Se observă dispersia undelor electromagnetice în vid. Propagarea undelor în medii dispersive. Dispersie într-un mediu cu taxe gratuite
Dispersia spațială și temporală a undelor electromagnetice, viteza de grup și de fază a undelor într-un mediu cu dispersie.
Viteza fazei undei V f \u003d c / nîn cazul general, poate depinde de frecvență (sau lungimea undei radio 
, Aici 
este indicele de refracție al mediului.În acest caz, se vorbește despre dispersia permitivității mediului. Deoarece relația dintre componentele Fourier ale vectorilor de inducție electrică și câmp electric este dată de relația 
, atunci prezența dispersiei înseamnă că permisivitatea relativă depinde de frecvența sau numărul de undă. Dacă este doar o funcție a frecvenței 
, atunci se vorbeste despre dispersia timpului daca 
- despre spațial.
Sensul fizic al dispersiei timpului este următorul. Să presupunem că elementele mediului (de exemplu, electronii de pe învelișul atomilor) sub influența unui câmp electric oscilează, a cărui fază rămâne în urmă fazei oscilațiilor undei externe. Apoi, undele emise de aceste particule vor experimenta o întârziere suplimentară și vor ajunge la punctul de observație mai târziu decât undea electromagnetică inițială. Dispersia spațială are loc de obicei dacă lungimea undei electromagnetice devine comparabilă cu scările interne caracteristice ale mediului, care caracterizează gradul de influență a undelor electromagnetice asupra elementelor sale. Astfel de scale pot fi calea liberă medie a particulelor, raza de rotație a unei particule încărcate într-un câmp magnetic extern (giroradius) etc. În toate cazurile de mai sus, pentru a determina legea dispersiei, este necesar să se cunoască structura substanței și comportamentul atomilor sau moleculelor individuali într-un câmp electric alternativ extern.
Se consideră un mediu cu dispersie în care viteza de fază V f = 
depinde de frecvența undei 
. Orice undă reală, conform teoremei Fourier, poate fi reprezentată ca o sumă de unde monocromatice cu amplitudini și frecvențe diferite. Într-un mediu cu dispersie, vitezele de propagare a undelor cu frecvențe diferite vor fi diferite. În cazul în care diferența de frecvență este mult mai mică decât frecvența medie, atunci un astfel de pachet de undă se numește îngust. Luați în considerare o suprapunere a două unde monocromatice plane de aceeași amplitudine și frecvențe apropiate 
Și 
, care corespund numerelor de undă 
Și 
, propagandu-se de-a lungul axei X
E(x, t) = E 0exp( 
+
E 0exp( 
Având în vedere expresia cosinusului unghiului cos 
=(exp ( i
)+exp(- i
)/2 urmand din formula Euler exp
{i
)= cos 
+ i păcat 
, primim
E(x,t)
= 2E 0 cos 
exp( 
}
Această expresie poate fi considerată ca o ecuație a unei unde monocromatice, a cărei amplitudine variază în funcție de coordonatele spațiale și de timp. Semnalul rezultat este o bătaie cu o amplitudine care variază lent. Amplitudinea bătăii rămâne neschimbată dacă 
=const. Aceasta înseamnă că anvelopa pachetului de undă se propagă cu viteza grupului
.
Direcția vitezei grupului coincide cu direcția transferului de energie de către o undă electromagnetică. Dacă mediul nu are dispersie, atunci viteza grupului coincide ca mărime cu viteza fazei V gr = V f = 
și dirijată de-a lungul 
.
Cursul 13. Generalizarea lui Maxwell a ideilor despre inducția electromagnetică. Interrelația câmpurilor electrice și magnetice variabile. Ecuațiile lui Maxwell în forme integrale și diferențiale, interpretarea lor fizică Caracteristici comparative câmpuri electrice și magnetice.
Despre teoria clasică a interacțiunii electromagnetice și purtătorul ei - câmpul electromagnetic - se spune uneori că electrodinamica lui Maxwell sunt ecuațiile lui Maxwell. În anii 60 ai secolului trecut, Maxwell a realizat o lucrare similară cu cea pe care Newton o făcuse cu două secole înaintea lui. Dacă Newton ar fi finalizat crearea primei teorii fundamentale miscarile, apoi Maxwell a finalizat crearea primei teorii a fizicului interacțiuni(electromagnetic). La fel ca mecanica clasică a lui Newton, electrodinamica lui Maxwell s-a bazat și pe niște relații extrem de fundamentale și elementare exprimate prin ecuații care au primit numele lui Maxwell.
Aceste ecuații au două forme - integrală și diferențială a expresiei lor și, de fapt, exprimă relația dintre caracteristicile câmpului electromagnetic cu caracteristicile surselor (sarcini și curenți), acesta este domeniul generatoarelor. Această legătură nu are o expresie atât de simplă precum, de exemplu, legătura dintre măsurile mișcării și interacțiunii, exprimată prin legea de bază a dinamicii - a doua lege a lui Newton. Prin urmare, ecuațiile lui Maxwell, care exprimă ideea de bază a electrodinamicii - doctrina interacțiunii electromagnetice - apar atunci când o studiezi la o universitate - abia la sfârșitul cursului.
Ca orice alte propoziții teoretice extrem de generale, ecuațiile lui Maxwell nu sunt derivate formal în cadrul electrodinamicii în sine. Ele sunt obținute ca urmare a generalizării creative a unei varietăți de materiale experimentale, iar corectitudinea lor este confirmată de diverse consecințe și aplicații practice.
Înainte de Maxwell, sistemul complet de ecuații ale electro- și magneto staticăși o ecuație electro difuzoare- o ecuație care exprimă legea inducției electromagnetice. În general, acest set de ecuații nu a fost un sistem complet care specifică fără ambiguitate starea câmpului electromagnetic. Pentru a obține un astfel de sistem, Maxwell a generalizat legea inducției electromagnetice e = - dФ¤dt, scriind ecuația sa în formă integrală:
= -= - (vectorul depinde atât de t, cât și de , iar debitul Ф = - numai de t)
Ecuația rezultată poate fi gândită ca o teoremă asupra circulației unui vector în electrostatică generalizată la un câmp electric vortex. Aici, Maxwell a aruncat de fapt circuitul conductor pe care îl avea Faraday și care, conform lui Maxwell, era pur și simplu un indicator al prezenței (prin curenți de inducție) a unui câmp electric turbionar în regiunea din jurul variației. camp magnetic.
Sub forma legii inducției electromagnetice prezentată de Maxwell, este mai clar vizibilă esența fizică a fenomenului, conform căreia un câmp magnetic alternant generează un câmp electric vortex (cu circulație diferită de zero) în spațiul înconjurător. După ce a prezentat fenomenul inducției electromagnetice în acest fel, Maxwell a putut, bazându-se pe considerații de simetrie, să sugereze posibilitatea existenței în natură a efectului invers al inducției electromagnetice. Poate fi numită inducție magnetoelectrică, a cărei esență este că un câmp electric care variază în timp generează un câmp magnetic în spațiul înconjurător. În mod formal, aceasta este scrisă în așa fel încât circulația intensității câmpului magnetic să fie egală cu rata de schimbare în timp a fluxului de inducție a câmpului electric. Ținând cont de faptul că câmpul magnetic de la bun început (din starea statică) este vortex, adică pentru el circulația nu este întotdeauna egală cu zero, relația generalizată dintre câmpurile magnetice și electrice va lua forma:
I + I cm, unde I cm =
Aici, rata de modificare a fluxului de inducție a câmpului electric este echivalentă formal cu un anumit curent. Acest curent se numește curent de polarizare. Se poate imagina că acest curent, așa cum ar fi, închide fluxul de curent într-un circuit, de exemplu, cu condensatoare, prin care nu circulă curentul obișnuit de conducție. Densitatea curentului de deplasare este egală cu rata de modificare a deplasării electrice (vector ): = (¶/¶t). Când un condensator încărcat este descărcat, un curent de conducere trece prin fire și, în plus, câmpul electric scade (se modifică) în spațiul dintre plăci.
Viteza modificării inducției câmpului electric, adică ¶¤¶t, este densitatea curentului de deplasare. Curentul de deplasare închide curentul de conducere în golurile dintre conductori. El, ca și curentul de conducere, creează un câmp magnetic în jurul său, iar într-un dielectric (acolo se numește curent de polarizare), eliberează căldură - așa-numitele pierderi dielectrice.
Deci, acum putem scrie sistemul complet de ecuații ale câmpului electromagnetic unificat - sistemul de ecuații lui Maxwell:
Într-o stare statică, un câmp electric (electrostatic) este generat numai de sarcini electrice staționare (sau în mișcare uniformă) într-un IFR dat și este potențial (are circulație zero). Câmpul magnetostatic este generat numai de curenți și este întotdeauna nepotențial (vortex). Câmpul electrostatic, având ca sursă sarcinile, are începutul liniilor sale de forță pe sarcini pozitive și sfârșit - pe sarcini negative (sau la infinit). Câmpul magnetic nu are astfel de surse, de vreme ce monopoli magnetici nu a fost încă descoperit și, prin urmare, liniile sale de forță, chiar și în stare statică, sunt închise, neavând nici început, nici sfârșit.
Într-o stare dinamică, nestaționară, când sursele câmpurilor și câmpurile în sine generate de acestea devin variabile în timp, se dezvăluie o nouă trăsătură fundamentală a câmpurilor nestaționare electrice și magnetice. Se dovedește că în această stare dobândesc capacitatea de a se genera reciproc, de a deveni surse unul de altul. Ca rezultat, o nouă stare indisolubil interconectată a unui singur câmp electromagnetic. Prima ecuație a lui Maxwell, așa cum sa menționat deja, indică faptul că un câmp magnetic variabil în timp generează un câmp electric vortex în spațiul înconjurător. A doua ecuație a lui Maxwell spune că câmpul magnetic este generat nu numai de curenți, ci și de un câmp electric care variază în timp. Drept urmare, putem concluziona că câmpurile electrice și magnetice variabile (nestaționare) sunt surse reciproce, iar diferența lor este în mare măsură relativă. În stare non-staționară, ele sunt capabile să existe complet independent de sursele (curenții alternativi) care le-au generat, sub forma unui singur câmp electromagnetic inseparabil.
Ultimele două ecuații ale lui Maxwell indică natura diferită a simetriei câmpurilor staționare electrice și magnetice.
Pentru a rezolva problema de bază a electrodinamicii, ecuațiile lui Maxwell care exprimă ideea sa principală (relația dintre caracteristicile câmpului și caracteristicile surselor sale) trebuie completate de așa-numitele ecuații materiale, legând caracteristicile domeniului cu caracteristicile mediului real. Aceste ecuații sunt după cum urmează:
E despre e; \u003d m despre m și \u003d g, unde e și m sunt permeabilitatea dielectrică și magnetică a mediului, iar g este conductivitatea electrică a mediului.
Ecuațiile lui Maxwell sunt adesea scrise într-o formă mai compactă - diferențială, care se obține din forma integrală prin trecerea contururilor și a suprafețelor de integrare la limita la zero: S ® 0 și L ® 0.
Să vă prezentăm operator vectorial, numit „nabla” și notat Ñ , ca vector cu următoarele componente: Ñ = (¶/¶x, ¶/¶y, ¶/¶z).
Pentru orice câmp vectorial () = (A x, A y, A z), următoarele seturi de operații diferențiale sunt importante:
a) scalar, numit divergenţă:Ñ= diu = ¶A x /¶x + ¶A y /¶y + ¶A z /¶z
b) vector, numit rotor :
Ñ = putregai = (¶A y /¶ z - ¶A i /¶ y) + (¶A z /¶x - ¶A x /¶ z) + (¶A y /¶ X - ¶A X /¶ Y)
În aceste notații, ecuațiile lui Maxwell sub formă diferențială iau următoarea formă:
putregai= - ¶/¶t ; putregai = + ¶/¶t; diu = r; diu = 0
sau Ñ = -¶/¶t ; Ñ = + ¶/¶t; Ñ = r; Ñ = 0
Ecuațiile lui Maxwell includ doar gratuit sarcinile r și curenții conductivitate . Legate de taxe și molecular curenţii intră în aceste ecuaţii implicit - prin caracteristicile mediului - permeabilitatea dielectrică şi magnetică e şi m.
Pentru a trece la forma diferențială de scriere a teoremei de circulație, folosim binecunoscuta teoremă Stokes din analiza vectorială, care leagă circulația unui vector cu integrala de suprafață a rotorului acestui vector:
unde S este suprafața delimitată de conturul L. Rotorul unui vector este un operator diferenţial vectorial definit după cum urmează:
putrezi = (¶Е y /¶z - ¶Е z /¶у) + (¶E z /¶x - ¶E x /¶z) + (¶E x /¶y - ¶E y /¶x)
Semnificația fizică a rotorului este dezvăluită prin tendința suprafeței S la zero. Într-o suprafață suficient de mică, rotorul vectorului poate fi considerat constant și scos din semnul integral:
= putrezi × = putrezire×S.
Apoi, conform teoremei Stokes: rot = (1/S) ca S ® 0.
De aici rotor vectorial poate fi definit ca densitatea circulației la suprafață a acestui vector.
Deoarece circulația vectorului în ESP este zero, rotorul vectorului este, de asemenea, zero:
Această ecuație este forma diferențială a teoremei privind circulația unui vector într-un ESP.
Pentru a trece la forma diferențială de scriere a teoremei Ostrogradsky-Gauss, folosim teorema Gauss cunoscută din analiza vectorială, care leagă fluxul unui vector pe o suprafață închisă cu integrala divergenței acestui vector asupra volumului conținut în acest suprafaţă:
Divergența unui vector este înțeleasă ca un operator diferenţial scalar (un set de derivate) definit după cum urmează:
div = ¶E x /¶x + ¶E y /¶y + ¶E z /¶z.
Semnificația fizică a divergenței este dezvăluită prin tendința volumului V la zero. Într-un volum suficient de mic, divergența vectorului poate fi considerată constantă și scoasă din semnul integral:
= div × = (1/V) div . Apoi, conform teoremei lui Gauss ,
div = (1/V) ca V ® 0.
De aici divergenta vectoriala poate fi definit ca densitatea fluxului volumetric a acestui vector.
Corelând teorema Ostrogradsky-Gauss = q å /e o = (1/e o) și teorema Gauss = , vedem că părțile lor din stânga sunt egale între ele. Echivalând părțile lor drepte, obținem:
Această ecuație este forma diferențială a teoremei Ostrogradsky-Gauss.
Curs 14. Unde electromagnetice. Explicația apariției undelor electromagnetice din punctul de vedere al ecuațiilor lui Maxwell. Ecuația unei unde electromagnetice călătoare. ecuația de undă. Transfer de energie printr-o undă electromagnetică. Vector Umov-Poynting. radiație dipol.
Undele electromagnetice sunt fluctuații interconectate ale câmpurilor electrice și magnetice care se propagă în spațiu. Spre deosebire de undele sonore (acustice), undele electromagnetice se pot propaga în vid.
Din punct de vedere calitativ, mecanismul apariției unui câmp electromagnetic liber (din surse sub formă de sarcini electrice și curenți) poate fi explicat pe baza unei analize a esenței fizice a ecuațiilor lui Maxwell. Două efecte fundamentale afișate de ecuațiile lui Maxwell - inductie electromagnetica(generarea unui câmp electric de vortex alternant de către un câmp magnetic alternativ) și inducție magnetoelectrică(generarea unui câmp electric alternativ al unui câmp magnetic alternativ) conduc la posibilitatea ca câmpurile electrice și magnetice alternative să fie surse reciproce unul de celălalt. Modificarea interconectată a câmpurilor electrice și magnetice este un singur câmp electromagnetic care se poate propaga în vid la viteza luminii.
c \u003d 3 × 10 8 m / s. Acest câmp, care poate exista complet independent de sarcini și curenți și, în general, de materie, este al doilea (împreună cu materie) - tip de câmp (forma) al existenței materiei.
În experiment, undele electromagnetice au fost descoperite în 1886 de G. Hertz, la 10 ani după moartea sa, care a prezis teoretic existența lor de către Maxwell. Din ecuațiile lui Maxwell într-un mediu neconductiv, unde r = 0 și = 0, luând operația rotorului din prima ecuație și înlocuind în ea expresia putregaiului din a doua ecuație , primim:
rot= - ¶/¶t = - m o m¶/¶t; putregaiul= -m o m¶/¶t(putregaiul) = - m o me o e¶ 2 /¶t 2 = - (1/u 2)¶E 2 /¶t 2 rot = ¶/¶t = e oe¶/¶ t;
Din analiza vectorială se știe că putregaiul = grad div– D, dar grad divº 0 și apoi
D= 1/u 2)¶ 2 /¶t 2 , unde D = ¶ 2 /¶x 2 + ¶ 2 /¶y 2 + ¶ 2 /¶z 2 este operatorul Laplace - suma derivatelor parțiale secunde în raport cu la coordonatele spațiale.
În cazul unidimensional, obținem ecuație diferențialăîn derivate parțiale, numite val:
¶ 2 /¶x 2 - 1/u 2)¶ 2 /¶t 2 = 0
Același tip de ecuație se obține pentru inducerea unui câmp magnetic. Soluția sa este o undă monocromatică plană care se deplasează dată de ecuația:
Cos (wt - kx + j) și \u003d cos (wt - kx + j), unde w / k \u003d u \u003d 1 /Ö (m o me o e) este viteza de fază a undei.
Vectorii și se schimbă în fază în timp, dar în planuri reciproc perpendiculare și perpendiculare pe direcția de propagare (viteza undei): ^ , ^ , ^ .
Proprietatea de perpendicularitate reciprocă a vectorilor și și și ne permite să atribuim undei electromagnetice unde de forfecare.
În vid, o undă electromagnetică se propagă cu viteza luminii u = c = 1/Ö(eomo) = 3 × 10 8 m/s, iar într-un mediu material unda încetinește, viteza acesteia scade cu un factor de Ö (em), adică u = c/Ö(em) = 1/Ö(e o m o em).
În fiecare punct al spațiului, valorile vectorilor și sunt proporționale între ele. Raportul dintre intensitățile câmpurilor electric și magnetic este determinat de electric și proprietăți magnetice(permeabilitățile e și m) ale mediului. Această expresie este legată de egalitatea densităților volumetrice de energie we și w m ale câmpurilor electrice și magnetice ale undei:
we \u003d e o eE 2 / 2 \u003d w m \u003d m o mH 2 / 2 Þ E / H \u003d Ö (m o m / e o e).
Raportul E / H, așa cum este ușor de văzut, are dimensiunea rezistenței: V / m: A / m \u003d V / A \u003d Ohm. În legătură cu vid, de exemplu, E / H \u003d Ö (m o / e o) \u003d 377 Ohm - se numește impedanța de vid. Raportul E / B \u003d 1¤Ö (e o m o) \u003d c \u003d 3 × 10 8 m / s (în vid).
Răspândirea prin spațiu oscilații electromagnetice(unde electromagnetice) transferă energie fără a transfera materie - energia câmpurilor electrice și magnetice. Anterior, am obținut expresii pentru densitățile de energie volumetrice ale câmpurilor electrice și magnetice:
we \u003d e despre eE 2 / 2 și w m \u003d m despre mH 2 ¤2 [J / m 3].
Caracteristica principală a transferului de energie de către o undă este vectorul de densitate a fluxului de energie, numit (în raport cu undele electromagnetice) vectorul Poynting, numeric egală cu energia transferată printr-o unitate de suprafață a suprafeței normală la direcția de propagare a undei, pe unitatea de timp: \u003d J / m 2 s \u003d W / m 2.
Pentru o unitate de timp, toată energia care este conținută în volumul V al unui paralelipiped (cilindru) cu baza de 1 m 2 și înălțimea egală cu viteza u de propagare a undei, adică calea parcursă de undă. pe unitatea de timp, va trece printr-o unitate de suprafață:
S = wV = wu = (w e + w m)¤Ö(e o m o em) = e o eE 2 ¤2Ö(e o m o em) + m o mH 2 ¤2Ö(e o m o em) = [Ö(eoe ¤mom)]E 2 /2 + [Ö(mama ¤eoe)] H 2 /2.
Deoarece E / H \u003d Ö (m despre m / e despre e), atunci S \u003d EH / 2 + HE / 2 \u003d EH.
Sub formă vectorială, vectorul Poynting va fi exprimat ca produsul vectorilor câmpurilor electrice și magnetice: = = w.
Cel mai simplu emițător de unde electromagnetice este un dipol electric, al cărui moment se modifică în timp. Dacă modificările momentului electric sunt repetitive, periodice, atunci se numește un astfel de „dipol oscilant”. oscilator sau vibrator de bază. Reprezintă cel mai simplu model (elementar) al unui sistem radiativ în electrodinamică. Orice radiator neutru electric cu dimensiunile L<< l в так называемой волновой или дальней зоне (при r >> l) are același câmp de radiație (caracter de distribuție în spațiu) ca un oscilator cu moment dipol egal.
Un oscilator se numește liniar sau armonic dacă momentul său dipolar se modifică conform legii armonice: Р = Р m sin wt; Rm = q l.
După cum arată teoria radiațiilor, puterea instantanee N a radiației undelor electromagnetice de către un oscilator armonic este proporțională cu pătratul derivatei a doua a modificării momentului său dipol, adică:
N ~ ïd 2 Р/dt 2 ï 2 ; N \u003d m o ïd 2 P / dt 2 ï 2 / 6buc \u003d m o w 4 R m 2 sin 2 wt / 6buc.
Putere medie< N >radiația dipol pentru perioada de oscilație este egală cu:
< N >\u003d (1 / T) N dt \u003d m despre w 4 R m 2 / 12pс
De remarcat este a patra putere a frecvenței din formula pentru puterea radiației. Prin urmare, în multe feluri, semnalele purtătoare de înaltă frecvență sunt folosite pentru a transmite informații radio și televiziune.
Dipolul radiază diferit în direcții diferite. În zona undei (departe), intensitatea radiației dipolului J este: J ~ sin 2 q ¤r 2 , unde q este unghiul dintre axa dipolului și direcția radiației. Dependența J (q) la un r fix se numește diagrama de radiație polară a radiației dipol. Arată ca o cifră opt. Din aceasta se poate observa că dipolul radiază mai ales în direcția q = p / 2, adică în plan perpendicular pe ax dipol. De-a lungul propriei axe, adică la q \u003d 0 sau q \u003d p, dipolul nu radiază deloc unde electromagnetice.
Ecuația unei unde monocromatice călătoare Е = Е m cos (wt - kх + j) este o idealizare a unui proces de undă real. De fapt, trebuie să corespundă unei succesiuni de cocoașe și jgheaburi, infinite în timp și spațiu, care se deplasează în direcția pozitivă a axei x cu o viteză u = w/k. Această viteză se numește viteza de fază, deoarece reprezintă viteza de mișcare în spațiu a suprafeței echifaze (suprafață de fază constantă). Într-adevăr, ecuația suprafeței echifaze are forma
Procesele unde reale sunt limitate în timp, adică au un început și un sfârșit, iar amplitudinea lor se modifică. Expresia lor analitică poate fi reprezentată ca un set, grup, pachet val(monocromatic):
E \u003d E m w cos (greutate - k w x + j w) dw
cu frecvențe apropiate situate într-un interval îngust de la w - Dw/2 la w + Dw/2, unde Dw<< w и близкими (не сильно различающимися) спектральными плотностями амплитуды Е м w , волновыми числами k w и начальными фазами j w .
Când se răspândesc în vid undele de orice frecvență au aceeași viteză de fază u = c = 1¤Ö(e o m o) = 3×10 8 m/s, egală cu viteza luminii. ÎN mediul material datorită interacțiunii unei unde electromagnetice cu particulele încărcate (electroni, în primul rând), viteza de propagare a undei începe să depindă de proprietățile mediului, de permeabilitatea sa dielectrică și magnetică, după formula: u = 1/Ö( eomo em).
Permeabilitatea dielectrică și magnetică a unei substanțe se dovedește a fi dependentă de frecvența (lungimea) undei electromagnetice și, în consecință, viteza de fază a propagării undei într-o substanță se dovedește a fi diferită pentru diferitele sale frecvențe (lungimi de undă). Acest efect se numește dispersie unde electromagnetice, iar mediile sunt numite dispersiv. Un mediu real poate fi nedispersiv doar într-un anumit interval de frecvență, nu foarte larg. Numai vidul este un mediu complet nedispersiv.
La propagarea într-un mediu dispersiv pachet de val, undele sale constitutive cu frecvențe diferite vor avea viteze diferite și în timp se vor „răspândi” unele față de altele. Pachetul de undă într-un astfel de mediu se va estompa treptat, se va disipa, ceea ce se reflectă în termenul „dispersie”.
Pentru a caracteriza viteza de propagare a unui pachet de undă în ansamblu, se ia viteza de propagare a acestuia maxim- centrul pachetului de unde cu cea mai mare amplitudine. Această viteză se numește grupși, spre deosebire de viteza de fază u = w/k, aceasta este determinată nu în funcție de raportul w/k, ci în termenii derivatei u = dw/dk.
Desigur, în vid, adică în absența dispersiei, viteza de fază (viteza de mișcare a suprafeței echifaze) și viteza de grup (viteza de transfer de energie printr-o undă) coincid și sunt egale cu viteza luminii. Conceptul de viteză de grup, definit prin derivată (rata de modificare a frecvenței unghiulare cu creșterea numărului de undă) este aplicabil numai pentru mediile ușor dispersive, unde absorbția undelor electromagnetice nu este foarte puternică. Obținem formula pentru relația dintre vitezele de grup și de fază:
u = dw/dk = u - (kl/k)×du/dl = u - l×du/dl.
În funcție de semnul derivatei du/dl, viteza de grup u = u - l×du/dl poate fi fie mai mică, fie mai mare decât viteza de fază u a undei electromagnetice în mediu.
În absența dispersiei, du/dl = 0, iar viteza grupului este egală cu viteza fazei. Cu o derivată pozitivă du/dl > 0, viteza grupului este mai mică decât viteza fazei, avem un caz numit dispersie normală. Cu du/dl< 0, групповая скорость волн больше фазовой: u >u, acest caz de dispersie se numește dispersie anormală.
Cauzele și mecanismul fenomenului de dispersie pot fi ilustrate simplu și clar prin exemplul trecerii unei unde electromagnetice printr-un mediu dielectric. În ea, un câmp electric alternativ interacționează cu electronii externi legați în atomii unei substanțe. Puterea câmpului electric al unei unde electromagnetice joacă rolul unei forțe motrice periodice pentru un electron, impunându-i o mișcare oscilatorie forțată. După cum am analizat deja, amplitudinea oscilațiilor forțate depinde de frecvența forței motrice și acesta este motivul dispersiei undelor electromagnetice într-o substanță și dependența permitivității unei substanțe de frecvența unei unde electromagnetice. .
Când electronul asociat atomului este deplasat la o distanță x de poziția de echilibru, atomul capătă un moment dipol p = qex, iar proba în ansamblu este un macrodipol cu polarizare P = np = nq ex, unde n este numărul de atomi pe unitate de volum, q e este sarcina electronului.
Din legătura dintre vectori și se poate exprima susceptibilitatea dielectrică a, permeabilitatea e și apoi viteza u a unei unde electromagnetice într-o substanță:
P \u003d e o aE \u003d nq e x Þ a \u003d nq e x / e o E; e \u003d 1 + a \u003d 1 + nq e x / e o E; u = s/Ö(em) » s/Öe (pentru m » 1). Pentru x mic: u = c/Ö(1 + nq e x/e o E) » c/(1 + nq e x/2e o E).
Pe baza celei de-a doua legi a lui Newton pentru un electron legat elastic de un atom și situat într-un câmp electric perturbator E = E m cos wt al unei unde electromagnetice, găsim deplasarea sa x față de poziția de echilibru în atom. Credem că deplasarea x a electronului se modifică conform legii forței motrice, adică x \u003d X m cos wt.
ma = - kx - ru + F out; mx ¢¢ \u003d - kx - rx ¢ + q e E, sau, cu r \u003d 0 Þ x ¢¢ + w aproximativ 2 x \u003d q e E m cos wt / m,
unde w o 2 = k/m este frecvența naturală de oscilație a unui electron legat elastic de un atom.
Înlocuim soluția x = X m cos wt în ecuația diferențială obținută a oscilațiilor forțate ale unui electron:
W 2 x + w o 2 x \u003d q e E m cos wt / m Þ x \u003d q e E m cos wt / \u003d q e E /
Înlocuim expresia rezultată pentru deplasarea x în formula pentru viteza de fază a unei unde electromagnetice:
u » c/(1 + nq e x/2e o E) = c/
La frecvența w = w o viteza de fază u a undei electromagnetice dispare.
La o anumită frecvență w p, la care nq e 2 /me o (w o 2 - w p 2) = - 1, viteza de fază a undei suferă o discontinuitate. Valoarea acestei frecvențe „rezonante” este w p \u003d w o + nq e 2 / me o "10 17 s -1.
Să descriem dependența obținută a vitezei fazei de frecvență și de lungimea de undă. Natura discontinuă a dependenței u(w), numită dispersie, se datorează faptului că am neglijat rezistența mediului și disiparea energiei vibraționale, stabilind coeficientul de rezistență r = 0. Luarea în considerare a frecării duce la netezirea curba de dispersie si eliminarea discontinuitatilor.
Deoarece frecvența w și lungimea de undă l sunt invers proporționale (w = 2pn = 2pс/l), graficul dependenței de dispersie u(l) este invers față de diagrama lui u(w).
În zona de dispersie normală 1 - 2, viteza de fază u este mai mare decât viteza luminii în vid. Acest lucru nu contrazice teoria relativității, deoarece un semnal real (informație, energie) este transmis cu o viteză de grup u, care aici este mai mică decât viteza luminii.
Viteza de grup u = u - l×du/dl depășește viteza luminii c în vid în regiunea de dispersie anormală 2 – 3, unde viteza de fază u scade odată cu creșterea lungimii de undă l și derivata du/dl< 0. Но в области аномальной дисперсии имеет место сильное поглощение, и понятие групповой скорости становится неприменимым.
Curs 16. Concepte de spațiu și timp în fizica modernă. Unificarea spațiului cu timpul în SRT. Relativitatea conceptelor clasice de simultaneitate, lungime și durată.
În 1905, A. Einstein a emis pentru prima dată în sistem teoretic cinematice, adică reprezentări spațiu-timp, „impulsate” de experiența analizării mișcărilor cu viteze mari, așa-zise relativiste (comensurate cu viteza luminii c = 3 × 10 8 m/s în vid).
În mecanica lui Newton, reprezentările spațiu-timp nu au fost evidențiate în mod specific și au fost de fapt considerate evidente, în concordanță cu experiența vizuală a mișcării lente. Totuși, încercările făcute în secolul al XIX-lea de a explica, pe baza acestor idei, trăsăturile propagării unui astfel de obiect relativist precum lumina, au condus la o contradicție cu experiența (experimentul lui Michelson, 1881, 1887 etc.). Analizând situația problemă emergentă, A. Einstein a reușit în 1905 să formuleze două enunțuri fundamentale, numite postulate (principii), în concordanță cu experiența mișcărilor relativiste (de mare viteză). Aceste afirmații, numite postulate ale lui Einstein, au stat la baza teoriei sale speciale (private) a relativității.
1. Principiul relativității lui Einstein: toate legile fizicii sunt invariante în ceea ce privește alegerea cadrului de referință inerțial (ISR), adică în orice IFR, legile fizicii au aceeași formă, nu depind de arbitraritatea subiectului (omului de știință) în alegerea IFR. Sau, cu alte cuvinte, toate ISO-urile sunt egale, nu există ISO privilegiat, ales, absolut. Sau, mai mult, nici un experiment fizic efectuat în interiorul ISO nu poate determina dacă acesta se mișcă cu o viteză constantă sau în repaus. Acest principiu este în concordanță cu principiul obiectivității cunoașterii.
Înainte de Einstein, principiul relativității lui Galileo era cunoscut în mecanică, care era limitat la cadrul doar al fenomenelor și legilor mecanice. Einstein a generalizat-o de fapt la orice fenomene fizice și legi.
2. Principiul invarianței (constanței) și limitării vitezei luminii. Viteza luminii în vid este finită, aceeași în toate IFR-urile, adică nu depinde de mișcarea relativă a sursei de lumină și a receptorului și este viteza limită de transmitere a interacțiunilor. Acest principiu a consolidat în fizică conceptul de interacțiune pe distanță scurtă, care a înlocuit conceptul anterior dominant de interacțiune pe distanță lungă, bazat pe ipoteza transmiterii instantanee a interacțiunilor.
Din cele două principii (postulate) ale lui Einstein urmează cele mai importante pentru cinematică, mai generale decât transformările clasice (galileene), adică formulele pentru relația dintre coordonatele spațiale și temporale x, y, z, t ale aceluiași eveniment. observate din diferite IFR-uri.
Să luăm un caz special de alegere a două IFR-uri, în care unul dintre ele, notat cu (K), se deplasează față de celălalt, notat cu (K ¢), cu o viteză V de-a lungul axei x. La momentul inițial de timp, originile coordonatelor O și O ¢ ale ambelor IFR-uri au coincis, iar axele Y și Y ¢ , precum și Z și Z ¢ , au coincis de asemenea. Pentru acest caz, formulele de transformare pentru coordonatele spațiu-timp ale aceluiași eveniment în trecerea de la un IFR la altul, numite transformări Lorentz, au următoarea formă:
x ¢ \u003d (x - Vt) / Ö (1 - V 2 / s 2); y ¢ = y; z ¢ = z; t ¢ \u003d (t - Vx / s 2) / Ö (1 - V 2 / s 2) -
Transformări directe Lorentz (de la ISO (K) la ISO (K ¢);
x \u003d (x ¢ + Vt ¢) / Ö (1 - V 2 / s 2); y = y ¢; z = z ¢ ; t \u003d (t ¢ + Vx ¢) / Ö (1 - V 2 / s 2) -
Transformări Lorentz inverse (de la ISO (K ¢) la ISO (K).
Transformările Lorentz sunt mai generale decât transformările galileene, pe care le conţin ca caz special, limitativ, valabil la viteze joase, pre-relativiste (u<< с и V << с) движений тел и ИСО. При таких, «классических» скоростях, Ö(1 – V 2 /с 2) » 1, и преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея:
x ¢ \u003d x - Vt; y ¢ = y; z ¢ = z; t ¢ \u003d t și x \u003d x ¢ + Vt ¢; y = y ¢; z = z ¢ ; t = t¢
Într-o asemenea corelare a formulelor de transformare ale lui Lorentz și Galileo își găsește manifestarea un important principiu metodologic al cunoașterii științifice și teoretice, principiul corespondenței. Conform principiului corespondenței, teoriile științifice se dezvoltă dialectic pe calea generalizării treptate - extinderea domeniului lor. În același timp, o teorie mai generală nu o anulează pe cea dintâi, particulară, ci doar îi dezvăluie limitele, conturează limitele și limitele justiției și aplicabilității sale și ea însăși se reduce la ea în zona acestor limite.
Termenul „special” în numele teoriei relativității a lui Einstein înseamnă doar că este el însuși limitat (particular) în raport cu o altă teorie, creată tot de A. Einstein, numită „relativitate generală”. Generalizează teoria relativității speciale la orice, nu numai cadre de referință inerțiale.
O serie de consecințe cinematice decurg din transformările Lorentz, care contrazic conceptele clasice vizuale și dau motive pentru a numi cinematica relativistă și mecanica relativistă în ansamblu teoria relativității.
Ce zici, adică, în funcție de alegerea ISO în SRT? În primul rând, faptul că simultaneitatea a două evenimente, precum și lungimea corpului și durata procesului, se dovedește a fi relativ. În relativist dinamica puterea trece în categoria celor relative, iar pentru unii oameni de știință chiar și masă. Cu toate acestea, trebuie amintit că principalul lucru în orice teorie nu este relativul, ci invariantul (stabil, conservat, neschimbător). Mecanica relativistă, dezvăluind relativitatea unor concepte și mărimi, le înlocuiește cu alte mărimi invariante, cum ar fi, de exemplu, o combinație (tensor) energie-impuls.
1. Relativitatea simultaneității evenimentelor.
Să apară două evenimente în IFR (K), date de coordonatele x 1, y 1, z 1, t 1 și x 2, y 2, z 2, t 2 și t 1 = t 2, adică în IFR (C) aceste evenimente au loc în același timp.
Marele merit al lui Einstein a fost acela de a atrage atenția asupra faptului că în mecanica clasică a lui Galileo - Newton nu s-a determinat deloc modul de fixare a faptului simultaneității a două evenimente situate în locuri diferite. Intuitiv, în conformitate cu principiul acțiunii pe distanță lungă, care presupune o viteză infinită de propagare a interacțiunilor (ceea ce este destul de justificat pentru mișcări lente), s-a considerat evident că distanțarea evenimentelor în spațiu nu poate afecta natura timpului lor. relaţie. Einstein a propus o modalitate riguroasă de a stabili faptul simultaneității locuri diferite evenimente bazate pe plasarea ceasurilor sincronizate în acele locații. El a propus să sincronizeze ceasul cu ajutorul unui semnal real cu cea mai mare viteză - un semnal luminos. Una dintre modalitățile de sincronizare a ceasurilor într-un anumit ISO este următoarea: un ceas situat într-un punct cu coordonata x va fi sincronizat cu un singur centru în punctul 0 - începutul ISO, dacă în acest moment este emis un semnal luminos din punct. 0 la momentul ajunge la ele, ele arată timpul t x \u003d t o + x / c.
Deoarece sincronizarea este efectuată de un semnal care are o viteză extrem de mare, dar nu infinită, ceasurile sincronizate într-un IFR vor fi desincronizate în alte (și în toate celelalte) IFR-uri datorită mișcării lor relative. Consecința acestui fapt este relativitatea simultaneității evenimentelor din diferite locuri și relativitatea intervalelor de timp și spațiu (durate și lungimi).
Formal, această concluzie rezultă din transformările Lorentz după cum urmează:
în ISO (K ¢) evenimentul 1 corespunde timpului t 1 ¢ = (t 1 - Vx 1 / s 2) / Ö (1 - V 2 / s 2), iar evenimentul 2 ® corespunde timpului t 2 ¢ = (t 2 - Vx 2 / s 2) / Ö (1 - V 2 / s 2), astfel încât la t 1 \u003d t 2, t 2 ¢ - t 1 ¢ \u003d [(x 1 - x 2) V / s 2] / Ö(1 - V 2 /s 2), și două evenimente 1 și 2, simultane într-un IFR - în IFR (K), se dovedesc a fi nesimultane în altul (în IFR (K ¢).
În limita clasică (pre-relativistă), pentru V << s, t 2 ¢ – t 1 ¢ » 0, faptul simultaneității a două evenimente devine absolut, ceea ce, după cum am menționat deja, corespunde unei viteze infinite de transmisie a interacțiunilor și unui semnal de sincronizare: с ® ¥ sau с >> V .
În teoria relativistă, simultaneitatea evenimentelor este doar absolută
în cazul special al evenimentelor singulare: la x 1 = x 2 întotdeauna la t 1 = t 2 şi t 1 ¢ = t 2 ¢.
2. Relativitatea lungimii corpurilor (intervale spațiale).
Lasă o tijă de lungime l o \u003d x 2 - x 1.
IFR, în care corpul se află în repaus, se numește propriu-zis pentru acest corp, iar caracteristicile sale, în acest caz, lungimea tijei, sunt numite și proprie.
În ISO (K ¢), în raport cu care tija se mișcă și care se numește ISO de laborator, lungimea tijei l¢ \u003d x 2 ¢ - x 1 ¢ este definită ca diferența dintre coordonatele capetelor tijei, fix simultan de ceasul unui ISO dat, adică la t 1 ¢ = t 2 ¢.
Folosind formulele de transformare Lorentz pentru x 1 și x 2 care conțin timp în ISO hașurat (K ¢), stabilim relația lȘi l ¢ :
x 1 = (x 1 ¢ + Vt 1 ¢) / Ö (1 - V 2 / s 2); x 2 \u003d (x 2 ¢ + Vt 2 ¢) / Ö (1 - V 2 / s 2); Þ x 2 - x 1 \u003d (x 2 ¢ - x 1 ¢) / Ö (1 - V 2 / s 2)
sau in sfarsit: l ¢ = l o Ö (1 - V 2 / s 2) - această formulă exprimă legea conversiei lungimii
(intervale spațiale), conform cărora dimensiunile corpurilor se reduc în sensul deplasării. Acest efect al relativității lungimii corpurilor, contracția lor relativistă în direcția mișcării, este un efect fizic real, nu aparent, dar nu unul dinamic, neasociat cu nicio acțiune de forță care să determine comprimarea și reducerea corpurilor. în mărimea lor. Acest efect este pur cinematic, asociat cu metoda aleasă pentru determinarea (măsurarea) lungimii și a caracterului finit al vitezei de propagare a interacțiunilor. De asemenea, poate fi explicat în așa fel încât conceptul de lungime în SRT a încetat să fie o caracteristică a unui singur corp, de la sine, ci a devenit o caracteristică comună a corpului și a cadrului de referință (precum viteza unui corp, impulsul său, energia cinetică etc.).
Astfel de caracteristici se schimbă pentru diferite organisme în același ISO, ceea ce ne este firesc și familiar. Dar în același mod, deși mai puțin familiare, se schimbă și pentru același corp, dar în ISO-uri diferite. La viteze mici, acest efect al dependenței lungimii corpului de alegerea ISO este practic insesizabil, motiv pentru care nu a atras atenția în mecanica lui Newton (mecanica mișcărilor lente).
O analiză similară a transformărilor Lorentz pentru a clarifica relația dintre duratele a două procese măsurate din IFR-uri diferite, dintre care unul este propriu, adică de ex. se deplasează împreună cu purtătorul procesului și măsoară durata acestuia (diferența dintre momentele de sfârșit și începutul procesului) aproximativ același ceas, duce la următoarele rezultate:
\u003d o (1 - V 2 s 2), unde o este durata proprie a procesului (numărată de același ceas care se mișcă odată cu evenimentele care au loc și - durata procesului același proces, numărat de ceasuri diferite în ISO, în raport cu care purtătorul procesului se mișcă și în momentele începutului și sfârșitului procesului se află în diferitele sale locuri.
Uneori, acest efect este interpretat astfel: ei spun că un ceas în mișcare merge mai lent decât unul staționar și de aici derivă o serie de paradoxuri, în special paradoxul gemenilor. Trebuie remarcat faptul că, datorită egalității tuturor IFR-urilor în SRT, toate efectele cinematice (atât reducerea lungimii în direcția mișcării, cât și dilatarea timpului - durata de mișcare a ceasurilor în raport cu purtătorul procesului) sunt reversibile. Și un bun exemplu al acestei reversibilitati este experiența cu muonii, particule instabile formate ca urmare a interacțiunii cu atmosfera, bombardând-o cu raze cosmice. Fizicienii au fost inițial surprinși de existența acestor particule la nivelul mării, unde ar trebui să se descompună pe parcursul vieții, adică să nu aibă timp să zboare din straturile superioare ale atmosferei (unde se formează) la nivelul mării.
Dar ideea s-a dovedit a fi că fizicienii au folosit pentru prima dată în calculele lor durata de viață intrinsecă a -mezonilor o = 210 -6 s, iar distanța pe care au parcurs-o a fost luată ca una de laborator, adică
l = 20 km. Dar fie în acest caz este necesar să luăm și lungimea (calea parcursă de -mezoni), care se dovedește a fi „redusă”, „scurtată” în funcție de factorul (l –V 2 /s 2) . Sau aveți nevoie nu numai de lungime, ci și de timpul pentru a lua laboratorul, iar acesta crește proporțional cu 1 / (l–V 2 / s 2). Astfel, efectele relativiste ale transformării intervalelor de timp și spațiu le-au permis fizicienilor să facă rost de un experiment real și un fenomen natural.
La viteze mici V cu formula relativistă de transformare a duratelor proceselor se transformă în cea clasică . În consecință, durata în acest caz limită (aproximație) își pierde relativitatea relativistă și devine absolută, adică independentă de alegerea ISO.
Revizuit în SRT și legea adunării vitezelor. Forma sa relativistă (generală) poate fi obținută luând diferențele din expresiile pentru x, x , t și t , în formulele de transformare Lorentz și împărțind dx la dt și dx la dt , adică formând din ele viteze
x = dх/dt și x = dх /dt .
dx \u003d (dx + Vdt ) / (l -V 2 / s 2); dt \u003d (dt + Vdx / s 2) / (l -V 2 / s 2);
dх/dt = (dх + Vdt )/(dt + Vdх /с 2) = (dх /dt + V)/ x = ( x + V)(1 + V x / s 2)
dx \u003d (dx - Vdt) / (l -V 2 / s 2); dt \u003d (dt - Vdx / s 2) / (l -V 2 / s 2);
dx / dt = (dx - Vdt) / (dt - Vdx / s 2) = (dx / dt - V) / x = ( x - V) (1 - V x / s 2) )
Formulele x = ( x + V)(1 + V x /s 2) și x = ( x - V)(1 - V x /s 2) și exprimă
legi relativiste ale adunării vitezelor sau, cu alte cuvinte, ale transformării vitezelor
la trecerea de la ISO (K) la ISO (K ) și invers.
În limita pre-relativista a vitezelor mici c aceste formule se transformă în expresii binecunoscute ale legii clasice (galileene) de adunare a vitezelor: x = x + V și x = x – V.
Este interesant de văzut cum forma relativistă a legii adunării vitezelor este în concordanță cu principiul constanței vitezei luminii în toate IFR-urile. Dacă în IFR (K ) avem viteza x = c și IFR (K ) se mișcă în raport cu IFR (K) tot cu o viteză V = c, atunci în raport cu IFR (K) viteza luminii va fi totuși. fi egal cu c:
x \u003d ( x + V) (1 + V x / s 2) \u003d (s + s) (1 + s s / s 2) \u003d s. Legea clasică a adunării a condus la rezultatul: x = x + V = c + c = 2c, adică a contrazis experiența, deoarece nu conținea
în sine restricţii privind „plafonul” vitezei.
Din teoria electromagnetică macroscopică a lui Maxwell rezultă că indicele absolut de refracție al mediului
unde este constanta dielectrică a mediului, este permeabilitatea magnetică. În regiunea optică a spectrului pentru toate substanțele 1, prin urmare
Din această formulă se relevă unele contradicții cu experiența: valoarea n, fiind o variabilă, rămâne în același timp egală cu o anumită constantă - . În plus, valorile lui n obținute din această expresie nu sunt de acord cu valorile experimentale. Dificultățile de a explica dispersia luminii din punctul de vedere al teoriei electromagnetice a lui Maxwell sunt eliminate de teoria electronilor lui Lorentz. În teoria lui Lorentz, dispersia luminii este considerată ca rezultat al interacțiunii undelor electromagnetice cu particulele încărcate care fac parte din substanță și efectuează oscilații forțate în câmpul electromagnetic alternativ al undei.
Să aplicăm teoria electronică a dispersiei luminii pentru un dielectric omogen, presupunând în mod formal că dispersia luminii este o consecință a dependenței de frecvența undelor luminoase. Permitivitatea unei substanțe este
unde w este susceptibilitatea dielectrică a mediului, 0 este constanta electrică, P este valoarea instantanee a polarizării. Prin urmare,
adică depinde de R. În acest caz, de importanță primordială este polarizarea electronilor, adică oscilațiile forțate ale electronilor sub acțiunea componentei electrice a câmpului de undă, întrucât pentru polarizarea orientativă a moleculelor, frecvența oscilațiilor. într-o undă luminoasă este foarte mare (v 10 15 Hz) .
În prima aproximare, putem presupune că oscilațiile forțate sunt efectuate numai de electroni externi, care sunt cel mai slab conectați cu nucleul - electroni optici. Pentru simplitate, să luăm în considerare oscilațiile unui singur electron optic. Momentul dipol indus al unui electron care efectuează oscilații forțate este egal cu p = ex, unde e este sarcina electronului, x este deplasarea electronului sub acțiunea câmpului electric al undei luminoase. Dacă concentrația de atomi în dielectric este n 0 atunci valoarea instantanee a polarizării
În consecință, problema se reduce la determinarea deplasării x a unui electron sub acțiunea unui câmp extern E. Câmpul unei unde luminoase va fi considerat o funcție a frecvenței w, adică modificându-se conform legii armonice: E = E 0 cost.
Ecuația oscilațiilor forțate ale unui electron pentru cel mai simplu caz (fără a ține cont de forța de rezistență care determină absorbția energiei undei incidente) poate fi scrisă ca
unde F 0 = eE 0 este valoarea amplitudinii forței care acționează asupra electronului din partea câmpului de undă, este frecvența naturală de oscilație a electronului, m este masa electronului. După ce am rezolvat ecuația, găsim = n 2 în funcție de constantele atomului (e, m, 0) și de frecvența câmpului extern, adică vom rezolva problema dispersiei. Soluția ecuației poate fi scrisă ca
Dacă în substanță există sarcini diferite eh care efectuează oscilații forțate cu frecvențe naturale diferite ea0|, atunci
unde m 1 este masa sarcinii i-a.
Din expresii rezultă că indicele de refracție n depinde de frecvența câmpului extern, adică dependențele obținute confirmă într-adevăr fenomenul de dispersie a luminii, deși sub ipotezele de mai sus, care trebuie eliminate în viitor. Din expresii rezultă că în regiunea de la = 0 la = 0 n 2 este mai mare decât unu și crește cu creșterea (dispersia normală); la = 0 n 2 = ± ; în regiunea de la = 0 la = n 2 este mai mic de unu și crește de la - la 1 (dispersie normală). Trecând de la n 2 la n, obținem că dependența lui n de are forma prezentată în Fig. 3.
Acest comportament al lui n aproape de 0 este rezultatul presupunerii că nu există forțe de rezistență în timpul oscilațiilor electronice. Dacă se ia în considerare și această împrejurare, atunci graficul funcției l(co) aproape este dat de linia întreruptă AB. Regiunea AB este regiunea de dispersie anormală (n scade odată cu creșterea), secțiunile rămase ale dependenței lui n de descrie dispersia normală (n crește odată cu creșterea).
Fizicianul rus D.S. Rozhdestvensky (1876-1940) aparține lucrării clasice privind studiul dispersiei anormale în vapori de sodiu. El a dezvoltat o metodă de interferență pentru măsurători foarte precise ale indicelui de refracție al vaporilor și a arătat experimental că formula
caracterizează corect dependența lui n de și a introdus, de asemenea, o corecție care ia în considerare proprietățile cuantice ale luminii și ale atomilor.
Astăzi, cunoașterea cantitativă a structurii electronice a atomilor și moleculelor, precum și a solidelor construite din acestea, se bazează pe studii experimentale ale spectrelor de reflexie optică, absorbție și transmisie și pe interpretarea lor mecanică cuantică. Structura benzii și defectivitatea diferitelor tipuri de solide (conductori, metale, cristale ionice și atomice, materiale amorfe) sunt studiate foarte intens. Compararea datelor obținute în cursul acestor studii cu calculele teoretice a făcut posibilă determinarea în mod fiabil pentru un număr de substanțe a caracteristicilor structurii benzilor de energie și a valorilor intervalelor interbande (band gap E g) din vecinătate. a principalelor puncte și direcții ale primei zone Brillouin. Aceste rezultate, la rândul lor, fac posibilă interpretarea fiabilă a unor proprietăți macroscopice ale solidelor, cum ar fi conductivitatea electrică și dependența sa de temperatură, indicele de refracție și dispersia acestuia, culoarea cristalelor, sticlelor, ceramicii, vitroceramică și variația acesteia sub radiație și efecte termice.
2.4.2.1. Dispersia undelor electromagnetice, indicele de refracție
Dispersia este un fenomen al relației dintre indicele de refracție al unei substanțe și, în consecință, viteza de fază a propagării undei, cu lungimea de undă (sau frecvența) radiației. Astfel, transmiterea luminii vizibile printr-o prismă triedrică de sticlă este însoțită de descompunerea într-un spectru, iar partea violetă cu lungime de undă scurtă a radiației este deviată cel mai puternic (Fig. 2.4.2).
Dispersia se numește normală dacă, pe măsură ce frecvența n(w) crește, crește și indicele de refracție n dn/dn>0 (sau dn/dl<0). Такой характер зависимости n от n наблюдается в тех областях спектра, где среда прозрачна для излучения. Например, силикатное стекло прозрачно для видимого света и обладает в этом интервале частот нормальной дисперсией.
Dispersia se numește anormală dacă, odată cu creșterea frecvenței radiațiilor, indicele de refracție al mediului scade (dn/dn<0 или dn/dl>0). Dispersia anormală corespunde frecvențelor corespunzătoare benzilor optice de absorbție; conținutul fizic al fenomenului de absorbție va fi discutat pe scurt mai jos. De exemplu, pentru sticla cu silicat de sodiu, benzile de absorbție corespund regiunilor ultraviolete și infraroșu ale spectrului, sticla de cuarț în părțile ultraviolete și vizibile ale spectrului are o dispersie normală, iar în infraroșu - anormală.
Orez. 2.4.2. Dispersia luminii în sticlă: a - descompunerea luminii printr-o prismă de sticlă, b - grafice n = n (n) și n = n (l 0) pentru dispersie normală, c - în prezența dispersiei normale și anormale în vizibil și părțile infraroșii ale spectrului, dispersia normală este caracteristică pentru multe cristale de halogenură alcaline, ceea ce determină utilizarea lor largă în dispozitivele optice pentru partea infraroșie a spectrului.
Natura fizică a dispersiei normale și anormale a undelor electromagnetice devine clară dacă luăm în considerare acest fenomen din punctul de vedere al teoriei electronice clasice. Să luăm în considerare un caz simplu de incidență normală a unei unde electromagnetice plane în domeniul optic pe o limită plană a unui dielectric omogen. Electronii unei substanțe asociate cu atomii sub acțiunea unui câmp alternant al unei unde cu putere 
efectuează oscilații forțate cu aceeași frecvență circulară w, dar cu o fază j care diferă de faza undelor. Ținând cont de posibila atenuare a undei într-un mediu cu o frecvență naturală a oscilațiilor electronice w 0 , ecuația oscilațiilor transversale forțate în direcția - direcția de propagare a unei unde polarizate plane - are forma
(2.4.13)
cunoscute din cursul fizicii generale (q și m - sarcina și masa electronului).
Pentru regiunea optică, w 0 » 10 15 s -1 , iar coeficientul de atenuare g poate fi determinat într-un mediu ideal în condiția unei viteze a electronilor nerelativiste (u< La w 0 = 10 15 s -1 valoarea g » 10 7 s -1 . Neglijând etapa relativ scurtă a oscilațiilor instabile, să considerăm o soluție particulară a ecuației neomogene (2.4.13) în stadiul oscilațiilor constante. Cautam o solutie in formular Apoi din ecuația (2.4.13) obținem sau Aici Apoi soluția pentru coordonatele (2.4.15) poate fi rescrisă ca Astfel, oscilațiile armonice forțate ale unui electron apar cu amplitudinea A și sunt înaintea în fază a oscilațiilor în unda incidentă cu un unghi j. În apropierea valorii de rezonanță w = w 0 , dependența lui A și j de w/w 0 prezintă un interes deosebit. Orez. 2.4.3. Grafice ale amplitudinii (a) și fazei (b) ale oscilațiilor electronice în apropierea frecvenței de rezonanță (pentru g » 0,1w 0) În cazuri reale, de obicei g este mai mic decât g » 0,1 w 0 , ales pentru claritate în Fig. 2.4.3, amplitudinea și faza se schimbă mai brusc. Dacă lumina incidentă asupra dielectricului nu este monocromatică, atunci în apropierea rezonanței, la frecvențele w®w 0 , este absorbită, electronii substanței disipă această energie în volum. Așa apar benzile de absorbție în spectre. Lățimea liniei spectrului de absorbție este determinată de formulă
(2.4.14)
(2.4.15)
, unde amplitudinea oscilației este egală cu
(2.4.16)
(2.4.17)
Pe fig. 2.4.3 prezintă graficele dependențelor amplitudinii și fazei în apropierea frecvenței de rezonanță.
