Distanța la deplasarea într-un cerc. Mișcare circulară. Conceptul de viteză unghiulară

În această lecție, vom lua în considerare mișcarea curbilinie, și anume mișcarea uniformă a unui corp într-un cerc. Vom afla ce este viteza liniară, accelerația centripetă atunci când un corp se mișcă într-un cerc. De asemenea, introducem mărimi care caracterizează mișcarea de rotație (perioada de rotație, frecvența de rotație, viteza unghiulară) și conectăm aceste mărimi între ele.

Prin mișcare uniformă într-un cerc se înțelege că corpul se rotește prin același unghi pentru orice perioadă de timp identică (vezi Fig. 6).

Orez. 6. Mișcare circulară uniformă

Adică, modulul vitezei instantanee nu se modifică:

Această viteză se numește liniar.

Deși modulul vitezei nu se modifică, direcția vitezei se schimbă continuu. Luați în considerare vectorii viteză în puncte AȘi B(vezi Fig. 7). Sunt îndreptate în direcții diferite, deci nu sunt egale. Dacă se scade din viteza la punct B viteza punctului A, obținem un vector .

Orez. 7. Vectori viteză

Raportul dintre modificarea vitezei () și timpul în care a avut loc această modificare () este accelerația.

Prin urmare, orice mișcare curbilinie este accelerată.

Dacă luăm în considerare triunghiul vitezei obținut în figura 7, atunci cu o aranjare foarte apropiată de puncte AȘi B unul față de celălalt, unghiul (α) dintre vectorii viteză va fi aproape de zero:

De asemenea, se știe că acest triunghi este isoscel, deci modulele vitezelor sunt egale (mișcare uniformă):

Prin urmare, ambele unghiuri de la baza acestui triunghi sunt aproape nelimitat de:

Aceasta înseamnă că accelerația care este direcționată de-a lungul vectorului este de fapt perpendiculară pe tangente. Se știe că o dreaptă dintr-un cerc perpendiculară pe o tangentă este o rază, deci accelerația este îndreptată de-a lungul razei spre centrul cercului. Această accelerație se numește centripetă.

Figura 8 prezintă triunghiul vitezelor discutat mai devreme și un triunghi isoscel (două laturi sunt razele unui cerc). Aceste triunghiuri sunt similare, deoarece au unghiuri egale formate din drepte reciproc perpendiculare (raza, ca și vectorul, este perpendiculară pe tangente).

Orez. 8. Ilustrație pentru derivarea formulei de accelerație centripetă

Secțiune AB este mutare(). Luăm în considerare mișcarea circulară uniformă, deci:

Inlocuim expresia rezultata cu ABîn formula de similitudine a triunghiului:

Conceptele de „viteză liniară”, „accelerație”, „coordonată” nu sunt suficiente pentru a descrie mișcarea de-a lungul unei traiectorii curbe. Prin urmare, este necesar să se introducă mărimi care caracterizează mișcarea de rotație.

1. Perioada de rotație (T ) se numește timpul unei revoluții complete. Se măsoară în unități SI în secunde.

Exemple de perioade: Pământul se rotește în jurul axei sale în 24 de ore (), iar în jurul Soarelui - în 1 an ().

Formula de calcul al perioadei:

unde este timpul total de rotație; - numărul de revoluții.

2. Frecvența de rotație (n ) - numarul de rotatii pe care corpul le face pe unitatea de timp. Se măsoară în unități SI în secunde reciproce.

Formula pentru găsirea frecvenței:

unde este timpul total de rotație; - numărul de revoluții

Frecvența și perioada sunt invers proporționale:

3. viteză unghiulară () numit raportul dintre modificarea unghiului la care s-a întors corpul și timpul în care a avut loc această întoarcere. Se măsoară în unități SI în radiani împărțit la secunde.

Formula pentru determinarea vitezei unghiulare:

unde este schimbarea unghiului; este timpul necesar pentru ca tura să aibă loc.

1. Mișcare uniformă în cerc

2. Viteza unghiulară a mișcării de rotație.

3.Perioada de rotație.

4.Frecvența de rotație.

5. Relația dintre viteza liniară și viteza unghiulară.

6. Accelerația centripetă.

7. Mișcare la fel de variabilă într-un cerc.

8. Accelerația unghiulară în mișcare uniformă într-un cerc.

9. Accelerația tangențială.

10. Legea mișcării uniform accelerate într-un cerc.

11. Viteza unghiulară medie în mișcare uniform acceleratăîn jurul circumferinței.

12. Formule care stabilesc relația dintre viteza unghiulară, accelerația unghiulară și unghiul de rotație în mișcare accelerată uniform într-un cerc.

1.Mișcare circulară uniformă- mişcare în care punct material pentru intervale egale de timp trec segmente egale ale arcului de cerc, i.e. un punct se deplasează de-a lungul unui cerc cu o viteză modulo constantă. În acest caz, viteza este egală cu raportul dintre arcul de cerc trecut de punct și timpul de mișcare, adică.

și se numește viteza liniară a mișcării într-un cerc.

Ca și în mișcarea curbilinie, vectorul viteză este direcționat tangențial la cerc în direcția mișcării (Fig.25).

2. Viteza unghiulară în mișcare circulară uniformă este raportul dintre unghiul de rotație al razei și timpul de rotație:

În mișcare circulară uniformă, viteza unghiulară este constantă. În sistemul SI, viteza unghiulară este măsurată în (rad/s). Un radian - rad este un unghi central care subtinde un arc de cerc cu lungimea egală cu raza. Un unghi complet conține un radian, adică într-o singură rotație, raza se rotește cu un unghi de radiani.

3. Perioada de rotație- intervalul de timp T, în care punctul material face o revoluție completă. În sistemul SI, perioada este măsurată în secunde.

4. Frecvența de rotație este numărul de rotații pe secundă. În sistemul SI, frecvența este măsurată în herți (1Hz = 1). Un hertz este frecvența la care se face o revoluție într-o secundă. Este ușor de imaginat asta

Dacă în timpul t punctul face n rotații în jurul cercului, atunci .

Cunoscând perioada și frecvența de rotație, viteza unghiulară poate fi calculată prin formula:

5 Relația dintre viteza liniară și viteza unghiulară. Lungimea arcului de cerc este acolo unde unghiul central, exprimat în radiani, subtind arcul este raza cercului. Acum scriem viteza liniară sub forma

Este adesea convenabil să folosiți formule: sau Viteza unghiulară este adesea numită frecvență ciclică, iar frecvența este numită frecvență liniară.

6. accelerație centripetă. În mișcare uniformă de-a lungul unui cerc, modulul de viteză rămâne neschimbat, iar direcția sa se schimbă constant (Fig. 26). Aceasta înseamnă că un corp care se mișcă uniform într-un cerc experimentează o accelerație care este îndreptată spre centru și se numește accelerație centripetă.

Lasă o cale egală cu arcul de cerc să treacă într-o perioadă de timp. Să deplasăm vectorul , lăsându-l paralel cu el însuși, astfel încât începutul său să coincidă cu începutul vectorului în punctul B. Modulul de modificare a vitezei este egal cu , iar modulul de accelerație centripetă este egal cu

În Fig. 26, triunghiurile AOB și DVS sunt isoscele, iar unghiurile de la vârfurile O și B sunt egale, la fel ca și unghiurile cu laturile reciproc perpendiculare AO și OB. Aceasta înseamnă că triunghiurile AOB și DVS sunt similare. Prin urmare, dacă intervalul de timp ia valori arbitrar mici, atunci arcul poate fi considerat aproximativ egal cu coarda AB, adică. . Prin urmare, putem scrie Având în vedere că VD= , OA=R obținem Înmulțind ambele părți ale ultimei egalități cu , vom obține în continuare expresia pentru modulul de accelerație centripetă în mișcare uniformă într-un cerc: . Având în vedere că obținem două formule frecvent utilizate:

Deci, în mișcare uniformă de-a lungul unui cerc, accelerația centripetă este constantă în valoare absolută.

Este ușor să ne dăm seama că în limită la , unghi . Aceasta înseamnă că unghiurile de la baza DS a triunghiului ICE tind spre valoarea , iar vectorul de schimbare a vitezei devine perpendicular pe vectorul viteză , i.e. îndreptată de-a lungul razei spre centrul cercului.

7. Mișcare circulară uniformă- mișcarea într-un cerc, în care pentru intervale egale de timp viteza unghiulară se modifică în aceeași măsură.

8. Accelerație unghiulară în mișcare circulară uniformă este raportul dintre modificarea vitezei unghiulare și intervalul de timp în care a avut loc această modificare, adică

unde valoarea inițială a vitezei unghiulare, valoarea finală a vitezei unghiulare, accelerația unghiulară, în sistemul SI se măsoară în. Din ultima egalitate obținem formule de calcul a vitezei unghiulare

Si daca .

Înmulțind ambele părți ale acestor egalități cu și ținând cont de faptul că , este accelerația tangențială, i.e. accelerația direcționată tangențial la cerc, obținem formule pentru calcularea vitezei liniare:

Si daca .

9. Accelerația tangențială este numeric egală cu modificarea vitezei pe unitatea de timp și este direcționată de-a lungul tangentei la cerc. Dacă >0, >0, atunci mișcarea este uniform accelerată. Dacă<0 и <0 – движение.

10. Legea mișcării uniform accelerate într-un cerc. Calea parcursă de-a lungul cercului în timp în mișcare uniform accelerată este calculată prin formula:

Înlocuind aici , , reducând cu , obținem legea mișcării uniform accelerate într-un cerc:

Sau daca .

Dacă mișcarea este încetinită uniform, de ex.<0, то

11.Accelerație completă în mișcare circulară uniform accelerată. În mișcarea uniform accelerată într-un cerc, accelerația centripetă crește cu timpul, deoarece datorita acceleratiei tangentiale, viteza liniara creste. Foarte des accelerația centripetă se numește normală și se notează ca . Întrucât accelerația totală în acest moment este determinată de teorema lui Pitagora (Fig. 27).

12. Viteza unghiulară medie în mișcare uniform accelerată într-un cerc. Viteza liniară medie în mișcare uniform accelerată într-un cerc este egală cu . Înlocuind aici și reducând prin obținem

Daca atunci .

12. Formule care stabilesc relația dintre viteza unghiulară, accelerația unghiulară și unghiul de rotație în mișcare accelerată uniform într-un cerc.

Înlocuind în formulă cantitățile , , , ,

iar reducând cu , obținem

Curs - 4. Dinamica.

1. Dinamica

2. Interacțiunea corpurilor.

3. Inerție. Principiul inerției.

4. Prima lege a lui Newton.

5. Punct material gratuit.

6. Cadrul de referință inerțial.

7. Cadrul de referință non-inerțial.

8. Principiul relativității lui Galileo.

9. Transformări galileene.

11. Adunarea forțelor.

13. Densitatea substanțelor.

14. Centrul de masă.

15. A doua lege a lui Newton.

16. Unitatea de măsură a forței.

17. A treia lege a lui Newton

1. Dinamica există o ramură a mecanicii care studiază mișcarea mecanică, în funcție de forțele care provoacă modificarea acestei mișcări.

2.Interacțiunile corpului. Corpurile pot interacționa atât prin contact direct, cât și la distanță printr-un tip special de materie numit câmp fizic.

De exemplu, toate corpurile sunt atrase unele de altele și această atracție se realizează prin intermediul unui câmp gravitațional, iar forțele de atracție se numesc gravitaționale.

Corpurile care poartă o sarcină electrică interacționează printr-un câmp electric. Curenții electrici interacționează printr-un câmp magnetic. Aceste forțe se numesc electromagnetice.

Particulele elementare interacționează prin câmpuri nucleare și aceste forțe sunt numite nucleare.

3.Inerția. În secolul al IV-lea. î.Hr e. Filosoful grec Aristotel a susținut că cauza mișcării unui corp este o forță care acționează de la un alt corp sau corpuri. În același timp, conform mișcării lui Aristotel, o forță constantă conferă corpului o viteză constantă, iar odată cu încetarea forței, mișcarea se oprește.

În secolul al XVI-lea Fizicianul italian Galileo Galilei, efectuând experimente cu corpuri care se rostogolesc pe un plan înclinat și cu corpuri în cădere, a arătat că o forță constantă (în acest caz, greutatea corpului) conferă accelerație corpului.

Deci, pe baza experimentelor, Galileo a arătat că forța este cauza accelerației corpurilor. Să prezentăm raționamentul lui Galileo. Lasă o minge foarte netedă să se rostogolească pe un plan orizontal neted. Dacă nimic nu interferează cu mingea, atunci aceasta se poate rostogoli la infinit. Dacă pe drumul mingii se toarnă un strat subțire de nisip, atunci se va opri foarte curând, pentru că. asupra lui a acţionat forţa de frecare a nisipului.

Așa că Galileo a ajuns la formularea principiului inerției, conform căruia un corp material menține o stare de repaus sau o mișcare rectilinie uniformă, dacă asupra lui nu acționează forțele externe. Adesea, această proprietate a materiei se numește inerție, iar mișcarea unui corp fără influențe externe se numește inerție.

4. Prima lege a lui Newton. În 1687, pe baza principiului inerției lui Galileo, Newton a formulat prima lege a dinamicii - prima lege a lui Newton:

Un punct material (corp) se află într-o stare de repaus sau de mișcare rectilinie uniformă, dacă niciun alt corp nu acționează asupra lui sau forțele care acționează din alte corpuri sunt echilibrate, de exemplu. compensate.

5.Punct material gratuit- un punct material, care nu este afectat de alte corpuri. Uneori se spune - un punct material izolat.

6. Sistem de referință inerțial (ISO)- un sistem de referință, în raport cu care un punct material izolat se deplasează în linie dreaptă și uniform, sau se află în repaus.

Orice cadru de referință care se mișcă uniform și rectiliniu în raport cu ISO este inerțial,

Iată încă o formulare a primei legi a lui Newton: Există cadre de referință, în raport cu care un punct material liber se mișcă în linie dreaptă și uniform, sau este în repaus. Astfel de cadre de referință sunt numite inerțiale. Adesea, prima lege a lui Newton se numește legea inerției.

Prima lege a lui Newton i se poate da și următoarea formulare: orice corp material rezistă la schimbarea vitezei sale. Această proprietate a materiei se numește inerție.

Întâlnim zi de zi manifestarea acestei legi în transportul urban. Când autobuzul ia viteză brusc, suntem apăsați de spătarul scaunului. Când autobuzul încetinește, atunci corpul nostru derapează în direcția autobuzului.

7. Cadrul de referință non-inerțial - un cadru de referință care se mișcă neuniform în raport cu ISO.

Un corp care, în raport cu ISO, este în repaus sau în mișcare rectilinie uniformă. În raport cu un cadru de referință non-inerțial, se mișcă neuniform.

Orice cadru de referință rotativ este un cadru de referință non-inerțial, deoarece în acest sistem, corpul experimentează o accelerație centripetă.

Nu există organisme în natură și tehnologie care ar putea servi drept ISO. De exemplu, Pământul se rotește în jurul axei sale și orice corp de pe suprafața sa experimentează o accelerație centripetă. Cu toate acestea, pentru perioade destul de scurte de timp, sistemul de referință asociat cu suprafața Pământului poate fi considerat, într-o oarecare aproximare, ISO.

8.Principiul relativității lui Galileo. ISO poate fi sare care vă place mult. Prin urmare, apare întrebarea: cum arată aceleași fenomene mecanice în ISO-uri diferite? Este posibil, folosind fenomene mecanice, să detectăm mișcarea IFR-ului în care sunt observate.

Răspunsul la aceste întrebări este dat de principiul relativității mecanicii clasice, descoperit de Galileo.

Sensul principiului relativității mecanicii clasice este afirmația: toate fenomenele mecanice decurg exact în același mod în toate cadrele de referință inerțiale.

Acest principiu mai poate fi formulat astfel: toate legile mecanicii clasice sunt exprimate prin aceleași formule matematice. Cu alte cuvinte, niciun experiment mecanic nu ne va ajuta să detectăm mișcarea ISO. Aceasta înseamnă că încercarea de a detecta mișcarea ISO este lipsită de sens.

Am întâlnit manifestarea principiului relativității în timp ce călătorim în trenuri. În momentul în care trenul nostru oprește în gară, iar trenul care stătea pe linia vecină începe încet-încet să se miște, atunci în primele clipe ni se pare că trenul nostru se mișcă. Dar se întâmplă și invers, când trenul nostru ia treptat viteză, ni se pare că trenul vecin a început să se miște.

În exemplul de mai sus, principiul relativității se manifestă în intervale de timp mici. Odată cu creșterea vitezei, începem să simțim șocuri și balansări ale mașinii, adică cadrul nostru de referință devine non-inerțial.

Deci, încercarea de a detecta mișcarea ISO este lipsită de sens. Prin urmare, este absolut indiferent care IFR este considerat fix și care se mișcă.

9. Transformări galileene. Lăsați două IFR-uri și să se miște unul față de celălalt cu o viteză . În conformitate cu principiul relativității, putem presupune că IFR K este nemișcat, iar IFR-ul se mișcă relativ cu o viteză de . Pentru simplitate, presupunem că axele de coordonate corespunzătoare ale sistemelor și sunt paralele, iar axele și coincid. Lăsați sistemele să coincidă la ora de începere și mișcarea are loc de-a lungul axelor și , i.e. (Fig.28)

11. Adăugarea de forțe. Dacă două forțe sunt aplicate unei particule, atunci forța rezultată este egală cu vectorul lor, adică. diagonalele unui paralelogram construit pe vectori și (Fig. 29).

Aceeași regulă la descompunerea unei forțe date în două componente ale forței. Pentru a face acest lucru, pe vectorul unei forțe date, ca pe o diagonală, se construiește un paralelogram, ale cărui laturi coincid cu direcția componentelor forțelor aplicate particulei date.

Dacă particulei i se aplică mai multe forțe, atunci forța rezultată este egală cu suma geometrică a tuturor forțelor:

12.Greutate. Experiența a arătat că raportul dintre modulul de forță și modulul de accelerație, pe care această forță îl conferă unui corp, este o valoare constantă pentru un corp dat și se numește masa corpului:

Din ultima egalitate rezultă că cu cât masa corpului este mai mare, cu atât trebuie aplicată o forță mai mare pentru a-i schimba viteza. Prin urmare, cu cât masa corpului este mai mare, cu atât acesta este mai inert, adică. masa este o măsură a inerției corpurilor. Masa astfel definită se numește masă inerțială.

În sistemul SI, masa se măsoară în kilograme (kg). Un kilogram este masa de apă distilată în volumul unui decimetru cub luată la o temperatură

13. Densitatea materiei- masa unei substanțe conținute într-o unitate de volum sau raportul dintre masa unui corp și volumul său

Densitatea este măsurată în () în sistemul SI. Cunoscând densitatea corpului și volumul acestuia, puteți calcula masa acestuia folosind formula. Cunoscând densitatea și masa corpului, volumul acestuia se calculează prin formula.

14.Centrul de masă- un punct al corpului care are proprietatea că dacă direcția forței trece prin acest punct, corpul se mișcă translațional. Dacă direcția de acțiune nu trece prin centrul de masă, atunci corpul se mișcă în timp ce se rotește simultan în jurul centrului său de masă.

15. A doua lege a lui Newton. În ISO, suma forțelor care acționează asupra unui corp este egală cu produsul dintre masa corpului și accelerația conferită acestuia de această forță.

16.Unitatea de forță. În sistemul SI, forța se măsoară în newtoni. Un newton (n) este forța care, acționând asupra unui corp cu o masă de un kilogram, îi conferă o accelerație. De aceea .

17. a treia lege a lui Newton. Forțele cu care două corpuri acționează unul asupra celuilalt sunt egale ca mărime, opuse ca direcție și acționează de-a lungul unei linii drepte care leagă aceste corpuri.

Deoarece viteza liniară își schimbă uniform direcția, mișcarea într-un cerc nu poate fi numită uniformă, este uniform accelerat.

Viteză unghiulară

Alegeți un punct de pe cerc 1 . Să construim o rază. Pentru o unitate de timp, punctul se va muta la punct 2 . În acest caz, raza descrie unghiul. Viteza unghiulară este numeric egală cu unghiul de rotație al razei pe unitatea de timp.

Perioada și frecvența

Perioada de rotație T este timpul necesar corpului pentru a face o revoluție.

RPM este numărul de rotații pe secundă.

Frecvența și perioada sunt legate de relație

Relația cu viteza unghiulară

Viteza liniei

Fiecare punct de pe cerc se mișcă cu o anumită viteză. Această viteză se numește liniară. Direcția vectorului de viteză liniară coincide întotdeauna cu tangenta la cerc. De exemplu, scânteile de sub o râșniță se mișcă, repetând direcția vitezei instantanee.

Luați în considerare un punct dintr-un cerc care face o revoluție, timpul petrecut - aceasta este perioada T. Cale, care depășește punctul - aceasta este circumferința cercului.

accelerație centripetă

Când se deplasează de-a lungul unui cerc, vectorul accelerație este întotdeauna perpendicular pe vectorul viteză, îndreptat către centrul cercului.

Folosind formulele anterioare, putem deriva următoarele relații

Punctele situate pe aceeași linie dreaptă care emană din centrul cercului (de exemplu, acestea pot fi puncte care se află pe spița roții) vor avea aceleași viteze unghiulare, perioadă și frecvență. Adică se vor roti în același mod, dar cu viteze liniare diferite. Cu cât punctul este mai departe de centru, cu atât se va mișca mai repede.

Legea adunării vitezei valabil si pentru miscarea de rotatie. Dacă mișcarea unui corp sau a unui cadru de referință nu este uniformă, atunci legea se aplică vitezelor instantanee. De exemplu, viteza unei persoane care merge de-a lungul marginii unui carusel rotativ este egală cu suma vectorială a vitezei liniare de rotație a marginii caruselului și a vitezei persoanei.

Pământul participă la două mișcări principale de rotație: zilnică (în jurul axei sale) și orbitală (în jurul Soarelui). Perioada de rotație a Pământului în jurul Soarelui este de 1 an sau 365 de zile. Pământul se rotește în jurul axei sale de la vest la est, perioada acestei rotații este de 1 zi sau 24 de ore. Latitudinea este unghiul dintre planul ecuatorului și direcția de la centrul Pământului până la un punct de pe suprafața acestuia.

Conform celei de-a doua legi a lui Newton, cauza oricărei accelerații este o forță. Dacă un corp în mișcare experimentează o accelerație centripetă, atunci natura forțelor care provoacă această accelerație poate fi diferită. De exemplu, dacă un corp se mișcă în cerc pe o frânghie legată de el, atunci forța care acționează este forța elastică.

Dacă un corp aflat pe un disc se rotește împreună cu discul în jurul axei sale, atunci o astfel de forță este forța de frecare. Dacă forța încetează să acționeze, atunci corpul va continua să se miște în linie dreaptă

Considerăm mișcarea unui punct pe un cerc de la A la B. Viteza liniară este egală cu v AȘi v B respectiv. Accelerația este modificarea vitezei pe unitatea de timp. Să găsim diferența de vectori.