Приведенная длина стержня равна. Научная электронная библиотека. Формула Эйлера для стержня с защемленным и свободным концами

Продольный изгиб

При расчетах на прочность подразумевалось , что равновесие конструкции под действием внешних сил является устойчивым . Однако выход конструкции из строя может произойти из-за того, что равновесие конструкций в силу тех или иных причин окажется неустойчивым . Во многих случаях, кроме проверки прочности, необходимо производить еще проверку устойчивости элементов конструкций.

Состояние равновесия считается устойчивым , если при любом возможном отклонении системы от положения равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть её в первоначальное положение.

Рассмотрим известные виды равновесия.

Неустойчивое равновесное состояние будет в том случае, когда хотя бы при одном из возможных отклонений системы от положения равновесия возникнут силы, стремящиеся удалить её от начального положения.

Состояние равновесия будет безразличным , если при разных отклонениях системы от положения равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть её в начальное положение, но хотя бы при одном из возможных отклонений система продолжает оставаться в равновесии при отсутствии сил, стремящихся вернуть её в начальное положение или удалить от этого положения.

При потере устойчивости характер работы конструкции меняется, так как этот вид деформации переходит в другой, более опасный, способный привести её к разрушению при нагрузке значительно меньшей, чем это следовало из расчета на прочность . Очень существенно, что потеря устойчивости сопровождается нарастанием больших деформаций , поэтому явление это носит характер катастрофичности.

При переходе от устойчивого равновесного состояния к неустойчивому конструкция проходит через состояние безразличного равновесия. Если находящейся в этом состоянии конструкции сообщить некоторое небольшое отклонение от начального положения, то по прекращении действия причины, вызвавшей это отклонение, конструкция в исходное положение уже не вернется, но будет способна сохранить приданное ей, благодаря отклонению, новое положение.

Состояние безразличного равновесия, представляющее как бы границу между двумя основными состояниями – устойчивым и неустойчивым, называется критическим состоянием. Нагрузка, при которой конструкция сохраняет состояние безразличного равновесия, называется критической нагрузкой .

Эксперименты показывают, что обычно достаточно немного увеличить нагрузку по сравнению с её критическим значением, чтобы конструкция из-за больших деформаций потеряла свою несущую способность, вышла из строя. В строительной технике потеря устойчивости даже одним элементом конструкции вызывает перераспределение усилий во всей конструкции и нередко влечет к аварии.

Изгиб стержня,связанный с потерей устойчивости, называется продольным изгибом .

Критическая сила. Критическое напряжение

Наименьшая величина сжимающей силы, при которой первоначальная форма равновесия стержня – прямолинейная становится неустойчивой – искривленной, называется критической.

При исследовании устойчивости форм равновесия упругих систем первые шаги были сделаны Эйлером .

В упругой стадии деформирования стержня при напряжениях, не превышающих предел пропорциональности , критическая сила вычисляется по формуле Эйлера :

где I min – минимальный момент инерции сечения стержня (обусловлено тем, что изгиб стержня происходит в плоскости с наименьшей жесткостью), однако исключения могут быть только в случаях, когда условия закрепления концов стержня различны в разных плоскостях, ℓ - геометрическая длина стержня, μ – или (зависит от способов закрепления концов стержня), Значения μ приведены под соответствующей схемой закрепления стержней

Критическое напряжение вычисляется следующим образом

, где гибкость стержня,

а радиус инерции сечения.

Введем понятие предельной гибкости .

Величина λ пред зависит только от вида материала:

Если у стали 3 Е =2∙10 11 Па, а σ пц =200МПа , то предельная гибкость

Для дерева (сосна, ель) предельная гибкость λпред=70, для чугуна λпред=80

Таким образом, для стержней большой гибкости λ≥λ пред критическая сила определяется по формуле Эйлера.

В упругопластической стадии деформирования стержня, когда значение гибкости находится в диапазоне λ 0 ≤λ≤λ пр, (стержни средней гибкости) расчет проводится по эмпирическим формулам , например, можно использовать формулу Ясинского Ф.С. Значения введенных в нее параметров определены эмпирически для каждого материала.

σ к =а-bλ, или F кр = A (a — b λ)

где a и b – постоянные, определяемые экспериментальным путем ().Так, для стали3 а =310МПа, b =1,14МПа.

При значениях гибкости стержня 0≤λ≤λ 0 (стержни малой гибкости) потеря устойчивости не наблюдается.

Таким образом, пределы применимости формулы Эйлера — применяется только в зоне упругих деформаций.

Условие устойчивости. Типы задач при расчете на устойчивость.

Условием устойчивости сжатого стержня является неравенство:

Здесь допускаемое напряжение по устойчивости [σуст ] — не постоянная величина , как это было в условиях прочности, а зависящая от следующих факторов :

1) от длины стержня, от размеров и даже от формы поперечных сечений,

2) от способа закрепления концов стержня,

3) от материала стержня.

Как и всякая допускаемая величина, [σуст ] определяется отношением опасного для сжатого стержня напряжения к коэффициенту запаса. Для сжатого стержня опасным является так называемое критическое напряжение σкр , при котором стержень теряет устойчивость первоначальной формы равновесия .

Поэтому

Величину коэффициента запаса в задачах устойчивости принимают несколько большей, чем значение , то есть если k =1÷2, то k уст =2÷5 .

Допускаемое напряжение по устойчивости можно связать с допускаемым напряжением по прочности:

В этом случае ,

где σт – опасное с точки зрения прочности напряжение (для пластичных материалов это предел текучести, а для хрупких – предел прочности на сжатие σвс ).

Коэффициент φ<1 и потому называется коэффициентом снижения основного допускаемого напряжения , то есть [σ] по прочности , или иначе

С учетом сказанного условие устойчивости сжатого стержня принимает вид:

Численные значения коэффициента φ выбираются из таблиц в зависимости от материала и величины гибкости стержня , где:

μ – коэффициент приведенной длины (зависит от способов закрепления концов стержня), ℓ - геометрическая длина стержня,

i – радиус инерции поперечного сечения относительно той из главных центральных осей сечения, вокруг которой будет происходить поворот поперечных сечений после достижения нагрузкой критического значения.

Коэффициент φ изменяется в диапазоне 0≤φ≤1 , зависит,как уже говорилось, как от физико-механических свойств материала, так и от гибкости λ. Зависимости между φ и λ для различных материалов представляются обычно в табличной форме с шагом ∆λ=10.

При вычислении значений φ для стержней, имеющих значения гибкости не кратные числу 10, применяется правило линейной интерполяции .

Значения коэффициента φ в зависимости от гибкости λ для материалов

На основании условия устойчивости решаются три вида задач :

1. Проверка устойчивости .
2. Подбор сечения .
3. Определение допускаемой нагрузки (или безопасной нагрузки, или грузоподъемности стержня: [F ]=φ[σ]А .

Наиболее сложным оказывается решение задачи о подборе сечения , поскольку необходимая величина площади сечения входит и в левую, и в правую часть условия устойчивости:

Только в правой части этого неравенства площадь сечения находится в неявном виде: она входит в формулу радиуса инерции , который в свою очередь включен в формулу гибкости , от которой зависит значение коэффициента продольного изгиба φ . Поэтому здесь приходится использовать метод проб и ошибок, облеченный в форму способа последовательных приближений :

1 попытка : задаемся φ1 из средней зоны таблицы , находим , определяем размеры сечения, вычисляем , затем гибкость , по таблице определяем и сравниваем со значением φ1 . Если , то.

Л е к ц и я 7

УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

Понятие об устойчивости сжатого стержня. Формула Эйлера. Зависимость критической силы от способа закрепления стержня. Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского. Расчет на устойчивость.

Понятие об устойчивости сжатого стержня

Рассмотрим стержень с прямой осью, нагруженный продольной сжимающей силой F. В зависимости от величины силы и параметров стержня (материал, длина, форма и размеры поперечного сечения) его прямолинейная форма равновесия может быть устойчивой или не устойчивой.

Д ля определения вида равновесия стержня подействуем на него небольшой поперечной нагрузкой Q. В результате стержень перейдет в новое положение равновесия с изогнутой осью. Если после прекращения действия поперечной нагрузки стержень возвращается в исходное (прямолинейное) положение, то прямолинейная форма равновесия является устойчивой (рис 7.1а). В том случае, когда после прекращения действия поперечной силы Q стержень не возвращается в первоначальное положение, прямолинейная форма равновесия является неустойчивой (рис 7.1б).

Таким образом, устойчивостью называется способность стержня после некоторого отклонения от первоначального положения в результате действия какой-либо возмущающей нагрузки самопроизвольно возвращаться в исходное положение при прекращении действия этой нагрузки. Наименьшая продольная сжимающая сила, при которой прямолинейная форма равновесия стержня становится неустойчивой, называется критической силой.

Рассмотренная схема работы центрального сжатого стержня носит теоретический характер. На практике сжимающая сила может действовать с некоторым эксцентриситетом, а стержень может иметь некоторую (хотя бы и небольшую) начальную кривизну. Поэтому с самого начала продольного нагружения стержня наблюдается его изгиб. Исследования показывают, что пока сжимающая сила меньше критической силы, прогибы стержня будут небольшими. При приближении силы к критическому значению прогибы начинают неограниченно возрастать. Этот критерий (неограниченный рост прогибов при ограниченном росте сжимающей силы) и принимается за критерий потери устойчивости.

Потеря устойчивости упругого равновесия имеет место не только при сжатии стержня, но и при его кручении, изгибе и более сложных видах деформации.

Формула Эйлера

Рассмотрим стержень с прямой осью, закрепленный посредством двух шарнирных опор (рис 7.2). Примем, что действующая на стержень продольная сжимающая сила достигла критического значения, и стержень изогнулся в плоскости наименьшей жесткости. Плоскость наименьшей жесткости расположена перпендикулярно к той главной центральной оси сечения, относительно которой осевой момент инерции сечения имеет минимальное значение.

(7.1)

где М – изгибающий момент; I min – минимальный момент инерции сечения.

Из рис. 7.2 находим изгибающий момент

(7.2)

На рис. 7.2 изгибающий момент, обусловленный действием критической силы, положителен, а прогиб – отрицателен. С целью согласования принятых знаков в зависимости (7.2) поставлен знак минус.

Подставляя (7.2) в (7.1), для определения функции прогиба получаем дифференциальное уравнение

(7.3)

(7.4)

Из курса высшей математики известно, что решение уравнения (7.3) имеет вид

где A, B – постоянные интегрирования.

Для определения постоянных интегрирования в (7.5) используем краевые условия

Для изогнутого стержня коэффициенты A и B не могут одновременно быть равными нулю (иначе стержень не будет изогнутым). Поэтому

Приравнивая (7.6) и (7.4), находим

(7.7)

Практическое значение имеет наименьшее, отличное от нуля, значение критической силы. Поэтому, подставив в (7.7) n=1, окончательно будем иметь

(7.8)

Зависимость (7.8) называется формулой Эйлера.

Зависимость критической силы

от способа закрепления стержня

Формула (7.8) получена для случая закрепления стержня посредством двух шарнирных опор, расположенных на его краях. При других способах закрепления стержня для определения критической силы используется обобщенная формула Эйлера

(7.9)

где μ – коэффициент приведения длины, учитывающий способ закрепления стержня.

Наиболее распространенные способы закрепления стержня и соответствующие им коэффициенты приведения длины показаны на рис. 7.3.

Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского

П ри выводе формулы Эйлера было использовано условие, что в момент потери устойчивости выполняется закон Гука. Напряжение в стержне в момент потери устойчивости равно

где
- гибкость стержня; A – площадь поперечного сечения стержня.

В момент потери устойчивости закон Гука будет выполняться при условии

где σ пц – предел пропорциональности материала стержня;
- первая предельная гибкость стержня. Для стали Ст3 λ пр1 = 100.

Таким образом, формула Эйлера справедлива при выполнении условия (7.10).

Если гибкость стержня расположена в интервале
то стержень будет терять устойчивость в области упруго-пластических деформаций и формулу Эйлера использовать нельзя. В этом случае критическая сила определяется по экспериментальной формуле Ясинского

где a, b – экспериментальные коэффициенты. Для стали Ст3 a = 310 Мпа, b = 1,14 Мпа.

Вторая предельная гибкость стержня определяется по формуле

где σ т – предел текучести материала стержня. Для стали Ст3 λ пр2 = 60.

При выполнении условия λ ≤ λ пр2 критическое напряжение (по Ясинскому) будет превышать предел текучести материала стержня. Поэтому в этом случае для определения критической силы используется соотношение

(7.12)

В качестве примера на рис. 7.4 показана зависимость критического напряжения от гибкости стержня для стали Ст3.

Расчет на устойчивость

Расчет на устойчивость выполняется с использованием условия устойчивости

(7.13)

Допускаемое напряжение при расчете на устойчивость;

- коэффициент запаса устойчивости.

Допускаемое напряжение при расчете на устойчивость находится по допускаемому напряжению при расчете на сжатие

(7.14)

где φ – коэффициент продольного изгиба (или снижения основного допускаемого напряжения). Данный коэффициент изменяется в пределах 0 ≤ φ ≤ 1.

Учитывая, что для пластичных материалов

из формул (7.13) и (7.14) следует

(7.15)

Значения коэффициента продольного изгиба в зависимости от материала и гибкости стержня приводятся в справочной литературе.

Наиболее интересен проектный расчет из условия устойчивости. При данном виде расчета известны: расчетная схема (коэффициент μ), внешняя сжимающая сила F, материал (допускаемое напряжение [σ]) и длина l стержня, форма его поперечного сечения. Необходимо определить размеры поперечного сечения.

Трудность заключается в том, что неизвестно по какой формуле определять критическое напряжение, т.к. без размеров поперечного сечения нельзя определить гибкость стержня. Поэтому расчет выполняется методом последовательных приближений:

1) Принимаем начальное значение = 0,5. Определяем площадь поперечного сечения

2) По площади находим размеры поперечного сечения.

3) Используя полученные размеры поперечного сечения, вычисляем гибкость стержня, а по гибкости – конечное значение коэффициента продольного изгиба .

4) При несовпадении значений и выполняем второе приближение. Начальное значение φ во втором приближении принимаем равным
. И так далее.

Расчеты повторяем до тех пор, пока начальное и конечное значения коэффициента φ будут отличаться не более чем на 5%. В качестве ответа принимаем значения размеров, полученных в последнем приближении.

Понятие об устойчивости и критической силе. Проектировочный и проверочный расчеты.

В конструкциях и сооружениях большое применение находят детали, являющиеся относительно длинными и тонкими стержнями, у которых один или два размера поперечного сечения малы по сравнению с длиной стержня. Поведение таких стержней под действием осевой сжимающей нагрузки оказывается принципиально иным, чем при сжатии коротких стержней: при достижении сжимающей силой F некоторой критической величины, равной Fкр, прямолинейная форма равновесия длинного стержня оказывается неустойчивой, и при превышении Fкр стержень начинает интенсильно искривляется (выпучивается). При этом новым (моментным) равновесным состоянием упругого длинного становится некоторая новая уже криволинейная форма. Это явление носит название потери устойчивости.

Рис. 37. Потеря устойчивости

Устойчивость - способность тела сохранять положение или форму равновесия при внешних воздействиях.

Критическая сила (Fкр) - нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости первоначальной формы (положения) тела. Условие устойчивости:

Fmax ≤ Fкр, (25)

Устойчивость сжатого стержня. Задача Эйлера .

При определении критической силы, вызывающей потерю устойчивости сжатого стержня, предполагается, что стержень идеально прямой и сила F приложена строго центрально. Задачу о критической нагрузке сжатого стержня с учетом возможности существования двух форм равновесия при одном и том же значении силы решил Л. Эйлер в 1744 году.

Рис. 38. Сжатый стержень

Рассмотрим шарнирно опертый по концам стержень, сжатый продольной силой F. Положим, что по какой-то причине стержень получил малое искривление оси, вследствие чего в нем появился изгибающий момент M:

где y - прогиб стержня в произвольном сечении с координатой x.

Для определения критической силы можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением упругой линии:

(26)

Проведя преобразования, можно увидеть, что минимальное значение критическая сила примет при n = 1 (на длине стержня укладывается одна полуволна синусоиды) и J = Jmin (стержень искривляется относительно оси с наименьшим моментом инерции)

(27)

Это выражение - формула Эйлера.

Зависимость критической силы от условий закрепления стержня.

Формула Эйлера была получена для, так называемого, основного случая - в предположении шарнирного опирания стержня по концам. На практике встречаются и другие случаи закрепления стержня. При этом можно получить формулу для определения критической силы для каждого из этих случаев, решая, как в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение изогнутой оси балки с соответствующими граничными условиями. Но можно использовать и более простой прием, если вспомнить, что, при потере устойчивости на длине стержня должна укладываться одна полуволна синусоиды.

Рассмотрим некоторые характерные случаи закрепления стержня по концам и получим общую формулу для различных видов закрепления.

Рис. 39. Различные случаи закрепления стержня

Общая формула Эйлера:

(28)

где μ·l = l пр - приведенная длина стержня; l - фактическая длина стержня; μ - коэффициент приведенной длины, показывающий во сколько раз необходимо изменить длину стержня, чтобы критическая сила для этого стержня стала равна критической силе для шарнирно опертой балки. (Другая интерпретация коэффициента приведенной длины: μ показывает, на какой части длины стержня для данного вида закрепления укладывается одна полуволна синусоиды при потере устойчивости.)

Таким образом, окончательно условие устойчивости примет вид

(29)

Рассмотрим два вида расчета на устойчивость сжатых стержней - проверочный и проектировочный.

Проверочный расчет

Порядок проверочного расчета на устойчивость выглядит так:

Исходя из известных размеров и формы поперечного сечения и условий закрепления стержня, вычисляем гибкость;

По справочной таблице находим коэффициент понижения допускаемого напряжения, затем определяем допускаемое напряжение на устойчивость;

Сравниваем максимальное напряжение с допускаемым напряжением на устойчивость.

Проектировочный расчет

При проектировочном расчете (подобрать сечение под заданную нагрузку) в расчетной формуле имеются две неизвестные величины - искомая площадь поперечного сечения A и неизвестный коэффициент φ (так как φ зависит от гибкости стержня, а значит и от неизвестной площади A). Поэтому при подборе сечения обычно приходится пользоваться методом последовательных приближений:

Обычно в первой попытке принимают φ 1 = 0,5…0,6 и определяют площадь сечения в первом приближении

По найденной площади A1 подбирают сечение и вычисляют гибкость стержня в первом приближении λ1. Зная λ, находят новое значение φ′1;

Выбор материала и рациональной формы сечения.

Выбор материала . Так как в формулу Эйлера из всех механических характеристик входит лишь модуль Юнга, то для повышения устойчивости стержней большой гибкости нецелесообразно применять высокопрочные материалы, так как модуль Юнга для всех марок сталей примерно одинаков.

Для стержней малой гибкости применение высокосортных сталей оправдано, так как с повышением предела текучести у таких сталей повышаются и критические напряжения, а значит и запас устойчивости.

ДЛИНА СТЕРЖНЯ ПРИВЕДЕННАЯ условная длина сжатого стержня с заданными условиями закрепления его концов, длина которого по значению критической силы эквивалентна длине стержня с шарнирно закреплёнными концами

(Болгарский язык; Български) - приведена дължина на прът

(Чешский язык; Čeština) - vzpěrná délka prutu

(Немецкий язык; Deutsch) - reduzierte Stablänge; ideelle Stablänge

(Венгерский язык; Magyar) - rúd kihajlás! hossza

(Монгольский язык) - туйвангийн хөрвүүлсэн урт

(Польский язык; Polska) - długość sprowadzona pręta

(Румынский язык; Român) - lungime convenţională a barei

(Сербско-хорватский язык; Српски језик; Hrvatski jezik) - redukovaná dužina štapa

(Испанский язык; Español) - luz efectiva de una barra

(Английский язык; English) - reduced length of bar

(Французский язык; Français) - longueur réduite d"une barre

Строительный словарь .

Смотреть что такое "ДЛИНА СТЕРЖНЯ ПРИВЕДЕННАЯ" в других словарях:

длина стержня приведенная - Условная длина сжатого стержня с заданными условиями закрепления его концов, длина которого по значению критической силы эквивалентна длине стержня с шарнирно закреплёнными концами [Терминологический словарь по строительству на 12 языках (ВНИИИС… …

приведенная длина стержня - Условная длина однопролетного стержня, критическая сила которого при шарнирном закреплении его концов такая же, как для заданного стержня. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 82. Строительная механика. Академия наук СССР. Комитет научно… … Справочник технического переводчика

Схемы деформирования и коэффициенты при различных условиях закрепления и способе приложения нагрузки Гибкость стержня отношение расчетной длины стержня … Википедия

- (силомер). Этим именем называют в курсах физики пружинные весы, а в механике приборы для измерения механической работы (см). Самое старинное изображение пружинных весов, по словам Карстена, напечатано в 1726 г., без описания, в книге: Leupold,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

МЕРЫ - МЕРЫ, определенные физ. величины, с которыми сравниваются другие величины с целью измерения последних. Основные меры наиболее распространенной метрической системы: метр длина при 0° платинового стержня, хранящегося в Международном бюро мер и… … Большая медицинская энциклопедия

Определим критическую силу для центрально сжатого стержня, шарнирно опертого по концам (рис. 13.4). При небольших значениях силы Р ось стержня остается прямой и в его сечениях возникают напряжения центрального сжатия о = P/F. При критическом значении силы Р = Р становится воз- можной искривленная форма равновесия стержня.

Возникает продольный изгиб. Изгибающий момент в произвольном сечении х стержня равен

Важно заметить, что изгибающий момент определяется для деформированного состояния стержня.

Если предположить, что напряжения изгиба, возникающие в поперечных сечениях стержня от действия критической силы, не превосходят предел пропорциональности материала о пц и прогибы стержня малы, то можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня (см. § 9.2)

Введя обозначение

получим вместо (13.2) следующее уравнение:

Общее решение этого уравнения имеет вид

Это решение содержит три неизвестных: постоянные интегрирования Cj, С 2 и параметр к, так как величина критической силы также неизвестна. Для определения этих трех величин имеются только два граничных условия: и(0) = 0, v(l ) = 0. Из первого граничного условия следует, что С 2 = 0, а из второго получим

Из этого равенства следует, что либо С { = 0, либо sin kl = 0. В случае С, = 0 прогибы во всех сечениях стержня равны нулю, что противоречит исходному предположению задачи. Во втором случае kl = пк, где п - произвольное целое число. С учетом этого по формулам (13.3) и (13.5) получим

Рассмотренная задача является задачей на собственные значения. Найденные числа к = пк/1 называются собственными числами, а соответствующие им функции - собственными функциями.

Как видно из (13.7), в зависимости от числа п сжимающая сила Р (я) , при которой стержень находится в изогнутом состоянии, теоретически может принимать целый ряд значений. При этом согласно (13.8) стержень изгибается по п полуволнам синусоиды (рис. 13.5).

Наименьшее значение силы будет при п = 1:

Эта сила носит название первой критической силы. При этом kl = к и изогнутая ось стержня представляет собой одну полуволну синусоиды (рис. 13.5, а):

где С{ 1} =/ - прогиб в середине длины стержня, что следует из (13.8) при п = 1 их = 1/2.

Формула (13.9) была получена Леонардом Эйлером и называется формулой Эйлера для критической силы.

Все формы равновесия (рис. 13.5), кроме первой (п = 1), неустойчивы и потому не представляют практического интереса. Формы равновесия, соответствующие п - 2, 3, ..., будут устойчивыми, если в точках перегиба упругой линии (точки С и С" на рис. 13.5, б, в) ввести дополнительные шарнирные опоры.

Полученное решение обладает двумя особенностями. Во-первых, решение (13.10) не является единственным, так как произвольная постоянная Cj (1) =/ осталась неопределенной, несмотря на использование всех граничных условий. В результате прогибы оказались определены с точностью до постоянного множителя. Во- вторых, это решение не дает возможности описать состояние стержня при Р > Р кр. Из (13.6) следует, что при Р = Р кр стержень может иметь искривленную форму равновесия при условии kl = к. Если же Р > Р кр, то kl Ф п, и тогда должно быть Cj (1) = 0. Это означает, что v = 0, то есть стержень после искривления при Р = Р кр вновь приобретает прямолинейную форму при Р > Р. Очевидно, что это противоречит физическим представлениям об изгибе стержня.

Эти особенности связаны с тем, что выражение (13.1) для изгибающего момента и дифференциальное уравнение (13.2) получены для деформированного состояния стержня, в то время как при постановке граничного условия на конце х = / осевое перемещение и в этого конца (рис. 13.6) вследствие изгиба не учитывалось. Действительно, если пренебречь укорочением стержня за счет центрального сжатия, то нетрудно представить, что прогибы стержня будут иметь вполне определенные значения, если задать величину и в.

Из этого рассуждения становится очевидным, что для определения зависимости прогибов от величины сжимающей силы Р необходимо вместо граничного условия v(l) = 0 использовать уточненное граничное условие v(l - и в) = 0. При этом установлено, что если сила превосходит критическое значение всего на 1+2%, прогибы становятся достаточно большими и необходимо пользоваться точным нелинейным дифференциальным уравнением продольного изгиба

Это уравнение отличается от приближенного уравнения (13.4) первым слагаемым, представляющим собой точное выражение для кривизны изогнутой оси стержня (см. § 9.2).

Решение уравнения (13.11) достаточно сложно и выражается через полный эллиптический интеграл первого рода.