Secțiune într-o prismă patruunghiulară regulată. Secțiune într-o prismă pătrangulară regulată Latura bazei unei prisme pătraunghiulare regulate abcda1b1c1d1 este egală cu

Într-o prismă pătrangulară regulată ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, laturile bazei sunt egale cu 2, iar marginile laterale sunt egale cu 5. Punctul E este marcat pe muchia AA 1 astfel încât AE: EA 1 = 3: 2 Aflați unghiul dintre planele ABC și BED 1 .

Soluţie. Fie ca linia D 1 E să intersecteze linia AD în punctul K. Atunci planele ABC și BED 1 se vor intersecta de-a lungul dreptei KB.

Din punctul E aruncăm perpendiculara EH pe dreapta KB, apoi segmentul AH (proiecția lui EH) va fi perpendicular pe dreapta KB (teorema celor trei perpendiculare).

Unghiul AHE este unghi liniar unghi diedru format din planele ABC si BED 1 .

Deoarece AE: EA 1 = 3: 2, obținem: .

Din asemănarea triunghiurilor A 1 D 1 E și AKE obținem: .

Într-un triunghi dreptunghic AKB cu unghi drept A: AB = 2, AK = 3, ; unde este inaltimea
.

Din triunghiul dreptunghic AHE cu unghiul drept A obținem: și ∠AHE = arctg(√13/2).

Răspuns: arctg(√13/2).

Sarcini pentru decizie independentă

1. În cuboid ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB 1 \u003d 2, AD \u003d AA 1 \u003d 1. Aflați unghiul dintre dreapta AB și planul ABC 1.

2. Într-o prismă hexagonală dreaptă ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 toate unghiurile sunt egale cu 1. Aflați distanța de la punctul B la planul DEA 1 .

3. Într-un paralelipiped dreptunghic ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB \u003d 1, AA 1 \u003d 2. Aflați unghiul dintre dreapta AB 1 și planul ABC 1.

Să luăm în considerare o altă problemă stereometrică în două puncte din KIM-urile de antrenament.

O sarcină.In dreapta prismă pătrangulară ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 latura AB a bazei este egală cu 5, iar marginea laterală AA 1 este egală cu rădăcina pătrată a lui cinci. Pe coastele soarelui şi C 1 D 1 punctele K și L sunt marcate respectiv, şi SC=2, şi C1L =1. Avion gparalel cu linia B D și conține punctele K și L.

a) Demonstrați că dreapta A 1 C este perpendiculară pe plang.

b) Aflați volumul piramidei, al cărei vârf este punctul A 1, iar baza este secțiunea prismei date după plang.

Soluţie.a) Executați cu atenție desenul și analizați datele. pentru că ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - o prisma patruunghiulara regulata, care inseamna baza ABCD - un patrat cu latura de 5. Marginile laterale sunt perpendiculare pe baze. De când avionulgtrece prin punctul K și este paralelă cu dreapta B D , apoi linia de intersecție a planuluigiar planul ABC este paralel cu dreapta B D (Dacă un alt plan este trasat printr-o dreaptă paralelă cu un plan dat, atunci linia de intersecție a acestor plane va fi paralelă cu dreapta dată.).

Desenați o dreaptă paralelă cu B prin punctul K. D pana la intersectia cu CD în punctul M. Prin urmare, KM este perpendicular pe AC ( deoarece diagonalele unui pătrat BD și AC sunt perpendiculare ).

Triunghiuri BCD și SKM sunt similare (atât dreptunghiulare, cât și isoscele), deci CM=KS=2. Prin teorema lui Pitagora din triunghiul SKM aflăm că KM=2√2, iar din triunghi BCD BD=5 √2 . Diagonalele unui pătrat sunt egale, deci AC = BD =5 √2 .

Acum, prin punct L trage o linie dreaptă paralelă cu D pana la intersectia cu B 1 C 1 în punctul T. De-a lungul segmentului T L avionul KM ​​L traversează baza superioară ( Dacă două plane paralele sunt intersectate de un al treilea plan, atunci liniile de intersecție vor fi paralele). Deci T C 1 = C 1 L =1. Din triunghiul T LC1 conform teoremei lui Pitagora T L = √2.

Într-un CT trapez isoscel L M punctul H - mijlocul bazei superioare, punct N - mijlocul bazei inferioare, ceea ce înseamnă H N – înălțimea trapezului, N N perpendicular pe KM. Aceasta înseamnă că KM este perpendicular pe planul AA 1 C, inclusiv linia dreaptă A 1 C.

Luați în considerare secțiunea diagonală a unui dreptunghi cu prismă AA 1 C 1 C. Din punctul H scăpăm o perpendiculară pe AC. Apoi N E \u003d EU \u003d H C 1 \u003d 0,5 √2. NU \u003d C C 1 \u003d √5.

În triunghiuri AA 1 C şi N PCA unghiul PCA este comun. Tangenta unghiului AA 1 C este 5√2 : √5 = √10 Tangenta unghiului H N E din triunghiul H N E este egal cu √5: 0,5 √2 = √10 . Deci unghiurile AA 1 C și H N E sunt egale. Dar apoi unghiurile rămase A 1 AC \u003d N PC=90 ⁰ . Avem A 1 C perpendicular pe liniile drepte H N și KM, deci A 1 C este perpendicular pe planul trapezului CT L M. Ce s-a cerut să fie dovedit.

Pentru a afla volumul piramidei A 1 CT L M, trebuie să găsiți aria trapezului KT L M și înălțimea A 1 R. Din triunghiul H N E prin teorema lui Pitagora H N 2 =5,5. Zona trapezului CT L M este egal cu H N * (T L + KM) / 2 \u003d √5,5 * (√2 + 2 √2) / 2 \u003d 1,5 √11.

Exercițiu.

Într-o prismă pătrangulară regulată ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, laturile bazei sunt egale cu 3, iar marginile laterale sunt egale cu 4. Punctul E este marcat pe muchia AA 1 astfel încât AE: EA 1 = 1 : 3.

a) Construiți linia de intersecție a planelor ABC și BED 1 .

b) Aflați unghiul dintre planele ABC și BED 1 .

Soluţie:

a) Construiți o dreaptă de intersecție a planelorABC șiPat 1.

Să construim un avion BED 1 . Punctele E și D 1 se află în același plan, așa că tragem o dreaptă ED 1 .

Punctele E și B se află în același plan, așa că tragem o dreaptă EB. Deoarece fețele unei prisme patrulatere obișnuite sunt paralele, trasăm o dreaptă BF în fața lui BB 1 C 1 C paralelă cu dreapta ED 1. Punctele F și D 1 se află în același plan, deci să tragem o linie dreaptă FD 1 . Avem avionul necesar BED 1 .

Deoarece dreapta ED 1 și dreapta AD se află în același plan ADD 1, ele se intersectează în punctul K, care se află în planul ABC. Punctele K și B se află în planele ABC și BED 1, prin urmare, planurile ABC și BED 1 se intersectează de-a lungul dreptei KB. Se construiește linia de intersecție dorită a planurilor ABC și BED 1.

b) Aflați unghiul dintre planeABC șiPat 1

Segmentul AE este perpendicular pe planul ABC, din punctul E coboram perpendiculara EH pe dreapta KB. Punctul H se află în planul ABC, apoi AH este proiecția lui EH pe planul ABC. Prin punctul H trece o dreaptă perpendiculară pe dreapta înclinată EH, apoi după teorema celor trei perpendiculare segmentul AH este perpendicular pe dreapta KB.

Unghiul ∠EHA este unghiul liniar al unghiului diedric format din planele ABC și BED 1 . Unghiul ∠EHA este unghiul necesar între planele ABC și BED 1 . Să aflăm valoarea acestui unghi.

Luați în considerare triunghiul dreptunghic EHA (∠A = 90˚):

După condiția AE: EA 1 = 1: 3, apoi AE: AA 1 = 1: 4.

Deci triunghiurile AKE și A 1 D 1 E sunt similare

A 1 D 1 = 3, AE = 1, A 1 E = AA 1 - AE = 3

Considerăm un triunghi dreptunghic AKB (∠А = 90˚).