Ecuația unui cerc prin 2 puncte. Ecuația cercului. Pentru a scrie ecuația unui cerc,

circumferinţă este mulțimea de puncte din plan echidistante de un punct dat, numit centru.

Dacă punctul C este centrul cercului, R este raza acestuia și M este un punct arbitrar pe cerc, atunci prin definiția unui cerc

Egalitatea (1) este ecuația cercului raza R centrată în punctul C.

Fie un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare (Fig. 104) și un punct C ( A; b) este centrul unui cerc cu raza R. Fie М( X; la) este un punct arbitrar al acestui cerc.

Din moment ce |CM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), atunci ecuația (1) poate fi scrisă după cum urmează:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(x-a) 2 + (y - b) 2 = R 2 (2)

Ecuația (2) se numește ecuația generală a unui cerc sau ecuația unui cerc cu raza R centrat în punctul ( A; b). De exemplu, ecuația

(X - l) 2 + ( y + 3) 2 = 25

este ecuația unui cerc cu raza R = 5 centrat în punctul (1; -3).

Dacă centrul cercului coincide cu originea, atunci ecuația (2) ia forma

X 2 + la 2 = R2. (3)

Ecuația (3) se numește ecuația canonică a cercului .

Sarcina 1. Scrieți ecuația pentru un cerc cu raza R = 7 centrat la origine.

Prin înlocuirea directă a valorii razei în ecuația (3), obținem

X 2 + la 2 = 49.

Sarcina 2. Scrieți ecuația pentru un cerc cu raza R = 9 centrat în punctul C(3; -6).

Înlocuind valoarea coordonatelor punctului C și valoarea razei în formula (2), obținem

(X - 3) 2 + (la- (-6)) 2 = 81 sau ( X - 3) 2 + (la + 6) 2 = 81.

Sarcina 3. Aflați centrul și raza unui cerc

(X + 3) 2 + (la-5) 2 =100.

Comparând această ecuație cu ecuația generală a cercului (2), vedem că A = -3, b= 5, R = 10. Prin urmare, С(-3; 5), R = 10.

Sarcina 4. Demonstrați că ecuația

X 2 + la 2 + 4X - 2y - 4 = 0

este ecuația cercului. Găsiți centrul și raza acestuia.

Să transformăm partea stângă a acestei ecuații:

X 2 + 4X + 4- 4 + la 2 - 2la +1-1-4 = 0

(X + 2) 2 + (la - 1) 2 = 9.

Această ecuație este ecuația unui cerc centrat pe (-2; 1); raza cercului este 3.

Sarcina 5. Scrieți ecuația unui cerc centrat în punctul C(-1; -1) care atinge dreapta AB dacă A (2; -1), B(-1; 3).

Să scriem ecuația dreptei AB:

sau 4 X + 3y-5 = 0.

Deoarece cercul este tangent la linia dată, raza trasată la punctul de contact este perpendiculară pe această dreaptă. Pentru a găsi raza, trebuie să găsiți distanța de la punctul C (-1; -1) - centrul cercului la linia dreaptă 4 X + 3y-5 = 0:

Să scriem ecuația cercului dorit

(X +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25

Fie dat un cerc într-un sistem de coordonate dreptunghiular X 2 + la 2 = R2. Luați în considerare punctul său arbitrar M( X; la) (Fig. 105).

Fie vectorul rază OM> punctul M formează un unghi de mărime t cu direcția pozitivă a axei O X, atunci abscisa și ordonata punctului M se modifică în funcție de t

(0 t x și y prin t, găsim

X= Rcos t ; y= R sin t , 0 t

Ecuațiile (4) se numesc ecuații parametrice ale unui cerc centrat la origine.

Sarcina 6. Cercul este dat de ecuații

X= \(\sqrt(3)\)cos t, y= \(\sqrt(3)\)sin t, 0 t

Scrieți ecuația canonică pentru acest cerc.

Din condiție rezultă X 2 = 3 cos 2 t, la 2 = 3 sin 2 t. Adăugând aceste egalități termen cu termen, obținem

X 2 + la 2 = 3(cos 2 t+ păcatul 2 t)

sau X 2 + la 2 = 3

Clasă: 8

Scopul lecției: introduceți ecuația unui cerc, învățați elevii să întocmească o ecuație a unui cerc după un desen terminat, construiți un cerc după o ecuație dată.

Echipamente: tablă interactivă.

Planul lecției:

1. Moment organizatoric - 3 min.
2. Repetiţie. Organizarea activității mentale - 7 min.
3. Explicația noului material. Derivarea ecuației cercului - 10 min.
4. Consolidarea materialului studiat - 20 min.
5. Rezumatul lecției - 5 min.

În timpul orelor

2. Repetiție:

− (Atasamentul 1 slide 2) notează formula de găsire a coordonatelor mijlocului segmentului;

− (Diapozitivul 3) Z scrieți formula distanței dintre puncte (lungimea segmentului).

3. Explicarea materialului nou.

(Diapozitive 4 - 6) Definiți ecuația unui cerc. Deduceți ecuațiile unui cerc centrat într-un punct ( A;b) și centrat la origine.

(X – A ) 2 + (la – b ) 2 = R 2 − ecuația cercului cu centru DIN (A;b) , rază R , X și la – coordonatele unui punct arbitrar de pe cerc .

X 2 + y 2 = R 2 este ecuația unui cerc centrat la origine.

(Diapozitivul 7)

Pentru a scrie ecuația unui cerc, aveți nevoie de:

• cunoașteți coordonatele centrului;
• cunoașteți lungimea razei;
• înlocuiți coordonatele centrului și lungimea razei în ecuația cercului.

4. Rezolvarea problemelor.

În sarcinile nr. 1 - nr. 6, întocmește ecuațiile cercului conform desenelor finalizate.

(Diapozitivul 14)

№ 7. Completați tabelul.

(Diapozitivul 15)

№ 8. Construiți cercuri în caiet date de ecuațiile:

A) ( X – 5) 2 + (la + 3) 2 = 36;
b) (X + 1) 2 + (la– 7) 2 = 7 2 .

(Diapozitivul 16)

№ 9. Aflați coordonatele centrului și lungimea razei dacă AB este diametrul cercului.

Dat:		Soluţie:
		R	Coordonatele centrului
1	DAR(0 ; -6) LA(0 ; 2)	AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 .	DAR(0; -6) LA(0 ; 2) DIN(0 ; – 2) – centru
2	DAR(-2 ; 0) LA(4 ; 0)	AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6.	DAR (-2;0) LA (4 ;0) DIN(1 ; 0) – centru

(Diapozitivul 17)

№ 10. Scrieți ecuația unui cerc centrat la originea care trece prin punctul La(-12;5).

Soluţie.

R2 = OK 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Ecuația cercului: x 2 + y 2 = 169 .

(Diapozitivul 18)

№ 11. Scrieți o ecuație pentru un cerc care trece prin origine și este centrat în punct DIN(3; - 1).

Soluţie.

R2= OS 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Ecuația cercului: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.

(Diapozitivul 19)

№ 12. Scrieți ecuația unui cerc cu centru DAR(3;2) trecând prin LA(7;5).

Soluţie.

1. Centrul cercului - DAR(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB = 5;
3. Ecuația cercului ( X – 3) 2 + (la − 2) 2 = 25.

(Diapozitivul 20)

№ 13. Verificați dacă există puncte DAR(1; -1), LA(0;8), DIN(-3; -1) pe cercul dat de ecuația ( X + 3) 2 + (la − 4) 2 = 25.

Soluţie.

eu. Înlocuiți coordonatele punctului DAR(1; -1) în ecuația cercului:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 \u003d 25 - egalitatea este incorectă, ceea ce înseamnă DAR(1; -1) nu minte pe cercul dat de ecuația ( X + 3) 2 + (la − 4) 2 = 25.

II. Înlocuiți coordonatele punctului LA(0;8) în ecuația cercului:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
LA(0;8)minciuni X + 3) 2 + (la − 4) 2 = 25.

III.Înlocuiți coordonatele punctului DIN(-3; -1) în ecuația cercului:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - egalitatea este adevărată, deci DIN(-3; -1) minciuni pe cercul dat de ecuația ( X + 3) 2 + (la − 4) 2 = 25.

Rezumatul lecției.

1. Repetați: ecuația unui cerc, ecuația unui cerc centrat la origine.
2. (Diapozitivul 21) Teme pentru acasă.

Subiectul lecției: Ecuația cercului

Obiectivele lecției:

Educational: Deduceți ecuația cercului, considerând soluția acestei probleme ca una dintre posibilitățile de aplicare a metodei coordonatelor.

A fi capabil să:

– Recunoașteți ecuația unui cerc conform ecuației propuse, învățați elevii să întocmească o ecuație a cercului după un desen terminat, construiți un cerc după o ecuație dată.

Educational : Formarea gândirii critice.

Educational : Dezvoltarea capacității de a face prescripții algoritmice și a capacității de a acționa în conformitate cu algoritmul propus.

A fi capabil să:

– Vedeți problema și planificați modalități de a o rezolva.

– Rezumați-vă gândurile oral și în scris.

Tip de lecție: asimilarea noilor cunoștințe.

Echipamente : PC, proiector multimedia, ecran.

Planul lecției:

1. Discurs de deschidere - 3 min.

2. Actualizarea cunoștințelor - 2 min.

3. Enunțarea problemei și soluția ei -10 min.

4. Fixarea frontală a noului material - 7 min.

5. Munca independentă în grup - 15 min.

6. Prezentarea lucrării: discuție - 5 min.

7. Rezultatul lecției. Tema pentru acasă - 3 min.

În timpul orelor

Scopul acestei etape: Starea psihologică a elevilor; Implicarea tuturor elevilor în procesul de învățare, creând o situație de succes.

1. Organizarea timpului.

3 minute

Baieti! Ai întâlnit cercul în clasele a V-a și a VIII-a. Ce știi despre ea?

Știi multe, iar aceste date pot fi folosite în rezolvarea problemelor geometrice. Dar pentru rezolvarea problemelor în care se folosește metoda coordonatelor, acest lucru nu este suficient.De ce?

Absolut corect.

Prin urmare, scopul principal al lecției de astăzi este de a deriva ecuația unui cerc din proprietățile geometrice ale unei linii date și de a o aplica pentru a rezolva probleme geometrice.

Lăsați-l să plecemotto-ul lecției vor deveni cuvintele savantului-enciclopedist din Asia Centrală Al-Biruni: „Cunoașterea este cea mai excelentă posesiune. Toată lumea se străduiește pentru asta, dar nu vine de la sine.”

Scrieți subiectul lecției într-un caiet.

Definiția unui cerc.

Rază.

Diametru.

Coardă. etc.

Nu cunoaștem încă forma generală a ecuației cercului.

Elevii enumera tot ce știu despre cerc.

slide 2

slide 3

Scopul etapei este de a face o idee despre calitatea învățării de către elevi a materialului, de a determina cunoștințele de bază.

2. Actualizare de cunoștințe.

2 minute

La derivarea ecuației cercului veți avea nevoie de definiția deja cunoscută a unui cerc și de o formulă care vă permite să aflați distanța dintre două puncte după coordonatele lor.Să ne amintim aceste fapte /Prepetarea materialului studiat anterior/:

– Scrieți formula pentru găsirea coordonatelor punctului de mijloc al unui segment.

– Scrieți formula pentru calcularea lungimii unui vector.

– Scrieți formula pentru găsirea distanței dintre puncte (lungimea segmentului).

Editarea înregistrărilor...

Antrenament geometric.

Puncte dateA (-1; 7) șiÎn (7; 1).

Calculați coordonatele punctului mijlociu al segmentului AB și lungimea acestuia.

Verifică corectitudinea execuției, corectează calculele...

Un elev la tablă, iar restul notează formule în caiete

Un cerc este o figură geometrică formată din toate punctele situate la o distanță dată de un punct dat.

| AB | \u003d √ (x - x) ² + (y - y) ²

M(x;y), A(x;y)

Calculați: C (3; 4)

| AB | = 10

DIN culca 4

slide 5

3. Formarea de noi cunoștințe.

12 minute

Scop: formarea conceptului - ecuația cercului.

Rezolva problema:

Un cerc cu centrul A(x; y) este construit într-un sistem de coordonate dreptunghiular. M(x; y) - punctul arbitrar al cercului. Aflați raza cercului.

Coordonatele oricărui alt punct vor satisface această egalitate? De ce?

Să punem la pătrat ambele părți ale ecuației.Ca urmare, avem:

r² \u003d (x - x) ² + (y - y) ² este ecuația cercului, unde (x; y) este coordonatele centrului cercului, (x; y) este coordonatele unui arbitrar punct situat pe cerc, r este raza cercului.

Rezolva problema:

Care va fi ecuația unui cerc centrat la origine?

Deci, ce trebuie să știți pentru a scrie ecuația unui cerc?

Sugerați un algoritm pentru compilarea ecuației cercului.

Concluzie: ... scrie într-un caiet.

O rază este un segment care leagă centrul unui cerc cu un punct arbitrar situat pe cerc. Prin urmare, r \u003d | AM | \u003d √ (x - x)² + (y - y)²

Orice punct dintr-un cerc se află pe acel cerc.

Elevii scriu în caiete.

(0;0)-coordonatele centrului cercului.

x² + y² = r², unde r este raza cercului.

Coordonatele centrului cercului, raza, orice punct din cerc...

Ei propun un algoritm...

Notează algoritmul într-un caiet.

slide 6

Slide 7

Slide 8

Profesorul scrie ecuația pe tablă.

Slide 9

4. Fixare primară.

23 de minute

Ţintă:reproducerea de către studenți a materialului care tocmai a fost perceput pentru a preveni pierderea ideilor și conceptelor formate. Consolidarea noilor cunoștințe, idei, concepte pe baza acestoraaplicatii.

control ZUN

Să aplicăm cunoștințele dobândite în rezolvarea următoarelor probleme.

O sarcină: Din ecuațiile propuse, numiți numerele celor care sunt ecuațiile cercului. Și dacă ecuația este ecuația unui cerc, atunci numiți coordonatele centrului și indicați raza.

Nu orice ecuație de gradul doi cu două variabile definește un cerc.

4x² + y² \u003d 4-ecuația elipsei.

x²+y²=0-punct.

x² + y² \u003d -4-această ecuație nu definește nicio figură.

Baieti! Ce trebuie să știi pentru a scrie o ecuație pentru un cerc?

Rezolva problema Nr 966 p. 245 (manual).

Profesorul cheamă elevul la tablă.

Sunt suficiente datele specificate în starea problemei pentru a întocmi o ecuație pentru un cerc?

O sarcină:

Scrieți ecuația pentru un cerc centrat la origine și cu diametrul 8.

O sarcină : desenează un cerc.

Centrul are coordonate?

Determinați raza... și construiți

Sarcină la pagina 243 (manual) se înțelege oral.

Folosind planul de rezolvare a problemelor de la p.243, rezolvați problema:

Scrieți ecuația unui cerc centrat în punctul A(3;2) dacă cercul trece prin punctul B(7;5).

1) (x-5) ² + (y-3) ² \u003d 36 - ecuația cercului; (5; 3), r \u003d 6.

2) (x-1)² + y² \u003d 49 - ecuația cercului; (1; 0), r \u003d 7.

3) x² + y² \u003d 7 - ecuația cercului; (0; 0), r \u003d √7.

4) (x + 3)² + (y-8)² \u003d 2- ecuația cercului; (-3;8),r=√2.

5) 4x² + y² \u003d 4 nu este o ecuație a unui cerc.

6) x² + y² = 0- nu este o ecuație a unui cerc.

7) x² + y² = -4- nu este o ecuație a unui cerc.

Cunoașteți coordonatele centrului cercului.

Lungimea razei.

Înlocuiți coordonatele centrului și lungimea razei în ecuația generală a unui cerc.

Rezolvați problema nr. 966 p. 245 (manual).

Date suficiente.

Ei rezolvă problema.

Deoarece diametrul unui cerc este dublul razei lui, atunci r=8÷2=4. Prin urmare, x² + y² = 16.

Efectuați construcția cercurilor

Lucrări manuale. Sarcină la pagina 243.

Dat: A (3; 2) - centrul cercului; В(7;5)є(А;r)

Găsiți: ecuația cercului

Rezolvare: r² \u003d (x - x)² + (y - y)²

r² \u003d (x -3)² + (y -2)²

r = AB, r² = AB²

r² =(7-3)²+(5-2)²

r²=25

(x -3)² + (y -2)² \u003d 25

Răspuns: (x -3)² + (y -2)² \u003d 25

slide 10-13

Rezolvarea problemelor tipice pronunțând soluția într-un discurs cu voce tare.

Profesorul cheamă un elev pentru a scrie ecuația rezultată.

Reveniți la diapozitivul 9

Discutarea unui plan pentru rezolvarea acestei probleme.

Slide. cincisprezece. Profesorul cheamă un elev la tablă pentru a rezolva această problemă.

slide 16.

diapozitivul 17.

5. Rezumatul lecției.

5 minute

Reflectarea activităților din clasă.

Tema pentru acasă: §3, pct. 91, întrebări de control nr. 16,17.

Probleme nr. 959(b, d, e), 967.

Sarcină pentru evaluare suplimentară (sarcină problemă): Construiți un cerc dat de ecuație

x² + 2x + y² -4y = 4.

Despre ce am vorbit în clasă?

Ce ai vrut sa primesti?

Care a fost scopul lecției?

Ce sarcini pot fi rezolvate prin „descoperirea” noastră?

Care dintre voi crede că ați atins obiectivul stabilit de profesor la lecție cu 100%, cu 50%; nu ai atins scopul...?

Notare.

Notează temele.

Elevii răspund la întrebările adresate de profesor. Efectuați o autoevaluare a propriei performanțe.

Elevii trebuie să exprime într-un cuvânt rezultatul și modalitățile de a-l atinge.