Produsul punctual al vectorilor. Prezentarea produsului scalar al vectorilor Unghiul dintre vectori

Instituție de învățământ municipal școala secundară Nr. 256, Fokino

• Introduceți elevii conceptul de „unghi între vectori”.
• Introduceți conceptul de produs scalar a doi vectori, pătratul scalar al unui vector.

Sarcina 1. Dat: ABC D – paralelogram

• Găsi:

a) vectori coliniari cu vectorul OS;

b) vectori codirecționați cu vectorul AB;

c) vectori opuși vectorului BC;

d) vectori egali cu vectorul VO;

e) B D , dacă AB = 4, BC = 5, VA D=60 0 ;

, dacă AB = 4, BC = 5, AC = 6.

Sarcina 2. Dat: ABC D – pătrat. AB =

CU

ÎN

a) VO;

b) unghiul ABO, unghiul AOB;

O

D

A

Unghiul dintre vectori.

DESPRE

ÎN

Răspunde la întrebările:

• Care este unghiul dintre

vectorii a şi b ?

• Care este unghiul dintre

vectori b si cu?

• Unghiul dintre vectori

c Și d ?

• Unghiul dintre vectori

cu şi f ascuțit sau plictisitor?

• Determinați unghiul dintre

vectorii a şi d .

• Unghiul dintre vectori

a si f ?

DESPRE

Ia-ti notite!

Unghiul dintre vectori nu depinde de alegerea punctului din care sunt reprezentați

Produsul punctual al vectorilor.

Produs punctual

doi vectori se numește

produsul lungimii lor

prin cosinusul unghiului dintre

lor.

Produs scalar

numit

pătratul scalar al vectorului

Notă:

• În termen

„produs punctual” primul cuvânt indică faptul că rezultatul acțiunii este scalar, adică numar real. Al doilea cuvânt subliniază că pentru această acțiune sunt valabile proprietățile de bază ale înmulțirii obișnuite.

Proprietățile înmulțirii:

Comutativitate

Proprietate potrivită

• distributiv

proprietate

Test:

• Completați cuvântul care lipsește:

Produsul scalar a doi vectori este un număr egal cu produsul dintre valorile absolute ale acestor vectori și unghiul __________ dintre ei.

Vectorul a este înmulțit scalar cu vectorul b. Cum poți caracteriza rezultatul acestei acțiuni?

• Rezultatul unei acțiuni este un vector.
• Rezultatul acțiunii este un scalar.
• Rezultatul acțiunii este un scalar dacă vectorii a și b sunt coliniari sau un vector dacă vectorii a și b nu sunt coliniari.

Care dintre vectorii prezentați în figură perpendicular ?

• a si c

2. b Și d

3. cu şi d

• b si cu
• f Și d

DESPRE

Potriviți unghiurile dintre vectori și măsura gradului lor.

c Și f 0 o

d Și un 45 o

A Și f 180 o

A Și b 135 o

DESPRE

Alege răspunsul corect;

Se știe că

Produs scalar

vectori este egal cu:

A)

b)

V)

Completați cuvântul care lipsește:

• Produsul punctual este numit

Vector pătrat

• Scalarul ___________ al unui vector este egal cu

pătratul modulului său.

scalar

pătrat

Teme pentru acasă?

Mulțumesc pentru lecție!

Iată-l: paragraful 101.102 nr. 1040; 1042

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com

Subtitrări din diapozitive:

Produsul punctual al vectorilor. MBOU Krasnogorsk școala secundară nr. 2

Obiectivele lecției: Introducerea elevilor în conceptul de „unghi între vectori”. Introduceți conceptul de produs scalar a doi vectori, pătratul scalar al unui vector. Arătați utilizarea produsului scalar al vectorilor în rezolvarea problemelor

Dat: ABC D – paralelogram Găsiți: 1) vectori coliniari cu vectorul OS; 2) vectori co-direcționați cu vectorul AB; 3) vectori opuși vectorului BC; 4) vectori egali cu vectorul VO; 5) În D, dacă AB = 4, AD = 5, VA D = 60 0; A C B D O

Unghiul dintre vectori. O A B

Unghiul dintre vectori nu depinde de alegerea punctului din care sunt trasați.

Răspundeți la întrebările: O Care este unghiul dintre vectorii a și b? Care este unghiul dintre vectorii b și c? Unghiul dintre vectorii c și d? Este unghiul dintre vectorii c și f acut sau obtuz? Determinați unghiul dintre vectorii a și d. Unghiul dintre vectorii a și f?

Produsul punctual al vectorilor. Produsul scalar a doi vectori este produsul lungimilor lor și cosinusul unghiului dintre ei.

Dacă, atunci Dacă, atunci Dacă, atunci Dacă, atunci Produsul scalar se numește pătratul scalar al vectorului

Un exemplu de utilizare a produsului scalar al vectorilor în fizică. α Dacă, atunci produsul scalar al vectorilor.

Care dintre vectorii din figură sunt perpendiculari? O a și c 2. b și d 3. c și d b și c f și d

Potriviți unghiurile dintre vectori și măsura gradului lor. O c și f 0 o d și a 45 o a și f 180 o a și b 135 o 45 0

Alege răspunsul corect; Se știe că produsul scalar al vectorilor este egal cu: a) b) c)

Teme pentru acasă? Iată: paragrafele 101,102 rep. P.87 Nr. 1039(c,d) 1040(d); 1042(a,b) Mulțumesc pentru lecție!

Pe tema: dezvoltări metodologice, prezentări și note

Produsul punctual al vectorilor

Rezumatul lecției pe tema „Produsul punctual al vectorilor”. Tipul de lecție - studiu independent de material nou....

Lucrarea prezintă un scenariu pentru o lecție de geometrie în clasa a 11-a pe tema: „Produsul scalar al vectorilor”. Pe lângă scenariu, lucrarea include o prezentare pentru lecție....

Această lucrare se concentrează pe manualul editat de L.S. Atanasyan, compilat în patru versiuni echivalente. Include sarcini pentru găsirea coordonatelor vectoriale, lungimea vectorului, coordonatele punctului mijlociu...

Prezentarea pe tema „Produsul scalar al vectorilor” este o selecție de material pentru a fi utilizat în lecțiile școlare ca mijloc principal de predare. Utilizarea acestei prezentări va crește semnificativ productivitatea procesului educațional și îl va face mult mai interesant prin folosirea unor noi metode non-standard de prezentare a materialului. Prezentarea are o structură clară și logică, care nu va crea probleme cu percepția materialului prezentat pe ea. Fiecare diapozitiv al prezentării conține imagini grafice, cu ajutorul cărora elevii facilitează foarte mult procesul de asimilare a informațiilor. Tema discutată în prezentare este foarte importantă deoarece are o aplicare extrem de largă în practică atunci când se rezolvă diverse probleme.

Slide-ul care urmează diapozitivului cu titlul prezentării prezintă definiția produsului scalar a doi vectori. Esența definiției este că produsul scalar a doi vectori este produsul dintre suma lungimii lor și cosinusul unghiului dintre ei. Conceptul de lungime a unui vector și mărimea unghiului dintre doi vectori ar trebui să fie cunoscute de studenți din materialul studiat anterior. Pentru ca definiția să fie mai bine reținută, aceasta este evidențiată într-o culoare mai strălucitoare și un font diferit, care atrage involuntar atenția elevilor. Formulele pe care trebuie să le cunoști sunt, de asemenea, evidențiate și evidente. Următorul pe diapozitiv este un exemplu de găsire a produsului scalar a doi vectori, unghiul dintre care este egal cu nouăzeci de grade. Informațiile de la sfârșitul diapozitivului îi învață pe elevi că produsul scalar al doi vectori care nu sunt zero va fi zero doar dacă sunt perpendiculari unul pe celălalt. Cunoașterea formulei de bază folosită pentru calcularea produsului scalar a doi vectori este fundamentală și are o aplicație extrem de largă în practică în rezolvarea de tot felul de probleme.

În al treilea slide al prezentării, elevii sunt informați că produsul scalar a doi vectori poate fi pozitiv dacă unghiul dintre ei este mai mic de nouăzeci de grade și negativ dacă unghiul dintre ei este mai mare de nouăzeci de grade. Pentru a revizui exemplele, este furnizată o imagine grafică clară și ușor de înțeles, a cărei utilizare va simplifica semnificativ procesul de studiu a materialului. Imaginea prezintă trei vectori care au poziții diferite unul față de celălalt, iar în partea dreaptă a imaginii este prezentată explicația sa literală. Acest slide de prezentare prezintă și conceptul de pătrat scalar al unui vector, a cărui esență este că pătratul scalar al unui vector este pătratul lungimii vectorului.

Pe al patrulea și ultimul diapozitiv al prezentării, studenții sunt invitați să privească un alt exemplu pentru a consolida în sfârșit materialul pe care l-au abordat și pentru a învăța cum să îl aplice în practică. Conform informațiilor prezentate în acest diapozitiv, produsul modulelor vectoriale și cosinusul unghiului dintre ele este în mod corespunzător egal cu produsul lungimilor vectorului fără semnul modulului.

Această prezentare pe tema „Produsul punctual al vectorilor” nu conține efecte vizuale complexe, care nu distrage atenția elevilor de la principalul material educațional prezentat în diapozitive. Toate informațiile sunt scrise cu font mare, iar graficele sunt clare și ușor de înțeles, permițându-vă să vizualizați prezentarea folosind table interactive chiar și în sălile de clasă mari cu mulți elevi.

Produsul punctual al vectorilor Produsul punctual al doi vectori nenuli
se numește produsul lungimii lor cu cosinusul unghiului dintre
lor. Dacă cel puțin unul dintre vectori este zero, atunci
se consideră produsul scalar al unor astfel de vectori
egal cu zero.
Produsul scalar al vectorilor este notat cu. De
definiție, a a | a | | a | cos.
1
2
1
2
Produsul se numește pătrat scalar și
notat cu 2 . Din formula produsului scalar
egalitatea a 2 | a |2 .
Pentru produsul scalar al vectorilor, avem
formula a1 a2 x1 x2 y1 y2, unde a1 (x1, y1), a2 (x2, y2).

Sensul fizic

Produsul scalar al vectorilor are un simplu
sens fizic şi raportează munca A efectuată
forța constantă F când corpul se deplasează la vectorul a,
unghiul care face cu direcția forței și anume,
se respectă următoarea formulă: A F a | F | | a | cos.

Exemplul 1

Dat un vector m(a, b). Găsiți coordonatele
vector perpendicular pe acesta.
Soluție: Pentru vectorul dorit n (x, y) ar trebui
este valabilă egalitatea ax + by = 0. De exemplu, aceasta
egalitatea este satisfăcută de x = b, y = –a. Prin urmare,
vectorul dorit are coordonatele n (b, a).

Exemplul 2

Găsiți unghiul A al unui triunghi cu vârfuri
1
A(1, 3), B(1, 3), C(, 3).
2
Soluție: Să folosim definiția unui scalar
produsul vectorilor AB și AC. Avem
AB AC | AB | | AC | cos A. Să calculăm acest scalar
produs prin coordonate vectoriale. Vector AB
are coordonatele (2, 2 3), vectorul AC are
coordonate (3/ 2, 0). Prin urmare, scalarul
produsul acestor vectori este egal cu 3. Lungimile lor
sunt egale cu 4 și, respectiv, 3/2. Înlocuirea acestor date în
formula produsului scalar, obținem cos A 1
2
O
și prin urmare A = 60.

Exercitiul 1

Calculați produsul scalar a doi
vectorii a și b dacă | a | = 2, | b | = 3, iar unghiul
între ele este egal cu: a) 45°; b) 90°; c) 135°.
Răspuns: a) 3 2 ; b) 0; c) 3 2.

Exercițiul 2

Într-un triunghi echilateral ABC cu
partea 1 este înălțimea BD. calculati
produsul scalar al vectorilor:
a) AC și CB;
b) AC și BD;
c) AC și AC.
1
Raspuns: a) ; b) 0; în 1.
2

Exercițiul 3

Găsiți produsul scalar al vectorilor
a1 (-1, 2) și a2 (2,-1).
Răspuns: -4.

Exercițiul 4

Descrieți unghiul dintre vectorii a și b,
Dacă:
O< < 90о;
Răspuns:
A)
0
a) a b 0;
b)
a b 0;
V)
a b 0;
G)
a b | a | | b |.
b) 90o< < 180о;
c) = 90o;
d) = 180o.

Exercițiul 5

Lungimile vectorilor a și b sunt egale cu 1. În ce unghi
intre ele produsul scalar va fi: a)
cel mai mare; b) cel mai mic?
Răspuns: a) = 0о;
b) = 180o.

Exercițiul 6

Aflați unghiul dintre vectorii a (1, 2) și b (1, 0).
5
Raspuns: cos.
5

Exercițiul 7

Ce unghi este format de vectorii unitari a si
b, dacă se știe că a 2b și 5a 4b sunt reciproce
perpendicular.
Raspuns: 60o.

Exercițiul 8

La ce valoare a lui t este vectorul 2a tb
este perpendiculară pe vectorul b a dacă
a (2, -1), b (4, 3).
Răspuns: t = 0.

Exercițiul 9

Pentru un dreptunghi ABCD cu laturile AB = 6
cm, AD = 8 cm, găsiți produsul scalar:
A)
AB BE;
b)
BE BD;
V)
BF BD;
G)
FI BF
unde E și F sunt punctele medii ale laturilor AD și CD
respectiv.
Răspuns: a) 36; b) 68; c) 82; d) 50.

Exercițiul 10

Calculați câtă muncă A efectuează forța
F (-3, 4), când punctul său de aplicare,
deplasându-se în linie dreaptă, se mișcă de la
poziţia B(5, -1) până la poziţia C(2, 1).
Răspuns: A = 17.

Produs scalar vectori

Profesor KSU ShG nr. 5

Shurinova E.K.

Orașul Almaty

adnotare

• Această prezentare este un material demonstrativ pentru lecția „Produsul punctual al vectorilor” pentru elevii de clasa a IX-a.
• Prezentarea a fost realizată în MS Power Point (format * ppt).
• Obiectivul didactic al prezentării este de a preda cum să aplice cunoștințele dobândite pentru a rezolva probleme.
• Acest material poate fi folosit la lecțiile de geometrie din clasa a IX-a.
• Numărul de diapozitive - 9.

Întrebări groase și subțiri

• Definiți unghiul dintre vectori
• Precizați definiția produsului scalar al vectorilor.
• Numiți proprietățile produsului scalar al vectorilor
• Care este produsul scalar al vectorilor când vectorii sunt perpendiculari?
• Cum să găsiți produsul punctual folosind coordonatele?
• Formulați condiția de coliniaritate a vectorilor
• Cum se află cosinusul unghiului dintre vectori?
• Care este coordonata scalară?

Mini - performanță de grup.

1 grup. Istoria vectorilor

a 2-a grupă. Produsul punctual al vectorilor.

a 3-a grupă. Forma de coordonate a produsului scalar.

a 4-a grupă. Unghiul dintre vectori.

Muncă independentă

Opțiunea 1.

Într-un pătrat ABCD, latura este 2. Diagonalele se intersectează în punctul O. Aflați produsele scalare:

Opțiunea #2.

1. Într-un triunghi isoscel ABC AB = AC =8, D este mijlocul lui AB, E este mijlocul lui AC. Găsiți produse scalare dacă

2. Triunghiul ABC este definit de coordonatele vârfurilor sale A(1;4), B(-3;2), C(-1;-3).

a) Aflați gradul de măsură a unghiului ascuțit dintre mediana CM și latura AC.

b) Calculați

2. Triunghiul ABC este definit de coordonatele vârfurilor sale A(0;4), B(3;5), C(1;3).

a) Aflați gradul de măsură a unghiului ascuțit dintre mediana AD și latura AC.

b) Calculați

Sarcini suplimentare

Latura unui pătrat ABCD este 1. Aflați:

Latura unui triunghi regulat ABC este egală cu 1.

Într-un triunghi isoscel ABC, VD este mediana, AC = 8, VD = 3. Găsi:

ÎN

ÎN

ÎN

CU

DESPRE

N

M

CU

A

A

ÎN

D

A