Тело скатывается с горы как соотносятся значения. Скатывание тел с наклонной плоскости. Скатывание твердого тела с наклонной плоскости
Стерлитамак
Исследование скатывания тел по наклонной плоскости
Цель работы: приобрести некоторые навыки самостоятельного исследования физических явлений и обработки полученных результатов.
Оборудование и принадлежности: наклонная плоскость (трибометр), линейка масштабная, набор тел, весы, секундомер.
Задание. Исследовать скатывание цилиндров и шара по наклонной плоскости.
Примечание: если цилиндр или шар скатывается по наклонной плоскости, расположенной под небольшим углом к горизонту, то скатывание происходит без проскальзывания. Если угол наклона плоскости превысит некоторое предельное значение, то скатывание будет происходить с проскальзыванием.
При выполнении задания необходимо определить тот предельный угол, при котором скатывание тел начнет происходить с проскальзыванием. По результатам исследования составить отчет, в котором отразить методику исследования, предоставить таблицу результатов наблюдений и дать объяснение, почему при угле, превышающем некоторое значение, скатывание тел происходит с проскальзыванием.
Кроме того, в задачу входит определение момента инерции цилиндров и шара no результатам наблюдений скатывания их с наклонной плоскости.
Положим, цилиндр катится по наклонной плоскости без скольжения. На цилиндр действуют внешние силы: сила тяжести , сила трения , и сила реакции со стороны плоскости . Движение рассматриваем как поступательное со скоростью, равной скорости центра масс, и вращательное относительно оси, проходящей через центр масс.
Уравнение для движения центра масс шара (цилиндра)
или в скалярном виде в проекциях:
на ось OX: .
на ось ОУ: 
Уравнение моментов относительно оси
При отсутствии проскальзывания
Найдем ускорение, которое приобретает цилиндр под действием указанных сил. Оно может быть найдено путем использования выражения для кинетической энергии катящегося тела
 ,
| (1) |
где - масса шара (цилиндра), - скорость поступательного движения центра масс, - момент инерции шара, относительно оси вращения, - угловая скорость вращения, относительно оси вращения.
Изменение кинетической энергии тела равно работе внешних сил, действующих на тело. Элементарная работа силы трения и реакции, плоскости равна нулю, т.к. линии действия их проходят через мгновенную ось вращения (). Следовательно, изменение кинетической энергии тела происходит только за счёт работы силы тяжести
где - конечная скорость центра масс в конце наклонной плоскости, - начальная скорость, она равна нулю, поэтому
| , | (6) |
где - время скатывания тела по наклонной плоскости, - радиус шара (цилиндра), - масса шара (цилиндра), - угол наклона плоскости к горизонту, - длина наклонной плоскости.
Измерив указанные выше величины, можно вычислить момент инерции скатывающегося цилиндра. Он может быть сплошным, пустотелым, с канавками на его образующей поверхности и т.д. Формула (9): справедлива и для цилиндров и для шара.
Эксперимент с каждым из тел проводить не менее трех раз. Результаты наблюдений и вычислений занести в таблицу 1.
Таблица 1
| № п/п | Форма скатывающегося тела | Масса , кг | Радиус , м | Длина наклонной плоскости (м) | Время скатывания, с | Момент инерции , кг·м 2 | |||
Определить для каждого случая погрешность при определении .
Определите значение момента инерции для каждого тела теоретически. Сравните значение момента инерции тел определенных теоретически и из эксперимента и в случае их несовпадения объясните причину.
1. Дать определение момента сил. Записать в векторной форме. Как направлен момент сил относительно силы? Что такое радиус-вектор действия силы? Нарисовать и показать на рисунке.
2.Какое направление имеют угловое ускорение, угловая скорость?
3. Дать определение момента инерции материальной точки и абсолютно твердого тела. Физический смысл инерции.
4. Вывести момент инерции шара и цилиндра.
5. Доказать теорему Штейнера.
6. Сформулировать закон сохранения энергии при вращательном движении.
7. Вывести формулу дня расчета кинетической энергии с учетом вращения тела.
8. Вывести закон сохранения момента импульса системы тел.
9. Дать определение центра масс системы теп.
10.Сформулировать условие, при которых тело скатывается без проскальзывания и вывести формулы, используемые в расчете.
11.Сформулировать законы динамики для вращательного движения и вывести их для.материальной точки и для абсолютно твердого тела.
12.Объясните, как рассчитывали погрешность измерений в работе.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФИЛИАЛ ФГБОУ ВПО «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
В ГОРОДЕ СТЕРЛИТАМАКЕ
к лабораторной работе по курсу общей физики
раздел: раздел: «Механика. Механические колебания. Статистическая физика и термодинамика»
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9
Определение коэффициента
внутреннего трения жидкостей
Стерлитамак
Цель работы: определить коэффициент внутреннего трения неизвестной жидкости по методу Стокса.
Приборы и оборудование: стеклянный цилиндр с исследуемой жидкостью, секундомер, шарики разного диаметра, микрометр.
Краткая теория
На всякое тело, двигающееся в вязкой жидкости, действует сила сопротивления. В общем случае величина этой силы зависит от многих факторов: от внутреннего трения жидкости, от формы тела, от характера обтекания и т.д.
Сила внутреннего трения, возникающая при макроскопических движениях в жидкости, прямо пропорциональна градиенту скорости. Коэффициент пропорциональности носит название коэффициента внутреннего трения, или просто вязкости жидкости. Вязкость (или динамическая вязкость) численно равна силе внутреннего трения, действующей на единицу площади границы раздела параллельно движущихся слоев жидкости, когда скорость их движения уменьшается на единицу при перемещении в направлении, перпендикулярном к границе, на единицу длины, т.е.~ при .
 .
| (1) |
Закон (1) был получен Ньютоном из анализа экспериментальных данных и явился основой при изучении движения вязкой жидкости и газа.
Рассмотрим для примера равномерное движение маленького шарика радиуса вжидкости.
Обозначим скорость шарика относительно жидкости через .
Распределение скоростей в соседних слоях жидкости, увлекаемых шариком, должно иметь вид, изображенный на рисунке 1. В непосредственной близости к поверхности шара эта скорость равна , а по мере удаления уменьшается и практически становится равной нулю на некотором расстоянии от поверхности. Очевидно, что чем больше радиус шара, тем больше масса жидкости вовлекается им в движение, и должно быть пропорционально
Поверхность шара и полная сила трения, испытываемая движущимся шаром, равна
Формула (5) носит название закона Стокса.
Формула Стокса применима лишь в случае тел достаточно малых размеров и малых скоростей их движения. При больших скоростях вокруг движущихся тел возникают сложные вихревые движения жидкости, и сила сопротивления возрастает пропорционально квадрату скорости, а не первой его степени.
Роль трения характеризуется безразмерной величиной, называемой числом Рейнольдса :
| , |
где - линейные размеры, характерные для рассматриваемого течения жидкости. В случае течения жидкости по трубе - радиус трубы, - средняя скорость. Отношение называется кинематическим коэффициентом вязкости.
Для того, чтобы пояснить роль числа Рейнольдса, рассмотрим элемент объема жидкости с длиной ребра . Кинетическая энергия этого объема равна:
Сила трения, действующая на элемент объема жидкости, пропорциональна его поверхности , коэффициенту вязкости и градиенту скорости. Полагая, что скорость падает до нуля на расстоянии равном по порядку величины (в случае течения по трубе – в радиальном направлении), получим, что градиент скорости равен . Таким образом, сила трения
Роль трения при течении жидкости мала, если работа мала по сравнению с кинетической энергией объема жидкости , то есть если выполняется неравенство
,
Но - Re есть число Рейнольдса.
Таким образом, роль сил трения при течении жидкости мала при больших числах Рейнольдса.
Рассмотрим свободное падение шарика в вязкой жидкости.На шарик действует 3 силы: сила тяжести, архимедова сила, сила сопротивления, зависящая от скорости. Найдем уравнение движения шарика в жидкости.По второму закону Ньютона
где - объем шарика; - его плотность; - плотность жидкости; - ускорение силы тяжести.
Решая это уравнение, найдем
 .
| (9) |
Как видно из (7), скорость шарика экспоненциально приближается к установившейся скорости . Установление скорости определяется величиной , имеющей размерность времени и называющейся временем релаксации. Если время падения в несколько раз больше времени релаксации, процесс установления скорости можно считать закончившимся.
Измеряя на опыте установившуюся скорость падения шарика и величины , можно определить коэффициент внутреннего трения жидкости по формуле
 ,
| (10) |
следующей из (8).
Указание: шарики с разными радиусами движутся в жидкости с равными скоростями и с разными временами релаксации. Если во всем диапазоне встречающихся скоростей и времен релаксации вычисленные по формуле (10) значения оказываются одинаковыми то формула (5) правильно передает зависимость сил от радиуса шарика. Зависимость или независимость от служит чувствительным индикатором правильности теории и надежности эксперимента. Результаты опыта имеет смысл обрабатывать лишь в том случае, если значение не обнаруживает систематической зависимости от . Если такая зависимость наблюдается, то чаще всего это связано с влиянием стенок сосуда.
3. Что характеризует собой число Рейнольдса?
4. Ламинарное и турбулентное течение и их связь с числом Рейнольдса.
5. Каковы границы применимости закона Стокса?
6. Какие методы определения силы трения существуют?
7. Как объяснить механизм явления вязкого трения?
8. От каких физических величин зависит трение?
9. Какие преобразования энергии происходят при движении тел с учетом силы трения?
10. Чему равна величина силы трения покоя, скольжения?
11. Расскажите о трении скольжения, покоя, вязкого трения и трения качения.
12. Почему трение скольжения больше трения качения?
13. Почему вязкое трение меньше трения скольжения?
14. Как трение проявляется в природе? Когда оно играет положительную, отрицательную роль? Как избавиться от трения?
1) Трофимова Т.И. Курс физики: учебное пособие для инженерно-технических специальностей вузов - М.: Academia, 2006.
2) Александров И.В. и др. Современная физика [Электронный ресурс]: учебное пособие для студентов всех форм обучения, обучающихся по техническим и технологическим направлениям и специальностям - Уфа: УГАТУ, 2008.
3) Гринкруг М.С., Вакулюк А.А. Лабораторный практикум по физике [Электронный ресурс] - СПб: Лань, 2012.
4) Калашников Н. П. Основы физики: учебник для вузов: в 2-х т / Н. П. Калашников, М. А. Смондырев - М.: Дрофа, 2007.
Твердого тела, то есть движение, при котором точки тела описывают траектории, лежащие в параллельных плоскостях. Пример такого движения - вращение колеса автомобиля при его движении по прямой. Можно взять любую точку 0 тела и мысленно провести через нее ось вращения перпендикулярно плоскостям, в которых лежат траектории точек тела. Тогда ось вращения будет двигаться поступательно, оставаясь все время параллельной самой себе.
Видео 7.2. Плоское движение твердого тела в однородном поле тяжести. Полет плоской картонной фигуры
Соответственно, скорость элементарной массы твердого тела складывается из скорости поступательного движения точки 0 и линейной скорости вращения вокруг связанной с ней (мысленно проведенной) оси:
где - радиус-вектор, определяющий положение элементарной массы по отношению к точке 0 .
Кинетическая энергия элементарной массы равна тогда:
Векторное произведение
имеет модуль, равный , где - расстояние массы от оси вращения. Следовательно, третье слагаемое в скобках равно . Второе слагаемое, представляющее собой смешанное произведение векторов, не меняется при циклической перестановке сомножителей:
В результате получим для кинетической энергии элемента твердого тела следующее выражение
Для нахождения кинетической энергии тела просуммируем по всем элементарным массам:
Сумма элементарных масс
есть масса твердого тела. Выражение
где - радиус-вектор центра масс тела относительно точки 0 .
Есть момент инерции тела относительно оси вращения. Поэтому для кинетической энергии твердого тела можно записать формулу:
Поскольку выбор мысленной оси вращения всецело в нашей власти, мы упростим полученное выражение, взяв в качестве точки 0 центр масс тела. Тогда = 0 и кинетическая энергия тела при плоском движении равна
Здесь - скорость движения центра масс, a - момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс и ортогональной плоскости, где лежат траектории точек тела. Таким образом, кинетическая энергия твердого тела при плоском движении слагается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела.
Движение твердого тела определяется действующими на тело внешними силами и моментами этих сил
Индекс в обозначениях для момента внешней силы означает проекцию момента на ось вращения.
В следующих примерах мы имеем дело с плоским движением.
Видео 7.3. Зависимость поведения цилиндров на наклонной плоскости от характера распределение массы по их объему
Пример 1 . Круглое однородное тело (обруч, цилиндр, шар) радиусом и массой скатывается без скольжения по наклонной плоскости под углом к горизонту с высоты (рис. 7.12). Начальная скорость тела равна нулю. Найдем скорость центра масс каждого тела в конце спуска.
Рис. 7.12. Скатывание тела с наклонной плоскости
Рассмотрение данной задачи можно вести двумя способами.
1-й способ . По условию тело катится без проскальзывания. Это условие используется у нас дважды. Сила трения между телом и плоскостью действует в точке соприкосновения и в отсутствие скольжения не превышает своего максимального значения:
где - коэффициент трения скольжения.
Оси координат удобно направить следующим образом: ось х - вдоль движения, ось у - перпендикулярно наклонной плоскости. Тело движется под действием трех сил: силы тяжести , силы трения и силы нормального давления , так что уравнение поступательного движения центра инерции тела имеет вид:
Вдоль оси у тело не движется. Проецируя уравнение движения центра масс на ось у , получаем для силы нормального давления соотношение:
Проекция уравнения движения на ось х дает:
Так как линейная скорость точек соприкосновения цилиндра с наклонной плоскостью равна нулю (опять используем условие отсутствия проскальзывания), то скорость (ускорение) поступательного движения связаны с угловой скоростью (угловым ускорением) тела обычными соотношениями:
Кроме поступательного движения, тело еще и вращается. Вращение удобно описывать относительно оси z, проходящей через центр масс цилиндра.
Выбор этот обусловлен тем, что линии действия силы тяжести и силы нормального давления плоскости проходят через ось вращения и, следовательно, моменты этих сил равны нулю. Таким образом, цилиндр вращается только под действием силы трения, и уравнение вращательного движения имеет вид:
Таким образом, получается система 4-х уравнений, описывающих поступательное и вращательное движение с дополнительным неравенством, выражающим закон трения. Решая систему уравнений, находим:
Чем больше момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, тем меньше ускорение тела. Мы уже получили ответ на один из вопросов задачи: шар будет двигаться быстрее цилиндра, а цилиндр - быстрее обруча. Подставляя решение для силы трения в неравенство, выражающее закон трения, находим условие, при котором будет отсутствовать проскальзывание:
Смысл этого условия прост: наклон не должен быть слишком крут.
Итак, центр масс тела движется вдоль плоскости с постоянным ускорением a , так что зависимость пройденного пути и скорости от времени имеет вид:
Отсюда следует связь скорости и пройденного пути:
К концу спуска тело проходит путь
так что его скорость достигает величины
Подставляя сюда моменты инерции обруча (), цилиндра () и шара (), находим соответственно:
2-й способ . Используем закон сохранения полной энергии. В конце спуска тело приобретает кинетическую энергию
Эта кинетическая энергия приобретена за счет потенциальной энергии . Отсюда следует найдено выше выражение для скорости тела в конце спуска. Такой способ намного короче, но он не позволяет узнать детали процесса: действующие на тело силы и т.п.
В рассмотренном выше примере мы считали примере мы имели дело со случаем, когда проскальзывание отсутствовало. Это позволило утверждать простую связь () между угловой и линейной скоростями тела и его радиусом. Сила трения покоя находилась при этом в результате решения уравнений движения. В случае, когда тело движется с проскальзыванием, заранее известной связи между линейной и угловой скоростями нет. Зато мы заранее знаем силу трения: раз точка соприкосновения тела с поверхностью скользит по поверхности, сила трения есть сила трения скольжения,модуль которой связан с силой нормального давления законом Амонтона - Кулона.
Силы трения, как уже говорилось, направлены так, чтобы препятствовать относительному проскальзыванию соприкасающихся тел. Часто путают это возможное проскальзывание с осуществляемым поступательным движением. Необходимо четко понимать, что не редки случаи, когда сила трения не тормозит, но ускоряет тело, то есть направлена по его движению. Самый известный пример - трогание автомобиля с места. Колеса начинают вращаться и проскальзывают по земле назад. Соответственно, сила трения направлена вперед, и именно она заставляет автомобиль трогаться. Чтобы ближе познакомиться с подобными случаями, рассмотрим пример.
Пример 2 . Цирковой артист бросает на арену обруч массой и радиусом , который начинает катиться в горизонтальном направлении со скоростью (рис. 7.13). При этом обручу придано обратное вращение с угловой скоростью . Найдем, при какой угловой скорости обруч после остановки покатится назад к артисту, а также конечную скорость поступательного движения обруча.
Рис. 7.13. Движение обруча с обратным вращением
При обратном вращении обруча точка его касания с ареной движется вперед как из-за вращения, так и из-за поступательного движения обруча. Поэтому неизбежно существует проскальзывание и, значит, сила трения достигает своего максимального значения. Она тормозит как поступательное движение, так и вращение обруча. Может случиться так, что поступательное движение обруча будет остановлено в тот момент, когда он еще сохраняет обратное вращение. Далее сила трения начнет ускорять обруч по направлению к артисту. Ускорение это прекратится, когда исчезнет тенденция к проскальзыванию, после чего обруч покатится назад равномерно с некоторой установившейся скоростью . Может, однако, случиться и так, что раньше будет остановлено обратное вращение, и тогда обруч сохранит поступательное движение вперед, изменив направление вращения на прямое. Чтобы различить эти два случая, качественных рассуждений недостаточно, и мы обратимся к формулам.
Направим ось ОХ направо (в направлении красной стрелки на рис. 7.13), ось вращения ОZ направим на нас (см. следующий пример, там эту ось удобнее направить от нас, то есть за чертеж), то есть в направлении «обратного» вращения, ось OY направим как обычно, вверх. Плоское движение обруча представим как суперпозицию его поступательного движения вместе с центром масс (геометрическим центром, поскольку обруч предполагается однородным). Спроектируем линейные и угловые скорости на соответствующие оси. Тогда, до тех пор, пока сила трения есть сила трения скольжения и направлена она налево, уравнения движения имеют вид
Уравнение (7.3.1) описывает движение центра масс обруча, а уравнение (7.3.2) его вращение вокруг оси проходящей через центр масс в той системе отсчета, в которой она покоится (системе центра масс). В (7.3.2) учтено, что момент инерции однородного обруча относительно его оси симметрии равен . После элементарного интегрирования получаем
Поступательное движение прекратится, то есть станет равным нулю, в момент времени
Вращение прекратится, то есть станет равным нулю,в момент времени
Их отношение
может быть любым ввиду независимости начальных скоростей поступательного и вращательного движений.
Для дальнейшего анализа введем в рассмотрение скорость нижней точки обруча - той его точки, которая касается поверхности арены. Отметим уже здесь, что условием исчезновения проскальзывания является обращение в ноль скорости именно этой точки, потому что скорость соответствующей точки на поверхности арены (той, которой касается обруч) очевидным образом в нашей системе отсчета, где арена неподвижна, равна нулю. Отсутствие проскальзывания это и есть неподвижность этих двух точек относительно друг друга. При выбранном направлении осей OZ и OX , имеем
Если , то первым прекратится поступательное движение обруча. В момент времени скорости (7.3.3) и (7.3.8) будут иметь значения
Нижняя точка обруча, за счет продолжающегося вращения, будет по-прежнему скользить относительно арены направо (направо на рисунке 7.13), сила трения скольжения сохранит свою величину и направление налево. Соответственно, центр обруча начнет ускорятся налево, то есть станет меньше нуля и начнет расти по модулю, вращение против часовой стрелки (на рисунке 7.13) будет продолжать замедлятся. Другими словами, при обруч в момент времени (7.3.5) начинает возвращаться к бросившему его артисту.
Как следует из (7.3.8), в момент времени
скорость нижней точки обруча из (7.3.8) обращается в ноль, проскальзывание прекращается, сила трения скольжения скачком сменяется равной нулю силой трения покоя (силой трения качения пренебрегаем) и обруч начинает катится к артисту с постоянной скоростью движения центра масс
вращаясь против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью
Если , то первым, в момент времени (7.3.6), прекратится вращение обруча. В момент времени скорость (7.3.8) нижней точки обруча будет равна скорости его центра и положительна:
Скольжение остается, сила трения скольжения сохраняет свою величину и направление налево, но обруч под действием этой силы трения скольжения начинает вращаться по часовой стрелке (напоминаем: налево, направо, по или против часовой стрелки - на рисунке 10). В результате этого скорость центра масс (центра обруча) будет уменьшаться, скорость вращения увеличиваться, в момент времени
проскальзывание обруча прекратится и обруч начнет равномерно удаляться от артиста со скоростью центра (7.3.10) и угловой скоростью вращения (7.3.11). Напомним, что в этом случае , так что а
Таким образом, ответ на вопрос: "Вернется обруч или укатится?" определяется начальными условиями, а конкретнее величиной параметра , который имеет простой физический смысл: это отношение модуля
скорости любой точки обруча за счет его поступательного движения вместе с центром масс к модулю скорости той же точки за счет вращения обруча вокруг оси, проходящей через его центр масс, в начальный момент времени.
Динамика и кинематика - это два важных раздела физики, которые изучают законы перемещения объектов в пространстве. Первый рассматривает действующие на тело силы, второй же занимается непосредственно характеристиками динамического процесса, не вникая в причины того, что его вызвало. Знание этих разделов физики необходимо применять для успешного решения задач на движение по наклонной плоскости. Рассмотрим этот вопрос в статье.
Основная формула динамики
Конечно же, речь идет о втором законе, который постулировал Исаак Ньютон в XVII веке, изучая механическое движение твердых тел. Запишем его в математической форме:
Действие внешней силы F¯ вызывает появление линейного ускорения a¯ у тела с массой m. Обе векторные величины (F¯ и a¯) направлены в одну и ту же сторону. Сила в формуле является результатом действия на тело всех сил, которые присутствуют в системе.
В случае движения вращения второй закон Ньютона записывается в виде:
Здесь M и I - и инерции, соответственно, α - угловое ускорение.
Формулы кинематики
Решение задач на движение по наклонной плоскости требует знания не только главной формулы динамики, но и соответствующих выражений кинематики. Они связывают в равенства ускорение, скорость и пройденный путь. Для равноускоренного (равнозамедленного) прямолинейного движения применяются следующие формулы:
S = v 0 *t ± a*t 2 /2
Здесь v 0 - значение начальной скорости тела, S - пройденный за время t путь вдоль прямолинейной траектории. Знак "+" следует поставить, если скорость тела увеличивается с течением времени. В противном случае (равнозамедленное движение) следует использовать в формулах знак "-". Это важный момент.
Если движение осуществляется по круговой траектории (вращение вокруг оси), тогда следует использовать такие формулы:
ω = ω 0 ± α*t;
θ = ω 0 *t ± α*t 2 /2
Здесь α и ω - и скорость, соответственно, θ - угол поворота вращающегося тела за время t.
Линейные и угловые характеристики друг с другом связаны формулами:
Здесь r - радиус вращения.
Движение по наклонной плоскости: силы
Под этим движением понимают перемещение некоторого объекта вдоль плоской поверхности, которая наклонена под определенным углом к горизонту. Примерами может служить соскальзывание бруска по доске или качение цилиндра по металлическому наклоненному листу.
Для определения характеристик рассматриваемого типа движения необходимо в первую очередь найти все силы, которые действуют на тело (брусок, цилиндр). Они могут быть разными. В общем случае это могут быть следующие силы:
- тяжести;
- реакции опоры;
- и/или скольжения;
- натяжение нити;
- сила внешней тяги.
Первые три из них присутствуют всегда. Существование последних двух зависит от конкретной системы физических тел.
Чтобы решать задачи на перемещение по плоскости наклонной необходимо знать не только модули сил, но и их направления действия. В случае, если тело по плоскости скатывается, сила трения неизвестна. Однако она определяется из соответствующей системы уравнений движения.
Методика решения
Решения задач данного типа начинается с определения сил и их направлений действия. Для этого в первую очередь рассматривают силу тяжести. Ее следует разложить на два составляющих вектора. Один из них должен быть направлен вдоль поверхности наклонной плоскости, а второй должен быть ей перпендикулярен. Первая составляющая силы тяжести, в случае движения тела вниз, обеспечивает его линейное ускорение. Это происходит в любом случае. Вторая равна Все эти показатели могут иметь различные параметры.
Сила трения при движении по наклонной плоскости всегда направлена против перемещения тела. Если речь идет о скольжении, то вычисления довольно просты. Для этого следует использовать формулу:
Где N - реакция опоры, µ - коэффициент трения, не имеющий размерности.
Если в системе присутствуют только указанные три силы, тогда их результирующая вдоль наклонной плоскости будет равна:
F = m*g*sin(φ) - µ*m*g*cos(φ) = m*g*(sin(φ) - µ*cos(φ)) = m*a
Здесь φ - это угол наклона плоскости к горизонту.
Зная силу F, можно по закону Ньютона определить линейное ускорение a. Последнее, в свою очередь, используется для определения скорости движения по наклонной плоскости через известный промежуток времени и пройденного телом расстояния. Если вникнуть, то можно понять, что все не так уж и сложно.
В случае, когда тело скатывается по наклонной плоскости без проскальзывания, суммарная сила F будет равна:
F = m*g*sin(φ) - F r = m*a
Где F r - Она неизвестна. Когда тело катится, то сила тяжести не создает момента, поскольку приложена к оси вращения. В свою очередь, F r создает следующий момент:
Учитывая, что мы имеем два уравнения и две неизвестных (α и a связаны друг с другом), можно легко решить эту систему, а значит, и задачу.
Теперь рассмотрим, как использовать описанную методику при решении конкретных задач.
Задача на движение бруска по наклонной плоскости
Деревянный брусок находится в верхней части наклонной плоскости. Известно, что она имеет длину 1 метр и располагается под углом 45 o . Необходимо вычислить, за какое время брусок опустится по этой плоскости в результате скольжения. Коэффициент трения принять равным 0,4.
Записываем закон Ньютона для данной физической системы и вычисляем значение линейного ускорения:
m*g*(sin(φ) - µ*cos(φ)) = m*a =>
a = g*(sin(φ) - µ*cos(φ)) ≈ 4,162 м/с 2
Поскольку нам известно расстояние, которое должен пройти брусок, то можно записать следующую формулу для пути при равноускоренном движении без начальной скорости:
Откуда следует выразить время, и подставить известные значения:
t = √(2*S/a) = √(2*1/4,162) ≈ 0,7 с
Таким образом, время движения по наклонной плоскости бруска составит меньше секунды. Заметим, что полученный результат от массы тела не зависит.
Задача со скатывающимся по плоскости цилиндром
Цилиндр радиусом 20 см и массой 1 кг помещен на наклонную под углом 30 o плоскость. Следует вычислить его максимальную линейную скорость, которую он наберет при скатывании с плоскости, если ее длина составляет 1,5 метра.
Запишем соответствующие уравнения:
m*g*sin(φ) - F r = m*a;
F r *r = I*α = I*a/r
Момент инерции I цилиндра вычисляется по формуле:
Подставим это значение во вторую формулу, выразим из нее силу трения F r и заменим полученным выражением ее в первом уравнении, имеем:
F r *r = 1/2*m*r 2 *a/r = >
m*g*sin(φ) - 1/2*m*a = m*a =>
a = 2/3*g*sin(φ)
Мы получили, что линейное ускорение не зависит от радиуса и массы скатывающегося с плоскости тела.
Зная, что длина плоскости составляет 1,5 метра, найдем время движения тела:
Тогда максимальная скорость движения по наклонной плоскости цилиндра будет равна:
v = a*t = a*√(2*S/a) = √(2*S*a) = √(4/3*S*g*sin(φ))
Подставляем все известные из условия задачи величины в конечную формулу, получаем ответ: v ≈ 3,132 м/c.
С тем, чтобы проиллюстрировать применение законов динамики твёрдого тела, решим задачу о скатывании цилиндра с наклонной плоскости (рис. 10.5).
Сплошной цилиндр массы m и радиуса R скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости. Угол наклона плоскости - a, а высота Н (Н » R ). Начальная скорость цилиндра равна нулю. Определим время скатывания - Т и скорость центра масс цилиндра у основания наклонной плоскости.
При качении цилиндра на него действуют три силы: сила тяжести , упругая сила реакции опоры и сила трения покоя (ведь качение без проскальзывания!).
Представим это движение суммой двух движений: поступательного со скоростью V C , с которой движется ось цилиндра, и вращательного вокруг оси цилиндра с угловой скоростью w.
Рис. 10.5
Эта связь скоростей поступательного и вращательного движений следует из условия «движение без проскальзывания».
Продифференцировав уравнение (10.9) по времени, получим соотношение углового и линейного ускорений цилиндра:
То есть .
Воспользовавшись теоремой о движении точки центра масс, опишем поступательное движение цилиндра:
Для описания вращения воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения:
M C = I C × e. (10.11)
Спроецировав уравнение (10.10) на направления осей x и y , получим два скалярных уравнения:
x : mg Sina – F тр = ma C ; (10.12)
y : N – mg сosa = 0. (10.13)
Обратимся теперь к уравнению (10.11). Из трёх названных сил момент относительно оси цилиндра создаёт только сила трения:
Момент инерции сплошного цилиндра относительно его оси равен (см. лекцию №9):
Учитывая всё это, уравнение (10.11) перепишем так:
Решая совместно уравнения (10.12) и (10.14), получим следующие значения неизвестных величин:
Из уравнения (10.15) следует, что с увеличением угла наклона a должна возрастать и сила трения покоя F тр. Но, как известно, её рост ограничен предельным значением:
Так как сила трения покоя (10.15) не может превышать предельного значения (10.17), то должно выполняться неравенство:
⅓mg Sina ≤ mmg Cosa.
Отсюда следует, что скатывание будет происходить без проскальзывания до тех пор, пока угол a не превзойдёт значения a пред:
a пред = arctg3m.
Здесь m - коэффициент трения цилиндра по плоскости.
Линейное ускорение цилиндра (10.16) величина неизменная, следовательно, поступательное движение цилиндра равноускоренное. При таком движении без начальной скорости цилиндр достигнет основания наклонной плоскости за время:
Здесь: l = - длина плоскости;
a =, (см.10.16).
Значит, время скатывания:
Вычислим конечную скорость поступательного движения оси цилиндра:
Заметим, что эту задачу можно решить проще, воспользовавшись законом сохранения механической энергии.
В системе, правда, присутствует сила трения, но её работа равна нулю, поскольку точка приложения этой силы в процессе спуска остаётся неподвижной: ведь движение происходит без проскальзывания. Раз нет работы силы трения, механическая энергия системы не меняется.
Рассмотрим энергию цилиндра в начальный момент - на высоте h и в конце спуска. Полная энергия цилиндра в этих положениях одинакова:
Вспомним, что и . Тогда уравнение закона сохранения энергии можно переписать так:
Отсюда легко найдём конечную скорость цилиндра:
которая блестяще подтверждает полученный нами ранее результат (10.19).
Лекция 11 «Элементы механики жидкости»
План лекции
1. Давление жидкости. Законы гидростатики.
2. Стационарное течение жидкости. Уравнение неразрывности потока.
3. Основной закон динамики для идеальной жидкости. Уравнение Бернулли.
4. Применение уравнения Бернулли для решения задач гидродинамики.
4.1. Истечение жидкости из сосуда.
4.2. Манометрический расходомер.
