Что называется коэффициентом приведения длины стержня. Формула Эйлера для определения критической силы. Смотреть что такое "длина стержня приведенная" в других словарях

Для нахождения критических напряжений надо вычислить критическую силу , т. е. наименьшую осевую сжимающую силу, способную удержать в равновесии слегка искривленный сжатый стержень.

Эту задачу впервые решил академик Петербургской Академии наук Л. Эйлер в 1744 году.

Заметим, что самая постановка задачи иная, чем во всех ранее рассмотренных отделах курса. Если раньше мы определяли деформацию стержня при заданных внешних нагрузках, то здесь ставится обратная задача: задавшись искривлением оси сжатого стержня, следует определить, при каком значении осевой сжимающей силы Р такое искривление возможно.

Рассмотрим прямой стержень постоянного сечения, шарнирно опертый по концам; одна из опор допускает возможность продольного перемещения соответствующего конца стержня (рис.3). Собственным весом стержня пренебрегаем.

Рис.3. Расчетная схема в «задаче Эйлера»

Нагрузим стержень центрально приложенными продольными сжимающими силами и дадим ему весьма небольшое искривление в плоскости наименьшей жесткости; стержень удерживается в искривленном состоянии, что возможно, так как .

Деформация изгиба стержня предположена весьма малой, поэтому для решения поставленной задачи можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня. Выбрав начало координат в точке А и направление координатных осей, как показано на рис.3, имеем:

(1)

Возьмем сечение на расстоянии х от начала координат; ордината изогнутой оси в этом сечении будет у , а изгибающий момент равен

По исходной схеме изгибающий момент получается отрицательным, ординаты же при выбранном направлении оси у оказываются положительными. (Если бы стержень искривился выпуклостью книзу, то момент был бы положительным, а у - отрицательным и .)

Приведенное только что дифференциальное уравнение принимает вид:

деля обе части уравнения на EJ и обозначая дробь через приводим его к виду:

Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

Это решение заключает в себе три неизвестных: постоянные интегрирования а и b и значение , так как величина критической силы нам неизвестна.

Краевые условия на концах стержня дают два уравнения:

в точке А при х = 0 прогиб у = 0,

В х = 1 у = 0.

Из первого условия следует (так как и cos kx =1)

Таким образом, изогнутая ось является синусоидой с уравнением

(2)

Применяя второе условие, подставляем в это уравнение

у = 0 и х = l

получаем:

Отсюда следует, что или а или kl равны нулю.

Если а равно нулю, то из уравнения (2) следует, что прогиб в любом сечении стержня равен нулю, т. е. стержень остался прямым. Это противоречит исходным предпосылкам нашего вывода. Следовательно, sin kl = 0, и величина может иметь следующий бесконечный ряд значений:

где - любое целое число.

Отсюда , а так как то

Иначе говоря, нагрузка, способная удержать слегка искривленный стержень в равновесии, теоретически может иметь целый ряд значений. Но так как отыскивается, и интересно с практической точки зрения, наименьшее значение осевой сжимающей силы, при которой становится возможным продольный изгиб, то следует принять .

Первый корень =0 требует, чтобы было равно нулю, что не отвечает исходным данным задачи; поэтому этот корень должен быть отброшен и наименьшим корнем принимается значение . Тогда получаем выражение для критической силы:

Таким образом, чем больше точек перегиба будет иметь синусоидально-искривленная ось стержня, тем большей должна быть критическая сила. Более полные исследования показывают, что формы равновесия, определяемые формулами (1), неустойчивы; они переходят в устойчивые формы лишь при наличии промежуточных опор в точках В и С (рис.1).

Рис.1

Таким образом, поставленная задача решена; для нашего стержня наименьшая критическая сила определяется формулой

а изогнутая ось представляет синусоиду

Величина постоянной интегрирования а осталась неопределенной; физическое значение ее выяснится, если в уравнении синусоиды положить ; тогда (т. е. посредине длины стержня) получит значение:

Значит, а - это прогиб стержня в сечении посредине его длины. Так как при критическом значении силы Р равновесие изогнутого стержня возможно при различных отклонениях его от прямолинейной формы, лишь бы эти отклонения были малыми, то естественно, что прогиб f остался неопределенным.

Он должен быть при этом настолько малым, чтобы мы имели право применять приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси, т. е. чтобы было по прежнему мало по сравнению с единицей.

Получив значение критической силы, мы можем сейчас же найти и величину критического напряжения , разделив силу на площадь сечения стержня F ; так как величина критической силы определялась из рассмотрения деформаций стержня, на которых местные ослабления площади сечения сказываются крайне слабо, то в формулу для входит момент инерции поэтому принято при вычислении критических напряжений, а также при составлении условия устойчивости вводить в расчет полную, а не ослабленную, площадь поперечного сечения стержня . Тогда будет равно

Таким образом, если бы площадь сжатого стержня с такой гибкостью была подобрана лишь по условию прочности, то стержень разрушился бы от потери устойчивости прямолинейной формы.

Во всем предыдущем изложении мы определяли поперечные размеры стержней из условий прочности. Однако разрушение стержня может произойти не только потому, что будет нарушена прочность, но и оттого, что стержень не сохранит той формы, которая ему придана конструктором; при этом изменится и характер напряженного состояния в стержне.

Наиболее типичным примером является работа стержня, сжатого силами Р . До сих пор для проверки прочности мы имели условие

Это условие предполагает, что стержень все время, вплоть до разрушения работает на осевое сжатие. Уже простейший опыт показывает, что далеко не всегда возможно разрушить стержень путем доведения напряжений сжатия до предела текучести или до предела прочности материала.

Если мы подвергнем продольному сжатию тонкую деревянную линейку, то она может сломаться, изогнувшись; перед изломом сжимающие силы, при которых произойдет разрушение линейки, будут значительно меньше тех, которые вызвали бы при простом сжатии напряжение, равное пределу прочности материала. Разрушение линейки произойдет потому, что она не сможет сохранить приданную ей форму прямолинейного, сжатого стержня, а искривится, что вызовет появление изгибающих моментов от сжимающих сил Р и, стало быть, добавочные напряжения от изгиба; линейка потеряет устойчивость.

Поэтому для надежной работы конструкции мало, чтобы она была прочна; надо, чтобы все ее элементы были устойчивы : они должны при действии нагрузок деформироваться в таких пределах, чтобы характер их работы оставался неизменным. Поэтому в целом ряде случаев, в частности, для сжатых стержней, помимо проверки на прочность, необходима и проверка на устойчивость. Для осуществления этой проверки надо ближе ознакомиться с условиями, при которых устойчивость прямолинейной формы сжатого стержня нарушается.

Рис.1. Расчетная схема

Возьмем достаточно длинный по сравнению с его поперечными размерами стержень, шарнирно-прикрепленный к опорам (Рис.1), и нагрузим его сверху центрально силой Р , постепенно возрастающей. Мы увидим, что пока сила Р сравнительно мала, стержень будет сохранять прямолинейную форму. При попытках отклонить его в сторону, например путем приложения кратковременно действующей горизонтальной силы, он будет после ряда колебаний возвращаться к первоначальной прямолинейной форме, как только будет удалена добавочная сила, вызвавшая отклонение.

При постепенном увеличении силы Р стержень будет все медленнее возвращаться к первоначальному положению при проверках его устойчивости; наконец, можно довести силу Р до такой величины, при которой стержень, после небольшого отклонения его в сторону, уже не выпрямится, а останется искривленным. Если мы, не удаляя силы Р , выпрямим стержень, он уже, как правило, не сможет сохранить прямолинейную форму. Другими словами, при этом значении силы Р , называемом критическим , мы будем иметь такое состояние равновесия, когда исключается вероятность сохранения стержнем заданной ему прямолинейной формы).

Переход к критическому значению силы Р происходит внезапно ; стоит нам очень немного уменьшить сжимающую силу по сравнению с ее критической величиной, как прямолинейная форма равновесия вновь делается устойчивой.

С другой стороны, при очень небольшом превышении сжимающей силой Р ее критического значения прямолинейная форма стержня делается крайне неустойчивой ; достаточно при этом небольшого эксцентриситета приложенной силы, неоднородности материала по сечению, чтобы стержень искривился, и не только не вернулся к прежней форме, а продолжал искривляться под действием все возрастающих при искривлении изгибающих моментов; процесс искривления заканчивается либо достижением совершенно новой (устойчивой) формы равновесия, либо разрушением.

Исходя из этого, мы должны практически считать критическую величину сжимающей силы эквивалентной нагрузке, «разрушающей» сжатый стержень, выводящей его (и связанную с ним конструкцию) из условий нормальной работы. Конечно, при этом надо помнить, что «разрушение» стержня нагрузкой, превышающей критическую, может происходить при непременном условии беспрепятственного возрастания искривления стержня; поэтому если при боковом выпучивании стержень встретит боковую опору, ограничивающую его дальнейшее искривление, то разрушение может и не наступить.

Обычно подобная возможность является исключением; поэтому практически следует считать критическую сжимающую силу низшим пределом «разрушающей» стержень силы.

Рис.2. Аналогия понятия устойчивости из механики твердого тела

Явление потери устойчивости при сжатии можно по аналогии иллюстрировать следующим примером из механики твердого тела (рис.2). Будем вкатывать цилиндр на наклонную плоскость ab , которая потом переходит в короткую горизонтальную площадку bс и наклонную плоскость обратного направления cd . Пока мы поднимаем цилиндр по плоскости ab , поддерживая его при помощи упора, перпендикулярного к наклонной плоскости, он будет в.состоянии устойчивого равновесия; на площадке bс его равновесие делается безразличным; стоит же нам поместить цилиндр в точку с, как его равновесие сделается неустойчивым— при малейшем толчке вправо цилиндр начнет двигаться вниз.

Описанную выше физическую картину потери устойчивости сжатым стержнем легко осуществить в действительности в любой механической лаборатории на очень элементарной установке. Это описание не является какой-то теоретической, идеализированной схемой, а отражает поведение реального стержня под действием сжимающих сил.

Потерю устойчивости прямолинейной формы сжатого стержня иногда называют «продольным изгибом», так как она влечет за собой значительное искривление стержня под действием продольных сил. Для проверки на устойчивость сохранился и до сих пор термин «проверка на продольный изгиб», являющийся условным, так как здесь речь должна идти не о проверке на изгиб, а о проверке на устойчивость прямолинейной формы стержня.

Установив понятие о критической силе, как о «разрушающей» нагрузке, выводящей стержень из условий его нормальной работы, мы легко можем составить условие для проверки на устойчивость, аналогичное условию прочности.

Критическая сила вызывает в сжатом стержне напряжение, называемое «критическим напряжением» и обозначаемое буквой . Критические напряжения являются опасными напряжениями для сжатого стержня. Поэтому, чтобы обеспечить устойчивость прямолинейной формы стержня, сжатого силами Р , необходимо к условию прочности добавить еще условие устойчивости:

где — допускаемое напряжение на устойчивость, равное критическому, деленному на коэффициент запаса на устойчивость, т. е. .

Для возможности осуществить проверку на устойчивость мы должны показать, как определять и как выбрать коэффициент запаса .

Формула Эйлера для определения критической силы.

Для нахождения критических напряжений надо вычислить критическую силу , т. е. наименьшую осевую сжимающую силу, способную удержать в равновесии слегка искривленный сжатый стержень.

Эту задачу впервые решил академик Петербургской Академии наук Л. Эйлер в 1744 году.

Заметим, что самая постановка задачи иная, чем во всех ранее рассмотренных отделах курса. Если раньше мы определяли деформацию стержня при заданных внешних нагрузках, то здесь ставится обратная задача: задавшись искривлением оси сжатого стержня, следует определить, при каком значении осевой сжимающей силы Р такое искривление возможно.

Рассмотрим прямой стержень постоянного сечения, шарнирно опертый по концам; одна из опор допускает возможность продольного перемещения соответствующего конца стержня (рис.3). Собственным весом стержня пренебрегаем.

Рис.3. Расчетная схема в «задаче Эйлера»

Нагрузим стержень центрально приложенными продольными сжимающими силами и дадим ему весьма небольшое искривление в плоскости наименьшей жесткости; стержень удерживается в искривленном состоянии, что возможно, так как .

Деформация изгиба стержня предположена весьма малой, поэтому для решения поставленной задачи можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня. Выбрав начало координат в точке А и направление координатных осей, как показано на рис.3, имеем:

Возьмем сечение на расстоянии х от начала координат; ордината изогнутой оси в этом сечении будет у , а изгибающий момент равен

По исходной схеме изгибающий момент получается отрицательным, ординаты же при выбранном направлении оси у оказываются положительными. (Если бы стержень искривился выпуклостью книзу, то момент был бы положительным, а у — отрицательным и .)

Приведенное только что дифференциальное уравнение принимает вид:

деля обе части уравнения на EJ и обозначая дробь через приводим его к виду:

Общий интеграл этого уравнения имеет вид.

Таким образом, чем больше точек перегиба будет иметь синусоидально-искривленная ось стержня, тем большей должна быть критическая сила. Более полные исследования показывают, что формы равновесия, определяемые формулами (1), неустойчивы; они переходят в устойчивые формы лишь при наличии промежуточных опор в точках В и С (рис.1).

Рис.1

Таким образом, поставленная задача решена; для нашего стержня наименьшая критическая сила определяется формулой

а изогнутая ось представляет синусоиду

Величина постоянной интегрирования а осталась неопределенной; физическое значение ее выяснится, если в уравнении синусоиды положить ; тогда (т. е. посредине длины стержня) получит значение:

Значит, а — это прогиб стержня в сечении посредине его длины. Так как при критическом значении силы Р равновесие изогнутого стержня возможно при различных отклонениях его от прямолинейной формы, лишь бы эти отклонения были малыми, то естественно, что прогиб f остался неопределенным.

Он должен быть при этом настолько малым, чтобы мы имели право применять приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси, т. е. чтобы было по прежнему мало по сравнению с единицей.

Получив значение критической силы, мы можем сейчас же найти и величину критического напряжения , разделив силу на площадь сечения стержня F ; так как величина критической силы определялась из рассмотрения деформаций стержня, на которых местные ослабления площади сечения сказываются крайне слабо, то в формулу для входит момент инерции поэтому принято при вычислении критических напряжений, а также при составлении условия устойчивости вводить в расчет полную, а не ослабленную, площадь поперечного сечения стержня . Тогда

Таким образом, критическое напряжение для стержней данного материала обратно пропорционально квадрату отношения длины стержня к наименьшему радиусу инерции его поперечного сечения. Это отношение называется гибкостью стержня и играет весьма важную роль во всех проверках сжатых стержней на устойчивость.

Из последнего выражения видно видно, что критическое напряжение при тонких и длинных стержнях может быть весьма малым, ниже основного допускаемого напряжения на прочность . Так, для стали 3 с пределом прочности допускаемое напряжение может быть принято ; критическое же напряжение для стержня с гибкостью при модуле упругости материала будет равно

Таким образом, если бы площадь сжатого стержня с такой гибкостью была подобрана лишь по условию прочности, то стержень разрушился бы от потери устойчивости прямолинейной формы.

Влияние способа закрепления концов стержня.

Формула Эйлера была получена путем интегрирования приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси стержня при определенном закреплении его концов (шарнирно-опертых). Значит, найденное выражение критической силы справедливо лишь для стержня с шарнирно-опертыми концами и изменится при изменении условий закрепления концов стержня.

Закрепление сжатого стержня с шарнирно-опертыми концами мы будем называть основным случаем закрепления. Другие виды закрепления будем приводить" к основному случаю.

Если повторить весь ход вывода для стержня, жестко защемленного одним концом и нагруженного осевой сжимающей силой на другом конце (Рис.2), то мы получим другое выражение для критической силы, а следовательно, и для критических напряжений.

Рис.2. Расчетная схема стержня с жесткозакрепленным одним концом.

Предоставляя право студентам проделать это во всех подробностях самостоятельно, подойдем к выяснению критической силы для этого случая путем следующих простых рассуждений.

Пусть при достижении силой Р критического значения колонна будет сохранять равновесие при слабом выпучивании по кривой АВ . Сравнивая два варианта изгиба видим, что изогнутая ось стержня, защемленного одним концом, находится совершенно в тех же условиях, что и верхняя часть стержня двойной длины с шарнирно-закрепленными концами.

Значит, критическая сила для стойки длиной с одним защемленным, а другим свободным концами будет та,же, что для стойки с шарнирно-опертыми концами при длине :

Если мы обратимся к случаю стойки, у которой оба конца защемлены и не могут поворачиваться (Рис.3), то заметим, что при выпучивании, по симметрии, средняя часть стержня, длиной , будет работать в тех же условиях, что и стержень при шарнирно-опертых концах (так как в точках перегиба С и D изгибающие моменты равны нулю, то эти точки можно рассматривать как шарниры).

Рис.3. Расчетная схема с жесткозакреплеными торцами.

Поэтому критическая сила для стержня с защемленными концами, длиной , равна критической силе для стержня основного случая длиной :

Полученные выражения можно объединить с формулой для критической силы основного случая и записать:

здесь — так называемый коэффициент длины, равный:

Для стержня, изображенного на рис.4, с одним защемленным, а другим шарнирно-опертым концами, коэффициент оказывается примерно равным , а критическая сила:

Рис.4. Потеря устойчивости стержня с одним жесткозакрепленным и другим шарнирно-опорным торцом

Величина называется приведенной (свободной) длиной, при помощи коэффициента длины любой случай устройства опор стержня можно свести к основному; надо лишь при вычислении гибкости вместо действительной длины стержня ввести в расчет приведенную длину . Понятие о приведенной длине было впервые введено профессором Петербургского института инженеров путей сообщения Ф. Ясинским).

На практике, однако, почти никогда не встречаются в чистом виде те закрепления концов стержня, которые мы имеем на наших расчетных схемах.

Вместо шаровых опор обычно применяются цилиндрические шарниры. Подобные стержни следует считать шарнирно-опертыми при выпучивании их в плоскости, перпендикулярной к оси шарниров; при искривлении же в плоскости этих осей концы стержней следует считать защемленными (с учетом оговорок, приведенных ниже для защемленных концов).

В конструкциях очень часто встречаются сжатые стержни, концы которых приклепаны или приварены к другим элементам, часто еще с добавлением в месте прикрепления фасонных листов. Такое закрепление, однако, трудно считать защемлением, так как части конструкции, к которым прикреплены эти стержни, не являются абсолютно жесткими.

Между тем, достаточно возможности уже небольшого поворота опорного сечения в защемлении, чтобы оно оказалось в условиях, очень близких к шарнирному опиранию. Поэтому на практике недопустимо рассчитывать такие стержни, как стойки с абсолютно защемленными концами. Лишь в тех случаях, Когда имеет место очень надежное защемление концов, допускается небольшое (процентов на 10—20) уменьшение свободной длины стержня.

Наконец, на практике встречаются стержни, опирающиеся на соседние элементы по всей плоскости опорных поперечных сечений. Сюда относятся деревянные стойки, отдельно стоящие металлические колонны, притянутые болтами к фундаменту, и т. д. При тщательном конструировании опорного башмака и соединения его с фундаментом можно считать эти стержни имеющими защемленный конец. Сюда же относятся мощные колонны с цилиндрическим шарниром при расчете их на выпучивание в плоскости оси шарнира. Обычно же трудно рассчитывать на надежное и равномерное прилегание плоского концевого сечения сжатого стержня к опоре. Поэтому грузоподъемность таких стоек обычно мало превышает грузоподъемность стержней с шарнирно-опертыми концами.

Значения критических нагрузок могут быть получены в виде формул типа эйлеровой и для стержней переменного сечения, а также при действии нескольких сжимающих сил.

Лекция №23

Тема: «УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ»

Вопросы:

2.

3.

1. Понятие об устойчивости и критической силе

Несущая способность сжатого стержня может оказаться исчерпанной вследствие потери устойчивости, т.е. в результате выпучивания, которое происходит раньше, чем стержень выйдет из строя непосредственно от сжатия.

При малой сжимающей силе, меньшей некоторого критического значения , сжатый стержень находится в устойчивой форме равновесия. Если его вывести из состояния равновесия незначительной горизонтальной силой, а затем эту силу убрать, то он распрямится.

Вторая форма равновесия соответствует случаю, когда
.

При
прямолинейная форма сжатого стержня неустойчива и если вывести его из состояния равновесия, а затем убрать боковую нагрузку, то он полностью не распрямится, т.е. у него будет криволинейная форма равновесия. Такой стержень теряет устойчивость.

Потеря устойчивости весьма опасна с точки зрения прочности стержня и всей конструкции в целом. Незначительные повышения нагрузки вызывают значительные перемещения точек, т.е. изгиб стержня. В результате возникает изгибающий момент и связанные с ним нормальные напряжения. Это может привести к дальнейшему изгибу и разрушению стержня. Изгиб стержня от сжимающей силы называется продольным изгибом. Продольный изгиб может уменьшать несущую способность стержня в десятки раз.

Появление продольного изгиба опасно тем, что при нем происходит очень сильное нарастание прогибов при малом возрастании сжимающей силы. Прогибы и нагрузки связаны между собой нелинейной зависимостью. Быстрое нарастание прогибов вызывает быстрое нарастание напряжений от изгиба, которые в свою очередь приводят к ускорению деформаций и часто к разрушению стержня.

Для тонких (гибких) стержней потеря устойчивости часто наступает при сравнительно небольших сжимающих напряжениях, не являющихся опасными с точки зрения прочности самого материала.

Критическая сила – это наименьшее значение сжимающей силы, при которой стержень теряет устойчивую форму равновесия.

По определению Эйлера, критической силой называется сила, требующаяся для самого малого наклонения колонны.

Потеря устойчивости зачастую является главной причиной катастроф и аварий конструкций.

2. Формула Эйлера для критической силы

Рассмотрим сжатый стержень в критическом состоянии, т.е. когда он слегка прогнулся (см. рис. 1). В произвольном сечении взятом на расстоянии z от левого конца стержня, изгибающий момент от критической силы
равен:

,

где – прогиб стержня.

Знак «минус» взят потому, что стержень изгибается концами вниз. Если бы стержень прогнулся дугой вниз, то момент был бы положительным, но прогиб – отрицательный, и произведение
было бы, все равно, со знаком «минус».

Рис. 1

Согласно формуле
запишем дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня:

(1)

При сжатии стержня вдоль оси, он всегда изгибается относительно той оси, момент инерции относительно которой минимальный. В этом можно убедиться, сжимая линейку. Поэтому в формуле (1) берем минимальный осевой момент инерции сечения. Преобразуем уравнение (1):

;

Обозначив:

(2)

(3)

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение имеет вид:

Для определения произвольных постоянных А и В используем граничные условия.

При z=0; у=0;

Уравнение примет вид:

. (5)

Как видно из уравнения (5), стержень изогнется по синусоиде.

Второе граничное условие:

При z=l ; у=0;

Это условие выполняется в двух случаях:

1)
2)

Первый случай отбрасываем, так как при нем прогибы всех точек равны нулю, т.е. стержень остается прямым.

При втором случае:

Возьмем общий случай:

Возведем в квадрат обе части уравнения:

Вместо подставим его значение из формулы (2):

Принимая
,
и т.д., получим последовательный ряд значений
, которым соответствуют различные искривленные формы равновесия стержня. С точки зрения расчета на устойчивость нас интересует лишь наименьшее значение критической силы, так как уже при этом значении силы стержень теряет устойчивость. Поэтому
и формула принимает вид:

(6)

Критическая сила зависит от способа закрепления концов стержня, поэтому вводится коэффициент – коэффициент приведенной длины (не путать с коэффициентом поперечной деформации). В общем случае формула Эйлера примет вид:

(7)

Значения коэффициента даны на рис. 2

Рис. 2

3. Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского

Формула Эйлера выведена на основании дифференциального уравнения изогнутой оси стержня, которое основано на законе Гука. Закон Гука применим до тех пор, пока напряжение не превысит предела пропорциональности .

При сжатии стержня напряжения определяют по формуле
. Поэтому:

; (8)

или подставив значение
из формулы (7), получим:

;

Из формулы
следует:

,

где
– минимальный радиус инерции сечения.

;

Обозначим:

; (9)

где – гибкость стержня, величина безразмерная.

;

. (10)

Формула (10) позволяет определить значение гибкости стержня, до которого применима формула Эйлера. Например, для стали Ст. 3:
;
.

.

Следовательно, если гибкость равна или больше 100, то формулу Эйлера можно применять, если же меньше то нет.

Если гибкость стержня меньше, чем величина, определяемая по формуле (10), то пользуются формулой Ясинского:

(11)

где а и b – постоянные, зависящие от материала.

При гибкостях до 40 стержни рассчитывают только на прочность.

4. Рациональные формы сечений сжатых стержней

При заданных нагрузке, длине стержня, допускаемом напряжении форма и размеры поперечного сечения сжатого стержня характеризуются величиной радиуса инерции

.

Радиус инерции i – величина размерная. Для сравнения различных сечений между собой более удобной является безразмерная величина следующего вида:

(12)

которую называют удельным радиусом инерции.

В табл. 1 приведены значения
для некоторых, наиболее распространенных сечений.

Таблица 1

Как видим, наименее выгодными являются прямоугольные сплошные сечения, у которых моменты инерции относительно главных осей не равны между собой и, следовательно, не соблюдается принцип равной устойчивости стержня в обеих главных плоскостях инерции.

Наиболее выгодными являются кольцевые, а также коробчатые тонкостенные сечения. Подсчеты показывают, что замена сжатых сечений в виде уголков и двутавров трубчатыми стержнями дает экономию материала до 20-40%.

Формула Эйлера : , где Е – модуль Юнга; – минимальный главный центральный момент инерции поперечного сечения стержня (очевидно, что при потере устойчивости изгиб стержня произойдет в плоскости наименьшей изгибной жесткости); – коэффициент приведения длины, зависящий от формы потери устойчивости; l – длина стержня. Произведение - приведенная длина стержня .

Формула Эйлера для шарнирно-опертого стержня, сжатого по концам

Для шарнирно опертого стержня, сжатого по концам, формула Эйлера для определения : (коэффициент приведения длины ).

Основной случай потери устойчивости – случай, когда при закреплении концов стержня и приложении нагрузки форма потери устойчивости представляет собой одну полуволну синусоиды (рис. 12.2, а).

Некоторые другие способы закрепления концов стержня (нагрузка по-прежнему приложена по торцам) легко могут быть приведены к основному случаю потери устойчивости путем сопоставления формы изогнутой оси с формой потери устойчивости шарнирно опертого стержня.

Формула Эйлера для стержня с защемленным и свободным концами

При потере устойчивости стержень с жестко защемленным одним и свободным другим концом изогнется, как показано на (рис. 12.2, б). Форма потери устойчивости этого стержня представляет собой четверть синусоиды. Приведенная длина равна (полуволна синусоиды имеет длину ), а эйлерова сила в четыре раза меньше, чем для основного случая. Формула Эйлера для стержня с защемленным и свободным концами: .

Формула Эйлера для стержня с защемленными концами

Для стержня, оба конца которого жестко защемлены, форма потери устойчивости такова, что одна полуволна синусоиды занимает половину длины стержня (рис. 12.2, в). Поэтому приведенная длина стержня равна (), а формула эйлеровой нагрузки .

Критической () принято называть истинную, а эйлеровой () – теоретическую нагрузку, при которой происходит потеря .

Формула Эйлера получена из предположения, что в момент потери устойчивости напряжения сжатия в стержне не превышают предела пропорциональности : . Модуль Юнга (Е) в формуле Эйлера свидетельствует о том, что вплоть до момента потери устойчивости выполнялся . Если потеря устойчивости происходит при напряжении меньшем, чем , то .

Для стержней, теряющих устойчивость при напряжении, превышающем предел пропорциональности (), использование формулы Эйлера принципиально неправильно и крайне опасно, поскольку критическая нагрузка (истинная нагрузка, при которой происходит потеря устойчивости) меньше эйлеровой нагрузки: .

Пределы применимости формулы Эйлера

Пределы применимости формулы Эйлера можно установить, предварительно введя понятие гибкости стержня. Определим эйлеровы напряжения , исходя из формулы Эйлера:

.