, unde t ≥ 0, definește o funcție.
Să presupunem că n este numărul de pachete de înghețată, p este costul acestora (în ruble). Dacă prețul unui pachet de înghețată este de 6 ruble, atunci p = 6n. Este logic ca fiecare valoare a variabilei n să corespundă unei singure valori p.
Formula p = 6n, unde n € N, definește o funcție.
În exemplele luate în considerare, am lucrat cu funcții date prin formule de forma y \u003d kx, unde x și y sunt variabile, k este un număr diferit de zero.
O funcție care poate fi specificată printr-o formulă de forma y \u003d kx, unde k este un număr diferit de zero, se numește proporționalitate directă (= proporționalitate).
Numărul k se numește coeficient de proporționalitate. Se spune că variabila y este proporțională cu variabila x.
Domeniul de definire a proporționalității directe poate fi mulțimea tuturor numerelor sau a unora dintre submulțimile sale. În exemplele date, în primul caz, funcția a fost definită pe mulțimea numerelor pozitive, în al doilea caz, pe mulțimea numerelor naturale.
Din formula y \u003d kx pentru x ≠ 0, rezultă că y / x \u003d k. Este adevărat și invers: dacă y/x = k, atunci y = kx. Prin urmare, pentru a afla dacă funcția x - y este o proporționalitate directă, se compară coeficientii y / x pentru toate perechile de valori corespunzătoare ale variabilelor x și y, în care x ≠ 0. Dacă acestea câte sunt egale cu același număr diferit de zero k, iar dacă x egal cu 0 corespunde cu y egal cu 0 (dacă 0 este în domeniul funcției), atunci dependența lui y de x este o proporționalitate directă.
Luați în considerare teoria în practică și analizați exemplul.
Exemplu. Funcția a – b este dată de valori
Dacă a = -4, atunci b = -12. Dacă a = -3, atunci b = -9. Dacă a = -1,5, atunci b = -4,5. Dacă a = 2,5, atunci b = 7,5. Dacă a = 5, atunci b = 15. Dacă a = 6,1, atunci b = 18,3.
Este această funcție direct proporțională?
Pentru fiecare pereche (a; b) a valorilor corespunzătoare ale variabilelor a și b, găsim câtul b/a.
Dacă a = -4, atunci b = -12, atunci k = 3. Dacă a = -3, atunci b = -9, atunci k = 3. Dacă a = -1,5, atunci b = -4, 5, deci k = 3. Dacă a = 2,5, atunci b = 7,5, atunci k = 3. Dacă a = 5, atunci b = 15, atunci k = 3. Dacă a = 6,1, atunci b = 18,3, deci k = 3.
Rezultă că coeficientii găsiți sunt egali cu același număr 3. Prin urmare, funcția f pe care o considerăm este o proporționalitate directă.
Proporționalitatea directă este caracterizată de anumite proprietăți.
Dacă funcția x - y este o proporționalitate directă și (x 1; y 1), (x 2; y 2) sunt perechi de valori corespunzătoare ale variabilelor x și y și x 2 ≠ 0, atunci x 1 / x 2 = y 1 / y 2.
Dovada.
Fie k coeficientul de proporționalitate. Din formula y \u003d kx avem că y 1 \u003d kx 1, y 2 \u003d kx 2 (deoarece x 2 ≠ 0 și k ≠ 0, apoi y 2 ≠ 0). De aici obținem y 1 / y 2 \u003d kx 1 / kx 2 \u003d x 1 / x 2.
Dacă valorile variabilelor x și y sunt numere pozitive, atunci putem formula proprietatea dovedită a proporționalității directe după cum urmează:
cu o creștere a valorii lui x de mai multe ori, valoarea corespunzătoare a lui y crește cu aceeași cantitate; în mod similar: cu o scădere a valorii lui x de mai multe ori, valoarea corespunzătoare a lui y crește cu aceeași cantitate.
Proprietatea stabilită a proporționalității directe este convenabilă de utilizat la rezolvarea problemelor. 
În 8 ore, strunchiul a făcut 17 piese. Câte ore îi va lua unui strungar să facă 85 de piese dacă lucrează la aceeași productivitate?
Soluţie.
Lăsați turnerul să aibă nevoie de x ore pentru a face 85 de părți. la productivitate constantă, numărul de piese fabricate este direct proporțional cu timpul petrecut, apoi 8/x \u003d 17/85.
Prin urmare, 17x = 8 ∙ 85; x \u003d (8 ∙ 85) / 17; x = 40.
Răspuns: strungărul va avea nevoie de 40 de ore.
blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.
Proporționalitate- aceasta este dependența unei cantități de alta, în care o modificare a unei cantități duce la o modificare a celeilalte cu aceeași cantitate.
Proporționalitatea valorilor poate fi directă și inversă.
Proporționalitate directă
Proporționalitate directă- aceasta este dependența a două mărimi, în care o cantitate depinde de a doua mărime, astfel încât raportul lor să rămână neschimbat. Se numesc astfel de cantități direct proportional sau pur și simplu proporţional.
Luați în considerare un exemplu de proporționalitate directă pe formula căii:
s = vt
Unde s este calea v- viteza și t- timp.
În cazul mișcării uniforme, distanța este proporțională cu timpul de mișcare. Dacă luăm viteza v egal cu 5 km/h, apoi distanța parcursă s va depinde de timpul de călătorie. t:
| Viteză v= 5 km/h | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Timp t(h) | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 |
| Cale s(km) | 5 | 10 | 20 | 40 | 80 |
Se vede din exemplu că de câte ori crește timpul de mișcare t, distanța parcursă crește cu aceeași valoare s. În exemplu, am mărit timpul de fiecare dată de 2 ori, deoarece viteza nu s-a schimbat, apoi s-a dublat și distanța.
În acest caz, viteza ( v\u003d 5 km / h) este un coeficient de proporționalitate directă, adică raportul dintre drum și timp, care rămâne neschimbat:
Dacă timpul de mișcare rămâne neschimbat, atunci cu o mișcare uniformă distanța va fi proporțională cu viteza:
Din aceste exemple rezultă că Se spune că două mărimi sunt direct proporționale dacă, atunci când una dintre ele crește (sau scade) de mai multe ori, cealaltă crește (sau scade) cu aceeași cantitate..
Formula de proporționalitate directă
Formula de proporționalitate directă:
y = kx
Unde yȘi X k este o valoare constantă numită coeficient de proporționalitate directă.
Coeficient de proporționalitate directă este raportul oricăror valori corespunzătoare ale variabilelor proporționale yȘi X egal cu acelasi numar.
Formula de proporționalitate directă:
| y | = k |
| X |
Proporționalitate inversă
Proporționalitate inversă este relația dintre două mărimi, în care o creștere a unei valori duce la o scădere proporțională a celeilalte. Se numesc astfel de cantități invers proporțională.
Luați în considerare un exemplu de proporționalitate inversă pe formula căii:
s = vt
Unde s este calea v- viteza și t- timp.
La trecerea pe aceeași cale cu viteză diferită timpul de mișcare va fi invers proporțional cu viteza. Dacă iei poteca s egal cu 120 km, apoi timpul petrecut la depășirea acestui drum t va depinde de viteza v:
| Cale s= 120 km | ||||
|---|---|---|---|---|
| Viteză v(km/h) | 10 | 20 | 40 | 80 |
| Timp t(h) | 12 | 6 | 3 | 1,5 |
Se vede din exemplu că de câte ori crește viteza de mișcare v, timpul scade cu aceeași sumă t. În exemplu, am mărit viteza de mișcare de 2 ori de fiecare dată, iar din moment ce distanța de depășit nu s-a schimbat, timpul necesar depășirii acestei distanțe s-a redus la jumătate.
În acest caz, calea ( s= 120 km) este un coeficient de proporționalitate inversă, adică produsul dintre viteză și timp:
s = vt, prin urmare 10 12 = 20 6 = 40 3 = 80 1,5 = 120
Din acest exemplu rezultă că se spune că două cantități sunt invers proporționale dacă atunci când una dintre ele crește de mai multe ori, cealaltă scade cu aceeași cantitate..
Formula proporțională inversă
Formula proporțională inversă:
| y = | k |
| X |
Unde yȘi X sunt variabile și k este o valoare constantă numită coeficient de proporționalitate inversă.
Factorul de proporționalitate inversă este produsul oricăror valori corespunzătoare ale variabilelor invers proporționale yȘi X egal cu acelasi numar.
Formula pentru coeficientul de proporționalitate inversă.
Exemplu
1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 etc.Factorul de proporționalitate
Raportul constant al mărimilor proporționale se numește coeficient de proporționalitate. Coeficientul de proporționalitate arată câte unități dintr-o cantitate cad pe o unitate a alteia.
Proporționalitate directă
Proporționalitate directă- dependenta functionala, in care o cantitate depinde de o alta marime in asa fel incat raportul lor sa ramana constant. Cu alte cuvinte, aceste variabile se schimbă proporțional, în părți egale, adică dacă argumentul s-a schimbat de două ori în orice direcție, atunci și funcția se schimbă de două ori în aceeași direcție.
Matematic, proporționalitatea directă este scrisă ca o formulă:
f(X) = AX,A = const
Proporționalitate inversă
Proporție inversă- aceasta este o dependență funcțională, în care o creștere a valorii independente (argumentului) determină o scădere proporțională a valorii dependente (funcției).
Matematic, proporționalitatea inversă se scrie sub formă de formulă:
Proprietățile funcției:
Surse
Fundația Wikimedia. 2010 .
- A doua lege a lui Newton
- Bariera Coulomb
Vedeți ce înseamnă „Proporționalitate directă” în alte dicționare:
proporționalitate directă- - [A.S. Goldberg. Dicţionar de energie engleză rusă. 2006] Subiecte energie în general EN direct ratio … Manualul Traducătorului Tehnic
proporționalitate directă- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. proporţionalitate directă vok. direkte Proporţionalitate, f rus. proporţionalitate directă, f pranc. proportionnalité direct, f … Fizikos terminų žodynas
PROPORȚIONALITATE- (din lat. proportionalis proportionate, proportional). Proporționalitate. Dicţionar cuvinte străine incluse în limba rusă. Chudinov A.N., 1910. PROPORIONALITATE otlat. proportionalis, proportional. Proporționalitate. Explicația pentru 25000…… Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse
PROPORȚIONALITATE- PROPORȚIONALITATE, proporționalitate, pl. nu, femeie (carte). 1. distragere substantiv la proporţional. Proporționalitatea pieselor. Proporționalitatea corpului. 2. O astfel de relație între cantități atunci când acestea sunt proporționale (vezi proporțional ... Dicţionar Uşakov
Proporționalitate- Două mărimi dependente reciproc se numesc proporționale dacă raportul dintre valorile lor rămâne neschimbat .. Cuprins 1 Exemplu 2 Coeficient de proporționalitate ... Wikipedia
PROPORȚIONALITATE- PROPORȚIONALITATE și, soții. 1. vezi proporțional. 2. La matematică: o astfel de relație între cantități, când o creștere a uneia dintre ele atrage după sine modificarea celeilalte cu aceeași valoare. P. directă (când tăiați cu o creștere a unei valori ... ... Dicționar explicativ al lui Ozhegov
proporționalitatea- Și; bine. 1. la Proporțional (1 cifră); proporționalitatea. P. piese. P. fizic. P. reprezentare în parlament. 2. Matematică. Dependența dintre cantitățile care se schimbă proporțional. Factorul de proporționalitate. Direct p. (În care cu ...... Dicţionar enciclopedic
Graficul direct proporțional
Obiectivele lecției:
Determinați tipul de grafic al proporționalității directe;
Investigați dependența locației graficului proporționalității directe pe planul de coordonate de semnul numărului k;
Pentru a forma capacitatea de a construi un grafic de proporționalitate directă conform formulei și de a efectua acțiunea inversă - notați formula funcției conform graficului;
Contribuie la educarea independenței, responsabilității, acurateței în construirea desenelor;
Învață să pui și să rezolvi probleme;
Să cultivăm voința și perseverența pentru a obține rezultatele finale, respectul față de colegii de clasă.
Rezultate planificate:
Abilități de subiect: repetarea materialului teoretic pe o anumită temă; formarea de cunoștințe și deprinderi asupra materialului studiat, consolidarea deprinderilor în construirea unui grafic de proporționalitate directă;
UUD personal: formarea abilităților de introspecție și autocontrol, abilități de compilare a algoritmilor pentru a finaliza sarcina, motivație durabilă pentru învățare;
UUD de reglementare: definirea scopului, căutarea mijloacelor pentru a-l atinge, identificarea abaterilor de la standard în activitatea lor, înțelegerea cauzelor erorilor;
UUD cognitiv: capacitatea de a înlocui termeni cu definiții, evidențiind și formulând o problemă, exprimând sensul unei situații folosind un algoritm;
UUD comunicativă: reglarea propriei activități prin acțiuni de vorbire, capacitatea de a organiza interacțiunea educațională în echipă, cuplu, capacitatea de a exprima un punct de vedere, fundamentarea acestuia cu rațiune.
Componenta corectivă a lecției:
Repetarea multiplă a informațiilor folosind suporturi materializate;
Elaborarea si aplicarea algoritmului;
Automatizarea pronunției și scrierii termenilor cu structură silabică complexă.
Tipul de lecție: stăpânirea noilor cunoștințe și abilități folosind elemente.
Principii de învățare:
științific;
Consecvență și consistență;
vizibilitate;
Confort.
Metode de predare: individual, frontal, de grup, verbal-vizual, parțial de căutare.
Suport tehnic al lecției: computer, proiector, prezentare multimedia.
Echipament: un portret al lui R. Descartes, un afiș cu declarație, instrumente de desen, creioane colorate, cartonașe pentru munca individuală și colectivă a elevilor; Înmânează.
Manual: „Algebră. Clasa 7 „: un manual pentru instituțiile de învățământ / [,]; ed. . – Ed. a XIX-a. – M.: Iluminismul, 2012.
Planul lecției:
1. Moment organizatoric.
2. Motivația lecției.
3. Actualizarea cunoștințelor de bază ale elevilor.
4. Formularea temei lecției, scopuri, obiective.
5. Etapa principală a lecției:
1) stăpânirea noilor cunoștințe urmând instrucțiunile;
2) elaborarea unui algoritm pentru construirea unui grafic de proporţionalitate directă;
3) munca de cercetare.
6. Educație fizică.
7. Fixare primară:
1) îndeplinirea sarcinilor de elaborare a algoritmului;
2) munca independentă.
9. Rezultatul lecției.
10. Reflecție.
În timpul orelor
I. Moment organizatoric.
(Diapozitivul 1) Salutare reciprocă. Verificați pregătirea pentru lecție.
II. Motivația.
1. (Diapozitivul 2) - Aș dori să încep lecția cu următoarele cuvinte: „Gândesc, deci sunt”, care au fost spuse de omul de știință francez Rene Descartes.
Rene Descartes este mai bine cunoscut ca un mare filozof. Dar tocmai în matematică meritele lui sunt atât de mari încât este inclus pe bună dreptate printre marii matematicieni. Băieții au pregătit mesaje despre viața și opera lui Descartes.
(Diapozitivul 3) Mesaj 1. Descartes sa născut în Franța, în orășelul Lae. Tatăl său era avocat, mama lui a murit când Rene avea 1 an. După ce a absolvit o facultate pentru fiii familiilor aristocratice, a început să studieze, urmând exemplul fratelui său. La 22 de ani, a părăsit Franța și a servit ca ofițer voluntar în diverse trupe.
Descartes în doctrina sa filozofică a dezvoltat ideea de omnipotență mintea umanăşi prin urmare persecutat de Biserica Catolică. Dorind să găsească un refugiu sigur pentru munca liniștită în filozofie și matematică, de care era interesat încă din copilărie, Descartes s-a stabilit în Olanda în 1629, unde a trăit aproape până la sfârșitul vieții. Toate lucrările majore ale lui Descartes despre filozofie, matematică, fizică, cosmologie și fiziologie au fost scrise de el în Olanda.
(Diapozitivul 4) Mesaj 2. Descartes a introdus în matematică semnele „+” și „-” pentru a desemna cantități pozitive și negative, notația gradului și semnul pentru a desemna o valoare infinit de mare. Pentru variabile și mărimi necunoscute, Descartes a adoptat denumirea x, y, z, iar pentru mărimile cunoscute și constante, a, b, c. Aceste notații sunt folosite în matematică până astăzi. El a introdus sistemul de coordonate care a fost numit după el. Timp de 150 de ani, matematica s-a dezvoltat conform liniilor conturate de Descartes.
Să urmăm sfatul omului de știință. Vom fi activi, atenți, vom raționa, vom gândi și vom învăța lucruri noi, pentru că cunoștințele îți vor fi de folos în viața ulterioară. Și aș dori să ofer aceste cuvinte ale lui R. Descartes ca motto al lecției noastre: „Respectul față de ceilalți dă naștere respectului față de sine”.
2. - Și acum să lucrăm cu termenii matematici pe care îi vom folosi în lecție. Completați singur sarcina numărul 1 de pe card.
Fișă, sarcina 1. Corectați greșelile de ortografie a termenilor:
coordona
Ardinata
Coeficient
argument
variabil
Schimbați cardurile și verificați dacă toate erorile sunt corectate.
(Diapozitivul 5) - Să verificăm diapozitivul.
III. Actualizare de cunoștințe.
- Să ne amintim materialul principal al lecțiilor anterioare, pe care ne vom baza.
1. Definiți proporționalitatea directă.
2. (Diapozitivul 6) - Determinați prin formula care dintre funcții este direct proporțională:
a) y = 182x; c) y \u003d -17x2;
b) y = ; d) y \u003d 3x + 11.
3. Card, sarcina 2. Împărțiți formulele în 2 grupe. În primul grup, notați funcțiile care sunt proporționalitate directă, în al doilea - cele care nu sunt. Pentru proporții directe, subliniați coeficientul k.
y = 2x; y \u003d 3x - 7; y \u003d -0,2x; y = ; y = x2; y = x; y = 8 + 3x; y = - x; y = 70x
(Diapozitivul 7) - Verificați-vă. Cine a finalizat fără erori? Bine făcut. Văd că te-ai pregătit bine pentru lecție și ești gata să înveți material nou.
IV. Formularea temei lecției, scopuri, obiective.
Acum am luat în considerare proporționalitatea directă dată de formulă. Gândiți-vă cum altfel puteți seta această funcție? Care metodă este mai vizuală? Deci, tema lecției noastre este... (elevii formulează).
Elevii scriu subiectul lecției într-un caiet.
Pe întrebările principale ale profesorului, elevii formulează scopurile și obiectivele lecției.
V. Etapa principală a lecției.
1. - Să facem puțină muncă practică.
Fiecare elev primește o foaie de hârtie cu o formulă de proporționalitate directă. Scopul este de a lucra cu formula conform instrucțiunilor înregistrate în cardurile de sarcină 3.
(Diapozitivul 8) y \u003d x y \u003d - x
y = 1,5x y = -1,5x
Card, sarcina 3. Instrucțiune:
- completați tabelul cu valorile funcției la -3 ≤ x ≤ 3 cu pasul 1; marchează în planul de coordonate punctele ale căror coordonate sunt plasate în tabel; uneste punctele.
Elevii răspund apoi la întrebările profesorului:
Cum sunt localizate punctele pe care le-ai trasat?
Ce se întâmplă când conectați punctele?
Care este particularitatea locației unei linii drepte în planul de coordonate?
Ce concluzie se poate trage din asta?
Elevii formulează o concluzie despre forma unui grafic de proporționalitate directă și caracteristicile acestuia.
Să-l găsim în manual și să-l comparăm cu cel pe care l-am primit.
2. - Pentru a construi o linie dreaptă, câte puncte trebuie să știm?
Avem deja unul. Care?
Deci, de câte puncte mai trebuie să avem pentru a reprezenta un grafic de proporționalitate directă?
Pe baza acestor concluzii, elevii întocmesc un algoritm pentru construirea unui grafic de proporționalitate directă.
Algoritm
1. Găsiți coordonatele unui punct din graficul acestei funcții (altul decât originea).
2. Marcați acest punct pe planul de coordonate.
3. Desenați o linie prin acest punct și origine.
3. - Și acum vom face un mic studiu și vom trage o concluzie și care - o veți afla mai târziu.
Ridicați mâna cei care au avut o funcție cu coeficient k pozitiv. În ce sferturi de coordonate sunt situate graficele dvs.?
Ridicați mâna cei care au avut o funcție cu coeficient k negativ. În ce sferturi de coordonate sunt situate graficele dvs.?
Ca rezultat muncă de cercetare elevii fac o concluzie despre localizarea graficelor de proporționalitate directă în funcție de semnul coeficientului k și compară cu concluziile din manual.
VI. Fizkultminutka. (Diapozitivul 10)
Ridică-te repede și zâmbește
Tras din ce în ce mai sus.
Hai, îndreaptă-ți umerii
Ridicați, coborâți.
Virați la dreapta, virați la stânga
Atinge-ți mâinile cu genunchii.
Stai jos, ridică-te. Stai jos, ridică-te.
Și au fugit pe loc.
VII. Fixare primară.
1. Efectuarea unei sarcini pentru a elabora algoritmul pentru construirea unui grafic de proporționalitate directă, găsirea valorilor unei funcții conform graficului folosind o valoare cunoscută a argumentului și invers.
Elevii completează Nr. 000 (a, b) din manual în caiete și pe tablă.
La finalizarea acestei sarcini, repetăm cu elevii regula de a găsi valoarea unei funcții conform graficului pentru o valoare dată a argumentului și invers (marcați un punct pe axa x; trageți o linie dreaptă, perpendicular pe ax abscisă, până la intersecția cu graficul funcției; din punctul obţinut coborâm perpendiculara pe axa ordonatelor şi aflăm valoarea corespunzătoare a ordonatei).
Tot in acest exemplu aratam ca este foarte important sa alegeti valoarea corecta a segmentului unitar si abscisa punctului selectat.
2. Muncă independentă(în funcție de disponibilitatea timpului).
Lucrează desenul 26 din manual.
(Diapozitivul 11) - Ce părere aveți, este posibil să scrieți formula sa analitică folosind graficul unei funcții?
Aflăm împreună cu elevii că toate graficele sunt linii drepte care trec prin origine, ceea ce înseamnă că funcțiile sunt proporții directe și pot fi specificate printr-o formulă de forma y \u003d kx. Problema se reduce la găsirea coeficientului k. Pentru a face acest lucru, pe fiecare grafic, selectați un punct arbitrar cu coordonate întregi.
(Diapozitivul 12) - Verificați-vă.
VIII. Tema pentru acasă: itemul 15 (învață regulile); Nr 000 (a), 301 (b) - construiți grafice conform algoritmului; 302 - răspunde la o întrebare, gândește-te la o soluție.
IX. Rezumatul lecției.
La ce am lucrat astăzi în clasă?
Ce este un grafic direct proporțional?
Ce este algoritmul de graficare?
Cum este situat graficul funcției y \u003d kx în planul de coordonate pentru k< 0 и при k > 0?
X. Reflecție. (Diapozitivul 14)
Te-a interesat lecția?
Cine crede că a lucrat bine astăzi?
Ce dificultăți ați avut la clasă?
(Diapozitivul 15) - Ai făcut o treabă bună la lecție. Bine făcut! Aș dori în special să notez... Vă mulțumesc tuturor! Lecția s-a terminat.
